كيفية إيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع؟ واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل

الموضوع: حساب مساحة الشكل المسطح باستخدام تكامل محدد

المهام: تعرف على التعريف والصيغ لإيجاد المنطقة منحني الأضلاع شبه منحرف;

النظر في حالات مختلفة لإيجاد منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع ؛

كن قادرًا على حساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع.

يخطط:

منحني الشكل شبه منحرف.

صيغ لحساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع.

منحني الشكل شبه منحرفيسمى الشكل ، وهو مقيد بالرسم البياني لوظيفة مستمرة غير سالبة f (x) على الفاصل الزمني ، ومقاطع الخط x = a و x = b ، وكذلك جزء من المحور x بين النقاط a وب.

صور شبه منحنية الخطوط:

الآن دعنا ننتقل إلى خياراتموقع الأشكال التي يجب حساب مساحتها على المستوى الإحداثي.

أولاً سيكون هناك أبسط خيار (الصورة الأولى) ، المعتاد منحني الأضلاع شبه منحرف، كما في التعريف. ليست هناك حاجة لاختراع أي شيء هنا ، فقط خذ التكامل من أقبل بمن الوظيفة و (خ). نجد التكامل - سنعرف مساحة هذا شبه المنحرف.

في ثانية الخيار ، لن يقتصر رقمنا على المحور السيني ، ولكن بدالة أخرى ز (س). لذلك ، للعثور على المنطقة CEFD، علينا أولاً إيجاد المساحة AEFB(باستخدام تكامل و (خ)) ، ثم ابحث عن المنطقة ACDB(باستخدام تكامل ز (س)). والمساحة المطلوبة من الشكل CEFD، سيكون الفرق بين المنطقتين الأولى والثانية من شبه المنحرف المنحني الخطي. نظرًا لأن حدود التكامل هي نفسها هنا ، يمكن كتابتها كلها تحت تكامل واحد (انظر الصيغ أسفل الشكل) كل هذا يتوقف على مدى تعقيد الوظائف ، وفي هذه الحالة سيكون من الأسهل العثور على التكامل.

ثالث يشبه إلى حد كبير الأول ، ولكن فقط شبه منحرف لدينا يتم وضعه ، وليس فوق المحور السينيوتحتها. لذلك ، هنا يجب أن نأخذ نفس التكامل ، فقط بعلامة ناقص ، لأن قيمة التكامل ستكون سالبة ، وقيمة المنطقة يجب أن تكون موجبة. إذا بدلا من وظيفة و (خ)تأخذ وظيفة -f (س)، فسيكون الرسم البياني الخاص به هو نفسه معروضًا بشكل متماثل ببساطة بالنسبة إلى المحور x.

و الرابعخيار عندما يكون جزء من الشكل أعلى المحور السيني والجزء السفلي منه. لذلك ، يجب علينا أولًا إيجاد مساحة الشكل AEFB، كما في الإصدار الأول ، ثم مساحة الشكل ا ب ت ثكما في الخيار الثالث ثم قم بإضافتها. نتيجة لذلك ، نحصل على مساحة الشكل DEFC. نظرًا لأن حدود التكامل هي نفسها هنا ، يمكن كتابتها كلها تحت تكامل واحد (انظر الصيغ أسفل الشكل) كل هذا يتوقف على مدى تعقيد الوظائف ، وفي هذه الحالة سيكون من الأسهل العثور على التكامل.

أسئلة للفحص الذاتي:

ما هو الشكل الذي يسمى شبه منحرف منحني الأضلاع؟

كيفية إيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع؟

الشكل المحدد بالرسم البياني لوظيفة مستمرة غير سالبة $ f (x) $ على الفاصل $$ والخطوط $ y = 0 ، \ x = a $ و $ x = b $ يسمى شبه منحني منحني الشكل.

يتم حساب مساحة شبه المنحني المنحني المقابل بالصيغة:

$ S = \ int \ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

مشاكل إيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع سنقسمها بشروط إلى 4 دولارات. دعنا نفكر في كل نوع بمزيد من التفصيل.

النوع الأول: يتم إعطاء شبه منحرف منحني الأضلاع بشكل صريح.ثم قم على الفور بتطبيق الصيغة (*).

على سبيل المثال ، ابحث عن مساحة شبه منحنية منحنية الخطوط يحدها الرسم البياني للوظيفة $ y = 4- (x-2) ^ (2) $ والخطوط $ y = 0 ، \ x = 1 $ و $ x = 3 دولارات.

