社会が発展し、生産がより複雑になるにつれて、数学も発展しました。 単純なものから複雑なものへの動き。 通常の会計では足し算と引き算を繰り返すうちに、掛け算と割り算という概念が生まれました。 乗算の繰り返し操作を減らすことが、べき乗の概念になりました。 数値の底とべき乗の数への依存性を示す最初の表は、8 世紀にインドの数学者ヴァラセナによって編集されました。 それらから、対数の発生時間をカウントできます。
歴史的なスケッチ
16 世紀のヨーロッパの復興も機械学の発展を刺激しました。 T 大量の計算が必要だった複数桁の数の掛け算と割り算に関係します。 古代のテーブルはとても役に立ちました。 彼らは交換を許可しました 複雑な操作より単純なもの、つまり加算と減算まで。 大きな前進は、1544年に出版された数学者マイケル・シュティーフェルの著作であり、その中で彼は多くの数学者のアイデアを実現しました。 これにより、次の形式で度だけでなくテーブルを使用できるようになりました。 素数、ただし、任意の合理的なものについても同様です。
1614 年、スコットランド人のジョン・ネイピアは、これらのアイデアを発展させて、「数の対数」という新しい用語を初めて導入しました。 サインとコサインの対数、およびタンジェントを計算するために、新しい複雑なテーブルが編集されました。 これにより、天文学者の仕事が大幅に軽減されました。
新しいテーブルが登場し始め、3世紀にわたって科学者によって使用されてきました。 代数における新しい演算が完成形になるまでに、長い時間がかかりました。 対数の定義が与えられ、その特性が研究されました。
20 世紀になって初めて、電卓とコンピューターが登場し、人類は 13 世紀を通じてうまく機能してきた古代の計算機を放棄しました。
今日では、a を底とする b の対数を、b を作るための a の累乗である数値 x と呼びます。 これは、x = log a(b) という式で表されます。
たとえば、log 3(9) は 2 に等しくなります。これは、定義に従えば明らかです。 3 を 2 乗すると 9 になります。
したがって、定式化された定義では、数値 a と b は実数でなければならないという制限が 1 つだけ設定されます。
対数の種類
古典的な定義は実対数と呼ばれ、実際には方程式 a x = b の解になります。 オプション a = 1 は境界線にあり、関心がありません。 注意: 1 の累乗は 1 に等しい。
対数の実数値基数と引数が 0 より大きい場合にのみ定義され、基数は 1 であってはなりません。
数学の分野における特別な場所対数を再生します。底のサイズに応じて名前が付けられます。
規則と制限事項
対数の基本的な性質は、積の対数は対数和に等しいという規則です。 log abp = log a(b) + log a(p)。
このステートメントの変形として、log c(b/p) = log c(b) - log c(p) があり、商関数は関数の差に等しい。
前の 2 つのルールから、log a(b p) = p * log a(b) であることが簡単にわかります。
その他のプロパティには次のものがあります。
コメント。 よくある間違いを犯す必要はありません。合計の対数は対数の合計と等しくありません。
何世紀にもわたって、対数を求める操作はかなり時間のかかる作業でした。 数学者は、多項式展開の対数理論のよく知られた公式を使用しました。
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)。n は 1 より大きい自然数で、計算の精度が決まります。
他の基数との対数は、ある基数から別の基数への遷移と積の対数の性質に関する定理を使用して計算されました。
この方法は非常に手間がかかりますので、 現実的な問題を解くとき実装が難しいため、事前にコンパイルされた対数テーブルを使用し、すべての作業を大幅に高速化しました。
場合によっては、特別に編集された対数グラフが使用され、精度は低くなりますが、目的の値の検索が大幅に高速化されました。 関数 y = log a(x) の曲線は複数の点にわたって構築されており、通常の定規を使用して他の点での関数の値を見つけることができます。 エンジニア 長い間これらの目的には、いわゆる方眼紙が使用されました。
17 世紀には、最初の補助的なアナログ コンピューティング条件が登場しました。 19世紀完成した外観を取得しました。 最も成功した装置は計算尺と呼ばれるものでした。 デバイスの単純さにもかかわらず、その出現によりすべての工学計算のプロセスが大幅に加速され、これを過大評価することは困難です。 現在、この装置を知っている人はほとんどいません。
