Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız. derecesi. Burada bir sayının derecesinin tanımlarını vereceğiz ve doğal bir üsle başlayıp irrasyonel bir üsle biten derecenin tüm olası üslerini ayrıntılı olarak ele alacağız. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.
Sayfada gezinme.
Doğal üslü derece, bir sayının karesi, bir sayının küpü
İle başlayalım . İleriye baktığımızda, diyelim ki a derecesinin tanımı doğal gösterge n, a olarak adlandıracağımız a için verilmiştir derece tabanı, ve n diyeceğiz üs. Ayrıca doğal göstergeli derecenin ürün üzerinden belirlendiğini unutmayın, dolayısıyla aşağıdaki materyali anlamak için sayıların çarpımı hakkında fikir sahibi olmanız gerekir.
Tanım.
a sayısının doğal üssü n olan kuvveti değeri her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan a n formunun bir ifadesidir, yani .
Özellikle üssü 1 olan bir a sayısının derecesi a sayısının kendisidir, yani a 1 =a'dır.
Hemen derece okuma kurallarından bahsetmeye değer. Bir n girişini okumanın evrensel yolu şudur: "a üzeri n". Bazı durumlarda, bu tür seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a sayısının n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini ele alalım, bu "sekiz üssü on iki" veya "sekiz üssü on ikinci" veya "sekizin on ikinci kuvveti".
Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra bir sayının üçüncü kuvvetinin de kendi isimleri vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir bir sayının karesiörneğin 7 2 "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küp numarasıörneğin 5 3 "beş küp" olarak okunabilir veya "5 sayısının küpü" olarak okunabilir.
getirme zamanı geldi fiziksel göstergeli derece örnekleri. 5 üssünün tabanı ve 7'nin üssü olduğu 5 7 üssüyle başlayalım. Bir örnek daha verelim: 4,32 taban, 9 doğal sayısı ise (4,32) 9 üssüdür.
Son örnekte 4.32 derecesinin tabanının parantez içinde yazıldığını lütfen unutmayın: Tutarsızlıkları önlemek için, derecenin doğal sayılardan farklı olan tüm tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal göstergelerle veriyoruz 
, tabanları doğal sayı olmadığından parantez içinde yazılırlar. Bu noktada tam bir açıklık sağlamak için, (−2)3 ve −23 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2)3 ifadesi, doğal üssü 3 olan −2'nin kuvveti olup, −2 3 ifadesi (−(2 3) şeklinde de yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değerine, sayısına karşılık gelir.
a'nın derecesi için a^n biçiminde bir n üssüne sahip bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca, eğer n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içine alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvvetinin başka bir gösterimidir. Ve burada “^” sembolünü kullanarak derece yazmanın daha fazla örneği var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda esas olarak a n formunun derecesinin gösterimini kullanacağız.
Doğal üslü üstel almanın tersi problemlerden biri de derecenin tabanını bulma problemidir. bilinen değer derecesi ve bilinen üs. Bu görev şuna yol açar.
Rasyonel sayılar kümesinin tam sayılardan ve kesirli sayılardan oluştuğu ve her kesirli sayının pozitif veya negatif olarak gösterilebildiği bilinmektedir. ortak kesir. Bir önceki paragrafta dereceyi tamsayı üssüyle tanımlamıştık, dolayısıyla derecenin tanımını şu şekilde tamamlayabiliriz: rasyonel gösterge a sayısının derecesinin anlamını m/n kesirli üssüyle vermeniz gerekir; burada m bir tam sayı, n ise bir doğal sayıdır. Hadi yapalım.
Formun kesirli üssü olan bir derece düşünün. Bir derecedeki derece özelliğinin geçerli kalabilmesi için eşitliğin sağlanması gerekir. 
. Ortaya çıkan eşitliği ve tanımlama şeklimizi dikkate alırsak, verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması koşuluyla kabul etmek mantıklıdır.
Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin as için geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin özellikleri bölümünde yapılmıştır).
Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: Verilen m, n ve a için ifade anlamlıysa, o zaman a sayısının kesirli üssü m / n olan kuvveti, a'nın n'inci derecesinin m kuvvetinin köküdür.
Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye sadece hangi m, n ve a ifadesinin anlamlı olduğunu açıklamak kalıyor. m, n ve a'ya uygulanan kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.
a'yı sınırlamanın en kolay yolu pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 varsaymaktır (çünkü m≤0'ın 0 m'lik kuvveti yoktur). Daha sonra kesirli üslü derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.
Tanım.
Kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu ifadeye, a sayısının n'inci kuvvetinin m kuvvetinin kökü denir.
Sıfırın kesirli derecesi de üssün pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla tanımlanır.
Tanım.
Kesirli pozitif üssü m/n ile sıfırın kuvveti m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: 
.
Derece tanımlanmadığında yani sıfır sayısının kesirli negatif üslü derecesinin bir anlamı yoktur.
Kesirli üslü böyle bir derece tanımında bir nüans olduğuna dikkat edilmelidir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve biz bu durumları a≥0 koşulunu getirerek attık. Mesela şunu yazmak mantıklı 
veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüyle derecelerin olduğunu söylemeye zorluyor 
tabanın negatif olmaması gerektiğinden anlamsızdır.
