واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل

ننتقل الآن إلى النظر في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. في هذا الدرس ، سنقوم بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا. كيفية استخدام تكامل محدد لحساب مساحة الشكل المستوي. أخيرًا ، أولئك الذين يبحثون عن معنى في الرياضيات العليا - ربما يجدونها. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية ، سيتعين عليك تقريب كوخ صيفي بوظائف أولية وإيجاد مساحته باستخدام جزء تكامل معين.

لإتقان المادة بنجاح ، يجب عليك:

1) فهم تكامل غير محددعلى الأقل بمستوى متوسط. وبالتالي ، يجب على الدمى قراءة الدرس أولاً لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات معينة على الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذلك ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مسألة أكثر صلة. في هذا الصدد ، من المفيد تحديث ذاكرة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الرئيسية ، وكحد أدنى ، لتكون قادرًا على بناء خط مستقيم ، وقطع مكافئ ، وقطع زائد. يمكن القيام بذلك (يحتاج الكثير) بمساعدة المواد المنهجيةومقالات عن التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

في الواقع ، الجميع على دراية بمشكلة إيجاد المنطقة باستخدام جزء متكامل محدد منذ المدرسة ، وسنتقدم قليلاً المناهج الدراسية. قد لا توجد هذه المقالة على الإطلاق ، ولكن الحقيقة هي أن المشكلة تحدث في 99 حالة من أصل 100 ، عندما يعذب الطالب من قبل برج مكروه بحماس يتقن دورة في الرياضيات العليا.

يتم تقديم مواد هذه الورشة ببساطة ، بالتفصيل وبأقل قدر من النظرية.

دعنا نبدء ب منحني الأضلاع شبه منحرف.

منحني الشكل شبه منحرفيسمى الشكل المسطح الذي يحده المحور ، والخطوط المستقيمة ، والرسم البياني لوظيفة متصلة على مقطع لا يغير علامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقلالإحداثي السيني:

ثم مساحة شبه منحرف منحني الخطي تساوي عدديًا تكاملًا معينًا. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس واضح لا يتجزأ. أمثلة الحلقلت أن العدد المحدد هو العدد. والآن حان الوقت لذكر آخر حقيقة مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.

إنه، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في إكمال الرسم) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أولا و النقطة الحاسمةالحلول - الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم يمين.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: في البدايهمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط ثم- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. تعد الرسوم البيانية الوظيفية أكثر ربحية للبناء نقطة بنقطة، يمكن العثور على تقنية البناء النقطي في المواد المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنقم برسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أفقس شبه منحني منحني الأضلاع ، فمن الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها هنا. يستمر الحل على هذا النحو:

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا السبب:

إجابة:

من لديه صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

حل: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع يقع تحت المحور(أو على الأقل ليس أعلىمحور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا تخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

حل: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية البناء نقطة بنقطة لمختلف المخططات بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

أكرر أنه مع البناء النقطي ، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل: إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة في الفترة الزمنية أكبر من أو يساوييمكن العثور على بعض الوظائف المستمرة ، ثم مساحة الشكل المقيدة بالرسوم البيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة ، بواسطة الصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبصورة تقريبية ، يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

الشكل المطلوب محدد بقطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة:

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحني منحني الشكل في نصف المستوى السفلي (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة . نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة ليس أعلىالمحاور إذن

والآن بعض الأمثلة لحل مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط.

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل معين ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، والحسابات كانت صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ... وجدت منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المطيع عدة مرات. هذه حالة واقعية:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

حل: لنرسم أولاً:

... آه ، خرج الرسم هراء ، لكن كل شيء يبدو مقروءًا.

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن في الممارسة العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يحدث "خلل" ، تحتاج إلى العثور على منطقة الشكل المظللة بالأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابة:

دعنا ننتقل إلى مهمة أخرى ذات مغزى.

