Saggio
Errore assoluto e relativo
introduzione
Errore assoluto - è una stima dell'errore di misura assoluto. Calcolato diversi modi. Il metodo di calcolo è determinato dalla distribuzione della variabile casuale. Di conseguenza, l'entità dell'errore assoluto dipende dalla distribuzione della variabile casuale potrebbe essere diverso. Se è il valore misurato, e - vero valore, quindi la disuguaglianza deve essere soddisfatto con una probabilità vicina a 1. If valore casuale distribuito secondo la legge normale, allora di solito la sua deviazione standard viene presa come errore assoluto. L'errore assoluto è misurato nelle stesse unità del valore stesso.
Esistono diversi modi per scrivere una quantità insieme al suo errore assoluto.
· Di solito viene utilizzata la notazione con segno ± . Ad esempio, il record dei 100 metri stabilito nel 1983 è 9,930±0,005 sec.
· Per registrare i valori misurati con altissima precisione, viene utilizzata un'altra notazione: i numeri corrispondenti all'errore ultime cifre la mantissa è aggiunta tra parentesi. Ad esempio, il valore misurato della costante di Boltzmann è 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, che può anche essere scritto molto più a lungo come 1.380 6488×10?23 ± 0.000 0013×10?23 J/K.
Errore relativo - errore di misura, espresso come rapporto tra l'errore di misura assoluto e il valore effettivo o medio della grandezza misurata (RMG 29-99):.
L'errore relativo è una quantità adimensionale o viene misurato come percentuale.
1. Qual è il cosiddetto valore approssimativo?
Troppo e troppo poco? Nel processo di calcolo, spesso si ha a che fare con numeri approssimativi. Permettere UN- valore esatto una certa quantità, di seguito denominata il numero esatto A.Sotto il valore approssimativo della quantità UN,O numeri approssimativichiamato un numero UN, che sostituisce il valore esatto della quantità UN.Se UN< UN,Quello UNè chiamato il valore approssimato del numero E per mancanza.Se UN> UN,- Quello in eccesso.Ad esempio, 3.14 è un'approssimazione del numero ? per difetto e 3,15 per eccesso. Per caratterizzare il grado di accuratezza di questa approssimazione, viene utilizzato il concetto errori O errori.
errore ?UNnumero approssimativo UNsi chiama differenza di forma
?la = la - la,
Dove UNè il numero esatto corrispondente.
La figura mostra che la lunghezza del segmento AB è compresa tra 6 cm e 7 cm.
Ciò significa che 6 è il valore approssimativo della lunghezza del segmento AB (in centimetri)\u003e con una carenza e 7 con un eccesso.
Denotando la lunghezza del segmento con la lettera y, otteniamo: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentoAB (vedi Fig. 149) è più vicino a 6 cm che a 7 cm, è approssimativamente uguale a 6 cm Dicono che il numero 6 sia stato ottenuto arrotondando la lunghezza del segmento a numeri interi.
. Cos'è un errore di approssimazione?
A) assoluto?
B) Parente?
A) L'errore assoluto di approssimazione è il modulo della differenza tra il valore vero di una grandezza e il suo valore approssimato. |x - x_n|, dove x è il valore reale, x_n è il valore approssimativo. Ad esempio: la lunghezza di un foglio di carta A4 è (29,7 ± 0,1) cm e la distanza da San Pietroburgo a Mosca è (650 ± 1) km. L'errore assoluto nel primo caso non supera un millimetro e nel secondo un chilometro. La domanda è confrontare l'accuratezza di queste misurazioni.
Se si pensa che la lunghezza del foglio è misurata in modo più preciso perché l'errore assoluto non supera 1 mm. Allora ti sbagli. Questi valori non possono essere confrontati direttamente. Facciamo un ragionamento.
Quando si misura la lunghezza di un foglio, l'errore assoluto non supera 0,1 cm per 29,7 cm, ovvero, in percentuale, è 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% del valore misurato.
Quando misuriamo la distanza da San Pietroburgo a Mosca, l'errore assoluto non supera 1 km per 650 km, ovvero 1/650 * 100% = 0,15% del valore misurato in percentuale. Vediamo che la distanza tra le città è misurata in modo più accurato rispetto alla lunghezza di un foglio A4.
