素数とは、それ自体と 1 でのみ割り切れる自然数です。
残りの数は合成数と呼ばれます。
素数自然数
しかし、すべての自然数が素数であるわけではありません。
素自然数は、それ自身と 1 だけで割り切れるものだけです。
例 素数:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
素数整数
したがって、自然数だけが素数であるということになります。
これは、素数は必然的に自然数であることを意味します。
しかし、すべての自然数も整数です。
したがって、すべての素数は整数です。
素数の例:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
素数でも
偶数の素数は 2 つだけです。
他の素数はすべて奇数です。
なぜ 2 より大きい偶数は素数になれないのでしょうか?
しかし、2 より大きい偶数は、1 と 2 ではなく、それ自体で割り切れるため、つまり、そのような数には常に 3 つの約数があり、場合によってはそれ以上の約数があります。
自然数を素数と合成数に分けたのは、古代ギリシャの数学者ピタゴラスによるものと考えられています。 そして、ピタゴラスに従うと、自然数の集合は 3 つのクラスに分けることができます: (1) - 1 つの数からなる集合 - 1。 (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – 素数のセット。 (4、6、8、9、10、12、14、15、) – 合成数のセット。
第2セットにはさまざまな謎が隠されています。 まず、素数とは何かを理解しましょう。 「数学」を開く 百科事典「（ユウ・V・プロホロフ、出版社）」 ソ連の百科事典"、1988)、次のように読みました。
「素数とは、1 より大きい正の整数であり、それ自体と 1 以外に約数はありません: 2、3、5、7、11、13、
素数の概念は、自然数の割り算の研究において基礎的なものです。 つまり、算術の基本定理は、1 を除くすべての正の整数は素数の積に一意に分解できると述べています (因数の順序は考慮されません)。 素数は無限にあります (この命題はユークリッドの定理と呼ばれ、古代ギリシャの数学者には知られていました。その証明はユークリッドの原論の第 9 巻に記載されています)。 P. Dirichlet (1837) は、等差数列において、x = 1 の場合、a + bx であることを確立しました。 互いに素な整数 a と b を持つ ,2,c にも、無限に多くの素数が含まれます。
1 から x までの素数を見つけることは 3 世紀から知られています。 紀元前 e. エラトステネスのふるい法。 1 から x までの素数のシーケンス (*) を調べると、x が増加するにつれて、平均してその素数が少なくなることがわかります。 一連の自然数には任意の長さのセグメントが存在しますが、その中には素数が 1 つも存在しません (定理 4)。 同時に、その差が2に等しい素数も存在します（いわゆる双子）。 このような双子の集合が有限であるか無限であるかはまだ不明です (1987 年)。 最初の 1,100 万個の自然数内の素数の表は、非常に大きな双子 (たとえば、10,006,427 と 10,006,429) の存在を示しています。
自然数列における素数の分布を見つけることは、整数論において非常に難しい問題です。 これは、以下の素数の数を表す関数の漸近的挙動の研究として定式化されます。 正数バツ。 ユークリッドの定理から、それがいつであるかは明らかです。 L. オイラーは 1737 年にゼータ関数を導入しました。
彼はまた、次のことを証明しました。
すべての自然数に対して合計が実行され、すべての素数に対して積が求められます。 この恒等性とその一般化は、素数の分布理論において基本的な役割を果たします。 これに基づいて、L. オイラーは素数 p に関する級数と積が発散することを証明しました。 さらに、L. オイラーは、「多くの」素数が存在することを証明しました。
そして同時に、ほぼすべての自然数は合成です。
そして、あらゆるもの（つまり、関数として成長するもの）についても。 時系列的に見て、チェビシェフの定理を改良する次の重要な結果は、いわゆるものです。 素数分布の漸近法則 (J. Hadamard、1896、C. La Vallée Poussin、1896)。これは、比率の限界は 1 に等しいと述べています。その後、漸近を明らかにするために数学者の多大な努力が向けられました。素数の分布の法則。 素数の分布の問題は、初歩的な手法と数学的解析の手法の両方を使用して研究されます。」
ここで、記事で示されている定理のいくつかの証明を提供することは理にかなっています。
補題 1. gcd(a, b)=1 の場合、次のような整数 x、y が存在します。
証拠。 a と b を相対的な素数としましょう。 次の形式で表現可能なすべての自然数 z の集合 J を考慮し、その中で選択します。 最小の数 d.
a が d で割り切れることを証明しましょう。 a を d で割った余り: そして、させます。 したがって、形を持っているので、
それはわかります。
d が J の最小数であると仮定したため、矛盾が生じます。 つまり、a は d で割り切れます。
同じ方法で b が d で割り切れることを証明しましょう。 したがって、d=1となります。 補題は証明されました。
定理 1. 数値 a と b が互いに素で、積 bx が a で割り切れる場合、x は a で割り切れます。
証明１． ax が b で割り切れ、gcd(a,b)=1 であること、そして x が b で割り切れることを証明する必要があります。
補題 1 より、次のような x、y が存在します。 すると明らかに b で割り切れます。
証明 2. zc が b で割り切れるようなすべての自然数 z の集合 J を考えます。 d を J の最小数とします。それは簡単にわかります。 補題 1 の証明と同様に、a は d で割り切れ、b は d で割り切れることが証明されます。
補題 2. 数値 q、p1、p2、pn が素数で、積が q で割り切れる場合、数値 pi の 1 つが q に等しくなります。
証拠。 まず、素数 p が q で割り切れる場合、p=q であることに注意してください。 これは、n=1 の補題のステートメントの直後に続きます。 n=2 の場合、定理 1 から直接導き出されます。p1p2 が素数 q で割り切れる場合、および p2 は q(i.e) で割り切れます。
n=3 の補題を次のように証明します。 p1 p2 p3 を q で割ります。 p3 =q であれば、すべてが証明されます。 定理 1 によれば、p1 p2 は q で割り切れます。 したがって、ケース n=3 をすでに考慮されたケース n=2 に縮小しました。
同様に、n=3 から n=4、次に n=5 に進むことができます。一般に、補題の n=k ステートメントが証明されていると仮定すると、n=k+ についても簡単に証明できます。 1. これにより、補題がすべての n に対して真であることがわかります。
算術の基本定理。 すべての自然数は次のように分解できます。 素因数唯一の方法。
証拠。 数値 a の素因数への 2 つの分解があるとします。
右辺は q1 で割り切れるので、 左側等式は q1 で割り切れなければなりません。 補題 2 によれば、数値の 1 つは q1 に等しい。 q1 で等式の両辺をキャンセルしてみましょう。
同じ推論を q2、次に q3、qi について実行してみましょう。 最終的には、右側の要素がすべてキャンセルされて 1 が残りますが、当然、左側には 1 つ以外は何も残りません。 このことから、2 つの展開 および は因子の順序においてのみ異なる可能性があると結論付けられます。 定理は証明されました。