المثال 8

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نقدم المعادلات في شكل "مدرسة" ، ونقوم برسم نقطة بنقطة:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد":.
لكن ما هو الحد الأدنى؟ من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن ماذا؟ ربما ؟ ولكن أين هو الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يتضح ذلك. أو الجذر. ماذا لو لم نحصل على الرسم البياني بشكل صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

لنجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة:


,

حقًا، .

الحل الإضافي تافه ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أسهل.

على الجزء ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة:

حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط ،

حل: ارسم هذا الشكل في الرسم.

لعنة ، لقد نسيت أن أوقع على الجدول ، وأعيد الصورة ، آسف ، ليس hotz. ليس رسمًا ، باختصار ، اليوم هو اليوم =)

للبناء النقطي ، عليك أن تعرف مظهرأشباه الجيوب (وبشكل عام من المفيد أن تعرف الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك:

مساحة شبه منحرف منحني الخطوط تساوي عدديًا تكاملًا معينًا

أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الفصل ، قلت أن التكامل المحدد هو الرقم. والآن حان الوقت لذكر حقيقة أخرى مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.

إنه، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى منحنىًا معينًا على المستوى (يمكن دائمًا رسمه إذا رغبت في ذلك) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أول وأهم لحظة في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم يمين.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: في البدايهمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط ثم- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. تعد الرسوم البيانية الوظيفية أكثر ربحية للبناء نقطة بنقطةيمكن العثور على تقنية البناء النقطي في المادة المرجعية.

هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنقم برسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أفقس شبه منحني منحني الأضلاع ، فمن الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها هنا. يستمر الحل على هذا النحو:

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا السبب:

إجابة:

من لديه صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

الحل: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تماما تحت المحور، ثم يمكن العثور على مساحتها من خلال الصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

الحل: تحتاج أولاً إلى عمل رسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن.

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية البناء نقطة بنقطة لمختلف المخططات بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

أكرر أنه مع البناء النقطي ، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل:إذا كان على قطعة بعض الوظائف المستمرة أكبر من أو يساويبعض الوظائف المستمرة ، ثم يمكن العثور على مساحة الشكل المقابل بالصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبصورة تقريبية ، يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

الشكل المطلوب محدد بقطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة:

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحني منحني الشكل في نصف المستوى السفلي (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة . نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة أسفل المحور ، إذن

والآن بعض الأمثلة لحل مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط.

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل معين ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، والحسابات كانت صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ... وجدت منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المطيع عدة مرات. هذه حالة واقعية:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

لنرسم أولاً:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما تحتاج إلى العثور على مساحة الشكل المظللة باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابة:

المثال 8

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نقدم المعادلات في شكل "مدرسة" ، ونقوم برسم نقطة بنقطة:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد":.
لكن ما هو الحد الأدنى؟ من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن ماذا؟ ربما ؟ ولكن أين هو الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يتضح ذلك. أو الجذر. ماذا لو لم نحصل على الرسم البياني بشكل صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

لنجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة:

لذلك، .

الحل الإضافي تافه ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أسهل.

على الجزء ، وفقًا للصيغة المقابلة:

حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط ،

الحل: ارسم هذا الشكل في الرسم.

لبناء رسم نقطة بنقطة ، من الضروري معرفة مظهر الجيوب الأنفية (وبشكل عام من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك:

(1) يمكن رؤية كيفية دمج الجيب وجيب التمام في القوى الفردية في الدرس تكاملات الدوال المثلثية. هذه تقنية نموذجية ، نضغط على جيب واحد.

(2) استخدم الأساسي الهوية المثلثيةمثل

(3) دعنا نغير المتغير ، ثم:

إعادة توزيع جديدة للتكامل:

من هو حقًا عمل سيء مع البدائل ، يرجى الذهاب إلى الدرس طريقة الاستبدال في تكامل غير محدد. بالنسبة لأولئك الذين ليسوا واضحين للغاية بشأن خوارزمية الاستبدال في تكامل محدد ، قم بزيارة الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

الموضوع: حساب مساحة الشكل المسطح باستخدام تكامل محدد

المهام: تعلم التعريف والصيغ لإيجاد منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع ؛

النظر في حالات مختلفة لإيجاد منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع ؛

كن قادرًا على حساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع.

