接線の定義。基本的な三角関数の恒等式、その定式化と導出

この記事では贈り方を紹介します 三角法における角度と数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義。ここでは、表記法について説明し、記入例を示し、図解を示します。結論として、三角法と幾何学におけるサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義の間に類似点を描きましょう。

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サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義

学校の数学の授業でサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの概念がどのように形成されるかを見てみましょう。幾何学のレッスンでは、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義が与えられます。そしてその後、回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントと数について説明する三角法が研究されます。これらすべての定義を示し、例を挙げ、必要なコメントを加えましょう。

直角三角形の鋭角

幾何学のコースから、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義がわかりました。それらは直角三角形の辺の比率として与えられます。それらの公式を与えてみましょう。

意味。

直角三角形の鋭角の正弦斜辺の反対側の比率です。

意味。

直角三角形の鋭角の余弦隣接する脚と斜辺の比率です。

意味。

直角三角形の鋭角の接線– これは、反対側と隣接する側の比率です。

意味。

直角三角形の鋭角の余接- これは、隣接する側と反対側の比率です。

ここでは、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの指定 (それぞれ sin、cos、tg、ctg) も導入されています。

たとえば、ABC の場合、直角三角形が直角 C の場合、鋭角 A の正弦は、斜辺 AB に対する反対側 BC の比に等しくなります。つまり、sin∠A=BC/AB となります。

これらの定義を使用すると、直角三角形の辺の既知の長さからだけでなく、鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を計算できます。既知の値サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、および一方の辺の長さを使用して、もう一方の辺の長さを求めます。たとえば、直角三角形で脚 AC が 3 に等しく、斜辺 AB が 7 に等しいことがわかっている場合、定義に従って鋭角 A の余弦の値を計算できます: cos∠A=AC/ AB=3/7。

回転角度

三角法では、角度をより広く見るようになり、回転角の概念が導入されます。鋭角とは異なり、回転角の大きさは 0 ～ 90 度に限定されず、回転角は度単位 (およびラジアン単位) で -∞ ～ +∞ の実数で表すことができます。

この観点から、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は鋭角ではなく、任意の大きさの角度、つまり回転角で与えられます。それらは、点 A 1 の x 座標と y 座標によって与えられます。いわゆる開始点 A(1, 0) は、直交デカルト座標系の始点である点 O を中心に角度 α だけ回転した後に到達します。そして単位円の中心。

意味。

回転角の正弦αは点Ａ１の縦座標、すなわちｓｉｎα＝ｙである。

意味。

回転角の余弦αは点A 1 の横座標、つまりcosα=xと呼ばれます。

意味。

回転角の正接αは、点A 1 の縦座標とその横座標の比、すなわち、tanα=y/xである。

意味。

回転角の余接αは、点A 1 の横座標とその縦座標の比、すなわち、ctgα=x/yである。

サインとコサインは、開始点を角度 α だけ回転することによって得られる点の横座標と縦座標を常に決定できるため、任意の角度 α に対して定義されます。ただし、接線と余接はどの角度に対しても定義されていません。接線は、開始点がゼロの横座標 (0, 1) または (0, −1) の点に向かう角度 α に対して定義されておらず、これは角度 90°+180° k、k∈Z (π) で発生します。 /2+π・k rad)。実際、そのような回転角度では、式 tgα=y/x は意味を持ちません。これは、ゼロによる除算が含まれるためです。コタンジェントについては、始点が縦座標ゼロの点 (1, 0) または (−1, 0) に向かう角度 α については定義されておらず、これは角度 180° k, k ∈Z で発生します。 (π・k rad)。

したがって、サインとコサインは任意の回転角度に対して定義され、タンジェントは 90°+180°k、k∈Z (π/2+πk rad) を除くすべての角度に対して定義され、コタンジェントは 180° ·k を除くすべての角度に対して定義されます。、ｋ∈Ｚ（π・ｋラジアン）。

定義には、すでに知られている sin、cos、tg、ctg の指定が含まれています。また、回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを指定するためにも使用されます (タンジェントとコタンジェントに対応する Tan と cot の指定が見つかる場合もあります)。。したがって、回転角 30 度の正弦は sin30° と書くことができ、エントリ tg(-24°17') と ctgα は、回転角 -24 度 17 分の正接と回転角 α の余接に対応します。。角度のラジアン単位を書くとき、「rad」という指定が省略されることが多いことを思い出してください。たとえば、3 π rad の回転角の余弦は、通常、cos3・πと表されます。

