التذبذب التوافقي. التذبذبات التوافقية وخصائصها

حركة البندول في الساعات ، الزلزال ، التيار المتردد في دائرة كهربائية، فإن عمليات الإرسال والاستقبال الراديوي عمليات مختلفة تمامًا وغير مرتبطة. لكل منهم أسبابه الخاصة ، لكنهم متحدون بعلامة واحدة - علامة على الطبيعة المشتركة للتغيير. كميات فيزيائيةمتأخر , بعد فوات الوقت. هذه والعديد من العمليات الأخرى ذات الطبيعة الفيزيائية المختلفة ، في كثير من الحالات ، اتضح أنه من المناسب اعتبارها نوعًا خاصًا واحدًا. الظواهر الفيزيائية- تقلبات.

السمة المشتركة للظواهر الفيزيائية ، تسمى التذبذبات ، هي تكرارها في الوقت المناسب. مع طبيعة فيزيائية مختلفة ، تحدث العديد من التذبذبات وفقًا لنفس القوانين ، مما يجعل من الممكن تطبيقها الطرق الشائعةلوصفها وتحليلها.

الاهتزازات التوافقية.من عدد كبيرالتذبذبات المختلفة في الطبيعة والتكنولوجيا ، والتذبذبات التوافقية شائعة بشكل خاص. التذبذبات التوافقية هي تلك التي تحدث وفقًا لقانون جيب التمام أو الجيب:

أين هي القيمة التي تشهد تقلبات ؛ - وقت؛ هي قيمة ثابتة ، سيتم توضيح معناها لاحقًا.

تسمى القيمة القصوى للكمية التي تتغير وفقًا للقانون التوافقي سعة التذبذبات. تسمى حجة جيب التمام أو الجيب للتذبذبات التوافقية مرحلة التذبذب

تسمى مرحلة التذبذب في اللحظة الأولى بالمرحلة الأولية. تحدد المرحلة الأولية قيمة الكمية في اللحظة الأولى من الوقت

تتكرر قيم دالة الجيب أو دالة جيب التمام عندما تتغير حجة الوظيفة إلى ، لذلك ، مع التذبذبات التوافقية ، تتكرر قيم الحجم عندما تتغير مرحلة التذبذب إلى. من ناحية أخرى ، أثناء التذبذب التوافقي ، يجب أن تأخذ الكمية نفس القيم في فترة زمنية تسمى فترة التذبذب T. لذلك ، يحدث تغيير الطور عند

خلال فترة التذبذب T. للحالة عندما نحصل على:

من التعبير (1.2) يتبع ذلك الثابت في المعادلة الاهتزازات التوافقيةهو عدد التذبذبات التي تحدث في الثانية. تسمى القيمة تردد التذبذب الدوري. باستخدام التعبير (1.2) ، يمكن التعبير عن المعادلة (1.1) من حيث التردد أو الفترة T من التذبذبات:

إلى جانب الطريقة التحليلية لوصف التذبذبات التوافقية ، تُستخدم الطرق الرسومية لعرضها على نطاق واسع.

الطريقة الأولى هي ضبط الرسم البياني للتذبذب في نظام الإحداثيات الديكارتية. يتم رسم الوقت I على طول الإحداثي ، ويتم رسم قيمة القيمة المتغيرة على طول الإحداثي.بالنسبة للتذبذبات التوافقية ، يكون هذا الرسم البياني عبارة عن موجة جيبية أو موجة جيب التمام (الشكل 1).

الطريقة الثانية لتمثيل العملية التذبذبية هي الطريقة الطيفية. يتم قياس السعة على طول المحور الإحداثي ، ويتم قياس تردد التذبذبات التوافقية على طول محور الإحداثي. يتم تمثيل العملية التذبذبية التوافقية ذات التردد والسعة في هذه الحالة بواسطة مقطع رأسي بطول مستقيم مرسوم من نقطة ذات إحداثيات على محور الإحداثي (الشكل 2).

الطريقة الثالثة لوصف التذبذبات التوافقية هي طريقة الرسوم البيانية المتجهة. في هذه الطريقة ، يتم استخدام التقنية الرسمية البحتة التالية للعثور في أي وقت على قيمة كمية تتغير وفقًا لقانون توافقي:

دعونا نختار على المستوى محور إحداثيات موجه بشكل عشوائي نحسب على طوله القيمة التي تهمنا.من أصل الإحداثيات على طول المحور ، نرسم معامل متجه يساوي سعة التذبذب التوافقي xm. إذا تخيلنا الآن أن المتجه يدور حول الأصل في مستوى بسرعة زاوية ثابتة c عكس اتجاه عقارب الساعة ، فإن الزاوية a بين المتجه الدوار والمحور في أي وقت يتم تحديدها من خلال التعبير.

