esempi di funzioni esponenziali. Una funzione esponenziale, sue proprietà e grafico - Knowledge Hypermarket

Concentrazione dell'attenzione:

Definizione. Funzione si chiama specie funzione esponenziale .

Commento. Esclusione di base UN numeri 0; 1 e valori negativi UN spiegato dalle seguenti circostanze:

L'espressione analitica stessa ascia in questi casi conserva il suo significato e si può incontrare nella risoluzione dei problemi. Ad esempio, per l'espressione x a punto x = 1; si = 1 compreso nell'area valori consentiti.

Costruire grafici di funzioni: e .



Grafico di una funzione esponenziale
e= UN X, un > 1	e= UN X , 0< a < 1

Proprietà della funzione esponenziale

Proprietà della funzione esponenziale	e= UN X, un > 1	e= UN X , 0< a < 1
Ambito di funzione
2. Intervallo di valori delle funzioni
3. Intervalli di confronto con l'unità	A X> 0, a X > 1	A X > 0, 0< a X < 1
	A X < 0, 0< a X < 1	A X < 0, a X > 1
4. Pari, dispari.	La funzione non è né pari né dispari (funzione generale).
5. Monotonia.	aumenta monotonicamente di R	diminuisce in modo monotono di R
6. Estremi.	Funzione esponenziale non ha estremi.
7.Asintoto	Asse O Xè un asintoto orizzontale.
8. Per qualsiasi valore reale X E si;

Quando la tabella è piena, le attività vengono risolte parallelamente al riempimento.

Compito numero 1. (Per trovare il dominio della funzione).

Quali valori degli argomenti sono validi per le funzioni:

Attività numero 2. (Per trovare l'intervallo della funzione).

La figura mostra il grafico di una funzione. Specificare l'ambito e l'ambito della funzione:

Compito numero 3. (Per indicare gli intervalli di confronto con l'unità).

Confronta ciascuno dei seguenti poteri con uno:

Compito numero 4. (Studiare la funzione per la monotonicità).

Confronta i numeri reali per grandezza M E N Se:

Compito numero 5. (Studiare la funzione per la monotonicità).

Fai una conclusione sulla base UN, Se:

y(x) = 10x ; f(x) = 6x ; z(x) - 4x

Come sono i grafici delle funzioni esponenziali l'uno rispetto all'altro per x > 0, x = 0, x< 0?

In un piano di coordinate, vengono tracciati i grafici delle funzioni:

y(x) = (0,1)x ; f(x) = (0.5)x ; z(x) = (0,8) x .

Come sono i grafici delle funzioni esponenziali l'uno rispetto all'altro per x > 0, x = 0, x< 0?

Numero una delle costanti più importanti in matematica. Per definizione, esso uguale al limite della successione con illimitato crescente nm . Designazione e introdotto Leonardo Eulero nel 1736. Calcolò le prime 23 cifre di questo numero in notazione decimale, e il numero stesso prese il nome da Napier "il numero non pari".

Numero e gioca un ruolo speciale nell'analisi matematica. Funzione esponenziale con basamento e, chiamato l'esponente e denotato y = ex.

Primi segni numeri e facile da ricordare: due, una virgola, sette, l'anno di nascita di Leo Tolstoy - due volte, quarantacinque, novanta, quarantacinque.

Compiti a casa:

Kolmogorov pagina 35; N. 445-447; 451; 453.

Ripeti l'algoritmo per la costruzione di grafici di funzioni contenenti una variabile sotto il segno del modulo.

La soluzione della maggior parte dei problemi matematici è in qualche modo connessa con la trasformazione di espressioni numeriche, algebriche o funzionali. Questo vale soprattutto per la soluzione. Nelle varianti USE in matematica, questo tipo di compito include, in particolare, il compito C3. Imparare a risolvere i compiti C3 è importante non solo ai fini del successo superamento dell'esame, ma anche perché questa abilità è utile quando si studia un corso di matematica nell'istruzione superiore.

Eseguendo le attività C3, devi decidere diversi tipi equazioni e disuguaglianze. Tra questi ci sono moduli razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmici, trigonometrici, contenenti (valori assoluti) e combinati. Questo articolo discute i principali tipi di equazioni e disuguaglianze esponenziali, nonché vari metodi le loro decisioni. Leggi sulla risoluzione di altri tipi di equazioni e disuguaglianze sotto il titolo "" negli articoli dedicati ai metodi per risolvere i problemi C3 da USA le opzioni matematica.

Prima di procedere all'analisi di specifiche equazioni e disequazioni esponenziali, come insegnante di matematica, ti suggerisco di rispolverarne qualcuna materiale teorico di cui avremo bisogno.

Funzione esponenziale

Cos'è una funzione esponenziale?

Visualizza la funzione si = ascia, Dove UN> 0 e UN≠ 1, chiamato funzione esponenziale.

Principale proprietà della funzione esponenziale si = ascia:

Grafico di una funzione esponenziale

Il grafico della funzione esponenziale è espositore:

Grafici di funzioni esponenziali (esponenti)

Soluzione di equazioni esponenziali

indicativo chiamate equazioni in cui l'incognita si trova solo negli esponenti di qualsiasi potenza.