Kesirli bir m / n üssü ile dereceyi belirlemeye yönelik bir başka yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı dikkate almaktır. Bu yaklaşım gerektirir ek koşul: Üssü karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının derecesi kabul edilir (bu koşulun önemi aşağıda açıklanacaktır). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece ilk önce ile değiştirilir.
Çift n ve pozitif m için ifade, negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayıdan çift derecenin kökü anlamlı değildir), negatif m için a sayısı yine de sıfır olmamalıdır (aksi takdirde bölme) sıfır meydana gelecektir). Tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir şey olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek derecenin kökü tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfırdan farklı olmalıdır (böylece herhangi bir sayıya bölünme olmaz). sıfır).
Yukarıdaki akıl yürütme bizi kesirli üslü böyle bir derece tanımına götürür.
Tanım.
m/n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İndirgenebilir herhangi bir sıradan kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üssü m / n olan a'nın gücü
İndirgenebilir kesirli üssü olan bir derecenin neden ilk önce indirgenemez üssü olan bir dereceyle değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe olarak tanımlasaydık ve m/n kesirinin indirgenemezliği konusunda bir çekince koymasaydık şuna benzer durumlarla karşılaşırdık: 6/10=3/5 olduğuna göre eşitlik olur. 
, Ancak 
, A .
A sayısının tamsayı üslerinden rasyonel bir üsse geçiş kendini göstermektedir. Aşağıda rasyonel üslü bir derece tanımlıyoruz ve bunu, tamsayı üslü bir derecenin tüm özellikleri korunacak şekilde yapacağız. Bu gereklidir çünkü tamsayılar rasyonel sayıların bir parçasıdır.
Rasyonel sayılar kümesinin tam sayılardan ve kesirli sayılardan oluştuğu ve her kesirli sayının pozitif veya negatif adi kesir olarak gösterilebileceği bilinmektedir. Bir önceki paragrafta dereceyi tam sayı üssüyle tanımlamıştık, dolayısıyla derecenin tanımını rasyonel üsle tamamlamak için sayının derecesine anlam vermemiz gerekiyor. A bir kesir ile a/n, Nerede M bir tamsayıdır ve N- doğal. Hadi yapalım.
Formun kesirli üssü olan bir derece düşünün. Bir derecedeki derece özelliğinin geçerli kalabilmesi için eşitliğin sağlanması gerekir. 
. Ortaya çıkan eşitliği ve n'inci derecenin kökünü nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, verilerle birlikte kabul etmek mantıklıdır. M, N Ve A ifade anlamlıdır.
Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin as için geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin özellikleri bölümünde yapılmıştır).
Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: eğer verilirse M, N Ve A ifade anlamlıysa sayının gücü A bir kesir ile a/n kök denir N derecesi Aölçüde M.
Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye sadece ne altında açıklamak kalıyor M, N Ve A ifade anlamlıdır. Uygulanan kısıtlamalara bağlı olarak M, N Ve A iki ana yaklaşım vardır.
1. En kolay yol, kısıtlama getirmektir A, kabul etmek a≥0 olumlu için M Ve a>0 negatif için M(çünkü m≤0 derece 0 m belirlenmedi). Daha sonra kesirli üslü derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.
Tanım.
Pozitif bir sayının derecesi A bir kesir ile a/n , Nerede M bir bütündür ve N kök adı verilen bir doğal sayıdır N-aralarından Aölçüde M, yani, .
Sıfırın kesirli derecesi de üssün pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla tanımlanır.
Tanım.
Kesirli pozitif üslü sıfırın kuvveti a/n
, Nerede M pozitif bir tam sayıdır ve N bir doğal sayıdır ve şu şekilde tanımlanır: 
.
Derece tanımlanmadığında yani sıfır sayısının kesirli negatif üslü derecesinin bir anlamı yoktur.
Kesirli üslü derecenin böyle bir tanımında bir nüans olduğu unutulmamalıdır: bazı negatifler için A ve bazı M Ve N ifade anlamlıdır ve koşulu getirerek bu durumları göz ardı ettik a≥0. Mesela şunu yazmak mantıklı 
veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüyle derecelerin olduğunu söylemeye zorluyor 
tabanın negatif olmaması gerektiğinden anlamsızdır.
2. Kesirli üs ile dereceyi belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım a/n kökün çift ve tek üslerinin ayrı ayrı değerlendirilmesinden oluşur. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: bir sayının kuvveti A göstergesi azaltılmış sıradan kesir olan, bir sayının kuvveti olarak kabul edilir A göstergesi karşılık gelen indirgenemez kesirdir (bu koşulun önemi aşağıda açıklanacaktır). Yani eğer a/n indirgenemez bir kesirdir, o zaman herhangi bir doğal sayı için k derecesi ilk olarak ile değiştirilir.
Çift için N ve pozitif M ifade negatif olmayan herhangi bir ifade için anlamlıdır A(Negatif bir sayının çift dereceli kökünün anlamı yoktur), negatif ile M sayı A yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde sıfıra bölünme olacaktır). Ve garip için N ve pozitif M sayı A herhangi bir şey olabilir (tek derecenin kökü herhangi bir gerçek sayı için tanımlanır) ve negatif için M sayı A sıfırdan farklı olmalıdır (böylece sıfıra bölünme olmaz).
