Esempi di teoria della radice quadrata. Estrazione della radice quadrata

Cos'è una radice quadrata?

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Questo concetto è molto semplice. Naturale, direi. I matematici cercano di trovare una reazione per ogni azione. C'è l'addizione, c'è anche la sottrazione. C'è la moltiplicazione, c'è anche la divisione. C'è la quadratura... Quindi c'è anche estrazione radice quadrata! È tutto. Questa azione ( radice quadrata) in matematica è indicato da questa icona:

Viene chiamata l'icona stessa una bella parola "radicale".

Come estrarre la radice? E' meglio guardare esempi.

Qual è la radice quadrata di 9? Quale numero al quadrato ci darà 9? 3 al quadrato ci danno 9! Quelli:

Ma qual è la radice quadrata di zero? Nessun problema! Che numero quadrato fa lo zero? Sì, dà zero! Significa:

Fatto, cos'è la radice quadrata? Poi consideriamo esempi:

Risposte (disordinate): 6; 1; 4; 9; 5.

Deciso? Davvero, quanto è più facile?!

Ma... Cosa fa una persona quando vede qualche compito con radici?

Una persona comincia a sentirsi triste... Non crede nella semplicità e nella leggerezza delle sue radici. Anche se sembra che lo sappia cos'è la radice quadrata...

Questo perché la persona ha ignorato diversi punti importanti durante lo studio delle radici. Poi queste mode si prendono una crudele vendetta su prove ed esami...

Punto uno. Devi riconoscere le radici a vista!

Qual è la radice quadrata di 49? Sette? Giusto! Come facevi a sapere che erano le sette? Sette al quadrato e ottieni 49? Giusto! Tienilo presente estrarre la radice su 49 abbiamo dovuto fare l'operazione inversa - casella 7! E assicurati che non perdiamo. Oppure avrebbero potuto perderlo...

Questa è la difficoltà estrazione delle radici. Piazza Puoi utilizzare qualsiasi numero senza problemi. Moltiplica un numero per se stesso con una colonna: tutto qui. Ma per estrazione delle radici Non esiste una tecnologia così semplice e sicura. Dobbiamo raccolta rispondi e controlla se è corretto elevandolo al quadrato.

Questo complesso processo creativo, ovvero la scelta di una risposta, è notevolmente semplificato se tu Ricordare quadrati di numeri popolari. Come una tavola pitagorica. Se, diciamo, devi moltiplicare 4 per 6, non aggiungi quattro 6 volte, vero? La risposta è subito 24. Anche se non tutti lo capiscono, sì...

Per lavorare liberamente e con successo con le radici, è sufficiente conoscere i quadrati dei numeri da 1 a 20. Inoltre Là E Indietro. Quelli. dovresti essere in grado di recitare facilmente sia, ad esempio, 11 al quadrato che la radice quadrata di 121. Per ottenere questa memorizzazione, ci sono due modi. Il primo è imparare la tavola dei quadrati. Questo sarà di grande aiuto nella risoluzione degli esempi. Il secondo è risolvere più esempi. Questo ti aiuterà molto a ricordare la tabella dei quadrati.

E niente calcolatrici! Solo a scopo di test. Altrimenti rallenterai senza pietà durante l'esame...

COSÌ, cos'è la radice quadrata E come estrarre le radici- Penso che sia chiaro. Ora scopriamo da COSA possiamo estrarli.

Punto due. Root, non ti conosco!

Da quali numeri puoi ricavare le radici quadrate? Sì, quasi tutti. È più facile capire da cosa deriva è vietato estrarli.

Proviamo a calcolare questa radice:

Per fare ciò, dobbiamo scegliere un numero che al quadrato ci darà -4. Selezioniamo.

Cosa, non va bene? 2 2 dà +4. (-2) 2 dà ancora +4! Questo è tutto... Non ci sono numeri che, una volta quadrati, ci daranno un numero negativo! Anche se conosco questi numeri. Ma non te lo dico). Vai al college e lo scoprirai da solo.

La stessa storia accadrà con qualsiasi numero negativo. Da qui la conclusione:

Un'espressione in cui c'è un numero negativo sotto il segno della radice quadrata - non ha senso! Questa è un'operazione vietata. È proibito quanto dividere per zero. Ricordate fermamente questo fatto! O in altre parole:

Non è possibile estrarre radici quadrate da numeri negativi!

Ma tra tutti gli altri, è possibile. Ad esempio, è del tutto possibile calcolare

A prima vista, questo è molto difficile. Selezionare le frazioni ed elevarle al quadrato... Non preoccuparti. Quando comprendiamo le proprietà delle radici, tali esempi saranno ridotti alla stessa tabella dei quadrati. La vita diventerà più facile!

Ok, frazioni. Ma incontriamo ancora espressioni come:

Va bene. Tutto uguale. La radice quadrata di due è il numero che, quadrato, ci dà due. Solo che questo numero è completamente dispari... Eccolo:

La cosa interessante è che questa frazione non finisce mai... Tali numeri sono chiamati irrazionali. Nelle radici quadrate questa è la cosa più comune. A proposito, questo è il motivo per cui vengono chiamate le espressioni con radici irrazionale. È chiaro che scrivere continuamente una frazione così infinita è scomodo. Pertanto, invece di una frazione infinita, la lasciano così:

Se, risolvendo un esempio, ti ritrovi con qualcosa che non può essere estratto, come:

allora lo lasciamo così. Questa sarà la risposta.