Per le soluzioni equazioni esponenzialiè necessario conoscere ed essere in grado di utilizzare il seguente semplice teorema:

Teorema 1. equazione esponenziale UN F(X) = UN G(X) (Dove UN > 0, UN≠ 1) è equivalente all'equazione F(X) = G(X).

Inoltre, è utile ricordare le formule e le azioni di base con gradi:

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Esempio 1 Risolvi l'equazione:

Soluzione: utilizzare le formule precedenti e la sostituzione:

L'equazione diventa quindi:

Discriminante ricevuto equazione quadrata positivo:

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Ciò significa che questa equazione ha due radici. Li troviamo:

Tornando alla sostituzione, otteniamo:

La seconda equazione non ha radici, poiché la funzione esponenziale è strettamente positiva sull'intero dominio di definizione. Risolviamo la seconda:

Tenendo conto di quanto detto nel Teorema 1, si passa all'equazione equivalente: X= 3. Questa sarà la risposta al compito.

Risposta: X = 3.

Esempio 2 Risolvi l'equazione:

Soluzione: l'equazione non ha restrizioni sull'area dei valori ammissibili, poiché l'espressione radicale ha senso per qualsiasi valore X(funzione esponenziale si = 9 4 -X positivo e diverso da zero).

Risolviamo l'equazione mediante trasformazioni equivalenti usando le regole di moltiplicazione e divisione dei poteri:

L'ultima transizione è stata effettuata secondo il Teorema 1.

Risposta:X= 6.

Esempio 3 Risolvi l'equazione:

Soluzione: entrambi i lati dell'equazione originale possono essere divisi per 0,2 X. Questa transizione sarà equivalente, poiché questa espressione è maggiore di zero per qualsiasi valore X(la funzione esponenziale è strettamente positiva sul suo dominio). Allora l'equazione assume la forma:

Risposta: X = 0.

Esempio 4 Risolvi l'equazione:

Soluzione: semplifichiamo l'equazione a una elementare mediante trasformazioni equivalenti utilizzando le regole di divisione e moltiplicazione dei poteri fornite all'inizio dell'articolo:

Dividendo entrambi i lati dell'equazione per 4 X, come nell'esempio precedente, è una trasformazione equivalente, poiché questa espressione non è uguale a zero per nessun valore X.

Risposta: X = 0.

Esempio 5 Risolvi l'equazione:

Soluzione: funzione si = 3X, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, è crescente. Funzione si = —X-2/3, in piedi sul lato destro dell'equazione, sta diminuendo. Ciò significa che se i grafici di queste funzioni si intersecano, al massimo in un punto. In questo caso, è facile indovinare che i grafici si intersecano nel punto X= -1. Non ci saranno altre radici.

Risposta: X = -1.

Esempio 6 Risolvi l'equazione:

Soluzione: semplifichiamo l'equazione mediante trasformazioni equivalenti, tenendo sempre presente che la funzione esponenziale è strettamente maggiore di zero per qualsiasi valore X e utilizzando le regole per il calcolo del prodotto e delle potenze parziali date all'inizio dell'articolo:

Risposta: X = 2.

Risoluzione di disuguaglianze esponenziali

indicativo dette disuguaglianze in cui la variabile incognita è contenuta solo negli esponenti di alcune potenze.

Per le soluzioni disuguaglianze esponenzialiè richiesta la conoscenza del seguente teorema:

Teorema 2. Se UN> 1, quindi la disuguaglianza UN F(X) > UN G(X) è equivalente a una disuguaglianza dello stesso significato: F(X) > G(X). Se 0< UN < 1, то disuguaglianza esponenziale UN F(X) > UN G(X) è equivalente a una disuguaglianza di significato opposto: F(X) < G(X).

Esempio 7 Risolvi la disuguaglianza:

Soluzione: rappresentare la disuguaglianza originaria nella forma:

Dividi entrambe le parti di questa disuguaglianza per 3 2 X, e (a causa della positività della funzione si= 3 2X) il segno di disuguaglianza non cambierà:

Usiamo una sostituzione:

Allora la disuguaglianza assume la forma:

Quindi, la soluzione alla disuguaglianza è l'intervallo:

passando alla sostituzione inversa, otteniamo:

La disuguaglianza di sinistra, dovuta alla positività della funzione esponenziale, è soddisfatta automaticamente. Utilizzando la ben nota proprietà del logaritmo, passiamo alla disuguaglianza equivalente:

Poiché la base del grado è un numero maggiore di uno, equivalente (per il Teorema 2) sarà il passaggio alla seguente disuguaglianza:

Quindi finalmente otteniamo risposta:

Esempio 8 Risolvi la disuguaglianza:

Soluzione: utilizzando le proprietà di moltiplicazione e divisione delle potenze, riscriviamo la disuguaglianza nella forma:

Introduciamo una nuova variabile:

Con questa sostituzione, la disuguaglianza assume la forma:

Moltiplicando il numeratore e il denominatore della frazione per 7, otteniamo la seguente disuguaglianza equivalente:

