B.M. ブダック、A.A. サマルスキー、A.N. | |
数理物理学の問題集 | |
(解答と解答に関連するページ番号は斜体です) | |
初版の序文 | |
第 3 版の序文 | |
第 1 章 方程式の分類と正準形式への還元 | |
二次偏導関数 | |
§ 1. 2 つの独立変数の関数の方程式 | |
a11 uxx +2a12 uxy +a22 uyy +b1 ux +b2 uy +cu=f(x, y) | |
1. 可変係数を含む方程式 (9、144)。 2. 方程式 | |
定数係数 (10, 148) を使用します。 | |
§ 2. 関数 n の定数係数を含む方程式 | |
独立変数 | |
第 2 章 双曲線方程式 | |
境界値問題の定式化 | |
1. 抵抗のない媒体内の自由振動。 との方程式 | |
定数係数 (13、152)。 2. 強制振動 | |
抵抗のある媒体内の振動。 定数を含む方程式 | |
係数 (16、165)。 3. 発振問題 | |
連続変数係数を含む方程式 | |
(17.167)。 4. 不連続な方程式を導く問題 | |
係数と関連係数 (区分的均質メディア、 | |
集中因子) (18, 168)。 5. 境界値問題の類似性 (22, | |
§ 2. 波の伝播方法（ダランベール法） | |
1. 無限文字列の問題 (24,184)。 2. タスク | |
半直接（26、191）。 3. 無限直線の問題、 | |
2 本の同種の半線で構成されます。 集中した | |
因数 (30、205)。 4. 有限セグメントの問題 (31,208)。 | |
1. 抵抗のない媒体内の自由振動 (32、 220).
2. 抵抗のある媒体内の自由振動 (35、 230).
3. 抵抗のない媒体と抵抗のある媒体における分散力と集中力の影響下での強制振動 (35、 234）。 4. 媒体の不均一性やその他の条件下での振動。可変係数を伴う方程式が導かれます。 集中した力と集団を考慮に入れる(39, 255)。
境界値問題の定式化 | |
1. 均質な培地。 定数係数をもつ方程式 | |
(48、283)。 2. 異質な環境、集中した要因。 | |
可変係数と一致条件を含む方程式 | |
(49、287)。 3. 境界値問題の類似性 (50, 289)。 | |
1. 均質な等方性媒体。 定数を含む方程式 | |
係数 (51、294)。 a) 熱伝導の問題 | |
一定の境界条件と自由項 (511 | |
294)、b) 可変境界による熱伝導の問題 | |
x と t に応じて条件と自由期間が決まります (53.302)。 V) | |
拡散の問題 (55、307)。 d) 電気力学の問題 (55.308)。 2. | |
異質な環境と集中した要因。 との方程式 | |
変数係数とマッチング条件 (56、310)。 | |
§ 3. 積分表現とソース関数の方法 | |
1、均質な等方性媒体。 積分の応用 | |
フーリエ変換は直線および半直線上の問題に変換されます (57, 312)。 | |
2. 均質な等方性媒体。 影響関数の構築 | |
集中源 (58, 316)。 a) 無制限の直線 | |
(59, 316)。 b) ハーフライン (60.319)。 c) 終了セグメント (64.326)。 3. | |
異質な環境と集中した要因。 との方程式 | |
区分定数係数と共役条件 (66, | |
第 4 章 楕円型の方程式 | |
§ 1. 楕円型の方程式と | |
境界値問題の定式化 | |
1. 均一系におけるラプラス方程式とポアソン方程式の境界値問題 | |
環境 (67, 338)。 2. のラプラス方程式の境界値問題 | |
異種環境 (68、343)。 | |
§ 2. ラプラス方程式とポアソン方程式の最も単純な問題 | |
1. ラプラス方程式の境界値問題 (69, 348)。 2. エッジ | |
ポアソン方程式の問題 (71, 353)。 | |
§ 3. ソース関数 |
1. 平坦な境界を持つ領域のソース関数 (72、 356).