È necessario comprendere chiaramente il significato delle icone

Naturalmente, se viene presa la radice del numero liscio, devi farlo. La risposta al compito è nella forma, ad esempio

Una risposta abbastanza completa.

E, naturalmente, devi conoscere i valori approssimativi dalla memoria:

Questa conoscenza aiuta molto a valutare la situazione in compiti complessi.

Punto tre. Il più astuto.

La principale confusione nel lavorare con le radici è causata da questo punto. È lui che dà fiducia nelle proprie capacità... Affrontiamo per bene questo punto!

Per prima cosa, prendiamo di nuovo la radice quadrata di quattro di essi. Ti ho già disturbato con questa radice?) Non importa, ora sarà interessante!

Quale numero fa 4 quadrato? Bene, due, due, sento risposte insoddisfatte...

Giusto. Due. Ma anche meno due darà 4 al quadrato... Intanto la risposta

corretto e la risposta

errore grossolano. Come questo.

Allora, qual è il problema?

Infatti, (-2) 2 = 4. E sotto la definizione di radice quadrata di quattro meno due abbastanza adatto... Questa è anche la radice quadrata di quattro.

Ma! Nel corso di matematica scolastica è consuetudine considerare le radici quadrate solo numeri non negativi! Cioè zero e tutti sono positivi. È stato inventato anche un termine speciale: dal numero UN- Questo non negativo numero il cui quadrato è UN. I risultati negativi durante l'estrazione di una radice quadrata aritmetica vengono semplicemente scartati. A scuola, tutto ha radici quadrate - aritmetica. Anche se questo non è particolarmente menzionato.

Ok, è comprensibile. È ancora meglio: non preoccuparti risultati negativi... Questa non è ancora confusione.

La confusione inizia quando si risolvono equazioni quadratiche. Ad esempio, devi risolvere la seguente equazione.

L'equazione è semplice, scriviamo la risposta (come insegnato):

Questa risposta (assolutamente corretta, tra l'altro) è solo una versione abbreviata due risposte:

Basta basta! Appena sopra ho scritto che la radice quadrata è un numero Sempre non negativo! Ed ecco una delle risposte: negativo! Disturbo. Questo è il primo (ma non l'ultimo) problema che provoca sfiducia nelle radici... Risolviamo questo problema. Scriviamo le risposte (giusto per capire!) in questo modo:

Le parentesi non cambiano l'essenza della risposta. L'ho semplicemente separato tra parentesi segni da radice. Ora puoi vedere chiaramente che la radice stessa (tra parentesi) è ancora un numero non negativo! E i segnali lo sono risultato della risoluzione dell'equazione. Dopotutto, quando risolviamo qualsiasi equazione dobbiamo scrivere Tutto X che, se sostituite nell'equazione originale, daranno il risultato corretto. La radice di cinque (positiva!) con sia un più che un meno rientra nella nostra equazione.

Come questo. Se tu basta prendere la radice quadrata da qualsiasi cosa, tu Sempre ottieni uno non negativo risultato. Per esempio:

Perché - radice quadrata aritmetica.

Ma se decidi qualcosa equazione quadrata, tipo:

Quello Sempre si scopre due risposta (con più e meno):

Perché questa è la soluzione dell'equazione.

Speranza, cos'è la radice quadrata Hai ben chiari i tuoi punti. Ora resta da scoprire cosa si può fare con le radici, quali sono le loro proprietà. E quali sono i punti e le insidie... scusate, sassi!)

Tutto questo è nelle lezioni seguenti.

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Fatto 1.
\(\bullet\) Prendiamo un numero non negativo \(a\) (ovvero \(a\geqslant 0\) ). Quindi (aritmetica) radice quadrata dal numero \(a\) viene chiamato tale numero non negativo \(b\) , al quadrato otteniamo il numero \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(uguale a )\quad a=b^2\] Dalla definizione ne consegue che \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Queste restrizioni sono una condizione importante l'esistenza di una radice quadrata e dovrebbero essere ricordati!
Ricorda che qualsiasi numero al quadrato dà un risultato non negativo. Cioè, \(100^2=10000\geqslant 0\) e \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) A cosa è uguale \(\sqrt(25)\)? Sappiamo che \(5^2=25\) e \((-5)^2=25\) . Poiché per definizione dobbiamo trovare un numero non negativo, allora \(-5\) non è adatto, quindi \(\sqrt(25)=5\) (poiché \(25=5^2\) ).
Trovare il valore di \(\sqrt a\) viene chiamato prendendo la radice quadrata del numero \(a\) e il numero \(a\) viene chiamato espressione radicale.
\(\bullet\) In base alla definizione, espressione \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), ecc. non ha senso