電卓とコンピューターの出現により、他のデバイスの使用は無意味になりました。
方程式と不等式
対数を使用してさまざまな方程式や不等式を解くには、次の公式が使用されます。
- ある基底から別の基底への移動: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- 前のオプションの結果として、log a(b) = 1 / log b(a) となります。
不平等を解決するには、次のことを知っておくと役立ちます。
- 対数値が正になるのは、底と引数の両方が 1 より大きいか小さい場合のみです。 少なくとも 1 つの条件に違反すると、対数値は負になります。
- 対数関数が不等式の右辺と左辺に適用され、対数の底が 1 より大きい場合、不等式の符号は保持されます。 それ以外の場合は変わります。
サンプル問題
対数とそのプロパティを使用するためのいくつかのオプションを検討してみましょう。 方程式を解く例:
対数を累乗するオプションを検討してください。
- 問題 3. 25^log 5(3) を計算します。 解決策: 問題の状況では、エントリは次の (5^2)^log5(3) または 5^(2 * log 5(3)) のようになります。 別の書き方をしてみましょう: 5^log 5(3*2)、または関数の引数としての数値の 2 乗は、関数自体の 2 乗 (5^log 5(3))^2 として書くことができます。 対数の特性を使用すると、この式は 3^2 と等しくなります。 答え: 計算の結果、9 が得られます。
実用
純粋に数学的なツールであるため、 実生活対数が突然得られたこと 非常に重要オブジェクトを説明する 現実の世界。 それが使用されていない科学を見つけるのは困難です。 これは自然分野だけでなく、人道的知識の分野にも完全に当てはまります。
対数依存関係
数値的な依存関係の例をいくつか示します。
力学と物理学
歴史的に、力学と物理学は常に次の方法を使用して発展してきました。 数学的手法研究と同時に、対数を含む数学の発展へのインセンティブとしても機能しました。 ほとんどの物理法則の理論は数学の言語で書かれています。 対数を使用して物理法則を説明する例を 2 つだけ挙げてみましょう。
ロケットの速度などの複雑な量を計算する問題は、宇宙探査理論の基礎を築いたツィオルコフスキーの公式を使用して解決できます。
V = I * ln (M1/M2)、ここで
- V は航空機の最終速度です。
- I – エンジンの比推力。
- M 1 – ロケットの初期質量。
- M 2 – 最終質量。
もう一つの重要な例- これは、熱力学における平衡状態を評価するために役立つ、別の偉大な科学者マックス プランクの公式で使用されています。
S = k * ln (Ω)、ここで
- S – 熱力学的特性。
- k – ボルツマン定数。
- Ω は、さまざまな状態の統計的重みです。
化学
化学における対数の比を含む公式の使用は、それほど明白ではありません。 例を 2 つだけ挙げてみましょう。
- ネルンスト方程式、物質の活性と平衡定数に関係する媒体の酸化還元電位の条件。
- 自己分解指数や溶液の酸性度などの定数の計算も、この関数なしでは実行できません。
心理学と生物学
そして、心理学がそれにどのような関係があるのかはまったく明らかではありません。 感覚の強さは、刺激の強さの逆比としてこの関数によってよく説明されることがわかります。 低い値強度。
上記の例の後では、対数のトピックが生物学で広く使用されていることはもはや驚くべきことではありません。 対数螺旋に対応する生物学的形態については、全編を書くことができます。
その他の地域
この機能との関連なしに世界の存在は不可能であるかのように思われ、それがすべての法則を支配します。 特に自然法則が関係している場合には、 等比数列。 MatProfi Web サイトを参照する価値はあります。次の活動分野にはそのような例が多数あります。
リストは無限にある可能性があります。 この機能の基本原理をマスターすれば、無限の知恵の世界に飛び込むことができます。
数値の対数 N に基づく あ 指数と呼ばれる バツ 、そこにビルドする必要があります あ 番号を取得する N
ただし、 
,
,
対数の定義から次のことがわかります。 
、つまり
- この等式は、基本的な対数恒等式です。
10 を底とする対数は 10 進対数と呼ばれます。 の代わりに 
書く 
.