2. 球状 (円形) および平坦な境界を持つ領域のソース関数 (74、 366）。 3. 不均質媒体におけるソース関数 (75, 374)。
1. 円、リング、扇形の境界値問題 (76、 379),
2. ストリップ、長方形、平坦な層、直方体の境界値問題 (79、 395）。 3. 円筒関数の使用を必要とする問題 (81.407)。 4. 球関数と円筒関数の使用を必要とする問題 (82,422)。
第 V 章 パラボラ型の方程式 | |
§ 1. 放物線型の方程式につながる物理的問題。 | |
境界値問題の定式化 | |
§ 2. 変数の分離方法 | |
(91、455)。 a) 均質培地 (91.455)。 b) 異種メディア。 | |
集中因子 (93, 462)。 2. 必要な境界値問題 | |
特別な機能のアプリケーション (94,466)。 a) 均質な培地 | |
(94, 466)。 b) 異種メディア。 集中因子 (97, | |
§ 3. 整数表現の方法 | |
1. フーリエ積分 (99, 490) の適用。 2. 建設と | |
瞬間点源の影響関数の適用 | |
熱（101、501）。 | |
第 6 章 双曲線方程式 | |
§ 1. 双曲線型の方程式を導く物理的問題。 | |
境界値問題の定式化 | |
§ 2. 最も単純な問題。 さまざまなテクニックソリューション | |
§ 3. 変数の分離方法 | |
1. 特別な関数を使わない境界値問題 | |
(115、527)。 a) 均質培地 (115、527)。 b) 異種メディア | |
(117、552)。 2. 特別なツールを使用する必要がある境界値問題 | |
関数 (117,534)。 a) 均質培地 (117、534)。 b) | |
異種メディア (122、560)。 | |
§ 4. 整数表現の方法 |
1. フーリエ積分 (122、 561）。 a) フーリエ変換 (122.561)。 b) フーリエベッセル (ハンケル) 変換 (123、5615)。
2. 集中ソースの影響関数の構築と適用 (124, 570)。 a) 瞬間的な集中インパルスの影響関数 (124, 570)。 b) 継続的に動作する集中源の機能に影響を与える (125、576)。
1. 弦とロッドの固有振動 (129、 686).
2. 体積の自然変動 (130、 594).
共振器内の波と振動 (139、639)。 3. 電磁波の放射 (140,650)。 4. アンテナがオンになっている 平らな地球 (142,
追加 | |
I. さまざまな直交座標系 | |
1. 直交座標 (668)。 2. 円筒座標 | |
(669)。 3. 球面座標 (669)。 4.楕円形 | |
座標(669)。 5. 放物線座標 (670)。 6. | |
楕円体座標 (670)。 7. 退化する | |
楕円体座標 (671)。 8. トロイダル座標 | |
(672)。 9. 双極性座標 (672)。 10. 回転楕円体 | |
座標(673)。 11. 放物面座標 (674)。 | |
II. いくつかのベクトル解析公式 | |
Ⅲ． 特別な機能 | |
1. 三角関数(674)。 2. 双曲線関数 | |
(675).3。 誤差積分 (675).4。 ガンマ関数 (675)。 5. | |
楕円関数 (676)。 6. ベッセル関数 (676)。 7。 | |
ルジャンドル多項式 (678)。 8. 超幾何関数 F(α, β, | |
γ（679）。 | |
IV. 誤差積分と何らかの特性の根の表 | |
方程式 | |
文学 |
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第 1 章 偏導関数を使用した微分方程式の分類
§ 1. 2 次偏微分方程式の分類
1. 2 つの独立変数を持つ微分方程式
2. 独立変数の多い2次方程式の分類
3. 係数が一定の線形方程式の正準形式
第 2 章 双曲線型の方程式
§ 1. 双曲線型の方程式を導く最も単純な問題。 境界値問題の記述
1. 弦の微小な横振動の方程式
