有理方程式と分数有理方程式に精通し、それらの定義を示し、例を示し、最も一般的なタイプの問題を分析しましょう。
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有理式: 定義と例
合理的な表現との知り合いは、学校の8年生から始まります。 現在、代数の授業では、ノートに有理式を含む方程式を使った課題に取り組む生徒が増えています。 それが何であるかの記憶をリフレッシュしましょう。
定義 1
有理式は、両辺に有理式が含まれる方程式です。
さまざまなマニュアルで、別の表現を見つけることができます。
定義 2
有理式はそのような方程式であり、その左辺の記録には 合理的な表現、右のものはゼロです。
有理方程式に与えた定義は、同じことを意味するため、等価です。 私たちの言葉の正しさは、合理的な表現について次の事実によって確認されます。 Pと Q方程式 P=Qと P − Q = 0等式になります。
それでは例を見てみましょう。
例 1
有理方程式:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
有理方程式は、他のタイプの方程式と同様に、1 から複数までの任意の数の変数を含むことができます。 まず、方程式に変数が 1 つだけ含まれる簡単な例を見ていきます。 そして、タスクを徐々に複雑にし始めます。
有理式は、整数と分数の 2 つの大きなグループに分けられます。 各グループに適用される方程式を見てみましょう。
定義 3
有理方程式は、左部分と右部分のレコードに有理式全体が含まれている場合、整数になります。
定義 4
一方または両方の部分に分数が含まれている場合、有理方程式は分数になります。
分数有理式には必ず変数による除算が含まれているか、変数が分母に含まれています。 整数方程式を書く際にそのような区分はありません。
例 2
3×+2=0と (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5は完全な有理方程式です。 ここでは、方程式の両方の部分が整数式で表されています。
1 x - 1 = x 3 および x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5分数有理方程式です。
有理方程式全体には、一次方程式と二次方程式が含まれます。
整数方程式を解く
そのような方程式の解は、通常、同等の代数方程式への変換になります。 これは、次のアルゴリズムに従って方程式の同等の変換を実行することで実現できます。
- まず、方程式の右辺でゼロを取得します。これには、方程式の右辺にある式をその式に変換する必要があります。 左側記号を変更します。
- 次に、方程式の左側の式を標準形式の多項式に変換します。
代数方程式を取得する必要があります。 この式は、元の式と同等になります。 簡単なケースでは、方程式全体を線形または二次方程式に減らすことで問題を解決できます。 一般的なケースでは、次数の代数方程式を解きます。 n.
例 3
方程式全体の根を見つける必要があります 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
解決
それに相当する代数方程式を得るために、元の式を変換してみましょう。 これを行うには、式の右辺に含まれる式を左辺に移し、符号を反対に変更します。 その結果、次のようになります。 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
次に、左側の式を標準形式の多項式に変換し、この多項式で必要なアクションを実行します。
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
元の方程式の解を次の形式の二次方程式の解に減らすことができました。 × 2 − 5 × − 6 = 0. この方程式の判別式は正です。 D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .これは、2 つの実根があることを意味します。 二次方程式の根の式を使用してそれらを見つけてみましょう。
x \u003d - - 5 ± 49 2 1、
x 1 \u003d 5 + 7 2 または x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 または x 2 = - 1
解を求める過程で見つけた方程式の根の正しさを確認してみましょう。 受け取ったこの数値を元の方程式に代入します。 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3と 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. 最初のケースでは 63 = 63 、2番目に 0 = 0 . ルーツ x=6と x = − 1実際、例の条件で与えられた方程式の根です。
答え： 6 , − 1 .