底の対数 e
ナチュラルと呼ばれ、指定されています 
.
対数の基本的な性質。
1 の対数は、どの底でも 0 に等しくなります。
積の対数は、因子の対数の合計に等しくなります。
3) 商の対数は対数の差に等しい
要素 
対数から底への遷移係数と呼ばれます ある
底の対数に b
.
プロパティ 2 ～ 5 を使用すると、多くの場合、複雑な式の対数を対数に対する単純な算術演算の結果に換算することができます。
例えば、 
このような対数の変換を対数と呼びます。 対数の逆変換は増強と呼ばれます。
第 2 章 高等数学の要素。
1. 限界
機能の限界 
が有限数 A である場合、 xx
0
あらかじめ決められたそれぞれに対して 
、そのような数字があります 
それはすぐに 
、 それ 
.
制限のある関数は、制限された関数とは微小な差があります。 
、ここで、- b.m.v.、つまり 
.
例。 機能を考えてみる 
.
努力するとき 
、 関数 y
ゼロになる傾向があります: 
1.1. 限界に関する基本定理。
定数値の制限はこの定数値に等しい
.
有限数の関数の和（差）の極限は、これらの関数の極限の和（差）に等しい。
有限数の関数の積の極限は、これらの関数の極限の積に等しい。
分母の限界がゼロでない場合、2 つの関数の商の限界は、これらの関数の限界の商と等しくなります。
素晴らしい限界
,
、 どこ 
1.2. 制限値の計算例
ただし、すべての制限がそれほど簡単に計算できるわけではありません。 多くの場合、制限を計算すると、次のような種類の不確実性が明らかになります。 
または 。
.
2. 関数の導関数
関数を持たせましょう 
、セグメント上で連続 
.
口論 
いくらか増加しました 
。 その後、関数はインクリメントを受け取ります 
.
引数の値 
関数値に対応します 
.
引数の値 
関数値に対応します。
したがって、 。
この比率の限界を次のように求めてみましょう。 
。 この制限が存在する場合、それは指定された関数の導関数と呼ばれます。
定義 3 指定された関数の導関数 
引数による 
引数の増分が任意にゼロになる傾向がある場合、関数の増分と引数の増分との比率の限界と呼ばれます。
関数の導関数 
次のように指定できます。
;
;
;
.
定義 4 関数の導関数を求める操作は、と呼ばれます。 差別化。
2.1. 導関数の機械的な意味。
ある剛体または物質点の直線運動を考えてみましょう。
いつかの時点でさせてください 
移動点 
遠くにいた 
開始位置から 
.
一定の時間が経過した後 
彼女は遠くへ引っ越した 
。 態度 
=
- 素材点の平均速度 
。 次のことを考慮して、この比率の限界を見つけてみましょう。 
.
したがって、質点の瞬間的な移動速度の決定は、時間に対する経路の導関数を求めることに帰着します。
2.2. 導関数の幾何学的値
グラフィカルに関数を定義してみましょう 
.
米。 1. 導関数の幾何学的意味
もし 
、次にポイントします 
、カーブに沿って移動し、ポイントに近づきます 
.
したがって、 
、つまり 引数の指定された値に対する導関数の値 
指定された点における軸の正の方向との接線によって形成される角度の正接に数値的に等しい 
.