Fatto 2.
Per calcoli rapidi, sarà utile imparare la tabella dei quadrati dei numeri naturali da \(1\) a \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fatto 3.
Quali operazioni si possono fare con le radici quadrate?
\(\proiettile\) Somma o differenza radici quadrate NON UGUALE alla radice quadrata della somma o della differenza, cioè \[\quadrato a\pm\quadrato b\ne \quadrato(a\pm b)\] Pertanto, se devi calcolare, ad esempio, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , inizialmente devi trovare i valori di \(\sqrt(25)\) e \(\ sqrt(49)\ ) e poi piegarli. Quindi, \[\quadrato(25)+\quadrato(49)=5+7=12\] Se i valori \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) non possono essere trovati aggiungendo \(\sqrt a+\sqrt b\), tale espressione non viene ulteriormente trasformata e rimane così com'è. Ad esempio, nella somma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) possiamo trovare \(\sqrt(49)\) è \(7\) , ma \(\sqrt 2\) non può essere trasformato in comunque, ecco perché \(\quadrato 2+\quadrato(49)=\quadrato 2+7\). Purtroppo questa espressione non può essere ulteriormente semplificata\(\bullet\) Il prodotto/quoziente delle radici quadrate è uguale alla radice quadrata del prodotto/quoziente, cioè \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (a condizione che entrambi i lati delle uguaglianze abbiano senso)
Esempio: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando queste proprietà, è conveniente trovare le radici quadrate di grandi numeri fattorizzandoli.
Diamo un'occhiata a un esempio. Troviamo \(\sqrt(44100)\) . Poiché \(44100:100=441\) , allora \(44100=100\cdot 441\) . Secondo il criterio di divisibilità, il numero \(441\) è divisibile per \(9\) (poiché la somma delle sue cifre è 9 ed è divisibile per 9), quindi, \(441:9=49\), cioè \(441=9\ cdot 49\) .
Così abbiamo ottenuto: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Diamo un'occhiata a un altro esempio: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mostriamo come inserire i numeri sotto il segno della radice quadrata usando l'esempio dell'espressione \(5\sqrt2\) (notazione breve per l'espressione \(5\cdot \sqrt2\)). Poiché \(5=\sqrt(25)\) , allora \ Si noti inoltre che, ad es.
1) \(\quadrato2+3\quadrato2=4\quadrato2\) ,
2) \(5\quadrato3-\quadrato3=4\quadrato3\)
3) \(\quadrato a+\quadrato a=2\quadrato a\) .

Perché? Spieghiamo utilizzando l'esempio 1). Come già capisci, non possiamo in qualche modo trasformare il numero \(\sqrt2\). Immaginiamo che \(\sqrt2\) sia un numero \(a\) . Di conseguenza, l'espressione \(\sqrt2+3\sqrt2\) non è altro che \(a+3a\) (un numero \(a\) più altri tre numeri uguali \(a\)). E sappiamo che questo è uguale a quattro di questi numeri \(a\) , cioè \(4\sqrt2\) .

Fatto 4.
\(\bullet\) Spesso si dice “non puoi estrarre la radice” quando non riesci a eliminare il segno \(\sqrt () \ \) della radice (radicale) quando trovi il valore di un numero . Ad esempio, puoi prendere la radice del numero \(16\) perché \(16=4^2\) , quindi \(\sqrt(16)=4\) . Ma è impossibile estrarre la radice del numero \(3\), cioè trovare \(\sqrt3\), perché non esiste un numero che al quadrato dia \(3\) .
Tali numeri (o espressioni con tali numeri) sono irrazionali. Ad esempio, i numeri \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) e così via. sono irrazionali.
Irrazionali sono anche i numeri \(\pi\) (il numero “pi”, approssimativamente uguale a \(3.14\)), \(e\) (questo numero è chiamato numero di Eulero, è approssimativamente uguale a \(2.7 \)) eccetera.
\(\bullet\) Tieni presente che qualsiasi numero sarà razionale o irrazionale. E insieme tutti i numeri razionali e tutti i numeri irrazionali formano un insieme chiamato un insieme di numeri reali. Questo insieme è indicato dalla lettera \(\mathbb(R)\) .
Ciò significa che tutti i numeri attivi questo momento sappiamo che si chiamano numeri reali.

Fatto 5.
\(\bullet\) Il modulo di un numero reale \(a\) è un numero non negativo \(|a|\) uguale alla distanza dal punto \(a\) a \(0\) sul linea reale. Ad esempio, \(|3|\) e \(|-3|\) sono uguali a 3, poiché le distanze dai punti \(3\) e \(-3\) a \(0\) sono le uguale e uguale a \(3 \) .
\(\bullet\) Se \(a\) è un numero non negativo, allora \(|a|=a\) .
Esempio: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Se \(a\) è un numero negativo, allora \(|a|=-a\) .
Esempio: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Si dice che per i numeri negativi il modulo “mangia” il meno, mentre i numeri positivi, così come il numero \(0\), vengono lasciati invariati dal modulo.
MA Questa regola si applica solo ai numeri. Se sotto il segno del modulo c'è uno sconosciuto \(x\) (o qualche altro sconosciuto), ad esempio \(|x|\) , di cui non sappiamo se sia positivo, zero o negativo, allora sbarazzati del modulo non possiamo. In questo caso, questa espressione rimane la stessa: \(|x|\) . \(\bullet\) Valgono le seguenti formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( fornito ) a\geqslant 0\] Molto spesso si commette il seguente errore: si dice che \(\sqrt(a^2)\) e \((\sqrt a)^2\) sono la stessa cosa. Questo è vero solo se \(a\) è un numero positivo o zero. Ma se \(a\) è un numero negativo, allora è falso. Basti considerare questo esempio. Prendiamo al posto di \(a\) il numero \(-1\) . Quindi \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ma l'espressione \((\sqrt (-1))^2\) non esiste affatto (dopotutto, è impossibile usare il segno di radice e mettere numeri negativi!).
Pertanto, attiriamo la vostra attenzione sul fatto che \(\sqrt(a^2)\) non è uguale a \((\sqrt a)^2\) ! Esempio 1) \(\quadrato(\sinistra(-\quadrato2\destra)^2)=|-\quadrato2|=\quadrato2\), Perché \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \(((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Poiché \(\sqrt(a^2)=|a|\) , allora \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'espressione \(2n\) denota un numero pari)
Cioè, quando si prende la radice di un numero che è di un certo grado, questo grado viene dimezzato.
Esempio:
1) \(\quadrato(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notare che se il modulo non viene fornito, risulta che la radice del numero è uguale a \(-25\ ); ma ricordiamo, che per definizione di radice questo non può accadere: quando si estrae una radice, dovremmo sempre ottenere un numero positivo o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (poiché qualsiasi numero elevato a una potenza pari è non negativo)

