Cos'è una radice quadrata?
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E per chi “moltissimo…”)
Questo concetto è molto semplice. Naturale, direi. I matematici cercano di trovare una reazione per ogni azione. C'è l'addizione, c'è anche la sottrazione. C'è la moltiplicazione, c'è anche la divisione. C'è la quadratura... Quindi c'è anche estrazione radice quadrata! È tutto. Questa azione ( radice quadrata) in matematica è indicato da questa icona:
Viene chiamata l'icona stessa una bella parola "radicale".
Come estrarre la radice? E' meglio guardare esempi.
Qual è la radice quadrata di 9? Quale numero al quadrato ci darà 9? 3 al quadrato ci danno 9! Quelli:
Ma qual è la radice quadrata di zero? Nessun problema! Che numero quadrato fa lo zero? Sì, dà zero! Significa:
Fatto, cos'è la radice quadrata? Poi consideriamo esempi:
Risposte (disordinate): 6; 1; 4; 9; 5.
Deciso? Davvero, quanto è più facile?!
Ma... Cosa fa una persona quando vede qualche compito con radici?
Una persona comincia a sentirsi triste... Non crede nella semplicità e nella leggerezza delle sue radici. Anche se sembra che lo sappia cos'è la radice quadrata...
Questo perché la persona ha ignorato diversi punti importanti durante lo studio delle radici. Poi queste mode si prendono una crudele vendetta su prove ed esami...
Punto uno. Devi riconoscere le radici a vista!
Qual è la radice quadrata di 49? Sette? Giusto! Come facevi a sapere che erano le sette? Sette al quadrato e ottieni 49? Giusto! Tienilo presente estrarre la radice su 49 abbiamo dovuto fare l'operazione inversa - casella 7! E assicurati che non perdiamo. Oppure avrebbero potuto perderlo...
Questa è la difficoltà estrazione delle radici. Piazza Puoi utilizzare qualsiasi numero senza problemi. Moltiplica un numero per se stesso con una colonna: tutto qui. Ma per estrazione delle radici Non esiste una tecnologia così semplice e sicura. Dobbiamo raccolta rispondi e controlla se è corretto elevandolo al quadrato.
Questo complesso processo creativo, ovvero la scelta di una risposta, è notevolmente semplificato se tu Ricordare quadrati di numeri popolari. Come una tavola pitagorica. Se, diciamo, devi moltiplicare 4 per 6, non aggiungi quattro 6 volte, vero? La risposta 24 arriva subito Anche se non tutti la capiscono, sì...
Per lavorare liberamente e con successo con le radici, è sufficiente conoscere i quadrati dei numeri da 1 a 20. Inoltre Là E Indietro. Quelli. dovresti essere in grado di recitare facilmente sia, ad esempio, 11 al quadrato che la radice quadrata di 121. Per ottenere questa memorizzazione, ci sono due modi. Il primo è imparare la tavola dei quadrati. Questo sarà di grande aiuto nella risoluzione degli esempi. Il secondo è risolvere più esempi. Questo ti aiuterà molto a ricordare la tabella dei quadrati.
E niente calcolatrici! Solo a scopo di test. Altrimenti rallenterai senza pietà durante l'esame...
COSÌ, cos'è la radice quadrata E come estrarre le radici- Penso che sia chiaro. Ora scopriamo da COSA possiamo estrarli.
Punto due. Root, non ti conosco!
Da quali numeri puoi ricavare le radici quadrate? Sì, quasi tutti. È più facile capire da cosa deriva è vietato estrarli.
Proviamo a calcolare questa radice:
Per fare ciò, dobbiamo scegliere un numero che al quadrato ci darà -4. Selezioniamo.
Cosa, non va bene? 2 2 dà +4. (-2) 2 dà ancora +4! Questo è tutto... Non esistono numeri che, al quadrato, ci diano un numero negativo! Anche se conosco questi numeri. Ma non te lo dico). Vai al college e lo scoprirai da solo.
La stessa storia accadrà con qualsiasi numero negativo. Da qui la conclusione:
Un'espressione in cui c'è un numero negativo sotto il segno della radice quadrata - non ha senso! Questa è un'operazione vietata. È proibito quanto dividere per zero. Ricordate fermamente questo fatto! O in altre parole:
Non è possibile estrarre radici quadrate da numeri negativi!