Yukarıdaki akıl yürütme bizi kesirli üslü böyle bir derece tanımına götürür.
Tanım.
İzin vermek a/n- indirgenemez kesir M bir bütündür ve N- doğal sayı. İndirgenebilir herhangi bir sıradan kesir için derece, ile değiştirilir. Derecesi A indirgenemez kesirli üslü a/n- için
o herhangi bir gerçek sayı A, pozitif bir tamsayı M ve tuhaf doğal N, Örneğin, 
;
o sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı A, negatif bir tamsayı M ve tuhaf N, Örneğin, 
;
o negatif olmayan herhangi bir sayı A, pozitif bir tamsayı M ve hatta N, Örneğin, 
;
herhangi bir olumlu A, negatif bir tamsayı M ve hatta N, Örneğin, 
;
o diğer durumlarda, kesirli üslü derece tanımlanmaz, örneğin dereceler tanımlanmaz 
.a kayıtlarına herhangi bir anlam yüklemeyiz, pozitif kesirli üsler için sıfır sayısının derecesini tanımlarız a/n Nasıl Negatif kesirli üsler için sıfır sayısının derecesi tanımlanmamıştır.
Bu paragrafın sonuç kısmında kesirli bir üssün ondalık kesir veya ondalık kesir olarak yazılabildiğine dikkat edelim. karışık numara, Örneğin, 
. Bu tür ifadelerin değerlerini hesaplamak için üssü sıradan bir kesir olarak yazmanız ve ardından derecenin tanımını kesirli bir üsle kullanmanız gerekir. Bu örnekler için elimizde 
Ve 
Sayının derecesi belirlendikten sonra bundan bahsetmek mantıklıdır. derece özellikleri. Bu yazımızda bir sayının derecesinin temel özelliklerini verirken olası tüm üslere de değineceğiz. Burada derecenin tüm özelliklerinin kanıtlarını vereceğiz ve ayrıca bu özelliklerin örnekleri çözerken nasıl uygulandığını göstereceğiz.
Sayfada gezinme.
Doğal göstergeli derecelerin özellikleri
Doğal üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, bir n'nin kuvveti, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu tanıma dayanarak ve kullanarak gerçek sayı çarpma özellikleri, aşağıdakileri elde edebilir ve gerekçelendirebiliriz doğal üslü derecenin özellikleri:
- a m ·a n =a m+n derecesinin temel özelliği, genelleştirilmesi;
- aynı tabanlara sahip kısmi kuvvetlerin özelliği a m:a n =a m−n ;
- çarpım derecesi özelliği (a b) n =a n b n, onun uzantısı;
- ayni bölüm özelliği (a:b) n =a n:b n ;
- üstelleştirme (a m) n =a m n, genelleştirilmesi (((bir n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... nk;
- dereceyi sıfırla karşılaştırmak:
- a>0 ise herhangi bir doğal n için a n >0;
- a=0 ise a n =0;
- Eğer bir<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ise<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- a ve b pozitif sayılar ise ve a
- m ve n m>n olacak şekilde doğal sayılarsa, o zaman 0'da
- m ve n m>n olacak şekilde doğal sayılarsa, o zaman 0'da
Hemen tüm yazılı eşitliklerin olduğunu not ediyoruz. birebir aynı belirtilen şartlarda sağ ve sol kısımları değiştirilebilir. Örneğin a m a n = a m + n kesirinin ana özelliği ifadelerin basitleştirilmesi sıklıkla a m+n = a m an n şeklinde kullanılır.
Şimdi her birine ayrıntılı olarak bakalım.
Aynı bazlara sahip iki kuvvetin çarpımının özelliği ile başlayalım. derecenin ana özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için a m ·a n =a m+n eşitliği doğrudur.
Derecenin ana özelliğini kanıtlayalım. Doğal üslü bir derecenin tanımıyla, a man formunun aynı temellerine sahip kuvvetlerin çarpımı bir çarpım olarak yazılabilir. Çarpmanın özelliklerinden dolayı elde edilen ifade şu şekilde yazılabilir: 
ve bu çarpım, m+n doğal üssü olan a'nın, yani m+n'nin kuvvetidir. Bu ispatı tamamlar.
Derecenin ana özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. Tabanları aynı 2 ve doğal kuvvetleri 2 ve 3 olan dereceleri alalım, derecenin ana özelliğine göre 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 eşitliğini yazabiliriz. 2 2 ·2 3 ve 2 5 ifadelerinin değerlerini hesapladığımız geçerliliğini kontrol edelim. Üs alma işlemini gerçekleştirirken, 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 ve 2 5 =2 2 2 2 2=32 eşit değerler elde edildiği için 2 2 2 3 =2 5 eşitliği doğrudur ve derecenin ana özelliğini doğrular.
Çarpma özelliklerine dayanan bir derecenin ana özelliği, aynı tabanlara ve doğal üslere sahip üç veya daha fazla derecenin çarpımına genelleştirilebilir. Yani herhangi bir k doğal sayısı için n 1 , n 2 , …, n k eşitliği a n 1 a n 2 an n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Örneğin, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Doğal bir göstergeyle derecelerin bir sonraki özelliğine geçebilirsiniz - aynı temellere sahip kısmi yetkilerin mülkiyeti: sıfırdan farklı herhangi bir a gerçek sayısı ve m>n koşulunu karşılayan keyfi m ve n doğal sayıları için a m:a n =a m−n eşitliği doğrudur.