Fatto 6.
Come confrontare due radici quadrate?
\(\bullet\) Per le radici quadrate è vero: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEsempio:
1) confrontare \(\sqrt(50)\) e \(6\sqrt2\) . Innanzitutto, trasformiamo la seconda espressione in \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Pertanto, poiché \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Tra quali numeri interi si trova \(\sqrt(50)\)?
Poiché \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , e \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Confrontiamo \(\sqrt 2-1\) e \(0.5\) . Supponiamo che \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((aggiungi uno ad entrambi i lati))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((quadratura di entrambi i lati))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\] Vediamo che abbiamo ottenuto una disuguaglianza errata. Pertanto, la nostra ipotesi era errata e \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Si noti che l'aggiunta di un certo numero a entrambi i membri della disuguaglianza non influisce sul suo segno. Anche moltiplicare/dividere entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero positivo non ne influenza il segno, ma moltiplicare/dividere per un numero negativo inverte il segno della disuguaglianza!
Puoi elevare al quadrato entrambi i lati di un'equazione/disuguaglianza SOLO SE entrambi i lati sono non negativi. Ad esempio, nella disuguaglianza dell'esempio precedente puoi elevare al quadrato entrambi i lati, nella disuguaglianza \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) È opportuno ricordarlo \[\begin(aligned) &\sqrt 2\circa 1,4\\ &\sqrt 3\circa 1,7 \end(aligned)\] Conoscere il significato approssimativo di questi numeri ti aiuterà a confrontare i numeri! \(\bullet\) Per estrarre la radice (se è possibile estrarla) da un numero grande che non si trova nella tabella dei quadrati, è necessario prima determinare tra quali “centinaia” si trova, quindi – tra quale “ decine", quindi determinare l'ultima cifra di questo numero. Mostriamo come funziona con un esempio.
Prendiamo \(\sqrt(28224)\) . Sappiamo che \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), ecc. Tieni presente che \(28224\) è compreso tra \(10\,000\) e \(40\,000\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(100\) e \(200\) .
Ora determiniamo tra quali “decine” si trova il nostro numero (cioè, ad esempio, tra \(120\) e \(130\)). Inoltre dalla tavola dei quadrati sappiamo che \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ecc., quindi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Quindi vediamo che \(28224\) è compreso tra \(160^2\) e \(170^2\) . Pertanto, il numero \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(160\) e \(170\) .
Proviamo a determinare l'ultima cifra. Ricordiamo quali numeri a una cifra, al quadrato, danno \(4\) alla fine? Questi sono \(2^2\) e \(8^2\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) terminerà con 2 o 8. Controlliamolo. Troviamo \(162^2\) e \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Pertanto, \(\sqrt(28224)=168\) . Ecco!

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E' ora di sistemare la cosa metodi di estrazione delle radici. Si basano sulle proprietà delle radici, in particolare sull'uguaglianza, che è vera per qualsiasi numero non negativo b.

Di seguito esamineremo uno per uno i principali metodi per estrarre le radici.

Cominciamo con il caso più semplice: estrarre le radici dai numeri naturali utilizzando una tabella di quadrati, una tabella di cubi, ecc.

Se le tabelle di quadrati, cubi, ecc. Se non lo hai a portata di mano, è logico utilizzare il metodo dell’estrazione della radice, che prevede la scomposizione del numero radicale in fattori primi.

Vale la pena menzionare in particolare ciò che è possibile per radici con esponenti dispari.

Consideriamo infine un metodo che ci consenta di trovare in sequenza le cifre del valore radice.

Iniziamo.

Utilizzando una tabella di quadrati, una tabella di cubi, ecc.

Nei casi più semplici, tavole di quadrati, cubi, ecc. permettono di estrarre le radici. Cosa sono queste tabelle?

La tabella dei quadrati degli interi da 0 a 99 compresi (mostrata di seguito) è composta da due zone. La prima zona della tabella è posizionata su sfondo grigio; selezionando una specifica riga e una specifica colonna, permette di comporre un numero da 0 a 99. Ad esempio selezioniamo una riga di 8 decine ed una colonna di 3 unità, con questa fissiamo il numero 83. La seconda zona occupa il resto del tavolo. Ogni cella si trova all'intersezione di una determinata riga e di una determinata colonna e contiene il quadrato del numero corrispondente da 0 a 99. All'intersezione della riga da noi scelta di 8 decine e della colonna 3 di unità c'è una cella con il numero 6.889, che è il quadrato del numero 83.

Le tabelle dei cubi, le tabelle delle quarte potenze dei numeri da 0 a 99 e così via sono simili alla tabella dei quadrati, solo che contengono cubi, quarte potenze, ecc. nella seconda zona. numeri corrispondenti.