2. ロッドと弦の縦振動の方程式
3. 弦の振動エネルギー
4. 電線の電気振動方程式の導出
5. 膜の横振動
6. 流体力学と音響の方程式
7. 境界条件と初期条件
8. 一般的な問題の軽減
9. 変数が多い場合の境界値問題の記述
10. 一意性定理
§ 2. 波の伝播方法
1. ダランベールの公式
2. 物理的解釈
3. 例
4. 不均一方程式
5. 溶液の安定性
6. 半規制ラインと継続方法
7. 限られたセグメントの問題
8. 波の分散
9. 振動の積分方程式
10. 特性に沿った不連続性の伝播
§ 3. 変数の分離方法
1. 弦の自由振動の方程式
2. 解決策の解釈
3. 定在波の重ね合わせによる任意振動の表現
4. 不均一方程式
5. 一般的な第一境界値問題
6. 定常不均一性に関する境界値の問題
7. 初期条件のない問題
8. 集中力
9. 一般的なスキーム変数分離法
§ 4. 特性データの問題点
1. 問題の表明
2. グルサット問題の逐次近似法
§ 5. 双曲線型の一般一次方程式の解法
1. 共役微分演算子
2. ソリューションの積分形式
3. リーマン関数の物理的解釈
4. 第 II 章の定数係数を含む方程式
第 II 章の付録
I. 楽器の弦の振動について
II. ロッドの振動について
Ⅲ． 装填された弦の振動
1. 問題の表明
2. 負荷がかかった弦の固有振動
3. 紐の先に重りが付いている
4. 固有値の補正
IV. 気体力学方程式と衝撃波理論
1. 気体力学の方程式。 エネルギー保存の法則
2. 衝撃波。 動的互換性条件
3. 弱いブレイク
V. ガス吸着のダイナミクス
1. ガス収着のプロセスを説明する方程式
2.漸近解
VI. 物理的な類似性
第 3 章。 放物線型方程式
§ 1. 放物線型の方程式を導く最も単純な問題。 境界値問題の記述
1. 熱伝播の線形問題
2. 拡散方程式
3. 空間内の熱分布
4. 境界値問題の記述
5. 原則 最大値
6. 一意性定理
7. 無限直線の統一定理
§ 2. 変数の分離方法
1. 同次境界値問題
2. ソース機能
3. 不連続な境界値の問題 初期条件
4. 不均一な熱方程式
5. 一般的な第一境界値問題
§ 3. 無限直線上の問題
1. 無限直線上の熱伝播。 関数
無制限のエリアのソース
2. 半有界線の境界値問題
§ 4. 第 III 章の初期条件のない問題
第 3 章の付録
I. 温度波
II. 地殻の温度に対する放射性崩壊の影響
Ⅲ． 熱伝導率理論における相似法
1. 無限直線のソース関数
2. 準線形熱方程式の境界値問題
IV. 相転移問題
V. アインシュタイン・コルモゴロフ方程式
VI. -関数
1. 5つの関数の定義
2. フーリエ級数の 5 関数の展開
3. ソース関数の構築への 5 関数の適用
第 4 章 楕円型の方程式
§ 1. ラプラス方程式につながる問題
1. 静止した熱場。 境界値問題の記述
2. 潜在的な流体の流れ。 定常電流ポテンシャル
と静電界
2.
3. 曲線座標系におけるラプラス方程式
4. ラプラス方程式のいくつかの特定の解
5. 複素変数の調和関数と解析関数
6. 逆動径ベクトルの変換
§ 2. 調和関数の一般的性質
1. グリーンの公式。 ソリューションの統合表現
2. 調和関数のいくつかの基本特性
3. 第一境界値問題の一意性と安定性
4. 不連続な境界条件の問題
5. 孤立特異点
6. 無限大における 3 変数の調和関数の規則性
7. 外部境界値の問題。 2次元および3次元の問題に対する解決策の独自性
8. 2 番目の境界値の問題。 一意性定理
§ 3. 変数分離法による最も単純な領域の境界値問題の解決
1. 円の最初の境界値問題
2. ポアソン積分
3. 境界値が不連続な場合
§ 4. ソース関数
1. 方程式のソース関数とその主なプロパティ
2. 球の静電像法と発生関数
3. 円のソース関数
4. ハーフスペースのソース関数
§ 5. ポテンシャル理論
1. ボリュームポテンシャル
2. 飛行機の問題。 対数ポテンシャル
3. 不適切な積分
4. 体積ポテンシャルの一次導関数
