الاهتزازات التوافقية. المعادلة التوافقية

التذبذب التوافقي الميكانيكي- هذه حركة مستقيمة غير مستوية تتغير فيها إحداثيات الجسم المهتز (نقطة المادة) وفقًا لقانون جيب التمام أو الجيب حسب الزمن.

ووفقاً لهذا التعريف فإن قانون تغيير الإحداثيات تبعاً للزمن يكون على الشكل التالي:

حيث wt هي الكمية الموجودة تحت علامة جيب التمام أو الجيب؛ ث- المعامل الذي سيتم الكشف عن معناه المادي أدناه؛ A هي سعة الاهتزازات التوافقية الميكانيكية.

المعادلات (4.1) هي المعادلات الحركية الأساسية للاهتزازات التوافقية الميكانيكية.

النظر في المثال التالي. لنأخذ محور الثور (الشكل 64). من النقطة 0 نرسم دائرة نصف قطرها R = A. ودع النقطة M من الموضع 1 تبدأ في التحرك حول الدائرة بسرعة ثابتة الخامس(أو بسرعة زاوية ثابتة ث, ت = ث). وبعد مرور بعض الوقت، سيدور نصف القطر بزاوية و: و = بالوزن.

مع مثل هذه الحركة الدائرية للنقطة M، فإن إسقاطها على المحور x M x سوف يتحرك على طول المحور x، الذي سيكون إحداثيه x مساوياً لـ x = A cos و = = أكوس بالوزن. وبالتالي، إذا تحركت نقطة مادية على طول دائرة نصف قطرها A، يتزامن مركزها مع أصل الإحداثيات، فإن إسقاط هذه النقطة على المحور السيني (وعلى المحور الصادي) سيؤدي إلى اهتزازات ميكانيكية توافقية.

إذا كانت القيمة wt، الموجودة تحت علامة جيب التمام، والسعة A معروفة، فيمكن تحديد x أيضًا في المعادلة (4.1).

تسمى الكمية بالوزن، الموجودة تحت علامة جيب التمام (أو الجيب)، والتي تحدد بشكل فريد إحداثيات نقطة التذبذب عند سعة معينة، مرحلة التذبذب. بالنسبة لنقطة M تتحرك في دائرة، فإن القيمة w تعني سرعتها الزاوية. ما هو المعنى الفيزيائي للقيمة w للنقطة M x التي تؤدي اهتزازات توافقية ميكانيكية؟ إحداثيات النقطة المتذبذبة M x هي نفسها في وقت ما t و(T +1) (من تعريف الفترة T)، أي A cos بالوزن = A cos w (t + T)، وهو ما يعني ذلك ث(ر + ت) - بالوزن = 2 باي(من الخاصية الدورية لوظيفة جيب التمام). إنه يتبع هذا

وبالتالي، بالنسبة لنقطة مادية تؤدي اهتزازات ميكانيكية توافقية، يمكن تفسير قيمة w على أنها عدد التذبذبات لفترة معينة دورةالوقت متساوي 2 لتر. وبالتالي القيمة ثمُسَمًّى دورية(أو دائري) التردد.

إذا بدأت النقطة M حركتها ليس من النقطة 1 بل من النقطة 2 فإن المعادلة (4.1) سوف تأخذ الشكل:

مقاس و 0مُسَمًّى المرحلة الأولى.

نجد سرعة النقطة M x كمشتقة للإحداثيات بالنسبة للزمن:

نحدد تسارع نقطة تتأرجح وفقًا لقانون توافقي على أنه مشتق السرعة:

يتضح من الصيغة (4.4) أن سرعة النقطة التي تؤدي اهتزازات توافقية تتغير أيضًا وفقًا لقانون جيب التمام. لكن سرعة الطور تتقدم على الإحداثيات بي/2. يختلف التسارع أثناء التذبذب التوافقي وفقًا لقانون جيب التمام، ولكنه يسبق الإحداثيات في الطور بمقدار ص. يمكن كتابة المعادلة (4.5) بدلالة الإحداثي x:

التسارع أثناء الاهتزازات التوافقية يتناسب طرديا مع الإزاحة ذات الإشارة المعاكسة. دعونا نضرب الطرفين الأيمن والأيسر للمعادلة (4.5) في كتلة نقطة المادة المتأرجحة m، فنحصل على العلاقات التالية:

وفقًا لقانون نيوتن الثاني، فإن المعنى المادي للجانب الأيمن من التعبير (4.6) هو إسقاط القوة F x، التي توفر حركة ميكانيكية توافقية:

تتناسب قيمة F x مع الإزاحة x وتتجه عكسًا لها. مثال على هذه القوة هي القوة المرنة التي يتناسب حجمها مع التشوه وموجهة بشكل معاكس لها (قانون هوك).

