تسمى الوظيفة زوجية (فردية) إذا كانت لأية والمساواة 
.
الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور 
.
الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل.
مثال 6.2. فحص ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية
1)
;
2)
;
3)
.
حل.
1) يتم تعريف الوظيفة متى 
. سوف نجد 
.
أولئك. 
. هذا يعني أن هذه الوظيفة متساوية.
2) يتم تعريف الوظيفة متى 
أولئك. 
. وبالتالي فإن هذه الوظيفة غريبة.
3) يتم تعريف الوظيفة لـ، على سبيل المثال. ل
,
. وبالتالي فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية. دعنا نسميها وظيفة الشكل العام.
وظيفة 
يُطلق عليه زيادة (تناقص) في فترة زمنية معينة إذا كانت كل قيمة أكبر للوسيطة في هذا الفاصل تتوافق مع قيمة أكبر (أصغر) للدالة.
تسمى الوظائف المتزايدة (المتناقصة) خلال فترة زمنية معينة بالرتيبة.
إذا كانت الوظيفة 
قابلة للتمييز على الفاصل الزمني 
ولها مشتق إيجابي (سلبي). 
، ثم الدالة 
يزيد (ينقص) خلال هذه الفترة.
مثال 6.3. العثور على فترات من رتابة الوظائف
1)
;
3)
.
حل.
1) تم تعريف هذه الدالة على خط الأعداد بأكمله. دعونا نجد المشتقة.
المشتقة تساوي صفر إذا 
و 
. مجال التعريف هو محور العدد مقسومًا على النقاط 
,
على فترات. دعونا نحدد إشارة المشتقة في كل فترة.
في الفاصل 
المشتقة سالبة، والدالة تتناقص في هذه الفترة.
في الفاصل 
المشتقة موجبة، وبالتالي تزيد الدالة خلال هذه الفترة.
2) يتم تعريف هذه الوظيفة إذا 
أو
.
ونحدد إشارة ثلاثية الحدود التربيعية في كل فترة.
وبالتالي، مجال تعريف الوظيفة
دعونا نجد المشتقة 
,
، لو 
، أي. 
، لكن 
. دعونا نحدد إشارة المشتقة في الفترات 
.
في الفاصل 
المشتقة سالبة، وبالتالي تتناقص الدالة على الفترة 
. في الفاصل 
المشتقة موجبة، وتزداد الدالة خلال الفترة 
.
نقطة 
تسمى النقطة القصوى (الدنيا) للدالة 
، إذا كان هناك مثل هذا الحي للنقطة 
هذا للجميع 
من هذا الحي يستمر عدم المساواة 
.
تسمى النقاط القصوى والدنيا للدالة بالنقاط القصوى.
إذا كانت الوظيفة 
عند هذه النقطة 
لها حد أقصى، فإن مشتقة الدالة عند هذه النقطة تساوي صفرًا أو غير موجودة (شرط ضروري لوجود حد أقصى).
تسمى النقاط التي يكون فيها المشتق صفرًا أو غير موجود حرجة.
5. الشروط الكافية لوجود الحد الأقصى.المادة 1. إذا كان أثناء الانتقال (من اليسار إلى اليمين) من خلال النقطة الحرجة 
المشتق 
تغير الإشارة من "+" إلى "-"، ثم عند هذه النقطة 
وظيفة 
لديه الحد الأقصى. إذا كان من "-" إلى "+"، فإن الحد الأدنى؛ لو 
لا يتغير التوقيع، ثم لا يوجد أقصى.
القاعدة 2. اسمحوا عند هذه النقطة 
المشتقة الأولى للدالة 
يساوي الصفر 
والمشتق الثاني موجود ويختلف عن الصفر. لو 
، الذي - التي 
- النقطة القصوى، إذا 
، الذي - التي 
- النقطة الدنيا للوظيفة.
مثال 6.4. استكشاف الحد الأقصى والحد الأدنى من الوظائف:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
حل.