5. 体積ポテンシャルの二次導関数
6. 表面電位
7. 曲面とリアプノフ曲線
8. 二重層の破壊電位
9. 単純な層ポテンシャルの性質
10. 境界値問題の解決への表面ポテンシャルの応用
11. 第 IV 章の境界値問題に対応する積分方程式
第 IV 章の付録
I. 体積ポテンシャルの漸近表現
II. 静電気の問題
Ⅲ． 電気探査の主な仕事
IV. ベクトル場の定義
V. 静電気学における等角変換法の応用
VI. 流体力学における等角変換法の応用
VII. 二調和方程式
1. ソリューションの独自性
2. 二調和関数の表現 調和関数
3. 円の二調和方程式の解
第 V 章 宇宙における波の伝播
§ 1. 初期条件の問題
1. 空間の振動方程式
2. 平均化方法
3. ポアソンの公式
4. 降下方法
5. 物理的解釈
6. 反射法
§ 2. 積分公式
1. 結論 積分公式
2. 積分公式からの推論
§ 3. 限られた体積の振動
1. 変数分離法の一般的なスキーム。 定在波
2. 長方形膜の振動
3. 円形膜の振動 第 V 章へ
第 V 章の付録
I. 弾性理論の方程式を振動方程式に還元する
II. 方程式 電磁場
1. 電磁場方程式と境界条件
2. 電磁場のポテンシャル
3. 発振器の電磁場
第 6 章 宇宙における熱の分布
§ 1. 無限の空間での熱伝播
1. 温度影響関数
2. 無限の空間での熱伝播
§ 2. 境界のある物体の熱伝播
1. 変数分離法のスキーム
2. 丸シリンダーの冷却
3. クリティカルディメンションの決定
§ 3. 境界が移動するドメインの境界値の問題
1. グリーンの熱方程式と熱源関数の公式
2. 境界値問題の解決
3. セグメントのソース関数
§ 4. 熱ポテンシャル
1. 単層と二重層の熱ポテンシャルの性質
2. 境界値問題の解決
I. 雲の拡散
II. 巻線付シリンダーの減磁について
第 7 章 楕円型方程式 (続き)
§ 1. ラプラス方程式につながる主な問題
1. 定常状態の発振
2. 崩壊の存在下でのガスの拡散 連鎖反応
3. 移動媒体中での拡散
4. ラプラス方程式の内部境界値問題の記述
§ 2. 点源の影響関数
1. 点源の影響関数
2. ソリューションの統合表現
3. 可能性
§ 3. 無制限のドメインの問題。 放射原理
1. 無限空間のラプラス方程式
2. 吸収制限の原理
3. 振幅制限の原理
4. 放射線条件
§ 4. 問題点 数学理論回折
1. 問題の表明
2. 回折問題の解決策の独自性
3. 球面による回折
I. 円筒パイプ内の波
II. 中空共振器内の電磁振動
1. 円筒形流体振動子の固有振動
2. 自然振動の電磁エネルギー
3. 電気振動子の振動の励起
Ⅲ． スクニー効果
IV. 地表上の電波の伝播
付録 I. 有限差分法
§ 1. 基本概念
1. グリッドとグリッド関数
2. 最も単純な微分演算子の近似
3. 差分問題
4. 持続可能性
§ 2. 熱方程式の差分スキーム
1. 係数が一定である方程式のスキーム
2. 近似誤差
3. エネルギーのアイデンティティ
4. 持続可能性
5. 収束と精度
6. 可変係数を含む方程式の差分スキーム
7. バランス方式。 保守的な計画
8. 可変係数を使用した熱方程式の 2 層スキーム
9. 3層回路
10. 差分方程式系の解法。 通過方法
11. 準線形方程式を解くための差分法
§ 3. ディリクレ問題を解くための有限差分法
1. ラプラス演算子の差分近似
2. 最大原理
3. 不均一方程式の解の推定
4. 解の収束 差分問題ディリクレ
5. 単純な反復法を使用して差分方程式を解く
§ 4. 複数の空間変数の問題を解決するための差分法
1. 多次元スキーム
2. 経済的なスキーム
3. ディリクレ差分問題を解くための方向を変える反復法
付録 II。 特別な機能
1. はじめに
2. 特殊関数理論の一般方程式
3. 近隣のソリューションの動作
4. 境界値問題の記述
パート I. 円筒関数
§ 1. 円筒関数
1. パワーシリーズ
2. 漸化式
3. 半整数次の関数
4. 円筒関数の漸近次数
