Čo sa nazýva rovnobežník. Výskumný projekt "Paralelogram a jeho vlastnosti"

1. Definícia rovnobežníka.

Ak pretneme dvojicu rovnobežných priamok s ďalšou dvojicou rovnobežiek, dostaneme štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú po pároch rovnobežné.

V štvoruholníkoch ABDC a EFNM (obr. 224) BD || AC a AB || CD;

EF || MN a EM || F.N.

Štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné, sa nazýva rovnobežník.

2. Vlastnosti rovnobežníka.

Veta. Uhlopriečka rovnobežníka ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky.

Nech existuje rovnobežník ABDC (obr. 225), v ktorom AB || CD a AC || BD.

Je potrebné dokázať, že uhlopriečka ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky.

Narysujme si uhlopriečku CB do rovnobežníka ABDC. Dokážme, že \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

SV strana je spoločná pre tieto trojuholníky; ∠ABC = ∠BCD, ako vnútorné priečne ležiace uhly s rovnobežkami AB a CD a sečnicou CB; ∠ACB = ∠CBD, rovnako ako vnútorné priečne ležiace uhly s paralelnými AC a BD a sečným CB.

Preto \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Rovnakým spôsobom sa dá dokázať, že uhlopriečka AD rozdeľuje rovnobežník na dva rovnaké trojuholníky ACD a ABD.

Dôsledky:

1 . Opačné uhly rovnobežníka sú rovnaké.

∠A = ∠D, to vyplýva z rovnosti trojuholníkov CAB a CDB.

Podobne ∠C = ∠B.

2. Opačné strany rovnobežníka sú rovnaké.

AB \u003d CD a AC \u003d BD, pretože sú to strany rovnakých trojuholníkov a ležia oproti rovnakým uhlom.

Veta 2. Uhlopriečky rovnobežníka sú rozpolené v bode ich priesečníka.

Nech BC a AD sú uhlopriečky rovnobežníka ABDC (obr. 226). Dokážme, že AO = OD a CO = OB.

Aby sme to urobili, porovnajme pár opačných trojuholníkov, napríklad \(\Delta\)AOB a \(\Delta\)COD.

V týchto trojuholníkoch AB = CD, ako protiľahlé strany rovnobežníka;

∠1 = ∠2, ako vnútorné uhly ležiace priečne na rovnobežkách AB a CD a sečne AD;

∠3 = ∠4 z rovnakého dôvodu, pretože AB || CD a CB sú ich sekantom.

Z toho vyplýva, že \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)COD. A v rovnaké trojuholníky rovnaké strany ležia oproti rovnakým uhlom. Preto AO = OD a CO = OB.

Veta 3. Súčet uhlov susediacich s jednou stranou rovnobežníka sa rovná 180°.

Nakreslite uhlopriečku AC v rovnobežníku ABCD a získajte dva trojuholníky ABC a ADC.

Trojuholníky sú zhodné, pretože ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (krížovo ležiace uhly na rovnobežných čiarach) a strana AC je spoločná.
Rovnosť \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC znamená, že AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Súčet uhlov susediacich s jednou stranou, napríklad uhlov A a D, sa rovná 180° ako jednostranný s rovnobežnými čiarami.

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné pre úspech absolvovanie skúšky v matematike za 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetky potrebná teória. Rýchle spôsoby riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Banky FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh USE. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

Obecný rozpočtový vzdelávacia inštitúcia

Savinskaja priemer všeobecná škola

Výskum

Rovnobežník a jeho nové vlastnosti

Vykonal: žiak 8. ročníka

MBOU Savinskaya stredná škola

Kuznetsova Svetlana, 14 rokov

Vedúci: učiteľ matematiky

Tulčevskaja N.A.

Savino

Ivanovský región, Rusko

2016

ja Úvod ________________________________________________ strana 3

II. Z histórie rovnobežníka ____________________________________ strana 4

III Ďalšie vlastnosti rovnobežníka ________________________strana 4

IV. Dôkaz o vlastnostiach _______________________________________ strana 5

V. Riešenie problémov pomocou ďalších vlastností __________strana 8

VI. Aplikácia vlastností rovnobežníka v živote _____________________strana 11

VII. Záver __________________________________________________ strana 12

VIII. Literatúra __________________________________________________ strana 13

Úvod

"Medzi rovnocenné mysle

pri podobnosť iných podmienok

lepší ako tí, ktorí poznajú geometriu“

(Blaise Pascal).