Bu özelliğin ispatını vermeden önce ifadedeki ek şartların anlamını tartışalım. Sıfıra bölünmeyi önlemek için a≠0 koşulu gereklidir, çünkü 0 n =0'dır ve bölme konusunu öğrendiğimizde sıfıra bölmenin imkansız olduğu konusunda anlaştık. Doğal üslerin ötesine geçmememiz için m>n koşulu getirildi. Aslında, m>n için a m−n üssü bir doğal sayıdır, aksi halde ya sıfır (m−n için olur) ya da negatif bir sayı (m için olur) olur. Kanıt. Bir kesrin temel özelliği eşitliği yazmamızı sağlar a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Elde edilen eşitlikten a m−n ·a n =a m ve bundan, m−n'nin a m ve a n'nin kuvvetlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu da aynı esaslara sahip kısmi güçlerin özelliğini ispat etmektedir. Bir örnek verelim. Aynı π tabanlarına ve doğal üsler 5 ve 2'ye sahip iki derece alalım; derecenin dikkate alınan özelliği π 5 eşitliğine karşılık gelir: π 2 = π 5−3 = π 3. Şimdi düşünün ürün derecesi özelliği: Herhangi iki a ve b reel sayısının çarpımının doğal derecesi n, a n ve b n derecelerinin çarpımına eşittir, yani (a b) n =a n b n . Aslında, doğal üssü olan bir derecenin tanımı gereği, elimizde İşte bir örnek: Bu özellik üç veya daha fazla faktörün çarpımının derecesine kadar uzanır. Yani k faktörün çarpımının doğal güç özelliği n şu şekilde yazılır: (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. Açıklık sağlamak için bu özelliği bir örnekle gösteriyoruz. Üç faktörün 7'nin kuvvetinin çarpımı için elimizde . Bir sonraki mülk doğal mülkiyet: a ve b gerçek sayılarının n doğal kuvvetine bölümü, a n ve b n kuvvetlerinin bölümüne eşittir, yani (a:b) n =a n:b n . Kanıt önceki özellik kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu yüzden (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n ve (a:b) n b n =a n eşitliği (a:b) n'nin a n'nin b n'ye bölümü olduğu anlamına gelir. Bu özelliği belirli sayılar örneğini kullanarak yazalım: Şimdi ses verelim üs alma özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için, a m'nin n'ye kuvveti, m·n üssüyle a'nın kuvvetine eşittir, yani (a m) n =a m·n . Örneğin, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 . Bir derecedeki güç özelliğinin ispatı aşağıdaki eşitlikler zinciridir: Dikkate alınan özellik derece içinde dereceye kadar genişletilebilir ve bu böyle devam eder. Örneğin herhangi bir p, q, r ve s doğal sayısı için eşitlik Dereceleri doğal bir üsle karşılaştırmanın özellikleri üzerinde durmaya devam ediyoruz. Sıfır ve dereceyi doğal bir üsle karşılaştırmanın özelliğini kanıtlayarak başlayalım. Öncelikle herhangi bir a>0 için a n >0 olduğunu doğrulayalım. Çarpmanın tanımından da anlaşılacağı üzere iki pozitif sayının çarpımı pozitif bir sayıdır. Bu gerçek ve çarpmanın özellikleri, herhangi bir sayıda pozitif sayının çarpımının sonucunun da pozitif bir sayı olacağını iddia etmemizi sağlar. Ve a'nın doğal üssü n olan kuvveti, tanım gereği, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu argümanlar herhangi bir pozitif taban için a n derecesinin şu şekilde olduğunu iddia etmemizi sağlar: pozitif sayı. Kanıtlanmış özellik sayesinde 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ve a=0 olan herhangi bir doğal n için, n'nin derecesinin sıfır olduğu oldukça açıktır. Aslında, 0 n =0·0·…·0=0 . Örneğin, 0 3 =0 ve 0 762 =0 . Negatif tabanlara geçelim. Üssün çift sayı olduğu durumla başlayalım, bunu 2 m olarak belirtin, burada m bir doğal sayıdır. Daha sonra Son olarak, a'nın tabanı negatif bir sayı ve üssü 2 m−1 tek sayı olduğunda, o zaman Dereceleri aynı doğal üslerle karşılaştırma özelliğine dönüyoruz, bu da şu formüle sahiptir: aynı doğal üslere sahip iki derecenin n'si, tabanı daha küçük olandan daha küçüktür ve tabanı daha büyük olandan daha fazladır. Hadi kanıtlayalım. Eşitsizlik a n eşitsizliklerin özellikleri eşitsizliğin a n biçiminde kanıtlanması (2,2) 7 ve Geriye doğal üslü kuvvetlerin listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Formüle edelim. Doğal göstergeleri ve aynı olumlu temelleri olan iki dereceden birden küçük olan derece daha büyük, göstergesi daha küçük olan derece; ve doğal göstergeleri olan ve aynı temelleri birden büyük olan iki derecenin derecesi daha büyük, göstergesi daha büyük olanın derecesi daha büyüktür. Bu özelliğin kanıtına dönüyoruz. m>n ve 0 için bunu kanıtlayalım Geriye mülkün ikinci kısmını kanıtlamak kalıyor. m>n ve a>1 için a m >an'ın doğru olduğunu kanıtlayalım. Parantezlerden bir n çıkarıldıktan sonra a m −a n farkı a n ·(a m−n −1) formunu alır. Bu çarpım pozitiftir, çünkü a>1 için a n'nin derecesi pozitif bir sayıdır ve a m−n −1 farkı pozitif bir sayıdır, çünkü başlangıç koşulundan dolayı m−n>0 ve a>1 için, a m−n'nin derecesi birden büyüktür. Bu nedenle a m − a n >0 ve a m >an , bunun kanıtlanması gerekiyordu. Bu özellik 3 7 >3 2 eşitsizliği ile gösterilmektedir.