1) الوظيفة محددة ومستمرة على الفاصل الزمني 
.
دعونا نجد المشتقة 
وحل المعادلة 
، أي. 
.من هنا 
- نقاط حرجة.
دعونا نحدد علامة المشتقة في الفترات، 
.
عند المرور عبر النقاط 
و 
تشير التغييرات المشتقة من "-" إلى "+"، وبالتالي وفقًا للقاعدة 1 
- الحد الأدنى من النقاط.
عند المرور عبر نقطة ما 
علامة التغييرات المشتقة من "+" إلى "-"، لذلك 
- النقطة القصوى.
,
.
2) الوظيفة محددة ومستمرة في الفترة 
. دعونا نجد المشتقة 
.
بعد أن حل المعادلة 
، سوف نجد 
و 
- نقاط حرجة. إذا كان القاسم 
، أي. 
، إذن المشتق غير موجود. لذا، 
- النقطة الحرجة الثالثة. دعونا نحدد إشارة المشتقة على فترات.
ولذلك، فإن الدالة لها قيمة دنيا عند هذه النقطة 
، الحد الأقصى بالنقاط 
و 
.
3) يتم تعريف الدالة ومستمرة إذا 
، أي. في 
.
دعونا نجد المشتقة 
.
دعونا نجد النقاط الحرجة: 
أحياء النقاط 
لا تنتمي إلى مجال التعريف، وبالتالي فهي ليست متطرفة. لذا، دعونا نتفحص النقاط الحرجة 
و 
.
4) يتم تعريف الوظيفة ومستمرة على الفاصل الزمني 
. دعونا نستخدم القاعدة 2. أوجد المشتقة 
.
دعونا نجد النقاط الحرجة:
دعونا نجد المشتق الثاني 
وتحديد علامتها عند النقاط 
في نقاط 
وظيفة لديها الحد الأدنى.
في نقاط 
الدالة لديها الحد الأقصى.
تعريف 1. يتم استدعاء الدالة حتى(غريب)، إذا كان مع كل قيمة متغيرة 
معنى - Xينتمي أيضا 
والمساواة قائمة
وبالتالي، يمكن أن تكون الدالة زوجية أو فردية فقط إذا كان مجال تعريفها متماثلًا حول أصل الإحداثيات على خط الأعداد (الرقم Xو - Xتنتمي في نفس الوقت 
). على سبيل المثال، الدالة 
ليست زوجية ولا فردية، لأن مجال تعريفها 
غير متناظرة حول الأصل.
وظيفة 
حتى بسبب 
متناظرة حول الأصل و.
وظيفة 
غريب، لأن 
و 
.
وظيفة 
ليس حتى وغريبا، لأنه على الرغم من 
ومتناظر بالنسبة للأصل، فالمساواة (11.1) غير راضية. على سبيل المثال،.
الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور الوحدة التنظيمية، لأنه إذا كانت هذه النقطة 
ينتمي أيضًا إلى الجدول الزمني. الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل، حيث إن if 
ينتمي إلى الرسم البياني، ثم هذه النقطة 
ينتمي أيضًا إلى الجدول الزمني.
عند إثبات ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية، تكون العبارات التالية مفيدة.
نظرية 1. أ) مجموع دالتين زوجيتين (فرديتين) هو دالة زوجية (فردية).
ب) حاصل ضرب دالتين زوجيتين (فرديتين) هو دالة زوجية.
ج) حاصل ضرب الدالة الزوجية والفردية هو دالة فردية.
د) إذا F- حتى تعمل على المجموعة X، والوظيفة ز
محددة على المجموعة 
، ثم الدالة 
- حتى.
د) إذا F- وظيفة غريبة على المجموعة X، والوظيفة ز
محددة على المجموعة 
وحتى (فردي)، ثم الوظيفة 
- حتى (غريب).
دليل. دعونا نثبت، على سبيل المثال، ب) و د).
