注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）
等差数列とは、各数値が前の数値よりも同じ量だけ大きい (または小さい) 一連の数値です。
このトピックは複雑で理解できないように思えることがよくあります。 文字インデックス 第n期数列、数列の違い - これはすべてどういうわけか混乱しています、はい...等差数列の意味を理解しましょう。そうすればすべてがすぐに良くなります。)
等差数列の概念。
等差数列は非常に単純かつ明確な概念です。 何か疑問はありますか？ 無駄です。) 自分の目で確かめてください。
未完成の一連の数字を書きます。
1, 2, 3, 4, 5, ...
このシリーズを拡張してもらえますか？ 5 の次に来る数字は何ですか? 皆さん…えーっと、つまり、次は６、７、８、９…という数字が来るということは皆さんわかります。
タスクを複雑にしてみましょう。 未完成の一連の数字をあげます。
2, 5, 8, 11, 14, ...
パターンを把握し、シリーズを拡張し、名前を付けることができるようになります 7番目シリーズ数は？
この数字が 20 であることがわかった方は、おめでとうございます。 感じただけでなく、 等差数列の重要なポイントビジネスでもうまく活用できました！ よく分からない場合は、読み続けてください。
では、感覚から得た重要なポイントを数学に変換してみましょう。）
最初のキーポイント。
等差数列は一連の数値を扱います。これは最初は混乱します。 私たちは方程式を解いたり、グラフを描いたりすることに慣れています...しかしここでは級数を拡張し、級数の数を求めます...
大丈夫です。 ただ、数列は数学の新しい分野に初めて出会うものです。 このセクションは「シリーズ」と呼ばれ、特に一連の数値と式を処理します。 それに慣れる。）
2番目のキーポイント。
等差数列では、どの数値も前の数値とは異なります 同じ量で。
最初の例では、この違いは 1 です。 どの数字を選んでも、前の数字より 1 つ増えます。 2番目から3番目。 どの数字も前の数字より 3 つ大きくなります。 実際、この瞬間こそがパターンを把握し、その後の数字を計算する機会を与えてくれます。
3つ目のキーポイント。
この瞬間は印象的なものではありません、そうです...しかし、それは非常に非常に重要です。 彼はこうです。 各プログレッション番号はその場所にあります。最初の番号、7 番目の番号、45 番目の番号などがあります。 ランダムに混ぜると模様が消えてしまいます。 等差数列も消えてしまいます。 残っているのは単なる数字の羅列です。
それが要点です。
もちろん、新しいトピックには新しい用語や名称が登場します。 それらを知る必要があります。 そうしないと、そのタスクを理解できなくなります。 たとえば、次のようなことを決定する必要があります。
a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き留めます。
インスピレーションを与えてくれますか?) 手紙、いくつかのインデックス...ちなみに、その作業はこれ以上に簡単なものではありません。 用語と名称の意味を理解する必要があるだけです。 さて、この問題をマスターして、タスクに戻ります。
用語と指定。
等差数列それぞれの数字が前の数字とは異なる一連の数字です 同じ量で。
この量はと呼ばれます 。 この概念をさらに詳しく見てみましょう。
等差数列の違い。
等差数列の違い任意の累進数の量です。 もっと前回のもの。
1つ 大事なポイント。 という言葉に注目してください "もっと"。数学的には、これは各数列数が次のとおりであることを意味します。 追加することで前の数値との等差数列の差。
計算するには、次のようにします。 2番シリーズの番号を指定する必要があります。 初め番号 追加まさにこの等差数列の違いです。 計算用 5番目- 違いは必要です 追加に 第4、まあ、など
等差数列の違い多分 ポジティブ、そうすれば、シリーズ内の各数字は実数であることがわかります 前作よりも。この進行はと呼ばれます 増加しています。例えば：
8; 13; 18; 23; 28; .....
ここで各数値が得られます 追加することで正の数、前の数値に +5。
違いは次のとおりです。 ネガティブ、この場合、系列内の各数値は次のようになります。 前回よりも少ないです。この進行は (信じられないでしょう!) と呼ばれます。 減少しています。
例えば：
8; 3; -2; -7; -12; .....
ここでも各数値を取得します 追加することで前の値に戻りますが、すでに負の数 -5 になっています。
ちなみに、進行状況を扱う場合、その性質、つまり増加しているのか減少しているのかを即座に判断するのは非常に便利です。 これは、決断を下し、手遅れになる前に間違いを見つけて修正するのに非常に役立ちます。
等差数列の違い通常は文字で表されます d.
見つけ方 d? とてもシンプルです。 系列内の任意の数値から減算する必要があります 前の番号。 引き算します。 ちなみに引き算した結果を「差分」といいます。）
たとえば、次のように定義してみましょう。 d等差数列を増やす場合:
2, 5, 8, 11, 14, ...
たとえば 11 など、系列内の任意の数値を取得します。そこから減算します。 前の番号それらの。 8:
これが正解です。 この等差数列では、その差は 3 です。
あなたはそれを取ることができます 任意の進行番号、なぜなら 特定の進行のために d-いつも同じ。少なくとも行の先頭のどこか、少なくとも真ん中、少なくともどこか。 一番最初の番号だけを取得することはできません。 単純に最初の数字だから 以前のものはありません。)
ちなみに、それを知ると、 d=3, この数列の 7 番目の数字を見つけるのは非常に簡単です。 5 番目の数字に 3 を足してみましょう - 6 番目の数字が得られ、それは 17 になります。 6 番目の数字に 3 を足すと、7 番目の数字 - 20 が得られます。
定義しましょう d降順等差数列の場合:
8; 3; -2; -7; -12; .....
兆候に関係なく、決定する必要があることを思い出してください。 d何からでも必要です 前のを取り除きます。任意のプログレッション番号 (-7 など) を選択します。 彼の以前の番号は -2 です。 それから：
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
等差数列の差は、整数、分数、無理数など、任意の数にすることができます。
その他の用語および指定。
系列の各番号は次のように呼ばれます。 等差数列のメンバー。
進行の各メンバー 独自の番号を持っています。数字は厳密に順序どおりに並べられており、トリックはありません。 1 番目、2 番目、3 番目、4 番目など。 たとえば、数列 2、5、8、11、14、... では、2 が最初の項、5 が 2 番目の項、11 が 4 番目の項です、まあ、わかります...) はっきりと理解してください - 数字そのもの全体、分数、負など何でも構いませんが、 数字の番号付け- 厳密に順序通りに！
進行状況の書き方 一般的な見解? 問題ない！ 一連の数字はそれぞれ文字として書かれます。 等差数列を表すには、通常、文字が使用されます。 ある。 会員番号は右下のインデックスで表示されます。 次のように用語をカンマ (またはセミコロン) で区切って記述します。
1、2、3、4、5、....
1- これは最初の数字です、 3- 3番目など 何も派手なことはありません。 このシリーズは次のように簡単に書くことができます。 (a n).
進歩が起こる 有限と無限。
究極の進行状況は 数量限定メンバー。 5人でも38人でも何でもいい。 しかし、それは有限な数です。
無限進行 - ご想像のとおり、メンバーの数は無限です。)
書き留める 有限進行次のような一連の用語、すべての用語と末尾のドットを確認できます。
1、2、3、4、5。
または、メンバーが多い場合は次のようになります。
1、2、... 14、15。
短いエントリでは、メンバーの数を追加で指定する必要があります。 たとえば (20 人のメンバーの場合)、次のようになります。
(a n)、n = 20
このレッスンの例のように、無限進行は行の最後にある省略記号によって認識できます。
これでタスクを解決できるようになりました。 タスクは単純で、純粋に等差数列の意味を理解するためのものです。
等差数列に関するタスクの例。
上記のタスクを詳しく見てみましょう。
1. a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き出します。
タスクを転送します 明確な言語。 無限等差数列が与えられます。 この数列の 2 番目の数は既知です。 a 2 = 5。進行の違いは次のとおりです。 d = -2.5。この数列の第 1 項、第 3 項、第 4 項、第 5 項、および第 6 項を見つける必要があります。
わかりやすくするために、問題の条件に応じてシリーズを書き留めます。 最初の 6 つの項 (2 番目の項は 5 つ):
1、5、3、4、5、6、...