Ma tra tutti gli altri, è possibile. Ad esempio, è del tutto possibile calcolare
A prima vista, questo è molto difficile. Selezionare le frazioni ed elevarle al quadrato... Non preoccuparti. Quando comprendiamo le proprietà delle radici, tali esempi saranno ridotti alla stessa tabella dei quadrati. La vita diventerà più facile!
Ok, frazioni. Ma incontriamo ancora espressioni come:
Va bene. Tutto uguale. La radice quadrata di due è il numero che, quadrato, ci dà due. Solo che questo numero è completamente dispari... Eccolo:
La cosa interessante è che questa frazione non finisce mai... Tali numeri sono chiamati irrazionali. Nelle radici quadrate questa è la cosa più comune. A proposito, questo è il motivo per cui vengono chiamate le espressioni con radici irrazionale. È chiaro che scrivere continuamente una frazione così infinita è scomodo. Pertanto, invece di una frazione infinita, la lasciano così:
Se, risolvendo un esempio, ti ritrovi con qualcosa che non può essere estratto, come:
allora lo lasciamo così. Questa sarà la risposta.
È necessario comprendere chiaramente il significato delle icone
Naturalmente, se viene presa la radice del numero liscio, devi farlo. La risposta al compito è nella forma, ad esempio
Una risposta abbastanza completa.
E, naturalmente, devi conoscere i valori approssimativi dalla memoria:
Questa conoscenza aiuta molto a valutare la situazione in compiti complessi.
Punto tre. Il più astuto.
La principale confusione nel lavorare con le radici è causata da questo punto. È lui che dà fiducia nelle proprie capacità... Affrontiamo per bene questo punto!
Per prima cosa, prendiamo di nuovo la radice quadrata di quattro di essi. Ti ho già disturbato con questa radice?) Non importa, ora sarà interessante!
Quale numero fa 4 quadrato? Bene, due, due, sento risposte insoddisfatte...
Giusto. Due. Ma anche meno due darà 4 al quadrato... Intanto la risposta
corretto e la risposta
errore grossolano. Come questo.
Allora, qual è il problema?
Infatti, (-2) 2 = 4. E sotto la definizione di radice quadrata di quattro meno due abbastanza adatto... Questa è anche la radice quadrata di quattro.
Ma! Nel corso di matematica scolastica è consuetudine considerare le radici quadrate solo numeri non negativi! Cioè zero e tutto positivo. È stato inventato anche un termine speciale: dal numero UN- Questo non negativo numero il cui quadrato è UN. I risultati negativi durante l'estrazione di una radice quadrata aritmetica vengono semplicemente scartati. A scuola, tutto ha radici quadrate - aritmetica. Anche se questo non è particolarmente menzionato.
Ok, è comprensibile. È ancora meglio: non preoccuparti risultati negativi... Questa non è ancora confusione.
La confusione inizia quando si risolvono equazioni quadratiche. Ad esempio, devi risolvere la seguente equazione.
L'equazione è semplice, scriviamo la risposta (come insegnato):
Questa risposta (assolutamente corretta, tra l'altro) è solo una versione abbreviata due risposte:
Basta basta! Appena sopra ho scritto che la radice quadrata è un numero Sempre non negativo! Ed ecco una delle risposte: negativo! Disturbo. Questo è il primo (ma non l'ultimo) problema che provoca sfiducia nelle radici... Risolviamo questo problema. Scriviamo le risposte (puramente per capire!) in questo modo:
Le parentesi non cambiano l'essenza della risposta. L'ho semplicemente separato tra parentesi segni da radice. Ora puoi vedere chiaramente che la radice stessa (tra parentesi) è ancora un numero non negativo! E i segnali lo sono risultato della risoluzione dell'equazione. Dopotutto, quando risolviamo qualsiasi equazione dobbiamo scrivere Tutto X che, se sostituite nell'equazione originale, daranno il risultato corretto. La radice di cinque (positiva!) con sia un più che un meno rientra nella nostra equazione.
Come questo. Se tu basta prendere la radice quadrata da qualsiasi cosa, tu Sempre ottieni uno non negativo risultato. Per esempio:
Perché - radice quadrata aritmetica.
Ma se decidi qualcosa equazione quadrata, tipo:
Quello Sempre si scopre due risposta (con più e meno):
Perché questa è la soluzione dell'equazione.