「方程式全体の力」が何を意味するのか見てみましょう。 方程式全体を代数的な形で表現する必要がある場合に、この用語に出くわすことがよくあります。 コンセプトを定義しましょう。
定義 5
整数方程式の次数元の方程式全体に等しい代数方程式の次数です。
上記の例の方程式を見ると、この方程式全体の次数が 2 番目であることがわかります。
私たちのコースが二次方程式を解くことに限定されていた場合、トピックの考察はここで完了することができます. しかし、すべてがそれほど単純ではありません。 三次方程式を解くことは困難をはらんでいます。 そして、4次以上の方程式では、それはまったく存在しません 一般式ルーツ。 この点に関して、3 次、4 次、およびその他の次数の方程式全体を解くには、他の多くの手法や方法を使用する必要があります。
有理方程式全体を解くために最も一般的に使用されるアプローチは、因数分解法に基づいています。 この場合のアクションのアルゴリズムは次のとおりです。
- レコードの右側にゼロが残るように式を右側から左側に移します。
- 左辺の式を因子の積として表してから、いくつかの単純な方程式のセットに進みます。
方程式 (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) の解を求めます。
解決
式をレコードの右側から左側に反対の符号で移します。 (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. 左辺を標準形式の多項式に変換することは、4 次の代数方程式が得られるため、実際的ではありません。 × 4 − 12 × 3 + 32 × 2 − 16 × − 13 = 0. 変換の容易さは、そのような方程式を解く際のすべての困難を正当化するものではありません。
逆に行く方がはるかに簡単です: 共通因数を取り出します x 2 − 10 x + 13 .したがって、次の形式の方程式に到達します (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. ここで、結果の方程式を 2 つの二次方程式のセットに置き換えます。 x 2 − 10 x + 13 = 0と x 2 − 2 x − 1 = 0 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
答え： 5 + 2 3 、5 - 2 3 、1 + 2 、1 - 2 。
同様に、新しい変数を導入する方法を使用できます。 この方法により、元の方程式全体よりも低いべき乗を持つ同等の方程式に渡すことができます。
例 5
方程式に根はありますか? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
解決
ここで有理方程式全体を代数方程式に還元しようとすると、次数 4 の方程式が得られます。 有理根. したがって、別の方法に進む方が簡単です。新しい変数 y を導入して、方程式の式を置き換えます。 × 2 + 3 ×.
次に、方程式全体を処理します (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). 方程式の右辺を反対の符号で左辺に移し、必要な変換を実行します。 我々が得る： y 2 + 4 y + 3 = 0. 二次方程式の根を見つけてみましょう。 y = − 1と y = − 3.
では、逆置換を行ってみましょう。 2つの方程式が得られます x 2 + 3 x = − 1と x 2 + 3 x = - 3 . x 2 + 3 x + 1 = 0 と書き直してみましょう。 × 2 + 3 × + 3 = 0. 得られた最初の方程式 - 3 ± 5 2 の根を見つけるために、二次方程式の根の式を使用します。 2 番目の式の判別式は負です。 これは、2 番目の方程式に実根がないことを意味します。
答え：- 3 ± 5 2
方程式全体 高度タスクで頻繁に遭遇します。 それらを恐れる必要はありません。 多くの人為的な変換を含む、非標準的な解決方法を適用する準備ができている必要があります。
分数有理方程式の解
このサブトピックの考察を、 p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式を解くためのアルゴリズムから始めます。 p(x)と q(x)整数の有理式です。 他の分数有理方程式の解は、常に指定された形式の方程式の解に還元できます。
方程式 p (x) q (x) = 0 を解くために最も一般的に使用される方法は、次のステートメントに基づいています。 u v、 どこ vゼロとは異なる数値で、分数の分子がゼロに等しい場合にのみゼロに等しくなります。 上記のステートメントの論理に従って、方程式 p (x) q (x) = 0 の解は、2 つの条件の充足に還元できると断言できます。 p(x)=0と q(x) ≠ 0. これに基づいて、p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式を解くためのアルゴリズムが構築されます。
- 有理方程式全体の解を見つける p(x)=0;
- 解決中に見つかった根に対して条件が満たされているかどうかを確認します q(x) ≠ 0.
この条件が満たされている場合はルートが見つかり、そうでない場合はルートは問題の解決策ではありません。
例 6
方程式 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 の根を見つけます。
解決
p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式を扱っています。ここで、p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 です。 線形方程式を解き始めましょう 3 × - 2 = 0. この方程式の根は x = 2 3.
見つかった根が条件を満たしているか確認してみましょう 5×2 - 2 ≠ 0. これを行うには、数式に数値を代入します。 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.
条件は満たされています。 だということだ x = 2 3元の方程式の根です。
答え： 2 3 .