3 = 2 + d
式に代入する a 2 = 5そして d = -2.5。 マイナスも忘れずに！
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
第 3 期は第 2 期より短いことが判明した。 すべてが論理的です。 数値が前の数値より大きい場合 ネガティブこれは、数値自体が前の数値よりも小さくなるということを意味します。 進行度は減少しています。 さて、それを考慮に入れてみましょう。) シリーズの 4 番目の項を数えます。
4 = 3 + d
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + d
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + d
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
そこで、第 3 項から第 6 項までを計算しました。 結果は次のシリーズになります。
1、5、2.5、0、-2.5、-5、...
最初の項を見つけることが残っています 1有名な第二の話によると。 これは反対方向、つまり左へのステップです。) つまり、等差数列の違いは次のとおりです。 dに追加すべきではありません 2、A 取り除く：
1 = 2 - d
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
それでおしまい。 課題の答え:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
ついでに、このタスクを解決したことを記しておきます。 再発する方法。 この恐ろしい言葉は、進行中のメンバーを探すことだけを意味します 前の（隣接する）番号に応じて。以下では、進行を処理する他の方法を見ていきます。
この単純なタスクから 1 つの重要な結論を導き出すことができます。
覚えて：
少なくとも 1 つの項と等差数列の違いがわかっていれば、この数列の任意の項を見つけることができます。
覚えていますか？ この単純な結論により、このトピックに関する学校のコースの問題のほとんどを解決できます。 すべてのタスクは、次の 3 つの主要なパラメータを中心に展開します。 等差数列のメンバー、数列の差、数列のメンバーの数。全て。
もちろん、それまでの代数がすべてキャンセルされるわけではありません。） 不等式、方程式、その他のものは数列に付加されます。 しかし 進行そのものに従って- すべては 3 つのパラメータを中心に展開します。
例として、このトピックに関する人気のあるタスクをいくつか見てみましょう。
2. n=5、d = 0.4、および a 1 = 3.6 の場合、有限等差数列を級数として書きます。
ここではすべてがシンプルです。 すべてはすでに与えられています。 等差数列のメンバーがどのように数えられるかを覚えて、数えて、書き留める必要があります。 タスク条件の「最終」と「」という単語を見逃さないことをお勧めします。 n=5"。顔が完全に青くなるまで数えないようにしてください。) この進行にはメンバーが 5 人しかいません:
a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
答えを書き留める必要があります。
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
別のタスク:
3. 数値 7 が等差数列 (a n) のメンバーになるかどうかを判断します。 a 1 = 4.1; d = 1.2。
うーん...誰にも分かりません。 何かをどうやって判断するのでしょうか？
どうやって... 進行状況をシリーズ形式で書き留めて、そこに 7 があるかどうかを確認してください。 数えます：
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
今では私たちがまだ7歳であることがはっきりとわかります すり抜けた 6.5と7.7の間です！ 7 は一連の数字に当てはまらないため、7 は指定された数列のメンバーにはなりません。
答え: いいえ。
これに基づいた問題があります リアルオプション GIA:
4. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。
...; 15; バツ; 9; 6; ...
これは終わりも始まりもなく書かれたシリーズです。 会員番号なしでも違いはありません d。 大丈夫です。 この問題を解くには、等差数列の意味を理解するだけで十分です。 何が可能なのか見てみましょう 知ることこのシリーズから? 3 つの主なパラメータは何ですか?
会員番号？ ここには単一の数字はありません。
ただし、数字が 3 つあり、注意してください。 - 言葉 "一貫性のある"状態で。 これは、数値が厳密に順序通りであり、隙間がないことを意味します。 この列には2つありますか？ 隣の既知の数字？ はい、あります！ これらは 9 と 6 です。したがって、等差数列の差を計算できます。 6から引く 前の番号、つまり 九：
残るものはほんの些細なことだ。 X の前の番号は何になりますか? 15。 これは、X が単純な足し算で簡単に見つかることを意味します。 等差数列の差を 15 に加算します。
それだけです。 答え： x=12
以下の問題を私たち自身で解決します。 注: これらの問題は公式に基づいていません。 純粋に等差数列の意味を理解するためです。) 一連の数字と文字を書き留めて、それを見て理解するだけです。
5. a 5 = -3 の場合、等差数列の最初の正の項を見つけます。 d = 1.1。
6. 数字 5.5 は等差数列 (a n) のメンバーであることが知られています。ここで、a 1 = 1.6。 d = 1.3。 このメンバーの番号 n を決定します。
7. 等差数列では、a 2 = 4 であることが知られています。 a 5 = 15.1。 3 を見つけます。
8. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。
...; 15.6; バツ; 3.4; ...
文字 x で示される数列の項を見つけます。
9. 列車は駅から動き始め、毎分 30 メートルずつ速度を均一に上げました。 5分後の電車の速度はいくらになりますか? 答えをキロ/時単位で答えてください。
10. 等差数列では、a 2 = 5 であることが知られています。 a 6 = -5。 1 を見つける.
回答 (混乱中): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
すべてうまくいきましたか？ すばらしい！ 次のレッスンでは、より高いレベルで等差数列をマスターできます。
すべてがうまくいきませんでしたか？ 問題ない。 特別セクション 555 では、これらすべての問題が少しずつ整理されています。) そしてもちろん、そのようなタスクの解決策を一目で明確に、明確に強調表示する簡単な実践的なテクニックが説明されています。
ところで、電車パズルにはつまずきやすい問題が2つあります。 1 つは純粋に進行に関するもので、2 つ目は数学や物理の問題全般に適用されます。 これは、ある次元から別の次元への変換です。 これらの問題をどのように解決すべきかを示します。
このレッスンでは、等差数列とその主なパラメータの基本的な意味を見ていきました。 これで、このトピックに関するほとんどすべての問題を解決できます。 追加 d数字に合わせて、シリーズを書けば、すべてが解決します。
このチュートリアルの例のように、フィンガー ソリューションは行の非常に短い部分に適しています。 シリーズが長くなると、計算はより複雑になります。 たとえば、質問の問題 9 で次のように置き換える場合、 "五分"の上 「35分」問題は大幅に悪化するでしょう。)
また、本質的には単純ですが、計算という点では不合理なタスクもあります。たとえば、次のとおりです。
等差数列 (a n) が与えられます。 a 1 =3 かつ d=1/6 の場合、121 を求めます。
それで、何回も 1/6 を追加するのですか?! 自殺してもいいの!?
できます。) このようなタスクを 1 分で解決できる簡単な公式を知らない場合。 この式は次のレッスンで説明します。 そしてこの問題はそこで解決されます。 すぐに。）
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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)
関数と導関数について知ることができます。
はい、はい: 等差数列はあなたにとっておもちゃではありません :) さて、友人の皆さん、もしあなたがこの文章を読んでいるなら、内部のキャップ証拠は、あなたが等差数列が何であるかをまだ知らないが、本当に（いや、そのように：すっごい！）知りたいと思っていることを示しています。 したがって、長い前置きであなたを苦しめるつもりはなく、すぐに本題に入ります。
まず、いくつかの例を示します。 いくつかの数値セットを見てみましょう。
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
これらすべてのセットに共通するものは何でしょうか? 一見すると何もありません。 しかし、実際には何かがあります。 つまり: 次の各要素は前の要素と同じ番号だけ異なります.
