講義：「指数方程式の解法」
1 . 指数方程式。
指数に未知数を含む方程式は、指数方程式と呼ばれます。 これらの中で最も単純なものは、a > 0 かつ a ≠ 1 の式 ax = b です。
1) bの場合< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 指数関数、解がありません。
2) b > 0 の場合、関数の単調性と根の定理を使用すると、方程式は 1 つの根を持ちます。 それを見つけるには、b を b = aс、ax = bс ó x = c または x = logab として表す必要があります。
による指数方程式 代数変換次の方法を使用して解決される標準的な方程式につながります。
1) 一塩基に還元する方法;
2) 評価方法
3) グラフィック法。
4) 新しい変数を導入する方法。
5) 因数分解法;
6) 指数 - 累乗方程式;
7) パラメータ付きの指数。
2 . 1 ベーシスへの還元方法。
この方法は次の度数の性質に基づいています: 2 つの度数が等しく、それらの底が等しい場合、それらの指数は等しくなります。
例。 方程式を解く：
1 . 3x=81;
式の右辺を 81 = 34 の形式で表し、元の 3 x = 34 に相当する式を書きましょう。 x = 4. 答え: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> 指数 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; の方程式に進みます。 x = 0.5 答え: 0.5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
0.2、0.04、√5、および 25 は 5 の累乗であることに注意してください。これを利用して、元の方程式を次のように変換してみましょう。
,
whence 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2、そこから解 x = -1 を見つけます。 答え: -1.
5. 3x = 5。対数の定義により、x = log35。 答え: log35.
6. 62x+4 = 33x。 2x+8。
式を 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 と書き直してみましょう。
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. べき乗の性質を使用して、式を e. x+1 = 2, x =1 の形式で書きます。 答え: 1.
タスクバンクNo.1。
方程式を解く：
テスト番号1。
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3。 | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ルートなし |
1) 7;1 2) ルートなし 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
テスト #2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) ルートなし 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 評価方法。
ルート定理: 関数 f (x) が間隔 I で増加 (減少) する場合、数値 a はこの間隔で f が取る任意の値であり、式 f (x) = a は間隔 I で単一の根を持ちます。
推定法で方程式を解く場合、この定理と関数の単調性を利用します。
例。 方程式を解く: 1. 4x = 5 - x。
解決。 式を 4x + x = 5 と書き直してみましょう。
1. x \u003d 1の場合、41 + 1 \u003d 5、5 \u003d 5が真の場合、1は方程式の根です。
関数 f(x) = 4x は R で増加し、g(x) = x は R で増加します => h(x)= f(x)+g(x) は増加する関数の合計として R で増加します。したがって、x = 1 は方程式 4x = 5 – x の唯一の根です。 答え: 1.
2.
解決。 式を次のように書き直します。 
.
1. x = -1 の場合 
、3 = 3-真なので、x = -1 が方程式の根です。
2. 一意であることを証明します。
3. 関数 f(x) = - R で減少し、g(x) = - x - R で減少 => h(x) = f(x) + g(x) - R で減少します。減少関数の。 したがって、根の定理により、x = -1 が方程式の唯一の根です。 答え: -1.
タスクバンクNo.2。 方程式を解く
a) 4x + 1 = 6 - x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. 新しい変数を導入する方法。
この方法については、セクション 2.1 で説明します。 通常、新しい変数の導入 (代入) は、方程式の項の変換 (単純化) の後に実行されます。 例を考えてみましょう。
例。
R方程式を食べる: 1.
.
式を別の方法で書き直してみましょう: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
解決。 式を別の方法で書き直してみましょう。 
https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> を示します - 適切ではありません。
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - 無理方程式. 注意してください 
方程式の解は x = 2.5 ≤ 4 なので、2.5 が方程式の根です。 答え: 2.5.