ب) دع 
و 
- حتى الوظائف. إذن إذن. يتم التعامل مع حالة الوظائف الفردية بالمثل 
و 
.
د) دع F هي وظيفة حتى. ثم.
يمكن إثبات العبارات المتبقية من النظرية بطريقة مماثلة. لقد تم إثبات النظرية.
نظرية 2. أي وظيفة 
، محددة على المجموعة X، متناظرة حول الأصل، ويمكن تمثيلها كمجموع من الدوال الزوجية والفردية.
دليل. وظيفة 
يمكن كتابتها في النموذج
.
وظيفة 
- حتى بسبب 
، والوظيفة 
– غريب، لأنه. هكذا، 
، أين 
– حتى و 
- وظائف غريبة. لقد تم إثبات النظرية.
تعريف 2. الوظيفة 
مُسَمًّى دورية، إذا كان هناك رقم 
، بحيث لأي 
أعداد 
و 
تنتمي أيضًا إلى مجال التعريف 
والمساواة راضية
مثل هذا العدد تمُسَمًّى فترةالمهام 
.
من التعريف 1 يتبع أنه إذا ت- فترة الوظيفة 
ثم الرقم - تنفس
هي فترة الوظيفة
(منذ عند استبدال تعلى - تيتم الحفاظ على المساواة). باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي يمكن إثبات أنه إذا ت- فترة الوظيفة F، ثم 
، وهي أيضًا فترة. ويترتب على ذلك أنه إذا كانت الدالة لها فترة، فهي تحتوي على عدد لا نهائي من الفترات.
تعريف 3. أصغر الفترات الإيجابية للدالة تسمى لها رئيسيفترة.
نظرية 3. إذا ت– الفترة الرئيسية للوظيفة F، فالفترات الباقية مضاعفاته.
دليل. ولنفترض العكس، أي أن هناك فترة 
المهام F
(
>0)، وليس متعددًا ت. ثم التقسيم 
على توالباقي نحصل عليه 
، أين 
. لهذا
إنه 
- فترة الوظيفة F، و 
، وهذا يناقض حقيقة ذلك ت– الفترة الرئيسية للوظيفة F. بيان النظرية يتبع من التناقض الناتج. لقد تم إثبات النظرية.
ومن المعروف أن الدوال المثلثية دورية. الفترة الرئيسية 
و 
يساوي 
,
و 
. دعونا نجد فترة الدالة 
. يترك 
- فترة هذه الوظيفة. ثم
(لأن 
.
او او 
.
معنى ت، محددة من المساواة الأولى، لا يمكن أن تكون فترة، لأنها تعتمد على X، أي. هي وظيفة X، وليس عددا ثابتا. وتتحدد المدة من المساواة الثانية: 
. هناك فترات عديدة لا حصر لها، مع 
يتم الحصول على أصغر فترة إيجابية في 
:
. هذه هي الفترة الرئيسية للوظيفة 
.
مثال على دالة دورية أكثر تعقيدًا هي دالة ديريشليت
لاحظ أنه إذا تهو عدد نسبي، إذن 
و 
هي أرقام عقلانية لعقلانية Xوغير عقلاني عندما يكون غير عقلاني X. لهذا
لأي عدد منطقي ت. ولذلك، أي عدد الرشيد تهي فترة وظيفة Dirichlet. ومن الواضح أن هذه الوظيفة ليس لها فترة رئيسية، إذ توجد فترات إيجابية أرقام نسبية، قريب بشكل تعسفي من الصفر (على سبيل المثال، يمكن اختيار رقم منطقي نقريبة بشكل تعسفي من الصفر).
نظرية 4. إذا كانت الوظيفة F
المحددة على المجموعة Xولها فترة ت، والوظيفة ز
المحددة على المجموعة 
ثم وظيفة معقدة 
لديها أيضا فترة ت.
دليل. لدينا، لذلك
أي أن بيان النظرية قد تم إثباته.