Tabelle dei quadrati, dei cubi, delle quarte potenze, ecc. consentono di estrarre radici quadrate, radici cubiche, radici quarte, ecc. di conseguenza dai numeri in queste tabelle. Spieghiamo il principio del loro utilizzo durante l'estrazione delle radici.

Diciamo che dobbiamo estrarre la radice n-esima del numero a, mentre il numero a è contenuto nella tabella delle potenze n-esime. Utilizzando questa tabella troviamo il numero b tale che a=b n. Poi , quindi, il numero b sarà la radice desiderata dell'ennesimo grado.

Ad esempio, mostriamo come utilizzare una tabella cubica per estrarre la radice cubica di 19.683. Troviamo il numero 19.683 nella tabella dei cubi, da esso troviamo che questo numero è il cubo del numero 27, quindi, .

È chiaro che le tabelle delle potenze n-esime sono molto convenienti per estrarre le radici. Tuttavia, spesso non sono a portata di mano e la loro compilazione richiede del tempo. Inoltre, spesso è necessario estrarre le radici dai numeri che non sono contenuti nelle tabelle corrispondenti. In questi casi bisogna ricorrere ad altri metodi di estrazione delle radici.

Fattorizzazione di un numero radicale in fattori primi

Un modo abbastanza conveniente per estrarre la radice di un numero naturale (se, ovviamente, la radice viene estratta) è scomporre il numero radicale in fattori primi. Il suo il punto è questo: dopodiché è abbastanza semplice rappresentarlo come una potenza con l'esponente desiderato, che permette di ottenere il valore della radice. Chiariamo questo punto.

Sia presa l'ennesima radice di un numero naturale a e il suo valore sia uguale a b. In questo caso l’uguaglianza a=b n è vera. Il numero b, come ogni numero naturale, può essere rappresentato come il prodotto di tutti i suoi fattori primi p 1 , p 2 , …, p m nella forma p 1 ·p 2 ·…·p m , e il numero radicale a in questo caso è rappresentato come (p 1 ·p 2 ·…·pm) n . Poiché la scomposizione di un numero in fattori primi è unica, la scomposizione del radicale a in fattori primi avrà la forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, che permette di calcolare il valore della radice COME.

Si noti che se la scomposizione in fattori primi di un numero radicale a non può essere rappresentata nella forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, allora la radice n-esima di tale numero a non viene estratta completamente.

Scopriamolo risolvendo gli esempi.

Esempio.

Prendi la radice quadrata di 144.

Soluzione.

Se guardi la tabella dei quadrati riportata nel paragrafo precedente, puoi vedere chiaramente che 144 = 12 2, da cui risulta chiaro che la radice quadrata di 144 è uguale a 12.

Ma alla luce di questo punto, a noi interessa come si estrae la radice scomponendo il radicale 144 in fattori primi. Diamo un'occhiata a questa soluzione.

Decomponiamo 144 ai fattori primi:

Cioè, 144=2·2·2·2·3·3. In base alla scomposizione risultante si possono effettuare le seguenti trasformazioni: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Quindi, .

Utilizzando le proprietà del grado e le proprietà delle radici, la soluzione potrebbe essere formulata in modo leggermente diverso: .

Risposta:

Per consolidare il materiale, considera le soluzioni di altri due esempi.

Esempio.

Calcola il valore della radice.

Soluzione.

La scomposizione in fattori primi del radicale 243 ha la forma 243=3 5 . Così, .

Risposta:

Esempio.

Il valore della radice è un numero intero?

Soluzione.

Per rispondere a questa domanda, fattorizziamo il numero radicale in fattori primi e vediamo se può essere rappresentato come un cubo di un numero intero.

Abbiamo 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. L'espansione risultante non può essere rappresentata come un cubo di un numero intero, poiché la potenza del fattore primo 7 non è un multiplo di tre. Pertanto, la radice cubica di 285.768 non può essere estratta completamente.

Risposta:

NO.

Estrazione delle radici dai numeri frazionari

È ora di capire come estrarre la radice di un numero frazionario. Scriviamo il numero radicale frazionario come p/q. Secondo la proprietà della radice di un quoziente è vera la seguente uguaglianza. Da questa uguaglianza segue regola per estrarre la radice di una frazione: La radice di una frazione è uguale al quoziente della radice del numeratore diviso per la radice del denominatore.

Diamo un'occhiata ad un esempio di estrazione di una radice da una frazione.

Esempio.

Qual è la radice quadrata della frazione comune 25/169?

Soluzione.

Usando la tabella dei quadrati, troviamo che la radice quadrata del numeratore della frazione originale è uguale a 5 e la radice quadrata del denominatore è uguale a 13. Poi . Ciò completa l'estrazione della radice della frazione comune 25/169.

Risposta:

La radice di una frazione decimale o di un numero misto si estrae sostituendo i numeri radicali con le frazioni ordinarie.

Esempio.

Prendi la radice cubica della frazione decimale 474.552.

Soluzione.

Immaginiamo la frazione decimale originaria come una frazione ordinaria: 474,552=474552/1000. Poi . Resta da estrarre le radici cubiche che si trovano al numeratore e al denominatore della frazione risultante. Perché 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 e 1 000 = 10 3, quindi E . Non resta che completare i calcoli .