解決。 式を の形に書き直して、両辺を 56x+6 ≠ 0 で割ります。
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1 なので..png" width="118" height="56">
二次方程式の根 - t1 = 1 および t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
解決 . 式を次のように書き直します。
また、これは 2 次同次方程式であることに注意してください。
方程式を 42x で割ると、次のようになります。 
https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> を置き換えます。
答え: 0; 0.5。
タスク バンク #3。 方程式を解く
b) 
G) 
テスト #3 答えの選択で。 最低レベル。
A1 | 1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) ルートなし 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) ルートなし 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
テスト #4 答えの選択で。 一般レベル。
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ルートなし |
5.因数分解の方法。
1. 方程式を解きます: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solution..png" width="169" height="69"> 、どこから
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
解決。 式の左辺の 6x と右辺の 2x を取り出してみましょう。 式 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x が得られます。
すべての x に対して 2x >0 であるため、解を失う心配なく、この方程式の両辺を 2x で割ることができます。 3x = 1ó x = 0 が得られます。
3. 
解決。 因数分解して方程式を解きます。
二項式の二乗を選択します 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 は方程式の根です。
式 x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1.5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
テスト #6 一般レベル。
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
A2 | 1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. 指数 - 累乗方程式。
指数方程式には、いわゆる指数べき乗方程式、つまり (f(x))g(x) = (f(x))h(x) の形式の方程式が付随します。
f(x)>0 かつ f(x) ≠ 1 であることがわかっている場合、方程式は、指数関数と同様に、指数 g(x) = f(x) を等式化することによって解かれます。
条件が f(x)=0 および f(x)=1 の可能性を排除しない場合、指数べき乗方程式を解くときにこれらのケースを考慮する必要があります。
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
解決。 x2 +2x-8 - 多項式であるため、任意の x に対して意味があるため、方程式は集合と等価です
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. パラメータ付きの指数方程式。
1. パラメータ p のどの値に対して、方程式 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) は一意の解を持ちますか?
解決。 変化 2x = t、t > 0 を導入すると、式 (1) は t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 の形式になります。 (2)
式 (2) の判別式は、D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2 です。
式 (2) に 1 つの正の根がある場合、式 (1) は一意の解を持ちます。 以下の場合に可能です。
1. D = 0、つまり p = 1 の場合、式 (2) は t2 – 2t + 1 = 0 の形式をとるため、t = 1 となるため、式 (1) には一意の解 x = 0 があります。
2. p1 の場合、9(p – 1)2 > 0 の場合、方程式 (2) には 2 つの異なる根 t1 = p、t2 = 4p – 3 があります。システムのセットは問題の条件を満たします。
t1 と t2 をシステムに代入すると、次のようになります。
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
解決。 させて 
その場合、式 (3) は t2 – 6t – a = 0 の形式になります。 (4)
式 (4) の少なくとも 1 つの根が条件 t > 0 を満たすパラメーター a の値を見つけてみましょう。
関数 f(t) = t2 – 6t – a を導入しましょう。 以下の場合が考えられます。
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} 二乗三項式 f(t);
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
ケース 2. 式 (4) は、次の場合に一意の正の解を持ちます。
D = 0、a = – 9 の場合、式 (4) は (t – 3)2 = 0、t = 3、x = – 1 の形式になります。
ケース 3. 式 (4) には 2 つの根がありますが、そのうちの 1 つは不等式 t > 0 を満たしていません。
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
したがって、a 0 では、式 (4) は単一の正の根を持ちます。 
. 次に、式（3）には一意の解があります 
のために< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
もし< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 の場合、x = – 1;
0 の場合
式 (1) と (3) の解き方を比較してみましょう。 式 (1) を解くと、判別式が完全な 2 乗である 2 次方程式に縮小されることに注意してください。 したがって、式（2）の根は、二次方程式の根の式によってすぐに計算され、その後、これらの根に関して結論が導き出されました。 式 (3) は二次方程式 (4) に縮小されましたが、その判別式は完全な二乗ではありません。したがって、式 (3) を解くときは、二乗三項式の根の位置に関する定理を使用することをお勧めします。グラフィカルなモデル。 式 (4) は Vieta の定理を使用して解くことができることに注意してください。
もっと複雑な方程式を解いてみましょう。
タスク 3. 方程式を解く 
解決。 ODZ: x1, x2.