2.3. 基本的な微分公式の表。
べき乗関数
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指数関数
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対数関数
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三角関数
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逆三角関数
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2.4. 微分の法則。
の派生語 
関数の和（差）の導関数
2 つの関数の積の導関数
2 つの関数の商の導関数
2.5. 複素関数の導関数。
関数を与えてみよう 
という形で表現できるように、
そして 
、ここで変数は 
が中間引数である場合、 
複素関数の導関数は、中間引数に関する指定された関数の導関数と、x に関する中間引数の導関数の積に等しくなります。
例1. 
例2。 
3. 微分機能。
そこにおいて 
、ある区間で微分可能 
放っておいて で
この関数には導関数があります
,
そうすれば書けます
(1),
どこ 
- 無限微量、
いつから 
等式のすべての項 (1) を乗算します。 
我々は持っています：
どこ 
- b.m.v. 高次。
マグニチュード 
関数の微分と呼ばれる 
そして指定されている 
.
3.1. 差分の幾何学的値。
関数を与えてみよう 
.
図２． 差動の幾何学的意味。
.
明らかに、関数の微分は、 
は、特定の点における接線の縦座標の増分に等しくなります。
3.2. さまざまな次数の微分と微分。
もしそこにあるなら 
、 それから 
を一次導関数といいます。
一次導関数の導関数は二次導関数と呼ばれ、次のように書かれます。 
.
関数の n 次導関数 
は (n-1) 次導関数と呼ばれ、次のように書かれます。
.
関数の微分の微分を2次微分または2階微分といいます。
.
.
3.3 微分を使用した生物学的問題の解決。
タスク1。 研究により、微生物のコロニーの成長は法則に従っていることが示されています。 
、 どこ N
– 微生物の数（千単位）、 t
– 時間 (日)。
b) この期間中にコロニーの人口は増加しますか、それとも減少しますか?
答え。 コロニーのサイズは大きくなります。
タスク 2. 湖の水は定期的に検査され、病原性細菌の含有量が監視されます。 を通して t 検査から数日後の細菌濃度は比率によって決定されます。
.
湖の細菌濃度が最小値になるのはいつですか。また、湖で泳ぐことができるようになりますか?
解決策: 関数は、導関数がゼロのときに最大値または最小値に達します。
,
最大値または最小値が 6 日以内になるようにしましょう。 これを行うために、二次導関数を取得しましょう。
回答: 6 日後には細菌の濃度は最小になります。
主な特性.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x:y)。
同一の根拠
Log6 4 + log6 9。
では、タスクを少し複雑にしてみましょう。
対数を解く例
対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。
もちろん、対数の ODZ が観察される場合、これらすべての規則は意味を持ちます: a > 0、a ≠ 1、x >
タスク。 式の意味を調べます。
新しい基盤への移行
対数 logax を与えます。 次に、c > 0 および c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式が真になります。
タスク。 式の意味を調べます。
以下も参照してください。
対数の基本的な性質
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指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるために、法則を研究することができます。指数は 2.7 に等しく、レオ・ニコラエヴィチ・トルストイの誕生年の 2 倍です。
対数の基本的な性質
このルールを知れば、次のことがわかります。 正確な値出展者とレフ・トルストイの生年月日。
対数の例
対数式
例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。
プロパティ 3.5 を使用して計算します 
2.
3. 
4. 
どこ 
.
例 2. 次の場合に x を求める
例 3. 対数値を与えてみましょう
次の場合に log(x) を計算します。
対数の基本的な性質
対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数は正確ではないので、 普通の数字、ここには、と呼ばれるルールがあります。 主な特性.
これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。
対数の加算と減算
同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、それらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x:y)。
したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここでの重要なポイントは次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。
これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。
対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。
タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。
ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。
タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。
ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。
ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くはこの事実に基づいて構築されています 試験用紙。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。
対数から指数を抽出する
最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。
もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右へだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。 これが最も頻繁に必要となるものです。
タスク。 式の値を見つけます: log7 496。
最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
タスク。 式の意味を調べます。
分母には対数が含まれており、その底と引数は正確な累乗であることに注意してください: 16 = 24; 49 = 72。次のようになります。
最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。
対数の公式。 対数の例の解決策。
そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。
次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは「２」でした。
新しい基盤への移行
対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?