Pri štúdiu témy „Paralelogram“ na hodinách geometrie sme zvažovali dve vlastnosti rovnobežníka a tri vlastnosti, ale keď sme začali riešiť problémy, ukázalo sa, že to nestačí.

Mal som otázku, či má rovnobežník nejaké ďalšie vlastnosti a ako pomôžu pri riešení problémov.

A rozhodol som sa študovať ďalšie vlastnosti rovnobežníka a ukázať, ako ich možno použiť na riešenie problémov.

Predmet štúdia : rovnobežník

Predmet štúdia : vlastnosti rovnobežníka
Cieľ práce:

formulácia a dôkaz ďalších vlastností rovnobežníka, ktoré sa v škole neštudujú;

použitie týchto vlastností na riešenie problémov.

Úlohy:

Študovať históriu rovnobežníka a históriu vývoja jeho vlastností;

Nájdite ďalšiu literatúru o skúmanom probléme;

Študovať ďalšie vlastnosti rovnobežníka a dokázať ich;

Ukážte použitie týchto vlastností na riešenie problémov;

Zvážte uplatnenie vlastností rovnobežníka v živote.
Výskumné metódy:

Práca s náučnou a vedecko-populárnou literatúrou, internetovými zdrojmi;

Štúdium teoretického materiálu;

Výber rozsahu úloh, ktoré možno vyriešiť pomocou dodatočných vlastností rovnobežníka;

Pozorovanie, porovnávanie, analýza, analógia.

Dĺžka štúdia : 3 mesiace: január-marec 2016

V učebnici geometrie čítame nasledujúcu definíciu rovnobežníka: Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné v pároch.

Slovo "paralelogram" sa prekladá ako "rovnobežné čiary" (od Grécke slová Parallelos - rovnobežka a gram - čiara), tento termín zaviedol Euklides. Euclid vo svojej knihe The Elements dokázal nasledujúce vlastnosti rovnobežníka: protiľahlé strany a uhly rovnobežníka sú rovnaké a uhlopriečka ho pretína. Euklides nespomína priesečník rovnobežníka. Až koncom stredoveku bola vyvinutá úplná teória rovnobežníkov a až v 17. storočí sa v učebniciach objavili vety o rovnobežnosti, ktoré sa dokazujú pomocou Euklidovej vety o vlastnostiach rovnobežníka.

III Ďalšie vlastnosti rovnobežníka

V učebnici geometrie sú uvedené iba 2 vlastnosti rovnobežníka:

Opačné uhly a strany sú rovnaké

Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú a priesečník je rozdelený na polovicu

IN rôzne zdroje geometriu, môžete nájsť nasledujúce ďalšie vlastnosti:

Súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180°

Osa uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník;

Bisektory opačných uhlov rovnobežníka ležia na rovnobežkách;

Osy susedných uhlov rovnobežníka sa pretínajú v pravých uhloch;

Priesečníky všetkých uhlov rovnobežníka tvoria pri pretínaní obdĺžnik;

Vzdialenosti od protiľahlých rohov rovnobežníka k jednej a tej istej uhlopriečke sú rovnaké.

Ak spojíte opačné vrcholy v rovnobežníku so stredmi protiľahlých strán, získate ďalší rovnobežník.

Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho priľahlých strán.

Ak nakreslíme výšky z dvoch protiľahlých uhlov v rovnobežníku, dostaneme obdĺžnik.

IV Dôkaz vlastností rovnobežníka

Súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180 0

Dané:

ABCD je rovnobežník

dokázať:

A+
B=

dôkaz:

A a
B - vnútorné jednostranné rohy s rovnobežnými priamkami BC AD a sečna AB, tak
A+
B=

Vzhľadom na to: A B C D - rovnobežník,

AK -sektor
A.

dokázať: AVK - rovnoramenný

dôkaz:

1)
1=
3 (krížom s BC AD a secant AK ),

2)
2=
3, pretože AK je sektor,

znamená 1=
2.