この点の結論として、回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについて話すとき、「回転角度」という語句や「回転」という言葉が省略されることが多いことに注意してください。つまり、通常、「回転角アルファのサイン」という表現の代わりに、「アルファ角のサイン」、またはさらに短い「サインアルファ」という表現が使用されます。コサイン、タンジェント、コタンジェントについても同様です。

また、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、0 度から 90 度の範囲の回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについての定義と一致しているとも言えます。私たちはこれを正当化します。

数字

意味。

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント t は、回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント (t ラジアン単位) にそれぞれ等しい数値です。

たとえば、定義上、数値 8 · π のコサインは、8 · π ラジアンの角度のコサインに等しい数値です。また、8・π rad の角度のコサインは 1 に等しいため、数値 8・π のコサインは 1 に等しくなります。

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを決定する別のアプローチがあります。それは、各実数 t が直交座標系の原点を中心とする単位円上の点に関連付けられ、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントがこの点の座標を通じて決定されるという事実にあります。これをさらに詳しく見てみましょう。

実数と円上の点との間に対応関係がどのように確立されるかを示しましょう。

数値 0 には開始点 A(1, 0) が割り当てられます。
正数 t は単位円の点に関連付けられており、開始点から反時計回りに円に沿って移動し、長さ t のパスを歩くと到達します。
負の数 t は単位円上の点に関連付けられており、開始点から時計回りに円に沿って移動し、長さ |t| のパスを歩くと、その点に到達します。。

次に、数値 t のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に移ります。数値ｔが円Ａ１（ｘ，ｙ）上の点に対応すると仮定する（例えば、数値π２は点Ａ１（０，１）に対応する）。

意味。

数値の正弦 t は、数値 t に対応する単位円上の点の縦座標、つまり sint=y です。

意味。

数値のコサイン t は、数 t に対応する単位円の点の横座標、つまりコスト = x と呼ばれます。

意味。

数値の正接 t は、番号 t に対応する単位円上の点の縦軸と横軸の比、つまり、tgt=y/x です。別の同等の公式では、数値 t のタンジェントは、この数値のサインとコサインの比、つまり tgt=sint/cost になります。

意味。

数のコタンジェント t は、数値 t に対応する単位円上の点の横座標と縦座標の比、つまり ctgt=x/y です。別の定式化は次のとおりです。数値 t の正接は、数値 t の余弦と数値 t の正弦の比です: ctgt=cost/sint。

ここで、今与えられた定義がこの段落の冒頭で与えられた定義と一致していることに注意してください。実際、数ｔに対応する単位円上の点は、始点を角度ｔラジアンだけ回転させた点と一致する。

この点を明確にする価値は依然としてある。 sin3 というエントリがあるとします。数字の 3 の正弦について話しているのか、それとも 3 ラジアンの回転角の正弦について話しているのかをどのように理解すればよいでしょうか? これは通常、文脈から明らかですが、そうでない場合は、基本的に重要ではない可能性があります。

角度および数値引数の三角関数

前の段落で与えられた定義によれば、各回転角 α は、非常に特定の値 sinα および値 cosα に対応します。なお、90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) 以外のすべての回転角度は tgα 値に対応し、180°k, k∈Z (πk rad) 以外の値は - 値に対応します。 ctgαの。したがって、sinα、cosα、tanα、ctgα は角度 α の関数です。言い換えれば、これらは角度引数の関数です。

数値引数の関数サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても同様に話すことができます。実際、各実数 t は、コストだけでなく非常に特定の値 sint に対応します。また、π/2+π・k,k∈Z以外の数値は値tgtに、数値π・k,k∈Z-値はctgtに対応します。

関数はサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントと呼ばれます。 基本的な三角関数.

