因数分解する とはどういう意味ですか? どうやってするの？ 数を素因数に分解することから何を学ぶことができますか? これらの質問に対する答えは、具体的な例で示されています。
定義:
素数とは、ちょうど 2 つの異なる約数を持つ数です。
合成数は、2 つ以上の約数を持つ数です。
自然数を因数分解するとは、自然数の積として表すことです。
自然数を素因数分解するということは、自然数を素数の積で表すということです。
ノート：
- 素数の展開において、要因の 1 つ 1に等しい、およびその他 - この番号自体に。
- ユニティを因子に分解することについて話すのは意味がありません。
- 合成数は因数に分解でき、それぞれが 1 とは異なります。
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150を素因数分解してみましょう。 たとえば、150 は 15 かける 10 です。 15は合成数です。 5 と 3 の素因数に分解できます。 10は合成数です。 5 と 2 の素因数に分解できます。 展開を 15 と 10 の代わりに素因数に書き留めると、数 150 の分解が得られました。 |
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150 という数は、別の方法で因数分解できます。 たとえば、150 は 5 と 30 の積です。 5は素数です。 30は合成数です。 10 と 3 の積として表すことができます。 10は合成数です。 5 と 2 の素因数に分解できます。 数 150 を別の方法で素因数に分解しました。 |
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1 番目と 2 番目の展開は同じであることに注意してください。 乗数の順序のみが異なります。 因数は昇順に書くのが通例です。 |
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任意の合成数は、因数の順序まで一意の方法で素因数に分解できます。 |
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分解時 大きな数字素因数には列表記を使用します。
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216 が割り切れる最小の素数は 2 です。 216 を 2 で割ります。108 になります。 |
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結果の数値 108 は 2 で割り切れます。 割り算をしましょう。 結果として 54 が得られます。 |
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2 で割り切れるかどうかのテストによれば、54 は 2 で割り切れます。 割ると27になります。 |
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27 の末尾は奇数の 7 です。 それ 2 で割り切れません。次の素数は 3 です。 27 を 3 で割ります。9 が得られます。最小の素数 9 で割り切れる数は 3 です。3 はそれ自体です。 素数、それ自体と 1 で割り切れます。 3を自分で割りましょう。 結果、1になりました。 |
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- 数は、展開の一部である素数によってのみ割り切れます。
- 数は、素因数への分解が完全に含まれている合成数によってのみ割り切れます。
例を考えてみましょう:
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4900 は素数 2、5、7 で割り切れますが (これらは 4900 の拡張に含まれます)、たとえば 13 では割り切れません。 |
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11 550 75. これは、数 75 の展開が数 11550 の展開に完全に含まれているためです。 除算の結果は、係数 2、7、および 11 の積になります。 11550 は 4 の展開に余分な 2 があるため、4 で割り切れません。 |
これらの数が次のように素因数に分解される場合、数 a を数 b で割った商を見つけます。 b=2・2・3・3・5・19
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数 b の分解は、数 a の分解に完全に含まれています。 |
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a を b で割った結果は、a の展開に残った 3 つの数の積です。 したがって、答えは 30 です。 |
参考文献
- Vilenkin N.Ya.、Zhokhov V.I.、Chesnokov A.S.、Shvartsburd S.I. 数学 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G.、Polonsky V.V.、Yakir M.S. 数学6年生。 -体育館。 2006年。
- Depman I.Ya.、Vilenkin N.Ya. 数学の教科書の裏側。 - M.: 悟り、1989 年。
- Rurukin A.N.、チャイコフスキー I.V. 数学グレード 5-6 のコースのタスク。 - M.: ZSh MEPHI、2011。
- ルルキン A.N.、ソチロフ S.V.、チャイコフスキー K.G. 数学 5-6. MEPHI通信制学校6年生向けのマニュアルです。 - M.: ZSh MEPHI、2011。
- Shevrin L.N.、Gein A.G.、Koryakov I.O.、Volkov M.V. 数学: 5 年生から 6 年生向けの対話型テキスト 高校. - M .: 教育、数学教師図書館、1989 年。
- インターネットポータルMatematika-na.ru（）。
- インターネット ポータル Math-portal.ru ().
宿題
- Vilenkin N.Ya.、Zhokhov V.I.、Chesnokov A.S.、Shvartsburd S.I. 数学 6. - M.: Mnemozina, 2012. No. 127, No. 129, No. 141.
- その他のタスク: No. 133、No. 144。
この記事では、数値をシートに因数分解することに関する質問への回答を示します。 検討 一般的なアイデア例による分解について。 分解の正規形とそのアルゴリズムを分析してみましょう。 すべての代替方法は、割り切れる記号と乗算表を使用して検討されます。
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数を素因数分解するとはどういう意味ですか?