على سبيل المثال، منذ كوس
س
لديه فترة 
ثم الوظائف 
لديك فترة 
.
تعريف 4. يتم استدعاء الوظائف غير الدورية غير دورية.
كيفية الإدراج الصيغ الرياضيةإلى الموقع؟
إذا كنت بحاجة إلى إضافة واحدة أو اثنتين من الصيغ الرياضية إلى صفحة ويب، فإن أسهل طريقة للقيام بذلك هي كما هو موضح في المقالة: يتم إدراج الصيغ الرياضية بسهولة على الموقع في شكل صور يتم إنشاؤها تلقائيًا بواسطة Wolfram Alpha . بالإضافة إلى البساطة، ستساعد هذه الطريقة العالمية في تحسين ظهور الموقع في محركات البحث. لقد كان يعمل لفترة طويلة (وأعتقد أنه سيعمل إلى الأبد)، لكنه عفا عليه الزمن بالفعل من الناحية الأخلاقية.
إذا كنت تستخدم الصيغ الرياضية بانتظام على موقعك، فإنني أوصيك باستخدام MathJax - وهي مكتبة JavaScript خاصة تعرض الرموز الرياضية في متصفحات الويب باستخدام علامات MathML أو LaTeX أو ASCIMathML.
هناك طريقتان لبدء استخدام MathJax: (1) باستخدام رمز بسيط، يمكنك توصيل البرنامج النصي MathJax بسرعة بموقعك على الويب، والذي سيتم تحميله تلقائيًا من خادم بعيد في الوقت المناسب (قائمة الخوادم)؛ (2) قم بتنزيل البرنامج النصي MathJax من خادم بعيد إلى الخادم الخاص بك وقم بتوصيله بجميع صفحات موقعك. الطريقة الثانية - الأكثر تعقيدًا وتستغرق وقتًا طويلاً - ستعمل على تسريع تحميل صفحات موقعك، وإذا أصبح خادم MathJax الأصلي غير متاح مؤقتًا لسبب ما، فلن يؤثر ذلك على موقعك بأي شكل من الأشكال. ورغم هذه المزايا إلا أنني اخترت الطريقة الأولى لأنها أبسط وأسرع ولا تتطلب مهارات فنية. اتبع مثالي، وفي 5 دقائق فقط ستتمكن من استخدام جميع ميزات MathJax على موقعك.
يمكنك توصيل البرنامج النصي لمكتبة MathJax من خادم بعيد باستخدام خيارين للتعليمات البرمجية مأخوذة من موقع MathJax الرئيسي أو من صفحة الوثائق:
يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقها في التعليمات البرمجية لصفحة الويب الخاصة بك، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات و/أو بعد العلامة مباشرة. وفقًا للخيار الأول، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويبطئ الصفحة بشكل أقل. لكن الخيار الثاني يقوم تلقائيًا بمراقبة وتحميل أحدث إصدارات MathJax. إذا قمت بإدراج الرمز الأول، فسوف تحتاج إلى تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بإدخال الكود الثاني، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.
أسهل طريقة للاتصال بـ MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة تحكم الموقع، أضف أداة مصممة لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التنزيل الموضح أعلاه، ثم ضع الأداة في مكان أقرب إلى بداية القالب (بالمناسبة، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على بناء الجملة الترميزي لـ MathML، وLaTeX، وASCIIMathML، وستكون جاهزًا لإدراج الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بموقعك.
يتم إنشاء أي فراكتل وفقًا لقاعدة معينة، والتي يتم تطبيقها باستمرار لعدد غير محدود من المرات. كل مرة من هذا القبيل تسمى التكرار.