لقد درسنا عدة أنظمة مختلفة ماديًا تمامًا ، وتأكدنا من اختزال معادلات الحركة إلى نفس الشكل

تظهر الاختلافات بين الأنظمة المادية نفسها فقط في تعريفات مختلفة للكمية وبمعنى مادي مختلف للمتغير x: يمكن أن يكون إحداثيات ، زاوية ، شحنة ، تيار ، إلخ. لاحظ أنه في هذه الحالة ، كما يلي من بنية المعادلة ذاتها (1.18) ، يكون للكمية دائمًا بُعد معكوس الوقت.

المعادلة (1.18) تصف ما يسمى ب الاهتزازات التوافقية.

معادلة التذبذبات التوافقية (1.18) خطية المعادلة التفاضليةالرتبة الثانية (لأنها تحتوي على المشتق الثاني للمتغير x). خطية المعادلة تعني ذلك

إن وجدت وظيفة س (ر)هو حل لهذه المعادلة ، ثم الدالة Cx (ر)سيكون أيضًا حله ( جثابت تعسفي) ؛

إذا كانت الوظائف × 1 (ر)و × 2 (ر)هي حلول هذه المعادلة ، ثم مجموعها x 1 (t) + x 2 (t)سيكون أيضًا حلاً لنفس المعادلة.

تم أيضًا إثبات النظرية الرياضية ، والتي بموجبها يكون لمعادلة الدرجة الثانية حلين مستقلين. يمكن الحصول على جميع الحلول الأخرى ، وفقًا لخصائص الخطية ، كتركيبات خطية. من السهل التحقق من خلال التفاضل المباشر من أن الوظائف المستقلة وتفي بالمعادلة (1.18). إذن الحل العام لهذه المعادلة هو:

أين C1 ،C2ثوابت اعتباطية. يمكن أيضًا تقديم هذا الحل في شكل آخر. نقدم لكم الكمية

وحدد الزاوية على النحو التالي:

ثم يتم كتابة الحل العام (1.19) كـ

وفقًا لصيغ حساب المثلثات ، يكون التعبير الموجود بين قوسين هو

وصلنا أخيرًا إلى الحل العام لمعادلة التذبذبات التوافقيةمثل:

قيمة غير سالبة أمُسَمًّى سعة التذبذب, - المرحلة الأولية من التذبذب. تسمى حجة جيب التمام بأكملها - المجموعة - مرحلة التذبذب.

التعبيرات (1.19) و (1.23) متكافئة تمامًا ، لذا يمكننا استخدام أي منهما لأسباب تتعلق بالبساطة. كلا الحلين وظائف دورية للوقت. في الواقع ، الجيب وجيب التمام دوريان مع فترة . لذلك ، تتكرر الحالات المختلفة للنظام الذي يؤدي التذبذبات التوافقية بعد فترة من الزمن ر *، حيث تتلقى مرحلة التذبذب زيادة مضاعفة لـ :

ومن ثم يتبع ذلك

أقل هذه الأوقات

مُسَمًّى فترة التذبذب (الشكل 1.8) ، أ - له دائري (دوري) تكرار.

أرز. 1.8

هم أيضا يستخدمون تكرار تردد

وفقًا لذلك ، فإن التردد الدائري يساوي عدد التذبذبات لكل ثواني.

لذا ، إذا كان النظام في وقت رتتميز بقيمة المتغير س (ر) ،إذن ، نفس القيمة ، سيحصل المتغير بعد فترة من الزمن (الشكل 1.9) ، أي

نفس القيمة ، بالطبع ، ستتكرر بعد فترة. 2 ت, ZTإلخ.

أرز. 1.9 فترة التذبذب

الحل العام يتضمن ثابتين تعسفيتين ( ج 1 ، ج 2أو أ, أ) ، يجب تحديد قيمها من خلال اثنين الشروط الأولية. عادة (وإن لم يكن بالضرورة) يتم لعب دورهم من خلال القيم الأولية للمتغير × (0)ومشتقاته.