新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。
対数 logax を与えます。 次に、c > 0 および c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式が真になります。
特に、c = x と設定すると、次のようになります。
2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。
これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価できます。
しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:
タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。
両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。
因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。
タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。
最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。
次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。
基本対数恒等式
多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。
最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。
2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。
実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか? そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。
新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。
タスク。 式の意味を調べます。
log25 64 = log5 8 - 単に対数の底と引数から 2 乗を取っただけであることに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。
知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)
対数単位と対数ゼロ
結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を引き起こします。
- logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
- loga 1 = 0 です。 基数 a は何でも構いませんが、引数に 1 が含まれている場合、対数は 0 に等しくなります。 a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。
それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。
以下も参照してください。
a を底とする b の対数は式を表します。 対数を計算するとは、等式が満たされるときのべき乗 x () を見つけることを意味します。
対数の基本的な性質
対数に関連するほとんどすべての問題と例はそれらに基づいて解決されるため、上記の特性を知っておく必要があります。 残りのエキゾチックな特性は、次の式を使用した数学的操作を通じて導き出すことができます。
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対数の和と差の公式 (3.4) を計算するときに、よく出てきます。 残りはやや複雑ですが、多くのタスクでは、複雑な式を簡略化し、その値を計算するために不可欠です。
対数の一般的なケース
常用対数の中には、底が 10 であったり、指数関数または 2 であるものもあります。
10 を底とする対数は通常 10 進対数と呼ばれ、単に lg(x) と表されます。
基本的なことが録音に書かれていないのは録音を見れば明らかです。 例えば
自然対数は、底が指数である対数です (ln(x) で示されます)。
指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるために、法則を研究することができます。指数は 2.7 に等しく、レオ・ニコラエヴィチ・トルストイの誕生年の 2 倍です。 このルールを知れば、指数の正確な値とレフ・トルストイの生年月日の両方がわかります。
そして、底 2 に対するもう 1 つの重要な対数は、次のように表されます。
関数の対数の導関数は、変数で割ったものに等しい
積分または逆微分対数は、次の関係によって決定されます。
与えられた資料は、対数と対数に関連する幅広いクラスの問題を解決するのに十分です。 この内容を理解しやすくするために、一般的な例をいくつか挙げます。 学校のカリキュラムそして大学。
対数の例
対数式
例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。
プロパティ 3.5 を使用して計算します
2.
対数の差の性質により、次のようになります。
3.
プロパティ 3.5 を使用すると、次のことがわかります。
4. どこ .
一見複雑な式は、いくつかのルールを使用して簡略化されて形成されます
対数値を求める
例 2. 次の場合に x を求める
解決。 計算にあたっては、前期の5物件と13物件に適用します。
私たちはそれを記録に残して悼みます
基数が等しいので、式を同等とみなします。
対数。 最初のレベル。
対数の値を与えてみましょう
次の場合に log(x) を計算します。
解決策: 変数の対数をとり、その項の合計で対数を書きましょう
これは対数とその特性についての始まりにすぎません。 計算を練習し、実践的なスキルを強化します。対数方程式を解くために得た知識はすぐに必要になります。 このような方程式を解くための基本的な方法を学習したら、もう 1 つの同様に重要なトピックである対数不等式に知識を広げていきます。
対数の基本的な性質
対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.
これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。
対数の加算と減算
同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、それらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x:y)。
したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここでの重要なポイントは次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。
これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。
タスク。 式の値を見つけます: log6 4 + log6 9。
対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。
タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。
ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。
タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。
ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。
ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くのテストはこの事実に基づいています。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。
対数から指数を抽出する
では、タスクを少し複雑にしてみましょう。 対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。
最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。
もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右へだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。
対数の解き方
これが最も頻繁に必要となるものです。
タスク。 式の値を見つけます: log7 496。
最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
タスク。 式の意味を調べます。
分母には対数が含まれており、その底と引数は正確な累乗であることに注意してください: 16 = 24; 49 = 72。次のようになります。
最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。 そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。
次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは「２」でした。
新しい基盤への移行
対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?