الخوارزمية التكرارية لبناء إسفنجة Menger بسيطة للغاية: يتم تقسيم المكعب الأصلي ذو الجانب 1 بواسطة مستويات موازية لوجهه إلى 27 مكعبًا متساويًا. تتم إزالة مكعب مركزي واحد و 6 مكعبات مجاورة له على طول الوجوه. والنتيجة هي مجموعة تتكون من المكعبات العشرين الأصغر المتبقية. وبفعل الشيء نفسه مع كل مكعب من هذه المكعبات، نحصل على مجموعة مكونة من 400 مكعب أصغر. مواصلة هذه العملية إلى ما لا نهاية، نحصل على اسفنجة Menger.
دراسة الوظيفة.
1) D(y) - مجال التعريف: مجموعة كل قيم المتغير x. التي تكون فيها التعبيرات الجبرية f(x) وg(x) منطقية.
إذا تم إعطاء دالة بواسطة صيغة، فإن مجال التعريف يتكون من جميع قيم المتغير المستقل الذي تكون الصيغة منطقية له.
2) خصائص الدالة: زوجي/فردي، الدورية:
تسمى الوظائف التي تكون رسومها البيانية متناظرة فيما يتعلق بالتغيرات في إشارة الوسيطة بالفردية والزوجية.
الدالة الفردية هي دالة تغير قيمتها إلى العكس عندما تتغير إشارة المتغير المستقل (متناظرة بالنسبة لمركز الإحداثيات).
الدالة الزوجية هي دالة لا تغير قيمتها عندما تتغير إشارة المتغير المستقل (متناظرة حول الإحداثي).
لا وظيفة زوجية ولا فردية (function منظر عام) هي دالة ليس لها تماثل. تتضمن هذه الفئة وظائف لا تندرج ضمن الفئتين السابقتين.
يتم استدعاء الوظائف التي لا تنتمي إلى أي من الفئات المذكورة أعلاه لا حتى ولا غريب(أو الوظائف العامة).
وظائف غريبة
القوة الفردية حيث يوجد عدد صحيح تعسفي.
حتى الوظائف
حتى القوة حيث هو عدد صحيح تعسفي.
الدالة الدورية هي دالة تكرر قيمها بعد فترة منتظمة معينة من الوسيطة، أي أنها لا تغير قيمتها عند إضافة بعض الأرقام الثابتة غير الصفرية (فترة الدالة) إلى الوسيطة طوال الفترة بأكملها مجال التعريف.
3) أصفار (جذور) الدالة هي النقاط التي تصبح فيها صفرًا.
العثور على نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور أوي. للقيام بذلك تحتاج إلى حساب القيمة F(0). أوجد أيضًا نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ثورلماذا تجد جذور المعادلة F(س) = 0 (أو تأكد من عدم وجود جذور).
تسمى النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور أصفار الدالة. للعثور على أصفار دالة، عليك حل المعادلة، أي العثور على قيم "x" التي تصبح عندها الدالة صفرًا.
4) فترات ثبات العلامات والعلامات فيها.
الفترات التي تحافظ فيها الدالة f(x) على الإشارة.
الفاصل الزمني ذو الإشارة الثابتة هو الفاصل الزمني عند كل نقطة تكون الدالة فيها موجبة أو سالبة.
فوق المحور السيني.
أسفل المحور.
5) الاستمرارية (نقاط الانقطاع، طبيعة الانقطاع، الخطوط المقاربة).
الدالة المستمرة هي دالة بدون "قفزات"، أي دالة تؤدي فيها التغييرات الصغيرة في الوسيطة إلى تغييرات صغيرة في قيمة الدالة.
نقاط الاستراحة القابلة للإزالةإذا كان الحد من الدالة موجودولكن لم يتم تعريف الدالة عند هذه النقطة، أو أن الحد لا يتطابق مع قيمة الدالة عند هذه النقطة:
,
ثم يتم استدعاء النقطة نقطة انقطاع قابلة للإزالةوظائف (في التحليل المعقد، نقطة مفردة قابلة للإزالة).