دعونا نرسم هذا شبه المنحني المنحني.

بتطبيق الصيغة (*) ، نجد مساحة هذا شبه المنحني المنحني الأضلاع.

$ S = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (\ left (4- (x-2) ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ left. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ right | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ right) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ left ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

النوع الثاني: تم تحديد شبه منحني منحني الخطي ضمنيًا.في هذه الحالة ، الخطوط المستقيمة $ x = a ، \ x = b $ عادة غير محددة أو محددة جزئيًا. في هذه الحالة ، تحتاج إلى إيجاد نقاط تقاطع الدالتين $ y = f (x) $ و $ y = 0 $. ستكون هذه النقاط هي النقاط $ a $ و $ b $.

على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد برسوم بيانية للوظائف $ y = 1-x ^ (2) $ و $ y = 0 $.

لنجد نقاط التقاطع. للقيام بذلك ، نقوم بمساواة الأجزاء الصحيحة من الوظائف.

لذا فإن $ a = -1 $ و $ b = 1 $. دعونا نرسم هذا شبه المنحني المنحني.

أوجد مساحة هذا شبه المنحني المنحني الأضلاع.

$ S = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (\ left (1-x ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (-1) ^ (1) = دولار

$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 2 - \ frac (1) (3) \ يسار (1 + 1 \ يمين) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (وحدة $ ^ (2) $).

النوع الثالث: مساحة الشكل يحدها تقاطع وظيفتين مستمرتين غير سالبين.لن يكون هذا الشكل شبه منحني منحني الأضلاع ، مما يعني أنه باستخدام الصيغة (*) لا يمكنك حساب مساحته. كيف تكون؟اتضح أن مساحة هذا الشكل يمكن إيجادها على أنها الفرق بين مناطق شبه المنحنيات المنحنية التي تحدها الوظيفة العليا و $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $) والدالة السفلية و $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $) ، حيث يتم لعب دور $ x = a ، \ x = b $ بواسطة إحداثيات $ x $ لنقاط تقاطع هذه الوظائف ، أي

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

أهم شيء عند حساب هذه المناطق هو عدم "تفويت" اختيار الوظائف العلوية والسفلية.

على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد بالدالتين $ y = x ^ (2) $ و $ y = x + 6 $.

لنجد نقاط تقاطع هذه الرسوم البيانية:

وفقًا لنظرية فييتا ،

$ x_ (1) = - 2، \ x_ (2) = 3. $

أي ، $ a = -2 ، \ b = 3 $. لنرسم شكلاً:

هكذا، أعلى وظيفة- $ y = x + 6 $ ، والسفلى - $ y = x ^ (2) $. بعد ذلك ، ابحث عن $ S_ (uf) $ و $ S_ (lf) $ باستخدام الصيغة (*).

$ S_ (uf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ limits _ (- 2 ) ^ (3) (6dx) = \ left. \ frac (x ^ (2)) (2) \ right | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3) = 32 ، 5 دولارات (الوحدة $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (- 2) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

تم العثور على بديل في (**) واحصل على:

$ S = 32،5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

النوع الرابع: مساحة الشكل المقيدة بوظيفة (وظائف) لا تفي بشرط عدم السلبية.للعثور على مساحة مثل هذا الشكل ، يجب أن تكون متماثلًا حول محور $ Ox $ ( بعبارة أخرى،ضع "سلبيات" أمام الوظائف) اعرض المنطقة ، وباستخدام الطرق الموضحة في الأنواع من الأول إلى الثالث ، ابحث عن منطقة المنطقة المعروضة. ستكون هذه المنطقة هي المنطقة المطلوبة. أولاً ، قد تضطر إلى إيجاد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف.

على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد برسوم بيانية للوظائف $ y = x ^ (2) -1 $ و $ y = 0 $.

لنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف:

أولئك. $ a = -1 $ و $ b = 1 $. لنرسم المنطقة.

دعنا نعرض المنطقة بشكل متماثل:

$ y = 0 \ Rightarrow \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ Rightarrow \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.

تحصل على شبه منحرف منحني الخطوط يحده الرسم البياني للوظيفة $ y = 1-x ^ (2) $ و $ y = 0 $. هذه مشكلة إيجاد شبه منحرف منحني الأضلاع من النوع الثاني. لقد حللناها بالفعل. كانت الإجابة: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (Units $ ^ (2) $). لذلك ، فإن مساحة شبه المنحني المطلوب تساوي:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشرائح للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتم هذا العملالرجاء تحميل النسخة الكاملة.