§ 2. ベッセル方程式の境界値問題
§3. 各種円筒関数
1. ハンケル関数
2. ハンケル関数とノイマン関数
3. 虚数引数の関数
4. 関数 K0(x)
§ 4. 等高線積分の形での円筒関数の表現
1. 等高線積分
2. ハンケル関数
3. ガンマ関数のいくつかの特性
4. ベッセル関数の積分表現
5. 積分表現
6. 円筒関数の漸近公式
§ 5. フーリエベッセル積分とベッセル関数を含むいくつかの積分
1. フーリエベッセル積分
2. ベッセル関数を含むいくつかの積分
パート II。 球面関数
§ 1. ルジャンドル多項式
1. 生成関数とルジャンドル多項式
2. 漸化式
3. ルジャンドル方程式
4. ルジャンドル多項式の直交性
5. ルジャンドル多項式のノルム
6. ルジャンドル多項式のゼロ
7. ルジャンドル多項式の有界性
§ 2. 関連するルジャンドル関数
1. 付属機能
2. 関連関数のノルム
3. 関連機能のシステムの閉鎖性
§ 3. 調和多項式と球面関数
1. 調和多項式
2. 球面関数
3. 球面関数系の直交性
4. 球面関数系の完全性
5. 球面関数の拡張
§ 4. 球面関数の応用例
1. 球のディリクレ問題
2. 点電荷の場の導電性球
3. 均一なフィールドにおけるボールの偏光
4. 球体の固有振動
5. 球の外部境界値問題
パートⅢ。 チェビシェフ・エルムント多項式とチェビシェフ・ラゲール多項式
§ 1. チェビシェフ・エルミート多項式
1. 微分公式
2. 漸化式
3. チェビシェフ・エルミート方程式
4. 多項式のノルム H(x)
5. チェビシェフ・エルミート関数
§ 2. チェビシェフ・ラゲール多項式
1. 微分公式
3. チェビシェフ・ラゲール方程式
4. チェビシェフ・ラゲール多項式の直交性とノルム
5. 一般化チェビシェフ・ラゲール多項式
§ 3. シュレーディンガー方程式の最も単純な問題
1. シュレディンガー方程式
2. 調和発振器
3. ローテーター
4. クーロン場における電子の運動
パート IV。 数式、表、グラフ
I. 特殊関数の基本プロパティ
II. テーブル
Ⅲ． 特殊関数グラフ
IV. 各種直交座標系
本の簡単な要約
この本では、偏微分方程式につながる数理物理学の問題を考察します。 材料の配置は方程式の基本的な種類に対応します。 それぞれのタイプの方程式の研究は、検討中のタイプの方程式につながる最も単純な物理問題から始まります。 問題の数学的定式化、最も単純な問題の解決策の厳密な提示、および結果の物理的解釈には特に注意が払われます。 各章には問題と例が含まれています。 この本はモスクワ州立大学の物理学部で行われた講義に基づいています。
第 5 版の序文
第 4 版で見つかった誤植のみを修正しました。
1977 A. N. チホノフ。 A.A.サマルスキー
第 4 版の序文
付録 I と付録 II の紹介にわずかな変更を加えただけです。 多くの貴重なコメントをくださった A.F. Nikiforov 氏と I.S. Gushchin 氏に感謝の意を表します。
1972年 A.I.チホノフ、A.A.サマルスキー
第 3 版の序文
この版には多くの変更と追加が加えられています。 数理物理の方程式を解くための差分法を扱うセクションには大きな変更が加えられました。 それらは、付録 I の形でまとめられています。私たちは、多くの貴重なコメントをくれた V. Ya. Arsenin と、この出版物の準備に多大な協力をしてくれた V. V. Kravtsov に感謝の意を表することが、私たちの嬉しい義務であると考えています。
1966年 A.I.チホノフ、A.A.サマルスキー
序文から第2版まで
第 2 版では、初版で指摘された誤字および不正確な箇所が修正されました。 いくつかのセクション、特に第 IV 章と第 VI 章が改訂されました。 第 VI 章の新しい付録が作成されました。 著者らは、V.I.スミルノフに感謝を表明することが彼らの楽しい義務であると考えています。 大きな数貴重なコメント、そして第 2 版の準備に協力してくれた A.G. Sveshnikov に感謝します。
