خطای جرم نسبی خطای نسبی عدد تقریبی

انشا

خطای مطلق و نسبی

معرفی

خطای مطلق - تخمینی از خطای مطلق اندازه گیری است. محاسبه شد راه های مختلف. روش محاسبه با توزیع متغیر تصادفی تعیین می شود. بر این اساس، بزرگی خطای مطلق بسته به توزیع متغیر تصادفی است ممکن است متفاوت باشد اگر مقدار اندازه گیری شده است و - معنی واقعی، سپس نابرابری باید با مقداری احتمال نزدیک به 1 برآورده شود مقدار تصادفی طبق یک قانون عادی توزیع می شود، سپس انحراف معیار آن معمولاً به عنوان خطای مطلق در نظر گرفته می شود. خطای مطلق در همان واحدهای خود کمیت اندازه گیری می شود.

روش های مختلفی برای نوشتن یک کمیت به همراه خطای مطلق آن وجود دارد.

· معمولاً از نمادهای امضا شده استفاده می شود ± . به عنوان مثال، رکورد 100 متر که در سال 1983 ثبت شد، است 0.005±9.930 ثانیه.

· برای ثبت مقادیر اندازه گیری شده با دقت بسیار بالا، از نماد دیگری استفاده می شود: اعداد مربوط به خطا ارقام آخرمانتیس ها در پرانتز اضافه می شوند. به عنوان مثال، مقدار اندازه گیری شده ثابت بولتزمن است 1,380 6488 (13) × 10?23 J/C، که همچنین می تواند بسیار طولانی تر به عنوان نوشته شود 1,380 6488×10?23 ± 0.000 0013×10?23 J/C.

خطای مربوطه - خطای اندازه گیری که به صورت نسبت خطای مطلق اندازه گیری به مقدار واقعی یا متوسط ​​مقدار اندازه گیری شده بیان می شود (RMG 29-99):.

خطای نسبی یک کمیت بدون بعد است یا به صورت درصد اندازه گیری می شود.

1. مقدار تقریبی چیست؟

با زیاده روی و ناکافی؟ در فرآیند محاسبات، اغلب باید با اعداد تقریبی سر و کار داشت. اجازه دهید آ- ارزش دقیقبا یک مقدار مشخص که از این پس نامیده می شود عدد دقیق Aزیر مقدار تقریبی آ،یا اعداد تقریبیشماره تماس گرفت آ، جایگزین مقدار دقیق مقدار می شود آ.اگر آ< آ،که آمقدار تقریبی عدد نامیده می شود و برای کمبود.اگر آ> آ،- اون با زیاده رویبه عنوان مثال، 3.14 تقریبی از عدد است ? با کمبود، و 3.15 - با بیش از حد. برای مشخص کردن درجه دقت این تقریب، از مفهوم استفاده می شود خطاهایا خطاها

خطا ?آعدد تقریبی آتفاوت شکل نامیده می شود

?a = A - a،

جایی که آ- عدد دقیق مربوطه

از شکل مشخص می شود که طول قطعه AB بین 6 تا 7 سانتی متر است.

این بدان معنی است که 6 مقدار تقریبی طول قطعه AB (بر حسب سانتی متر) > با کمبود و 7 با مقدار اضافی است.

با نشان دادن طول پاره با حرف y به دست می آید: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина بخشAB (نگاه کنید به شکل 149) به 6 سانتی متر نزدیک تر از 7 سانتی متر است تقریباً برابر با 6 سانتی متر است. آنها می گویند که عدد 6 با گرد کردن طول قطعه به اعداد کامل به دست آمده است.

. خطای تقریب چیست؟

الف) مطلق؟

ب) نسبی؟

الف) خطای مطلق تقریب، مقدار اختلاف بین مقدار واقعی یک کمیت و مقدار تقریبی آن است. |x - x_n|، جایی که x مقدار واقعی است، x_n مقدار تقریبی است. به عنوان مثال: طول یک ورق کاغذ A4 (29.7 ± 0.1) سانتی متر است و فاصله سن پترزبورگ تا مسکو (650 ± 1) کیلومتر است. خطای مطلق در مورد اول از یک میلی متر تجاوز نمی کند و در مورد دوم - یک کیلومتر. سوال این است که دقت این اندازه گیری ها را با هم مقایسه کنیم.