分数有理方程式 p (x) q (x) = 0 を解くための別のオプションがあります。 この方程式は方程式全体と等価であることを思い出してください。 p(x)=0元の方程式の変数 x の許容値の範囲について。 これにより、次のアルゴリズムを使用して方程式 p(x) q(x) = 0 を解くことができます。
- 方程式を解く p(x)=0;
- 変数 x の許容値の範囲を見つけます。
- 元の分数有理方程式の目的の根として、変数 x の許容値の領域にある根を取ります。
方程式 x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 を解きます。
解決
はじめに、決めましょう 二次方程式 x 2 − 2 x − 11 = 0. その根を計算するには、偶数秒の係数の根の式を使用します。 我々が得る D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12、および x = 1 ± 2 3 。
これで、元の方程式の x の ODV を見つけることができます。 これらはすべて、 x 2 + 3 x ≠ 0. と同じです x (x + 3) ≠ 0、ここで x ≠ 0 、 x ≠ − 3 。
ここで、解の最初の段階で得られた根 x = 1 ± 2 3 が変数 x の許容値の範囲内にあるかどうかを確認しましょう。 入ってくるものを見ます。 これは、元の分数有理方程式に 2 つの根 x = 1 ± 2 3 があることを意味します。
答え： x = 1 ± 2 3
説明されている 2 番目の解決方法 最初より簡単変数xの許容値の領域、および方程式の根を見つけるのが簡単な場合 p(x)=0不合理。 たとえば、7 ± 4 26 9 です。 根は有理数ですが、分子または分母が大きくなります。 例えば、 127 1101 と − 31 59 . これにより、状態を確認する時間を節約できます。 q(x) ≠ 0: ODZ によると、適合しないルートを除外する方がはるかに簡単です。
式の根が p(x)=0が整数の場合、 p (x) q (x) = 0 の形式の方程式を解くには、説明したアルゴリズムの最初のものを使用する方が適切です。 方程式全体の根をより速く見つける p(x)=0、それらの条件が満たされているかどうかを確認します q(x) ≠ 0、およびODZを見つけずに、方程式を解きます p(x)=0このODZで。 これは、このような場合、通常、ODZ を見つけるよりもチェックを行う方が簡単であるという事実によるものです。
例 8
式 (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 の根を見つけます。 = 0 .
解決
式全体を考慮することから始めます (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0そしてそのルーツを見つけます。 これを行うには、因数分解によって方程式を解く方法を適用します。 元の方程式は、2 x - 1 = 0、x - 6 = 0、x 2 - 5 x + 14 = 0、x + 1 = 0 の 4 つの方程式のセットと等価であり、そのうち 3 つが線形であり、 1つは正方形です。 根を見つけます: 最初の式から x = 1 2、2番目から x=6、3番目から - x \u003d 7、x \u003d - 2、4番目から - x = − 1.
得られたルートを確認してみましょう。 この場合、5 次の代数方程式を解く必要があるため、ODZ を決定するのは困難です。 式の左辺にある分数の分母がゼロにならない条件を確認しやすくなります。
次に、式の変数 x の代わりに根を代入します。 × 5 − 15 × 4 + 57 × 3 − 13 × 2 + 26 × + 112その値を計算します。
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;
6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
実行された検証により、元の分数有理方程式の根が 1 2 , 6 であり、 − 2 .
答え： 1 2 , 6 , - 2
例 9
分数有理方程式 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 の根を見つけます。
解決
方程式から始めましょう (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. そのルーツを探ってみましょう。 この方程式を二次方程式と一次方程式の組み合わせとして表現する方が簡単です 5×2 - 7× - 1 = 0と x − 2 = 0.
2 次方程式の根の式を使用して、根を見つけます。 最初の式と 2 番目の式から x = 7 ± 69 10 という 2 つの根を取得します。 x=2.
根の値を元の方程式に代入して条件を確認するのは非常に困難です。 変数 x の LPV を決定する方が簡単です。 この場合、変数 x の DPV は、条件が満たされたものを除いて、すべての数値です。 x 2 + 5 x − 14 = 0. x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ を取得します。
次に、見つかった根が x 変数の許容値の範囲に属しているかどうかを確認しましょう。
根 x = 7 ± 69 10 - が属するため、元の方程式の根であり、 x=2- 属していないため、無関係なルートです。
答え： x = 7 ± 69 10.