B) L'errore relativo di approssimazione è il rapporto tra l'errore assoluto e il modulo del valore approssimato della grandezza.
frazione di errore matematico
dove x è il valore reale, x_n è il valore approssimativo.
L'errore relativo viene solitamente chiamato come percentuale.
Esempio. Arrotondando il numero 24,3 alle unità si ottiene il numero 24.
L'errore relativo è uguale. Dicono che l'errore relativo in questo caso è del 12,5%.
) Che tipo di arrotondamento è chiamato arrotondamento?
A) con uno svantaggio?
b) Troppo?
A) arrotondamento per difetto
Quando si arrotonda un numero espresso come frazione decimale entro 10^(-n), con una deficienza, vengono mantenute le prime n cifre dopo la virgola e le successive vengono scartate.
Ad esempio, arrotondando 12,4587 al millesimo più vicino con un demerito si ottiene 12,458.
B) Arrotondamento per eccesso
Nell'arrotondamento di un numero espresso come frazione decimale, fino a 10^(-n), le prime n cifre dopo la virgola vengono mantenute con un eccesso e le successive vengono scartate.
Ad esempio, arrotondando 12,4587 al millesimo più vicino con un demerito si ottiene 12,459.
) La regola per l'arrotondamento dei decimali.
Regola. Per arrotondare decimale fino a una certa cifra della parte intera o frazionaria, tutte le cifre più piccole sono sostituite da zeri o scartate, e la cifra che precede la cifra scartata durante l'arrotondamento non cambia valore se è seguita dai numeri 0, 1, 2, 3 , 4, e aumenta di 1 (uno) se i numeri sono 5, 6, 7, 8, 9.
Esempio. Arrotonda la frazione 93.70584 a:
decimillesimi: 93,7058
millesimi: 93.706
centesimi: 93,71
decimi: 93,7
intero: 94
decine: 90
Nonostante l'uguaglianza degli errori assoluti, poiché le quantità misurate sono diverse. Maggiore è la dimensione misurata, minore è l'errore relativo a una costante assoluta.
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Spesso nella vita abbiamo a che fare con vari valori approssimativi. I calcoli approssimativi sono sempre calcoli con qualche errore.
Il concetto di errore assoluto
L'errore assoluto del valore approssimato è il modulo della differenza tra il valore esatto e il valore approssimato.
Cioè, dal valore esatto, devi sottrarre il valore approssimativo e prendere il numero risultante modulo. Pertanto, l'errore assoluto è sempre positivo.
Come calcolare l'errore assoluto
Mostreremo come questo potrebbe apparire nella pratica. Ad esempio, abbiamo un grafico di un certo valore, sia una parabola: y=x^2.
Dal grafico, possiamo determinare il valore approssimativo in alcuni punti. Ad esempio, a x=1.5, il valore di y è approssimativamente 2.2 (y≈2.2).
Usando la formula y=x^2, possiamo trovare il valore esatto nel punto x=1.5 y= 2.25.
Ora calcoliamo l'errore assoluto delle nostre misurazioni. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.
L'errore assoluto è 0,05. In questi casi, dicono anche che il valore è calcolato con una precisione di 0,05.
Accade spesso che non sia sempre possibile trovare il valore esatto e, pertanto, non è sempre possibile trovare l'errore assoluto.
Ad esempio, se calcoliamo la distanza tra due punti utilizzando un righello o l'angolo tra due linee rette utilizzando un goniometro, otterremo valori approssimativi. Ma il valore esatto non può essere calcolato. In questo caso, possiamo specificare un numero che non può superare il valore dell'errore assoluto.
In pratica, solitamente i numeri su cui si fanno i calcoli sono valori approssimativi di determinate quantità. Per brevità, il valore approssimato di una quantità è chiamato numero approssimato. Il vero valore di una grandezza si chiama numero esatto. Un numero approssimativo ha valore pratico solo quando possiamo determinare con quale grado di accuratezza viene fornito, ad es. valutare il suo errore. Richiama i concetti di base da corso generale matematica.
Denota: X- numero esatto (valore reale della quantità), UN- numero approssimativo (valore approssimativo di una grandezza).