素因数の概念を見てみましょう。 すべての素因数が素数であることは知られています。 2 7 7 23 の積には、 2 、 7 、 7 、 23 の形式の 4 つの素因数があります。
因数分解には、素数の積としての表現が含まれます。 数値 30 を分解する必要がある場合は、2、3、5 が得られます。 エントリは 30 = 2 3 5 の形式になります。 乗数を繰り返すことができる可能性があります。 144 のような数には 144 = 2 2 2 2 3 3 があります。
すべての数値が分解しやすいわけではありません。 1 より大きく、整数である数値は因数分解できます。 素数は、分解すると 1 とそれ自体でしか割り切れないため、これらの数を積として表すことはできません。
z が整数を表す場合、z を a と b で除算した場合、a と b の積として表されます。 合成数は、算術の基本定理を使用して素因数に分解されます。 数値が 1 より大きい場合、その因数分解 p 1 , p 2 , … , p n a = p 1 , p 2 , … , p n の形式を取る . 分解は単一のバリアントで想定されます。
数の素因数への正準分解
因子は、分解中に繰り返すことができます。 度を使ってコンパクトに書かれています。 数 a を分解するとき、因数 p 1 がある場合、これは s 1 回発生し、p n - s n 回発生します。 したがって、分解は次の形式になります。 a=p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. このエントリは、数の素因数への正規分解と呼ばれます。
数値 609840 を分解すると、 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 が得られ、その正規形は 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 になります。 正準展開を使用すると、数値のすべての約数とその数値を見つけることができます。
正しく因数分解するには、素数と合成数を理解する必要があります。 ポイントは、 p 1 、 p 2 、 … 、 p n の形式の除数の連続数を取得することです。 数字 a 、a 1 、a 2 、…、a n - 1、これにより、 a = p 1 a 1、ここで、a 1 \u003d a: p 1、a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2、a 2 \u003d a 1: p 2、...、a \u003d p 1 p 2 . .. ... p n a n 、ここで n = a n - 1: p n. 受け取り次第 n = 1、次に等式 a = p 1 p 2 … p n必要な数 a の素因数への分解を取得します。 気づいて、それ p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.
最小公約数を見つけるには、素数表を使用する必要があります。 これは、数値 z の最小の素約数を見つける例を使用して行われます。 2、3、5、11 などの素数を取るとき、数 z をそれらで割ります。 z は素数ではないため、最小の素約数が z より大きくならないことに注意してください。 z の約数がないことがわかります。その場合、z が素数であることは明らかです。
例 1
87という数字の例を考えてみましょう。 これを 2 で割ると、87: 2 \u003d 43 余りが 1 になります。 したがって、2 を除数にすることはできません。除算は完全に行わなければなりません。 3 で割ると 87: 3 = 29 となります。 したがって、結論 - 3 は数 87 の最小の素約数です。
素因数に分解するときは、素数の表を使用する必要があります。 95 を分解する場合、約 10 個の素数を使用する必要があり、846653 を分解する場合、約 1000 個の素数を使用する必要があります。
素因数分解アルゴリズムを考えてみましょう:
- 数の約数 p 1 で最小の因数を見つける a式 a 1 \u003d a: p 1、a 1 \u003d 1 の場合、a は素数であり、因数分解に含まれます。1 に等しくない場合、a \u003d p 1 a 1 以下のポイントに従ってください。
- a 1 の素因数 p 2 を求める a 2 = a 1: p 2 を使用して、素数を順次列挙することによって , 2 = 1のとき , 次に、展開は a = p 1 p 2 の形式を取ります , a 2 \u003d 1の場合、a \u003d p 1 p 2 a 2 , そして、次のステップに移行します。
- 素数を反復し、素約数を見つける p3数字 2式 a 3 \u003d a 2: a 3 \u003d 1 の場合の p 3 , 次に、a = p 1 p 2 p 3 が得られます。 , 1 に等しくない場合、a = p 1 p 2 p 3 a 3 次のステップに進みます。
- 素約数を見つける p n数字 n - 1による素数の列挙による p n - 1、 と n = a n - 1: p n、ここで a n = 1 、ステップは最終です。その結果、a = p 1 p 2 … p n が得られます .