自分で判断してください。 最初のセットは単純に連続した番号で、次の各セットは前のセットより 1 つ大きくなります。 2 番目のケースでは、隣接する数値の差はすでに 5 ですが、この差は依然として一定です。 3 番目のケースでは、根が完全に存在します。 ただし、$2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ および $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$、つまり この場合、次の各要素は単に $\sqrt(2)$ ずつ増加します (この数値が非合理的であることを恐れないでください)。
したがって、このようなシーケンスはすべて等差数列と呼ばれます。 厳密な定義を与えてみましょう。
意味。 次の各数値が前の数値とまったく同じ量だけ異なる一連の数値を等差数列と呼びます。 数値が異なるまさにその量は進行差と呼ばれ、ほとんどの場合、文字 $d$ で示されます。
表記法: $\left(((a)_(n)) \right)$ は進行そのもの、$d$ はその差分です。
そして一度にカップル 重要なコメント。 まず、進行のみが考慮されます 順序付けられました数値のシーケンス: 書き込まれた順序で厳密に読み取ることが許可されており、それ以外は許可されません。 番号を並べ替えたり交換したりすることはできません。
第二に、シーケンス自体は有限または無限のいずれかになります。 たとえば、集合 (1; 2; 3) は明らかに有限の等差数列です。 しかし、精神（1; 2; 3; 4; ...）で何かを書くと、これはすでに無限の進歩です。 4 の後の省略記号は、さらに多くの数字が来ることを示唆しているようです。 たとえば、無限にたくさんあります:)
また、進行状況が増加または減少する可能性があることにも注意してください。 増加するもの、つまり同じセット (1; 2; 3; 4; ...) がすでに見られました。 以下は減少の進行の例です。
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
わかりました。最後の例は複雑すぎるように思えるかもしれません。 しかし、残りの部分は、あなたも理解していると思います。 したがって、新しい定義を導入します。
意味。 等差数列は次のように呼ばれます。
- 次の各要素が前の要素より大きい場合は増加します。
- 逆に、後続の各要素が前の要素よりも小さい場合は減少します。
さらに、いわゆる「静止」シーケンスがあり、それらは同じ繰り返し番号で構成されます。 たとえば、(3; 3; 3; ...)。
残る疑問は 1 つだけです。増加の進行と減少の進行をどのように区別するかです。 幸いなことに、ここでのすべては数値 $d$ の符号のみに依存します。 進行の違い:
- $d \gt 0$ の場合、進行度は増加します。
- $d \lt 0$ の場合、進行度は明らかに減少しています。
- 最後に、$d=0$ の場合があります。この場合、数列全体は、(1; 1; 1; 1; ...) などの同じ数字の定常シーケンスに縮小されます。
上記の 3 つの減少数の差 $d$ を計算してみましょう。 これを行うには、隣接する 2 つの要素 (たとえば、1 番目と 2 番目) を取得し、右側の数値から左側の数値を減算するだけで十分です。 次のようになります。
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$。
ご覧のとおり、3 つのケースすべてで、その差は実際にはマイナスであることが判明しました。 定義がほぼわかったので、次は進行がどのように記述され、どのような特性があるかを理解します。
進行項と漸化式
シーケンスの要素は交換できないため、番号を付けることができます。
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) ））、... \右\）\]
このセットの個々の要素は、進行のメンバーと呼ばれます。 これらは、最初のメンバー、2 番目のメンバーなどの番号で示されます。
さらに、すでにご存知のとおり、数列の隣接する項は次の式で関連付けられます。
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
つまり、数列の $n$ 番目の項を見つけるには、 $n-1$ 番目の項とその差 $d$ を知る必要があります。 この式はリカレントと呼ばれます。この式を使用すると、前の番号 (実際には前のすべての番号) を知っているだけで任意の番号を見つけることができるからです。 これは非常に不便なので、計算を最初の項と差に換算する、より巧妙な公式があります。
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
おそらくこの公式をすでに目にしたことがあるでしょう。 彼らはあらゆる種類の参考書や問題集でそれを与えることを好みます。 そして、賢明な数学の教科書の中で、これは最初のものの 1 つです。
ただし、少し練習することをお勧めします。
タスクその1。 $((a)_(1))=8,d=-5$ の場合、等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ の最初の 3 項を書き留めます。
解決。 したがって、最初の項 $((a)_(1))=8$ と数列の差 $d=-5$ がわかります。 先ほど与えた式を使用して、$n=1$、$n=2$、$n=3$ を代入してみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \終了(整列)\]
答え: (8; 3; −2)
それだけです！ 注意してください: 私たちの進歩は減少しています。
もちろん、$n=1$ を代入することはできません。最初の項はすでにわかっています。 しかし、unity を代用することで、最初の項でも式が機能することを確信しました。 他のケースでは、すべてが平凡な算術に終わった。
タスクその2。 等差数列の第 7 項が -40 に等しく、第 17 項が -50 に等しい場合、その最初の 3 つの項を書き留めます。
解決。 問題の状況を馴染みのある言葉で書いてみましょう。
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \右。\]
これらの要件を同時に満たす必要があるため、システム記号を付けました。 ここで、2 番目の方程式から最初の式を引くと (システムがあるので、これを行う権利があります)、次の結果が得られることに注意してください。
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1。 \\ \終了(整列)\]
これで、進行度の違いを見つけるのがとても簡単になります。 残っているのは、見つかった数値をシステムの方程式のいずれかに代入することだけです。 たとえば、最初の例では次のようになります。
\[\begin(行列) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \下矢印 \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34。 \\ \エンド(行列)\]
最初の項と違いがわかったので、残りは 2 番目と 3 番目の項を見つけることです。
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36。 \\ \終了(整列)\]
準備ができて！ 問題は解決された。
答え: (−34; −35; −36)
私たちが発見した数列の興味深い特性に注目してください。$n$th と $m$th の項を取り、それらを相互に減算すると、数列の差に $n-m$ の数値を乗算した値が得られます。
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
シンプルだけどとても 有用な特性、これは必ず知っておく必要があります。その助けを借りて、多くの進行上の問題の解決を大幅にスピードアップできます。 これの明確な例を次に示します。
タスクその3。 等差数列の第 5 項は 8.4、第 10 項は 14.4 です。 この数列の第 15 項を求めます。
解決。 $((a)_(5))=8.4$、$((a)_(10))=14.4$ であり、$((a)_(15))$ を見つける必要があるため、次の点に注意します。
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d。 \\ \終了(整列)\]
しかし、条件 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ により、$5d=6$ となり、次のようになります。
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4。 \\ \終了(整列)\]
答え: 20.4
それだけです！ 連立方程式を作成したり、最初の項と差を計算したりする必要はなく、すべてがわずか数行で解決されました。
次に、別のタイプの問題、進行の否定的な項と肯定的な項の検索を見てみましょう。 進行が増加し、その最初の項が否定的な場合、遅かれ早かれ肯定的な項がその中に現れることは周知の事実です。 そしてその逆も同様です。減少進行の条件は遅かれ早かれマイナスになります。
同時に、要素を順番に通過して、この瞬間を「正面から」見つけることが常に可能であるとは限りません。 多くの場合、問題は、公式を知らなければ計算に数枚の紙が必要になるような方法で書かれており、答えを見つけるまでにただ眠ってしまうだけです。 したがって、これらの問題をより迅速に解決できるようにしてみましょう。
タスクその4。 等差数列 -38.5 には負の項がいくつありますか。 -35.8; ...?