يمكن تعميم نمط التسارع مقابل الإزاحة، الذي يتبع المعادلة (4.6)، والذي أخذناه في الاعتبار بالنسبة للتذبذبات التوافقية الميكانيكية، وتطبيقه عند النظر في التذبذبات ذات الطبيعة الفيزيائية المختلفة (على سبيل المثال، التغير في التيار في دائرة تذبذبية، التغيير في الشحن، الجهد، الحث حقل مغناطيسيإلخ.). ولذلك تسمى المعادلة (4.8) بالمعادلة الرئيسية الديناميات التوافقية.

دعونا نفكر في حركة الزنبرك والبندول الرياضي.

دع الزنبرك (الشكل 63)، الموجود أفقيًا والثابت عند النقطة 0، متصل عند أحد طرفيه بجسم كتلته m، والذي يمكنه التحرك على طول المحور x دون احتكاك. دع معامل صلابة الربيع يساوي k. دعونا نزيل الجسم m بقوة خارجية من موضع التوازن ثم نحرره. ثم على طول المحور x ستعمل فقط قوة مرنة على الجسم، والتي، وفقًا لقانون هوك، ستكون مساوية لـ: F yпp = -kx.

معادلة حركة هذا الجسم ستكون:

بمقارنة المعادلتين (4.6) و (4.9) نخلص إلى نتيجتين:

من الصيغتين (4.2) و (4.10) نشتق صيغة فترة تذبذب الحمل على الزنبرك:

البندول الرياضي هو جسم كتلته m معلق على خيط طويل غير قابل للتمدد له كتلة لا تذكر. في وضع التوازن، سيتأثر هذا الجسم بقوة الجاذبية والقوة المرنة للخيط. هذه القوى سوف توازن بعضها البعض.

إذا كان الخيط مائلاً بزاوية أمن وضع التوازن، تعمل نفس القوى على الجسم، لكنها لم تعد توازن بعضها البعض، ويبدأ الجسم في التحرك على طول قوس تحت تأثير مكون الجاذبية الموجه على طول مماس القوس ويساوي mg sin أ.

معادلة حركة البندول تأخذ الشكل:

علامة الطرح على الجانب الأيمن تعني أن القوة F x = mg sin a موجهة ضد الإزاحة. التذبذب التوافقيسيحدث عند زوايا انحراف صغيرة، أي بشرط 2*خطيئة أ.

دعونا نستبدل الخطيئة و فيالمعادلة (4.12) نحصل على المعادلة التالية.

التذبذبات التوافقية هي تذبذبات تتم وفقًا لقوانين الجيب وجيب التمام. يوضح الشكل التالي رسمًا بيانيًا للتغيرات في إحداثيات نقطة ما مع مرور الوقت وفقًا لقانون جيب التمام.

صورة

سعة التذبذب

تسمى سعة التذبذب التوافقي أعلى قيمةإزاحة الجسم من موضع اتزانه. يمكن أن تأخذ السعة قيمًا مختلفة. سيعتمد ذلك على مقدار تحويل الجسم إليه لحظة البدايةالوقت من وضع التوازن.

يتم تحديد السعة الشروط الأوليةأي الطاقة المنقولة إلى الجسم في اللحظة الأولى من الزمن. نظرًا لأن الجيب وجيب التمام يمكن أن يأخذا قيمًا في النطاق من -1 إلى 1، يجب أن تحتوي المعادلة على العامل Xm، الذي يعبر عن سعة التذبذبات. معادلة الحركة للاهتزازات التوافقية:

س = Xm*cos(ω0*t).

فترة التذبذب

فترة التذبذب هي الوقت الذي يستغرقه إكمال تذبذب كامل. يتم تحديد فترة التذبذب بالحرف T. وحدات قياس الفترة تتوافق مع وحدات الوقت. وهذا يعني أن هذه الثواني في SI.

تردد التذبذب هو عدد التذبذبات التي يتم إجراؤها لكل وحدة زمنية. يتم تحديد تردد التذبذب بالحرف ν. يمكن التعبير عن تردد التذبذب من حيث فترة التذبذب.

ν = 1/ت.