اگر فکر می کنید که طول ورق با دقت بیشتری اندازه گیری می شود زیرا خطای مطلق از 1 میلی متر تجاوز نمی کند. پس شما اشتباه می کنید. این مقادیر را نمی توان مستقیماً مقایسه کرد. بیایید کمی استدلال کنیم.

هنگام اندازه گیری طول یک ورق، خطای مطلق از 0.1 سانتی متر در 29.7 سانتی متر تجاوز نمی کند، یعنی بر حسب درصد 0.1/29.7 * 100٪ = 0.33٪ از مقدار اندازه گیری شده است.

هنگامی که فاصله سن پترزبورگ تا مسکو را اندازه گیری می کنیم، خطای مطلق از 1 کیلومتر در 650 کیلومتر تجاوز نمی کند که به عنوان درصد 1/650 * 100٪ = 0.15٪ از مقدار اندازه گیری شده است. می بینیم که فاصله بین شهرها با دقت بیشتری نسبت به طول یک برگه A4 اندازه گیری می شود.

ب) خطای تقریب نسبی نسبت خطای مطلق به قدر مطلق مقدار تقریبی یک کمیت است.

کسر خطای ریاضی

جایی که x مقدار واقعی است، x_n مقدار تقریبی است.

خطای نسبی معمولاً به صورت درصد بیان می شود.

مثال. با گرد کردن عدد 24.3 به واحد، عدد 24 به دست می آید.

خطای نسبی برابر است. آنها می گویند که خطای نسبی در این مورد 12.5 درصد است.

) چه نوع گردی را گرد می گویند؟

الف) با یک نقطه ضعف؟

ب) بیش از حد؟

الف) گرد کردن

هنگام گرد کردن عددی که به صورت کسری اعشاری بیان می شود به نزدیکترین 10^(-n)، n رقم اعشار اول حفظ می شود و اعشار بعدی کنار گذاشته می شوند.

برای مثال، با گرد کردن 12.4587 به نزدیکترین هزارم، 12.458 به دست می آید.

ب) گرد کردن

هنگام گرد کردن عددی که به صورت کسری اعشاری بیان می شود به نزدیکترین 10^(-n)، n رقم اعشار اول بیش از حد باقی می ماند و اعشار بعدی کنار گذاشته می شوند.

به عنوان مثال، با گرد کردن 12.4587 به نزدیکترین هزارم، به 12.459 می رسیم.

) قانون گرد کردن اعشار.

قانون. گرد کردن اعشاریبه یک رقم معین از یک عدد صحیح یا کسری، تمام ارقام کوچکتر با صفر جایگزین می شوند یا کنار گذاشته می شوند و رقم قبل از رقمی که در حین گرد کردن دور انداخته می شود، ارزش خود را تغییر نمی دهد اگر اعداد 0، 1، 2، 3 به دنبال آن باشد. 4، و اگر اعداد 5، 6، 7، 8، 9 باشند، 1 (یک) افزایش می یابد.

مثال. کسر 93.70584 را گرد کنید:

ده هزارم: 93.7058

هزارم: 93.706

صدم: 93.71

دهم: 93.7

تعداد کل: 94

ده ها: 90

با وجود برابری خطاهای مطلق، زیرا مقادیر اندازه گیری شده متفاوت است. هرچه اندازه اندازه گیری شده بزرگتر باشد، خطای نسبی کوچکتر است در حالی که خطای مطلق ثابت می ماند.

سفارش کار

متخصصان ما به شما کمک می کنند مقاله ای با چک اجباری برای منحصر به فرد بودن در سیستم ضد سرقت ادبی بنویسید.
درخواست خود را ارسال کنیدبا الزامات در حال حاضر برای اطلاع از هزینه و امکان نوشتن.

اغلب در زندگی باید با مقادیر تقریبی مختلفی سر و کار داشته باشیم. محاسبات تقریبی همیشه محاسباتی با مقداری خطا هستند.

مفهوم خطای مطلق

خطای مطلق یک مقدار تقریبی، مقدار اختلاف بین مقدار دقیق و مقدار تقریبی است.
یعنی باید مقدار تقریبی را از مقدار دقیق کم کنید و مدول عددی حاصل را بگیرید. بنابراین، خطای مطلق همیشه مثبت است.