解決。 したがって、$((a)_(1))=-38.5$、$((a)_(2))=-35.8$ となり、ここから違いがすぐにわかります。
差が正であるため、進行度が増加することに注意してください。 最初の項は負であるため、実際、ある時点で正の数に遭遇するでしょう。 唯一の問題は、それがいつ起こるかということです。
項の負性がどのくらいの期間 (つまり、自然数 $n$ まで) 残るかを調べてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \そうです。 \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15。 \\ \終了(整列)\]
最後の行については説明が必要です。 したがって、$n \lt 15\frac(7)(27)$ であることがわかります。 一方、数値の整数値のみで満足するため (さらに $n\in \mathbb(N)$)、許容される最大の数値は正確に $n=15$ となり、決して 16 ではありません。 。
タスクNo.5。 等差数列では $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ となります。 この数列の最初の正の項の数を求めます。
これは前の問題とまったく同じ問題になりますが、$((a)_(1))$ はわかりません。 しかし、隣接する項 $((a)_(5))$ と $((a)_(6))$ は既知であるため、進行の違いを簡単に見つけることができます。
さらに、標準的な公式を使用して、第 5 項から第 1 項までとその差を表現してみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162。 \\ \終了(整列)\]
ここで、前のタスクと同様に作業を進めます。 シーケンスのどの時点で正の数が現れるかを調べてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56。 \\ \終了(整列)\]
この不等式の最小整数解は 56 です。
注意してください: 最後のタスクでは、すべてが厳密な不等式に帰着したため、オプション $n=55$ は適していません。
単純な問題を解決する方法を学んだので、より複雑な問題に移りましょう。 しかしその前に、等差数列のもう 1 つの非常に便利な特性を勉強しましょう。これにより、将来的には多くの時間と不等セルが節約されます :)。
算術平均と等しいインデント
増加する等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ のいくつかの連続する項を考えてみましょう。 それらを数直線上にマークしてみましょう。
数直線上の等差数列の項$((a)_(1)) ,\ ではなく、任意の用語 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ を特にマークしました。 ((a)_(2))、\ ((a)_(3))$ など なぜなら、これから説明するルールはどの「セグメント」にも同じように機能するからです。
そしてルールはとても簡単です。 漸化式を覚えて、マークされたすべての項についてそれを書きましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \終了(整列)\]
ただし、これらの等式は別の方法で書き直すことができます。
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \終了(整列)\]
さて、それで何ですか？ そして、項 $((a)_(n-1))$ と $((a)_(n+1))$ が $((a)_(n)) $ から同じ距離にあるという事実。 そして、この距離は $d$ に等しい。 $((a)_(n-2))$ と $((a)_(n+2))$ という項についても同じことが言えます - これらは $((a)_(n) からも削除されます)$ は $2d$ に等しい同じ距離にあります。 私たちは無限に続けることができますが、その意味は絵によってよく示されています
進行の条件は中心から同じ距離にあります これは私たちにとって何を意味するのでしょうか? これは、隣接する数値がわかっていれば $((a)_(n))$ を見つけることができることを意味します。
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
私たちは、等差数列のすべての項が、隣接する項の算術平均に等しいという素晴らしいステートメントを導き出しました。 さらに: $((a)_(n))$ から 1 ステップではなく、$k$ ステップずつ左右に後退することができます。その場合でも、式は正しいままです。
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
それらの。 $((a)_(100))$ と $((a)_(200))$ がわかっていれば、いくつかの $((a)_(150))$ を簡単に見つけることができます。 (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$。 一見すると、この事実は何の役にも立たないように思えるかもしれません。 ただし、実際には、多くの問題は算術平均を使用するように特別に調整されています。 ご覧ください:
タスクその6。 数値 $-6((x)^(2))$、$x+1$、および $14+4((x)^(2))$ が連続する項である $x$ の値をすべて検索します。等差数列 (示された順序で)。
解決。 これらの数値は数列のメンバーであるため、算術平均条件が満たされます。中心要素 $x+1$ は隣接する要素で表すことができます。
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \終了(整列)\]
クラシックになりました 二次方程式。 その根、$x=2$ と $x=-3$ が答えです。
答え: -3; 2.
タスクNo.7。 数値 $-1;4-3;(()^(2))+1$ が等差数列を形成する $$ の値を (この順序で) 見つけます。
解決。 再び、隣接する項の算術平均を通じて中間項を表現してみましょう。
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \右。; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \終了(整列)\]
またまた二次方程式。 ここでも、$x=6$ と $x=1$ という 2 つのルートがあります。
答え: 1; 6.
問題を解決する過程で、ひどい数字が出てきた場合、または見つかった答えの正しさについて完全に確信が持てない場合は、問題を正しく解決できたかどうかを確認できる素晴らしいテクニックがあります。
問題番号 6 で、答え 3 と 2 を受け取ったとします。これらの答えが正しいことをどのように確認できるでしょうか。 それらを元の状態に接続して、何が起こるか見てみましょう。 3 つの数値 ($-6(()^(2))$、$+1$、$14+4(()^(2))$) があることを思い出してください。これらは等差数列を形成する必要があります。 $x=-3$ を代入してみましょう。
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50。 \終了(整列)\]
−54という数字が得られました。 −2; 50 と 52 の差は間違いなく等差数列です。 $x=2$ についても同じことが起こります。
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30。 \終了(整列)\]
再び進行しますが、差は 27 です。したがって、問題は正しく解決されました。 2 番目の問題を自分でチェックしたい人は、すぐに言っておきますが、そこもすべて正しいです。
一般に、最後の問題を解決しているときに、別の問題に遭遇しました。 興味深い事実これも覚えておく必要があります。
3 つの数値が 2 番目の数値が最初と最後の数値の算術平均である場合、これらの数値は等差数列を形成します。
将来的には、このステートメントを理解することで、問題の状況に基づいて必要な展開を文字通り「構築」できるようになります。 しかし、そのような「構築」に取り組む前に、すでに議論したことから直接派生するもう1つの事実に注意を払う必要があります。
要素のグループ化と合計
もう一度数値軸に戻りましょう。 おそらくその間に、進行の何人かのメンバーがいることに注目してみましょう。 他のメンバーにとっても価値があります:
数直線上にマークされた要素が 6 つあります$((a)_(n))$ と $d$ で「左のしっぽ」を、$((a)_(k))$ と $d$ で「右のしっぽ」を表現してみます。 とても簡単です:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d。 \\ \終了(整列)\]
ここで、次の金額が等しいことに注意してください。
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \終了(整列)\]
簡単に言うと、進行の 2 つの要素 (合計で $S$ に等しい) を開始点として考慮し、これらの要素から反対方向 (互いに近づくか、またはその逆) にステップを開始すると、それから 私たちがつまずくであろう要素の合計も等しいでしょう$S$。 これは、次の図で最も明確に表すことができます。
等しいインデントは同じ量を与えます この事実を理解することで、より根本的に問題を解決できるようになります。 上級上で検討したものよりも困難な場合があります。 たとえば、次のようなものがあります。
タスクNo.8。 最初の項が 66 で、2 番目と 12 番目の項の積が可能な限り最小となる等差数列の差を求めます。
解決。 知っていることをすべて書き留めてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min 。 \終了(整列)\]
したがって、進行の差 $d$ はわかりません。 実際には、積 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ は次のように書き換えることができるため、ソリューション全体はその違いを中心に構築されます。
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)。 \終了(整列)\]
タンク内の人々へ: 私は 2 番目の括弧から合計乗数 11 を取り出しました。 したがって、目的の積は、変数 $d$ に関する二次関数になります。 したがって、関数 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ について考えます。そのグラフは上に枝がある放物線になります。 括弧を展開すると、次のようになります。