通常、角度引数の三角関数を扱っているのか、それとも数値引数の三角関数を扱っているのかは、文脈から明らかです。それ以外の場合は、独立変数を角度の尺度 (角度引数) と数値引数の両方として考えることができます。

しかし、学校では主に数値関数、つまり引数とそれに対応する関数値が数値である関数を学習します。したがって、特に関数について話している場合は、三角関数を数値引数の関数として考えることをお勧めします。

幾何学と三角法の定義の関係

回転角 α が 0 ～ 90 度の範囲であると考えると、三角法の文脈における回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、三角関数のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と完全に一致します。幾何学のコースで与えられる直角三角形の鋭角。これを正当化しましょう。

直交デカルト座標系 Oxy で単位円を描いてみましょう。開始点 A(1, 0) をマークしましょう。これを 0 ～ 90 度の範囲の角度 α だけ回転させて、点 A 1 (x, y) を取得します。点 A 1 から Ox 軸への垂線 A 1 H を落としてみましょう。

直角三角形では、角度 A 1 OH が回転角 α に等しく、この角度に隣接する脚 OH の長さが点 A 1 の横座標、つまり |OH に等しいことが簡単に分かります。 |=x、角度と反対側の足の長さ A 1 H は点 A 1 の縦軸に等しく、つまり |A 1 H|=y、斜辺 OA 1 の長さは 1 に等しい。それは単位円の半径だからです。次に、幾何学からの定義により、直角三角形 A 1 OH の鋭角 α の正弦は、斜辺に対する反対側の脚の比に等しくなります。つまり、sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y。そして、三角法の定義により、回転角αの正弦は点Ａ１の縦座標に等しい、すなわち、ｓｉｎα＝ｙである。これは、直角三角形の鋭角の正弦を求めることは、α が 0 ～ 90 度の場合の回転角 α の正弦を求めることと同等であることを示しています。

同様に、鋭角 α のコサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、回転角 α のコサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と一致していることがわかります。

参考文献。

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三角法は、三角関数と幾何学における三角関数の使用を研究する数学科学の分野です。三角法の発展は古代ギリシャに始まりました。中世には、中東とインドの科学者がこの科学の発展に重要な貢献をしました。

この記事では、三角法の基本的な概念と定義について説明します。基本的な三角関数、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義について説明します。それらの意味は、幾何学の文脈で説明され、図示されます。

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当初、角度を引数とする三角関数の定義は直角三角形の辺の比で表現されていました。

三角関数の定義

角度のサイン (sin α) は、この角度の反対側の脚と斜辺の比です。

角度の余弦 (cos α) - 斜辺に対する隣接する脚の比率。

角度正接 (t g α) - 隣接する側に対する反対側の比。

角度コタンジェント (ct g α) - 隣接する辺と反対側の辺の比。

これらの定義は直角三角形の鋭角に対して与えられています。

例を挙げてみましょう。

直角 C を持つ三角形 ABC では、角度 A の正弦は脚 BC と斜辺 AB の比に等しくなります。

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義により、三角形の辺の既知の長さからこれらの関数の値を計算できます。

覚えておくことが重要です!

サインとコサインの値の範囲は-1から1です。つまり、サインとコサインは-1から1の値を取ります。タンジェントとコタンジェントの値の範囲は数直線全体であり、つまり、これらの関数は任意の値を取ることができます。

上記の定義は鋭角に適用されます。三角法では、回転角の概念が導入されます。回転角の値は、鋭角とは異なり、0 ～ 90 度に限定されません。度またはラジアン単位の回転角は、- ∞ から + ∞ までの実数で表されます。。

この文脈では、任意の大きさの角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを定義できます。デカルト座標系の原点を中心とする単位円を想像してみましょう。

座標 (1, 0) の初期点 A は、単位円の中心の周りを一定の角度 α だけ回転し、点 A 1 に進みます。定義は点 A 1 (x, y) の座標に関して与えられます。

回転角のサイン(sin)

回転角αの正弦は点Ａ１（ｘ，ｙ）の縦座標である。 sin α = y

回転角の余弦(cos)

回転角αの余弦は、点Ａ１（ｘ、ｙ）の横座標である。 cosα = x

回転角の正接(tg)

回転角αの正接は、点Ａ１（ｘ、ｙ）の縦座標とその横座標との比である。 t g α = y x

回転角のコタンジェント(ctg)

回転角αの余接は、点Ａ１（ｘ、ｙ）の横座標とその縦座標との比である。 c t g α = xy

サインとコサインはあらゆる回転角度に対して定義されます。回転後の点の横座標と縦座標は任意の角度で決定できるため、これは論理的です。接線と余接では状況が異なります。回転後の点が横軸ゼロ (0, 1) および (0, - 1) の点に移動する場合、接線は定義されません。このような場合、タンジェント t g α = y x の式は、ゼロによる除算を含むため、単純に意味がありません。コタンジェントでも状況は同様です。違いは、点の縦座標がゼロになる場合にはコタンジェントが定義されないことです。

覚えておくことが重要です!