新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。
対数 logax を与えます。 次に、c > 0 および c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式が真になります。
特に、c = x と設定すると、次のようになります。
2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。
これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価できます。
しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:
タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。
両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。
因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。
タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。
最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。
次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。
基本対数恒等式
多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。
最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。
2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。
実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか? そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。
新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。
タスク。 式の意味を調べます。
log25 64 = log5 8 - 単に対数の底と引数から 2 乗を取っただけであることに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。
知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)
対数単位と対数ゼロ
結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を引き起こします。
- logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
- loga 1 = 0 です。 基数 a は何でも構いませんが、引数に 1 が含まれている場合、対数は 0 に等しくなります。 a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。
それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。
今日は次のことについて話します 対数式そして私たちは指標を与えます 解決策の例.
それら自体は、対数の基本特性に従って解のパターンを暗示します。 対数公式を適用して解く前に、すべての特性を思い出してください。
さて、これらの式（性質）に基づいて、次のように示します。 対数を解く例.
数式に基づいて対数を解く例。
対数 正数 a を底とする b (log a b で示される) は、b を得るために a を累乗する必要がある指数で、b > 0、a > 0、および 1 です。
定義によれば、log a b = x は a x = b と同等であるため、log a a x = x となります。
対数、例:
log 2 8 = 3、なぜなら 2 3 = 8
log 7 49 = 2、なぜなら 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1、なぜなら 5 -1 = 1/5
10 進対数- これは、底が 10 の常対数です。lg として表されます。
log 10 100 = 2、なぜなら 10 2 = 100
自然対数- これも通常の対数、対数ですが底が e です (e = 2.71828... - 無理数)。 lnとして表されます。
対数の公式や性質は、後で対数、対数方程式、不等式を解くときに必要になるため、覚えておくことをお勧めします。 例を挙げて各式をもう一度見てみましょう。
- 基本対数恒等式
a ログ a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- 積の対数は対数の合計に等しい
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- 商の対数は対数の差に等しい
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- 対数のべき乗と対数の底の性質
対数の指数 log a b m = mlog a b
対数の底の指数 log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b、
m = n の場合、log a n b n = log a b が得られます。
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- 新しい基盤への移行
log a b = log c b/log c a、c = b の場合、log b b = 1 が得られます。
log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
ご覧のとおり、対数の公式は見た目ほど複雑ではありません。 さて、対数を解く例を見てきましたので、次は対数方程式に移ります。 対数方程式を解く例については、記事「」で詳しく見ていきます。 お見逃しなく！