1953年 A. チホノフ、A. サマルスキー
数理物理学におけるさまざまな問題は、さまざまな研究と密接に関連しています。 物理的プロセス。 これには、流体力学、弾性理論、電気力学で研究された現象が含まれます。
序文から初版まで
この場合に生じる数学的問題には多くの共通要素が含まれており、数理物理学の主題を形成します。
この科学分野を特徴づける研究方法は本質的に数学的です。 ただし、数理物理学の問題の定式化は物理問題の研究と密接に関連しているため、特有の特徴があります。
数理物理学に関する出題範囲は非常に広いです。 この本では、偏微分方程式につながる数理物理学の問題を考察します。
私たちは、材料の選択と表示を典型的な物理プロセスの特性に従属させることを目指しました。したがって、材料の配置は主要なタイプの方程式に対応します。
それぞれのタイプの方程式の研究は、検討中のタイプの方程式につながる最も単純な物理問題から始まります。 問題の数学的定式化、最も単純な問題の解決策の厳密な提示、および得られた結果の物理的解釈には特に注意が払われます。 各章には、主に技術スキルの開発を目的としたタスクが含まれています。 いくつかの問題は、それ自体が物理的に興味深いものです。 各章の最後には付録があり、本文で概説されている方法を物理学やテクノロジーのさまざまな問題を解決するために適用する例と、本書で説明されている問題の範囲を超える多くの例が示されています。本文。 もちろん、そのような例の選択は大きく異なる可能性があります。
この本には、数理物理学の手法のコースに含まれる内容の一部のみが含まれています。 この本には積分方程式と変分法の理論は含まれていません。 近似的な方法が十分に提示されていません。
この本は、モスクワ州立大学物理学部で A.N. ティホノフが 10 年以上にわたって行った講義に基づいています。 これらの講義の内容の一部は、1948 年から 1949 年にかけて出版されたノートに反映されました。 提案された本では、メモの内容が拡張され、根本的に改訂されています。
私たちは、生徒たちと仕事仲間である A. B. ヴァシリエワ、V. B. グラスコ、V. I. イリン、A. V. ルキヤノフ、O. I. パニチ、B. L. ロジェストヴェンスキー、A. G. スヴェシニコフ、D.N. チェタエフに感謝の意を表す機会を与えていただきました。短時間で本の印刷を準備します。
1951年 A. チホノフ、A. サマルスキー
チホノフ A.N.、サマルスキー A.A. 数理物理の方程式。 M.-L.: Gostekhizdat、1951、660 p。
チホノフ A.N.、サマルスキー A.A. 数理物理の方程式。 第 2 版、改訂版。 M.、Gostekhizdat、1953、680 p。
ティチョノフ A.N.、サマルスキー A.A. Rovnice matematicke fysiky (数理物理の方程式) チェコスロバキア科学アカデミーの出版社。 プラハ、1955 年、42 ページ。
チホノフ A.N.、サマルスキー A.A. 数理物理の方程式。 の上 ルーマニア語。 ブカレスト、エディトゥラ・テニカ、1956 年。
チホノフ A.N.、サマルスキー A.A. 数理物理の方程式。 ハンガリー語で。 ブダペスト、科学アカデミー、1956 年。
ブダック B.M.、サマルスキー A.A.、チホノフ A.N. 数理物理学の問題集。 M.、Gostekhizdat、1956、683 p。
チホノフ A.N.、サマルスキー A.A. 数理物理の方程式（大学の物理学および数学科の教科書）。 バクー、アゼルシュペギズ、1962 年、732 ページ、- アゼルバイジャン。
ブダック B.M.、サマルスキー A.A.、チホノフ A.N. 数理物理学の問題集。 M.: ナウカ、1972 第 2 版。 47ポンド
チホノフ A.N.、サマルスキー A.A. 数理物理の方程式。 エド。 第 4 版、改訂、1972 年、46 ページ。
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