. Çarpma özelliklerine göre son çarpım şu şekilde yeniden yazılabilir: 
, bu da a n b n'ye eşittir.
.
.
.
. Daha fazla netlik sağlamak için burada belirli sayıların yer aldığı bir örnek verilmiştir: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. a·a formundaki çarpımların her biri, a ve a sayılarının modüllerinin çarpımına eşittir, dolayısıyla pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla ürün de olumlu olacaktır. 
ve derece a 2 m. Örnekler şunlardır: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ve .
. Tüm a·a çarpımları pozitif sayılardır, bu pozitif sayıların çarpımı da pozitiftir ve kalan negatif a sayısıyla çarpılması negatif bir sayıyla sonuçlanır. Bu özellik nedeniyle (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Tamsayı üslü derecelerin özellikleri
Pozitif tamsayılar doğal sayılar olduğundan, pozitif tamsayı üslü kuvvetlerin tüm özellikleri, önceki paragrafta listelenen ve kanıtlanmış doğal üslü kuvvetlerin özellikleriyle tam olarak örtüşür.
Dereceyi negatif tamsayı üslü olarak tanımladık, dereceyi de sıfır üslü olarak tanımladık, böylece eşitliklerle ifade edilen doğal üslü derecelerin tüm özellikleri geçerli kaldı. Dolayısıyla tüm bu özellikler hem sıfır üsler hem de negatif üsler için geçerlidir ve elbette derecelerin tabanları sıfırdan farklıdır.
Dolayısıyla, herhangi bir gerçek ve sıfırdan farklı a ve b sayıları ile m ve n tam sayıları için aşağıdakiler doğrudur: tamsayı üslü derecelerin özellikleri:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n;
- (a b) n = a n b n;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (bir m) n = bir mn;
- n pozitif bir tam sayı ise, a ve b pozitif sayılardır ve a b-n;
- m ve n tam sayılarsa ve m>n ise 0'da
a=0 için, a m ve a n kuvvetleri yalnızca hem m hem de n pozitif tamsayılar, yani doğal sayılar olduğunda anlamlıdır. Dolayısıyla az önce yazılan özellikler a=0 ve m ve n sayılarının pozitif tam sayılar olduğu durumlar için de geçerlidir.
Bu özelliklerin her birini kanıtlamak zor değildir, bunun için doğal ve tam sayı üslü derece tanımlarının yanı sıra gerçek sayılarla eylemlerin özelliklerini kullanmak yeterlidir. Örnek olarak kuvvet özelliğinin hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, p sıfır veya bir doğal sayı ve q sıfır veya bir doğal sayı ise, o zaman (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q eşitliklerini göstermemiz gerekir. (a p ) −q =a p (−q) ve (a−p)−q =a (−p) (−q). Hadi yapalım.
Pozitif p ve q için (a p) q =a p·q eşitliği önceki alt bölümde kanıtlanmıştı. Eğer p=0 ise, (a 0) q =1 q =1 ve a 0 q =a 0 =1 olur, dolayısıyla (a 0) q =a 0 q olur. Benzer şekilde, eğer q=0 ise, o zaman (a p) 0 =1 ve a p 0 =a 0 =1, dolayısıyla (a p) 0 =a p 0. Hem p=0 hem de q=0 ise, o zaman (a 0) 0 =1 0 =1 ve a 0 0 =a 0 =1, dolayısıyla (a 0) 0 =a 0 0 .
Şimdi (a −p) q =a (−p) q olduğunu kanıtlayalım. Negatif tamsayı üssü olan bir derecenin tanımı gereği, o zaman 
. Derecedeki bölümün özelliğine göre, elimizde 
. 1 p =1·1·…·1=1 olduğundan ve , o zaman . Son ifade, tanım gereği, a −(p q) formundaki bir kuvvettir ve çarpma kurallarına göre a (−p) q olarak yazılabilir.
benzer şekilde 
.
VE 
.
Aynı prensibe göre, bir derecenin diğer tüm özellikleri eşitlik biçiminde yazılmış bir tamsayı üssüyle kanıtlanabilir.