p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式の分子が数を含む場合を個別に調べてみましょう。 このような場合、分子にゼロ以外の数値が含まれていると、方程式には根がありません。 この数がゼロに等しい場合、方程式の根は ODZ からの任意の数になります。
例 10
分数有理方程式 - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 を解きます。
解決
方程式の左辺の分数の分子にはゼロ以外の数値が含まれているため、この方程式には根がありません。 これは、x の任意の値に対して、問題の条件で指定された分数の値がゼロに等しくならないことを意味します。
答え：根がない。
例 11
方程式 0 x 4 + 5 x 3 = 0 を解きます。
解決
分数の分子がゼロであるため、方程式の解は ODZ 変数 x からの x の任意の値になります。
次に、ODZ を定義しましょう。 すべての x 値が含まれます。 × 4 + 5 × 3 ≠ 0. 方程式の解 × 4 + 5 × 3 = 0それは 0 と − 5 、この方程式は次の方程式と等価であるため x 3 (x + 5) = 0となり、これは 2 つの方程式 x 3 = 0 と x + 5 = 0これらの根が見える場所。 許容値の望ましい範囲は任意の x であるという結論に達しましたが、例外は次のとおりです。 x=0と x = -5.
分数有理方程式 0 x 4 + 5 x 3 = 0 には無限の数の解があり、0 と - 5 以外の任意の数であることがわかります。
答え： - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
それでは、任意の形式の分数有理方程式とそれらを解く方法について話しましょう。 それらは次のように書くことができます r(x) = s(x)、 どこ 処方箋）と s(x)は有理式であり、そのうちの少なくとも 1 つは分数です。 このような方程式の解は、 p (x) q (x) = 0 の形式の方程式の解に縮小されます。
式を右辺から左辺に反対の符号で移すことによって同等の方程式を得ることができることはすでにわかっています。 これは、次の式を意味します。 r(x) = s(x)は次の式に等しい r (x) − s (x) = 0. 有理式を有理分数に変換する方法についても既に説明しました。 これのおかげで、方程式を簡単に変換できます r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) の形式の同じ有理分数に変換します。
したがって、元の分数有理方程式から移動します r(x) = s(x)を p (x) q (x) = 0 の形式の方程式に変換します。この方程式の解き方は既に学習済みです。
からの移行を行う際に注意する必要があります。 r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) = 0 へ p(x)=0変数 x の有効な値の範囲の拡張を考慮しない場合があります。
元の方程式が非常に現実的です。 r(x) = s(x)と方程式 p(x)=0変換の結果、それらは同等ではなくなります。 次に、方程式の解 p(x)=0異質なルーツを私たちに与えることができます r(x) = s(x). これに関して、いずれの場合も、上記のいずれかの方法でチェックを実行する必要があります。
トピックを簡単に学習できるように、すべての情報を一般化して、次の形式の分数有理方程式を解くアルゴリズムにしました。 r(x) = s(x):
- 式を右側から反対の符号で転送し、右側にゼロを取得します。
- 分数と多項式を使用してアクションを順次実行することにより、元の式を有理分数 p (x) q (x) に変換します。
- 方程式を解く p(x)=0;
- ODZ に属していることを確認するか、元の方程式に代入することにより、無関係な根を明らかにします。
視覚的には、一連のアクションは次のようになります。
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → ドロップアウト r o n d e r o o n s
例 12
分数有理方程式 x x + 1 = 1 x + 1 を解きます。
解決
式 x x + 1 - 1 x + 1 = 0 に移りましょう。 方程式の左辺の分数有理式を p (x) q (x) の形に変換してみましょう。
これを行うには、有理分数を共通の分母に減らし、式を単純化する必要があります。
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
方程式 - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 の根を見つけるために、方程式を解く必要があります。 − 2 × − 1 = 0. 1 つのルートを取得します x = - 1 2.
いずれかの方法でチェックを実行する必要があります。 両方を考えてみましょう。
結果の値を元の式に代入します。 -1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 が得られます。 正しい数値の等式に到達しました − 1 = − 1 . だということだ x = − 1 2元の方程式の根です。
次に、ODZ を確認します。 変数 x の許容値の範囲を定義しましょう。 これは、− 1 と 0 を除いた数の集合全体になります (x = − 1 と x = 0 の場合、分数の分母は消えます)。 入手したルート x = − 1 2 ODZ所属。 これは、元の方程式の根であることを意味します。
答え： − 1 2 .