ユークリッドの定理。 素数の系列は無限です。
証拠。 一連の素数が有限であり、最後の素数を文字 N で表すと仮定します。次の積を作成しましょう。
これに 1 を加えてみましょう。次のようになります。
この数値は整数であるため、少なくとも 1 つの素因数を含む必要があります。つまり、少なくとも 1 つの素数で割り切れる必要があります。 しかし、仮定により、すべての素数は N を超えず、数値 M+1 は、余りが 1 になるたびに、N 以下の素数で割り切れません。定理は証明されます。
定理 4. 素数間の合成数のセクションは任意の長さにすることができます。 ここで、この系列が n 個の連続する合成数で構成されていることを証明します。
次の各数値は前の数値より 1 大きいため、これらの数値は自然系列内で直接直後に来ます。 それらがすべて複合体であることを証明することはまだ残っています。
最初の番号
両方の項に因数 2 が含まれるため、偶数になります。また、2 より大きいすべての偶数は合成されます。
2 番目の数値は 2 つの項で構成され、それぞれが 3 の倍数です。これは、この数値が合成であることを意味します。
同様に、次の数値が 4 の倍数であることなどを確立します。言い換えれば、系列内の各数値には、1 やそれ自体とは異なる係数が含まれています。 したがって、それは複合です。 定理は証明されました。
定理の証明を研究した後、記事の考察を続けます。 そのテキストには、素数を見つける方法としてエラトステネスのふるい法が記載されていました。 同じ辞書からこの方法について読んでみましょう。
「エラトステネスのふるいは、エラトステネスによって開発された方法で、自然系列から合成数をふるいにかけることを可能にします。 エラトステネスのふるいの本質は次のとおりです。 単位には取り消し線が付いています。 2 番目は素数です。 2 で割り切れるすべての自然数には取り消し線が引かれます。数値 3 – 最初の取り消し線が引かれていない数値が素数になります。 次に、3 で割り切れるすべての自然数に取り消し線が引かれ、次に取り消されていない数字 5 が素数になります。 同様の計算を続けると、一連の素数の任意の長さのセグメントを見つけることができます。 数論を研究するための理論的方法としてのエラトステネスのふるいは、V. ブラン (1919 年) によって開発されました。
ここ 最大の数、これは現在単純であることが知られています。
この数値には小数点以下約 700 桁があります。 この数が素数であることを証明する計算は、現代のコンピューターで実行されました。
「リーマン ゼータ関数 -function は、収束ディリクレ級数によって絶対的かつ一様に決定される σ>1 の複素変数の解析関数です。
σ>1 の場合、オイラー積の形式での表現が有効です。
(2) ここで、p はすべての素数を通過します。
系列 (1) と積 (2) の同一性は、ゼータ関数の主要な特性の 1 つです。 それはあなたが得ることができます 異なる比率、ゼータ関数を最も重要な数論関数と結び付けます。 したがって、ゼータ関数が機能します 大きな役割数論では。
ゼータ関数は、L. Euler (1737、publ. 1744) によって実数変数の関数として導入され、積 (2) 内でのその位置が示されました。 その後、ゼータ関数は P. ディリクレによって考察され、特に素数の分布の法則の研究に関連して P. L. チェビシェフによって成功しました。 しかし、ゼータ関数の最も深い性質は、1859 年に初めてゼータ関数を複素変数の関数として考慮した B. リーマンの研究の後に発見されました。彼はまた、「ゼータ関数」という名前を導入しました。指定「」」。
しかし、次のような疑問が生じます。 実用素数に関するこのすべての作業に存在するのでしょうか? 実際、それらはほとんど用途がありませんが、素数とその性質が今日まで使用されている分野が 1 つあります。 これが暗号化です。 ここで、素数はキーを転送せずに暗号化システムで使用されます。
残念ながら、素数についてわかっていることはこれだけです。 まだまだ多くの謎が残されています。 たとえば、2 つの正方形として表現できる素数の集合が無限であるかどうかは不明です。
「難しい素数」。
素数に関するいくつかの疑問に対する答えを見つけるために、少し調べてみることにしました。 まず、連続する10億以下の素数をすべて出力するプログラムと、入力された数値が素数かどうかを判定するプログラムを作成しました。 素数の問題を研究するために、素数の値の序数への依存性を示すグラフを作成しましたが、さらなる研究計画として、I. S. Zeltser と B. A. Kordemsky による論文「素数の興味深い群れ」を使用することにしました。数字。」 著者らは次の研究経路を特定しました。
1. 最初の 1,000 個の自然数の 168 桁は素数で占められています。 これらのうち、16 の数字は回文であり、それぞれの逆数に等しい: 11、101、131、151、181、191、313、353、373、383、727、757、787、797、919、929。
4 桁の素数は 1061 個しかなく、回文形式のものはありません。
5 桁の素数の回文番号が多数あります。 それらには、そのような美しさが含まれています：13331、15551、16661、19991。間違いなく、このタイプの群れがあります：、。 しかし、そのような群れごとに何匹の標本が存在するのでしょうか?
3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)
9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)
数字の桁の合計は 3 で割り切れるため、これらの数字自体も 3 で割り切れることがわかります。
形の数字としては、このうち素数は72227、75557、76667、78887、79997です。
2. 最初の 1,000 の数字には、連続する素数で構成される 5 つの「カルテット」があります。 最後の数字シーケンス 1、3、7、9 を形成します: (11、13、17、19)、(101、103、107、109)、(191、193、197、199)、(211、223、227、229) )、(821、823、827、829)。
n›3 の n 桁の素数の中にそのようなカルテットはいくつありますか?
私が作成したプログラムを使用すると、作者が見逃していたカルテットが見つかりました: (479、467、463、461)、および n = 4、5、6 のカルテット。n = 4 の場合、11 のカルテットがあります。
3. 9 つの素数の群れ: 199、409、619、829、1039、1249、1459、1669、1879 が魅力的なのは、それが表すものだけではありません 等差数列 210 の差があるだけでなく、2 つの素数の差 (3119 – 2) に等しい定数で魔方陣が形成されるように 9 つのセルに収まる機能もあります。
検討中の数列の次の第 10 項である 2089 も素数です。 群れから数字 199 を削除し、2089 を含めると、この構成でも群れは魔方陣を形成することができます。これは、検索対象のトピックです。
素数で構成される魔方陣は他にもあることに注意してください。
1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687
2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547
2897 947 2357 4517 3347 5867 3917
3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257