نحوه محاسبه خطای مطلق

بیایید نشان دهیم که این ممکن است در عمل چگونه باشد. به عنوان مثال، ما یک نمودار با یک مقدار مشخص داریم، بگذارید سهمی باشد: y=x^2.

از نمودار می توانیم مقدار تقریبی را در برخی از نقاط تعیین کنیم. به عنوان مثال، در x=1.5 مقدار y تقریباً برابر با 2.2 است (y≈2.2).

با استفاده از فرمول y=x^2 می توانیم مقدار دقیق را در نقطه x=1.5 y=2.25 پیدا کنیم.

حالا بیایید خطای مطلق اندازه گیری هایمان را محاسبه کنیم. |2.25-2.2|=|0.05| = 0.05.

خطای مطلق 0.05 است. در چنین مواردی نیز می گویند مقدار با دقت 0.05 محاسبه می شود.

اغلب اتفاق می افتد که همیشه نمی توان مقدار دقیق را پیدا کرد و بنابراین خطای مطلق را همیشه نمی توان یافت.

به عنوان مثال، اگر فاصله بین دو نقطه را با استفاده از یک خط کش، یا مقدار زاویه بین دو خط مستقیم را با استفاده از نقاله محاسبه کنیم، مقادیر تقریبی به دست می آید. اما محاسبه دقیق آن غیرممکن است. در این صورت می توانیم عددی را طوری تعیین کنیم که مقدار خطای مطلق نتواند بزرگتر باشد.

در عمل، معمولاً اعدادی که محاسبات روی آنها انجام می شود، مقادیر تقریبی مقادیر مشخصی هستند. برای اختصار، مقدار تقریبی یک کمیت را عدد تقریبی می نامند. مقدار واقعی یک کمیت را عدد دقیق می گویند. یک عدد تقریبی فقط زمانی ارزش عملی دارد که بتوانیم تعیین کنیم با چه درجه ای از دقت داده شده است، یعنی. خطای آن را برآورد کنید اجازه دهید مفاهیم اساسی را از دوره عمومیریاضیات

بیایید نشان دهیم: ایکس- عدد دقیق (مقدار واقعی مقدار)، آ- عدد تقریبی (مقدار تقریبی یک کمیت).

تعریف 1. خطا (یا خطای واقعی) یک عدد تقریبی، تفاوت بین عدد است ایکسو مقدار تقریبی آن آ. خطای عدد تقریبی آنشان خواهیم داد. بنابراین،

عدد دقیق ایکساغلب ناشناخته است، بنابراین نمی توان خطای واقعی و مطلق را پیدا کرد. از سوی دیگر، ممکن است لازم باشد که خطای مطلق تخمین زده شود، یعنی. عددی را نشان می دهد که خطای مطلق نمی تواند از آن تجاوز کند. به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری طول یک جسم با این ابزار، باید مطمئن باشیم که خطا در مقدار عددی حاصل از یک عدد مشخص، به عنوان مثال 0.1 میلی متر بیشتر نخواهد شد. به عبارت دیگر باید حد خطای مطلق را بدانیم. این حد را حداکثر خطای مطلق می نامیم.

تعریف 3. حداکثر خطای مطلق عدد تقریبی آتماس گرفت عدد مثبتبه گونه ای که، یعنی

به معنای، ایکسبا کمبود، با زیاده روی از نماد زیر نیز استفاده می شود:

.

(2.5)

واضح است که حداکثر خطای مطلق به طور مبهم تعیین می شود: اگر یک عدد معین حداکثر خطای مطلق باشد، آنگاه هر تعداد بزرگترحداکثر خطای مطلق نیز وجود دارد. در عمل سعی می کنند کوچکترین و ساده ترین عدد را به صورت نوشتاری (با 1-2 رقم معنی دار) انتخاب کنند که نابرابری (2.3) را برآورده کند.

مثال.خطای واقعی، مطلق و حداکثر مطلق عدد a = 0.17 را به عنوان مقدار تقریبی عدد تعیین کنید.