Quindi, la disuguaglianza è soddisfatta dai seguenti valori della variabile T:

Quindi, tornando alla sostituzione, otteniamo:

Poiché la base del grado qui è maggiore di uno, è equivalente (per il Teorema 2) passare alla disuguaglianza:

Finalmente otteniamo risposta:

Esempio 9 Risolvi la disuguaglianza:

Soluzione:

Dividiamo entrambi i lati della disuguaglianza per l'espressione:

È sempre maggiore di zero (poiché la funzione esponenziale è positiva), quindi non è necessario modificare il segno di disuguaglianza. Noi abbiamo:

t , che sono nell'intervallo:

Passando alla sostituzione inversa, troviamo che la disuguaglianza originaria si divide in due casi:

La prima disuguaglianza non ha soluzioni a causa della positività della funzione esponenziale. Risolviamo la seconda:

Esempio 10 Risolvi la disuguaglianza:

Soluzione:

Rami di parabola si = 2X+2-X 2 sono rivolte verso il basso, quindi è delimitata dall'alto dal valore che raggiunge al suo apice:

Rami di parabola si = X 2 -2X+2, che è nell'indicatore, sono diretti verso l'alto, il che significa che è limitato dal basso dal valore che raggiunge in alto:

Allo stesso tempo, la funzione risulta essere limitata dal basso si = 3 X 2 -2X+2 sul lato destro dell'equazione. La raggiunge il valore più piccolo nello stesso punto della parabola nell'esponente, e questo valore è 3 1 = 3. Quindi, la disuguaglianza originale può essere vera solo se la funzione a sinistra e la funzione a destra assumono il valore 3 in un punto (di attraversando gli intervalli di queste funzioni c'è solo questo numero). Questa condizione è soddisfatta in un solo punto X = 1.

Risposta: X= 1.

Per imparare a risolvere equazioni esponenziali e disuguaglianze devi allenarti costantemente nella loro soluzione. Vari sussidi didattici, libri di problemi di matematica elementare, raccolte di problemi competitivi, lezioni di matematica a scuola, nonché lezioni individuali con un tutor professionista possono aiutarti in questo difficile compito. Ti auguro sinceramente successo nella tua preparazione e risultati brillanti nell'esame.

Sergei Valerievich

P.S. Cari ospiti! Per favore non scrivere richieste per risolvere le tue equazioni nei commenti. Sfortunatamente, non ho proprio tempo per questo. Tali messaggi verranno eliminati. Si prega di leggere l'articolo. Forse in esso troverai risposte a domande che non ti hanno permesso di risolvere il tuo compito da solo.

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La funzione esponenziale, sue proprietà e grafico

Considera l'espressione 2x e trova i suoi valori per vari valori razionali della variabile x, ad esempio per x=2;

In generale, qualunque sia il valore razionale che diamo alla variabile x, possiamo sempre calcolare il corrispondente valore numerico dell'espressione 2x. Si può quindi parlare di esponenziale funzioni y=2 x definito sull'insieme Q di numeri razionali:

Consideriamo alcune proprietà di questa funzione.

Proprietà 1.è una funzione crescente. Svolgiamo la dimostrazione in due fasi.
Primo stadio. Proviamo che se r è positivo numero razionale, quindi 2r >1.
Sono possibili due casi: 1) r è un numero naturale, r = n; 2) ordinario irriducibile frazione,

A sinistra dell'ultima disuguaglianza abbiamo , ea destra 1. Quindi, l'ultima disuguaglianza può essere riscritta come

Quindi, in ogni caso, la disuguaglianza 2 r > 1 vale, come richiesto.

Seconda fase. Siano x 1 e x 2 numeri, e x 1 e x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(abbiamo indicato la differenza x 2 -x 1 con la lettera r).

Poiché r è un numero razionale positivo, allora, per quanto dimostrato al primo stadio, 2 r > 1, cioè, 2r-1 >0. Anche il numero 2x" è positivo, il che significa che anche il prodotto 2 x-1 (2 × -1) è positivo. Abbiamo quindi dimostrato che disuguaglianza 2 Xr -2x "\u003e 0.

Quindi, dalla disuguaglianza x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Proprietà 2. limitato dal basso e non limitato dall'alto.
La limitatezza della funzione dal basso deriva dalla disuguaglianza 2 x > 0, che è valida per qualsiasi valore di x dal dominio della funzione. Allo stesso tempo, qualunque cosa numero positivo Non prendere M, puoi sempre scegliere un tale indicatore x che la disuguaglianza 2 x > M sarà soddisfatta - che caratterizza l'illimitatezza della funzione dall'alto. Facciamo alcuni esempi.

Proprietà 3. non ha né un valore minimo né un valore massimo.

Che questa funzione non sia della massima importanza è evidente, poiché, come abbiamo appena visto, non è delimitata dall'alto. Ma è limitato dal basso, perché non ha il valore più piccolo?