وحدات التردد موجودة في SI 1/sec. وحدة القياس هذه تسمى هيرتز. عدد التذبذبات في زمن 2*pi ثانية سيكون مساوياً لـ:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

تردد التذبذب

وتسمى هذه الكمية بالتردد الدوري للتذبذبات. في بعض الأدبيات يظهر اسم التردد الدائري. التردد الطبيعي للنظام التذبذبي هو تردد التذبذبات الحرة.

يتم حساب تردد التذبذبات الطبيعية باستخدام الصيغة:

يعتمد تكرار الاهتزازات الطبيعية على خصائص المادة وكتلة الحمل. كلما زادت صلابة الزنبرك، زاد تواتر اهتزازاته. كلما زادت كتلة الحمل، انخفض تردد التذبذبات الطبيعية.

وهذان الاستنتاجان واضحان. كلما كان الزنبرك أكثر صلابة، كلما زاد التسارع الذي ينقله إلى الجسم عندما يخرج النظام عن التوازن. كلما زادت كتلة الجسم، كلما كانت سرعته أبطأ.

فترة التذبذب الحرة:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(م/ك)

من الجدير بالذكر أنه في زوايا انحراف صغيرة فإن فترة تذبذب الجسم على الزنبرك وفترة تذبذب البندول لن تعتمد على سعة التذبذبات.

دعونا نكتب الصيغ الخاصة بفترة وتكرار التذبذبات الحرة للبندول الرياضي.

ثم ستكون الفترة متساوية

T = 2*pi*√(لتر/جم).

ستكون هذه الصيغة صالحة فقط لزوايا الانحراف الصغيرة. ومن الصيغة نرى أن فترة التذبذب تزداد مع زيادة طول خيط البندول. كلما زاد الطول جسم أبطأسوف تتقلب.

فترة التذبذب لا تعتمد إطلاقا على كتلة الحمل. لكن ذلك يعتمد على التسارع السقوط الحر. مع انخفاض g، ستزداد فترة التذبذب. تستخدم هذه الخاصية على نطاق واسع في الممارسة العملية. على سبيل المثال، لقياس القيمة الدقيقةتسارع مجاني.

الاهتزازات التوافقية

الرسوم البيانية الوظيفية F(س) = الخطيئة( س) و ز(س) = كوس( س) على المستوى الديكارتي.

التذبذب التوافقي- التذبذبات التي تتغير فيها الكمية الفيزيائية (أو أي كمية أخرى) بمرور الوقت وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام. المعادلة الحركية للتذبذبات التوافقية لها الشكل

,

أين X- إزاحة (انحراف) نقطة التذبذب عن موضع التوازن في الوقت t؛ أ- سعة التذبذبات، وهي القيمة التي تحدد الحد الأقصى لانحراف نقطة التذبذب عن موضع التوازن؛ ω - التردد الدوري، قيمة تشير إلى عدد التذبذبات الكاملة التي تحدث خلال 2π ثانية - المرحلة الكاملة للتذبذبات، - المرحلة الأولية للتذبذبات.

التذبذب التوافقي المعمم في شكل تفاضلي

(أي حل غير تافه لهذه المعادلة التفاضلية هو تذبذب توافقي بتردد دوري)

أنواع الاهتزازات

التطور الزمني للإزاحة والسرعة والتسارع في الحركة التوافقية

• اهتزازات مجانيةتتم تحت تأثير القوى الداخلية للنظام بعد أن يتم إخراج النظام من موضع توازنه. لكي تكون التذبذبات الحرة توافقية، من الضروري أن يكون النظام التذبذبي خطيًا (موصوفًا بمعادلات الحركة الخطية)، ولا يوجد فيه تبديد للطاقة (الأخير من شأنه أن يسبب التوهين).
• الاهتزازات القسريةيتم إجراؤها تحت تأثير قوة دورية خارجية. لكي تكون متناسقة، يكفي أن يكون النظام التذبذبي خطيًا (موصوفًا بمعادلات الحركة الخطية)، وأن القوة الخارجية نفسها تتغير بمرور الوقت كتذبذب متناغم (أي أن الاعتماد الزمني لهذه القوة جيبي). .