الكلمات الدالة:شبه منحرف متكامل ، منحني الخطوط ، منطقة من الأشكال يحدها الزنابق

معدات: سبورة بيضاء ، كمبيوتر ، جهاز عرض وسائط متعددة

نوع الدرس: درس-محاضرة

أهداف الدرس:

التعليمية:لتشكيل ثقافة العمل العقلي ، لخلق حالة من النجاح لكل طالب ، لتشكيل دافع إيجابي للتعلم ؛ تنمية القدرة على التحدث والاستماع للآخرين.
النامية:تكوين التفكير المستقل للطالب على تطبيق المعرفة في حالات مختلفة، والقدرة على التحليل واستخلاص النتائج ، وتطوير المنطق ، وتطوير القدرة على طرح الأسئلة بشكل صحيح والعثور على إجابات لها. تحسين تكوين المهارات الحسابية والحسابية ، وتنمية تفكير الطلاب أثناء أداء المهام المقترحة ، وتطوير ثقافة حسابية.
التعليمية: لتشكيل مفاهيم حول شبه منحني منحني الأضلاع ، حول جزء لا يتجزأ ، لإتقان مهارات حساب مناطق الأشكال المسطحة

طريقة التعليم:تفسيرية وتوضيحية.

خلال الفصول

في الفصول السابقة ، تعلمنا كيفية حساب مناطق الأشكال التي تكون حدودها عبارة عن خطوط متقطعة. في الرياضيات ، هناك طرق تسمح لك بحساب مساحة الأشكال التي تحدها المنحنيات. تسمى هذه الأشكال شبه المنحنية المنحنية ، ويتم حساب مساحتها باستخدام المشتقات العكسية.

شبه منحرف منحني الخطي ( شريحة 1)

شبه منحرف منحني الشكل هو شكل يحده الرسم البياني للوظيفة ، ( w م)، مستقيم س = أو س = بوالإحداثيات

أنواع مختلفة من شبه المنحنيات منحنية الخطوط ( الشريحة 2)

نحن نفكر في ذلك أنواع مختلفةشبه المنحرف المنحني ولاحظ أن أحد الخطوط يتدهور إلى نقطة ما ، ويلعب الخط دور الوظيفة المحددة

مساحة شبه منحرف منحني الخطوط (الشريحة 3)

إصلاح الطرف الأيسر من الفترة الزمنية أ،و صحيح Xسوف نتغير ، على سبيل المثال ، نقوم بتحريك الجدار الأيمن لشكل شبه منحرف منحني الشكل ونحصل على شكل متغير. مساحة شبه المنحني المنحني المتغير التي يحدها الرسم البياني للوظيفة هي المشتق العكسي Fللوظيفة F

وعلى المقطع [ أ؛ ب] منطقة شبه منحرف منحنية الشكل تكونت بواسطة الوظيفة F،تساوي الزيادة في المشتق العكسي لهذه الوظيفة:

التمرين 1:

أوجد مساحة شبه منحني منحني الأضلاع يحده رسم بياني للدالة: و (س) = س 2ومباشر ص = 0 ، س = 1 ، س = 2.

حل: ( وفقًا لخوارزمية الشريحة 3)

ارسم رسمًا بيانيًا للوظيفة والخطوط

دعونا نجد واحدة من وظائف عكسية و (س) = س 2 :

شريحة الفحص الذاتي

أساسي

ضع في اعتبارك شبه منحرف منحني الأضلاع تعطيه الوظيفة Fفي الجزء [ أ؛ ب]. دعنا نقسم هذا المقطع إلى عدة أجزاء. سيتم تقسيم مساحة شبه المنحرف بالكامل إلى مجموع مناطق شبه المنحنيات الأصغر حجمًا. ( الشريحة 5). يمكن اعتبار كل شبه منحرف مستطيلًا تقريبًا. يعطي مجموع مساحات هذه المستطيلات فكرة تقريبية عن المساحة الكاملة لشبه المنحني ذي الخطوط المنحنية. أصغر نكسر المقطع [ أ؛ ب] ، كلما قمنا بحساب المنطقة بدقة أكبر.

نكتب هذه الاعتبارات في شكل صيغ.