Supponiamo che 2r sia il valore più piccolo della funzione (r è some indicatore razionale). Prendi un numero razionale q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Tutto questo va bene, dici, ma perché consideriamo la funzione y-2 x solo sull'insieme dei numeri razionali, perché non la consideriamo, come altre funzioni note, sull'intera retta numerica o su qualche intervallo continuo di la linea dei numeri? Cosa ci sta fermando? Pensiamo alla situazione.

La linea dei numeri contiene non solo numeri razionali, ma anche irrazionali. Per le funzioni studiate in precedenza, questo non ci ha disturbato. Ad esempio, abbiamo trovato altrettanto facilmente i valori della funzione y \u003d x 2 sia per i valori razionali che per quelli irrazionali di x: era sufficiente elevare al quadrato il valore dato di x.

Ma con la funzione y \u003d 2 x la situazione è più complicata. Se all'argomento x viene assegnato un valore razionale, allora in linea di principio x può essere calcolato (torna all'inizio del paragrafo, dove abbiamo fatto proprio questo). E se all'argomento x viene assegnato un valore irrazionale? Come, ad esempio, calcolare? Non lo sappiamo ancora.
I matematici hanno trovato una via d'uscita; è così che parlavano.

È risaputo che Considera una sequenza di numeri razionali - approssimazioni decimali di un numero per carenza:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

È chiaro che 1,732 = 1,7320 e 1,732050 = 1,73205. Per evitare tali ripetizioni, scartiamo quei membri della sequenza che terminano con il numero 0.

Quindi otteniamo una sequenza crescente:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Di conseguenza, anche la sequenza aumenta.

Tutti i membri di questa sequenza sono numeri positivi inferiori a 22, cioè questa sequenza è limitata. Per il teorema di Weierstrass (vedi § 30), se una successione è crescente e limitata, allora converge. Inoltre, dal § 30 sappiamo che se una successione converge, allora solo a un limite. Questo limite unico è stato concordato per essere considerato il valore di un'espressione numerica. E non importa che sia molto difficile trovare un valore anche approssimato dell'espressione numerica 2; è importante che questo sia un numero specifico (dopotutto, non avevamo paura di dire che, ad esempio, è la radice di un'equazione razionale, la radice dell'equazione trigonometrica, senza pensare veramente a cosa siano esattamente questi numeri:
Quindi, abbiamo scoperto quale significato i matematici mettono nel simbolo 2 ^. Allo stesso modo, si può determinare cos'è e in generale cos'è a a, dove a è un numero irrazionale e a > 1.
Ma che dire di quando 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Ora possiamo parlare non solo di potenze con esponenti razionali arbitrari, ma anche di potenze con esponenti reali arbitrari. È dimostrato che i gradi con qualsiasi esponente reale hanno tutte le solite proprietà dei gradi: quando si moltiplicano i gradi con le stesse basi, gli esponenti vengono aggiunti, quando si dividono, vengono sottratti, quando si eleva un grado a potenza, vengono moltiplicati, ecc. . Ma la cosa più importante è che ora possiamo parlare della funzione y-ax definita sull'insieme di tutti i numeri reali.
Torniamo alla funzione y \u003d 2 x, costruiamo il suo grafico. Per fare ciò, compileremo una tabella di valori di funzione per \u003d 2 x:

Notiamo i punti sul piano delle coordinate (Fig. 194), delineano una certa linea, la disegnano (Fig. 195).

Proprietà della funzione y - 2 x:
1)
2) non è né pari né dispari; 248
3) aumenta;

5) non ha né il valore più grande né quello più piccolo;
6) continuo;
7)
8) convesso verso il basso.

Dimostrazioni rigorose delle proprietà elencate della funzione y-2 x sono fornite nel corso della matematica superiore. Alcune di queste proprietà che abbiamo discusso in precedenza in un modo o nell'altro, alcune sono chiaramente dimostrate dal grafico costruito (vedi Fig. 195). Ad esempio, l'assenza di parità o disparità di una funzione è geometricamente correlata alla mancanza di simmetria del grafico, rispettivamente, rispetto all'asse y o rispetto all'origine.

Qualsiasi funzione della forma y=a x, dove a >1, ha proprietà simili. Sulla fig. Vengono costruiti 196 in un sistema di coordinate, grafici delle funzioni y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Ora consideriamo la funzione , creiamo una tabella di valori per essa:

Segniamo i punti sul piano delle coordinate (Fig. 197), delineano una certa linea, la disegnano (Fig. 198).

Proprietà della funzione

1)
2) non è né pari né dispari;
3) diminuisce;
4) non limitato dall'alto, limitato dal basso;
5) non ci sono né il valore più grande né quello più piccolo;
6) continuo;
7)
8) convesso verso il basso.
Qualsiasi funzione della forma y \u003d a x, dove O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Nota: grafici di funzioni quelli. y \u003d 2 x, simmetrico rispetto all'asse y (Fig. 201). Questa è una conseguenza dell'affermazione generale (vedi § 13): i grafici delle funzioni y = f(x) e y = f(-x) sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate. Allo stesso modo, i grafici delle funzioni y \u003d 3 x e

Riassumendo quanto detto, daremo una definizione della funzione esponenziale ed evidenzieremo le sue proprietà più importanti.