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
ご覧のとおり、最高項の係数は 11 です。これは正の数なので、実際には上向きの枝を持つ放物線を扱っていることになります。
スケジュール 二次関数- 放物線
注意してください: この放物線は、横軸 $((d)_(0))$ の頂点で最小値をとります。 もちろん、この横軸は標準的なスキーム ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ という式があります) を使用して計算できますが、次のように注意する方がはるかに合理的です。目的の頂点が放物線の軸対称上にあるため、点 $((d)_(0))$ は方程式 $f\left(d \right)=0$ の根から等距離にあります。
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6。 \\ \終了(整列)\]
だからこそ、私はブラケットを開くことを特に急いでいませんでした。元の形では、ルートは非常に簡単に見つけることができました。 したがって、横軸は平均値に等しくなります。 算術数字-66 および -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
発見された数字は何をもたらすのでしょうか? それにより、必要な製品がかかります 最小値(ちなみに、 $((y)_(\min ))$ を計算したことはありません。これは必須ではありません。) 同時に、この数字は元の進行との差です。 私たちは答えを見つけました:)
答え: −36
タスクNo.9。 数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac(1)(6)$ の間に 3 つの数値を挿入して、これらの数値と一緒に等差数列を形成します。
解決。 基本的に、最初と最後の数字がすでにわかっている 5 つの数字のシーケンスを作成する必要があります。 欠落している数値を変数 $x$、$y$、$z$ で表しましょう。
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
数値 $y$ は数列の「中間」であることに注意してください。数値 $x$ と $z$、および数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac から等距離にあります。 (1)(6)$。 そして、$x$ と $z$ という数字からすると、 この瞬間$y$ を取得できない場合、進行の終わりでは状況が異なります。 算術平均を思い出してみましょう。
$y$ がわかったので、残りの数値を求めます。 $x$ は数値 $-\frac(1)(2)$ と先ほど見つけた $y=-\frac(1)(3)$ の間にあることに注意してください。 それが理由です
同様の推論を使用して、残りの数を求めます。
準備ができて！ 3 つの数字がすべて見つかりました。 元の数字の間に入れる順番で答えに書きましょう。
答え: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
タスクNo.10。 挿入された数字の最初、2 番目、最後の数字の合計が 56 であることがわかっている場合、数字 2 と 42 の間にいくつかの数字を挿入し、これらの数字と一緒に等差数列を形成します。
解決。 さらに複雑な問題ですが、これは前述のものと同じスキームに従って、算術平均によって解決されます。 問題は、正確にいくつの数値を挿入する必要があるかがわからないことです。 したがって、すべてを挿入した後は正確に $n$ の数値が存在し、それらの最初の数値は 2、最後の数値は 42 であると確実に仮定しましょう。この場合、必要な等差数列は次の形式で表すことができます。
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
ただし、数値 $((a)_(2))$ と $((a)_(n-1))$ は、端の数値 2 と 42 から互いに 1 ステップずつ取得されることに注意してください。つまり 。 シーケンスの中心に移動します。 そして、これが意味するのは、
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
ただし、上に書いた式は次のように書き換えることができます。
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \終了(整列)\]
$((a)_(3))$ と $((a)_(1))$ がわかれば、進行の違いを簡単に見つけることができます。
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\右矢印 d=5。 \\ \終了(整列)\]
残っているのは、残りの項を見つけることだけです。
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \終了(整列)\]
したがって、既に 9 番目のステップで、シーケンスの左端である数値 42 に到達します。合計で、挿入する必要がある数値は 7 つだけです。 12; 17; 22; 27; 32; 37.
答え: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
進行を伴う文章の問題
結論として、比較的いくつかのことを検討したいと思います。 単純な作業。 そうですね、とても単純なことです。学校で数学を勉強していて、上に書かれていることを読んでいないほとんどの生徒にとって、これらの問題は難しいように思えるかもしれません。 ただし、これらは OGE や数学の統一州試験で出題されるタイプの問題なので、よく理解しておくことをお勧めします。
タスクNo.11。 チームは 1 月に 62 個の部品を製造し、その後の各月では前月よりも 14 個多くの部品を製造しました。 チームは 11 月に何個のパーツを作成しましたか?
解決。 明らかに、月ごとにリストされる部品の数は等差数列の増加を表します。 さらに：
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
11 月は年の 11 番目の月なので、$((a)_(11))$ を見つける必要があります。
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
したがって、11月に202個の部品が生産されることになります。
タスクNo.12。 製本ワークショップでは、1月に216冊の本を製本し、その後の各月では前月よりも4冊多く製本しました。 12月のワークショップで何冊製本しましたか？
解決。 全く同じです:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
12 月は 1 年の最後の 12 月であるため、$((a)_(12))$ を探しています。
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
これが答えです。12 月には 260 冊の本が製本されます。
さて、ここまで読んでいただいた方には、急いでお祝いを申し上げたいと思います。あなたは等差数列における「若手戦士のコース」を無事に完了しました。 次のレッスンに進んでいただいても問題ありません。そこでは、進行の合計の公式と、そこから得られる重要で非常に役立つ結果について学びます。
たとえば、シーケンス \(2\); \(5\); \(8\); \（十一\）; \(14\)... は、後続の各要素が前の要素と 3 つ異なるため、等差数列です (前の要素から 3 を追加することで取得できます)。
この数列では、差 \(d\) は正であるため (\(3\) に等しい)、次の各項は前の項よりも大きくなります。 このような進行はと呼ばれます 増加する.
ただし、\(d\) は次のようにすることもできます。 負の数. 例えば, 等差数列 \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)...進行の差 \(d\) はマイナス 6 に等しくなります。
この場合、次の各要素は前の要素よりも小さくなります。 これらの進行はと呼ばれます 減少する.
等差数列表記
進行状況は小さなラテン文字で示されます。
数列を形成する数字は次のように呼ばれます。 メンバー(または要素)。
これらは等差数列と同じ文字で表されますが、順序の要素の番号に等しい数値インデックスが付けられます。
たとえば、等差数列 \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) は要素 \(a_1=2\) で構成されます。 \(a_2=5\); \(a_3=8\) など。
つまり、数列 \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) の場合、
等差数列問題を解く
原則として、上に示した情報は、ほぼすべての等差数列問題 (OGE で提供される問題を含む) を解決するのに十分です。
例 (OGE)。
等差数列は条件 \(b_1=7; d=4\) で指定されます。 \(b_5\) を見つけます。
解決：
答え： \(b_5=23\)
例 (OGE)。
等差数列の最初の 3 つの項は次のように与えられます: \(62; 49; 36…\) この数列の最初の負の項の値を求めます。
解決：
|
数列の最初の要素が与えられており、それが等差数列であることがわかります。 つまり、各要素は隣接する要素と同じ数だけ異なります。 次の要素から前の要素を引くことで、どれであるかを調べてみましょう: \(d=49-62=-13\)。 |
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|
これで、進行状況を必要な (最初のネガティブな) 要素に戻すことができます。 |
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|
準備ができて。 答えを書くことができます。 |
答え： \(-3\)
例 (OGE)。
等差数列の複数の連続する要素が与えられた場合: \(…5; x; 10; 12.5...\) 文字 \(x\) で指定された要素の値を見つけます。
解決：
|
|
\(x\) を求めるには、次の要素が前の要素とどれだけ異なるか、つまり進行の差を知る必要があります。 既知の 2 つの隣接する要素 \(d=12.5-10=2.5\) から求めてみましょう。 |
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これで、探しているもの \(x=5+2.5=7.5\) を簡単に見つけることができます。 |
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|
準備ができて。 答えを書くことができます。 |
答え： \(7,5\).