لنأخذ مثالا. دع حل (1.19) لمعادلة التذبذبات التوافقية يصف حركة البندول الزنبركي. تعتمد قيم الثوابت التعسفية على الطريقة التي أخرجنا بها البندول من التوازن. على سبيل المثال ، سحبنا الزنبرك بعيدًا وأطلقوا الكرة بدون سرعة ابتدائية. في هذه الحالة

أستعاض ر = 0في (1.19) نجد قيمة الثابت من 2

وهكذا يبدو الحل كما يلي:

يتم العثور على سرعة الحمل من خلال التفاضل فيما يتعلق بالوقت

الاستبدال هنا ر = 0 ، أوجد الثابت من 1:

أخيراً

وبالمقارنة بـ (1.23) نجد ذلك هي سعة التذبذب ، ومرحلتها الأولية تساوي الصفر:.

نحن الآن نخرج البندول من التوازن بطريقة أخرى. دعنا نضغط على الحمل ، بحيث يكتسب سرعة أولية ، لكنه لا يتحرك عمليًا أثناء التأثير. ثم لدينا آخرون الشروط الأولية:

حلنا يبدو

ستتغير سرعة الحمل وفقًا للقانون:

لنضعها هنا:

أبسط نوع من الاهتزازات الاهتزازات التوافقية- التقلبات التي يتغير فيها إزاحة نقطة التذبذب من موضع التوازن بمرور الوقت وفقًا لقانون الجيب أو قانون جيب التمام.

لذلك ، مع دوران منتظم للكرة حول المحيط ، يؤدي إسقاطها (الظل في أشعة الضوء المتوازية) حركة تذبذبية توافقية على شاشة عمودية (الشكل 1).

يتم وصف الإزاحة من موضع التوازن أثناء الاهتزازات التوافقية بواسطة معادلة (تسمى القانون الحركي للحركة التوافقية) للشكل:

حيث x - الإزاحة - قيمة تميز موضع نقطة التذبذب في الوقت t بالنسبة إلى موضع التوازن وتقاس بالمسافة من موضع التوازن إلى موضع النقطة في وقت معين ؛ أ - سعة التذبذب - أقصى إزاحة للجسم من وضع التوازن ؛ T - فترة التذبذب - وقت التذبذب الكامل ؛ أولئك. أصغر فترة زمنية تتكرر بعدها قيم الكميات الفيزيائية التي تميز التذبذب ؛ - المرحلة الأولى؛

مرحلة التذبذب في الوقت t. مرحلة التذبذب هي الحجة وظيفة دورية، والتي عند سعة تذبذب معينة تحدد حالة النظام التذبذب (الإزاحة والسرعة والتسارع) للجسم في أي وقت.

إذا تم إزاحة نقطة التذبذب إلى أقصى حد في اللحظة الأولى من موضع التوازن ، عندئذٍ ، يتغير إزاحة النقطة من موضع التوازن وفقًا للقانون

إذا كانت نقطة التذبذب عند في وضع توازن مستقر ، فإن إزاحة النقطة من موضع التوازن يتغير وفقًا للقانون

قيمة V ، والمعاملة بالمثل من الفترة و يساوي الرقمتسمى التذبذبات الكاملة التي يتم إجراؤها في 1 ثانية بتردد التذبذبات:

إذا قام الجسم في الوقت المناسب بإحداث N تذبذبات كاملة ، إذن

القيمة ، الذي يوضح عدد التذبذبات التي يقوم بها الجسم في الصورة التردد الدوري (الدائري).

يمكن كتابة القانون الحركي للحركة التوافقية على النحو التالي:

بيانياً ، يتم تمثيل اعتماد إزاحة نقطة التذبذب في الوقت المناسب بجيب التمام (أو الجيب).

يوضح الشكل 2 ، أ الاعتماد الزمني لإزاحة نقطة التذبذب من موضع التوازن للحالة.

دعونا نكتشف كيف تتغير سرعة نقطة التذبذب مع مرور الوقت. للقيام بذلك ، نجد مشتق الوقت لهذا التعبير:

أين سعة إسقاط السرعة على المحور x.

توضح هذه الصيغة أنه أثناء التذبذبات التوافقية ، يتغير إسقاط سرعة الجسم على المحور x أيضًا وفقًا للقانون التوافقي بنفس التردد ، وبسعة مختلفة ، وقبل مرحلة الخلط (الشكل 2 ، ب) .

لمعرفة اعتماد التسارع ، نجد المشتق الزمني لإسقاط السرعة:

أين هي سعة إسقاط التسارع على المحور السيني.