例 13
方程式 x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x の根を見つけます。
解決
分数の有理方程式を扱っています。 したがって、アルゴリズムに従って行動します。
式を右辺から左辺に反対の符号で移動しましょう: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
必要な変換を実行しましょう: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x。
方程式にたどり着きます x=0. この方程式の根はゼロです。
このルートが元の方程式の外部ルートであるかどうかを確認してみましょう。 元の式の値を代入します: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . ご覧のとおり、結果の方程式は意味がありません。 これは、0 が余分な根であり、元の分数有理方程式には根がないことを意味します。
答え：根がない。
アルゴリズムに他の同等の変換を含めていない場合、これはそれらが使用できないことをまったく意味しません。 このアルゴリズムは普遍的ですが、制限するのではなく、支援するように設計されています。
例 14
方程式を解く 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
解決
最も簡単な方法は、与えられた分数有理方程式をアルゴリズムに従って解くことです。 しかし、別の方法があります。 考えてみましょう。
右と左の部分から7を引くと、1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24が得られます。
このことから、左辺の分母の式は次の数に等しくなければならないと結論付けることができます。 逆数つまり、 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 です。
両方の部分から引きます 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . 類推 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3、ここから 1 5 - x 2 \u003d 1 3、さらに 5 - x 2 \u003d 3、x 2 \u003d 2、x \u003d ± 2
見つかった根が元の方程式の根であるかどうかを確認するために確認してみましょう。
答え： x = ± 2
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トピックに関するプレゼンテーションとレッスン: 「有理方程式。有理方程式を解くためのアルゴリズムと例」
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無理数方程式の紹介
皆さん、二次方程式の解き方を学びました。 しかし、数学はそれらに限定されません。 今日は、有理方程式を解く方法を学びます。 有理方程式の概念は、多くの点で概念に似ています。 有理数. 数値に加えて、いくつかの変数 $x$ を導入しました。 したがって、加算、減算、乗算、除算、および整数乗の演算がある式が得られます。$r(x)$ とする 合理的な表現. このような式は、変数 $x$ の単純な多項式または多項式の比 (有理数と同様に、除算の操作が導入されています) にすることができます。
方程式 $r(x)=0$ が呼び出されます 有理式.
$p(x)$ と $q(x)$ が有理式である場合、$p(x)=q(x)$ の形式の方程式も次のようになります。 有理式.
有理方程式を解く例を考えてみましょう。
例 1方程式を解きます: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$。
解決。
すべての式を左側に移動しましょう: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
方程式の左辺が表された場合 通常の数字の場合、2 つの分数を共通の分母にします。
やってみましょう: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
$\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$ という式が得られました。
分数の分子がゼロで、分母がゼロでない場合に限り、分数はゼロになります。 次に、分子を個別にゼロに等しくし、分子の根を見つけます。
$3(x^2+2x-3)=0$ または $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
次に、分数の分母を確認しましょう: $(x-3)*x≠0$。
これらの数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、2 つの数の積はゼロに等しくなります。 次に: $x≠0$ または $x-3≠0$。
$x≠0$ または $x≠3$。
分子と分母で得られる根が一致しません。 したがって、応答として、分子の両方の根を書き留めます。
答え: $x=1$ または $x=-3$.
突然、分子の根の 1 つが分母の根と一致した場合は、除外する必要があります。 そのような根は無関係と呼ばれます！
有理方程式を解くためのアルゴリズム:
1. 方程式に含まれるすべての式は、 左側等号から。2. 方程式のこの部分を代数分数に変換します: $\frac(p(x))(q(x))=0$。
3. 結果の分子をゼロに等しくします。つまり、式 $p(x)=0$ を解きます。
4. 分母をゼロに等しくし、結果の方程式を解きます。 分母の根が分子の根と一致する場合は、それらを答えから除外する必要があります。
例 2
次の方程式を解きます: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$。
解決。
アルゴリズムのポイントに従って解いていきます。
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. 分子をゼロに等しくします: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. 分母をゼロに等しくします。
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ および $x=-1$。
根 $x=1$ の 1 つが分子の根と一致した場合、応答として書き留めません。
答え: $x=-1$.
変量法を使用して有理方程式を解くと便利です。 それを示しましょう。
例 3
方程式を解きます: $x^4+12x^2-64=0$.