Speranza, cos'è la radice quadrata Hai ben chiari i tuoi punti. Ora resta da scoprire cosa si può fare con le radici, quali sono le loro proprietà. E quali sono i punti e le insidie... scusate, sassi!)
Tutto questo è nelle lezioni seguenti.
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Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
Formule di radice. Proprietà delle radici quadrate.
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Nella lezione precedente abbiamo capito cos'è una radice quadrata. È ora di capire quali esistono formule per le radici cosa sono proprietà delle radici, e cosa si può fare con tutto questo.
Formule delle radici, proprietà delle radici e regole per lavorare con le radici- questa è essenzialmente la stessa cosa. Formule per radici quadrate sorprendentemente poco. Il che sicuramente mi rende felice! O meglio, puoi scrivere tante formule diverse, ma per un lavoro pratico e sicuro con le radici ne bastano solo tre. Tutto il resto scaturisce da questi tre. Anche se molte persone si confondono con le tre formule radicali, sì...
Cominciamo con quello più semplice. Eccola qui:
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E' ora di sistemare la cosa metodi di estrazione delle radici. Si basano sulle proprietà delle radici, in particolare sull'uguaglianza, il che vale per chiunque numero negativo B.
Di seguito esamineremo uno per uno i principali metodi per estrarre le radici.
Cominciamo con il caso più semplice: estrarre le radici dai numeri naturali utilizzando una tabella di quadrati, una tabella di cubi, ecc.
Se le tabelle di quadrati, cubi, ecc. Se non lo hai a portata di mano, è logico utilizzare il metodo dell’estrazione della radice, che prevede la scomposizione del numero radicale in fattori primi.
Vale la pena menzionare in particolare ciò che è possibile per radici con esponenti dispari.
Consideriamo infine un metodo che ci consenta di trovare in sequenza le cifre del valore radice.
Iniziamo.
Utilizzando una tabella di quadrati, una tabella di cubi, ecc.
Nei casi più semplici, tavole di quadrati, cubi, ecc. permettono di estrarre le radici. Cosa sono queste tabelle?
La tabella dei quadrati degli interi da 0 a 99 compresi (mostrata di seguito) è composta da due zone. La prima zona della tabella è posta su sfondo grigio; selezionando una determinata riga e una specifica colonna permette di comporre un numero da 0 a 99. Ad esempio selezioniamo una riga di 8 decine ed una colonna di 3 unità, con questa fissiamo il numero 83. La seconda zona occupa il resto del tavolo. Ogni cella si trova all'intersezione di una determinata riga e di una determinata colonna e contiene il quadrato del numero corrispondente da 0 a 99. All'intersezione della riga da noi scelta di 8 decine e della colonna 3 di unità c'è una cella con il numero 6.889, che è il quadrato del numero 83.
Le tabelle dei cubi, le tabelle delle quarte potenze dei numeri da 0 a 99 e così via sono simili alla tabella dei quadrati, solo che contengono cubi, quarte potenze, ecc. nella seconda zona. numeri corrispondenti.
Tabelle dei quadrati, dei cubi, delle quarte potenze, ecc. consentono di estrarre radici quadrate, radici cubiche, radici quarte, ecc. di conseguenza dai numeri in queste tabelle. Spieghiamo il principio del loro utilizzo durante l'estrazione delle radici.
Diciamo che dobbiamo estrarre la radice n-esima del numero a, mentre il numero a è contenuto nella tabella delle potenze n-esime. Utilizzando questa tabella troviamo il numero b tale che a=b n. Poi 
, quindi, il numero b sarà la radice desiderata dell'ennesimo grado.
Ad esempio, mostriamo come utilizzare una tabella cubica per estrarre la radice cubica di 19.683. Troviamo il numero 19.683 nella tabella dei cubi, da esso troviamo che questo numero è il cubo del numero 27, quindi, 
.
È chiaro che le tabelle delle potenze n-esime sono molto convenienti per estrarre le radici. Tuttavia, spesso non sono a portata di mano e la loro compilazione richiede del tempo. Inoltre, spesso è necessario estrarre le radici dai numeri che non sono contenuti nelle tabelle corrispondenti. In questi casi bisogna ricorrere ad altri metodi di estrazione delle radici.
Fattorizzazione di un numero radicale in fattori primi
Un modo abbastanza conveniente per estrarre la radice di un numero naturale (se, ovviamente, la radice viene estratta) è scomporre il numero radicale in fattori primi. Il suo il punto è questo: dopodiché è abbastanza semplice rappresentarlo come una potenza con l'esponente desiderato, che permette di ottenere il valore della radice. Chiariamo questo punto.