بالنسبة للتذبذبات التوافقية ، يؤدي إسقاط التسارع إلى تحول الطور بمقدار k (الشكل 2 ، ج).

وبالمثل ، يمكنك بناء الرسوم البيانية التبعية

بالنظر إلى ذلك ، يمكن كتابة معادلة التسارع

أولئك. بالنسبة إلى التذبذبات التوافقية ، فإن إسقاط التسارع يتناسب طرديًا مع الإزاحة والعكس في الإشارة ، أي يتم توجيه التسارع في الاتجاه المعاكس للإزاحة.

لذلك ، فإن الإسقاط المتسارع هو المشتق الثاني للإزاحة ، ومن ثم يمكن كتابة النسبة الناتجة على النحو التالي:

يسمى المساواة الأخيرة معادلة التذبذبات التوافقية.

يسمى النظام المادي الذي يمكن أن توجد فيه التذبذبات التوافقية هزاز توافقيومعادلة التذبذبات التوافقية - معادلة المذبذب التوافقي.

التغييرات في الوقت وفقًا لقانون الجيب:

أين X- قيمة الكمية المتقلبة في الوقت الحالي ر, أ- السعة ، ω - تردد دائري ، φ هي المرحلة الأولية من التذبذبات ، ( φt + φ ) هي المرحلة الكلية للتذبذبات. في نفس الوقت ، القيم أ, ω و φ - دائم.

للاهتزازات الميكانيكية ذات القيمة المتذبذبة Xهي ، على وجه الخصوص ، الإزاحة والسرعة للتذبذبات الكهربائية - الجهد وقوة التيار.

تحتل التذبذبات التوافقية مكانًا خاصًا بين جميع أنواع التذبذبات ، حيث أن هذا هو النوع الوحيد من التذبذب الذي لا يتشوه شكله عند المرور عبر أي وسيط متجانس ، أي أن الموجات التي تنتشر من مصدر التذبذبات التوافقية ستكون أيضًا متناسقة. يمكن تمثيل أي اهتزاز غير متناسق كمجموع (متكامل) من الاهتزازات التوافقية المختلفة (في شكل طيف من الاهتزازات التوافقية).

تحولات الطاقة أثناء الاهتزازات التوافقية.

في عملية التذبذبات ، هناك انتقال للطاقة الكامنة Wpفي حركية أسبوعوالعكس صحيح. في موضع الانحراف الأقصى عن وضع التوازن ، تكون الطاقة الكامنة القصوى ، والطاقة الحركية هي صفر. عندما نعود إلى وضع التوازن ، تزداد سرعة الجسم المتذبذب ، ومعها تزداد الطاقة الحركية أيضًا ، لتصل إلى الحد الأقصى في وضع التوازن. ثم تنخفض الطاقة الكامنة إلى الصفر. تحدث حركة الرقبة الإضافية مع انخفاض في السرعة ، والتي تنخفض إلى الصفر عندما يصل الانحراف إلى الحد الأقصى الثاني. تزداد الطاقة الكامنة هنا إلى قيمتها الأولية (القصوى) (في غياب الاحتكاك). وبالتالي ، تحدث تذبذبات الطاقات الحركية والطاقات المحتملة بتردد مزدوج (مقارنة بتذبذبات البندول نفسه) وتكون في الطور المضاد (أي أن هناك تحول طور بينهما يساوي π ). إجمالي طاقة الاهتزاز دبليولا يزال دون تغيير. بالنسبة لجسم يتأرجح تحت تأثير قوة مرنة ، فإنه يساوي:

أين الخامس م — السرعة القصوىالجسم (في وضع التوازن) ، س م = أ- السعة.

بسبب وجود الاحتكاك ومقاومة الوسط ، تتلاشى التذبذبات الحرة: تتناقص طاقتها وسعتها بمرور الوقت. لذلك ، في الممارسة العملية ، يتم استخدام التذبذبات غير المجانية ، ولكن الإجبارية في كثير من الأحيان.

هذا هو التذبذب الدوري ، حيث يتغير الإحداثيات والسرعة والتسارع وتمييز الحركة وفقًا لقانون الجيب أو قانون جيب التمام. تحدد معادلة التذبذب التوافقي اعتماد تنسيق الجسم في الوقت المناسب

الرسم البياني لجيب التمام له قيمة قصوى في اللحظة الأولى ، والرسم البياني الجيب له قيمة صفرية في اللحظة الأولى. إذا بدأنا في التحقيق في التذبذب من وضع التوازن ، فإن التذبذب سوف يكرر الجيوب الأنفية. إذا بدأنا في النظر في التذبذب من موضع الانحراف الأقصى ، فإن التذبذب سيصف جيب التمام. أو يمكن وصف هذا التذبذب بصيغة الجيب بمرحلة أولية.