解決策についてまだ質問がある場合は、記事のコメントに書き込んでください。
注: 私たちは別のクラスの教育を受け、オプションとして海外留学することにしました。
引き続き対数の勉強をしていきます。 この記事では、 対数の計算、このプロセスはと呼ばれます 対数。 まず、対数の計算の定義を理解します。 次に、対数のプロパティを使用して対数の値を求める方法を見てみましょう。 この後、最初に指定した他の対数の値を使用して対数を計算することに焦点を当てます。 最後に、対数表の使い方を学びましょう。 理論全体が、詳細な解決策を含む例とともに提供されます。
ページナビゲーション。
定義による対数の計算
最も単純なケースでは、非常に迅速かつ簡単に実行できます。 定義により対数を求める。 このプロセスがどのように起こるかを詳しく見てみましょう。
その本質は、数値 b を a c の形式で表すことであり、対数の定義により、数値 c は対数の値になります。 つまり、定義により、次の一連の等式は対数を求めることに対応します: log a b=log a a c =c。
したがって、定義による対数の計算は、a c = b となる数値 c を見つけることになり、数値 c 自体が対数の目的の値になります。
前の段落の情報を考慮すると、対数記号の下の数値が対数の底の特定の累乗で与えられる場合、その対数が何に等しいか、つまり指数に等しいかをすぐに示すことができます。 例に対する解決策を示しましょう。
例。
log 2 2 −3 を求め、数値 e 5,3 の自然対数も計算します。
解決。
対数の定義により、すぐに log 2 2 −3 =−3 と言えるようになります。 実際、対数記号の下の数値は、底 2 の -3 乗に等しくなります。
同様に、2 番目の対数 lne 5.3 =5.3 を求めます。
答え：
log 2 2 −3 =−3 および lne 5,3 =5,3。
対数記号の下の数値 b が対数の底のべき乗として指定されていない場合は、数値 b を a c の形式で表現できるかどうかを注意深く調べる必要があります。 多くの場合、この表現は非常に明白であり、特に対数記号の下の数値が底の 1 乗、2 乗、または 3 乗などに等しい場合には顕著です。
例。
対数 log 5 25 、および を計算します。
解決。
25=5 2 であることが簡単にわかります。これにより、最初の対数、log 5 25=log 5 5 2 =2 を計算できます。
2番目の対数の計算に進みましょう。 この数値は 7 の累乗で表すことができます。 
(必要に応じて参照してください)。 したがって、 
.
第三対数を次の形に書き換えてみましょう。 今ならそれがわかります 
、そこから次のように結論付けられます。 
。 したがって、対数の定義により、 
.
簡単に言うと、ソリューションは次のように記述できます。
答え：
ログ 5 25=2 、 
そして .
対数記号の下に十分に大きな自然数がある場合、それを次のように展開しても問題ありません。 素因数。 多くの場合、このような数値を対数の底の累乗として表すと、定義に従ってこの対数を計算するのに役立ちます。
例。
対数値を求めます。
解決。
対数の一部のプロパティを使用すると、対数の値をすぐに指定できます。 これらの特性には、1 の対数の特性と底に等しい数値の対数の特性が含まれます: log 1 1=log a a 0 =0 および log a a=log a a 1 =1。 つまり、対数の符号の下に数値 1 または対数の底に等しい数値 a がある場合、これらの場合、対数はそれぞれ 0 と 1 に等しくなります。
例。
対数と log10 は何に等しいですか?
解決。
なので、対数の定義から次のようになります。 
.
2 番目の例では、対数記号の下の数値 10 はその底と一致するため、10 の 10 進対数は 1 に等しくなります。つまり、lg10=lg10 1 =1 となります。
答え：
そして lg10=1 。
定義による対数の計算 (前の段落で説明した) は、対数の特性の 1 つである等価 log a a p =p の使用を意味することに注意してください。
実際に、対数符号の下の数値と対数の底を特定の数の累乗として簡単に表す場合、次の公式を使用すると非常に便利です。 
、これは対数の特性の 1 つに対応します。 この式の使用法を示す対数を求める例を見てみましょう。
例。
対数を計算します。
解決。
答え：
.
上記以外の対数の性質も計算に使用されますが、これについては次の段落で説明します。
他の既知の対数から対数を求める
この段落の情報は、対数を計算する際の対数のプロパティの使用に関するトピックの続きです。 ただし、ここでの主な違いは、対数の特性を使用して、元の対数を別の対数で表現し、その値が既知であることです。 説明のために例を挙げてみましょう。 log 2 3≈1.584963 であることがわかっているとします。次に、対数のプロパティを使用して少し変換を行うことで、たとえば log 2 6 を見つけることができます。 log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
上の例では、積の対数の特性を使用するだけで十分でした。 ただし、与えられた対数を使用して元の対数を計算するには、より広範な対数特性を使用する必要があることがよくあります。
例。
log 60 2=a および log 60 5=b であることがわかっている場合は、27 を底とする 60 の対数を計算します。
解決。
したがって、ログ 60 27 を見つける必要があります。 27 = 3 3 であることが簡単に分かります。また、べき乗の対数の性質により、元の対数は 3・log 60 3 として書き換えることができます。
ここで、log 60 3 を既知の対数で表現する方法を見てみましょう。 底に等しい数値の対数の性質により、等価対数 60 60=1 を書くことができます。 一方、log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2・log 60 2+log 60 3+log 60 5 。 したがって、 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1。 したがって、 log 60 3=1−2・log 60 2−log 60 5=1−2・a−b.