طلب

تتميز الاهتزازات التوافقية عن جميع أنواع الاهتزازات الأخرى للأسباب التالية:

أنظر أيضا

ملحوظات

الأدب

• الفيزياء. الكتاب المدرسي الابتدائيفيزياء / إد. جي إس لانسبيرج. - الطبعة الثالثة. - م، 1962. - ت 3.
• خايكين إس.إي.الأسس الفيزيائية للميكانيكا. - م، 1963.
• أ.م أفونين.الأسس الفيزيائية للميكانيكا. - إد. MSTU ايم. بومان، 2006.
• جوريليك جي إس.التذبذبات والأمواج. مقدمة في الصوتيات والفيزياء الإشعاعية والبصريات. - م: فيزماتليت، 1959. - 572 ص.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هي "التذبذبات التوافقية" في القواميس الأخرى:

الموسوعة الحديثة

الاهتزازات التوافقية- الاهتزازات التوافقية، التغيرات الدورية في الكمية الفيزيائية التي تحدث وفقا لقانون الجيب. بيانياً، يتم تمثيل التذبذبات التوافقية بواسطة منحنى جيبي. الاهتزازات التوافقية ابسط شكلحركات دورية، تتميز... القاموس الموسوعي المصور

التذبذبات التي تتغير فيها الكمية الفيزيائية مع مرور الوقت وفقا لقانون الجيب أو جيب التمام. بيانياً، يتم تمثيل GKs بواسطة موجة جيبية منحنية أو موجة جيب التمام (انظر الشكل)؛ يمكن كتابتها بالصيغة: x = Asin (ωt + φ) أو x... الموسوعة السوفيتية الكبرى

الاهتزازات التوافقية، الحركة الدورية مثل حركة البندول، والاهتزازات الذرية أو الاهتزازات في دائرة كهربائية. يؤدي جسم اهتزازات توافقية غير مخمدة عندما يهتز على طول خط، ويتحرك بنفس الطريقة... ... القاموس الموسوعي العلمي والتقني

التذبذبات التي جسدية (أو أي كمية أخرى) تتغير بمرور الوقت وفقًا للقانون الجيبي: x=Asin(wt+j)، حيث x هي قيمة الكمية المتقلبة في وقت معين. لحظة من الزمن t (بالنسبة لـ G.K. الميكانيكية، على سبيل المثال، الإزاحة أو السرعة، لـ ... ... الموسوعة الفيزيائية

الاهتزازات التوافقية- التذبذبات الميكانيكية، حيث يتغير الإحداثيات المعممة و (أو) السرعة المعممة بما يتناسب مع الجيب مع وسيطة تعتمد خطيًا على الوقت. [مجموعة من المصطلحات الموصى بها. العدد 106. الاهتزازات الميكانيكية. أكاديمية العلوم… دليل المترجم الفني

التذبذبات التي جسدية (أو أي شيء آخر) تتغير الكمية بمرور الوقت وفقًا للقانون الجيبي، حيث x هي قيمة الكمية المتأرجحة في الوقت t (للأنظمة الهيدروليكية الميكانيكية، على سبيل المثال، الإزاحة والسرعة، للجهد الكهربائي وقوة التيار) ... الموسوعة الفيزيائية

الاهتزازات التوافقية- (انظر) فيها جسدية. تتغير الكمية بمرور الوقت وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام (على سبيل المثال، التغيرات (انظر) والسرعة أثناء التذبذب (انظر) أو التغيرات (انظر) وقوة التيار أثناء الدوائر الكهربائية) ... موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

تتميز بتغير قيمة التذبذب x (على سبيل المثال، انحراف البندول عن موضع التوازن، والجهد في دائرة التيار المتردد، وما إلى ذلك) في الوقت t وفقًا للقانون: x = Asin (؟t + ؟)، حيث A هي سعة التذبذبات التوافقية، ؟ الزاوية... ... القاموس الموسوعي الكبير

الاهتزازات التوافقية- 19. التذبذبات التوافقية هي التذبذبات التي تتغير فيها قيم الكمية المتذبذبة بمرور الوقت حسب القانون المصدر ... كتاب مرجعي للقاموس لمصطلحات التوثيق المعياري والتقني

دورية التقلبات، والتي تتغير في الوقت المادي. تحدث الكميات وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام (انظر الشكل): s = Аsin(wt+ф0)، حيث s هو انحراف الكمية المتأرجحة عن متوسطها. قيمة (التوازن)، A=السعة الثابتة، w=الدائرية الثابتة... قاموس البوليتكنيك الموسوعي الكبير

يتم وصف التغييرات في أي كمية باستخدام قوانين الجيب أو جيب التمام، ثم تسمى هذه التذبذبات التوافقية. لنفكر في دائرة تتكون من مكثف (تم شحنه قبل تضمينه في الدائرة) ومحث (الشكل 1).