Definizione. La funzione di visualizzazione è chiamata funzione esponenziale.
Le principali proprietà della funzione esponenziale y \u003d a x

Il grafico della funzione y \u003d a x per a> 1 è mostrato in fig. 201, e per 0<а < 1 - на рис. 202.

La curva mostrata in Fig. 201 o 202 è chiamato esponente. Infatti, i matematici di solito chiamano la funzione esponenziale stessa y = a x. Quindi il termine "esponente" è usato in due sensi: sia per il nome della funzione esponenziale, sia per il nome del grafico della funzione esponenziale. Di solito è chiaro nel significato se stiamo parlando di una funzione esponenziale o del suo grafico.

Presta attenzione alla caratteristica geometrica del grafico della funzione esponenziale y \u003d ax: l'asse x è l'asintoto orizzontale del grafico. È vero, questa affermazione è solitamente raffinata come segue.
L'asse x è l'asintoto orizzontale del grafico della funzione

In altre parole

Prima nota importante. Gli scolari spesso confondono i termini: funzione di potenza, funzione esponenziale. Confrontare:

Questi sono esempi di funzioni di potenza;

sono esempi di funzioni esponenziali.

In generale, y \u003d x r, dove r è un numero specifico, è una funzione di potenza (l'argomento x è contenuto nella base del grado);
y \u003d a", dove a è un numero specifico (positivo e diverso da 1), è una funzione esponenziale (l'argomento x è contenuto nell'esponente).

Una funzione "esotica" di attacco come y = x" non è considerata né esponenziale né legge di potenza (a volte è chiamata funzione di potenza esponenziale).

Seconda nota importante. Solitamente non si considera una funzione esponenziale con base a = 1 o con base a che soddisfi la disuguaglianza a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0e a Il fatto è che se a \u003d 1, allora per qualsiasi valore x è vera l'uguaglianza Ix \u003d 1. Pertanto, la funzione esponenziale y \u003d a "per a \u003d 1" degenera "in una funzione costante y \ u003d 1 - questo non è interessante Se a \u003d 0, quindi 0x \u003d 0 per qualsiasi valore positivo di x, ad es. otteniamo la funzione y \u003d 0 definita per x\u003e 0 - anche questo non è interessante.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Prima di passare alla risoluzione degli esempi, notiamo che la funzione esponenziale è significativamente diversa da tutte le funzioni che hai studiato finora. Per studiare a fondo un nuovo oggetto, devi considerarlo da diverse angolazioni, in diverse situazioni, quindi ci saranno molti esempi.
Esempio 1

Soluzione, a) Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni y \u003d 2 x e y \u003d 1 in un sistema di coordinate, notiamo (Fig. 203) che hanno un punto comune (0; 1). Quindi l'equazione 2x = 1 ha un'unica radice x = 0.

Quindi, dall'equazione 2x = 2° abbiamo x = 0.

b) Avendo costruito i grafici delle funzioni y \u003d 2 x e y \u003d 4 in un sistema di coordinate, notiamo (Fig. 203) che hanno un punto comune (2; 4). Quindi l'equazione 2x = 4 ha un'unica radice x = 2.

Quindi, dall'equazione 2 x \u003d 2 2 abbiamo x \u003d 2.

c) ed) Sulla base delle stesse considerazioni, concludiamo che l'equazione 2 x \u003d 8 ha un'unica radice e per trovarla non è possibile costruire grafici delle funzioni corrispondenti;

è chiaro che x=3, poiché 2 3 =8. Allo stesso modo, troviamo l'unica radice dell'equazione

Quindi, dall'equazione 2x = 2 3 abbiamo x = 3, e dall'equazione 2 x = 2 x abbiamo x = -4.
e) Il grafico della funzione y \u003d 2 x si trova sopra il grafico della funzione y \u003d 1 per x\u003e 0 - questo è ben letto in Fig. 203. Quindi, la soluzione alla disuguaglianza 2x > 1 è l'intervallo
f) Il grafico della funzione y \u003d 2 x si trova sotto il grafico della funzione y \u003d 4 in x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Probabilmente hai notato che la base di tutte le conclusioni tratte durante la risoluzione dell'esempio 1 era la proprietà di monotonicità (aumento) della funzione y \u003d 2 x. Analogo ragionamento ci permette di verificare la validità dei seguenti due teoremi.

Soluzione. Puoi agire in questo modo: costruisci un grafico della funzione y-3 x, quindi allungalo dall'asse x con un fattore 3, quindi eleva il grafico risultante di 2 unità di scala. Ma è più conveniente usare il fatto che 3- 3* \u003d 3 * + 1 e, quindi, tracciare la funzione y \u003d 3 x * 1 + 2.