代わりのものを紹介しましょう。 2x = t、t > 0 とすると、変換の結果、式は t2 + 2t – 13 – a = 0 の形式になります。 (*) 少なくとも 1 つの根が式 (*) は、条件 t > 0 を満たします。
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
答え: a > - 13、a 11、a 5 の場合、a - 13 の場合、
a = 11、a = 5 の場合、根はありません。
参考文献。
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レッスンのための24オクネフ、子供たち！ M.啓蒙、1988年
25. ヤキマンスカヤ - 指向学習学校で。
26. リメッツはレッスンで働いています。 M.ナレッジ、1975
すべての新しいビデオレッスンを認識するために、当サイトの YouTube チャンネルにアクセスしてください。
まず、度の基本的な式とその性質を思い出してみましょう。
数の積 a n 回発生するので、この式を a a … a=a n と書くことができます。
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
累乗または指数方程式- これらは、変数が累乗 (または指数) であり、基数が数値である方程式です。
指数方程式の例:
この例では、数字の 6 がベースで、常に一番下にあり、変数は バツ程度または測定。
指数方程式の例をもっと挙げましょう。
2×*5=10
16x-4x-6=0
では、指数方程式がどのように解かれるのかを見てみましょう。
簡単な方程式を考えてみましょう：
2 × = 2 3
そのような例は頭の中でも解決できます。 x=3 であることがわかります。 結局、左辺と右辺を等しくするには、x の代わりに数字の 3 を入れる必要があります。
それでは、この決定をどのように行うべきかを見てみましょう。
2 × = 2 3
x = 3
この方程式を解くために、 同じ根拠（つまり、デュース）そして残ったものを書き留めました。これらは度です。 私たちが求めていた答えが得られました。
それでは、解決策を要約しましょう。
指数方程式を解くアルゴリズム:
1.要確認 同じ右と左の式の底かどうか。 根拠が同じでない場合、この例を解決するためのオプションを探しています。
2. ベースが同じになったら、 等しい次数を計算し、結果の新しい方程式を解きます。
それでは、いくつかの例を解いてみましょう。
簡単に始めましょう。
左辺と右辺の基数は 2 に等しいため、基数を破棄して次数を等しくすることができます。
x+2=4 最も単純な式が判明しました。
x=4 - 2
x=2
答え: x=2
次の例では、基数が異なっていることがわかります。これらは 3 と 9 です。
3 3x - 9x + 8 = 0
まず、9 を右側に移すと、次のようになります。
次に、同じベースを作成する必要があります。 9=3 2 であることはわかっています。 累乗式 (a n) m = a nm を使用しましょう。
3 3x \u003d (3 2) x + 8
9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 が得られます。
3 3x \u003d 3 2x + 16 これで、左側と 右側基数は同じで 3 に等しいため、基数を破棄して次数を等しくすることができます。
3x=2x+16 が最も簡単な式になりました
3x-2x=16
x=16
答え: x=16.
次の例を見てみましょう。
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
まず、ベースを見てください。ベースは2つと4つ異なります。 そして、私たちは同じである必要があります。 式 (a n) m = a nm に従って四重項を変換します。
4 x = (2 2) x = 2 2x
また、1 つの式 a n a m = a n + m も使用します。
2 2x+4 = 2 2x 2 4
方程式に追加します。
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
同じ理由で例を挙げました。 しかし、他の数字の 10 と 24 が私たちの邪魔をしています。 よく見ると、左側で 2 2x を繰り返していることがわかります。これが答えです。2 2x を括弧の外に置くことができます。
2 2x (2 4 - 10) = 24
括弧内の式を計算してみましょう。
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
式全体を 6 で割ります。
4=2 2 を想像してください:
2 2x \u003d 2 2 塩基は同じです。それらを破棄し、次数を等しくします。
2x \u003d 2 が最も単純な方程式であることがわかりました。 それを 2 で割ります。
x = 1
答え: x = 1.