قسّم المقطع [ أ؛ ب] إلى أجزاء n مع نقاط x 0 \ u003d a ، x1 ، ... ، xn \ u003d ب.طول ك-ذ للدلالة به xk = xk - xk-1. دعونا نلخص

هندسيًا ، هذا المجموع هو مساحة الشكل المظللة في الشكل ( م.)

تسمى مجاميع النموذج المبالغ المتكاملة للوظيفة F. (sch.m.)

تعطي المجاميع التكاملية قيمة تقريبية للمنطقة. القيمة الدقيقةتم الحصول عليها عن طريق تجاوز الحد. تخيل أننا صقلنا تقسيم المقطع [ أ؛ ب] بحيث تميل أطوال جميع الأجزاء الصغيرة إلى الصفر. بعد ذلك ، ستقترب مساحة الشكل المركب من منطقة شبه المنحرف المنحني الخطي. يمكننا القول أن مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع تساوي حد المجموع المتكامل ، سك. (sch.m.)أو متكامل ، أي

تعريف:

تكامل الوظيفة و (خ)من أقبل بيسمى حد المبالغ المتكاملة

= (sch.m.)

صيغة نيوتن ليبنيز.

تذكر أن حدود المجاميع المتكاملة تساوي مساحة شبه منحرف منحني الخطوط ، لذلك يمكننا كتابة:

سك. = (sch.m.)

من ناحية أخرى ، يتم حساب مساحة شبه منحرف منحني الخطوط بواسطة الصيغة

S إلى. t. (sch.m.)

بمقارنة هذه الصيغ ، نحصل على:

= (sch.m.)

هذه المساواة تسمى صيغة نيوتن-لايبنيز.

لتسهيل العمليات الحسابية ، تتم كتابة الصيغة على النحو التالي:

= = (sch.m.)

المهام: (sch.m.)

1. احسب التكامل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز: ( تحقق من الشريحة 5)

2. تجميع التكاملات وفقًا للرسم ( تحقق من الشريحة 6)

3. أوجد مساحة الشكل المحدود بالخطوط: y \ u003d x 3، y \ u003d 0، x \ u003d 1، x \ u003d 2. ( شريحة 7)

إيجاد مساحات الأشكال المستوية ( الشريحة 8)

كيف تجد مساحة الأشكال التي ليست شبه منحنية الخطوط؟

دعنا نعطي وظيفتين ، الرسوم البيانية التي تراها على الشريحة . (sch.m.)أوجد مساحة الشكل المظلل . (sch.m.). هل الشكل المعني هو شبه منحرف منحني الأضلاع؟ وكيف يمكنك إيجاد مساحتها باستخدام خاصية الإضافة للمنطقة؟ ضع في اعتبارك اثنين من شبه المنحرفين منحنيي الخطوط واطرح مساحة الآخر من منطقة أحدهما ( w م)

لنقم بعمل خوارزمية لإيجاد المنطقة من الرسم المتحرك على الشريحة:

وظائف المؤامرة
قم بإسقاط نقاط تقاطع الرسوم البيانية على المحور x
ظلل الشكل الذي تم الحصول عليه بعبور الرسوم البيانية
ابحث عن شبه المنحنيات المنحنية التي يكون تقاطعها أو اتحادها هو الشكل المحدد.
احسب مساحة كل منهما
أوجد الفرق أو مجموع المساحات

مهمة شفوية: كيفية الحصول على مساحة الشكل المظلل (أخبر باستخدام الرسوم المتحركة ، الشريحة 8 و 9)

العمل في المنزل:أفرز الملخص ، رقم 353 (أ) ، رقم 364 (أ).

فهرس

الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 9-11 من مساء (دوام) مدرسة / تحرير. ج. جليزر. - م: التنوير 1983.
باشماكوف م. الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من المدرسة الإعدادية / باشماكوف م. - م: التنوير ، 1991.
باشماكوف م. الرياضيات: كتاب مدرسي للمؤسسات المبتدئة. ومتوسط الأستاذ. التعليم / M.I. باشماكوف. - م: الأكاديمية ، 2010.
كولموغوروف أ. الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي يتكون من 10-11 خلية. المؤسسات التعليمية / A.N. Kolmogorov. - م: التنوير ، 2010.
Ostrovsky S.L. كيف أقوم بعمل عرض للدرس؟ / S.L. أوستروفسكي. - م: الأول من سبتمبر 2010.

مهمة 1(عند حساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع).

في نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي xOy ، يتم إعطاء رقم (انظر الشكل) ، يحده المحور x ، والخطوط المستقيمة x \ u003d a ، x \ u003d b (شبه منحني منحني الشكل. مطلوب لحساب مساحة \ شبه منحني منحني.
حل.تعطينا الهندسة وصفات لحساب مساحات المضلعات وبعض أجزاء الدائرة (قطاع ، مقطع). باستخدام الاعتبارات الهندسية ، سنكون قادرين فقط على إيجاد قيمة تقريبية للمنطقة المطلوبة ، بحجة ما يلي.

دعونا نقسم المقطع [أ ؛ ب] (قاعدة شبه منحنية منحنية الخطوط) إلى ن أجزاء متساوية ؛ هذا القسم ممكن بمساعدة النقاط x 1، x 2، ... x k، ... x n-1. دعونا نرسم خطوطًا من خلال هذه النقاط موازية للمحور y. ثم سيتم تقسيم شبه منحرف منحني الخط إلى أجزاء n ، إلى عدد n من الأعمدة الضيقة. مساحة شبه المنحرف بالكامل تساوي مجموع مساحات الأعمدة.

ضع في اعتبارك بشكل منفصل العمود k ، أي شبه منحرف منحني الخط ، قاعدته عبارة عن قطعة. دعنا نستبدلها بمستطيل له نفس القاعدة والارتفاع يساوي f (x k) (انظر الشكل). مساحة المستطيل هي \ (f (x_k) \ cdot \ Delta x_k \) ، حيث \ (\ Delta x_k \) هو طول المقطع ؛ من الطبيعي اعتبار المنتج المترجم قيمة تقريبية لمساحة العمود k.

إذا فعلنا نفس الشيء الآن مع جميع الأعمدة الأخرى ، فإننا نصل إلى النتيجة التالية: المنطقة S لشبه منحني منحني الخطوط تساوي تقريبًا المنطقة S n لشكل متدرج مكون من n مستطيلات (انظر الشكل):
\ (S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + \ dots + f (x_k) \ Delta x_k + \ dots + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) \)
هنا ، من أجل توحيد التدوين ، نعتبر أن a \ u003d x 0 ، b \ u003d x n ؛ \ (\ Delta x_0 \) - طول المقطع \ (\ Delta x_1 \) - طول المقطع ، إلخ ؛ بينما ، كما اتفقنا أعلاه ، \ (\ Delta x_0 = \ dots = \ Delta x_ (n-1) \)

لذلك ، \ (S \ تقريبًا S_n \) ، وهذه المساواة التقريبية هي الأكثر دقة ، والأكبر n.
بحكم التعريف ، من المفترض أن المنطقة المرغوبة لشبه المنحني المنحني تساوي حد التسلسل (S n):
$$ S = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

المهمة 2(حول تحريك نقطة)
تتحرك النقطة المادية في خط مستقيم. يتم التعبير عن اعتماد السرعة على الوقت بالصيغة v = v (t). أوجد إزاحة نقطة خلال الفترة الزمنية [a؛ ب].
حل.إذا كانت الحركة موحدة ، فسيتم حل المشكلة بكل بساطة: s = vt ، أي ق = ت (ب أ). بالنسبة للحركة غير المتساوية ، يتعين على المرء استخدام نفس الأفكار التي استند إليها حل المشكلة السابقة.
1) اقسم الفاصل الزمني [أ ؛ ب] في ن أجزاء متساوية.
2) ضع في اعتبارك فترة زمنية وافترض أنه خلال هذه الفترة الزمنية كانت السرعة ثابتة ، كما هو الحال في الوقت t k. لذلك ، نفترض أن v = v (t k).
3) أوجد القيمة التقريبية لنقطة الإزاحة خلال الفترة الزمنية ، سيتم الإشارة إلى هذه القيمة التقريبية بواسطة s k
\ (s_k = v (t_k) \ Delta t_k \)
4) أوجد القيمة التقريبية للإزاحة:
\ (s \ تقريبا S_n \) أين
\ (S_n = s_0 + \ dots + s_ (n-1) = v (t_0) \ Delta t_0 + \ dots + v (t_ (n-1)) \ Delta t_ (n-1) \)
5) الإزاحة المطلوبة تساوي حد التسلسل (S n):
$$ s = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

دعونا نلخص. تم اختزال حلول المشكلات المختلفة في نفس النموذج الرياضي. تؤدي العديد من المشكلات من مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا إلى نفس النموذج في عملية الحل. إذا هذا نموذج رياضيتحتاج إلى دراسة خاصة.