最後に、元の対数を計算します: log 60 27=3 log 60 3= 3・(1−2・a−b)=3−6・a−3・b.
答え：
log 60 27=3・(1−2・a−b)=3−6・a−3・b.
これとは別に、次の形式の対数の新しい底への移行式の意味について言及する価値があります。 
。 これにより、任意の底をもつ対数から、値が既知であるか、値を見つけることが可能な特定の底をもつ対数に移動することができます。 通常、元の対数から、遷移公式を使用して、底 2、e、または 10 のいずれかの対数に移動します。これらの底には、値をある程度の精度で計算できる対数の表があるためです。正確さ。 次の段落では、これがどのように行われるかを示します。
対数表とその用途
対数値の近似計算に使用できます 対数表。 最も一般的に使用される底 2 の対数表は次の表です。 自然対数そして10進対数の表。 10 進数システムで作業する場合、10 を底とする対数の表を使用すると便利です。 その助けを借りて、対数の値を見つける方法を学びます。
表示された表を使用すると、1,000 から 9,999 (小数点以下 3 桁) までの数値の小数対数の値を 10,000 分の 1 の精度で見つけることができます。 10 進対数の表を使用して対数値を求める原理を分析します。 具体例–その方がわかりやすいですね。 log1.256を探してみましょう。
10 進対数の表の左の列には、数値 1.256 の最初の 2 桁、つまり 1.2 が見つかります (わかりやすくするために、この数値は青で囲まれています)。 数値 1.256 の 3 桁目 (桁 5) は、二重線の左側の最初または最後の行にあります (この数値は赤で囲まれています)。 元の数値 1.256 の 4 桁目 (桁 6) は、二重線の右側の最初または最後の行にあります (この数値は緑色の線で囲まれています)。 ここで、対数表のマークされた行とマークされた列の交点にあるセル内の数値を見つけます (これらの数値は強調表示されています) オレンジ）。 マークされた数値の合計により、小数点第 4 位まで正確な 10 進対数の目的の値が得られます。 log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
上の表を使用して、小数点以下 3 桁を超える数値や、1 から 9.999 の範囲を超える数値の 10 進対数の値を見つけることはできますか? はい、できます。 これがどのように行われるかを例で示してみましょう。
lg102.76332を計算してみましょう。 まず書き留める必要があります 標準形式の数値：102.76332=1.0276332・10 ２． この後、仮数は小数点第 3 位に四捨五入する必要があります。 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2、元の 10 進対数はおよそ 対数に等しい結果の数値、つまり、log102.76332≈lg1.028·10 2 を取得します。 次に、対数のプロパティを適用します。 lg1.028・10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2。 最後に、10 進対数 lg1.028 ≈0.0086+0.0034=0.012 の表から対数 lg1.028 の値を求めます。 その結果、対数を計算するプロセス全体は次のようになります。 log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
結論として、10 進対数の表を使用すると、任意の対数の近似値を計算できることは注目に値します。 これを行うには、遷移公式を使用して 10 進対数に移動し、表でその値を見つけて、残りの計算を実行するだけで十分です。
たとえば、log 2 3 を計算してみましょう。 対数の新しい底への移行公式によれば、次のようになります。 10 進対数の表から、log3 ≈ 0.4771 および log2 ≈ 0.3010 がわかります。 したがって、 
.
参考文献。
- コルモゴロフ A.N.、アブラモフ A.M.、ドゥドニーツィン Yu.P. 代数と解析の始まり: 一般教育機関の 10 年生から 11 年生向けの教科書。
- グセフ V.A.、モルドコビッチ A.G. 数学（専門学校入学者向けマニュアル）。