Kaydedilen özelliklerin sondan bir önceki bölümünde, a −n >b −n eşitsizliğinin kanıtı üzerinde durmakta fayda var; bu, a koşulunun geçerli olduğu herhangi bir negatif tamsayı −n ve herhangi bir pozitif a ve b için doğrudur. . Koşul gereği a 0. a n ·b n çarpımı aynı zamanda a n ve b n pozitif sayılarının çarpımı olarak da pozitiftir. O zaman ortaya çıkan kesir, b n − a n ve a n b n pozitif sayılarının bölümü olarak pozitiftir. Dolayısıyla a −n >b −n olduğu kanıtlanacaktı.
Tamsayı üslü derecelerin son özelliği, doğal üslü derecelerin benzer özelliği ile aynı şekilde kanıtlanır.
Rasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri
Tamsayı üssü olan bir derecenin özelliklerini ona genişleterek dereceyi kesirli üsle tanımladık. Başka bir deyişle kesirli üslü dereceler, tamsayı üslü derecelerle aynı özelliklere sahiptir. Yani:
Kesirli üslü derecelerin özelliklerinin kanıtı, kesirli üslü bir derecenin tanımına ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerine dayanır. Kanıt verelim.
Kesirli üslü derecenin tanımı gereği ve , o zaman 
. Aritmetik kökün özellikleri aşağıdaki eşitlikleri yazmamızı sağlar. Ayrıca, tamsayı üslü derece özelliğini kullanarak, kesirli üslü derecenin tanımıyla şunu elde ederiz: 
ve elde edilen derecenin üssü şu şekilde dönüştürülebilir: . Bu ispatı tamamlar.
Kesirli üslü kuvvetlerin ikinci özelliği de tamamen aynı şekilde kanıtlanır: 
Eşitliklerin geri kalanı benzer ilkelerle kanıtlanmıştır: 
Bir sonraki özelliğin kanıtına dönüyoruz. Herhangi bir pozitif a ve b için a olduğunu kanıtlayalım. b . p rasyonel sayısını m/n olarak yazıyoruz; burada m bir tam sayı, n ise bir doğal sayıdır. Koşullar<0 и p>Bu durumda 0 m koşullarına eşdeğer olacaktır.<0 и m>sırasıyla 0. m>0 ve a için
Benzer şekilde m için<0 имеем a m >b m , dolayısıyla ve a p >b p .
Listelenen özelliklerin sonuncusunu kanıtlamaya devam ediyor. p ve q rasyonel sayıları için 0 için p>q olduğunu kanıtlayalım. 
Ve 
. Derecenin rasyonel üslü tanımı da sırasıyla ve eşitsizliklerine geçmemizi sağlar. Buradan nihai sonucu çıkarıyoruz: p>q ve 0 için
İrrasyonel üslü derecelerin özellikleri
İrrasyonel üslü bir derecenin nasıl tanımlandığına bakıldığında, onun rasyonel üslü derecelerin tüm özelliklerine sahip olduğu sonucuna varılabilir. Yani herhangi bir a>0 , b>0 ve irrasyonel sayılar p ve q için aşağıdakiler doğrudur İrrasyonel üslü derecelerin özellikleri:
- a p a q = a p + q;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q;
- herhangi bir pozitif sayı için a ve b , a 0 eşitsizlik a p bp;
- irrasyonel sayılar için p ve q , 0'da p>q
Bundan, a>0 için herhangi bir p ve q reel üslü kuvvetlerin aynı özelliklere sahip olduğu sonucuna varabiliriz.
Kaynakça.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5 hücreli matematik zh ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7 hücreli bir ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8 hücreli ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9 hücreli bir ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve Analizin Başlangıçları: Genel Eğitim Kurumlarının 10-11. Sınıfları İçin Bir Ders Kitabı.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuran adaylar için bir el kitabı).
"Rasyonel göstergeli derece" video dersi görsel içerir Eğitim materyali bu konuyu öğretmek. Video eğitimi, rasyonel üslü derece kavramı, bu derecelerin özellikleri ve pratik sorunları çözmek için eğitim materyalinin kullanımını açıklayan örnekler hakkında bilgi içerir. Bu video dersinin görevi, eğitim materyalini görsel ve net bir şekilde sunmak, öğrenciler tarafından geliştirilmesini ve ezberlenmesini kolaylaştırmak, öğrenilen kavramları kullanarak problem çözme yeteneğini oluşturmaktır.
Video dersinin temel avantajları görsel dönüşümler ve hesaplamalar yapabilme yeteneği, öğrenme verimliliğini artırmak için animasyon efektlerini kullanma yeteneğidir. Ses eşliğinde, doğru matematiksel konuşmanın geliştirilmesine yardımcı olur ve aynı zamanda öğretmenin açıklamasını değiştirmeyi mümkün kılarak onu bireysel çalışma için serbest bırakır.
Video eğitimi konuyu tanıtarak başlar. Yeni bir konunun çalışmasını daha önce çalışılan materyalle ilişkilendirerek, n √a'nın doğal n ve pozitif a için 1/n ile gösterildiğinin hatırlanması önerilir. N-kökün bu temsili ekranda görüntülenir. Ayrıca, a'nın pozitif bir sayı olduğu ve m / n'nin bir kesir olduğu a m / n ifadesinin ne anlama geldiğinin dikkate alınması önerilmektedir. Kutuda vurgulanan derecenin tanımı a m/n = n √ a m şeklinde rasyonel bir üsle verilmiştir. N'nin bir doğal sayı olabileceği ve m'nin bir tam sayı olabileceği belirtilmektedir.