例 (OGE)。
等差数列は次の条件によって定義されます。 \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) この数列の最初の 6 項の合計を求めます。
解決：
|
数列の最初の 6 項の合計を見つける必要があります。 しかし、私たちはそれらの意味を知りません。最初の要素だけが与えられています。 したがって、最初に、与えられたものを使用して値を 1 つずつ計算します。 \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
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|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
必要な金額が見つかりました。 |
答え： \(S_6=9\)。
例 (OGE)。
等差数列 \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\)。 この進行の違いを見つけてください。
解決：
答え： \(d=7\)。
等差数列の重要な公式
ご覧のとおり、等差数列に関する多くの問題は、主要なことを理解するだけで解決できます。つまり、等差数列は数値の連鎖であり、この連鎖内の後続の各要素は、前の要素に同じ数値を加算することによって得られるということです (進行の違い）。
しかし、「正面から」決定することが非常に不便な状況が時々あります。 たとえば、最初の例で、5 番目の要素 \(b_5\) ではなく、386 番目の要素 \(b_(386)\) を見つける必要があると想像してください。 \(385\) を 4 回足す必要があるでしょうか? あるいは、最後から 2 番目の例で、最初の 73 個の要素の合計を見つける必要があると想像してください。 数えるのも疲れますよ…
したがって、そのような場合、彼らは物事を「正面から」解決するのではなく、 特別な数式、等差数列のために導出されます。 そして主なものは、数列の n 番目の項の公式と \(n\) の最初の項の和の公式です。
\(n\) 番目の項の式: \(a_n=a_1+(n-1)d\)、ここで \(a_1\) は数列の最初の項です。
\(n\) – 必要な要素の番号。
\(a_n\) – 番号 \(n\) の数列の項。
この公式を使用すると、進行の最初と違いだけを知っていれば、300 番目または 100 万番目の要素さえもすぐに見つけることができます。
例。
等差数列は条件 \(b_1=-159\); によって指定されます。 \(d=8.2\)。 \(b_(246)\) を見つけます。
解決：
答え： \(b_(246)=1850\)。
最初の n 項の合計の公式: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)、ここで
\(a_n\) – 最後に合計された項。
例 (OGE)。
等差数列は条件 \(a_n=3.4n-0.6\) で指定します。 この数列の最初の \(25\) 項の合計を求めます。
解決：
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
最初の 25 項の合計を計算するには、最初と 25 番目の項の値を知る必要があります。 |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4・1-0.6=2.8\) |
\(n\) の代わりに 25 を代入して、25 番目の項を求めてみましょう。 |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
さて、これで必要な金額を簡単に計算できます。 |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
答えはすでに用意されています。 |
答え： \(S_(25)=1090\)。
最初の項の合計 \(n\) については、別の式を得ることができます。 \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ するだけです。 (\cdot 25\ ) \(a_n\) の代わりに、式 \(a_n=a_1+(n-1)d\) を代入します。 我々が得る：
最初の n 項の合計の公式: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)、ここで
\(S_n\) – \(n\) 個の最初の要素の必要な合計。
\(a_1\) – 最初の合計項。
\(d\) – 進行の差。
\(n\) – 要素の合計数。
例。
等差数列の最初の \(33\)-ex 項の和を求めます: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
解決：
答え： \(S_(33)=-231\)。
より複雑な等差数列問題
これで、ほぼすべての等差数列問題を解くために必要な情報がすべて揃いました。 公式を適用するだけでなく、少し考える必要がある問題を考えてこのトピックを終えましょう（数学ではこれは役立ちます☺）
例 (OGE)。
数列のすべての負の項の合計を求めます: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
解決：
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
このタスクは前のタスクと非常によく似ています。 同じことを解き始めます。まず \(d\) を見つけます。 |
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\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
ここで、合計の計算式に \(d\) を代入したいと思います...ここで出てきます 小さなニュアンス– \(n\) はわかりません。 言い換えれば、いくつの用語を追加する必要があるかわかりません。 どうやって調べますか？ 考えましょう。 最初の正の要素に到達したら、要素の追加を停止します。 つまり、この要素の番号を調べる必要があります。 どうやって？ 等差数列の要素を計算する式を書き留めてみましょう: この場合、 \(a_n=a_1+(n-1)d\) です。 |
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|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
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\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
\(a_n\) がゼロより大きくなる必要があります。 これが \(n\) いつ起こるか調べてみましょう。 |
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\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
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\((n-1)・0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
不等式の両辺を \(0.3\) で割ります。 |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
マイナス1を転送します、符号を変えることを忘れないでください |
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\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
計算してみましょう... |
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|
\(n>65,333…\) |
...そして、最初の正の要素の数値は \(66\) であることがわかります。 したがって、最後の負の値は \(n=65\) になります。 念のため確認してみましょう。 |
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|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
したがって、最初の \(65\) 要素を追加する必要があります。 |
|
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\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
答えはすでに用意されています。 |
答え： \(S_(65)=-630.5\)。
例 (OGE)。
等差数列は、 \(a_1=-33\); という条件によって指定されます。 \(a_(n+1)=a_n+4\)。 \(26\) 番目の要素から \(42\) 要素までの合計を求めます。
解決：
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
この問題では、要素の合計を求める必要もありますが、最初の要素からではなく \(26\) 番目の要素から始めます。 このような場合の公式はありません。 どうやって決めるの？ |
|
|
進行 \(a_1=-33\) と差分 \(d=4\) については (結局のところ、次の要素を見つけるために前の要素に 4 を加えます)。 これを知って、最初の \(42\)-y 要素の合計を求めます。 |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
最初の \(25\) 要素の合計になります。 |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
そして最後に、答えを計算します。 |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
答え： \(S=1683\)。
等差数列については、実際の有用性が低いため、この記事では取り上げなかった公式がさらにいくつかあります。 ただし、簡単に見つけることができます。
I. V. ヤコブレフ | 数学教材 | MathUs.ru
等差数列
等差数列は特殊なタイプのシーケンスです。 したがって、等差数列 (そして等差数列) を定義する前に、以下について簡単に説明する必要があります。 重要な概念数字の並び。
後続
画面上に特定の数字が次々に表示されるデバイスを想像してください。 2 としましょう。 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : この一連の数値はまさにシーケンスの一例です。
意味。 数列とは、各数値に一意の番号を割り当てることができる (つまり、単一の自然数に関連付けられる) 数値のセットです1。 番号nの番号は呼ばれます 第n期シーケンス。
したがって、上記の例では、最初の数値は 2 であり、これはシーケンスの最初のメンバーであり、a1 で表すことができます。 5 番目の数字は 6 という数列の 5 番目の項であり、a5 で表すことができます。 一般に、数列の n 番目の項は an (または bn、cn など) で表されます。
非常に便利な状況は、数列の n 番目の項を何らかの式で指定できる場合です。 たとえば、式 an = 2n 3 は次のシーケンスを指定します。 1; 3; 5; 7; : : : 式 an = (1)n は次の順序を指定します。 1; 1; 1; : : :
すべての数値セットがシーケンスであるわけではありません。 したがって、セグメントはシーケンスではありません。 番号を付け直すには「多すぎる」番号が含まれています。 すべての実数の集合 R も数列ではありません。 これらの事実は数学的解析の過程で証明されます。
等差数列: 基本的な定義
これで、等差数列を定義する準備が整いました。
意味。 等差数列は、(2 番目から始まる) 各項が前の項と一定の数 (等差数列の差と呼ばれる) の和に等しい数列です。
たとえば、シーケンス 2; 5; 8; 十一; : : : は、初項 2 と差分 3 の等差数列です。数列 7。 2; 3; 8; : : : は、初項 7 と差分 5 の等差数列です。数列 3; 3; 3; : : : は、差がゼロに等しい等差数列です。
同等の定義: 差 an+1 an が定数値 (n に依存しない) である場合、シーケンス an は等差数列と呼ばれます。
等差数列は、その差が正の場合は増加し、その差が負の場合は減少すると呼ばれます。
1 しかし、より簡潔な定義は次のとおりです。シーケンスとは、自然数のセットに対して定義された関数です。 たとえば、実数のシーケンスは関数 f: N ! です。 R.