方程式を解いてみましょう:
9 x - 12*3 x +27= 0
変換しましょう:
9 x = (3 2) x = 3 2x
次の式が得られます。
3 2x - 12 3 x +27 = 0
私たちの基底は同じで、3 に等しい. この例では、最初のトリプルが 2 番目のトリプル (x だけ) の次数の 2 倍 (2x) を持っていることは明らかです。 この場合、あなたが決めることができます 代用方法. 最小次数の数値は次のように置き換えられます。
次に、3 2x \u003d（3 x）2 \u003d t 2
式のすべての度数を x に置き換えます。t は次のとおりです。
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
二次方程式が得られます。 判別式を解くと、次のようになります。
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
変数に戻る バツ.
t 1 を取る：
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
あれは、
3×=9
3 × = 3 2
× 1 = 2
1 つの根が見つかりました。 t 2 から 2 番目のものを探しています。
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 × = 3 1
× 2 = 1
答え: x 1 \u003d 2; × 2 = 1。
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未知数が指数に含まれている場合、方程式は指数と呼ばれます。 最も単純な指数方程式の形式は次のとおりです。a x \u003d a b、ここで a> 0、および 1、x は未知数です。
指数方程式が変換される次数の主なプロパティ: a>0、b>0。
指数方程式を解く場合、指数関数の次のプロパティも使用されます: y = a x 、a > 0、a1:
数値を累乗で表すには、基数を使用します 対数恒等: b = 、a > 0、a1、b > 0。
トピック「指数方程式」に関するタスクとテスト
- 指数方程式
レッスン: 4 課題: 21 テスト: 1
- 指数方程式 - 数学の試験を繰り返すための重要なトピック
タスク: 14
- 指数および対数方程式系 - 指数関数と対数関数 11 年生
レッスン: 1 課題: 15 テスト: 1
- §2.1。 指数方程式の解
レッスン: 1 課題: 27
- §7 指数および対数の方程式と不等式 - セクション 5. 指数関数と対数関数 10 年生
レッスン: 1 課題: 17
指数方程式を正しく解くには、べき乗の基本的なプロパティ、指数関数のプロパティ、および基本的な対数恒等式を知っている必要があります。
指数方程式を解く場合、主に 2 つの方法が使用されます。
- 式 a f(x) = a g(x) から式 f(x) = g(x) への移行。
- 新しいラインの導入。
例。
1. 最も単純なものに還元する方程式。 これらは、方程式の両辺を底が同じ累乗にすることで解かれます。
3x \u003d 9x - 2.
解決：
3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4。
答え： 4.
2. 共通因数を括弧で囲んで解いた方程式。
解決：
3x - 3x - 2 = 24
3 × - 2 (3 2 - 1) = 24
3× - 2×8 = 24
3× - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3。
答え： 3.
3. 変数の変更によって解かれる方程式。
解決：
2 2x + 2x - 12 = 0
2 x \u003d yを表します。
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3。
a) 2 x = - 4. 方程式には解がありません。 2 x > 0。
b) 2 x = 3; 2 x = 2 ログ 2 3 ; x = ログ 2 3.
答え：ログ 2 3.
4. 2 つの異なる (互いに還元できない) 基数を持つベキを含む方程式。
3 × 2 × + 1 - 2 × 5 × - 2 \u003d 5 × + 2 × - 2。
3 × 2 × + 1 - 2 × - 2 = 5 × - 2 × 5 × - 2
2× - 2×23 = 5× - 2
×23
2× - 2 = 5× - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2。
答え： 2.
5. a x と b x に関して同次の方程式。
一般形: .
9 x + 4 x = 2.5 x 6 x .
解決：
3 2x – 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y とします。
年 2 - 2.5 年 + 1 \u003d 0、
y 1 = 2; y2 = ½。 
答え：ログ 3/2 2; - ログ 3/2 2.