Derecesi rasyonel bir üs ile belirlendikten sonra anlamı şu örneklerle ortaya çıkar: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . ile temsil edilen derecenin olduğu bir örnek de gösterilmiştir. ondalık, kök olarak temsil edilmek üzere ortak bir kesre dönüştürülür: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ve aşağıdaki örnek olumsuz değer derece: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.
Ayrı olarak, belirli bir durumun özelliği, derecenin tabanı sıfır olduğunda belirtilir. Bu derecenin yalnızca pozitif kesirli üs ile anlamlı olduğu belirtilmektedir. Bu durumda değeri sıfıra eşittir: 0 m/n =0.
Rasyonel üslü derecenin bir başka özelliği de, kesirli üslü derecenin kesirli üslü olarak değerlendirilemeyeceğidir. Derecenin yanlış gösterimine örnekler verilmiştir: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .
Video dersinde ayrıca rasyonel üslü bir derecenin özellikleri dikkate alınmaktadır. Tamsayı üslü bir derecenin özelliklerinin, rasyonel üslü bir derece için de geçerli olacağı belirtiliyor. Bu durumda da geçerli olan özelliklerin listesinin hatırlanması önerilmektedir:
- Güçleri aynı bazlarla çarparken göstergeleri toplanır: a p a q \u003d a p + q.
- Aynı tabanlara sahip derecelerin bölümü, belirli bir tabana ve üsler arasındaki farka göre bir dereceye indirgenir: a p:a q =a p-q .
- Eğer kuvveti belirli bir kuvvete yükseltirsek, sonuç olarak verilen taban ve üslerin çarpımı ile kuvveti elde ederiz: (a p) q =a pq .
Tüm bu özellikler rasyonel üsleri p, q ve pozitif tabanı a>0 olan kuvvetler için geçerlidir. Ayrıca parantez açıldığında derece dönüşümleri de geçerli kalır:
- (ab) p =a p b p - iki sayının çarpımını rasyonel bir üsle belirli bir kuvvete yükseltmek, her biri belirli bir kuvvete yükseltilen sayıların çarpımına indirgenir.
- (a/b) p =a p /b p - bir kesrin rasyonel üssüyle üstel alma, payı ve paydası verilen kuvvete yükseltilen bir kesire indirgenir.
Video eğitimi, derecelerin dikkate alınan özelliklerini rasyonel bir üsle kullanan örneklerin çözümünü tartışıyor. İlk örnekte, x'in kesirli üssünü içeren bir ifadenin değerinin bulunması önerilmektedir: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). İfadenin karmaşıklığına rağmen derecelerin özelliklerini kullanarak oldukça basit bir şekilde çözülür. Görevin çözümü, rasyonel bir üsle bir dereceyi bir kuvvete yükseltme ve aynı tabanla kuvvetleri çarpma kuralını kullanan ifadenin basitleştirilmesiyle başlar. Verilen x=8 değerini basitleştirilmiş x 1/3 +48 ifadesine yerleştirdikten sonra - 50 değerini elde etmek kolaydır.
İkinci örnekte pay ve paydası rasyonel üslü kuvvetler içeren bir kesirin indirgenmesi gerekmektedir. Derecenin özelliklerini kullanarak farktan x 1/3 faktörünü seçiyoruz, bu daha sonra pay ve paydada azaltılıyor ve kareler farkı formülü kullanılarak pay faktörlere ayrıştırılıyor, bu da daha fazla azalma sağlıyor pay ve paydada aynı faktörler. Bu tür dönüşümlerin sonucu kısa bir kesir x 1/4 +3'tür.
Öğretmenin dersin yeni konusunu anlatması yerine "Rasyonel Göstergeli Derece" video dersi kullanılabilir. Ayrıca bu kılavuz aşağıdakiler için yeterli bilgi içermektedir: bireysel çalışmaöğrenci. Materyal uzaktan eğitimde faydalı olabilir.
Rasyonel üslü derece
Khasyanova T.G.,
Matematik öğretmeni
Sunulan materyal, "Rasyonel göstergeli derece" konusunu incelerken matematik öğretmenleri için faydalı olacaktır.
Sunulan materyalin amacı: "Rasyonel göstergeli derece" konulu bir ders yürütme deneyimimin açıklanması çalışma programı disiplin "Matematik".
Dersin metodolojisi türüne karşılık gelir - çalışmadaki bir ders ve yeni bilginin birincil olarak pekiştirilmesi. Temel bilgi ve beceriler, daha önce kazanılan deneyimlere dayanarak güncellendi; yeni bilgilerin birincil ezberlenmesi, birleştirilmesi ve uygulanması. Yeni malzemenin pekiştirilmesi ve uygulanması, test ettiğim farklı karmaşıklıktaki problemlerin çözülmesi şeklinde gerçekleşti. olumlu sonuç konuya hakim olmak.