Sia presa l'ennesima radice di un numero naturale a e il suo valore sia uguale a b. In questo caso l’uguaglianza a=b n è vera. Il numero b, come ogni numero naturale, può essere rappresentato come il prodotto di tutti i suoi fattori primi p 1 , p 2 , …, p m nella forma p 1 ·p 2 ·…·p m , e il numero radicale a in questo caso è rappresentato come (p 1 ·p 2 ·…·pm) n . Poiché la scomposizione di un numero in fattori primi è unica, la scomposizione del radicale a in fattori primi avrà la forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, che permette di calcolare il valore della radice COME.
Si noti che se la scomposizione in fattori primi di un numero radicale a non può essere rappresentata nella forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, allora la radice n-esima di tale numero a non viene estratta completamente.
Scopriamolo risolvendo gli esempi.
Esempio.
Prendi la radice quadrata di 144.
Soluzione.
Se guardi la tabella dei quadrati riportata nel paragrafo precedente, puoi vedere chiaramente che 144 = 12 2, da cui risulta chiaro che la radice quadrata di 144 è uguale a 12.
Ma alla luce di questo punto, a noi interessa come si estrae la radice scomponendo il radicale 144 in fattori primi. Diamo un'occhiata a questa soluzione.
Decomponiamo 144 ai fattori primi:
Cioè, 144=2·2·2·2·3·3. In base alla scomposizione risultante si possono effettuare le seguenti trasformazioni: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Quindi, 
.
Utilizzando le proprietà dei gradi e le proprietà delle radici, la soluzione potrebbe essere formulata in modo leggermente diverso: .
Risposta:
Per consolidare il materiale, considera le soluzioni di altri due esempi.
Esempio.
Calcola il valore della radice.
Soluzione.
La scomposizione in fattori primi del radicale 243 ha la forma 243=3 5 . Così, 
.
Risposta:
Esempio.
Il valore della radice è un numero intero?
Soluzione.
Per rispondere a questa domanda, fattorizziamo il numero radicale in fattori primi e vediamo se può essere rappresentato come un cubo di un numero intero.
Abbiamo 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. L'espansione risultante non è rappresentata come un cubo di un numero intero, poiché il grado fattore primario 7 non è un multiplo di tre. Pertanto, la radice cubica di 285.768 non può essere estratta completamente.
Risposta:
NO.
Estrazione delle radici dai numeri frazionari
È ora di capire come estrarre la radice di un numero frazionario. Scriviamo il numero radicale frazionario come p/q. Secondo la proprietà della radice di un quoziente è vera la seguente uguaglianza. Da questa uguaglianza segue regola per estrarre la radice di una frazione: La radice di una frazione è uguale al quoziente della radice del numeratore diviso per la radice del denominatore.
Diamo un'occhiata ad un esempio di estrazione di una radice da una frazione.
Esempio.
Qual è la radice quadrata di frazione comune 25/169 .
Soluzione.
Usando la tabella dei quadrati, troviamo che la radice quadrata del numeratore della frazione originale è uguale a 5 e la radice quadrata del denominatore è uguale a 13. Poi 
. Ciò completa l'estrazione della radice della frazione comune 25/169.
Risposta:
La radice di una frazione decimale o di un numero misto si estrae sostituendo i numeri radicali con le frazioni ordinarie.
Esempio.
Prendi la radice cubica della frazione decimale 474.552.
Soluzione.
Immaginiamo l'originale decimale come frazione comune: 474.552=474552/1000. Poi 
. Resta da estrarre le radici cubiche che si trovano al numeratore e al denominatore della frazione risultante. Perché 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 e 1 000 = 10 3, quindi 
E 
. Non resta che completare i calcoli 
.
Risposta:
.
Prendere la radice di un numero negativo
Vale la pena soffermarsi sull'estrazione delle radici dai numeri negativi. Studiando le radici, abbiamo detto che quando l'esponente della radice è un numero dispari, sotto il segno della radice può esserci un numero negativo. Abbiamo dato a queste voci il seguente significato: per un numero negativo −a e un esponente dispari della radice 2 n−1, 
. Questa uguaglianza dà regola per estrarre le radici dispari dai numeri negativi: per estrarre la radice di un numero negativo, devi prendere la radice del numero positivo opposto e mettere un segno meno davanti al risultato.