Risposta:

Prendere la radice di un numero negativo

Vale la pena soffermarsi sull'estrazione delle radici dai numeri negativi. Studiando le radici, abbiamo detto che quando l'esponente della radice è un numero dispari, sotto il segno della radice può esserci un numero negativo. Abbiamo dato a queste voci il seguente significato: per un numero negativo −a e un esponente dispari della radice 2 n−1, . Questa uguaglianza dà regola per estrarre le radici dispari dai numeri negativi: per estrarre la radice di un numero negativo, devi prendere la radice del numero positivo opposto e anteporre un segno meno al risultato.

Diamo un'occhiata alla soluzione di esempio.

Esempio.

Trova il valore della radice.

Soluzione.

Trasformiamo l'espressione originale in modo che ci sia un numero positivo sotto il segno della radice: . Ora sostituisci il numero misto con una frazione ordinaria: . Applichiamo la regola per estrarre la radice di una frazione ordinaria: . Resta da calcolare le radici nel numeratore e nel denominatore della frazione risultante: .

Ecco un breve riassunto della soluzione: .

Risposta:

Determinazione bit a bit del valore della radice

Nel caso generale, sotto la radice c'è un numero che, utilizzando le tecniche discusse sopra, non può essere rappresentato come l'ennesima potenza di qualsiasi numero. Ma in questo caso è necessario conoscere il significato di una determinata radice, almeno fino a un certo segno. In questo caso, per estrarre la radice, è possibile utilizzare un algoritmo che consente di ottenere in sequenza un numero sufficiente di valori delle cifre del numero desiderato.

Il primo passo di questo algoritmo è scoprire qual è il bit più significativo del valore della radice. Per fare ciò, i numeri 0, 10, 100, ... vengono successivamente elevati alla potenza n fino al momento in cui si ottiene un numero superiore al numero radicale. Quindi il numero che abbiamo elevato a n nella fase precedente indicherà la corrispondente cifra più significativa.

Ad esempio, considera questo passaggio dell'algoritmo quando estrai la radice quadrata di cinque. Prendi i numeri 0, 10, 100, ... ed elevali al quadrato finché non otteniamo un numero maggiore di 5. Abbiamo 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, il che significa che la cifra più significativa sarà quella delle unità. Il valore di questo bit, così come di quelli inferiori, verrà trovato nei passaggi successivi dell'algoritmo di estrazione della radice.

Tutti i passaggi successivi dell'algoritmo mirano a chiarire in sequenza il valore della radice trovando i valori dei bit successivi del valore desiderato della radice, iniziando da quello più alto e passando a quelli più bassi. Ad esempio, il valore della radice nel primo passaggio risulta essere 2, nel secondo – 2,2, nel terzo – 2,23 e così via 2,236067977…. Descriviamo come si trovano i valori delle cifre.

Le cifre si trovano cercando tra i loro possibili valori 0, 1, 2, ..., 9. In questo caso, le potenze n-esime dei numeri corrispondenti vengono calcolate in parallelo e confrontate con il numero radicale. Se ad un certo punto il valore del grado supera il numero radicale, allora si considera trovato il valore della cifra corrispondente al valore precedente e viene effettuata la transizione al passo successivo dell'algoritmo di estrazione della radice; se ciò non accade, quindi il valore di questa cifra è 9.

Spieghiamo questi punti usando lo stesso esempio dell'estrazione della radice quadrata di cinque.

Per prima cosa troviamo il valore della cifra delle unità. Esamineremo i valori 0, 1, 2, ..., 9, calcolando rispettivamente 0 2, 1 2, ..., 9 2, finché non otterremo un valore maggiore del numero radicale 5. È conveniente presentare tutti questi calcoli sotto forma di tabella:

Quindi il valore della cifra delle unità è 2 (poiché 2 2<5 , а 2 3 >5). Passiamo alla ricerca del valore dei decimi. In questo caso eleveremo al quadrato i numeri 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, confrontando i valori risultanti con il radicale 5:

Dal 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, allora il valore dei decimi è 2. Puoi procedere alla ricerca del valore dei centesimi:

È così che è stato trovato il valore successivo della radice di cinque, pari a 2,23. E così puoi continuare a trovare valori: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Per consolidare il materiale, analizzeremo l'estrazione della radice con una precisione di centesimi utilizzando l'algoritmo considerato.

Per prima cosa determiniamo la cifra più significativa. Per fare ciò, cubiamo i numeri 0, 10, 100, ecc. finché non otteniamo un numero maggiore di 2.151.186. Abbiamo 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , quindi la cifra più significativa è la cifra delle decine.

Determiniamo il suo valore.

Dalle 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, allora il valore delle decine è 1. Passiamo alle unità.

Pertanto, il valore della cifra delle unità è 2. Passiamo ai decimi.

Poiché anche 12,9 3 è inferiore al radicale 2 151,186, il valore dei decimi è 9. Resta da eseguire l'ultimo passaggio dell'algoritmo che ci darà il valore della radice con la precisione richiesta.

In questa fase, il valore della radice risulta accurato al centesimo: .

In conclusione di questo articolo, vorrei dire che esistono molti altri modi per estrarre le radici. Ma per la maggior parte dei compiti quelli che abbiamo studiato sopra sono sufficienti.

Bibliografia.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: libro di testo per la terza media. istituzioni educative.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo per i gradi 10 - 11 degli istituti di istruzione generale.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per chi entra nelle scuole tecniche).