Passiamo, come abbiamo ripetutamente fatto in questi casi, a un sistema di coordinate ausiliario con l'origine nel punto (-1; 2) - linee tratteggiate x = - 1 e 1x = 2 in Fig. 207. "Attacchiamo" la funzione y=3* a un nuovo sistema di coordinate. Per fare ciò, selezioniamo i punti di controllo per la funzione , ma li costruiremo non nel vecchio, ma nel nuovo sistema di coordinate (questi punti sono contrassegnati in Fig. 207). Quindi costruiremo un esponente per punti: questo sarà il grafico richiesto (vedi Fig. 207).
Per trovare i valori più grande e più piccolo di una data funzione sul segmento [-2, 2], usiamo il fatto che la funzione data è crescente, e quindi prende i suoi valori più piccoli e più grandi, rispettivamente, a sinistra e estremità destra del segmento.
COSÌ:

Esempio 4 Risolvere l'equazione e le disuguaglianze:

Soluzione, a) Costruiamo i grafici delle funzioni y=5* e y=6-x in un sistema di coordinate (Fig. 208). Si intersecano in un punto; a giudicare dal disegno, questo è il punto (1; 5). La verifica mostra che in effetti il punto (1; 5) soddisfa sia l'equazione y = 5* che l'equazione y=6x. L'ascissa di questo punto serve come unica radice dell'equazione data.

Quindi, l'equazione 5 x = 6-x ha un'unica radice x = 1.

b) ec) L'esponente y-5x si trova sopra la retta y=6-x, se x>1, come si vede chiaramente in fig. 208. Quindi, la soluzione della disuguaglianza 5*>6-x può essere scritta come segue: x>1. E la soluzione della disuguaglianza 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Risposta: a) x = 1; b)x>1; c)x<1.

Esempio 5 Data una funzione Prova che
Soluzione. Per condizione che abbiamo.

Trova il valore dell'espressione per vari valori razionali della variabile x=2; 0; -3; -

Nota, non importa quale numero sostituiamo al posto della variabile x, puoi sempre trovare il valore di questa espressione. Quindi, stiamo considerando una funzione esponenziale (y uguale a tre alla x potenza), definita sull'insieme dei numeri razionali: .

Costruiamo un grafico di questa funzione creando una tabella dei suoi valori.

Tracciamo una linea liscia che passa per questi punti (Fig. 1)

Usando il grafico di questa funzione, considera le sue proprietà:

3. Aumenta su tutta l'area di definizione.

va da zero a più infinito.

8. La funzione è convessa verso il basso.

Se in un sistema di coordinate per costruire grafici di funzioni; y=(y è uguale a due alla potenza x, y è uguale a cinque alla potenza x, y è uguale a sette alla potenza x), puoi vedere che hanno le stesse proprietà di y=(y è uguale a tre alla potenza x) ( Fig. .2), cioè tutte le funzioni della forma y = (y è uguale ad a elevato alla potenza di x, con a maggiore di uno) avranno tali proprietà

Tracciamo la funzione:

1. Compilazione di una tabella dei suoi valori.

Contrassegniamo i punti ottenuti sul piano delle coordinate.

Tracciamo una linea liscia che passa attraverso questi punti (Fig. 3).

Usando il grafico di questa funzione, indichiamo le sue proprietà:

1. Il dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali.

2. Non è né pari né dispari.

3. Diminuisce sull'intero dominio di definizione.

4. Non ha né il valore più grande né quello più piccolo.

5. Limitato dal basso, ma non limitato dall'alto.

6. Continuo su tutto il dominio di definizione.

7. intervallo di valori da zero a più infinito.

8. La funzione è convessa verso il basso.

Allo stesso modo, se in un sistema di coordinate per costruire grafici di funzioni; y=(y è uguale a un secondo alla potenza x, y è uguale a un quinto alla potenza x, y è uguale a un settimo alla potenza x), puoi vedere che hanno le stesse proprietà di y=(y è uguale a un terzo alla potenza potenza di x).x) (Fig. 4), ovvero tutte le funzioni della forma y \u003d (y è uguale a uno diviso per a alla potenza di x, con un maggiore di zero ma minore di uno) lo faranno avere tali proprietà

Costruiamo grafici di funzioni in un sistema di coordinate

ciò significa che i grafici delle funzioni y \u003d y \u003d (y è uguale a a alla potenza di x e y è uguale a uno diviso a alla potenza di x) saranno anche simmetrici per lo stesso valore di a .

Riassumiamo quanto detto dando una definizione di funzione esponenziale e indicandone le principali proprietà:

Definizione: Una funzione della forma y \u003d, dove (y è uguale a a alla potenza di x, dove a è positivo e diverso da uno), è chiamata funzione esponenziale.

È necessario ricordare le differenze tra la funzione esponenziale y= e la funzione potenza y=, a=2,3,4,…. sia uditivamente che visivamente. La funzione esponenziale Xè un grado e per una funzione di potenza Xè la base.

Esempio 1: Risolvi l'equazione (tre alla potenza di x è uguale a nove)

(y è uguale a tre alla potenza di x e y è uguale a nove) fig.7

Nota che hanno un punto comune M (2; 9) (em con coordinate due; nove), il che significa che l'ascissa del punto sarà la radice di questa equazione. Cioè, l'equazione ha una singola radice x = 2.