3) ABK je rovnoramenný, pretože 2 uhly trojuholníka sú rovnaké

. Osa uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník

AK je osou A,

СР je osou C.

dokázať: AK ║ SR

dôkaz:

1) 1=2 od AK-sektora

2) 4=5 pretože SR - bisector

3) 3=1 (priečne ležiace uhly pri

BC ║ AD a AK-sekant),

4) A \u003d C (vlastnosťou rovnobežníka), čo znamená 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5.

4) Z odsekov 3 a 4 vyplýva, že 1 = 4 a tieto uhly zodpovedajú priamkam AK a SR a sečnici BC,

teda AK ║ SR (na základe rovnobežných čiar)

. Bisektory opačných uhlov rovnobežníka ležia na rovnobežných priamkach

Osy susedných uhlov rovnobežníka sa pretínajú v pravých uhloch

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník,

os AC A,

Stred DP D

dokázať: DP AK.

dôkaz:

1) 1 = 2, pretože AK - bisector

Nech 1=2=x, potom A=2x,

2) 3 = 4, pretože D P - osička

Nech 3=4=y, potom D=2y

3) A + D \u003d 180 0, pretože súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180

2) Zvážte A OD

1+3 = 90 0 potom
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Priesečníky všetkých uhlov rovnobežníka tvoria pri pretínaní obdĺžnik

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník, AK-sektor A,

DP-osektor D,

CM je stred C,

BF -sektor B.

dokázať: KRNS -obdĺžnik

dôkaz:

Na základe predchádzajúcej vlastnosti 8=7=6=5=90 0 ,

znamená, že KRNS je obdĺžnik.

Vzdialenosti od protiľahlých rohov rovnobežníka k jednej a tej istej uhlopriečke sú rovnaké.

Vzhľadom na to: ABCD-rovnobežník, AC-uhlopriečka.

VC AU, D.P. AC

dokázať: BK = DP

dôkaz: 1) DCP \u003d KAB, ako interný krížovo ležiaci na AB ║ CD a sečna AC.

2) AKB= CDP (pozdĺž strany a dvoch susedných rohov AB=CD CD P=AB K).

A v rovnakých trojuholníkoch sú zodpovedajúce strany rovnaké, takže DP \u003d BK.

Ak spojíte opačné vrcholy v rovnobežníku so stredmi protiľahlých strán, získate ďalší rovnobežník.

Vzhľadom na to: ABCD rovnobežník.

dokázať: VKDP je rovnobežník.

dôkaz:

1) BP=KD (AD=BC, body K a P

rozpolte tieto strany)

2) BP ║ KD (lež na AD BC)

Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom je tento štvoruholník rovnobežníkom.

Ak nakreslíme výšky z dvoch protiľahlých uhlov v rovnobežníku, dostaneme obdĺžnik.

Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho priľahlých strán.

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník. BD a AC sú uhlopriečky.

dokázať: AC 2 + BD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

dôkaz: 1)OPÝTAŤ SA: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (podľa Pytagorovej vety)

3) AC ²+ BD ²=SC²+A K²+B Р²+РD ²

4) SK = BP = H(výška )

5) AC 2 +VD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 +PD 2

6) Nechaj D K=A P = x, Potom C TOD : H 2 = CD 2 - X 2 podľa Pytagorovej vety )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+VD ² = 2CD 2 -2x 2 + A TO 2 +PD 2

8) A TO=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+VD ² = 2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ IND²=2 SD²-2 X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ IND² = 2 CD 2 +2AD 2 = 2 (CD 2 + AD 2 ).

V . Riešenie problémov pomocou týchto vlastností

Priesečník osi dvoch uhlov rovnobežníka susediaceho s jednou stranou patrí protiľahlej strane. Kratšia strana rovnobežníka je 5 . Nájdite jeho veľkú stránku.

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

AK - bisector
A,

D K - osička
D, AB = 5

Nájsť: slnko

Riešenie

Pretože AK - bisector
A, potom je ABC rovnoramenné.