خطای واقعی:

خطای مطلق:

حداکثر خطای مطلق را می توان به عنوان یک عدد و هر عدد بزرگتر در نظر گرفت. در نماد اعشاری خواهیم داشت: با جایگزینی این عدد با نماد بزرگتر و احتمالاً ساده تر، می پذیریم:

اظهار نظر. اگر آمقدار تقریبی عدد است ایکسو حداکثر خطای مطلق برابر است با ساعت، سپس آنها می گویند آمقدار تقریبی عدد است ایکستا ساعت

دانستن خطای مطلق برای مشخص کردن کیفیت یک اندازه گیری یا محاسبه کافی نیست. به عنوان مثال، اجازه دهید چنین نتایجی هنگام اندازه گیری طول به دست آید. فاصله بین دو شهر S 1=500 1 کیلومتر و فاصله بین دو ساختمان در شهر S 2=10 1 کیلومتر. اگرچه خطاهای مطلق هر دو نتیجه یکسان است، آنچه قابل توجه است این است که در مورد اول خطای مطلق 1 کیلومتر در 500 کیلومتر و در دوم - در 10 کیلومتر است. کیفیت اندازه گیری در حالت اول بهتر از حالت دوم است. کیفیت یک نتیجه اندازه گیری یا محاسبه با خطای نسبی مشخص می شود.

هنگام انجام اندازه‌گیری‌های مستقیم (فوری) هر کمیت فیزیکی، خطاها معمولاً به ناخالص (عدم خطا)، سیستماتیک و تصادفی تقسیم می‌شوند.

خطاهای فاحش مستثنی هستند.

اصلاحاتی که باید تعیین می شد (به عنوان مثال، جبران تقسیم صفر مقیاس) محاسبه شده و در نتایج نهایی گنجانده می شود.

خطاهای سیستماتیک با عدم دقت ابزار اندازه گیری مشخص می شود و در گذرنامه فنی آن نشان داده می شود. نشانه این خطا از قبل ناشناخته است، بنابراین باید در نتیجه اندازه گیری نهایی در نظر گرفته شود.

خطاهای تصادفی با افزایش تعداد اندازه گیری ها کاهش می یابد. اجازه دهید n اندازه گیری x گرفته شود. سپس برای بهترین امتیازمیانگین حسابی اندازه گیری های فردی به عنوان مقدار واقعی در نظر گرفته می شود

که در آن: x i نتیجه اندازه گیری i است.

روش های مختلفی برای تخمین خطای تصادفی وجود دارد. رایج ترین به اصطلاح ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی

(2)

فرض کنید P به معنای احتمال متفاوت بودن نتیجه اندازه گیری با مقدار واقعی Δx باشد، جایی که ∆x خطای کل در اندازه گیری مقدار معین است: خطای مطلق. بعد میتونیم بنویسیم

که در آن x منبع مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده است که از قبل ناشناخته است.

احتمال P را احتمال اطمینان و فاصله از نامیده می شود

قبل از

- فاصله اطمینان.

اگر خود را به در نظر گرفتن خطاهای تصادفی محدود کنیم، با تعداد کمی اندازه گیری، نصف عرض فاصله اطمینان برابر است با

(3)

که در آن t P , n ضرایب Student هستند که بسته به P و n جدول بندی می شوند. در کار ما P = 0.95 را تنظیم می کنیم. سپس برای n = 3 t 0.95؛ 4 = 4.3، برای n = 4 t 0.95؛ 4 = 3.2، برای n = 5 t 0.95; 5 = 2.8.

(4)

جایی که Δx pr بزرگترین خطای مطلق دستگاه است. x N - مقدار حدی مقیاس دستگاه.

از (4) چنین بر می آید که

(5)

خطاهای ابزارهای اندازه گیری دیجیتال در گذرنامه هر یک از آنها آورده شده است.

برای اندازه گیری های چندگانه، مقدار ریشه میانگین مربع خطای ابزاری P = 0.95 با فرمول تعیین می شود:

(6)

اگر چندین اندازه گیری به طور پیوسته نتایج یکسانی داشته باشند، آنگاه Δx si را می توان نصف مقدار تقسیم مقیاس یا نصف رقم واحد آخرین رقم نتیجه در نظر گرفت.

خطای نسبی نتیجه با فرمول پیدا می شود

(7)

یا اغلب به صورت درصد

(8)

بنابراین، ترتیب عملیات زیر برای اندازه گیری های مستقیم پیشنهاد شده است.