4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477
4817 4767 827 887 5147 5387 1997
4127 557 617 3137 5507 4937 4967
提案された広場は興味深いので、
1. 7x7 の魔方陣です。
2. 5x5 の魔方陣が含まれています。
3. 5x5 の魔方陣には 3x3 の魔方陣が含まれています。
4. これらすべての正方形には 1 つの共通の中心番号があります - 3407。
5. 7x7 の正方形に含まれる 49 個の数字はすべて 7 で終わります。
6. 7x7 の正方形に含まれる 49 個の数字はすべて素数です。
7. 7x7 の正方形に含まれる 49 個の数字はそれぞれ、30n + 17 として表すことができます。
使用したプログラムは私が Dev-C++ プログラミング言語で作成したもので、そのテキストは付録に記載されています (拡張子 .srr のファイルを参照)。 上記に加えて、連続する自然数を素因数に分解するプログラム (約数 1. を参照) と、入力された数値のみを素因数に分解するプログラム (約数 2. を参照) を書きました。 これらのプログラムはコンパイルされた形式ではあまりにも多くのスペースを占めるため、テキストのみを示します。 ただし、適切なプログラムがあれば誰でもコンパイルできます。
素数の問題に関与した科学者の伝記
ユークリッド
(紀元前330年頃 – 紀元前272年頃)
古代の最も有名な数学者の生涯について信頼できる情報はほとんど保存されていません。 彼はアテネで学んだと考えられており、プラトンの学派によって開発された幾何学の見事な熟達が説明されています。 しかし、どうやら彼はアリストテレスの著作についてはよく知らなかったようです。 彼はアレクサンドリアで教え、そこで高い評価を得ました。 教育活動プトレマイオス1世ソーテルの治世中。 この王は数学ですぐに成功する方法を見つけるように要求したが、ユークリッドは幾何学に王道などないと答えたという伝説がある（ただし、似たような話がメンヘムにも語られており、メンヘムについて尋ねられたとされる）アレキサンダー大王も同様）。 伝統は、慈悲深く謙虚な人物としてのユークリッドの記憶を保存してきました。 ユークリッドはさまざまなテーマに関する論文の著者ですが、彼の名前は主に要素と呼ばれる論文の 1 つに関連付けられています。 これは、彼の前に働いていた数学者 (その中で最も有名なのはコス島のヒポクラテス) の著作を集めたもので、その成果は彼の一般化能力と勤勉のおかげで完成に至りました。
オイラー・レナード
(1707年、スイス、バーゼル – 1783年、サンクトペテルブルク)
数学者、機械学、物理学者。 貧しい牧師、ポール・オイラーの家庭に生まれる。 彼はまず父親から教育を受け、1720 年から 1724 年にかけてバーゼル大学で I. ベルヌーイによる数学の講義を受講しました。
1726年末、オイラーはサンクトペテルブルク科学アカデミーに招待され、1727年5月にサンクトペテルブルクに到着した。 新しく組織されたアカデミーで、オイラーは科学活動に有利な条件を見つけ、すぐに数学と力学の勉強を始めることができました。 人生の最初のサンクトペテルブルク時代の 14 年間に、オイラーは出版用に約 80 点の作品を準備し、50 点以上を出版しました。サンクトペテルブルクでは、ロシア語を勉強しました。
オイラーはサンクトペテルブルク科学アカデミーの活動の多くの分野に参加しました。 彼は学術大学で学生に講義をし、さまざまな技術試験に参加し、ロシア地図の編纂に取り組み、一般に公開されている「算術マニュアル」(1738 ～ 1740 年) を執筆しました。 アカデミーからの特別な指示を受けて、オイラーは造船と航海の理論に関する基礎的な著作である『航海科学』（1749 年）の出版の準備をしました。
1741年、オイラーはプロイセン王フリードリヒ2世の申し出を受け入れ、科学アカデミーの再組織が行われるベルリンへの移住を提案した。 オイラーはベルリン科学アカデミーで数学クラスの責任者および理事のポストに就き、初代会長 P. モーペルテュイの死後、数年間（1759 年から）実際にアカデミーを率いました。 ベルリンでの 25 年間の生活の中で、彼は多くの大型単行本を含む約 300 点の作品を準備しました。
ベルリンに住んでいる間、オイラーはサンクトペテルブルク科学アカデミーでの集中的な活動をやめず、その名誉会員の称号を維持しました。 彼は広範な科学的および科学的組織的文通を行い、特に彼が高く評価していたM.ロモノーソフと文通を行った。 オイラーはロシアの学術科学団体の数学部門を編集し、この間、ベルリン科学アカデミーの「回想録」とほぼ同じ数の論文を発表しました。 彼はロシアの数学者の訓練に積極的に参加した。 将来の学者であるS.コテルニコフ、S.ルモフスキー、M.ソフロノフは、彼の指導の下で研究するためにベルリンに送られました。 オイラーはサンクトペテルブルク科学アカデミーに多大な援助を提供し、科学文献や科学機器の購入、アカデミーのポジション候補者との交渉などを行った。
1766年7月17日（28日）、オイラーとその家族はサンクトペテルブルクに戻った。 高齢であり、ほぼ完全に失明したにも関わらず、彼は生涯の終わりまで生産的に働きました。 2度目のサンクトペテルブルク滞在の17年間で、数冊の分厚い本を含む約400点の作品を準備した。 オイラーは引き続きアカデミーの組織活動に参加した。 1776 年、彼は I. クリビンによって提案されたネヴァ川にかかる単一アーチ橋のプロジェクトの専門家の 1 人であり、委員会全体の中でこのプロジェクトを広く支持した唯一の人物でした。
主要な科学者および組織者としてのオイラーの功績 科学研究生前から高い評価を受けていた。 サンクトペテルブルクとベルリンのアカデミーに加えて、彼はパリ科学アカデミー、ロンドン王立協会などの最大の科学機関の会員でもありました。
オイラーの仕事の特徴的な側面の 1 つは、彼の卓越した生産性です。 彼の生涯だけでも、約 550 冊の著書や論文が出版されました (オイラーの著作リストには約 850 タイトルが含まれています)。 1909 年、スイス自然科学協会はオイラーの全集の出版を開始し、1975 年に完成しました。 全72巻で構成されています。 オイラーの膨大な科学的通信（約 3,000 文字）も非常に興味深いものですが、これまでのところ部分的にしか出版されていません。
オイラーの活動範囲は異常に広く、現代数学と力学、弾性理論、数理物理学、光学、音楽理論、機械理論、弾道学、海洋科学、保険などのすべての分野をカバーしていました。オイラーの著作の約 3/5 は関連しています。残りの 2/5 は主にその応用です。 この科学者は、自身の結果と他の人が得た結果を、驚くほど明瞭に書かれ、貴重な例とともに提供された数多くの古典的な単行本で体系化しました。 たとえば、「分析的に説明される力学、または運動の科学」(1736 年)、「分析入門」(1748 年)、「微分積分学」(1755 年)、「運動理論」などです。 固体』（1765年）、6か国語で約30版を経た『普遍算術』（1768年～1769年）、『積分微積分』（1768年～1794年）など18世紀。 、一部は19世紀。 公開された「あるドイツ王女に宛てた、さまざまな物理的および哲学的問題についての手紙」は非常に人気となった。 」（1768–74）は、10 か国語で 40 を超える版を経ました。 オイラーのモノグラフの内容のほとんどは高等教育の教育マニュアルに組み込まれ、一部は 高校。 現在も使用されているオイラーの定理、方法、公式をすべてリストすることは不可能であり、そのうち彼の名前で文献に登場するものはほんのわずかです [たとえば、オイラーの破線法、オイラーの置換、オイラーの定数、オイラーの方程式、オイラーの公式、オイラー関数、オイラー数、オイラーの公式 - マクローリン、オイラー-フーリエの公式、オイラーの特性、オイラー積分、オイラー角]。