サインとコサインは任意の角度 α に対して定義されます。

接線は、α = 90° + 180° k、k ∈ Z (α = π 2 + π k、k ∈ Z) を除くすべての角度に対して定義されます。

コタンジェントは、α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) を除くすべての角度に対して定義されます。

実践例を解くときは「回転角αのサイン」とは言わないでください。「回転角度」という言葉は単純に省略されており、何が議論されているかが文脈からすでに明らかであることを示唆しています。

数字

回転角度ではなく、数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義についてはどうでしょうか?

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント tは、それぞれ、sin、cos、tangent、cotangent に等しい数値です。 tラジアン。

たとえば、数値 10 π のサインは、回転角 10 π rad のサインと等しくなります。

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを決定する別のアプローチがあります。もう少し詳しく見てみましょう。

任意の実数 t単位円上の点は、直交デカルト座標系の原点の中心に関連付けられます。サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、この点の座標によって決定されます。

円上の始点は、座標 (1, 0) の点 A です。

正数 t

負の数 tは、開始点が円の周りを反時計回りに移動してパス t を通過する場合に到達する点に対応します。

数値と円上の点の関係が確立されたので、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に進みます。

t のサイン (sin)

数値の正弦 t- 数値に対応する単位円上の点の縦座標 t. sin t = y

t の余弦 (cos)

数値の余弦 t- 数値に対応する単位円の点の横座標 t. コスト = x

t の正接 (tg)

数値の正接 t- 数値に対応する単位円上の点の縦軸と横軸の比 t. t g t = y x = sin t コスト t

最新の定義は、この段落の冒頭に示した定義に従っており、矛盾しません。数字に対応する円上の点 t、開始点が角度を変えた後に向かう点と一致します。 tラジアン。

角度および数値引数の三角関数

角度 α の各値は、この角度のサインおよびコサインの特定の値に対応します。 α = 90 ° + 180 ° k 以外のすべての角度 α と同様に、k ∈ Z (α = π 2 + π k、k ∈ Z) は特定の正接値に対応します。上で述べたように、コタンジェントは、α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) を除くすべての α に対して定義されます。

sin α、cos α、t g α、c t g α は角度アルファの関数、または角度引数の関数であると言えます。

同様に、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても数値引数の関数として説明できます。あらゆる実数 t数値のサインまたはコサインの特定の値に対応します t。 π 2 + π · k、k ∈ Z 以外のすべての数値は正接値に対応します。同様に、コタンジェントは、π · k、k ∈ Z を除くすべての数値に対して定義されます。

三角法の基本関数

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは基本的な三角関数です。

通常、三角関数のどの引数 (角度引数または数値引数) を扱っているかは、文脈から明らかです。

最初に示した定義と、0 ～ 90 度の範囲にあるアルファ角度に戻りましょう。サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの三角関数の定義は、直角三角形のアスペクト比によって与えられる幾何学的な定義と完全に一致しています。それを見せてみましょう。

直交デカルト座標系の中心を持つ単位円を考えてみましょう。始点 A (1, 0) を最大 90 度回転し、その結果の点 A 1 (x, y) から横軸に垂線を引きます。結果として得られる直角三角形では、角度 A 1 O H は回転角 α に等しく、脚の長さ OH は点 A 1 (x, y) の横座標に等しくなります。角度の反対側の足の長さは点 A 1 (x, y) の縦座標に等しく、斜辺の長さは単位円の半径であるため 1 に等しくなります。

幾何学の定義によれば、角度αの正弦は斜辺の反対側の比に等しい。

sin α = A 1 HO A 1 = y 1 = y

これは、アスペクト比を通じて直角三角形の鋭角の正弦を決定することは、回転角 α の正弦を決定することと等価であり、α は 0 ～ 90 度の範囲にあることを意味します。

同様に、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても定義の対応を示すことができます。

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点Aを中心にします。
α はラジアンで表される角度です。

タンジェント ( タンα) は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数で、反対側の脚の長さの比 |BC| に等しくなります。隣接する脚の長さ |AB| 。

コタンジェント ( ctgα) は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数で、隣接する脚の長さの比 |AB| に等しくなります。反対側の脚の長さ |BC| 。

正接

どこ n- 全体。

西洋の文献では、タンジェントは次のように表されます。
.
;
;
.