方程式の使用は、私たちの生活の中で広まっています。 それらは、多くの計算、構造の構築、さらにはスポーツでも使用されています。 方程式は太古の昔から人間によって使用されてきましたが、それ以来、その使用はますます増加しています。 累乗または指数方程式は、変数がべき乗であり、基数が数値である方程式と呼ばれます。 例えば：
指数方程式を解くには、次の 2 つの非常に単純な手順が必要です。
1. 右と左の方程式の底が同じかどうかを確認する必要があります。 ベースが同じでない場合、この例を解決するためのオプションを探しています。
2. 基底が同じになったら、次数を等しくし、結果の新しい方程式を解きます。
次の形式の指数方程式が与えられたとします。
この方程式の解は、ベースの分析から始める価値があります。 基数が異なります - 2 と 4 であり、解を得るにはそれらが同じである必要があるため、次の式に従って 4 を変換します - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]
元の方程式に追加します。
かっこを取りましょう \
特急 \
次数が同じなので、それらを破棄します。
答え： \
ソルバーを使用して指数方程式をオンラインで解くことができる場所はどこですか?
この方程式は、当社の Web サイト https:// サイトで解くことができます。 無料のオンライン ソルバーを使用すると、複雑なオンライン方程式を数秒で解くことができます。 ソルバーにデータを入力するだけです。 また、ビデオの説明を見て、当社のウェブサイトで方程式を解く方法を学ぶこともできます. 質問がある場合は、Vkontakte グループ http://vk.com/pocketteacher で質問できます。 私たちのグループに参加してください。いつでも喜んでお手伝いします。
指数方程式の解。 例。
注意！
追加があります
特別セクション 555 の資料。
「あまり…」を強く感じる方へ
そして、「とても…」という人のために）
何が起こったか 指数方程式? これは、未知数 (x) とそれらを含む式が含まれる方程式です。 指標ある程度。 そしてそこだけ！ 大事です。
そこにいる 指数方程式の例:
3×2×=8×+3
ノート！ 度の基数 (以下) - 数字のみ. の 指標度 (上) - x を使用したさまざまな表現。 突然、インジケーター以外の場所に x が方程式に表示された場合、たとえば、次のようになります。
これが等式になります 混合型. このような方程式には、解くための明確なルールがありません。 今のところは考慮しません。 ここで対処します 指数方程式の解最も純粋な形で。
実際、純粋な指数方程式でさえ、常に明確に解けるとは限りません。 しかし、特定のタイプの指数方程式を解くことができ、解く必要があります。 これらは、これから見ていくタイプです。
最も単純な指数方程式の解。
非常に基本的なことから始めましょう。 例えば：
理論がなくても、単純な選択で x = 2 は明らかです。 もう何もないよね!? 他の x 値ロールはありません。 それでは、このトリッキーな指数方程式の解を見てみましょう。
私たちは何をしましたか？ 実際、同じ底（トリプル）を投げただけです。 完全に捨てられました。 そして、なんと、的を射てください！
確かに、左と右の指数方程式で 同じ任意の次数の数値、これらの数値を削除して指数に等しくすることができます。 数学は許します。 もっと単純な方程式を解く必要があります。 いいですよね？）
ただし、皮肉なことに次のことを思い出してください。 左右の塩基番号が見事に分離している場合にのみ、塩基を削除できます。近傍と係数なし。 方程式で言いましょう：
2 x +2 x + 1 = 2 3 、または
ダブルは外せません！
さて、私たちは最も重要なことをマスターしました。 邪悪な指数表現からより単純な方程式に移行する方法。
「そんな時代だ！」 - あなたは言う。 「制御と試験で誰がそのようなプリミティブを与えるでしょうか!?」
強制的に同意します。 誰もしません。 しかし、これで、わかりにくい例を解決するときにどこに行くべきかがわかります。 同じ基数が左にある場合と右にある場合は、それを念頭に置く必要があります。 そうすれば、すべてが簡単になります。 実際、これは数学の古典です。 元の例を使用して、目的の例に変換します 私たちマインド。 もちろん、数学のルールに従って。
最も単純にするために追加の努力が必要な例を考えてみましょう。 それらを呼びましょう 簡単な指数方程式。
単純な指数方程式の解。 例。
指数方程式を解くときの主なルールは次のとおりです。 力を使った行動。これらのアクションを知らなければ、何も機能しません。
程度のある行動には、個人的な観察と創意工夫を加えなければなりません。 同じ基数が必要ですか? したがって、この例では、明示的または暗号化された形式でそれらを探しています。
これが実際にどのように行われるか見てみましょう。
例を挙げましょう：
2 2x - 8 x+1 = 0
一目見て 根拠。彼らは…違います！ 二と八。 しかし、落胆するのは時期尚早です。 それを思い出す時が来ました