الصورة 1.

يمكن كتابة معادلة الاهتزاز التوافقي على النحو التالي:

$q=q_0cos((\أوميغا )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

حيث $t$ هو الوقت؛ رسوم $q$، $q_0$-- الحد الأقصى لانحراف الرسوم عن متوسط ​​قيمتها (الصفر) أثناء التغييرات؛ $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- مرحلة التذبذب; $(\alpha )_0$- المرحلة الأولية؛ $(\omega )_0$ - التردد الدوري. خلال الفترة، تتغير المرحلة بمقدار $2\pi $.

معادلة النموذج:

معادلة التذبذبات التوافقية في الشكل التفاضلي لدائرة تذبذبية لا تحتوي على مقاومة نشطة.

يمكن تمثيل أي نوع من التذبذبات الدورية بدقة على شكل مجموع التذبذبات التوافقية، وهو ما يسمى بالسلسلة التوافقية.

بالنسبة لفترة تذبذب الدائرة التي تتكون من ملف ومكثف، نحصل على صيغة طومسون:

إذا اشتقنا التعبير (1) بالنسبة للوقت، فيمكننا الحصول على صيغة الدالة $I(t)$:

يمكن العثور على الجهد عبر المكثف على النحو التالي:

من الصيغتين (5) و (6) يترتب على ذلك أن شدة التيار تسبق جهد المكثف بمقدار $\frac(\pi )(2).$

يمكن تمثيل التذبذبات التوافقية في شكل معادلات ووظائف ومخططات متجهة.

تمثل المعادلة (1) تذبذبات حرة غير مخمدة.

معادلة التذبذب المخمد

سيتم وصف التغير في الشحن ($q$) على لوحات المكثف في الدائرة، مع مراعاة المقاومة (الشكل 2)، بمعادلة تفاضلية بالشكل:

الشكل 2.

إذا كانت المقاومة التي تشكل جزءًا من الدائرة $R\

حيث $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ هو تردد التذبذب الدوري. $\beta =\frac(R)(2L)-$معامل التخميد. يتم التعبير عن سعة التذبذبات المخمدة على النحو التالي:

إذا كانت الشحنة على المكثف عند $t=0$ تساوي $q=q_0$ ولا يوجد تيار في الدائرة، فبالنسبة لـ $A_0$ يمكننا أن نكتب:

مرحلة التذبذبات في اللحظة الأولى من الزمن ($(\alpha )_0$) تساوي:

عندما يكون $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ لا يكون التغير في الشحن تذبذبًا، فإن تفريغ المكثف يسمى غير دوري.

مثال 1

يمارس: القيمة القصوىالشحنة تساوي $q_0=10\ C$. ويتغير بشكل متناغم مع فترة $T= 5 s$. تحديد الحد الأقصى الحالي الممكن.

حل:

كأساس لحل المشكلة نستخدم:

للعثور على القوة الحالية، يجب التمييز بين التعبير (1.1) فيما يتعلق بالوقت:

حيث الحد الأقصى (قيمة السعة) للقوة الحالية هو التعبير:

من شروط المشكلة نعرف قيمة سعة الشحنة ($q_0=10\ C$). يجب أن تجد التردد الطبيعي للتذبذبات. دعنا نعبر عنها كالتالي:

\[(\أوميغا )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

وفي هذه الحالة سيتم إيجاد القيمة المطلوبة باستخدام المعادلتين (1.3) و(1.2) على النحو التالي:

وبما أن جميع الكميات في ظروف المشكلة معروضة في نظام SI، فسوف نقوم بإجراء الحسابات:

إجابة:$I_0=12.56\ أ.$

مثال 2

يمارس:ما هي فترة التذبذب في دائرة تحتوي على ملف حث $L=1$H ومكثف، إذا تغيرت شدة التيار في الدائرة وفقًا للقانون: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ ما هي سعة المكثف؟

حل:

من معادلة التقلبات الحالية الواردة في شروط المشكلة:

نرى أن $(\omega )_0=20\pi $، لذلك يمكننا حساب فترة التذبذب باستخدام الصيغة:

\ \

وفقا لصيغة طومسون للدائرة التي تحتوي على ملف حث ومكثف، لدينا:

دعونا نحسب السعة:

إجابة:$T=0.1$ ج، $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

إلى جانب الحركات الانتقالية والدورانية للأجسام في الميكانيكا، تعد الحركات التذبذبية أيضًا ذات أهمية كبيرة. الاهتزازات الميكانيكية هي حركات الأجسام التي تتكرر بالضبط (أو تقريبًا) على فترات زمنية متساوية. يتم تحديد قانون حركة الجسم المتأرجح باستخدام معين وظيفة دوريةوقت س = F (ر). صورة بيانيةتوفر هذه الوظيفة تمثيلاً مرئيًا لمسار العملية التذبذبية مع مرور الوقت.