アルゴリズムの結果は、分解された因子を含む表の形式で、縦棒が列に順番に表示されます。 下の図を考えてみましょう。
得られたアルゴリズムは、数値を素因数に分解することによって適用できます。
素因数分解するときは、基本的なアルゴリズムに従う必要があります。
例 2
78 を素因数分解します。
解決
最小の素約数を見つけるには、 78 内のすべての素数を列挙する必要があります。 つまり、78: 2 = 39 です。 剰余のない除算なので、これが最初の素因数であり、p 1 と表します。 a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 となります。 a = p 1 a 1 という形式の等式にたどり着きました , ここで、78 = 2 39 です。 次に a 1 = 39 、つまり、次のステップに進む必要があります。
素因数を見つけることに集中しましょう p2数字 1 = 39. 素数、つまり 39: 2 = 19 (残り 1) を整理する必要があります。 割り算には余りがあるので、2 は約数ではありません。 数字の 3 を選ぶと、39: 3 = 13 になります。 これは、p 2 = 3 が a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 による 39 の最小の素約数であることを意味します。 形式の等式を取得します a = p 1 p 2 a 2 78 = 2 3 13 の形式で。 a 2 = 13 は 1 と等しくないので、先に進みます。
数値 a 2 = 13 の最小の素約数は、 3 から始まる数値の列挙によって検出されます。 13: 3 = 4 (残り 1) が得られます。 これは、13 が 5、7、11 で割り切れないことを示しています。なぜなら、13: 5 = 2 (残り 3)、13: 7 = 1 (残り 6)、13: 11 = 1 (残り 2) だからです。 13が素数であることがわかります。 式は次のようになります: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. 3 = 1 が得られました。これは、アルゴリズムの終了を意味します。 これで、因数は 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) と書かれます。
答え： 78 = 2 3 13 .
例 3
数値 83,006 を素因数分解します。
解決
最初のステップはファクタリングです p 1 = 2と a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503、ここで 83 006 = 2 41 503 。
2 番目のステップでは、 2 、 3 、および 5 は 1 = 41503 の素約数ではなく、 41503: 7 = 5929 であるため 7 は素約数であると想定しています。 p 2 \u003d 7、a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929. 明らかに、 83 006 = 2 7 5 929 です。
数 a 3 = 847 に対する最小の素約数 p 4 を見つけるのは 7 です。 a 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121、したがって 83 006 \u003d 2 7 7 7 121 であることがわかります。
数値 a 4 = 121 の素約数を求めるには、数値 11、つまり p 5 = 11 を使用します。 次に、フォームの式を取得します a 5 \u003d a 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11、および 83 006 = 2 7 7 7 11 11 です。
番号の場合 5 = 11番号 p6 = 11は最小の素約数です。 したがって、a 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. 次に 6 = 1 です。 これは、アルゴリズムの終了を示します。 乗数は 83006 = 2 7 7 7 11 11 として書き込まれます。
答えの正規表記は、 83 006 = 2 7 3 11 2 の形式になります。
答え： 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .
例 4
897 924 289 を素因数分解します。
解決
最初の素因数を見つけるには、2 から始めて素数を繰り返します。 列挙の最後は 937 です。 次に、p 1 = 937、a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 および 897 924 289 = 937 958 297.
アルゴリズムの 2 番目のステップは、より小さい素数を列挙することです。 つまり、番号 937 から始めます。 967 は、a 1 = 958 297 の素約数であるため、素数と見なすことができます。 ここから、p 2 \u003d 967、次に 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 および 897 924 289 \u003d 937 967 991 を取得します。
3 番目のステップは、 991 以下の素約数がないため、 991 が素数であることを示しています。 根号式のおおよその値は991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . これから、p 3 \u003d 991 と a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1 であることがわかります。 数 897 924 289 の素因数への分解は、897 924 289 \u003d 937 967 991 として得られることがわかります。
答え： 897 924 289 = 937 967 991 .
素因数分解のための可分性テストの使用
数値を素因数に分解するには、アルゴリズムに従う必要があります。 小さい数の場合は、九九と割り算記号を使用できます。 これを例で見てみましょう。
例 5
10 を因数分解する必要がある場合、表には次のように表示されます: 2 5 \u003d 10. 結果の数 2 と 5 は素数なので、数 10 の素因数です。
例 6
数値 48 を分解する必要がある場合、表には次のように表示されます: 48 \u003d 6 8. しかし、6 と 8 は 6 = 2 3 と 8 = 2 4 として分解できるため、素因数ではありません。 次に、ここからの完全な分解は 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 として得られます。 標準表記は 48 = 2 4 3 の形式になります。
例 7
数 3400 を分解するときは、割り切れる記号を使用できます。 この場合、10 と 100 で割り切れる符号が関係します。 ここから、3400 \u003d 34 100 が得られます。ここで、100 は 10 で割ることができます。つまり、100 \u003d 10 10 と書きます。これは、3400 \u003d 34 10 10 を意味します。 割り切れる符号に基づいて、 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 が得られます。 すべての要因は単純です。 正準展開は次の形式を取ります 3400 = 2 3 5 2 17.