オイラーは『力学』の中で、最初に数学的分析を使用して点の力学を概説しました。つまり、空と抵抗のある媒体の両方でさまざまな力の影響下での点の自由な動きです。 与えられた線または面に沿った点の移動。 中央の力の影響下での動き。 1744 年に、彼は最小作用の機械原理を初めて正しく定式化し、その最初の応用例を示しました。 オイラーは、『剛体運動の理論』で剛体の運動学と動力学を開発し、固定点の周りの剛体の回転の方程式を与え、ジャイロスコープの理論の基礎を築きました。 オイラーは船の理論において安定性の理論に貴重な貢献をしました。 オイラーの発見は、天体力学 (たとえば、月の運動理論)、連続力学 (オイラー形式の理想流体の基本的な運動方程式、およびいわゆるラグランジュ変数、パイプ内のガス振動) において重要でした。 、など）。 光学では、オイラーは両凸レンズの公式を与え (1747)、媒質の屈折率を計算する方法を提案しました。 オイラーは光の波動説を堅持した。 彼は、異なる色は異なる光の波長に対応すると信じていました。 オイラーは、レンズの色収差を除去する方法を提案し、顕微鏡の光学コンポーネントを計算する方法を与えました。 オイラーは、1748 年に始まった広範な一連の著作を次の目的に捧げました。 数理物理学: 弦、板、膜などの振動に関する問題。これらすべての研究が理論の発展を刺激しました。 微分方程式、おおよその分析方法、スペック。 オイラーの数学的発見の多くはこれらの著作に含まれています。
数学者としてのオイラーの主な仕事は数学的分析の開発でした。 彼は、I. ニュートン、G. ライプニッツ、およびベルヌーイ兄弟による微積分の初歩的な形にすぎなかったり、微積分にはまったく存在しなかったいくつかの数学分野の基礎を築きました。 したがって、オイラーは複素引数の関数を導入し、複素変数の基本的な初等関数 (指数関数、対数関数、三角関数) の特性を調査した最初の人物です。 特に、彼は次の式を導き出しました。 三角関数実証的に。 この方向におけるオイラーの研究は、複素変数の関数理論の基礎を築きました。
オイラーは、「最大値または最小値の特性を持つ曲線を見つける方法」という著作で説明された変分法の作成者です。 」（1744年）。 オイラーが 1744 年に導き出した方法 必要な条件関数の極値 - オイラー方程式は、20 世紀の変分法の直接法の原型でした。 オイラーは常微分方程式の理論を独立した学問として創設し、偏微分方程式の理論の基礎を築きました。 ここで彼は膨大な数の発見を所有しています。 古典的な方法係数が一定の線形方程式の解、任意の定数の変分法、リカッチ方程式の基本的性質の解明、無限級数を用いた可変係数の線形方程式の積分、特殊解の基準、積分係数の原理、各種偏微分方程式を解くための近似法と多くの手法。 オイラーは、これらの結果の重要な部分を彼の「積分微積分」に収集しました。
オイラーはまた、狭い意味での微分積分学を充実させました (たとえば、変数変化の理論、同次関数の定理、二重積分の概念、および多くの特殊積分の計算)。 オイラーは、「微分積分学」の中で、発散級数の使用が妥当であるという信念を例を挙げて表明し、支持し、19 世紀と 19 世紀の変わり目に作成された現代の厳密な発散級数理論のアイデアを先取りして、級数の一般化された合計の方法を提案しました。 20世紀。 さらに、オイラーは級数理論において多くの具体的な成果を得ました。 彼はいわゆるものを発見しました。 オイラー-マクローリンの和の公式、彼の名前を冠した級数変換を提案し、膨大な数の級数の和を決定し、数学に重要な新しいタイプの級数 (三角級数など) を導入しました。 これには、連分数の理論やその他の無限過程に関するオイラーの研究も含まれます。
オイラーは特殊関数理論の創始者です。 彼は、サインとコサインを円のセグメントとしてではなく、関数として考慮した最初の人物でした。 彼は、初等関数の無限級数と積へのほとんどすべての古典的な拡張を取得しました。 彼の作品はγ関数の理論を生み出しました。 彼は、楕円積分、双曲線および円筒関数、ζ 関数、一部の θ 関数、積分対数、および特殊多項式の重要なクラスの特性を研究しました。
P. チェビシェフによれば、オイラーは整数論の一般的な部分を構成するすべての研究の基礎を築きました。 このように、オイラーは、P. フェルマーによってなされた多くのステートメント (たとえば、フェルマーの小定理) を証明し、べき乗剰余理論と二次形式の理論の基礎を発展させ、二次形式の相互法則を発見しました (ただし証明はしませんでした)。そしてディオファントス分析における多くの問題を研究しました。 オイラーは、数の項への分割と素数理論に関する著作の中で、初めて解析手法を使用し、それによって解析的数理論の創始者となりました。 特に、彼は ζ 関数を導入し、いわゆる を証明しました。 素数とすべての自然数を結び付けるオイラーの恒等式。
オイラーは数学の他の分野でも大きな業績を残しました。 代数学では、根号で方程式を解く作品を書きました。 より高い学位そして、いわゆる未知数が 2 つある方程式についても説明します。 オイラーの 4 平方恒等式。 オイラーは、解析幾何学、特に 2 次曲面の理論を大幅に進歩させました。 微分幾何学において、彼は測地線の特性を詳細に研究し、曲線の自然方程式を初めて適用し、そして最も重要なことに、曲面理論の基礎を築きました。 彼は、曲面上の点における主方向の概念を導入し、それらの直交性を証明し、法線断面の曲率の式を導出し、可展面などの研究を開始しました。 死後出版された著作 (1862 年) の中で、彼は表面の内部幾何学に関する K. ガウスの研究を部分的に予想していました。 オイラーはトポロジーの特定の問題も扱い、たとえば凸多面体に関する重要な定理を証明しました。 数学者オイラーは、しばしば優れた「計算機」として特徴付けられます。 実際、彼は正式な計算と変換の卓越した達人であり、彼の作品には多くの数式と象徴性が取り入れられています。 モダンな外観(たとえば、彼は e と π の表記法を所有しています)。 しかし、オイラーはまた、科学に多くの深遠なアイデアを導入しました。それらは現在厳密に実証されており、研究対象への浸透の深さを示す例として機能しています。
P. ラプラスによると、オイラーは第 2 世紀の数学者の教師でした。 XVIIIの半分 V.
ディリクレ ピーター・グスタフ
(デューレン、現在のドイツ、1805年 - ゲッティンゲン、同上、1859年)
彼はパリで学び、優れた数学者、特にフーリエと友好的な関係を維持しました。 受け取り次第 科学の学位ブレスラウ大学（1826年 - 1828年）、ベルリン大学（1828年 - 1855年）、ゲッティンゲン大学で教授を務め、科学者カール・フリードリヒ・ガウスの死後、数学学部長に就任した。 科学に対する彼の最も顕著な貢献は、数論、主に級数の研究に関するものです。 これにより、フーリエが提案した級数理論を発展させることができました。 フェルマーの定理の証明の独自バージョンを作成し、解析関数を使用して算術問題を解決し、級数の収束基準を導入しました。 数学的解析の分野では、関数の定義と概念を改善しました。 理論力学システムの安定性とニュートンのポテンシャルの概念の研究に焦点を当てました。
チェビシェフ・パフヌティ・リヴォヴィッチ
ロシアの数学者、サンクトペテルブルク科学学校の創設者、サンクトペテルブルク科学アカデミーの会員（1856年）。 チェビシェフの作品は、数学の多くの新しい分野の発展の基礎を築きました。