解決。
代わりに $t=x^2$ を導入します。
次に、方程式は次の形式になります。
$t^2+12t-64=0$ は通常の二次方程式です。
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4ドル。
逆置換を導入しましょう: $x^2=4$ または $x^2=-16$。
最初の方程式の根は、一対の数値 $x=±2$ です。 2番目のものには根がありません。
答え: $x=±2$.
例 4
方程式を解きます: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$。
解決。
新しい変数を導入しましょう: $t=x^2+x+1$.
式は $t=\frac(15)(t+2)$ の形になります。
次に、アルゴリズムに従って行動します。
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3ドル。
4. $t≠-2$ - ルートが一致しません。
逆置換を導入します。
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
各方程式を個別に解いてみましょう。
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - いいえルーツ。
2 番目の式: $x^2+x-2=0$。
この方程式の根は、数値 $x=-2$ と $x=1$ になります。
答え: $x=-2$ と $x=1$.
例 5
方程式を解きます: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
解決。
$t=x+\frac(1)(x)$ という置換を導入します。
それから：
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ または $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
$t^2-2+t=4$ という式が得られました。
$t^2+t-6=0$.
この方程式の根は次のペアです。
$t=-3$ および $t=2$。
逆置換を導入しましょう。
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
別途決定いたします。
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
2 番目の方程式を解いてみましょう。
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
この方程式の根は数 $x=1$ です。
答え: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
独立した解決のためのタスク
方程式を解く:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
分数を含む方程式自体は難しくなく、非常に興味深いものです。 分数方程式の種類とその解き方を考えてみましょう。
分数で方程式を解く方法 - 分子の x
未知数が分子にある分数方程式が与えられた場合、解は追加の条件を必要とせず、不必要な手間をかけずに解かれます。 一般形そのような方程式は x/a + b = c で、x は未知数、a、b、c は通常の数です。
x を見つけます: x/5 + 10 = 70。
方程式を解くには、分数を取り除く必要があります。 式の各項に 5 を掛けます: 5x/5 + 5x10 = 70x5。 5x と 5 を減らし、10 と 70 を 5 倍すると、x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300 となります。
x を見つけます: x/5 + x/10 = 90。
この例は、最初の例を少し複雑にしたものです。 ここには 2 つの解決策があります。
- オプション 1: 方程式のすべての項に大きな分母、つまり 10 を掛けて分数を取り除きます: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300。
- オプション 2: 方程式の左辺を追加します。 x/5 + x/10 = 90。共通分母は 10 です。10 を 5 で割り、x を掛けると、2x になります。 10 を 10 で割って x を掛けると、x が得られます: 2x+x/10 = 90. したがって、2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300 となります。
多くの場合、x が等号の反対側にある分数方程式があります。 このような状況では、x を含むすべての分数を一方向に転送し、数字を別の方向に転送する必要があります。
- x を見つけます: 3x/5 = 130 - 2x/5.
- 2x/5 を反対の符号で右に移動します: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- 5x/5 を減らすと、x = 130 になります。
分数を含む方程式の解き方 - 分母に x
このタイプの分数方程式では、追加の条件を記述する必要があります。 これらの条件の表示は、正しい決定の必須かつ不可欠な部分です。 それらを帰属させないことにより、答えが（たとえそれが正しいとしても）単純にカウントされない可能性があるため、リスクを冒すことになります.
x を分母とする分数方程式の一般的な形式は次のとおりです。a/x + b = c、x は未知数、a、b、c は通常の数です。 x は任意の数値ではないことに注意してください。 たとえば、0 で割ることはできないため、x をゼロにすることはできません。 これが 追加条件、指定する必要があります。 これは許容値の範囲と呼ばれ、省略して ODZ と呼ばれます。
x を見つけます: 15/x + 18 = 21.
すぐに x の ODZ を書きます: x ≠ 0. ODZ が示されているので、標準スキームに従って方程式を解き、分数を取り除きます。 式のすべての項に x を掛けます。 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
多くの場合、分母に x だけでなく、足し算や引き算などの他の演算も含まれる方程式があります。
x を求めます: 15/(x-3) + 18 = 21.