Definizione 1. L'errore (o vero errore) di un numero approssimativo è la differenza tra il numero X e il suo valore approssimativo UN. Errore approssimativo UN indicheremo . COSÌ,
Numero esatto X il più delle volte è sconosciuto, quindi non è possibile trovare gli errori veri e assoluti. D'altra parte, potrebbe essere necessario stimare l'errore assoluto, cioè indicare un numero che l'errore assoluto non può superare. Ad esempio, quando si misura la lunghezza di un oggetto con questo strumento, dobbiamo essere sicuri che l'errore del valore numerico ottenuto non superi un certo numero, ad esempio 0,1 mm. In altre parole, dobbiamo conoscere il limite dell'errore assoluto. Questo limite sarà chiamato errore assoluto limite.
Definizione 3. L'errore assoluto limite del numero approssimativo UN chiamato numero positivo tale che, ad es.
Significa, X per difetto, per eccesso. Viene utilizzata anche la seguente voce:
| . | (2.5) |
È chiaro che l'errore assoluto limite è determinato in modo ambiguo: se un certo numero è l'errore assoluto limite, allora qualsiasi Di più c'è anche un errore assoluto marginale. In pratica, cercano di scegliere il numero più piccolo possibile e semplice (con 1-2 cifre significative) che soddisfi la disuguaglianza (2.3).
Esempio.Determina gli errori assoluti veri, assoluti e limitanti del numero a \u003d 0,17, presi come valore approssimativo del numero.
Vero errore: 
Errore assoluto: 
Per l'errore assoluto limitante, puoi prendere un numero e qualsiasi numero più grande. In notazione decimale avremo: Sostituendo questo numero con un record grande e possibilmente più semplice, accetteremo:
Commento. Se UNè il valore approssimativo del numero X, e l'errore assoluto limite è uguale a H, poi lo dicono UNè il valore approssimativo del numero X fino a H.
Conoscere l'errore assoluto non è sufficiente per caratterizzare la qualità di una misurazione o di un calcolo. Lascia, ad esempio, tali risultati si ottengono misurando la lunghezza. Distanza tra due città S1=500 1 km e la distanza tra due edifici in città S2=10 1 km. Sebbene gli errori assoluti di entrambi i risultati siano gli stessi, tuttavia, è essenziale che nel primo caso l'errore assoluto di 1 km cada su 500 km, nel secondo - su 10 km. La qualità della misurazione nel primo caso è migliore rispetto al secondo. La qualità di un risultato di misurazione o di calcolo è caratterizzata da un errore relativo.
Gli errori sono generalmente divisi in grossolani (mancati), sistematici e casuali quando si effettuano misurazioni dirette (immediate) di qualsiasi quantità fisica.
Gli errori grossolani sono esclusi;
Le correzioni che avrebbero dovuto essere determinate (ad esempio, l'offset della divisione zero della scala) vengono calcolate e incluse nei risultati finali;
Gli errori sistematici sono determinati dall'imprecisione dello strumento di misura e sono indicati nella sua scheda tecnica. Il segno di questo errore non è noto in anticipo, quindi deve essere preso in considerazione nel risultato finale della misurazione.
Gli errori casuali diminuiscono all'aumentare del numero di misurazioni. Si facciano n misure di x. Allora per miglior preventivo il valore vero è preso come media aritmetica delle singole misurazioni
dove: x i - il risultato dell'i-esima misurazione.
Esistono diversi modi per stimare l'errore casuale. Il cosiddetto errore quadratico medio più comune della media aritmetica
(2)
Sia P la probabilità che il risultato della misurazione differisca dal valore vero di ∆x , dove ∆x è l'errore di misurazione totale di questa quantità: l'errore assoluto. Allora si può scrivere
dove x ist è il vero valore della grandezza misurata, che non è nota in anticipo.
La probabilità P è chiamata probabilità di confidenza e l'intervallo da 
Prima 
- intervallo di confidenza.
Se ci limitiamo a prendere in considerazione solo errori casuali, allora per un piccolo numero di misurazioni, la semiampiezza dell'intervallo di confidenza è uguale a
(3)
dove t P , n sono i coefficienti di Student, che sono tabulati in funzione di P e n. Nel nostro lavoro, poniamo P = 0,95. Allora a n = 3 t 0.95;4 = 4.3, a n = 4 t 0.95;4 = 3.2, a n = 5 t 0.95;5 = 2.8.