チェビシェフの最も多くの作品は数学的分析の分野にあります。 特に、講義を行う権利を求める論文はチェビシェフに捧げられ、その中でチェビシェフは代数関数と対数における特定の無理数式の可積分性を研究した。 チェビシェフは、代数関数の統合に関する他の多くの著作も捧げました。 そのうちの 1 つ (1853 年) では、微分二項式の初等関数における可積分条件に関するよく知られた定理が得られました。 数学的解析における重要な研究分野は、直交多項式の一般理論の構築に関する彼の研究で構成されています。 その誕生のきっかけは、最小二乗法を用いた放物線補間でした。 モーメントと求積公式の問題に関するチェビシェフの研究は、これと同じアイデアの輪に隣接しています。 計算を減らすという観点から、チェビシェフは等しい係数を持つ求積公式 (近似積分) を考慮することを提案 (1873) しました。 求積公式と補間理論の研究は、軍事科学委員会の砲兵部門でチェビシェフに課せられた任務と密接に関連していました。
確率論では、チェビシェフが体系的に導入したとされています。 ランダム変数そして、確率論における極限定理を証明するための新しい手法、いわゆる、の作成です。 モーメント法 (1845、1846、1867、1887)。 彼は大数の法則を非常に一般的な形式で証明しました。 さらに、彼の証明はその単純さと初歩性において驚くべきものである。 チェビシェフは、独立確率変数の和の分布関数が正規法則に収束する条件の研究を完全に完了させることはできませんでした。 しかし、A. A. マルコフは、チェビシェフの手法にいくつかの追加を加えることにより、これを実現することができました。 厳密な結論を出すことなく、チェビシェフは、n21/2 乗の独立項の合計の分布関数の漸近展開の形でこの極限定理を明確にする可能性についても概説しました。ここで、n は項の数です。 確率論に関するチェビシェフの研究は、その発展における重要な段階を構成します。 さらに、それらはロシアの確率論学派が成長する基礎となり、当初はチェビシェフの直接の生徒で構成されていました。
リーマン・ゲオルク・フリードリッグ・ベルナール
(ニーダーザクセン州ブレゼレンツ、1826 - セラスカ、イントラ近く、イタリア 66)
ドイツの数学者。 1846 年に彼はゲッティンゲン大学に入学し、K. ガウスの講義を聴きましたが、そのアイデアの多くは後に彼によって発展させられました。 1847 年から 1849 年にかけて、彼はベルリン大学の講義に出席しました。 1849 年に彼はゲッティンゲンに戻り、そこでガウスの共同研究者である物理学者 W. ウェーバーと親しくなり、彼は数学科学の問題に対する深い興味を呼び起こしました。
1851 年に彼は博士論文「1 つの複素変数の関数の一般理論の基礎」を擁護しました。 1854年から私人となり、1857年からゲッティンゲン大学の教授。
リーマンの作品には、 大きな影響力数学の発展のために 2nd 19世紀の半分 V. そして20世紀に。 リーマンは博士論文の中で、解析関数理論の幾何学的な方向性の基礎を築きました。 彼は、多値関数の研究において重要な、いわゆるリーマン面を導入し、等角写像の理論を発展させ、これに関連してトポロジーの基本的な考え方を与え、解析関数の存在条件を研究しました。ドメイン内 さまざまな種類リーマンによって開発された方法は、代数関数と積分の理論、微分方程式の解析理論 (特に、超幾何関数を定義する方程式)、解析的整数論 (たとえば、リーマンは、素数の分布と ζ 関数の特性、特に複素領域内のゼロの分布との関連性を示しました。いわゆるリーマン仮説、その妥当性はまだ証明されていません）など。
リーマンは多くの著作で、関数の三角級数への分解可能性を研究し、これに関連して、実変数の集合と関数の理論にとって重要な、リーマン的な意味での可積分性の必要十分条件を決定しました。 リーマンは、偏微分方程式を積分する方法も提案しました (たとえば、いわゆるリーマン不変量とリーマン関数を使用)。
リーマンは、1854 年の有名な講義「幾何学の基礎となる仮説について」(1867 年) で、関数空間と位相空間を含む数学的空間 (彼の言葉では「多様体」) の一般的なアイデアを与えました。 ここで彼は、連続的な n 次元多様体、つまり任意の均質なオブジェクトの集合の研究としての広い意味での幾何学を考慮し、表面の内部幾何学に関するガウスの結果を一般化して、次のように述べました。 一般的な概念線形要素 (多様体の点間の距離の微分)、それによっていわゆるフィンスラー空間を定義します。 リーマンは、特殊なタイプの線形要素によって特徴付けられるユークリッド、ロバチェフスキー、およびリーマン楕円幾何学の空間を一般化した、いわゆるリーマン空間をより詳細に調査し、それらの曲率の理論を開発しました。 リーマンは、自分のアイデアの物理空間への応用について議論しながら、あたかも一般相対性理論で行われたことを先取りしていたかのように、物理空間の「計量特性の原因」の問題を提起しました。
リーマンによって提案されたアイデアと方法は、数学の発展に新たな道を切り開き、力学や一般相対性理論への応用を見出しました。 この科学者は 1866 年に結核で亡くなりました。
素数は、剰余なしで 2 つの自然数のみ (単独および単独) で割り切れる自然 (正の整数) 数です。 言い換えれば、素数にはちょうど 2 つの自然約数と、数値自体があります。
定義により、素数のすべての約数のセットは 2 要素です。 集合を表します。
すべての素数の集合は記号で示されます。 したがって、素数のセットの定義により、次のように書くことができます。
素数の並びは次のようになります。
算術の基本定理
算術の基本定理 1 より大きいすべての自然数は素数の積として、因数の次数に至るまで独自の方法で表現できると述べています。 したがって、素数は自然数の集合の基本的な「構成要素」です。
自然数展開 title="QuickLaTeX.com によるレンダリング" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} 正規の:
ここで、 は素数、 は です。 たとえば、自然数の正準展開は次のようになります。
自然数を素数の積として表すことを「素数の積」とも言います。 数値の因数分解.
素数の性質
エラトステネスのふるい
素数を検索および認識するための最も有名なアルゴリズムの 1 つは次のとおりです。 エラトステネスのふるい。 したがって、このアルゴリズムは、アルゴリズムの作者と考えられているギリシャの数学者、キレネのエラトステネスにちなんで名付けられました。
エラトステネスの方法に従って、指定された数より小さい素数をすべて見つけるには、次の手順に従う必要があります。
ステップ1。 2 から までのすべての自然数を書き留めてください。 。
ステップ2。割当 変数値、つまり、最小の素数に等しい値です。
ステップ3。リスト内で、 の倍数である から までのすべての数値、つまり の数値を取り消します。
ステップ4。リスト内で より大きい最初の交差していない数値を見つけ、この数値の値を変数に割り当てます。
ステップ5。番号に達するまで手順 3 と 4 を繰り返します。
アルゴリズムを適用するプロセスは次のようになります。
アルゴリズムを適用するプロセスの終了時にリストに残っているすべての未交差の数値は、 から までの素数のセットになります。
ゴールドバッハ予想
『ペトロスおじさんとゴールドバッハ仮説』の表紙
素数はかなり長い間数学者によって研究されてきたという事実にもかかわらず、関連する多くの問題は今日でも未解決のままです。 最も有名な未解決問題の 1 つは、 ゴールドバッハの仮説、次のように定式化されます。
- 2 より大きいすべての偶数は 2 つの素数の合計として表現できる (ゴールドバッハの二項仮説) というのは本当ですか?
- 5 より大きいすべての奇数は合計として表現できるというのは本当ですか? 3つのシンプルな数値 (三元ゴールドバッハ仮説)?