البندول الرياضي

تذبذبات البندول الرياضي.
البندول الرياضي هي نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن غير مرن (نموذج فيزيائي).
سننظر في حركة البندول بشرط أن تكون زاوية الانحراف صغيرة ، ثم إذا قمنا بقياس الزاوية بالراديان ، فإن العبارة صحيحة:.
تؤثر قوة الجاذبية وتوتر الخيط على الجسم. ينتج عن هذه القوى مكونان: أحدهما عرضي يغير التسارع في الحجم ، والآخر طبيعي يغير التسارع في الاتجاه (تسارع الجاذبية ، يتحرك الجسم في قوس).
لأن الزاوية صغيرة ، ثم المكون المماسي يساوي إسقاط الجاذبية على مماس المسار:. الزاوية بالتقدير الدائري تساوي نسبة طول القوس إلى نصف القطر (طول الشعيرة) ، وطول القوس يساوي تقريبًا الإزاحة ( x ≈ الصورة): .
دعونا نقارن المعادلة الناتجة مع معادلة الحركة التذبذبية. يمكن ملاحظة ذلك أو أنه تردد دوري أثناء تذبذبات البندول الرياضي.
فترة التذبذب أو (صيغة جاليليو).	صيغة جاليليو
الاستنتاج الأهم: أن فترة تذبذب البندول الرياضي لا تعتمد على كتلة الجسم!
يمكن إجراء حسابات مماثلة باستخدام قانون الحفاظ على الطاقة. نأخذ في الاعتبار أن الطاقة الكامنة للجسم في مجال الجاذبية تساوي ، وأن إجمالي الطاقة الميكانيكية يساوي أقصى جهد أو حركية:
دعنا نكتب قانون حفظ الطاقة ونأخذ مشتق الجزأين الأيمن والأيسر من المعادلة:. لأن إذن ، مشتق قيمة ثابتة يساوي صفرًا. مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات: و.
لذلك: ما يعني.

معادلة الغاز المثالية للدولة (معادلة مندليف - كلابيرون).
معادلة الحالة هي معادلة تربط معلمات النظام المادي وتحدد حالته بشكل فريد. في عام 1834 قام الفيزيائي الفرنسي كلابيروناشتق ، الذي عمل لفترة طويلة في سانت بطرسبرغ ، معادلة الحالة للغاز المثالي لكتلة ثابتة من الغاز. في عام 1874 دي آي مينديليفاشتق معادلة لعدد عشوائي من الجزيئات.
في MKT والديناميكا الحرارية للغاز المثالي ، تكون المعلمات العيانية: p ، V ، T ، m. نحن نعرف ذلك . لذلك،. بشرط ، نحن نحصل:.
حاصل ضرب القيم الثابتة هو قيمة ثابتة ، لذلك: - ثابت غاز عالمي (عالمي ، لأنه هو نفسه بالنسبة لجميع الغازات).
وهكذا لدينا: معادلة الحالة (معادلة مندليف - كلابيرون).
أشكال أخرى لكتابة معادلة حالة الغاز المثالي.
1. معادلة 1 مول من مادة. إذا كان n \ u003d 1 مول ، إذن ، للدلالة على حجم مول واحد V م ، نحصل على :. ل الظروف الطبيعيةنحن نحصل:
2. اكتب المعادلة من حيث الكثافة: - تعتمد الكثافة على درجة الحرارة والضغط!
3. معادلة كلابيرون. غالبًا ما يكون من الضروري التحقيق في الموقف عندما تتغير حالة الغاز بكميته الثابتة (m = const) وفي حالة عدم وجود تفاعلات كيميائية (M = const). هذا يعني أن كمية المادة n = const. ثم:
هذا الدخول يعني ذلك لكتلة معينة من غاز معينالمساواة صحيحة:
بالنسبة للكتلة الثابتة للغاز المثالي ، تكون نسبة ناتج الضغط والحجم إلى درجة الحرارة المطلقة في حالة معينة هي قيمة ثابتة:.
قوانين الغاز.
1. قانون أفوجادرو. بأحجام متساوية من غازات مختلفة في نفس الوقت الظروف الخارجيةهناك نفس عدد الجزيئات (الذرات). الشرط: V 1 = V 2 =… = V n ؛ ص 1 \ u003d ص 2 \ u003d ... \ u003d ص ن ؛ T 1 \ u003d T 2 \ u003d ... \ u003d T n
دليل: لذلك ، في ظل نفس الظروف (الضغط والحجم ودرجة الحرارة) ، لا يعتمد عدد الجزيئات على طبيعة الغاز وهو نفسه.
2. قانون دالتون. ضغط خليط الغازات يساوي مجموع الضغوط الجزئية (الخاصة) لكل غاز. يثبت: p = p 1 + p 2 +… + p n دليل:
3. قانون باسكال. ينتقل الضغط الناتج على سائل أو غاز في جميع الاتجاهات دون تغيير.