デフォルトでは、シーケンスは無限、つまり無限の数が含まれるとみなされます。 しかし、有限数列をわざわざ考えようとする人は誰もいません。 実際、有限の数の集合はすべて有限数列と呼ぶことができます。 たとえば、終了シーケンスは 1 です。 2; 3; 4; 5は5つの数字で構成されています。
等差数列の n 項の公式
等差数列は、初項と差という 2 つの数によって完全に決定されることは容易に理解できます。 したがって、次のような疑問が生じます。最初の項とその違いがわかっていて、等差数列の任意の項をどのように見つけるのでしょうか?
等差数列の n 番目の項に必要な式を得るのは難しくありません。 させてください
差のある等差数列 ｄ． 我々は持っています： | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): | |
特に、次のように書きます。 | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
そして今、an の公式は次のとおりであることが明らかになりました。 | |
an = a1 + (n 1)d: |
問題 1. 等差数列 2; 5; 8; 十一; : : : n番目の項の式を見つけて、100番目の項を計算します。
解決。 式 (1) によれば、次のようになります。
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
等差数列の性質と符号
等差数列の性質。 等差数列では、任意の
言い換えれば、等差数列の各メンバー (2 番目から開始) は、隣接するメンバーの算術平均です。
証拠。 我々は持っています： | ||||
a n 1+ a n+1 | (と d) + (と + d) | |||
それが必要なものでした。
より一般的には、等差数列 an は次の等式を満たします。
a n = a n k+ a n+k
任意の n > 2 および任意の自然 k に対して< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
式 (2) は、数列が等差数列であるための必要条件だけでなく、十分条件としても機能することがわかります。
等差数列の記号。 すべての n > 2 に対して等式 (2) が成り立つ場合、シーケンス an は等差数列になります。
証拠。 式(2)を次のように書き換えてみましょう。
a na n 1= a n+1a n:
このことから、差分 an+1 an は n に依存しないことがわかり、これはまさにシーケンス an が等差数列であることを意味します。
等差数列の性質と符号は 1 つのステートメントの形式で定式化できます。 便宜上、これを 3 つの数値に対して実行します (これは問題でよく発生する状況です)。
等差数列の特徴付け。 3 つの数値 a、b、c は、2b = a + c の場合にのみ等差数列を形成します。
問題 2. (MSU、経済学部、2007) 示された順序の 3 つの数字 8x、3 x2、および 4 は減少する等差数列を形成します。 x を見つけて、この進行の違いを示します。
解決。 等差数列の性質により、次のようになります。
2(3 x2 ) = 8x 4 、2x2 + 8x 10 = 0 、x2 + 4x 5 = 0 、x = 1; x = 5:
x = 1 の場合、8、2、4 という減少の進行が得られ、差は 6 になります。x = 5 の場合、40、22、4 の増加の進行が得られます。 このケースは適切ではありません。
答え: x = 1、その差は 6 です。
等差数列の最初の n 項の合計
伝説によれば、ある日、先生が子供たちに「1から100までの数字の合計を求めなさい」と言い、静かに座って新聞を読んだということです。 しかし、数分以内に、一人の少年が問題を解決したと言いました。 それは、後に歴史上最も偉大な数学者の一人となる、9歳のカール・フリードリヒ・ガウスでした。
リトル・ガウスのアイデアは次のようなものでした。 させて
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
この金額を逆の順序で書いてみましょう。
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
そして、次の 2 つの式を追加します。
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
括弧内の各項は 101 に等しく、そのような項は合計 100 個あります。
2S = 101 100 = 10100;
この考え方を使用して合計の公式を導き出します
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
n 番目の項 an = a1 + (n 1)d の式をそれに代入すると、式 (3) の有用な修正が得られます。
2a1 + (n 1)d | |||||
問題 3. 13 で割り切れるすべての正の 3 桁の数の合計を求めます。
解決。 13 の倍数である 3 桁の数は、最初の項が 104 でその差が 13 である等差数列を形成します。 この数列の n 番目の項は次の形式になります。
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
進行に含まれる用語がいくつあるか調べてみましょう。 これを行うには、次の不等式を解きます。
6 999。 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n669:
つまり、進行中のメンバーは 69 人です。 式 (4) を使用して、必要な量を求めます。
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
すべての自然数について n 実数と一致する あ、ん 、その後、彼らはそれが与えられると言います 数列 :
ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . , あ、ん , . . . .
したがって、数列は自然引数の関数です。
番号 ある 1 呼ばれた シーケンスの最初のメンバー 、 番号 ある 2 — シーケンスの第 2 項 、 番号 ある 3 — 三番目 等々。 番号 あ、ん 呼ばれた シーケンスの n 番目のメンバー 、および自然数 n — 彼の番号 .
隣り合った2人のメンバーから あ、ん そして あ、ん +1 シーケンスメンバー あ、ん +1 呼ばれた その後 （に向かって あ、ん )、A あ、ん — 前の （に向かって あ、ん +1 ).
シーケンスを定義するには、任意の番号を持つシーケンスのメンバーを検索できるメソッドを指定する必要があります。
多くの場合、シーケンスは次のように指定されます。 n項の公式 つまり、シーケンスのメンバーを番号によって決定できる式です。
例えば、
一連の正の奇数は次の式で与えられます。
あ、ん= 2n- 1,
そして交互のシーケンス 1 そして -1 - 式
b n = (-1)n +1 . ◄
順番が決められる リカレントフォーミュラ, つまり、あるメンバーから始まり、前の (1 つ以上の) メンバーまでのシーケンスの任意のメンバーを表す式です。
例えば、
もし ある 1 = 1 、A あ、ん +1 = あ、ん + 5
ある 1 = 1,
ある 2 = ある 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ある 3 = ある 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ある 4 = ある 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ある 5 = ある 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
もし 1= 1, 2 = 1, あ、ん +2 = あ、ん + あ、ん +1 , この場合、数列の最初の 7 項は次のように確立されます。
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
ある 6 = ある 4 + ある 5 = 3 + 5 = 8,
ある 7 = ある 5 + ある 6 = 5 + 8 = 13. ◄
シーケンスは次のとおりです。 最後の そして 無限の .
シーケンスは次のように呼ばれます 究極の 、メンバーの数が有限の場合。 シーケンスは次のように呼ばれます 無限の 、無限に多くのメンバーがいる場合。
例えば、
2 桁の自然数の列:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
最後の。
素数の列:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
無限。 ◄
シーケンスは次のように呼ばれます 増加する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより大きい場合。
シーケンスは次のように呼ばれます 減少する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより小さい場合。
例えば、
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — 増加するシーケンス。
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — 減少するシーケンス。 ◄
数が増えても要素が減らない、あるいは逆に要素が増えない数列を数列といいます。 単調なシーケンス .
単調シーケンスは特に、増加シーケンスと減少シーケンスです。
等差数列
等差数列 は、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーと等しく、それに同じ番号が追加されるシーケンスです。
ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . , あ、ん, . . .
任意の自然数の場合は等差数列です n 条件が満たされています:
あ、ん +1 = あ、ん + d,
どこ d - 特定の数。
したがって、特定の等差数列の後続の項と前の項の差は常に一定です。
2 - ある 1 = 3 - ある 2 = . . . = あ、ん +1 - あ、ん = d.