三元ゴールドバッハ仮説は二元ゴールドバッハ仮説の特殊なケースである、あるいは数学者が言うように、三元ゴールドバッハ仮説は二元ゴールドバッハ仮説よりも弱いと言わなければなりません。
ゴールドバッハ予想は、出版社ブルームズベリー USA (米国) とフェイバー アンド フェイバー (英国) による販促戦略のおかげで、2000 年に数学界の外に広く知られるようになりました。 これらの出版社は、「ペトロスおじさんとゴールドバッハの予想」という本を出版し、本の出版日から 2 年以内にゴールドバッハの仮説を証明した人に賞金 100 万ドルを支払うと約束しました。 場合によっては、出版社からの上記の賞品が、ミレニアム賞の問題を解決した場合の賞品と混同されることがあります。 誤解しないでください、ゴールドバッハの仮説は、クレイ研究所によって「ミレニアムの挑戦」として分類されていませんが、それは密接に関連しています。 リーマン予想- 「ミレニアムチャレンジ」のひとつ。
著書『素数。 無限への長い道」
『数学の世界』という本の表紙。 素数。 無限への長い道」
さらに、魅力的な人気科学の本を読むことをお勧めします。その注釈には次のように書かれています。「素数の探索は、数学における最も逆説的な問題の 1 つです。 科学者たちは数千年にわたってこの謎を解決しようとしてきましたが、新しいバージョンや仮説が増えつつあり、この謎は依然として未解決のままです。 素数の出現はいかなるシステムにも依存しません。素数は一連の自然数の中に自発的に出現し、数学者がその数列のパターンを識別しようとするあらゆる試みを無視します。 この本により、読者は古代から現代に至るまでの科学的考え方の進化をたどり、素数を求める最も興味深い理論を紹介することができます。」
さらに、本書の第 2 章の冒頭を引用します。「素数は、私たちを数学のまさに原点に戻し、その後、ますます複雑化する道に沿って最前線へと私たちを導く重要なトピックの 1 つです」 現代科学。 したがって、素数理論の魅力的で複雑な歴史、つまり素数理論がどのように発展したのか、現在一般に受け入れられている事実や真実がどのように収集されたのかを正確に追跡することは非常に有益です。 この章では、素数の出現を予測する規則を求めて、何世代もの数学者がどのように自然数を注意深く研究したかを見ていきます。この規則は、探索が進むにつれてますますとらえどころがなくなりました。 また、歴史的背景、つまり数学者が働いた状況や、彼らの仕事が現代に使用されていた科学的手法とはまったく異なる神秘的で半宗教的な実践にどの程度関与していたかについても詳しく見ていきます。 それにもかかわらず、ゆっくりと、そして困難を伴いながら、17 世紀と 18 世紀にフェルマーとオイラーにインスピレーションを与えた新しい見解のための土壌が準備されました。」
自然数、有理数、有理数、整数と分数、正と負、複素数と素数、奇数と偶数、実数など、数には違いがあります。この記事から、素数とは何かを知ることができます。
英語で「単純」と呼ばれる数字は何ですか?
多くの場合、小学生は、素数とは何かという数学の最も単純な質問の 1 つを一見すると答える方法を知りません。 彼らは、素数を自然数 (つまり、人々が物体を数えるときに使用する数字ですが、一部の資料ではゼロから始まり、他の資料では 1 で始まります) と混同することがよくあります。 しかし、これらはまったく異なる概念です。 素数は自然数、つまり 1 より大きく、自然約数が 2 つしかない整数および正の数です。 さらに、これらの約数の 1 つは指定された数であり、2 番目は 1 です。 たとえば、3 は、それ自体と 1 以外の数で余りを持たずに割り算できないため、素数です。
合成数
素数の反対は合成数です。 これらも自然であり、1 より大きくなりますが、約数は 2 ではなく、より多くなります。 したがって、たとえば、4、6、8、9 などの数字は自然な合成数ですが、素数ではありません。 ご覧のとおり、これらはほとんどが偶数ですが、すべてではありません。 しかし、「2」は偶数であり、一連の素数の「最初の数」です。
後続
一連の素数を構成するには、その定義を考慮してすべての自然数から選択する必要があります。つまり、矛盾によって動作する必要があります。 それぞれの正の自然数を調べて、3 つ以上の約数があるかどうかを確認する必要があります。 素数からなる系列（数列）を構築してみましょう。 リストは 2 で始まり、次に 3 が続きます。これは、それ自体と 1 でしか割り切れないためです。 4 という数字を考えてみましょう。 4と1以外の約数はありますか? はい、その数は 2 です。つまり、4 は素数ではありません。 5 も素数 (1 と 5 を除く他の数では割り切れない) ですが、6 は割り切れます。 そして一般に、すべての偶数をたどってみると、「2」を除いて、どれも素数ではないことがわかります。 このことから、2 を除く偶数は素数ではないという結論になります。 もう一つの発見: 3 で割り切れるすべての数は、偶数か奇数かにかかわらず、3 そのものを除き、素数でもありません (6、9、12、15、18、21、24、27 など)。 5 と 7 で割り切れる数についても同様です。 彼らの数もすべて単純ではありません。 要約しましょう。 したがって、単純な 1 桁の数には、1 と 9 を除くすべての奇数が含まれ、「2」さえも偶数です。 10 の位自体 (10、20、... 40 など) は単純ではありません。 2 桁、3 桁などの素数は、自分と 1 以外に約数がない場合、上記の原則に基づいて決定できます。
素数の性質に関する理論
素数を含む整数の性質を研究する科学があります。 これは高等数学と呼ばれる分野です。 整数の性質に加えて、代数、超越数、関数も扱います。 さまざまな起源のこれらの数値の算術に関連します。 これらの研究では、初等的および代数的手法に加えて、解析的および幾何学的手法も使用されます。 具体的には、「整数論」は素数の研究を扱います。
素数は自然数の「構成要素」です
算数には基本定理と呼ばれる定理があります。 それによると、1を除く自然数は積で表すことができ、その約数は素数であり、約数の順序も一意であるため、表現方法も一意であるとされています。 自然数を素因数分解することを素因数分解といいます。 このプロセスには別の名前があり、それは数値の因数分解です。 これに基づいて、素数は「 建材」、自然数を構成するための「ブロック」。
素数を検索します。 単純さのテスト
さまざまな時代の多くの科学者が、素数のリストを見つけるためのいくつかの原理 (システム) を見つけようとしました。 科学では、アトキン篩、スンダルサム篩、エラトステネス篩と呼ばれるシステムが知られています。 ただし、重要な結果は得られず、素数を見つけるために簡単なテストが使用されます。 数学者もアルゴリズムを作成しました。 これらは通常、素数性テストと呼ばれます。 たとえば、Rabin と Miller によって開発されたテストがあります。 暗号学者によって使用されます。 カヤル・アグラワル・サスケーナテストもあります。 ただし、十分な精度があるにもかかわらず、計算が非常に難しいため、実際の重要性は低くなります。
素数の集合に制限はありますか?
古代ギリシャの科学者ユークリッドは、著書『元素』の中で、素数の集合は無限であると書きました。 彼はこう言いました。「素数には限界があるとちょっと想像してみましょう。 次に、それらを掛け合わせて、積に 1 を加えましょう。 これらの単純な操作の結果として得られる数値は、剰余が常に 1 となるため、一連の素数で割ることはできません。 これは、素数のリストにまだ含まれていない他の数があることを意味します。 したがって、私たちの仮定は真実ではなく、このセットに制限を設けることはできません。 ユークリッドの証明のほかに、18 世紀のスイスの数学者レオンハルト オイラーによって与えられたより現代的な公式があります。 それによると、最初の n 個の数値の和の逆数の和は、n が増加するにつれて無制限に増加します。 そして、素数の分布に関する定理の公式は次のとおりです: (n) は n/ln (n) として増加します。
最大の素数は何ですか?