Diamo un'occhiata alla soluzione di esempio.
Esempio.
Trova il valore della radice.
Soluzione.
Trasformiamo l'espressione originale in modo che ci sia un numero positivo sotto il segno della radice: 
. Ora numero misto sostituiscilo con una frazione ordinaria: 
. Applichiamo la regola per estrarre la radice di una frazione ordinaria: 
. Resta da calcolare le radici nel numeratore e nel denominatore della frazione risultante: 
.
Ecco un breve riassunto della soluzione: 
.
Risposta:
.
Determinazione bit a bit del valore della radice
Nel caso generale, sotto la radice c'è un numero che, utilizzando le tecniche discusse sopra, non può essere rappresentato come l'ennesima potenza di qualsiasi numero. Ma in questo caso è necessario conoscere il significato di una determinata radice, almeno fino a un certo segno. In questo caso, per estrarre la radice, è possibile utilizzare un algoritmo che consente di ottenere in sequenza un numero sufficiente di valori delle cifre del numero desiderato.
Al primo passo di questo algoritmo devi scoprire qual è la parte più significativa del valore root. Per fare ciò, i numeri 0, 10, 100, ... vengono successivamente elevati alla potenza n fino al momento in cui si ottiene un numero superiore al numero radicale. Quindi il numero che abbiamo elevato a n nella fase precedente indicherà la corrispondente cifra più significativa.
Ad esempio, considera questo passaggio dell'algoritmo quando estrai la radice quadrata di cinque. Prendi i numeri 0, 10, 100, ... ed elevali al quadrato finché non otteniamo un numero maggiore di 5. Abbiamo 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, il che significa che la cifra più significativa sarà quella delle unità. Il valore di questo bit, così come di quelli inferiori, verrà trovato nei passaggi successivi dell'algoritmo di estrazione della radice.
Tutti i passaggi successivi dell'algoritmo mirano a chiarire in sequenza il valore della radice trovando i valori dei bit successivi del valore desiderato della radice, iniziando da quello più alto e passando a quelli più bassi. Ad esempio, il valore della radice nel primo passaggio risulta essere 2, nel secondo – 2,2, nel terzo – 2,23 e così via 2,236067977…. Descriviamo come si trovano i valori dei bit.
Le cifre si trovano effettuando una ricerca al loro interno valori possibili 0, 1, 2, …, 9. In questo caso, le potenze n-esime dei numeri corrispondenti vengono calcolate in parallelo e confrontate con il numero radicale. Se ad un certo punto il valore del grado supera il numero radicale, viene considerato trovato il valore della cifra corrispondente al valore precedente e, se ciò non accade, viene effettuata la transizione al passaggio successivo dell'algoritmo di estrazione della radice; quindi il valore di questa cifra è 9.
Spieghiamo questi punti usando lo stesso esempio dell'estrazione della radice quadrata di cinque.
Per prima cosa troviamo il valore della cifra delle unità. Esamineremo i valori 0, 1, 2, ..., 9, calcolando rispettivamente 0 2, 1 2, ..., 9 2, finché non otterremo un valore maggiore del numero radicale 5. È conveniente presentare tutti questi calcoli sotto forma di tabella: 
Quindi il valore della cifra delle unità è 2 (poiché 2 2<5
, а 2 3 >5). Passiamo alla ricerca del valore dei decimi. In questo caso eleveremo al quadrato i numeri 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, confrontando i valori risultanti con il radicale 5: 
Dal 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, allora il valore dei decimi è 2. Puoi procedere alla ricerca del valore dei centesimi: 
È così che è stato trovato il valore successivo della radice di cinque, pari a 2,23. E così puoi continuare a trovare valori: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Per consolidare il materiale, analizzeremo l'estrazione della radice con una precisione di centesimi utilizzando l'algoritmo considerato.
Per prima cosa determiniamo la cifra più significativa. Per fare ciò, cubiamo i numeri 0, 10, 100, ecc. finché non otteniamo un numero maggiore di 2.151.186. Abbiamo 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, quindi la cifra più significativa è la cifra delle decine.
Determiniamo il suo valore. 
Dalle 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, allora il valore delle decine è 1. Passiamo alle unità. 
Pertanto, il valore della cifra delle unità è 2. Passiamo ai decimi. 