يخطط:

منحني الشكل شبه منحرف.

صيغ لحساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع.

منحني الشكل شبه منحرفيسمى الشكل ، وهو مقيد بالرسم البياني لوظيفة مستمرة غير سالبة f (x) على الفاصل الزمني ، ومقاطع الخط x = a و x = b ، وكذلك جزء من المحور x بين النقاط a وب.

صور شبه منحنية الخطوط:

الآن دعنا ننتقل إلى خياراتموقع الأشكال التي يجب حساب مساحتها على المستوى الإحداثي.

أولاً سيكون هناك أبسط خيار (الصورة الأولى) ، المعتاد منحني الأضلاع شبه منحرف، كما في التعريف. ليست هناك حاجة لاختراع أي شيء هنا ، فقط خذ التكامل من أقبل بمن الوظيفة و (خ). نجد التكامل - سنعرف مساحة هذا شبه المنحرف.


في ثانية الخيار ، لن يقتصر رقمنا على المحور السيني ، ولكن بدالة أخرى ز (س). لذلك ، للعثور على المنطقة CEFD، علينا أولاً إيجاد المساحة AEFB(باستخدام تكامل و (خ)) ، ثم ابحث عن المنطقة ACDB(باستخدام تكامل ز (س)). والمساحة المطلوبة من الشكل CEFD، سيكون الفرق بين المنطقتين الأولى والثانية من شبه المنحرف المنحني الخطي. نظرًا لأن حدود التكامل هي نفسها هنا ، يمكن كتابة كل هذا تحت تكامل واحد (انظر الصيغ أسفل الشكل) كل هذا يتوقف على مدى تعقيد الوظائف ، وفي هذه الحالة سيكون من الأسهل العثور على التكامل.



ثالث يشبه إلى حد كبير الأول ، ولكن فقط شبه منحرف لدينا يتم وضعه ، وليس فوق المحور السينيوتحتها. لذلك ، هنا يجب أن نأخذ نفس التكامل ، فقط بعلامة ناقص ، لأن قيمة التكامل ستكون سالبة ، وقيمة المنطقة يجب أن تكون موجبة. إذا بدلا من وظيفة و (خ)تأخذ وظيفة -f (س)، فسيكون الرسم البياني الخاص به هو نفسه معروضًا بشكل متماثل ببساطة بالنسبة إلى المحور x.


و الرابعخيار عندما يكون جزء من الشكل أعلى المحور السيني والجزء السفلي منه. لذلك ، يجب علينا أولًا إيجاد مساحة الشكل AEFB، كما في الإصدار الأول ، ثم مساحة الشكل ا ب ت ثكما في الخيار الثالث ثم قم بإضافتها. نتيجة لذلك ، نحصل على مساحة الشكل DEFC. نظرًا لأن حدود التكامل هي نفسها هنا ، يمكن كتابتها كلها تحت تكامل واحد (انظر الصيغ أسفل الشكل) كل هذا يتوقف على مدى تعقيد الوظائف ، وفي هذه الحالة سيكون من الأسهل العثور على التكامل.

أسئلة للفحص الذاتي:

ما هو الشكل الذي يسمى شبه منحرف منحني الأضلاع؟

كيفية إيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع؟

دع الدالة تكون غير سالبة ومستمرة في الفترة. ثم حسب المعنى الهندسيمن التكامل المحدد ، مساحة شبه منحني منحني الخط يحدها من الأعلى بالرسم البياني لهذه الوظيفة ، من الأسفل بالمحور ، من اليسار واليمين بخطوط مستقيمة و (انظر الشكل 2) تُحسب بالصيغة

المثال 9أوجد مساحة الشكل التي يحدها الخط والمحور.

حل. رسم بياني وظيفي هو القطع المكافئ الذي تشير فروعه إلى أسفل. دعونا نبنيها (الشكل 3). لتحديد حدود التكامل ، نجد نقاط تقاطع الخط (القطع المكافئ) مع المحور (الخط المستقيم). للقيام بذلك ، نحل نظام المعادلات

نحن نحصل: ، أين ، ؛ لذلك، ، .