Pretože D K - osička
D teda DCK - rovnoramenný

DC \u003d C K \u003d 5

Potom VS=VK+SK=5+5 = 10

odpoveď: 10

2. Nájdite obvod rovnobežníka, ak os jedného z jeho uhlov rozdeľuje stranu rovnobežníka na segmenty 7 cm a 14 cm.

1 prípad

Vzhľadom na to:
A,

VK=14 cm, KS=7 cm

Nájsť: R rovnobežník

Riešenie

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Pretože AK - bisector
A, potom je ABC rovnoramenné.

AB=BK=14 cm

Potom P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (cm)

deje

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

D K - osička
D,

VK=14 cm, KS=7 cm

Nájsť: R rovnobežník

Riešenie

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Pretože D K - osička
D teda DCK - rovnoramenný

DC \u003d C K \u003d 7

Potom P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (cm)

odpoveď: 70 cm alebo 56 cm

3. Strany rovnobežníka sú 10 cm a 3 cm Stredy dvoch uhlov susediacich s väčšou stranou rozdeľujú opačnú stranu na tri segmenty. Nájdite tieto segmenty.

1 prípad: osi sa pretínajú mimo rovnobežníka

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník, AK - bisector
A,

D K - osička
D, AB = 3 cm, BC = 10 cm

Nájsť: BM, MN, NC

Riešenie

Pretože AM - bisector
A potom je AVM rovnoramenný.

Pretože DN - bisector
D teda DCN - rovnoramenný

DC=CN=3

Potom MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 prípad: osi sa pretínajú vo vnútri rovnobežníka

Pretože AN - bisector
A, potom ABN je rovnoramenný.

AB=BN = 3 D

A posuvná mriežka - presuňte sa do požadovanej vzdialenosti vo dverách

Paralelogramový mechanizmus- štvorčlánkový mechanizmus, ktorého články tvoria rovnobežník. Používa sa na realizáciu translačného pohybu kĺbových mechanizmov.

Paralelogram s pevným spojením- jeden článok je nehybný, opačný robí kývavý pohyb, pričom zostáva rovnobežný s nehybným. Dva paralelogramy spojené za sebou dávajú konečnému spoju dva stupne voľnosti, pričom je rovnobežný s pevným.

Príklady: stierače predného skla autobusov, vysokozdvižné vozíky, trojnožky, vešiaky, vešiaky do auta.

Rovnobežník s pevným pántom- vlastnosť rovnobežníka sa využíva na udržanie konštantného pomeru vzdialeností medzi tromi bodmi. Príklad: kresliaci pantograf - zariadenie na úpravu mierky výkresov.

Rhombus- všetky články sú rovnako dlhé, priblíženie (stiahnutie) dvojice protiľahlých závesov vedie k roztiahnutiu ďalších dvoch závesov. Všetky odkazy fungujú v kompresii.

Príkladom je automobilový diamantový zdvihák, električkový pantograf.

nožnicový alebo Mechanizmus v tvare X, taktiež známy ako Norimberské nožnice- variant kosoštvorca - dva články spojené v strede závesom. Výhodou mechanizmu je kompaktnosť a jednoduchosť, nevýhodou je prítomnosť dvoch posuvných párov. Dva (alebo viac) takýchto mechanizmov, zapojených do série, tvoria v strede kosoštvorec. Používa sa vo výťahoch, detských hračkách.

VII Záver

Kto sa od detstva venuje matematike,

rozvíja pozornosť, trénuje si mozog,

vlastná vôľa, pestuje vytrvalosť

a vytrvalosť pri dosahovaní cieľa

A. Markuševič

V priebehu práce som dokázal ďalšie vlastnosti rovnobežníka.

Bol som presvedčený, že aplikáciou týchto vlastností dokážete vyriešiť problémy rýchlejšie.

Ako sa tieto vlastnosti aplikujú, som ukázal na príkladoch riešenia konkrétnych problémov.

Naučil som sa veľa o rovnobežníku, ktorý nie je v našej učebnici geometrie

O tom, že znalosť geometrie je v živote veľmi dôležitá, som sa presvedčil na príkladoch aplikácie vlastností rovnobežníka.

Cieľ mojej výskumnej práce bol splnený.

O význame matematických vedomostí svedčí aj to, že bola zriadená cena pre toho, kto vydá knihu o človeku, ktorý celý život prežil bez pomoci matematiky. Toto ocenenie doteraz nikto nezískal.