同じレナード・オイラーは、当時の最大の素数を見つけることができました。 これは 2 31 - 1 = 2147483647 です。ただし、2013 年までに、素数リストの中で最も正確な別の最大値、2 57885161 - 1 が計算されました。これはメルセンヌ数と呼ばれます。 これには約 1,700 万の 10 進数が含まれます。 ご覧のとおり、18 世紀の科学者によって発見された数値はこれよりも数倍小さいです。 それもそのはず、オイラーはこの計算を手動で実行しましたが、私たちの現代人はおそらくコンピューターの助けを借りていたからです。 しかも、この数字はアメリカの学部の数学部で得られたものです。 この科学者にちなんで名付けられた数字は、リュック・ルメールの素数性テストに合格します。 しかし、科学はそこで止まりたくありません。 1990 年に米国で設立された電子フロンティア財団 (EFF) は、大きな素数を見つけた場合に金銭的な報酬を提供しています。 そして、2013年までは100万人や1000万人の中から発見した科学者に賞が与えられていたとしたら、 10進数、その後、今日、この数字は1億から10億に達しました。 賞金は15万から25万米ドルです。
特別な素数の名前
特定の科学者によって作成されたアルゴリズムのおかげで発見され、単純性テストに合格した数値は、特別と呼ばれます。 その一部を次に示します。
1.メルセン。
4. カレン。
6. ミルズら。
上記の科学者の名前にちなんで名付けられたこれらの数値の単純さは、次のテストを使用して確立されます。
1.リュック・ルメール。
2.ペピーナ。
3.リーゼル。
4.ビルハート－ルメール－セルフリッジほか。
現代科学はこれにとどまらず、おそらく近い将来、最大の素数を見つけて25万ドルの賞金を獲得できた人の名前が世界に知られることになるでしょう。
この記事では、 素数と合成数。 まず、素数と合成数の定義と例を示します。 この後、素数が無限に存在することを証明します。 次に素数表を書き出し、特にエラトステネスの篩と呼ばれる方法に注目して素数表の作成方法を考えていきます。 結論として、特定の数が素数または合成数であることを証明する際に考慮する必要がある主要な点を強調します。
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素数と合成数 - 定義と例
素数と合成数の概念は、1 より大きい数を指します。 このような整数は、正の約数の数に応じて素数と合成数に分けられます。 だから理解するには 素数と合成数の定義、約数と倍数とは何かをよく理解する必要があります。
意味。
素数は、正の約数が 2 つだけ、つまりそれ自身と 1 だけを持つ整数、大きな単位です。
意味。
合成数少なくとも 3 つの正の約数を持つ大きな整数です。
これとは別に、数値 1 は素数にも合成数にも適用されないことに注意してください。 ユニットには正の約数が 1 つだけあり、それは数字の 1 そのものです。 これにより、数値 1 が、少なくとも 2 つの正の約数を持つ他のすべての正の整数と区別されます。
正の整数は であり、正の約数は 1 つだけであることを考慮すると、素数と合成数の前述の定義を他の定式化することができます。
意味。
素数は、正の約数を 2 つだけ持つ自然数です。
意味。
合成数は、2 つ以上の正の約数を持つ自然数です。
1 より大きいすべての正の整数は素数または合成数であることに注意してください。 言い換えれば、素数でも合成でもない単一の整数は存在しません。 これは、数値 1 と a が常に任意の整数 a の約数であるという割り算の性質から導き出されます。
前の段落の情報に基づいて、合成数を次のように定義できます。
意味。
素数ではない自然数をこう呼ぶ 複合.
あげましょう 素数と合成数の例.
合成数の例には、6、63、121、6,697 などがあります。 この声明にも説明が必要です。 数字 6 には、正の約数 1 と 6 に加えて、約数 2 と 3 もあります。6 = 2 3 であるため、6 は真の合成数です。 63 の正の因数は、1、3、7、9、21、63 です。 数値 121 は積 11・11 に等しいため、その正の約数は 1、11、121 になります。 そして、6,697 という数字は、その正の約数が 1 と 6,697 に加えて、37 と 181 という数字でもあるため、合成です。
この点の結論として、素数と共素数は全く同じものではないという事実にも注意を喚起したいと思います。
素数表
素数は、さらなる使用の便宜のために、素数テーブルと呼ばれるテーブルに記録されます。 以下であり 素数表最大1,000まで。
「なぜ素数の表を 1,000 までしか埋めなかったのに、存在するすべての素数の表を作成することは可能ではないのですか?」という論理的な疑問が生じます。
まずはこの質問の最初の部分に答えてみましょう。 素数の使用が必要なほとんどの問題では、1,000 以内の素数で十分です。 他の場合には、おそらく、特別な解決策に頼らなければならないでしょう。 確かに、10,000 であれ 1,000,000,000 であれ、任意の大きな有限の正の整数までの素数のテーブルを作成することはできますが、次の段落では素数のテーブルを作成する方法について説明します。特に、と呼ばれた。
ここで、既存のすべての素数のテーブルを作成する可能性 (またはむしろ不可能) を見てみましょう。 素数は無限に存在するため、すべての素数の表を作成することはできません。 最後のステートメントは、次の補助定理の後に証明する定理です。
定理。
1 より大きい自然数の 1 以外の最小の正の約数は素数です。
証拠。
させて a は 1 より大きい自然数、b は 1 以外の a の最小の正の約数です。 b が素数であることを矛盾によって証明しましょう。
b が合成数であると仮定します。 次に、数 b (b 1 とします) の約数があり、これは 1 とも b とも異なります。 除数の絶対値が被除数の絶対値を超えないことも考慮すると (これは割り算の性質からわかります)、条件 1 が満たされる必要があります。
数 a は条件に従って b で割り切れます。また、b は b 1 で割り切れると言いました。割り切れるという概念により、a=b q および b=b となる整数 q および q 1 の存在について話すことができます。 1 q 1 、ここから a= b 1 ·(q 1 ·q) 。 2 つの整数の積は整数であるということになり、等式 a=b 1 ·(q 1 ·q) は、b 1 が数値 a の約数であることを示します。 上記の不等式を考慮すると 1
これで、素数が無限に存在することが証明できました。
定理。
素数は無限に存在します。
証拠。
そうでないと仮定しましょう。 つまり、素数が n 個しかなく、これらの素数が p 1、p 2、...、p n であるとします。 示されたものとは異なる素数を常に見つけることができることを示しましょう。
数値 p が p 1 ·p 2 ·… ·p n +1 に等しいと考えてください。 この数が素数 p 1、p 2、...、p n のそれぞれとは異なることは明らかです。 数値 p が素数であれば、定理は証明されます。 この数が合成の場合、前の定理により、この数の素約数が存在します (これを p n+1 と表します)。 この約数が数値 p 1、p 2、...、p n のいずれとも一致しないことを示します。
そうでない場合は、割り算の性質に従って、積 p 1 ·p 2 ·… ·p n は p n+1 で除算されます。 しかし、数 p は p n+1 でも割り切れ、合計 p 1 ·p 2 ·… ·p n+1 に等しくなります。 したがって、p n+1 はこの和の第 2 項 (1 に等しい) を除算しなければなりませんが、これは不可能です。
このように、予め定められた任意の数の素数に含まれない新たな素数を常に見つけることができることが証明された。 したがって、素数は無限に存在します。
したがって、素数は無限にあるという事実のため、素数の表を作成するときは、常に上からある数値 (通常は 100、1,000、10,000 など) に制限します。
エラトステネスのふるい
次に、素数のテーブルを作成する方法について説明します。 100 までの素数の表を作成する必要があるとします。
この問題を解決する最も明白な方法は、2 から始まり 100 で終わる正の整数を順番にチェックし、1 より大きくテスト対象の数より小さい正の約数が存在するかどうかを確認することです (割り算の性質からわかっています)。除数の絶対値が被除数の絶対値 (ゼロ以外) を超えないこと。 そのような約数が見つからない場合、テストされる数は素数であり、素数テーブルに入力されます。 そのような約数が見つかった場合、テストされる数値は合成数値であり、素数の表には入力されません。 この後、次の数値に移行し、同様に約数の存在がチェックされます。