2 と 8 は次数の関係にあります)。
8 x+1 = (2 3) x+1
力のあるアクションから式を思い出すと、次のようになります。
(a n) m = a nm 、
それは一般的にうまく機能します：
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
元の例は次のようになります。
2 2x - 2 3(x+1) = 0
転送します 2 3 (x+1)右側に (誰も数学の基本的な動作をキャンセルしていません!)、次のようになります。
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
これでほぼすべてです。 ベースの取り外し:
このモンスターを解決して入手
これが正解です。
この例では、2 の累乗を知っていることが役に立ちました。 私たち 特定された 8 では、暗号化されたデュース。 この手法 (異なる数の下で共通の基数をエンコードする) は、指数方程式で非常に人気のあるトリックです! はい、対数でも。 数における他の数の累乗を認識できなければなりません。 これは、指数方程式を解く上で非常に重要です。
実際には、任意の数値を任意の累乗にすることは問題ではありません。 一枚の紙の上でも掛け算、それだけです。 たとえば、誰もが 3 を 5 乗できます。 乗算表を知っていれば243になります。）しかし、指数方程式では、累乗しないことが必要な場合がはるかに多く、その逆も同様です... どのくらいの数数字 243 の後ろに隠れています。たとえば、343 などです。ここでは計算機は役に立ちません。
いくつかの数のべき乗を視覚的に知る必要があります。はい... 練習しましょうか?
どのべき乗とどの数が数であるかを決定します。
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
答え（もちろん混乱して！）：
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
よく見るとわかります 奇妙な事実. 質問よりも多くの答えがあります！ そうですね... たとえば、 2 6 、 4 3 、 8 2 はすべて 64 です。
数字の知識についての情報に注意を払っていると仮定しましょう.) 指数方程式を解くために、私たちが適用することを思い出させてください. 全体数学的知識のストック。 下位中産階級を含む。 高校に直行じゃないですよね？
たとえば、指数方程式を解くときは、共通の因数を括弧の外に置くと役立つことがよくあります (7 年生にこんにちは!)。 例を見てみましょう：
3 2x+4 -11 9x = 210
そして再び、最初の外観 - 敷地内で！ 度数の基数が違う… 3と9。 そして、私たちはそれらが同じであることを望んでいます。 まあ、この場合、欲求はかなり実現可能です！）理由：
9 x = (3 2) x = 3 2x
度付きアクションの同じルールに従って:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
それは素晴らしいです、あなたは書くことができます：
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
同じ理由で例を挙げました。 さぁ、次は!? スリーは捨てられない…行き止まり？
全くない。 最も普遍的で強力な決定ルールを思い出す 全て数学のタスク:
どうしたらいいかわからないなら、できることをしよう！
ほら、すべてが形成されています）。
この指数方程式の内容 できるする？ はい、左側は括弧を直接求めます! 3 2x の公約数は、これを明確に示しています。 試してみましょう。
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
例はどんどん良くなっています！
基数を消去するには、係数のない純粋な次数が必要であることを思い出してください。 70という数字が気になります。 式の両辺を 70 で割ると、次のようになります。
オッパ！ すべてが順調です！
これが最終的な答えです。
しかし、たまたま同じ理由でタキシングが得られますが、それらの清算は得られません。 これは、別のタイプの指数方程式で発生します。 このタイプを手に入れましょう。
指数方程式を解く際の変数の変更。 例。
方程式を解いてみましょう:
4 x - 3 2 x +2 = 0
まず - いつものように。 基地に移りましょう。 デュースに。
4 x = (2 2) x = 2 2x
次の式が得られます。
2 2x - 3 2 x +2 = 0
そして、ここでハングアップします。 どのように回しても、以前のトリックは機能しません。 別の強力で用途の広い方法の武器庫から取得する必要があります。 それは呼ばれています 変数置換。
メソッドの本質は驚くほどシンプルです。 1 つの複雑なアイコン (この場合は 2 x) の代わりに、別の単純なアイコン (たとえば、t) を記述します。 このような一見無意味な置換は、驚くべき結果につながります!) すべてが明確になり、理解できるようになります!