分母がゼロに等しくないことは既にわかっています。つまり、x-3 ≠ 0 です。-3 を右辺に移し、「-」記号を「+」に変更すると、x ≠ 3 になります。ODZ は次のとおりです。示された。
方程式を解き、すべてに x-3 を掛けます: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.
x を右に、数字を左に移動します: 24 = 3x => x = 8.
これまでのところ、未知数に関する整数方程式、つまり分母 (存在する場合) に未知数が含まれていない方程式のみを解きました。
多くの場合、分母に未知数を含む方程式を解かなければなりません。このような方程式は分数方程式と呼ばれます。
この方程式を解くには、その両辺に未知数を含む多項式を掛けます。 新しい方程式は与えられたものと同等でしょうか? 質問に答えるために、この方程式を解いてみましょう。
その両辺に を掛けると、次のようになります。
この一次方程式を解くと、次のことがわかります。
したがって、式 (2) の根は 1 つです。
これを式 (1) に代入すると、次のようになります。
したがって、 も式 (1) の根です。
式 (1) には他の根はありません。 この例では、これは、たとえば式 (1) の事実からわかります。
未知の除数が被除数 1 を商 2 で割った値に等しくなければならない方法、つまり
そのため、式 (1) と (2) は根が 1 つなので、等価です。
2. 次の方程式を解きます。
最も単純な共通分母: ; 方程式のすべての項にそれを掛けます。
削減後、次のようになります。
括弧を展開しましょう：
同様の用語を持ち込むと、次のようになります。
この方程式を解くと、次のことがわかります。
式 (1) に代入すると、次のようになります。
左側は意味不明な表現をいただきました。
したがって、式（1）の根はそうではありません。 これは、式 (1) と が等価ではないことを意味します。
この場合、式 (1) は余分な根を獲得したと言えます。
方程式 (1) の解を、以前に検討した方程式の解と比較してみましょう (§ 51 を参照)。 この方程式を解くには、これまでにない 2 つの操作を実行する必要がありました。最初に、方程式の両辺に未知数 (共通分母) を含む式を掛け、次に、以下を含む因数で代数分数を簡約します。不明。
式 (1) を式 (2) と比較すると、式 (2) に有効なすべての x 値が式 (1) に有効であるとは限らないことがわかります。
式 (1) の未知数の許容値ではないのは数値 1 と 3 であり、変換の結果、式 (2) で許容されるようになりました。 これらの数値の 1 つが方程式 (2) の解であることが判明しましたが、もちろん、方程式 (1) の解ではありません。 式 (1) には解がありません。
この例は、方程式の両方の部分に未知数を含む係数を掛ける場合、および代数分数を簡約する場合、与えられた方程式と等価ではない方程式が得られる可能性があることを示しています。
したがって、次の結論を導き出します。 分母に未知数を含む方程式を解く場合、結果の根は元の方程式に代入してチェックする必要があります。 余分な根は捨てなければなりません。
§ 1 全体と分数の有理方程式
このレッスンでは、有理方程式、有理式、整数式、分数式などの概念を分析します。 有理方程式の解を考えてみましょう。
有理方程式は、左辺と右辺が有理式である方程式です。
有理式は次のとおりです。
分数。
整数式は、ゼロ以外の数値による加算、減算、乗算、および除算の操作を使用して、数値、変数、整数乗で構成されます。
例えば：
の 分数式変数による除算または変数を使用した式があります。 例えば：
分数式は、それに含まれる変数のすべての値に対して意味があるわけではありません。 たとえば、式
x = -9 では意味がありません。x = -9 では分母がゼロになるからです。
これは、有理式が整数にも分数にもなり得ることを意味します。
整数有理方程式は、左辺と右辺が整数式である有理方程式です。
例えば：
分数有理方程式は、左辺または右辺のいずれかが分数式である有理方程式です。
例えば：
§ 2 有理方程式全体の解
有理方程式全体の解を考えてみましょう。
例えば：
方程式の両辺に、それに含まれる分数の分母の最小公倍数を掛けます。
このため：
1. 分母 2、3、6 の共通分母を見つけます。これは 6 に等しくなります。
2. 分数ごとに追加因子を見つけます。 これを行うには、共通分母 6 を各分母で割ります。
分数の追加乗数
分数の追加乗数
3. 分数の分子に、それらに対応する追加の係数を掛けます。 したがって、式が得られます
これは、この方程式と等価です
左側の括弧を開き、右側の部分を左側に移動して、転送中の用語の符号を反対に変更しましょう。
多項式の同様の項を与えて、
方程式が線形であることがわかります。