正接関数のグラフ、y = Tan x

コタンジェント

どこ n- 全体。

西洋の文献では、コタンジェントは次のように表されます。
.
次の表記も使用できます。
;
;
.

コタンジェント関数のグラフ、y = ctg x

正接と余接の性質

周期性

関数 y = tgxそしてy = ctgx周期πで周期的です。

パリティ

タンジェント関数とコタンジェント関数は奇数です。

定義と値の領域、増加、減少

タンジェント関数とコタンジェント関数は、定義領域内で連続です (連続性の証明を参照)。タンジェントとコタンジェントの主なプロパティを表に示します ( n- 全体）。

	y = tgx	y = ctgx
範囲と継続性
値の範囲	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
増加中		-
降順	-
エクストリーム	-	-
ゼロ、y = 0
縦軸との交点、x = 0	y = 0	-

数式

サインとコサインを使った式

; ;
; ;
;

和と差からの正接と余接の公式

残りの式は簡単に入手できます。たとえば、

接線の積

接線の和と差の公式

この表は、引数の特定の値に対する正接と余接の値を示しています。

複素数を使った式

双曲線関数による式

;
;

デリバティブ

; .

.
関数の変数 x に関する n 次微分:
.
接線の公式を導出する > > > ; コタンジェントの場合 > > >

積分

シリーズ展開

タンジェントの x 乗の展開を取得するには、次の展開のいくつかの項を取得する必要があります。パワーシリーズ関数用罪×そして cosxこれらの多項式を互いに除算します。これにより、次の式が生成されます。

で。

で。
どこ Bn- ベルヌーイ数。それらは、次のいずれかの漸化関係から決定されます。
;
;
どこ。
または、ラプラスの公式によれば、次のようになります。

逆関数

タンジェントとコタンジェントの逆関数は、それぞれアークタンジェントとアークコタンジェントです。

逆正接、arctg

、どこ n- 全体。

逆余接、arctg

、どこ n- 全体。

参考文献:
で。ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。
G. コーン、科学者および技術者のための数学ハンドブック、2012 年。

角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何かは、直角三角形を理解するのに役立ちます。

直角三角形の辺を何といいますか? そうです、斜辺と脚です。斜辺は直角の反対側にある辺です (この例では、これは辺 \(AC\) です)。脚は残りの 2 つの辺 \(AB\) と \(BC\) (直角に隣接する辺) であり、角度 \(BC\) に対して脚を考慮すると、脚 \(AB\) は次のようになります。隣接する脚、脚 \(BC\) は反対側です。それでは、角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何ですか?という質問に答えましょう。

角度の正弦– これは、斜辺に対する反対側 (遠い) 脚の比率です。

私たちの三角形では:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

角度の余弦– これは、斜辺に対する隣接する (近い) 脚の比率です。

私たちの三角形では:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

角度の正接– これは、反対側 (遠い側) と隣接する側 (近い側) の比率です。

私たちの三角形では:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

角度の余接– これは、隣接する (近い) 脚と反対側 (遠い) 脚の比率です。

私たちの三角形では:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

これらの定義は必要です 覚えて！どの脚を何に分割するかを覚えやすくするには、次のことを明確に理解する必要があります。正接そして コタンジェント脚だけが座っており、斜辺はのみに現れます。 副鼻腔そして余弦。そして、一連の連想を思いつくことができます。たとえば、これは次のとおりです。

コサイン→タッチ→タッチ→隣接。

コタンジェント→タッチ→タッチ→隣接。

まず第一に、三角形の辺の比率は、(同じ角度での) これらの辺の長さに依存しないため、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを覚えておく必要があります。信じないで？次に、画像を見て確認してください。