أرز. 3

تم العثور على مساحة الشكل بالصيغة (5):

إذا كانت الوظيفة غير موجبة ومستمرة على المقطع ، فإن مساحة شبه المنحني المنحني ، يحدها من الأسفل الرسم البياني لهذه الوظيفة ، من الأعلى بالمحور ، من اليسار واليمين بخطوط مستقيمة و ، محسوبة بالصيغة

. (6)

إذا كانت الوظيفة متصلة على مقطع وعلامة التغييرات عند عدد محدود من النقاط ، فإن مساحة الشكل المظلل (الشكل 4) تساوي المجموع الجبري للتكاملات المحددة المقابلة:

أرز. 4

المثال 10احسب مساحة الشكل المحدد بالمحور والرسم البياني للدالة لـ.

أرز. 5

حل. لنقم برسم (الشكل 5). المنطقة المطلوبة هي مجموع المساحات و. دعونا نجد كل من هذه المجالات. أولاً ، نحدد حدود التكامل من خلال حل النظام نحن نحصل ، . لذلك:

;

.

وبالتالي ، فإن مساحة الشكل المظلل هي

(وحدات مربعة).

أرز. 6

دعنا أخيرًا ، يتم تقييد شبه منحرف الشكل من أعلى وأسفل برسوم بيانية للوظائف المستمرة على المقطع و ،
وعلى اليسار واليمين - مستقيم و (الشكل 6). ثم يتم حساب مساحتها بواسطة الصيغة

. (8)

المثال 11.أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط و.

حل.يظهر هذا الرقم في الشكل. 7. نحسب مساحتها باستخدام الصيغة (8). حل نظام المعادلات ، نجد ، ؛ لذلك، ، . في الجزء لدينا:. ومن ثم ، في الصيغة (8) نأخذ على النحو التالي x، و كما - . نحن نحصل:

(وحدات مربعة).

يتم حل المشكلات الأكثر تعقيدًا لحساب المناطق عن طريق تقسيم الشكل إلى أجزاء غير متقاطعة وحساب مساحة الشكل بالكامل كمجموع مناطق هذه الأجزاء.

أرز. 7

المثال 12.أوجد مساحة الشكل المحصور بالخطوط ، ،.

حل. لنقم برسم (الشكل 8). يمكن اعتبار هذا الشكل شبه منحني منحني الأضلاع يحده من الأسفل المحور ، من اليسار واليمين - بخطوط مستقيمة ، ومن أعلى - بواسطة الرسوم البيانية للوظائف و. نظرًا لأن الشكل يحده من الأعلى رسوم بيانية لوظيفتين ، لحساب مساحته ، نقسم هذا الشكل المستقيم إلى جزأين (1 هو الحد الأقصى لنقطة تقاطع الخطين و). تم العثور على مساحة كل جزء من هذه الأجزاء بالصيغة (4):

(وحدات مربعة) ؛ (وحدات مربعة). لذلك:

(وحدات مربعة).

أرز. 8

X= ي ( في)

أرز. 9

في الختام ، نلاحظ أنه إذا كان شبه منحني منحني الأضلاع محددًا بخطوط مستقيمة وكان المحور ومستمرًا على المنحنى (الشكل 9) ، فسيتم العثور على مساحته بواسطة الصيغة

حجم جسم الثورة

دع شبه منحني منحني الخطوط يحده رسم بياني لوظيفة متصلة على قطعة ، محور ، خطوط مستقيمة وتدور حول المحور (الشكل 10). ثم يتم حساب حجم الجسم الناتج للثورة بواسطة الصيغة

. (9)

المثال 13احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور شبه منحني منحني الخط يحده قطع زائد وخطوط مستقيمة ومحور.

حل. لنقم برسم (الشكل 11).

ويترتب على حالة المشكلة أن ،. بالصيغة (9) نحصل عليها

.