(4)
dove ∆x pr - il più grande errore assoluto dello strumento; x N è il valore limite della scala dello strumento.
Dalla (4) segue che
(5)
Gli errori degli strumenti di misura digitali sono riportati nel passaporto di ciascuno di essi.
Con misurazioni multiple, il valore quadratico medio dell'errore strumentale P = 0,95 è determinato dalla formula:
(6)
Se si ottengono gli stessi risultati con più misure, allora ∆x si può essere preso come metà del valore della divisione della scala o come metà della cifra unitaria dell'ultima cifra del risultato.
L'errore relativo del risultato è trovato dalla formula
(7)
o spesso in percentuale
(8)
Pertanto, viene proposto il seguente ordine di operazioni per le misurazioni dirette.
Si calcola la media aritmetica di n misure:
L'errore quadratico medio della media aritmetica è determinato:
Situato
Viene determinato l'errore assoluto del risultato della misurazione
Viene stimato l'errore relativo del risultato della misurazione
Il risultato finale è scritto come
; P = 0,95, n = 3÷5.
Errori di misure indirette
Sia la grandezza misurata una funzione delle grandezze direttamente misurate
(9)
La teoria degli errori determina che l'errore assoluto ∆y viene trovato dalla formula
(10)
dove ∂f/∂x i denota la cosiddetta derivata parziale, cioè la derivata calcolata dalla funzione f rispetto all'argomento x i , e tutti gli altri argomenti sono considerati costanti.
Se i valori misurati x i sono inclusi nella formula principale come prodotto, è conveniente determinare prima l'errore relativo mediante la formula
(11)
e poi trova e 
Consideriamo l'applicazione delle formule (10) e (11) con esempi.
.
e per formula (10)
inoltre, ∆x 1 e ∆x 2 sono determinati preliminarmente dalla formula (4).
.
In questo caso troviamo prima il logaritmo naturale e poi le derivate parziali:
Sostituiamo in (11), troviamo
È facile vedere che il logaritmo preliminare semplifica notevolmente la forma delle derivate parziali.
È anche possibile un altro approccio per stimare l'errore del risultato della misurazione indiretta. Invece di determinare il valore desiderato attraverso il valore medio
È possibile calcolare per ogni esperimento eseguito
e poi trova 
come media aritmetica e poi l'errore assoluto secondo la formula (3).
Entrambi i metodi danno risultati simili.
Facciamo, ad esempio, trovare la densità di un corpo cilindrico:
p = 4M / πD 2 H,
inoltre, il diametro del cilindro D i e la sua altezza Н i (i = 1, 2, 3) sono determinati direttamente tre volte. Quindi puoi calcolare
ρ io = 4 M / πD 2 io H io .
per ognuna delle tre dimensioni.
Il valore medio della densità può essere trovato, come di consueto, dalla formula:
<ρ> =∑ ρ io /3,
e l'errore assoluto è definito come
Δρ = 4.3√[∑(< ρ > – ρ io ) /6].
Tabella 1.
Coefficienti dello studente.
Risultato dell'arrotondamento
Il risultato della misurazione viene arrotondato secondo le seguenti regole:
L'errore assoluto viene preso con due cifre significative se la prima di esse è 1 o 2.
L'errore assoluto viene preso con una cifra significativa se è maggiore o uguale a 3.
Questa regola deriva dalle leggi della statistica matematica, poiché risulta che anche con 10 misurazioni, l'errore relativo dell'errore stesso supera il 3% (il 30% di 2 è 0,6; e, ad esempio, da 4 - 1,2, che supera l'unità della prima cifra).
Il valore numerico del risultato della misurazione deve terminare con una cifra dello stesso ordine del valore numerico dell'errore assoluto.
Se la prima cifra da scartare è maggiore o uguale a 5, l'ultima cifra da conservare viene aumentata di uno.
Se la cifra scartata è inferiore a 5, l'ultima cifra conservata rimane invariata.
Quando si arrotondano i numeri interi, tutte le cifre scartate durante l'arrotondamento vengono sostituite da un fattore di 10 m , dove m è il numero delle cifre scartate. Ad esempio, se arrotondato a due cifre significative, il numero 31127 diventa 31×10 3 .