最初のいくつかの手順を説明しましょう。
番号 2 から始めます。 数字 2 には、1 と 2 以外に正の約数はありません。 そこで、簡単なので素数表に記入してみます。 ここで、2 が最小の素数であると言う必要があります。 3 番に移りましょう。 1 と 3 以外に考えられる正の約数は 2 です。 しかし、3 は 2 で割り切れないので、3 は素数であり、素数の表にも含める必要があります。 ４番に移りましょう。 1 と 4 以外の正の約数は 2 と 3 になります。確認してみましょう。 数字 4 は 2 で割り切れるので、4 は合成数であり、素数の表に含める必要はありません。 4 が最小の合成数であることに注意してください。 ５番に移りましょう。 数値 2、3、4 の少なくとも 1 つがその約数であるかどうかを確認します。 5 は 2、3、または 4 で割り切れないので、素数であり、素数の表に書き留める必要があります。 その後、6、7 というように 100 までの数字に移行します。
素数のテーブルを作成するこのアプローチは理想とは程遠いです。 いずれにせよ、彼には存在する権利があります。 整数のテーブルを作成するこの方法では、割り算基準を使用できるため、約数を見つけるプロセスがわずかに高速化されることに注意してください。
と呼ばれる素数のテーブルを作成するもっと便利な方法があります。 名前にある「ふるい」という言葉は偶然ではありません。このメソッドの動作は、いわば整数や大きな単位をエラトステネスのふるいに通して「ふるいにかけ」、単純なものから複合的なものを分離するのに役立つからです。
50 までの素数の表を作成するときにエラトステネスのふるいが動作しているところを見てみましょう。
まず、2、3、4、…、50という数字を順番に書きます。
最初に書かれた数字 2 は素数です。 次に、番号 2 から順に 2 つの番号を右に移動し、コンパイル中の番号の表の最後に到達するまで、これらの番号を取り消し線で消します。 これにより、2 の倍数のすべての数値に取り消し線が引かれます。
2 の次に取り消し線が引かれていない最初の数字は 3 です。 この数は素数です。 次に、3 番から順に 3 つの数字だけ右に移動し (すでに取り消し線が引かれている数字を考慮して)、それらを取り消し線で消します。 これにより、3 の倍数のすべての数値に取り消し線が引かれます。
3 の次に取り消し線が引かれていない最初の数字は 5 です。 この数は素数です。 ここで、数字 5 から一貫して 5 数字ずつ右に移動し (先ほど取り消し線を引いた数字も考慮します)、それらを取り消し線で消します。 これにより、5 の倍数のすべての数字に取り消し線が引かれます。
次に、7 の倍数、次に 11 の倍数、というように数字を消していきます。 ×印を付ける数字がなくなると、プロセスは終了します。 以下は、エラトステネスのふるいを使用して得られた、50 までの素数の完成した表です。 バツのない数字はすべて素数であり、バツ印のある数字はすべて合成です。
また、エラトステネスのふるいを使用して素数の表を作成するプロセスを高速化する定理を定式化して証明してみましょう。
定理。
1 とは異なる合成数 a の最小の正の約数は を超えません。ここで、 は a からです。
証拠。
1 とは異なる合成数 a の最小の約数を文字 b で表しましょう (前の段落の最初で証明された定理からわかるように、数 b は素数です)。 次に、a=b・q のような整数 q があり (ここで、q は整数の乗算規則に従う正の整数です)、(b>q の場合、b が a の最小約数であるという条件に違反します) 、 a=q・b の等価性により、q は数値 a の約数でもあるため)。 不等式の両辺に正の値と 1 より大きい整数を掛けると (これを行うことは許可されています)、 が得られ、そこから と が得られます。
証明された定理はエラトステネスのふるいに関して何を与えますか?
まず、素数 b の倍数である合成数は、次の値に等しい数値で始まる必要があります (これは不等式から得られます)。 たとえば、2 の倍数の数字は 4 で始め、3 の倍数は 9 で、5 の倍数は 25 で始めるなどのようにします。
第二に、エラトステネスのふるいを使用して番号 n までの素数の表を作成することは、素数の倍数であるすべての合成数が を超えない場合に完了したと見なすことができます。 この例では、n=50 (最大 50 までの素数のテーブルを作成しているため)、したがって、エラトステネスのふるいは、素数 2、3、5、7 の倍数であるすべての合成数を除去する必要があります。算術平方根 50 を超えてはなりません。 つまり、素数 11、13、17、19、23 などの 47 までの倍数である数値を検索して取り消し線を引く必要はなくなりました。これらの数値は、より小さい素数 2 の倍数として既に取り消し線で示されているためです。 、３、５、７。
この数は素数ですか、それとも合成ですか?
一部のタスクでは、指定された数値が素数か合成数値かを調べる必要があります。 一般に、このタスクは、特に多数の文字で構成される数値の場合、決して単純ではありません。 ほとんどの場合、それを解決するための特定の方法を探す必要があります。 ただし、単純なケースについては、思考の流れに方向性を与えるように努めます。
もちろん、割り算テストを使用して、指定された数値が合成であることを証明することもできます。 たとえば、割り算のテストで、指定された数が 1 より大きい正の整数で割り切れることが示された場合、元の数は合成数になります。
例。
898,989,898,989,898,989 が合成数であることを証明してください。
解決。
この数字の各桁の合計は 9・8+9・9=9・17 となります。 9・17 に等しい数は 9 で割り切れるので、9 で割り切れることにより、元の数も 9 で割り切れると言えます。 したがって、それは複合です。
このアプローチの重大な欠点は、割り算基準では数値の素数を証明できないことです。 したがって、数値をテストして素数か合成かを確認する場合は、別の手順を実行する必要があります。
最も論理的なアプローチは、指定された数値の考えられるすべての約数を試すことです。 考えられる約数のどれも指定された数値の真の約数ではない場合、この数値は素数になります。それ以外の場合、その数値は合成になります。 前の段落で証明された定理から、与えられた数 a の約数は、 を超えない素数の中から求めなければならないことがわかります。 したがって、与えられた数 a を素数 (素数の表から都合よく取得したもの) で順番に割り、数 a の約数を見つけることができます。 約数が見つかった場合、数値 a は合成になります。 を超えない素数の中に数 a の約数がない場合、数 a は素数です。
例。
番号 11 723 単純ですか、それとも複合ですか?
解決。
11,723 という数字の約数は素数まで何になるかを調べてみましょう。 これを行うには、評価してみましょう。
それはかなり明白です 
、200 2 =40,000 以降、11,723<40 000
(при необходимости смотрите статью 数字の比較）。 したがって、11,723 の可能な素因数は 200 未満になります。 これにより、作業がすでにはるかに簡単になります。 これを知らなかったら、200 までではなく 11,723 までのすべての素数を調べる必要があります。
必要に応じて、より正確に評価することができます。 108 2 =11,664、109 2 =11,881 なので、108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
。 したがって、109 未満の素数はいずれも、指定された数値 11,723 の素因数である可能性があります。
ここで、数値 11,723 を素数 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71 に順番に分割します。 、 73 、 79 、 83 、 89 、 97 、 101 、 103 、 107 。 数値 11,723 を、書かれた素数の 1 つで割ると、合成になります。 書かれた素数のどれでも割り切れない場合、元の数は素数になります。
この単調で単調な分割プロセス全体については説明しません。 すぐに 11,723 としましょう