VIII Literatúra

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné, t.j. ležať na rovnobežných čiarach

Vlastnosti rovnobežníka:
Veta 22. Opačné strany rovnobežníka sú rovnaké.
Dôkaz. Nakreslite uhlopriečku AC do rovnobežníka ABCD. Trojuholníky ACD a ACB sú zhodné, pretože majú spoločnú stranu AC a dva páry rovnakých uhlov. vedľa nej: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (ako priečne ležiace uhly s rovnobežnými priamkami AD a BC). Preto AB=CD a BC=AD ako zodpovedajúce strany rovnakých trojuholníkov atď. Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva aj rovnosť zodpovedajúcich uhlov trojuholníkov:
Veta 23. Opačné uhly rovnobežníka sú: ∠ A=∠ C a ∠ B=∠ D.
Rovnosť prvého páru pochádza z rovnosti trojuholníkov ABD a CBD a druhého - ABC a ACD.
Veta 24. Susedné rohy rovnobežníka, t.j. uhly susediace s jednou stranou sú 180 stupňov.
Ide totiž o vnútorné jednostranné rohy.
Veta 25. Uhlopriečky rovnobežníka sa navzájom pretínajú v bode svojho priesečníka.
Dôkaz. Zvážte trojuholníky BOC a AOD. Podľa prvej vlastnosti AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV a ∠ ОDA=∠ ОВС ako ležiace naprieč s rovnobežkami AD a BC. Preto majú trojuholníky BOC a AOD rovnakú stranu a uhly, ktoré k nim priliehajú. Preto BO=OD a AO=OC ako zodpovedajúce strany rovnakých trojuholníkov atď.

Vlastnosti paralelogramu
Veta 26. Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké v pároch, potom ide o rovnobežník.
Dôkaz. Nech má štvoruholník ABCD strany AD a BC, AB a CD rovnaké (obr. 2). Nakreslíme uhlopriečku AC. Trojuholník ABC a ACD majú tri rovnaké strany. Potom sú uhly BAC a DCA rovnaké, a preto je AB rovnobežná s CD. Rovnobežnosť strán BC a AD vyplýva z rovnosti uhlov CAD a DIA.
Veta 27. Ak sú opačné uhly štvoruholníka rovnaké v pároch, potom ide o rovnobežník.
Nech ∠ A=∠ C a ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, potom ∠ A+∠ B=180 o a strany AD a BC sú rovnobežné (na základe rovnobežiek). Tiež dokážeme rovnobežnosť strán AB a CD a dospejeme k záveru, že ABCD je podľa definície rovnobežník.
Veta 28. Ak priľahlé rohy štvoruholníka, t.j. uhly susediace s jednou stranou sú 180 stupňov, potom ide o rovnobežník.
Ak súčet vnútorných jednostranných uhlov je 180 stupňov, potom sú čiary rovnobežné. To znamená, že AB je pár CD a BC je pár AD. Štvoruholník sa podľa definície javí ako rovnobežník.
Veta 29. Ak sú uhlopriečky štvoruholníka vzájomne rozdelené v priesečníku na polovicu, potom je štvoruholník rovnobežník.
Dôkaz. Ak AO=OC, BO=OD, potom sú trojuholníky AOD a BOC rovnaké, pretože majú rovnaké uhly (vertikálne) vo vrchole O, uzavreté medzi pármi rovnakých strán. Z rovnosti trojuholníkov usudzujeme, že AD a BC sú rovnaké. Strany AB a CD sú tiež rovnaké a štvoruholník sa ukáže ako rovnobežník podľa funkcie 1.
Veta 30. Ak má štvoruholník dvojicu rovnakých rovnobežných strán, ide o rovnobežník.
Nech sú strany AB a CD rovnobežné a rovnaké v štvoruholníku ABCD. Nakreslite uhlopriečky AC a BD. Z rovnobežnosti týchto priamok vyplýva rovnosť priečne ležiacich uhlov ABO=CDO a BAO=OCD. Trojuholníky ABO a CDO sú rovnaké v bočných a susedných uhloch. Preto AO=OC, BO=OD, t.j. diagonály priesečníka sú rozdelené na polovicu a štvoruholník sa ukáže ako rovnobežník podľa znaku 4.

V geometrii sa zvažujú špeciálne prípady rovnobežníka.