L'area di un terreno quadrato è di 81 dm². Trova il suo lato. Supponiamo che la lunghezza del lato del quadrato sia X decimetri. Quindi l'area della trama è X² decimetri quadrati. Poiché, secondo le condizioni, quest'area è pari a 81 dm², quindi X² = 81. La lunghezza di un lato di un quadrato è un numero positivo. Un numero positivo il cui quadrato è 81 è il numero 9. Per risolvere il problema, era necessario trovare il numero x il cui quadrato è 81, ad es. risolvere l'equazione X² = 81. Questa equazione ha due radici: X 1 = 9 e X 2 = - 9, poiché 9² = 81 e (- 9)² = 81. Entrambi i numeri 9 e - 9 sono chiamati radici quadrate di 81.

Nota che una delle radici quadrate X= 9 è un numero positivo. Si chiama radice quadrata aritmetica di 81 ed è denotata √81, quindi √81 = 9.

Radice quadrata aritmetica di un numero UNè un numero non negativo il cui quadrato è uguale a UN.

Ad esempio, i numeri 6 e - 6 sono radici quadrate del numero 36. Tuttavia, il numero 6 è una radice quadrata aritmetica di 36, poiché 6 è un numero non negativo e 6² = 36. Il numero - 6 non è un numero radice aritmetica.

Radice quadrata aritmetica di un numero UN indicato come segue: √ UN.

Il segno è chiamato segno della radice quadrata aritmetica; UN- chiamata espressione radicale. Espressione √ UN Leggere così: radice quadrata aritmetica di un numero UN. Ad esempio, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Nei casi in cui è chiaro che si tratta di radice aritmetica si dice brevemente: “la radice quadrata di UN«.

L'atto di trovare la radice quadrata di un numero si chiama radice quadrata. Questa azione è l'inverso della quadratura.

Puoi elevare al quadrato qualsiasi numero, ma non puoi estrarre radici quadrate da nessun numero. Ad esempio, è impossibile estrarre la radice quadrata del numero - 4. Se esistesse una tale radice, allora, denotandola con la lettera X, otterremmo l'uguaglianza errata x² = - 4, poiché c'è un numero non negativo a sinistra e un numero negativo a destra.

Espressione √ UN ha senso solo quando un ≥ 0. La definizione di radice quadrata può essere scritta brevemente come: √ un ≥ 0, (√UN)² = UN. Uguaglianza (√ UN)² = UN valido per un ≥ 0. Pertanto, per garantire che la radice quadrata di un numero non negativo UN equivale B, cioè nel fatto che √ UN =B, è necessario verificare che siano soddisfatte le seguenti due condizioni: b≥ 0, B² = UN.

Radice quadrata di una frazione

Calcoliamo. Notiamo che √25 = 5, √36 = 6, e controlliamo se l’uguaglianza vale.

Perché e , allora l'uguaglianza è vera. COSÌ, .

Teorema: Se UN≥ 0 e B> 0, cioè la radice della frazione è uguale alla radice del numeratore divisa per la radice del denominatore. È necessario dimostrare che: e .

Dal √ UN≥0 e √ B> 0, quindi .

Sulla proprietà di elevare una frazione a potenza e sulla definizione di radice quadrata il teorema è dimostrato. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Calcola utilizzando il teorema dimostrato .

Secondo esempio: dimostralo , Se UN ≤ 0, B < 0. .

Un altro esempio: Calcola .

Conversione della radice quadrata

Rimuovere il moltiplicatore da sotto il segno della radice. Sia data l'espressione. Se UN≥ 0 e B≥ 0, allora utilizzando il teorema della radice del prodotto possiamo scrivere:

Questa trasformazione si chiama rimozione del fattore dal segno della radice. Diamo un'occhiata a un esempio;

Calcola a X= 2. Sostituzione diretta X= 2 nell'espressione radicale porta a calcoli complessi. Questi calcoli possono essere semplificati rimuovendo prima i fattori sotto il segno della radice: . Sostituendo ora x = 2, otteniamo:.

Pertanto, quando si rimuove il fattore da sotto il segno della radice, l'espressione radicale viene rappresentata sotto forma di un prodotto in cui uno o più fattori sono quadrati di numeri non negativi. Quindi applica il teorema della radice del prodotto e calcola la radice di ciascun fattore. Consideriamo un esempio: Semplifichiamo l'espressione A = √8 + √18 - 4√2 togliendo i fattori dei primi due termini da sotto il segno di radice, otteniamo:. Sottolineiamo questa uguaglianza valido solo quando UN≥ 0 e B≥ 0. se UN < 0, то .

Molto spesso, quando risolviamo i problemi, ci troviamo di fronte a grandi numeri da cui dobbiamo estrarre Radice quadrata. Molti studenti decidono che si tratta di un errore e iniziano a risolvere l'intero esempio. In nessun caso dovresti farlo! Ci sono due ragioni per questo:

Le radici dei grandi numeri appaiono nei problemi. Soprattutto in quelli testuali;
Esiste un algoritmo mediante il quale queste radici vengono calcolate quasi oralmente.

Considereremo questo algoritmo oggi. Forse alcune cose ti sembreranno incomprensibili. Ma se presti attenzione a questa lezione, riceverai un'arma potente contro radici quadrate.

Quindi, l'algoritmo:

Limita la radice richiesta sopra e sotto ai numeri che sono multipli di 10. Pertanto, ridurremo l'intervallo di ricerca a 10 numeri;
Da questi 10 numeri, elimina quelli che sicuramente non possono essere radici. Di conseguenza, rimarranno 1-2 numeri;
Quadra questi 1-2 numeri. Quello il cui quadrato è uguale al numero originale sarà la radice.