Esempio 2: Risolvi l'equazione

In un sistema di coordinate, costruiremo due grafici della funzione y \u003d (y è uguale a cinque alla potenza di x e y è uguale a un venticinquesimo) Fig.8. I grafici si intersecano in un punto T (-2; (te con coordinate meno due; un venticinquesimo). Quindi, la radice dell'equazione è x \u003d -2 (numero meno due).

Esempio 3: Risolvi la disuguaglianza

In un sistema di coordinate, costruiamo due grafici della funzione y \u003d

(y è uguale a tre alla potenza di x e y è uguale a ventisette).

Fig.9 Il grafico della funzione si trova sopra il grafico della funzione y=quando

x Pertanto, la soluzione della disuguaglianza è l'intervallo (da meno infinito a tre)

Esempio 4: Risolvi la disuguaglianza

In un sistema di coordinate, costruiremo due grafici della funzione y \u003d (y è uguale a un quarto della potenza di x e y è uguale a sedici). (figura 10). I grafici si intersecano in un punto K (-2;16). Ciò significa che la soluzione alla disuguaglianza è l'intervallo (-2; (da meno due a più infinito), perché il grafico della funzione y \u003d si trova sotto il grafico della funzione in x

Il nostro ragionamento ci permette di verificare la validità dei seguenti teoremi:

Terem 1: If è vero se e solo se m=n.

Teorema 2: Se è vera se e solo se, allora la disuguaglianza è vera se e solo se (Fig. *)

Teorema 4: If è vera se e solo se (Fig.**), la disuguaglianza è vera se e solo se Teorema 3: If è vera se e solo se m=n.

Esempio 5: tracciare la funzione y=

Modifichiamo la funzione applicando la proprietà degree y=

Costruiamo un ulteriore sistema di coordinate e nel nuovo sistema di coordinate tracceremo la funzione y = (y è uguale a due alla x potenza) Fig.11.

Esempio 6: Risolvi l'equazione

In un sistema di coordinate, costruiamo due grafici della funzione y \u003d

(Y è uguale a sette alla potenza di x e Y è uguale a otto meno x) Fig.12.

I grafici si intersecano in un punto E (1; (e con coordinate uno; sette). Quindi, la radice dell'equazione è x = 1 (x uguale a uno).

Esempio 7: Risolvi la disuguaglianza

In un sistema di coordinate, costruiamo due grafici della funzione y \u003d

(Y è uguale a un quarto della potenza di x e Y è uguale a x più cinque). Il grafico della funzione y= si trova sotto il grafico della funzione y=x+5 in, la soluzione della disuguaglianza è l'intervallo x (da meno uno a più infinito).

Lezione n.2

Argomento: Una funzione esponenziale, sue proprietà e grafico.

Bersaglio: Verificare la qualità di assimilazione del concetto di "funzione esponenziale"; formare abilità nel riconoscere una funzione esponenziale, nell'usare le sue proprietà e grafici, insegnare agli studenti a usare le forme analitiche e grafiche di registrazione di una funzione esponenziale; fornire un ambiente di lavoro in classe.

Attrezzatura: bacheca, manifesti

Modulo lezione: aula

Tipo di lezione: lezione pratica

Tipo di lezione: lezione di formazione sulle abilità

Piano della lezione

1. Momento organizzativo

2. Lavoro indipendente e controllo dei compiti

3. Risoluzione dei problemi

4. Riassumendo

5. Compiti a casa

Durante le lezioni.

1. Momento organizzativo :

Ciao. Apri i taccuini, annota la data odierna e l'argomento della lezione "Funzione esponenziale". Oggi continueremo a studiare la funzione esponenziale, le sue proprietà e il grafico.

2. Lavoro indipendente e controllo dei compiti .

Bersaglio: verificare la qualità dell'assimilazione del concetto di "funzione esponenziale" e verificare l'adempimento della parte teorica del compito a casa

Metodo: compito di prova, indagine frontale

Come compiti a casa, ti venivano dati i numeri del libro dei problemi e un paragrafo del libro di testo. Non controlleremo ora l'esecuzione dei numeri dal libro di testo, ma consegnerai i tuoi quaderni alla fine della lezione. Ora la teoria sarà testata sotto forma di un piccolo test. Il compito è uguale per tutti: ti viene fornito un elenco di funzioni, devi scoprire quali di esse sono indicative (sottolineale). E accanto alla funzione esponenziale, devi scrivere se sta aumentando o diminuendo.

opzione 1

Risposta

D) - esponenziale, decrescente

opzione 2

Risposta

D) - esponenziale, decrescente

D) - indicativo, crescente

Opzione 3

Risposta

UN) - indicativo, crescente

B) - esponenziale, decrescente

Opzione 4

Risposta

UN) - esponenziale, decrescente

IN) - indicativo, crescente

Ora ricordiamo insieme quale funzione si chiama esponenziale?

Una funzione della forma , dove e , è detta funzione esponenziale.

Qual è lo scopo di questa funzione?

Tutti numeri reali.

Qual è il range della funzione esponenziale?

Tutti i numeri reali positivi.

Diminuisce se la base è maggiore di zero ma minore di uno.

Quando una funzione esponenziale diminuisce nel suo dominio?

Aumenta se la base è maggiore di uno.