Dersin başında öğrenciler için şu hedefleri belirledim: eğitici, geliştirici, eğitici. Derste çeşitli aktivite yöntemleri kullandım: ön, bireysel, buhar odası, bağımsız, test. Görevler farklılaştırıldı ve dersin her aşamasında bilginin özümsenme derecesinin belirlenmesini mümkün kıldı. Görevlerin hacmi ve karmaşıklığı aşağıdakilere karşılık gelir: yaş özellikleriöğrenciler. Deneyimlerime göre - Ev ödevi sınıfta çözülen görevlere benzer şekilde, edinilen bilgi ve becerileri güvenli bir şekilde pekiştirmenize olanak tanır. Dersin sonunda yansıtma yapılarak öğrencilerin bireysel çalışmaları değerlendirildi.
Hedeflere ulaşıldı. Öğrenciler rasyonel üslü derece kavramı ve özelliklerini incelediler, bu özellikleri pratik problemlerin çözümünde nasıl kullanacaklarını öğrendiler. Bağımsız çalışma notları bir sonraki derste açıklanır.
Matematik derslerini yürütmek için benim tarafımdan kullanılan metodolojinin matematik öğretmenleri tarafından uygulanabileceğine inanıyorum.
Ders konusu: Rasyonel göstergeli derece
Dersin amacı:
Öğrencilerin bir bilgi ve beceri kompleksine hakim olma düzeyinin belirlenmesi ve buna dayanarak eğitim sürecini iyileştirmek için belirli çözümlerin uygulanması.
Dersin Hedefleri:
Öğreticiler:öğrenciler arasında temel kavramlar, kurallar, rasyonel bir göstergeyle dereceyi belirlemeye yönelik yasalar, bilgiyi standart koşullarda, değişen ve standart dışı koşullarda bağımsız olarak uygulama yeteneği hakkında yeni bilgi oluşturmak;
gelişmekte: mantıklı düşünün ve yaratıcı yeteneklerin farkına varın;
eğitimciler: matematiğe ilgi oluşturmak, kelime dağarcığını yeni terimlerle doldurmak, Ek Bilgiler etrafındaki dünya hakkında. Sabır, azim ve zorlukların üstesinden gelme yeteneğini geliştirin.
Zamanı organize etmek
Temel bilgilerin güncellenmesi
Üsleri aynı tabanla çarparken üsler toplanır ve taban aynı kalır:
Örneğin, 
2. Aynı tabanlara sahip kuvvetleri bölerken üsler çıkarılır ve taban aynı kalır:
Örneğin, 
3. Dereceyi bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır ve taban aynı kalır:
Örneğin,
4. Ürünün derecesi faktörlerin kuvvetlerinin çarpımına eşittir:
Örneğin, 
5. Bölümün derecesi, temettü ve bölenin güçlerinin bölümüne eşittir:
Örneğin, 
Çözüm Alıştırmaları
Bir ifadenin değerini bulun: 
Çözüm:
Bu durumda, tüm derecelerin farklı tabanları olduğundan, doğal üslü bir derecenin hiçbir özelliği açıkça uygulanamaz. Bazı dereceleri farklı bir biçimde yazalım:
(Çarpının derecesi, faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir);
(aynı tabanla kuvvetler çarpıldığında üsler toplanır ve taban aynı kalır; bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır, ancak taban aynı kalır).
Sonra şunu elde ederiz:
Bu örnekte derecenin doğal üslü ilk dört özelliği kullanılmıştır.
Aritmetik karekök
karesi negatif olmayan bir sayıdırA,
. Şu tarihte: 
- ifade tanımlanmadı çünkü karesi negatif bir sayıya eşit olan hiçbir gerçek sayı yokturA.
Matematiksel dikte(8-10 dk.)
Seçenek
II. Seçenek
1. İfadenin değerini bulun
A) 
B) 
1. İfadenin değerini bulun
A) 
B) 
2. Hesapla
A) 
B) 
İÇİNDE) 
2. Hesapla
A) 
B) 
V) 
Kendi kendini test(yaka panosunda):
Yanıt Matrisi:
№ seçenek/görev
Görev 1
Görev 2
seçenek 1
a) 2
2)
a) 0,5
B) 
V) 
seçenek 2
a) 1,5
B)
A) 
B) 
4'te
II.Yeni bilginin oluşumu
İfadenin anlamını düşünün, burada 
- pozitif sayı– kesirli sayı ve m-tamsayı, n-doğal (n>1)
Tanım: a›0 sayısının rasyonel üslü derecesiR = , M-tüm, N- doğal ( N›1) bir numara aranır.
Bu yüzden: 
Örneğin: 
Notlar:
1. Herhangi bir pozitif a ve herhangi bir rasyonel r için sayı 
olumlu.
2. Ne zaman bir sayının rasyonel kuvvetiAtanımlanmamış.
Gibi ifadeler 
mantıklı değil.
3.Eğer 
kesirli pozitif sayı 
.
Eğer kesirli negatif sayı o zaman 
-mantıklı değil.
Örneğin: 
- mantıklı değil.
Rasyonel üssü olan bir derecenin özelliklerini düşünün.
a>0, в>0 olsun; r, s - herhangi biri rasyonel sayılar. O halde herhangi bir rasyonel üssü olan bir derece aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1.
2.
3.
4.
5.
III. Konsolidasyon. Yeni beceri ve yeteneklerin oluşumu.
Görev kartları küçük gruplar halinde test şeklinde çalışır.