مفهوم التكامل المحدد

دعونا نقدم وصفًا رياضيًا للنموذج الذي تم إنشاؤه في المشكلات الثلاث المدروسة للدالة y = f (x) ، والتي هي مستمرة (ولكن ليس بالضرورة غير سالب ، كما تم افتراضه في المشكلات المدروسة) في المقطع [ أ؛ ب]:
1) تقسيم المقطع [أ ؛ ب] إلى ن أجزاء متساوية ؛
2) مجموع $$ S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + f (x_1) \ Delta x_1 + \ dots + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) $$
3) حساب $$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

في سياق التحليل الرياضي ، ثبت أن هذا الحد موجود في حالة دالة متصلة (أو متصلة متعددة التعريف). يسمى تكامل محدد للدالة y = f (x) فوق المقطع [a ؛ ب]ويشار إليها على النحو التالي:
\ (\ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)
يُطلق على الرقمين أ و ب حدود التكامل (الأدنى والأعلى ، على التوالي).

دعنا نعود إلى المهام التي تمت مناقشتها أعلاه. يمكن الآن إعادة كتابة تعريف المنطقة الوارد في المشكلة 1 على النحو التالي:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)
هنا S هي مساحة شبه المنحني المنحني الموضحة في الشكل أعلاه. هذا هو ما المعنى الهندسي للتكامل المحدد.

يمكن إعادة كتابة تعريف الإزاحة s لنقطة تتحرك في خط مستقيم بسرعة v = v (t) خلال الفترة الزمنية من t = a إلى t = b ، الوارد في المسألة 2 ، على النحو التالي:

صيغة نيوتن - ليبنيز

بادئ ذي بدء ، دعنا نجيب على السؤال: ما هي العلاقة بين التكامل المحدد والمشتق العكسي؟

يمكن إيجاد الإجابة في المشكلة 2. من ناحية أخرى ، فإن الإزاحة s لنقطة تتحرك على طول خط مستقيم بسرعة v = v (t) خلال فترة زمنية من t = a إلى t = b ويتم حسابها بواسطة الصيغة
\ (S = \ int \ limits_a ^ b v (t) dt \)

من ناحية أخرى ، فإن تنسيق النقطة المتحركة هو المشتق العكسي للسرعة - دعنا نشير إليها s (t) ؛ ومن ثم يتم التعبير عن الإزاحة بواسطة الصيغة s = s (b) - s (a). نتيجة لذلك ، نحصل على:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b v (t) dt = s (b) -s (a) \)
حيث s (t) هي المشتق العكسي لـ v (t).

تم إثبات النظرية التالية في سياق التحليل الرياضي.
نظرية. إذا كانت الدالة y = f (x) متصلة في المقطع [a ؛ ب] ، ثم الصيغة
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) \)
حيث F (x) هي المشتق العكسي لـ f (x).

عادة ما تسمى هذه الصيغة صيغة نيوتن ليبنيزتكريما للفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنيز (1646-1716) ، اللذين تلقاهما بشكل مستقل عن بعضهما البعض وفي نفس الوقت تقريبًا.

في الممارسة العملية ، بدلاً من كتابة F (b) - F (a) ، يستخدمون الترميز \ (\ left. F (x) \ right | _a ^ b \) (يطلق عليه أحيانًا استبدال مزدوج) وبناءً عليه ، أعد كتابة صيغة نيوتن-لايبنيز بهذا الشكل:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx = \ left. F (x) \ right | _a ^ b \)

بحساب تكامل محدد ، أوجد أولًا المشتق العكسي ، ثم نفذ تعويضًا مزدوجًا.

استنادًا إلى صيغة نيوتن-لايبنيز ، يمكن للمرء الحصول على خاصيتين للتكامل المحدد.

خاصية 1.تكامل مجموع الدوال يساوي مجموع التكاملات:
\ (\ int \ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx + \ int \ limits_a ^ b g (x) dx \)

خاصية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:
\ (\ int \ limits_a ^ b kf (x) dx = k \ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)

حساب مساحات الأشكال المستوية باستخدام تكامل محدد

باستخدام التكامل ، يمكنك حساب مساحة ليس فقط من المنحنيات المنحنية ، ولكن أيضًا للأشكال المسطحة أكثر من نوع معقد، مثل الذي يظهر في الشكل. الشكل P مقيّد بخطوط مستقيمة x = a و x = b ورسوم بيانية للوظائف المستمرة y = f (x) و y = g (x) وعلى المقطع [a ؛ ب] المتباينة \ (g (x) \ leq f (x) \) تحمل. لحساب المنطقة S لهذا الشكل ، سنمضي على النحو التالي:
\ (S = S_ (ABCD) = S_ (aDCb) - S_ (aABb) = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx - \ int \ limits_a ^ b g (x) dx = \)
\ (= \ int \ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