Poiché anche 12,9 3 è inferiore al radicale 2 151,186, il valore dei decimi è 9. Resta da eseguire l'ultimo passaggio dell'algoritmo; ci darà il valore della radice con la precisione richiesta. 
In questa fase, il valore della radice risulta accurato al centesimo: 
.
In conclusione di questo articolo, vorrei dire che esistono molti altri modi per estrarre le radici. Ma per la maggior parte dei compiti quelli che abbiamo studiato sopra sono sufficienti.
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: libro di testo per la terza media. istituzioni educative.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo per i gradi 10 - 11 degli istituti di istruzione generale.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per chi entra nelle scuole tecniche).
Viene chiamata la radice quadrata non negativa di un numero positivo radice quadrata aritmetica e si indica con il segno radicale.
Numeri complessi
Nel campo dei numeri complessi esistono sempre due soluzioni, che differiscono solo per il segno (ad eccezione della radice quadrata di zero). La radice di un numero complesso è spesso indicata con , ma questa notazione deve essere usata con attenzione. Errore comune:
Per estrarre la radice quadrata di un numero complesso, è conveniente utilizzare la forma esponenziale di scrittura di un numero complesso: se
,
,
dove la radice del modulo è intesa nel senso di un valore aritmetico, e k può assumere i valori k=0 e k=1, quindi la risposta porta a due risultati diversi.
Generalizzazioni
Le radici quadrate vengono introdotte come soluzioni alle equazioni della forma per altri oggetti: matrici, funzioni, operatori, ecc. Operazioni moltiplicative abbastanza arbitrarie possono essere utilizzate come operazione, ad esempio la sovrapposizione.
Radice quadrata in informatica
In molti linguaggi di programmazione a livello di funzione (così come nei linguaggi di markup come LaTeX), la funzione radice quadrata è scritta come mq(dall'inglese radice quadrata"Radice quadrata").
Algoritmi per trovare la radice quadrata
Viene chiamato trovare o calcolare la radice quadrata di un dato numero estrazione(radice quadrata.
Espansione in serie di Taylor
A .Radice quadrata aritmetica
Per i quadrati di numeri sono vere le seguenti uguaglianze:
Cioè, puoi scoprire la parte intera della radice quadrata di un numero sottraendo da esso tutti i numeri dispari in ordine finché il resto non è inferiore al numero sottratto successivo o uguale a zero e contando il numero di azioni eseguite. Ad esempio, in questo modo:
Sono stati completati 3 passaggi, la radice quadrata di 9 è 3.
Lo svantaggio di questo metodo è che se la radice da estrarre non è un numero intero, puoi conoscerne solo l'intera parte, ma non più precisamente. Allo stesso tempo, questo metodo è abbastanza accessibile ai bambini che risolvono semplici problemi matematici che richiedono l'estrazione della radice quadrata.
Dare una stima grezza
Molti algoritmi per il calcolo delle radici quadrate di un numero reale positivo S richiedono un valore iniziale. Se il valore iniziale è troppo lontano dal valore reale della radice, i calcoli diventano più lenti. Pertanto è utile avere una stima approssimativa, che può essere molto imprecisa, ma facile da calcolare. Se S≥ 1, lett D sarà il numero di cifre S a sinistra del punto decimale. Se S < 1, пусть D sarà il numero di zeri consecutivi a destra della virgola decimale, presi con il segno meno. Allora la stima approssimativa è questa:
Se D strano, D = 2N+ 1, quindi utilizzare 
Se D Anche, D = 2N+ 2, quindi utilizzare 
Due e sei sono usati perché 
E
Quando si lavora in un sistema binario (come all'interno dei computer), dovrebbe essere utilizzata una valutazione diversa (qui Dè il numero di cifre binarie).
Radice quadrata geometrica
Per estrarre manualmente la radice, viene utilizzata una notazione simile alla divisione lunga. Viene scritto il numero di cui stiamo cercando la radice. Alla sua destra otterremo gradualmente i numeri della radice desiderata. Prendiamo la radice di un numero con un numero finito di cifre decimali. Per cominciare, mentalmente o con i segni, dividiamo il numero N in gruppi di due cifre a sinistra e a destra della virgola decimale. Se necessario, i gruppi vengono riempiti con zeri: la parte intera viene riempita a sinistra, la parte frazionaria a destra. Quindi 31234.567 può essere rappresentato come 03 12 34. 56 70. A differenza della divisione, la demolizione viene effettuata in gruppi di 2 cifre.