たとえば、角度 \(\beta \) の余弦を考えてみましょう。定義により、三角形 \(ABC\) から: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)ですが、三角形 \(AHI \) から角度 \(\beta \) の余弦を計算できます。 \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \)。ご覧のとおり、辺の長さは異なりますが、1 つの角度の余弦の値は同じです。したがって、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は角度の大きさのみに依存します。

定義を理解したら、先に進んでそれらを統合してください。

下の図に示されている三角形 \(ABC \) について、次のことがわかります。 \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

さて、わかりましたか？それから、自分で試してみてください。角度 \(\beta \) についても同じことを計算してください。

答え: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

単位（三角関数）円

度やラジアンの概念を理解して、半径が \(1\) に等しい円について考えました。このようなサークルをこう呼びます シングル。三角関数を勉強するときにとても役立ちます。したがって、もう少し詳しく見てみましょう。

ご覧のとおり、この円はデカルト座標系で構築されています。円の半径は 1 に等しく、円の中心は座標の原点にあり、動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿って固定されます (この例では、は半径 \(AB\)) です。

円上の各点は、 \(x\) 軸に沿った座標と \(y\) 軸に沿った座標という 2 つの数値に対応します。これらの座標番号は何ですか? そして一般的に、彼らは目の前の話題と何の関係があるのでしょうか？これを行うには、考慮された直角三角形について覚えておく必要があります。上の図では、2 つの完全な直角三角形が見えます。三角形 \(ACG\) について考えてみましょう。 \(CG\) は \(x\) 軸に垂直であるため、長方形になります。

三角形 \(ACG \) から \(\cos \ \alpha \) は何ですか? それは正しい \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \)。さらに、 \(AC\) は単位円の半径であることがわかり、これは \(AC=1\) を意味します。この値をコサインの式に代入してみましょう。何が起こるかというと、次のとおりです。

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

三角形 \(ACG \) からの \(\sin \ \alpha \) は何に等しいでしょうか? もちろん、 \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)！半径 \(AC\) の値をこの式に代入すると、次のようになります。

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

では、その円に属する点 \(C\) がどの座標にあるかわかるでしょうか。まあ、まさか？ \(\cos \ \alpha \) と \(\sin \alpha \) が単なる数字だと気づいたらどうなるでしょうか? \(\cos \alpha \) はどの座標に対応しますか? もちろん、座標 \(x\) です。 \(\sin \alpha \) はどの座標に対応するのでしょうか? そう、\(y\) の座標です。それでポイントは \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

では、\(tg \alpha \) と \(ctg \alpha \) は何に等しいのでしょうか? そうです、タンジェントとコタンジェントの対応する定義を使用して、それを取得しましょう \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \)、A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

角度がもっと大きかったらどうなるでしょうか？たとえば、この図のように:

この例では何が変わったのでしょうか? それを理解しましょう。これを行うには、もう一度直角三角形に戻りましょう。直角三角形 \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : 角度 (角度 \(\beta \) に隣接するもの) を考えてみましょう。角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は何ですか? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? そうです、三角関数の対応する定義に従います。

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(配列) \)

ご覧のとおり、角度のサインの値は依然として座標 \(y\) に対応しています。角度の余弦の値 - 座標 \(x\) ; そして、対応する比率のタンジェントとコタンジェントの値。したがって、これらの関係は動径ベクトルのあらゆる回転に適用されます。

動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿っていることはすでに述べました。ここまではこのベクトルを反時計回りに回転させてきましたが、時計回りに回転させたらどうなるでしょうか? 特別なことは何もありません。特定の値の角度も得られますが、それはマイナスになるだけです。したがって、動径ベクトルを反時計回りに回転すると、次のようになります。 正の角度、時計回りに回転すると – ネガティブ。

したがって、円の周りの動径ベクトルの全回転は \(360()^\circ \) または \(2\pi \) であることがわかります。半径ベクトルを \(390()^\circ \) または \(-1140()^\circ \) だけ回転させることは可能ですか? もちろん、できますよ！最初のケースでは、 \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)したがって、動径ベクトルは 1 回転し、 \(30()^\circ \) または \(\dfrac(\pi )(6) \) の位置で停止します。

2 番目のケースでは、 \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)つまり、動径ベクトルは 3 になります。フル回転そして位置 \(-60()^\circ \) または \(-\dfrac(\pi )(3) \) で停止します。