これを解くと、x = 0.5 であることがわかります。
§ 3 分数有理方程式の解
分数有理方程式の解を考えてみましょう。
例えば：
1. 方程式の両辺に、それに含まれる有理分数の分母の最小公約数を掛けます。
分母 x + 7 と x - 1 の共通分母を見つけます。
これは、それらの積 (x + 7) (x - 1) に等しくなります。
2. 有理分数ごとに加法を求めましょう。
これを行うには、共通分母 (x + 7) (x - 1) を各分母で割ります。 分数の追加乗数
x - 1 に等しい
分数の追加乗数
x+7 に等しい。
3. 分数の分子に対応する追加の因数を掛けます。
式 (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7) が得られます。これは、この式と同等です。
4.二項式に二項式を左右に掛けると、次の式が得られます。
5.右部分を左に転送し、反対に転送するときに各用語の符号を変更します。
6. 多項式の同様のメンバーを提示します。
7. 両方の部分を -1 で割ることができます。 次の二次方程式が得られます。
8.解決したら、ルーツを見つけます
式から
左部分と右部分は分数式で、分数式では変数の値によっては分母が消失する場合があるため、x1とx2が見つかったときに共通分母が消失しないかどうかを確認する必要があります。
x = -27 では共通分母 (x + 7)(x - 1) はゼロにならず、x = -1 では共通分母もゼロではありません。
したがって、根 -27 と -1 の両方が方程式の根です。
分数有理方程式を解くときは、許容値の領域をすぐに示す方がよいでしょう。 共通分母がゼロになる値を削除します。
分数有理方程式を解く別の例を考えてみましょう。
たとえば、方程式を解いてみましょう
式の右辺の分数の分母を因数分解します
方程式を得る
分母 (x - 5)、x、x (x - 5) の共通分母を見つけます。
x(x-5)という式になります。
次に、方程式の許容値の範囲を見つけてみましょう
これを行うには、共通分母をゼロ x (x - 5) \u003d 0 と見なします。
x \u003d 0またはx \u003d 5で、共通の分母が消えることがわかります。
したがって、x = 0 または x = 5 を方程式の根にすることはできません。
これで、追加の乗数を見つけることができます。
有理分数の追加乗数
分数の追加乗数
(x - 5) になります。
および分数の追加係数
分子に対応する追加の係数を掛けます。
式 x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) が得られます。
左右の括弧を開けて、x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
移動する用語の符号を変更して、用語を右から左に移動してみましょう。
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
そして、同様の項を持ち込んだ後、二次方程式 x2 - 3x - 10 \u003d 0 が得られます。それを解くと、根 x1 \u003d -2 が見つかります。 x2 = 5。
しかし、x = 5 で共通分母 x(x - 5) がゼロになることは既にわかっています。 したがって、方程式の根
x = -2 になります。
§4 簡単な要約レッスン
覚えておくべき重要事項:
分数有理方程式を解くときは、次のことを行う必要があります。
1. 方程式に含まれる分数の共通分母を見つけます。 また、分数の分母が因数分解できる場合は、分数を因数分解してから公分母を求めます。
2. 方程式の両辺に共通の分母を掛けます。追加の因数を見つけ、分子に追加の因数を掛けます。
3. 結果の方程式全体を解きます。
4. 共通分母をゼロにするものを根から除外します。
使用された文献のリスト:
- Makarychev Yu.N.、N.G. Mindyuk、Neshkov K.I.、Suvorova S.B. / Telyakovsky S.A.の編集の下で 代数：教科書。 8セル用。 一般教育 機関。 - M.: 教育、2013 年。
- Mordkovich A.G. 代数。 グレード 8: 2 部構成。 パート 1: Proc. 一般教育用 機関。 - M.: ムネモシュネ。
- るるきんA.N. 代数の授業展開: 8 年生. - M .: VAKO, 2010.
- 代数グレード 8: 授業計画教科書Yu.Nによると。 Makarycheva、N.G. Mindyuk、K.I. Neshkova、S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. アファナシエフ、LA タピリナ。 - ヴォルゴグラード: 教師、2005 年。