لذا ، فإن المنطقة S من الشكل تحدها الخطوط المستقيمة x = a و x = b والرسوم البيانية للوظائف y = f (x) و y = g (x) ، وهي متصلة على المقطع وهذا بالنسبة لأي x من المقطع [أ ؛ ب] يتم استيفاء عدم المساواة \ (g (x) \ leq f (x) \) ، ويتم حسابها بواسطة الصيغة
\ (S = \ int \ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

جدول التكاملات غير المحددة (المشتقات العكسية) لبعض الوظائف

$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \ ؛ \ ؛ (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \؛ \؛ (a> 0، \؛ \؛ a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C $$

دع الدالة تكون غير سالبة ومستمرة في الفترة. ثم حسب المعنى الهندسيمن التكامل المحدد ، مساحة شبه منحني منحني الخط يحدها من الأعلى بالرسم البياني لهذه الوظيفة ، من الأسفل بالمحور ، من اليسار واليمين بخطوط مستقيمة و (انظر الشكل 2) تُحسب بالصيغة

المثال 9أوجد مساحة الشكل التي يحدها الخط والمحور.

حل. رسم بياني وظيفي هو القطع المكافئ الذي تشير فروعه إلى أسفل. دعونا نبنيها (الشكل 3). لتحديد حدود التكامل ، نجد نقاط تقاطع الخط (القطع المكافئ) مع المحور (الخط المستقيم). للقيام بذلك ، نحل نظام المعادلات

نحن نحصل: ، أين ، ؛ لذلك، ، .

أرز. 3

تم العثور على مساحة الشكل بالصيغة (5):

إذا كانت الوظيفة غير موجبة ومستمرة على المقطع ، فإن مساحة شبه المنحني المنحني ، يحدها من الأسفل الرسم البياني لهذه الوظيفة ، من الأعلى بالمحور ، من اليسار واليمين بخطوط مستقيمة و ، محسوبة بالصيغة

. (6)

إذا كانت الوظيفة متصلة على مقطع وعلامة التغييرات عند عدد محدود من النقاط ، فإن مساحة الشكل المظلل (الشكل 4) تساوي المجموع الجبري للتكاملات المحددة المقابلة:

أرز. 4

المثال 10احسب مساحة الشكل المحدد بالمحور والرسم البياني للدالة لـ.

أرز. 5

حل. لنقم برسم (الشكل 5). المنطقة المطلوبة هي مجموع المساحات و. دعونا نجد كل من هذه المجالات. أولاً ، نحدد حدود التكامل من خلال حل النظام نحن نحصل ، . لذلك:

;

وبالتالي ، فإن مساحة الشكل المظلل هي

(وحدات مربعة).

أرز. 6

دعنا أخيرًا ، يتم تقييد شبه منحرف الشكل من أعلى وأسفل برسوم بيانية للوظائف المستمرة على المقطع و ،
وعلى اليسار واليمين - مستقيم و (الشكل 6). ثم يتم حساب مساحتها بواسطة الصيغة

. (8)

المثال 11.أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط و.

حل.يظهر هذا الرقم في الشكل. 7. نحسب مساحتها باستخدام الصيغة (8). حل نظام المعادلات ، نجد ، ؛ لذلك، ، . في الجزء لدينا:. ومن ثم ، في الصيغة (8) نأخذ على النحو التالي x، و كما - . نحن نحصل:

(وحدات مربعة).

يتم حل المشكلات الأكثر تعقيدًا لحساب المناطق عن طريق تقسيم الشكل إلى أجزاء غير متقاطعة وحساب مساحة الشكل بالكامل كمجموع مناطق هذه الأجزاء.

أرز. 7

المثال 12.أوجد مساحة الشكل المحصور بالخطوط ، ،.