だからさせて
次に、2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
方程式で、x のすべての累乗を t に置き換えます。
えっ、夜明け？） 二次方程式まだ忘れていませんか？ 判別式を解くと、次のようになります。
ここで、主なことは、たまたま停止しないことです...これはまだ答えではありません。tではなくxが必要です。 Xs に戻ります。 交換を行います。 まず t 1 について:
あれは、
1 つの根が見つかりました。 t 2 から 2 番目のものを探しています。
ええと... 左 2 x、右 1... ヒッチ？ はい、まったくありません！ 団結が どれでも数をゼロにします。 どれでも。 必要なものは何でも入れます。 2つ必要です。 意味：
これですべてです。 2 つのルートを取得:
これが答えです。
で 指数方程式を解く最後に、ぎこちない表情が得られることがあります。 タイプ：
セブンからツースルー 単純度動作しません。 彼らは親戚ではありません...どうして私はここにいることができますか? と戸惑う方もいらっしゃるかもしれませんが・・・でも、このサイトで「対数って何？」というトピックを読んだ人は、 、控えめに微笑んで、しっかりとした手で絶対に正しい答えを書き留めてください：
試験のタスク「B」にそのような答えはあり得ません。 特定の数が必要です。 しかし、タスク「C」では簡単です。
このレッスンでは、最も一般的な指数方程式を解く例を示します。 主なものを強調しましょう。
1. まず、 根拠度。 それらができないかどうか見てみましょう 同じ。積極的に使ってやってみましょう 力を使った行動。 x のない数値も度数に変換できることを忘れないでください。
2. 指数方程式を、左と右が 同じ数値はいくらでも。 を使用しております 力のある行動と 因数分解。数で数えられるもの - 私たちは数えます。
3. 2 番目のアドバイスが機能しない場合は、変数置換を適用してみます。 結果は、簡単に解ける方程式になります。 ほとんどの場合 - 正方形。 または分数、これも正方形になります。
4. 指数方程式をうまく解くには、いくつかの数値の次数を「目で見て」知る必要があります。
いつものように、レッスンの最後に、あなたは少し解決するように勧められます。) 自力で。 単純なものから複雑なものまで。
指数方程式を解く：
より困難：
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0
根の積を求める：
2 3-x + 2 x = 9
起こりました？
じゃあ 最も難しい例（ただし、心の中で決定しました...）：
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
もっと面白いのは何ですか？ 次に、これがあなたにとって悪い例です。 難易度アップでかなり引っ張る。 この例では、創意工夫と、すべての数学的タスクを解決するための最も普遍的なルールが救いになることを暗示しています。)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
リラクゼーションのための例は、より単純です):
9 2 x - 4 3 x = 0
そしてデザートに。 方程式の根の合計を求めます。
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
はいはい！ これは混合型の方程式です! このレッスンでは考慮しませんでした。 そして、それらを考慮するには、解決する必要があります!) このレッスンは、方程式を解くのに十分です。 まあ、工夫が必要です...そして、そうです、7年生があなたを助けます（これはヒントです！）。
回答 (乱雑で、セミコロンで区切られています):
1; 2; 3; 4; 解決策はありません。 2; -2; -5; 4; 0.
すべてが成功していますか？ 素晴らしい。
問題があります？ 問題ない！ Special Section 555 では、これらすべての指数方程式は次のように解かれます。 詳細な説明. 何を、なぜ、なぜ。 そしてもちろん、あらゆる種類の指数方程式の操作に関する追加の貴重な情報があります。 これらに限らず。）
考慮すべき最後の楽しい質問。 このレッスンでは、指数方程式を扱いました。 ここで ODZ について一言も言わなかったのはなぜですか?ちなみに、方程式では、これは非常に重要なことです...
このサイトが気に入ったら...
ところで、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして、自分のレベルを確認できます。 インスタント検証によるテスト。 学習 - 興味を持って!)
関数と導関数に慣れることができます。