3. Risoluzione dei problemi

Bersaglio: formare abilità nel riconoscere una funzione esponenziale, nell'usare le sue proprietà e grafici, insegnare agli studenti a usare le forme analitiche e grafiche di registrazione di una funzione esponenziale

Metodo: dimostrazione da parte dell'insegnante di risoluzione di problemi tipici, lavoro orale, lavoro alla lavagna, lavoro su un quaderno, conversazione dell'insegnante con gli studenti.

Le proprietà della funzione esponenziale possono essere utilizzate quando si confrontano 2 o più numeri. Ad esempio: n. 000. Confronta i valori e se a) ..gif" width="37" height="20 src=">, allora questo è un lavoro piuttosto complicato: dovremmo prendere la radice cubica di 3 e 9 e confrontarle. Ma sappiamo che aumenta, questo è nella propria coda significa che quando l'argomento aumenta, il valore della funzione aumenta, cioè ci basta confrontare i valori dell'argomento tra loro e, ovviamente, quello (può essere dimostrato su un poster con una funzione esponenziale crescente). E sempre quando risolvi tali esempi, determina prima la base della funzione esponenziale, confronta con 1, determina la monotonia e procedi al confronto degli argomenti. Nel caso di una funzione decrescente: all'aumentare dell'argomento, il valore della funzione diminuisce, quindi il segno di disuguaglianza viene modificato quando si passa dalla disuguaglianza degli argomenti alla disuguaglianza delle funzioni. Quindi risolviamo oralmente: b)

IN)

- N. 000. Confronta i numeri: a) e

Pertanto, la funzione è crescente, quindi

Perché ?

Funzione crescente e

Pertanto, la funzione è decrescente, quindi

Entrambe le funzioni crescono su tutto il loro dominio di definizione, poiché sono esponenziali con una base maggiore di uno.

Qual è il significato?

Costruiamo grafici:

Quale funzione cresce più velocemente quando ci si sforza https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Quale funzione diminuisce più velocemente quando ci si sforza https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Sull'intervallo, quale delle funzioni ha il maggior valore in un punto particolare?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Innanzitutto, scopriamo l'ambito di queste funzioni. coincidere?

Sì, il dominio di queste funzioni è costituito da tutti i numeri reali.

Assegna un nome all'ambito di ciascuna di queste funzioni.

Gli intervalli di queste funzioni coincidono: tutti i numeri reali positivi.

Determina il tipo di monotonia di ciascuna delle funzioni.

Tutte e tre le funzioni decrescenti su tutto il loro dominio di definizione, poiché sono esponenziali con base minore di uno e maggiore di zero.

Qual è il punto singolare del grafico di una funzione esponenziale?

Qual è il significato?

Qualunque sia la base del grado di una funzione esponenziale, se l'esponente è 0, allora il valore di questa funzione è 1.

Costruiamo grafici:

Analizziamo i grafici. Quanti punti di intersezione hanno i grafici delle funzioni?

Quale funzione diminuisce più velocemente quando ci si sforza? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Quale funzione cresce più velocemente quando ci si sforza? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Sull'intervallo, quale delle funzioni ha il maggior valore in un punto particolare?

Perché le funzioni esponenziali con basi diverse hanno un solo punto di intersezione?

Le funzioni esponenziali sono strettamente monotone nel loro intero dominio di definizione, quindi possono intersecarsi solo in un punto.

L'attività successiva si concentrerà sull'utilizzo di questa proprietà. № 000. Trova il valore più grande e più piccolo di una data funzione su un dato intervallo a). Ricordiamo che una funzione strettamente monotona assume i suoi valori minimo e massimo alle estremità di un dato intervallo. E se la funzione è crescente, allora è valore più alto sarà all'estremità destra del segmento e il più piccolo all'estremità sinistra del segmento (dimostrazione sul poster, utilizzando la funzione esponenziale come esempio). Se la funzione è decrescente, il suo valore più grande sarà all'estremità sinistra del segmento e il più piccolo all'estremità destra del segmento (dimostrazione sul poster, usando la funzione esponenziale come esempio). La funzione è crescente, perché, quindi, il valore più piccolo della funzione sarà nel punto https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Punti b ) , V) d) risolvi i quaderni da solo, lo verificheremo oralmente.

Gli studenti risolvono il problema nel loro quaderno

Funzione decrescente

il valore più grande della funzione sull'intervallo

il valore più piccolo della funzione sull'intervallo

Funzione crescente

il valore più piccolo della funzione sull'intervallo

il valore più grande della funzione sull'intervallo

- № 000. Trova il valore più grande e più piccolo di una data funzione su un dato intervallo a) . Questo compito è quasi lo stesso del precedente. Ma qui non viene dato un segmento, ma un raggio. Sappiamo che la funzione è crescente e non ha né il valore più grande né quello più piccolo sull'intera linea numerica https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, e tende a a , cioè, sulla semiretta, la funzione a tende a 0, ma non ha il valore più piccolo, ma ha il valore più grande nel punto . Punti b) , V) , G) Risolvi i tuoi quaderni, lo controlleremo oralmente.