したがって、上記の例から、角度は \(360()^\circ \cdot m \) または \(2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数) だけ異なると結論付けることができます。動径ベクトルの同じ位置に対応します。

下の図は、角度 \(\beta =-60()^\circ \) を示しています。同じ画像がコーナーに対応します \(-420()^\circ 、-780()^\circ 、\ 300()^\circ 、660()^\circ \)等このリストは無期限に継続できます。これらすべての角度は、次の一般式で表すことができます。 \(\beta +360()^\circ \cdot m\)または \(\beta +2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

ここで、基本的な三角関数の定義を理解し、単位円を使用して、値が何であるかを答えてみてください。

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

以下に単位円を示します。

何か問題がありますか? それからそれを理解しましょう。したがって、次のことがわかります。

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(配列)\)

ここから、特定の角度の尺度に対応する点の座標を決定します。さて、順番に始めましょう：のコーナー \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)は座標 \(\left(0;1 \right) \) の点に対応するため、次のようになります。

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- 存在しない;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

さらに、同じロジックに従うと、次のことがわかります。 \(180()^\circ 、\ 270()^\circ 、\ 360()^\circ 、\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )座標を持つ点に対応する \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \右) \)、それぞれ。これがわかれば、対応する点での三角関数の値を求めるのは簡単です。まずは自分で試してみて、それから答えを確認してください。

答え:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- 存在しない

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- 存在しない

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- 存在しない

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- 存在しない

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

したがって、次の表を作成できます。

これらの値をすべて覚えておく必要はありません。単位円上の点の座標と三角関数の値の対応を覚えておくだけで十分です。

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(覚えているか、表示できるようにする必要があります!! \) !}

しかし、との角度の三角関数の値は \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)以下の表に示すとおり、次のことを覚えておく必要があります。

怖がらないでください。対応する値の非常に単純な記憶の一例を示します。

この方法を使用するには、角度の 3 つの尺度すべての正弦値を覚えておくことが重要です ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\))、および \(30()^\circ \) の角度の正接の値。これらの \(4\) の値がわかれば、テーブル全体を復元するのは非常に簡単です。コサイン値は矢印に従って転送されます。

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\end(配列)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)、これを知っていると、次の値を復元できます。 \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \)。分子「\(1 \)」は \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) に対応し、分母「\(\sqrt(\text(3)) \)」はに対応します。 \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . コタンジェント値は、図に示されている矢印に従って転送されます。これを理解し、矢印の付いた図を覚えていれば、表の \(4\) の値だけを覚えておけば十分です。

円上の点の座標

円の中心の座標、半径、回転角度がわかっていれば、円上の点(その座標)を見つけることは可能でしょうか? もちろん、できますよ！出してみましょう一般式点の座標を見つけます。たとえば、これは私たちの目の前にある円です。

私たちにはその点が与えられています \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- 円の中心。円の半径は \(1.5\) です。点 \(O\) を \(\delta \) 度回転して得られる点 \(P\) の座標を求める必要があります。

図からわかるように、点 \(P\) の座標 \(x\) は、線分 \(TP=UQ=UK+KQ\) の長さに対応します。線分 \(UK\) の長さは円の中心の座標 \(x\) に対応します。つまり、 \(3\) に等しくなります。セグメント \(KQ\) の長さは、コサインの定義を使用して表すことができます。

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

次に、点 \(P\) の座標が得られます。 \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

同じロジックを使用して、点 \(P\) の y 座標の値を求めます。したがって、

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

それで、一般的な見解点の座標は次の式で決定されます。

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(配列) \)、どこ

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - 円の中心の座標、

\(r\) - 円の半径、

\(\delta \) - ベクトル半径の回転角度。

ご覧のとおり、検討している単位円の場合、中心の座標が 0 に等しく、半径が 1 に等しいため、これらの式は大幅に短縮されます。

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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講義：任意の角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント

任意の角度のサイン、コサイン

三角関数とは何かを理解するために、単位半径の円を見てみましょう。この円は座標平面上の原点に中心があります。与えられた関数を決定するには、動径ベクトルを使用します。 または、円の中心から始まり、点 R円上の点です。この半径ベクトルは軸と角度 α を形成します。おお。円には半径があるので、 1に等しい、それ OR = R = 1.