番号 d 呼ばれた 等差数列の違い.
等差数列を定義するには、その最初の項と差を示すだけで十分です。
例えば、
もし ある 1 = 3, d = 4 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。
1 =3,
2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,
ある 5 = ある 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
第 1 項の等差数列の場合 ある 1 そしてその違い d 彼女 n
あ、ん = 1 + (n- 1)d.
例えば、
等差数列の 30 番目の項を見つけます
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, d = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (n- 2)d、
あ、ん= 1 + (n- 1)d、
あ、ん +1 = ある 1 + nd,
それから明らかに
| あ、ん=
| n-1 + n+1
|
| 2
|
2 番目から始まる等差数列の各メンバーは、前後のメンバーの算術平均に等しくなります。
数値 a、b、c は、そのうちの 1 つが他の 2 つの算術平均に等しい場合にのみ、ある等差数列の連続した項になります。
例えば、
あ、ん = 2n- 7 、等差数列です。
上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：
あ、ん = 2n- 7,
n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
したがって、
| n+1 + n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = あ、ん,
|
| 2
| 2
|
◄
ご了承ください n 等差数列の第 項は、次の方法だけで見つけることができます。 ある 1 、しかしそれ以前のものも ああ
あ、ん = ああ + (n- k)d.
例えば、
のために ある 5 書き留めることができます
5 = 1 + 4d,
5 = 2 + 3d,
5 = 3 + 2d,
5 = 4 + d. ◄
あ、ん = N-K + K D,
あ、ん = n+k - K D,
それから明らかに
| あ、ん=
| ある n-k
+a n+k
|
| 2
|
等差数列の 2 番目から始まるすべての要素は、この等差数列の等間隔に配置された要素の合計の半分に等しくなります。
さらに、あらゆる等差数列に対して次の等式が成り立ちます。
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l。
例えば、
等差数列で
1) ある 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ある 9 + ある 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, なぜなら
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
Sn= a 1 + a 2 + a 3 + 。 。 。+ あ、ん,
初め n 等差数列の項は、極値項の合計の半分と項の数の積に等しくなります。
ここから特に、条件を合計する必要がある場合は、次のようになります。
ああ, ああ +1 , . . . , あ、ん,
その場合、前の式はその構造を保持します。
例えば、
等差数列で 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
等差数列が与えられると、量は ある 1 , あ、ん, d, nそしてS n 2 つの式で結び付けられます。
したがって、これらの量のうち 3 つの値が指定されている場合、他の 2 つの量の対応する値はこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。
等差数列は単調数列です。 ここで:
- もし d > 0 、その後は増加しています。
- もし d < 0 、その後は減少しています。
- もし d = 0 、その後、シーケンスは静止します。
幾何級数
幾何級数 は、2 番目から始まる各メンバーが、前のメンバーに同じ数値を乗算したものと等しいシーケンスです。
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .
任意の自然数の場合は等比数列です n 条件が満たされています:
bn +1 = bn · q,
どこ q ≠ 0 - 特定の数。
したがって、与えられた等比数列の後続の項の前の項に対する比率は定数になります。
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.
番号 q 呼ばれた 等比数列の分母.
等比数列を定義するには、その最初の項と分母を指定するだけで十分です。
例えば、
もし b 1 = 1, q = -3 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。
b1 = 1,
b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,
b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,
b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 と分母 q 彼女 n 番目の項は次の式を使用して求めることができます。
bn = b 1 · qn -1 .
例えば、
等比数列の第 7 項を見つける 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b1 · qn -2 ,
bn = b1 · qn -1 ,
bn +1 = b 1 · qn,
それから明らかに
bn 2 = bn -1 · bn +1 ,
等比数列の各要素は、2 番目から始まり、前後の要素の幾何平均 (比例) に等しくなります。
逆もまた真であるため、次のステートメントが成り立ちます。
数値 a、b、c は、そのうちの 1 つの二乗が他の 2 つの積と等しい場合、つまり数値の 1 つが他の 2 つの幾何平均である場合に限り、ある等比数列の連続した項になります。
例えば、
数式で与えられる順序が次のとおりであることを証明しましょう。 bn= -3 2 n 、等比数列です。 上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：
bn= -3 2 n,
bn -1 = -3 2 n -1 ,
bn +1 = -3 2 n +1 .
したがって、
bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 )・(-3・2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,
これは望ましいステートメントを証明します。 ◄
ご了承ください n 等比数列の第 3 項は、 b 1 、ただし以前のメンバーも同様 bk 、これには次の式を使用するだけで十分です。
bn = bk · qn - k.
例えば、
のために b 5 書き留めることができます
b5 = b1 · q 4 ,
b5 = b2 · 第3問,
b5 = b3 · q2,
b5 = b4 · q. ◄
bn = bk · qn - k,
bn = bn - k · q k,
それから明らかに
bn 2 = bn - k· bn + k
等比数列の 2 番目から始まる項の 2 乗は、この数列の等間隔の項の積に等しくなります。
さらに、どの等比数列でも等式が成り立ちます。
bm· bn= bk· ｂｌ,
メートル+ n= k+ 私.
例えば、
等比数列で
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , なぜなら
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn
初め n 分母を持つ等比数列のメンバー q ≠ 0 次の式で計算されます。
そしていつ q = 1 - 式によると
Sn= 注意 1
項を合計する必要がある場合は、
bk, bk +1 , . . . , bn,
次に、次の式が使用されます。
| Sn- Sk -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - q
|
例えば、
等比数列で 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
等比数列が与えられると、量は b 1 , bn, q, nそして Sn 2 つの式で結び付けられます。
したがって、これらの量のいずれか 3 つの値が指定されている場合、他の 2 つの量の対応する値はこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。
第一項との等比数列の場合 b 1 と分母 q 次のことが起こります 単調性の性質 :
- 次の条件のいずれかが満たされると、進行度が増加します。
b 1 > 0 そして q> 1;
b 1 < 0 そして 0 < q< 1;
- 次の条件のいずれかが満たされると、進行度は減少します。
b 1 > 0 そして 0 < q< 1;
b 1 < 0 そして q> 1.
もし q< 0 の場合、等比数列は交互になります。奇数の項は最初の項と同じ符号を持ち、偶数の項は反対の符号を持ちます。 交互等比数列が単調ではないことは明らかです。
最初の製品 n 等比数列のメンバーは、次の式を使用して計算できます。
Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .
例えば、
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
無限減少等比数列
無限減少等比数列 分母の係数が小さい無限等比数列と呼ばれます 1 、 あれは
|q| < 1 .
無限に減少する等比数列は減少数列ではない可能性があることに注意してください。 シーンにぴったりです
1 < q< 0 .
このような分母を使用すると、シーケンスは交互になります。 例えば、
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
無限に減少する等比数列の合計 最初の値の合計が無制限に近づく数に名前を付けます n 無制限に数が増加する進行のメンバー n 。 この数は常に有限であり、次の式で表されます。
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
例えば、
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
等差数列と等比数列の関係
算数と 等比数列は互いに密接に関係しています。 2 つだけ例を見てみましょう。
ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . d 、 それ
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . bd .
例えば、
1, 3, 5, . . . - 差のある等差数列 2 そして
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - 分母付き等比数列 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - 分母付き等比数列 q 、 それ
ログ a b 1, ログ a b 2, ログ a b 3, . . . - 差のある等差数列 ログを記録するq .
例えば、
2, 12, 72, . . . - 分母付き等比数列 6 そして
LG 2, LG 12, LG 72, . . . - 差のある等差数列 LG 6 . ◄