من أمثلة الأنظمة التذبذبية البسيطة الحمل على زنبرك أو بندول رياضي (الشكل 2.1.1).

الاهتزازات الميكانيكية، مثل العمليات التذبذبية من أي طبيعة فيزيائية أخرى، يمكن أن تكون كذلك حرو قسري. اهتزازات مجانية يرتكبون تحت تأثير القوى الداخليةالنظام بعد أن يخرج النظام عن التوازن. تعتبر تذبذبات الوزن على الزنبرك أو تذبذبات البندول تذبذبات حرة. الاهتزازات التي تحدث تحت التأثير خارجييتم استدعاء القوى المتغيرة بشكل دوري قسري .

أبسط نوع من العمليات التذبذبية بسيط الاهتزازات التوافقية والتي تصفها المعادلة

س = سمكوس(ω ر + φ 0).

هنا س- إزاحة الجسم من موضع التوازن، سم - سعة التذبذبات، أي أقصى إزاحة من موضع التوازن، ω - تردد دوري أو دائري تردد، ر- وقت. الكمية تحت علامة جيب التمام φ = ω ريتم استدعاء + φ 0 مرحلةعملية توافقية. في ر= 0 φ = φ 0، لذلك يسمى φ 0 المرحلة الأولى. يسمى الحد الأدنى للفاصل الزمني الذي تتكرر خلاله حركة الجسم فترة التذبذب ت. الكمية المادية، يسمى مقلوب فترة التذبذب تردد الاهتزاز:

تردد التذبذب Fيوضح عدد التذبذبات التي تحدث في ثانية واحدة. وحدة التردد - هيرتز(هرتز). تردد التذبذب Fالمتعلقة بالتردد الدوري ω وفترة التذبذب تالنسب:

في التين. 2.1.2 يوضح أوضاع الجسم على فترات زمنية متساوية أثناء الاهتزازات التوافقية. يمكن الحصول على مثل هذه الصورة تجريبيا عن طريق إضاءة جسم مهتز بومضات ضوئية دورية قصيرة ( الإضاءة القوية). تمثل الأسهم متجهات سرعة الجسم في أوقات مختلفة.

أرز. 2.1.3 يوضح التغيرات التي تحدث على الرسم البياني للعملية التوافقية في حالة تغير سعة التذبذبات سم، أو الفترة ت(أو التردد F)، أو المرحلة الأولية φ 0.

عندما يهتز جسم على خط مستقيم (المحور ثور) يتم توجيه متجه السرعة دائمًا على طول هذا الخط المستقيم. السرعة υ = υ سيتم تحديد حركة الجسم من خلال التعبير

في الرياضيات، الإجراء الخاص بإيجاد نهاية النسبة عند Δ ر→ 0 يسمى حساب مشتق الدالة س (ر) بالوقت رويشار إليه باسم أو كما س"(ر) أو أخيرًا مثل . بالنسبة لقانون الحركة التوافقي، فإن حساب المشتقة يؤدي إلى النتيجة التالية:

ظهور المصطلح + π / 2 في وسيطة جيب التمام يعني تغييراً في المرحلة الأولية. القيم المطلقة القصوى للسرعة υ = ω سيتم تحقيق m في تلك اللحظات الزمنية التي يمر فيها الجسم عبر أوضاع التوازن ( س= 0). يتم تحديد التسارع بطريقة مماثلة أ = أسالأجسام أثناء الاهتزازات التوافقية:

ومن هنا التسارع أيساوي مشتقة الدالة υ ( ر) بالوقت رأو المشتقة الثانية للدالة س (ر). الحسابات تعطي:

علامة الطرح في هذا التعبير تعني أن التسارع أ (ر) دائمًا لديه علامة معاكسة لعلامة الإزاحة س (ر) ، وبالتالي، وفقًا لقانون نيوتن الثاني، فإن القوة التي تسبب الجسم في أداء اهتزازات توافقية تكون دائمًا موجهة نحو موضع التوازن ( س = 0).