معادلة الحالة للغاز المثالي. قوانين الغاز.

عدد درجات الحرية: هذا هو عدد المتغيرات المستقلة (الإحداثيات) التي تحدد تمامًا موضع النظام في الفضاء. في بعض المشكلات ، يُعتبر جزيء الغاز أحادي الذرة (الشكل 1 ، أ) نقطة مادية ، تُعطى ثلاث درجات من حرية الحركة الانتقالية. هذا لا يأخذ في الاعتبار طاقة الحركة الدورانية. في الميكانيكا ، يعتبر جزيء الغاز ثنائي الذرة في التقريب الأول مجموعة من نقطتين مادتين متصلتين بشكل صارم برابطة غير قابلة للتشوه (الشكل 1 ، ب). هذا النظامبالإضافة إلى ثلاث درجات من حرية الحركة متعدية ، لديها درجتان إضافيتان من حرية الحركة الدورانية. الدوران حول المحور الثالث الذي يمر عبر كلتا الذرتين لا معنى له. هذا يعني أن للغاز ثنائي الذرة خمس درجات من الحرية ( أنا= 5). يمتلك الجزيء ثلاثي الذرات (الشكل 1 ، ج) والجزيء غير الخطي متعدد الذرات ست درجات من الحرية: ثلاث انتقالية وثلاث درجات دوران. من الطبيعي أن نفترض أنه لا توجد رابطة صلبة بين الذرات. لذلك ، بالنسبة للجزيئات الحقيقية ، من الضروري أيضًا مراعاة درجات حرية الحركة الاهتزازية.

لأي عدد من درجات الحرية لجزيء معين ، تكون درجات الحرية الثلاث دائمًا متعدية. لا تتمتع أي من درجات الحرية الانتقالية بميزة على غيرها ، مما يعني أن كل منها لديه في المتوسط ​​نفس الطاقة التي تساوي 1/3 من القيمة<ε 0 >(طاقة الحركة الانتقالية للجزيئات): في الفيزياء الإحصائية ، قانون بولتزمان حول التوزيع المنتظم للطاقة على درجات حرية الجزيئات: بالنسبة للنظام الإحصائي الذي يكون في حالة توازن ديناميكي حراري ، فإن كل درجة انتقالية ودورانية من الحرية لها متوسط ​​طاقة حركية يساوي kT / 2 ، ولكل درجة اهتزازية من الحرية متوسط ​​طاقة يساوي kT. درجة الذبذبات لديها ضعف الطاقة ، لأن إنها تمثل كل من الطاقة الحركية (كما في حالة الحركات الانتقالية والدورانية) والطاقة الكامنة ، والقيم المتوسطة للطاقة المحتملة والطاقة الحركية هي نفسها. إذن متوسط ​​طاقة الجزيء أين أنا- مجموع عدد متعدية ، عدد الدوران في ضعف عدد درجات الحرية الاهتزازية للجزيء: أنا=أناآخر + أناتناوب +2 أناالاهتزازات في النظرية الكلاسيكية تعتبر الجزيئات برابطة صلبة بين الذرات. بالنسبة لهم أنايتزامن مع عدد درجات الحرية للجزيء. نظرًا لأن الطاقة الكامنة المتبادلة للتفاعل بين الجزيئات في الغاز المثالي تساوي صفرًا (لا تتفاعل الجزيئات مع بعضها البعض) ، فإن الطاقة الداخلية لمول واحد من الغاز ستكون مساوية لمجموع الطاقات الحركية N A للجزيئات: (1) الطاقة الداخلية لكتلة عشوائية م من الغاز. أين م - الكتلة المولية, ν - كمية المادة.