إذا قمنا "بتصحيح" الوظيفة عند نقطة الانقطاع القابل للإزالة ووضعنا 
ثم نحصل على دالة مستمرة عند نقطة معينة. تسمى هذه العملية على دالة تمديد الوظيفة إلى المستمرأو إعادة تعريف الوظيفة بالاستمرارية، وهو ما يبرر اسم النقطة كنقطة قابل للإزالةتمزق.
نقاط الانقطاع من النوع الأول والثاني
إذا كانت الدالة لها انقطاع عند نقطة معينة (أي أن نهاية الدالة عند نقطة معينة غائبة أو لا تتطابق مع قيمة الدالة عند نقطة معينة)، فبالنسبة للدوال العددية هناك خياران محتملان المرتبطة بوجود وظائف عددية الحدود الأحادية:
إذا كانت النهايات من جانب واحد موجودة ومحدودة، فإن هذه النقطة تسمى نقطة انقطاع من النوع الأول. نقاط الانقطاع القابلة للإزالة هي نقاط انقطاع من النوع الأول؛
إذا كانت إحدى النهايات أحادية الجانب على الأقل غير موجودة أو ليست قيمة منتهية، فإن هذه النقطة تسمى نقطة انقطاع من النوع الثاني.
الخط المقارب - مستقيم، والتي لها خاصية المسافة من نقطة على المنحنى إلى هذه النقطة مستقيميميل إلى الصفر حيث تتحرك النقطة بعيدًا على طول الفرع إلى ما لا نهاية.
رَأسِيّ
الخط المقارب العمودي - خط النهاية 
.
كقاعدة عامة، عند تحديد الخط المقارب العمودي، لا يبحثون عن حد واحد، بل عن حدين من جانب واحد (يسار ويمين). يتم ذلك لتحديد كيفية تصرف الوظيفة عند اقترابها من الخط المقارب الرأسي من اتجاهات مختلفة. على سبيل المثال:
أفقيالخط المقارب الأفقي - مستقيمالأنواع، رهنا بوجودها حد
.
الخط المقارب - مستقيمالأنواع، رهنا بوجودها حدود
ملحوظة: لا يمكن أن تحتوي الدالة على أكثر من خطين مقاربين مائلين (أفقيين).
ملحوظة: إذا كان أحد الحدين المذكورين أعلاه على الأقل غير موجود (أو يساوي )، فإن الخط المقارب المائل عند (أو ) غير موجود.
إذا كان في البند 2.)، ثم، وتم العثور على النهاية باستخدام صيغة الخط المقارب الأفقي، 
.
6) إيجاد فترات الرتابة. العثور على فترات الرتابة من وظيفة F(س)(أي فترات الزيادة والنقصان). يتم ذلك عن طريق فحص إشارة المشتقة F(س). للقيام بذلك، ابحث عن المشتقة F(س) وحل عدم المساواة F(س)0. على الفترات التي تستمر فيها هذه المتباينة، تكون الدالة F(س)يزيد. حيث يحمل عدم المساواة العكسية F(س)0، وظيفة F(س) آخذ في التناقص.
العثور على الحد الأقصى المحلي. بعد العثور على فترات الرتابة، يمكننا على الفور تحديد النقاط القصوى المحلية، حيث يتم استبدال الزيادة بانخفاض، وتقع الحدود القصوى المحلية، وحيث يتم استبدال النقصان بزيادة، وتقع الحدود الدنيا المحلية. احسب قيمة الدالة عند هذه النقاط. إذا كانت الدالة تحتوي على نقاط حرجة ليست نقاطًا متطرفة محلية، فمن المفيد حساب قيمة الدالة عند هذه النقاط أيضًا.
إيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة y = f(x) على قطعة (تابع)
|
1. أوجد مشتقة الدالة: F(س). 2. أوجد النقاط التي يكون عندها المشتق صفراً: F(س)=0س 1, س 2 ,... 3. تحديد انتماء النقاط X 1 ,X 2 , … شريحة [ أ; ب]: يترك س 1أ;ب، أ س 2أ;ب . |
حتى لو كان ما يلي صحيحًا لجميع \(x\) من مجال التعريف الخاص به: \(f(-x)=f(x)\) .
الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور \(y\):
مثال: الدالة \(f(x)=x^2+\cos x\) زوجية، لأن \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) تسمى الدالة \(f(x)\) غريبة إذا كان ما يلي صحيحًا لجميع \(x\) من مجال التعريف الخاص بها: \(f(-x)=-f(x) \) .
الرسم البياني للدالة الفردية متماثل حول الأصل:
مثال: الدالة \(f(x)=x^3+x\) فردية لأن \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) تسمى الوظائف غير الزوجية أو الفردية بالدوال ذات الشكل العام. يمكن دائمًا تمثيل مثل هذه الدالة بشكل فريد كمجموع دالة زوجية وفردية.
على سبيل المثال، الدالة \(f(x)=x^2-x\) هي مجموع الدالة الزوجية \(f_1=x^2\) والدالة الفردية \(f_2=-x\) .
\(\المثلث الأسود\) بعض الخصائص:
1) حاصل ضرب وحاصل وظيفتين متساويتين في التكافؤ هو دالة زوجية.
2) حاصل ضرب وحاصل وظيفتين لهما تكافؤات مختلفة هو دالة فردية.
3) مجموع وفرق الدوال الزوجية - الدالة الزوجية.
4) مجموع وفرق الدوال الفردية - دالة فردية.
5) إذا كانت \(f(x)\) دالة زوجية، فإن المعادلة \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) لها جذر فريد إذا وفقط عندما \( س =0\) .
6) إذا كانت \(f(x)\) دالة زوجية أو فردية، والمعادلة \(f(x)=0\) لها جذر \(x=b\)، فمن الضروري أن يكون لهذه المعادلة جذر ثاني الجذر \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) تسمى الدالة \(f(x)\) بشكل دوري على \(X\) إذا كان ما يلي بالنسبة لبعض الأرقام \(T\ne 0\) هو: \(f(x)=f( x+T) \) ، حيث \(x, x+T\in X\) . أصغر \(T\) التي تتحقق فيها هذه المساواة تسمى الفترة الرئيسية (الرئيسية) للدالة.
تحتوي الدالة الدورية على أي رقم على شكل \(nT\) ، حيث \(n\in \mathbb(Z)\) ستكون أيضًا نقطة.
مثال: أي وظيفة المثلثيةدورية؛
بالنسبة للدوال \(f(x)=\sin x\) و \(f(x)=\cos x\) الدورة الرئيسية تساوي \(2\pi\)، بالنسبة للدوال \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) و \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) الفترة الرئيسية تساوي \(\pi\) .
من أجل إنشاء رسم بياني لدالة دورية، يمكنك رسم الرسم البياني الخاص بها على أي مقطع بطول \(T\) (الفترة الرئيسية)؛ ثم يكتمل الرسم البياني للدالة بأكملها عن طريق تحويل الجزء المبني بعدد صحيح من الفترات إلى اليمين واليسار:
\(\blacktriangleright\) المجال \(D(f)\) للدالة \(f(x)\) هو مجموعة تتكون من جميع قيم الوسيطة \(x\) التي تكون الدالة منطقية لها (ويعرف).
مثال: الدالة \(f(x)=\sqrt x+1\) لها مجال تعريف: \(x\in
المهمة 1 #6364
مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة
عند أي قيم للمعلمة \(a\) تقوم المعادلة
لديه حل واحد؟
لاحظ أنه نظرًا لأن \(x^2\) و \(\cos x\) دالتان زوجيتان، إذا كانت المعادلة لها جذر \(x_0\) ، فسيكون لها أيضًا جذر \(-x_0\) .
في الواقع، اجعل \(x_0\) جذرًا، أي أن المساواة \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) صحيحة. البديل \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .
وبالتالي، إذا كان \(x_0\ne 0\) ، فسيكون للمعادلة بالفعل جذران على الأقل. ولذلك، \(x_0=0\) . ثم:
لقد حصلنا على قيمتين للمعلمة \(a\) . لاحظ أننا استخدمنا حقيقة أن \(x=0\) هو بالضبط جذر المعادلة الأصلية. لكننا لم نستخدم أبدًا حقيقة أنه الوحيد. لذلك، تحتاج إلى استبدال القيم الناتجة للمعلمة \(a\) في المعادلة الأصلية والتحقق من أن \(a\) الجذر \(x=0\) المحدد سيكون فريدًا حقًا.
1) إذا كانت \(a=0\) فإن المعادلة ستكون على الشكل \(2x^2=0\) . من الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد فقط \(x=0\) . ولذلك فإن القيمة \(a=0\) تناسبنا.
2) إذا كان \(a=-\mathrm(tg)\,1\) فإن المعادلة ستأخذ الصورة \ نعيد كتابة المعادلة على الصورة \ منذ \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) ، ثم \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . وبالتالي فإن قيم الجانب الأيمن من المعادلة (*) تنتمي إلى القطعة \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .
منذ \(x^2\geqslant 0\) إذن الجهه اليسرىالمعادلة (*) أكبر من أو تساوي \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
وبالتالي، فإن المساواة (*) لا يمكن أن تكون صحيحة إلا عندما يكون طرفا المعادلة متساويين مع \(\mathrm(tg)^2\,1\) . هذا يعني أن \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] ولذلك فإن القيمة \(a=-\mathrm(tg)\,1\) تناسبنا.
إجابة:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
المهمة 2 #3923
مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة
ابحث عن جميع قيم المعلمة \(a\) ، لكل منها الرسم البياني للدالة \
متناظرة حول الأصل.
إذا كان الرسم البياني للدالة متماثلًا بالنسبة إلى الأصل، فإن هذه الدالة تكون فردية، أي أن \(f(-x)=-f(x)\) ينطبق على أي \(x\) من المجال من تعريف الدالة. وبالتالي، من الضروري العثور على قيم المعلمات التي \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(محاذاة) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ الخطيئة \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(محاذاة)\]
يجب استيفاء المعادلة الأخيرة لجميع \(x\) من مجال التعريف \(f(x)\) لذلك، \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .
إجابة:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
المهمة 3 #3069
مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة
أوجد جميع قيم المعلمة \(a\) ، لكل منها المعادلة \ لها 4 حلول، حيث \(f\) دالة دورية زوجية ذات الفترة \(T=\dfrac(16)3\) محددة على سطر الأعداد بأكمله، و \(f(x)=ax^2\) لـ \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(مهمة من المشتركين)
نظرًا لأن \(f(x)\) دالة زوجية، فإن الرسم البياني الخاص بها يكون متماثلًا بالنسبة إلى المحور الإحداثي، وبالتالي، بالنسبة إلى \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . وبالتالي، بالنسبة إلى \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) ، وهذا مقطع بطول \(\dfrac(16)3\)، تكون الدالة \(f(x)=ax^2\ ) .
1) دع \(a>0\) . بعد ذلك سيبدو الرسم البياني للدالة \(f(x)\) كما يلي: 
ثم، لكي يكون للمعادلة 4 حلول، من الضروري أن يمر الرسم البياني \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) عبر النقطة \(A\) : 
لذلك، \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(محاذاة)\end(مجمع)\يمين. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(متجمع)\begin(محاذاة) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(محاذاة) \end( تجمع)\right.\] بما أن \(a>0\) ، فإن \(a=\dfrac(18)(23)\) مناسب.
2) دع \(a0\)). إذا كان حاصل ضرب جذرين موجبًا ومجموعهما موجبًا، فإن الجذور نفسها ستكون موجبة. لذلك، تحتاج إلى: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a