حل. لنقم برسم (الشكل 8). يمكن اعتبار هذا الشكل شبه منحني منحني الأضلاع يحده من الأسفل المحور ، من اليسار واليمين - بخطوط مستقيمة ، ومن أعلى - بواسطة الرسوم البيانية للوظائف و. نظرًا لأن الشكل يحده من الأعلى رسوم بيانية لوظيفتين ، لحساب مساحته ، نقسم هذا الشكل المستقيم إلى جزأين (1 هو الحد الأقصى لنقطة تقاطع الخطين و). تم العثور على مساحة كل جزء من هذه الأجزاء بالصيغة (4):

(وحدات مربعة) ؛ (وحدات مربعة). لذلك:

(وحدات مربعة).

أرز. 8

X= ي ( في)

أرز. 9

في الختام ، نلاحظ أنه إذا كان شبه منحني منحني الأضلاع محددًا بخطوط مستقيمة وكان المحور ومستمرًا على المنحنى (الشكل 9) ، فسيتم العثور على مساحته بواسطة الصيغة

حجم جسم الثورة

دع شبه منحني منحني الخطوط يحده رسم بياني لوظيفة متصلة على قطعة ، محور ، خطوط مستقيمة وتدور حول المحور (الشكل 10). ثم يتم حساب حجم الجسم الناتج للثورة بواسطة الصيغة

. (9)

المثال 13احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور شبه منحني منحني الخط يحده قطع زائد وخطوط مستقيمة ومحور.

حل. لنقم برسم (الشكل 11).

ويترتب على حالة المشكلة أن ،. بالصيغة (9) نحصل عليها

أرز. 10

أرز. أحد عشر

يتم الحصول على حجم الجسم بالدوران حول محور OUشبه منحرف منحني الأضلاع يحده خطوط مستقيمة ص = جو ص = دالمحور OUوالرسم البياني لوظيفة متصلة على قطعة (الشكل 12) ، تحددها الصيغة

. (10)

X= ي ( في)

أرز. 12

المثال 14. احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول محور OUشبه منحرف منحني الأضلاع تحده خطوط X 2 = 4في, ص = 4, س = 0 (الشكل 13).

حل. حسب حالة المشكلة نجد حدود التكامل:،. بالصيغة (10) نحصل على:

أرز. 13

طول قوس منحنى مسطح

دع منحنى المعادلة ، حيث ، يقع في مستوى (الشكل 14).

أرز. 14

تعريف. يُفهم طول القوس على أنه الحد الذي يميل إليه طول الخط متعدد الخطوط المدرج في هذا القوس عندما يميل عدد روابط الخطوط المتعددة إلى اللانهاية ، ويميل طول الرابط الأكبر إلى الصفر.

إذا كانت الدالة ومشتقاتها متصلتين على المقطع ، فسيتم حساب طول قوس المنحنى بواسطة الصيغة

. (11)

المثال 15. احسب طول قوس المنحنى المحصور بين النقطتين .

حل. من حالة المشكلة لدينا . بالصيغة (11) نحصل على:

4. التكاملات غير الصحيحة
مع حدود لا حصر لها من التكامل

عند تقديم مفهوم التكامل المحدد ، كان من المفترض أن الشرطين التاليين مستوفيان:

أ) حدود التكامل أومحدودة.

ب) يتم تقييد التكامل على المقطع.

إذا لم يتم استيفاء أحد هذه الشروط على الأقل ، فسيتم استدعاء التكامل غير مناسب.

دعونا أولاً نفكر في التكاملات غير الصحيحة ذات حدود التكامل اللانهائية.

تعريف. دع الوظيفة تُحدد وتتواصل على الفاصل الزمني ، إذنوغير مقيد على اليمين (الشكل 15).

إذا تقارب التكامل غير الصحيح ، فإن هذه المنطقة محدودة ؛ إذا تباعد التكامل غير الصحيح ، فإن هذه المنطقة لا نهائية.

أرز. 15

يتم تعريف التكامل غير المناسب مع حد أدنى لانهائي من التكامل بالمثل:

. (13)

يتقارب هذا التكامل إذا كان الحد على الجانب الأيمن من المساواة (13) موجودًا ومحدودًا ؛ وإلا سيقال أن التكامل متباعد.

يتم تعريف التكامل غير الصحيح مع حدين لا حصر لهما من التكامل على النحو التالي:

, (14)

حيث с هي أي نقطة في الفترة الزمنية. يتقارب التكامل فقط إذا كان كلا التكاملات يتقاربان على الجانب الأيمن من المساواة (14).

;

ز) = [حدد المربع الكامل في المقام:] = [إستبدال:

] =

ومن ثم ، فإن التكامل غير الصحيح يتقارب وقيمته تساوي.