أرز. 10

أرز. أحد عشر

يتم الحصول على حجم الجسم بالدوران حول محور OUشبه منحرف منحني الأضلاع يحده خطوط مستقيمة ص = جو ص = دالمحور OUوالرسم البياني لوظيفة متصلة على قطعة (الشكل 12) ، تحددها الصيغة

. (10)

X= ي ( في)

أرز. 12

المثال 14. احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول محور OUشبه منحرف منحني الأضلاع تحده خطوط X 2 = 4في, ص = 4, س = 0 (الشكل 13).

حل. حسب حالة المشكلة نجد حدود التكامل:،. بالصيغة (10) نحصل على:

أرز. 13

طول قوس منحنى مسطح

دع منحنى المعادلة ، حيث ، يقع في مستوى (الشكل 14).

أرز. 14

تعريف. يُفهم طول القوس على أنه الحد الذي يميل إليه طول الخط متعدد الخطوط المدرج في هذا القوس عندما يميل عدد روابط الخطوط المتعددة إلى اللانهاية ، ويميل طول الرابط الأكبر إلى الصفر.

إذا كانت الدالة ومشتقاتها متصلتين على المقطع ، فسيتم حساب طول قوس المنحنى بواسطة الصيغة

. (11)

المثال 15. احسب طول قوس المنحنى المحصور بين النقطتين .

حل. من حالة المشكلة لدينا . بالصيغة (11) نحصل على:

4. التكاملات غير الصحيحة
مع حدود لا حصر لها من التكامل

عند تقديم مفهوم التكامل المحدد ، كان من المفترض أن الشرطين التاليين مستوفيان:

أ) حدود التكامل أومحدودة.

ب) يتم تقييد التكامل على المقطع.

إذا لم يتم استيفاء أحد هذه الشروط على الأقل ، فسيتم استدعاء التكامل غير مناسب.

دعونا أولاً نفكر في التكاملات غير الصحيحة ذات حدود التكامل اللانهائية.

تعريف. دع الوظيفة تُحدد وتتواصل على الفاصل الزمني ، إذنوغير مقيد على اليمين (الشكل 15).

إذا تقارب التكامل غير الصحيح ، فإن هذه المنطقة محدودة ؛ إذا تباعد التكامل غير الصحيح ، فإن هذه المنطقة لا نهائية.

أرز. 15

يتم تعريف التكامل غير المناسب مع حد أدنى لانهائي من التكامل بالمثل:

. (13)

يتقارب هذا التكامل إذا كان الحد على الجانب الأيمن من المساواة (13) موجودًا ومحدودًا ؛ وإلا سيقال أن التكامل متباعد.

يتم تعريف التكامل غير الصحيح مع حدين لا حصر لهما من التكامل على النحو التالي:

, (14)

حيث с هي أي نقطة في الفترة الزمنية. يتقارب التكامل فقط إذا كان كلا التكاملات يتقاربان على الجانب الأيمن من المساواة (14).

;

ز) = [حدد المربع الكامل في المقام:] = [إستبدال:

] =

ومن ثم ، فإن التكامل غير الصحيح يتقارب وقيمته تساوي.