میانگین حسابی n اندازه گیری محاسبه می شود:

ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی تعیین می شود:

واقع شده

خطای مطلق نتیجه اندازه گیری مشخص می شود

خطای نسبی نتیجه اندازه گیری تخمین زده می شود

نتیجه نهایی در فرم نوشته شده است

; P = 0.95، n = 3÷5.

خطاهای اندازه گیری غیر مستقیم

بگذارید کمیت اندازه گیری شده تابعی از کمیت های اندازه گیری شده مستقیم باشد

(9)

تئوری خطا تعیین می کند که خطای مطلق Δy با فرمول پیدا می شود

(10)

که در آن ∂f/∂x i به اصطلاح مشتق جزئی را نشان می دهد، یعنی مشتقی که از تابع f نسبت به آرگومان x i محاسبه می شود، در حالی که همه آرگومان های دیگر ثابت در نظر گرفته می شوند.

اگر مقادیر اندازه گیری شده x i در فرمول اصلی در قالب یک محصول گنجانده شود، بهتر است ابتدا خطای نسبی را با استفاده از فرمول تعیین کنیم.

(11)

و سپس پیدا کنید و

اجازه دهید کاربرد فرمول (10) و (11) را با استفاده از مثال در نظر بگیریم.

.

و طبق فرمول (10)

علاوه بر این، Δx 1 و Δx 2 به طور مقدماتی با فرمول (4) تعیین می شوند.

.

در این مورد، ابتدا لگاریتم طبیعی و سپس مشتقات جزئی را پیدا می کنیم:

ما در (11) جایگزین می کنیم، پیدا می کنیم

به راحتی می توان فهمید که لگاریتم اولیه به طور قابل توجهی شکل مشتقات جزئی را ساده می کند.

روش دیگری برای تخمین خطای نتیجه اندازه گیری غیر مستقیم نیز امکان پذیر است. به جای تعیین مقدار مورد نظر از طریق مقدار متوسط

محاسبه برای هر آزمایش انجام شده امکان پذیر است

و سپس پیدا کنید به عنوان میانگین حسابی و سپس خطای مطلق طبق فرمول (3).

هر دو روش نتایج مشابهی را ارائه می دهند.

برای مثال، بگذارید چگالی یک جسم استوانه ای را پیدا کنید:

ρ = 4متر / πD 2 اچ,

علاوه بر این، قطر سیلندر D i و ارتفاع آن H i به طور مستقیم سه بار تعیین می شود (i = 1، 2، 3). سپس می توانید محاسبه کنید

ρ من = 4 متر / πD 2 من اچ من .

برای هر یک از سه بعد

مقدار متوسط ​​چگالی را می توان طبق معمول با استفاده از فرمول پیدا کرد:

<ρ> =∑ ρ من /3,

و خطای مطلق به صورت تعریف شده است

Δρ = 4.3√[∑(< ρ > – ρ من ) /6].

میز 1.

ضرایب دانش آموزی.

گرد کردن نتیجه

نتیجه اندازه گیری طبق قوانین زیر گرد می شود:

خطای مطلق با دو رقم قابل توجه در صورتی که اولین آنها 1 یا 2 باشد گرفته می شود.

خطای مطلق در صورتی که بزرگتر یا مساوی 3 باشد به یک رقم معنی دار می رسد.

این قانون از قوانین آمار ریاضی ناشی می شود، زیرا معلوم می شود که حتی با 10 اندازه گیری خطای نسبی خود خطا از 3٪ تجاوز می کند (30٪ از 2 برابر 0.6 است؛ و به عنوان مثال، از 4 - 1.2، که بیشتر از واحد رقم اول).

مقدار عددی نتیجه اندازه گیری باید با رقمی به همان ترتیب ارزش عددی خطای مطلق خاتمه یابد.

اگر اولین رقمی که باید کنار گذاشته شود بزرگتر یا مساوی 5 باشد، آخرین رقمی که باید حفظ شود یک عدد افزایش می یابد.

اگر رقم حذف شده کمتر از 5 باشد، آخرین رقم باقی مانده بدون تغییر باقی می ماند.

هنگام گرد کردن اعداد صحیح، تمام ارقام دور ریخته شده در طول گرد کردن با ضریب 10 متر جایگزین می شوند که m تعداد ارقام دور ریخته شده است. به عنوان مثال، وقتی به دو رقم قابل توجه گرد می شود، عدد 31127 به 31×10 3 تبدیل می شود.