Descrizione visiva dell'algoritmo:
Gli studenti si chiedono sempre: “Perché non posso usare la calcolatrice nell’esame di matematica? Come estrarre la radice quadrata di un numero senza calcolatrice? Proviamo a rispondere a questa domanda.
Come estrarre la radice quadrata di un numero senza l'aiuto di una calcolatrice?
Azione radice quadrata inversa all'azione di quadratura.
√81= 9 9 2 =81
Se prendi la radice quadrata di un numero positivo e eleva il risultato al quadrato, ottieni lo stesso numero.
Dai piccoli numeri che sono quadrati esatti dei numeri naturali, ad esempio 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, si possono estrarre oralmente le radici quadrate. Di solito a scuola insegnano una tavola di quadrati di numeri naturali fino a venti. Conoscendo questa tabella, è facile estrarre radici quadrate dai numeri 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Dai numeri maggiori di 400 puoi estrarle utilizzando il metodo di selezione utilizzando alcuni suggerimenti. Proviamo a vedere questo metodo con un esempio.
Esempio: Estrai la radice del numero 676.
Notiamo che 20 2 = 400 e 30 2 = 900, che significa 20< √676 < 900.
I quadrati esatti dei numeri naturali terminano con 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Il numero 6 è dato da 4 2 e 6 2.
Ciò significa che se la radice viene presa da 676, allora sarà 24 o 26.
Resta da verificare: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Risposta: √676 = 26 .
Di più esempio: √6889 .
Poiché 80 2 = 6400 e 90 2 = 8100, allora 80< √6889 < 90.
Il numero 9 è dato da 3 2 e 7 2, quindi √6889 è uguale a 83 o 87.
Controlliamo: 83 2 = 6889.
Risposta: √6889 = 83 .
Se trovi difficile risolverlo utilizzando il metodo di selezione, puoi fattorizzare l'espressione radicale.
Per esempio, trova √893025.
Prendiamo in considerazione il numero 893025, ricorda, l'hai fatto in prima media.
Otteniamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Di più esempio: √20736. Consideriamo il numero 20736:
Otteniamo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Naturalmente, la fattorizzazione richiede la conoscenza dei segni di divisibilità e capacità di fattorizzazione.
E finalmente c'è regola per l'estrazione delle radici quadrate. Facciamo conoscenza con questa regola con esempi.
Calcola √279841.
Per estrarre la radice di un numero intero a più cifre, lo dividiamo da destra a sinistra in facce contenenti 2 cifre (il bordo più a sinistra può contenere una cifra). Lo scriviamo così: 27’98’41
Per ottenere la prima cifra della radice (5), prendiamo la radice quadrata del quadrato perfetto più grande contenuto nella prima faccia a sinistra (27).
Quindi il quadrato della prima cifra della radice (25) viene sottratto dalla prima faccia e la faccia successiva (98) viene aggiunta alla differenza (sottratta).
A sinistra del numero risultante 298, scrivi la doppia cifra della radice (10), dividi per essa il numero di tutte le decine del numero precedentemente ottenuto (29/2 ≈ 2), verifica il quoziente (102 ∙ 2 = 204 non dovrebbe essere superiore a 298) e scrivere (2) dopo la prima cifra della radice.
Quindi il quoziente risultante 204 viene sottratto da 298 e il bordo successivo (41) viene aggiunto alla differenza (94).
A sinistra del numero risultante 9441, scrivi il doppio prodotto delle cifre della radice (52 ∙2 = 104), dividi il numero di tutte le decine del numero 9441 (944/104 ≈ 9) per questo prodotto, prova la il quoziente (1049 ∙9 = 9441) dovrebbe essere 9441 e scriverlo (9) dopo la seconda cifra della radice.
Abbiamo ricevuto la risposta √279841 = 529.
Estrarre in modo simile radici delle frazioni decimali. Solo il numero radicale deve essere diviso in facce in modo che la virgola sia tra le facce.
Esempio. Trova il valore √0.00956484.
Ricorda solo che se una frazione decimale ha un numero dispari di cifre decimali, non è possibile ricavarne la radice quadrata.
Quindi ora hai visto tre modi per estrarre la radice. Scegli quello più adatto a te e fai pratica. Per imparare a risolvere i problemi, è necessario risolverli. E se hai domande, iscriviti alle mie lezioni.
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