ضع في اعتبارك شبه منحني منحني الخطي يحده محور الثور ، ومنحنى y \ u003d f (x) وخطين مستقيمين: x \ u003d a و x \ u003d b (الشكل 85). خذ قيمة عشوائية لـ x (فقط ليس a وليس b). دعونا نعطيها زيادة h = dx ونفكر في شريط يحده خطوط مستقيمة AB و CD ومحور Ox وبقوس BD الذي ينتمي إلى المنحنى قيد الدراسة. سيطلق على هذا الشريط اسم الشريط الأولي. تختلف مساحة الشريط الأولي عن مساحة المستطيل ACQB بمثلث منحني الخط BQD ، ومنطقة الأخير مساحة أقل المستطيل BQDM بجوانب BQ = h = dx) QD = Ay ومساحة تساوي hAy = Ay dx. مع انخفاض الضلع h ، يتناقص الجانب Du أيضًا ، وبالتزامن مع h ، يميل إلى الصفر. لذلك ، فإن مساحة BQDM هي متناهية الصغر من الدرجة الثانية. مساحة الشريط الأولي هي زيادة المساحة ، ومساحة المستطيل ACQB ، التي تساوي AB-AC == / (x) dx> هي تفاضل المساحة. لذلك ، نجد المساحة نفسها من خلال تكامل تفاضلها. ضمن حدود الشكل قيد النظر ، المتغير المستقل l: يتغير من a إلى b ، وبالتالي فإن المساحة المطلوبة 5 ستكون مساوية لـ 5 = \ f (x) dx. (I) مثال 1. احسب المنطقة التي يحدها القطع المكافئ y - 1 -x * ، والخطوط المستقيمة X \ u003d - Fj- ، x \ u003d 1 والمحور O * (الشكل 86). في التين. 87. التين. 86. 1 هنا f (x) = 1 - l؟ ، حدود التكامل a = - و t = 1 ، وبالتالي 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * مثال 2. احسب المنطقة التي يحدها الجيب الجيبي y = sinXy ومحور الثور والخط المستقيم (الشكل 87). بتطبيق الصيغة (I) ، نحصل على L 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf مع محور الثور (على سبيل المثال ، بين الأصل والنقطة التي بها حدود الإحداثية i). لاحظ أنه من الاعتبارات الهندسية فمن الواضح أن هذه المنطقة ستكون ضعف مساحة المثال السابق. ومع ذلك ، لنقم بالحسابات: i 5 = | s \ nxdx \ u003d [- cosx) * - - cos i- (- cos 0) \ u003d 1 + 1 \ u003d 2. o في الواقع ، تبين أن افتراضنا عادل. مثال 4. احسب المساحة التي يحدها الجيوب الأنفية والمحور ^ الثور في فترة واحدة (الشكل 88). تشير الأحكام الأولية على شكل ras إلى أن المنطقة ستصبح أكبر أربع مرات من الرقم 2. ومع ذلك ، بعد إجراء الحسابات ، نحصل على "i G ، * i S - \ sin x dx \ u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \ u003d - 1 + 1 \ u003d 0. هذه النتيجة تتطلب توضيحًا. لتوضيح جوهر الأمر ، نحسب أيضًا المنطقة التي يحدها نفس الجيوب الأنفية y \ u003d sin l: ومحور الثور يتراوح من l إلى 2n. بتطبيق الصيغة (I) ، نحصل عليها وهكذا ، نرى أن هذه المنطقة تبين أنها سلبية. بمقارنتها مع المساحة المحسوبة في المثال 3 ، نجد أن قيمها المطلقة هي نفسها ، لكن العلامات مختلفة. إذا طبقنا الخاصية V (انظر الفصل الحادي عشر ، الفقرة 4) ، فإننا نحصل عليها بالصدفة. دائمًا ما يتم الحصول على المساحة الواقعة أسفل المحور x ، بشرط أن يتغير المتغير المستقل من اليسار إلى اليمين ، عن طريق الحساب باستخدام التكاملات السالبة. في هذه الدورة ، سننظر دائمًا في المناطق غير الموقعة. لذلك ، ستكون الإجابة في المثال الذي تم تحليله للتو كما يلي: المساحة المطلوبة تساوي 2 + | -2 | = 4. مثال 5. دعونا نحسب مساحة BAB الموضحة في الشكل. 89. هذه المنطقة محدودة بمحور الثور ، القطع المكافئ y = - xr والخط المستقيم y - = -x + \. منطقة شبه منحنية منحنية الخطوط تتكون المنطقة المرغوبة OAB من جزأين: OAM و MAB. نظرًا لأن النقطة A هي نقطة تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم ، فسنجد إحداثياتها من خلال حل نظام المعادلات 3 2 Y \ u003d mx. (نحتاج فقط لإيجاد حدود النقطة أ). حل النظام نجد ل ؛ = ~. لذلك ، يجب حساب المنطقة في أجزاء ، أول رر. OAM ، ثم رر. MAV: .... G 3 2، 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM- ^ x)