Prima di mettere in pratica questo algoritmo, esaminiamo ogni singolo passaggio.

Limitazione della radice

Prima di tutto dobbiamo scoprire tra quali numeri si trova la nostra radice. È altamente auspicabile che i numeri siano multipli di dieci:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Otteniamo una serie di numeri:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Cosa ci dicono questi numeri? È semplice: otteniamo dei confini. Prendiamo ad esempio il numero 1296. Si trova tra 900 e 1600. Pertanto la sua radice non può essere inferiore a 30 e maggiore di 40:

[Didascalia dell'immagine]

La stessa cosa vale per qualsiasi altro numero di cui si possa ricavare la radice quadrata. Ad esempio, 3364:

[Didascalia dell'immagine]

Pertanto, invece di un numero incomprensibile, otteniamo un intervallo molto specifico in cui si trova la radice originale. Per restringere ulteriormente l'area di ricerca, passare al secondo passaggio.

Eliminando numeri ovviamente inutili

Quindi, abbiamo 10 numeri: candidati alla radice. Li abbiamo ottenuti molto rapidamente, senza pensieri complessi e moltiplicazioni in una colonna. È ora di andare avanti.

Che tu ci creda o no, ora ridurremo il numero dei numeri candidati a due, ancora una volta senza calcoli complicati! È sufficiente conoscere la regola speciale. Ecco qui:

L'ultima cifra del quadrato dipende solo dall'ultima cifra numero originale.

In altre parole basta guardare l'ultima cifra del quadrato e capiremo subito dove finisce il numero originale.

Ci sono solo 10 cifre che possono arrivare all'ultimo posto. Proviamo a scoprire in cosa si trasformano una volta quadrati. Dai un'occhiata alla tabella:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Questa tabella è un altro passo verso il calcolo della radice. Come puoi vedere, i numeri nella seconda riga si sono rivelati simmetrici rispetto ai cinque. Per esempio:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Come puoi vedere, l'ultima cifra è la stessa in entrambi i casi. Ciò significa che, ad esempio, la radice di 3364 deve terminare con 2 o 8. Ricordiamo invece la restrizione del paragrafo precedente. Noi abbiamo:

[Didascalia dell'immagine]

I quadrati rossi indicano che non conosciamo ancora questa cifra. Ma la radice si trova nell'intervallo da 50 a 60, su cui ci sono solo due numeri che terminano con 2 e 8:

[Didascalia dell'immagine]

È tutto! Di tutte le possibili radici, abbiamo lasciato solo due opzioni! E questo è nel caso più difficile, perché l'ultima cifra può essere 5 o 0. E poi ci sarà un solo candidato per le radici!

Calcoli finali

Quindi, ci restano 2 numeri candidati. Come fai a sapere qual è la radice? La risposta è ovvia: eleva entrambi i numeri al quadrato. Quello che al quadrato dà il numero originale sarà la radice.

Ad esempio, per il numero 3364 abbiamo trovato due numeri candidati: 52 e 58. Eleviamoli al quadrato:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

È tutto! Si è scoperto che la radice è 58! Allo stesso tempo, per semplificare i calcoli, ho utilizzato la formula dei quadrati della somma e della differenza. Grazie a questo, non ho nemmeno dovuto moltiplicare i numeri in una colonna! Questo è un altro livello di ottimizzazione del calcolo, ma, ovviamente, è del tutto facoltativo :)

Esempi di calcolo delle radici

La teoria è, ovviamente, buona. Ma controlliamolo nella pratica.

[Didascalia dell'immagine]

Per prima cosa, scopriamo tra quali numeri si trova il numero 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ora diamo un'occhiata all'ultimo numero. È uguale a 6. Quando accade questo? Solo se la radice termina con 4 o 6. Otteniamo due numeri:

Non resta che elevare al quadrato ogni numero e confrontarlo con l'originale:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Grande! Il primo quadrato si è rivelato uguale al numero originale. Quindi questa è la radice.

Compito. Calcola la radice quadrata:
[Didascalia dell'immagine]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Diamo un'occhiata all'ultima cifra:

1369 → 9;
33; 37.

Quadralo:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Ecco la risposta: 37.

Compito. Calcola la radice quadrata:
[Didascalia dell'immagine]

Limitiamo il numero:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Diamo un'occhiata all'ultima cifra:

2704 → 4;
52; 58.

Quadralo:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Abbiamo ricevuto la risposta: 52. Non sarà più necessario elevare al quadrato il secondo numero.

Compito. Calcola la radice quadrata:
[Didascalia dell'immagine]

Limitiamo il numero:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Diamo un'occhiata all'ultima cifra:

4225 → 5;
65.

Come puoi vedere, dopo il secondo passaggio rimane solo un'opzione: 65. Questa è la radice desiderata. Ma facciamo ancora i conti e controlliamo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Tutto è corretto. Scriviamo la risposta.

Conclusione

Ahimè, non meglio. Diamo un'occhiata alle ragioni. Ce ne sono due:

In qualsiasi normale esame di matematica, sia esso l'Esame di Stato o l'Esame di Stato Unificato, è vietato l'uso della calcolatrice. E se porti una calcolatrice in classe, puoi facilmente essere espulso dall'esame.
Non siate come gli stupidi americani. Che non sono come le radici: non possono sommare due numeri primi. E quando vedono le frazioni, generalmente diventano isterici.