素因数を見つけるときは、割り切れる記号と乗算表を使用する必要があります。 数 75 を因数の積として表す場合、5 で割り切れるという規則を考慮する必要があります。 75 = 5 15 と 15 = 3 5 が得られます。 つまり、目的の分解は積 75 = 5 · 3 · 5 の形式の例です。
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の オンライン電卓素約数の列挙により、数値を素因数に分解します。 数値が大きい場合は、表示を簡単にするために桁区切り記号を使用してください。
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数を素因数分解する - 理論、アルゴリズム、例、および解決策
数値を因数分解する最も簡単な方法の 1 つは、指定された数値が 2、3、5 などで割り切れるかどうかを確認することです。 数値が一連の素数で割り切れるかどうかを調べます。 番号の場合 nまでのどの素数でも割り切れない場合、この数は素数です。 数が複合の場合、少なくとも 2 つの因数があり、両方が を超えることはできません。
数値分解アルゴリズムを想像してみましょう n素因数に。 あらかじめ素数表を用意しておく s=。 ～によって一連の素数を表す p 1 , p 2 , p 3 , ...
数値を素約数に分解するアルゴリズム:
例 1. 数値 153 を素因数分解します。
解決。 までの素数の表があれば十分です。 
、つまり 2、3、5、7、11。
153 を 2 で割ります。153 は 2 で割り切れず、余りがありません。 次に、素数表の次の要素で 153 を割ります。 by 3. 153:3=51. 表に記入してください：
次に、数 17 が 3 で割り切れるかどうかを調べます. 数 17 は 3 で割り切れません. 数 5, 7, 11 でも割り切れません. 次の約数は大きいです. . したがって、17 はそれ自体でしか割り切れない素数です。17:17=1 です。 手続きを中止しました。 表に記入してください：
153、51、17 が余りなく除算された約数を選択します。 からのすべての数字 右側テーブル。 これらは約数 3、3、17 です。これで、数値 153 は素数の積として表すことができます: 153=3 3 17.
例 2. 数値 137 を素因数分解します。
解決。 計算する 
. したがって、137 が 11 までの素数 (2,3,5,7,11) で割り切れるかどうかを確認する必要があります。 数 137 をこれらの数で交互に割ると、数 137 は数 2、3、5、7、11 のいずれでも割り切れないことがわかります。 したがって、137 は素数です。
1 以外のすべての自然数には、2 つ以上の約数があります。 たとえば、7 は 1 と 7 でしか割り切れず、余りはありません。つまり、2 つの約数があります。 そして、数 8 には約数 1、2、4、8、つまり、一度に 4 つの約数があります。
素数と合成数の違いは何ですか
2 つ以上の因数を持つ数は合成数と呼ばれます。 約数が 1 とその数自体の 2 つしかない数を素数と呼びます。
数 1 の除算は 1 つだけです。つまり、数そのものです。 この単位は、素数または合成数には適用されません。
- たとえば、7 は素数、8 は合成数です。
最初の 10 個の素数: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 数 2 は唯一の偶数の素数であり、他のすべての素数は奇数です。
78 は合成数です。1 とそれ自体に加えて、2 でも割り切れるからです。2 で割ると、39 になります。つまり、78 = 2 * 39 です。 そのような場合、その数は 2 と 39 で因数分解されたと言われています。
任意の合成数は、それぞれが 1 より大きい 2 つの因数に分解できます。素数では、このようなトリックは機能しません。 だからそうなるのです。
数を素因数に分解する
前述のように、合成数は 2 つの因数に分解できます。 たとえば、210 という数字を考えてみましょう。この数字は 21 と 10 の 2 つの因数に分解できます。しかし、21 と 10 は合成数でもあります。これらを 2 つの因数に分解してみましょう。 10 = 2*5、21=3*7 が得られます。 その結果、210 という数字はすでに 2、3、5、7 の 4 つの要素に分解されています。 これらの数はすでに素数であり、分解できません。 つまり、数 210 を素因数分解しました。
合成数を素因数に分解するときは、通常昇順で書きます。
合成数は素因数に分解でき、さらに順列まで独自の方法で分解できることを覚えておく必要があります。
- 通常、数を素因数に分解するときは、割り切れる符号が使用されます。
378という数を素因数分解してみましょう
縦棒で区切って数字を書いていきます。 数字 378 は 8 で終わるので、2 で割り切れます。割り算すると、数字 189 が得られます。数字 189 の桁の合計は 3 で割り切れます。つまり、数字 189 自体は 3 で割り切れます。その結果、63 が得られます。
割り切れる数に基づいて、63 も 3 で割り切れます。 21 を取得します。21 は再び 3 で割ることができ、7 を取得します。7 はそれ自体でのみ割り切れます。1 を取得します。 これで分割は完了です。 行の右側には、378 を分解した素因数があります。
378|2
189|3
63|3
21|3