Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Aritmetický postup- ide o sériu čísel, v ktorých je každé číslo väčšie (alebo menšie) ako predchádzajúce o rovnakú hodnotu.
Táto téma je často ťažká a nepochopiteľná. Indexy písmen, n-tý termín progresie, rozdiel v progresii - to všetko je nejako mätúce, áno ... Poďme zistiť význam aritmetickej progresie a všetko bude fungovať hneď.)
Pojem aritmetická progresia.
Aritmetický postup je veľmi jednoduchý a jasný koncept. Pochybnosti? Márne.) Presvedčte sa sami.
Napíšem nedokončenú sériu čísel:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Môžete predĺžiť tento riadok? Aké čísla budú nasledovať po päťke? Každý ... ehm ..., skrátka každý príde na to, že ďalej pôjdu čísla 6, 7, 8, 9 atď.
Skomplikujme si úlohu. Dávam nedokončenú sériu čísel:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Môžete zachytiť vzor, predĺžiť sériu a pomenovať siedmyčíslo riadku?
Ak ste zistili, že toto číslo je 20 - blahoželám vám! Nielenže ste cítili kľúčové body aritmetického postupu, ale úspešne ich využíval aj v podnikaní! Ak nerozumiete, čítajte ďalej.
Teraz preložme kľúčové body zo vnemov do matematiky.)
Prvý kľúčový bod.
Aritmetická postupnosť sa zaoberá radom čísel. Toto je spočiatku mätúce. Sme zvyknutí riešiť rovnice, zostavovať grafy a to všetko ... A potom predĺžiť sériu, nájsť číslo radu ...
Je to v poriadku. Ide len o to, že progresie sú prvým zoznámením sa s novým odvetvím matematiky. Sekcia sa nazýva "Series" a pracuje s radmi čísel a výrazov. Zvyknúť si na to.)
Druhý kľúčový bod.
V aritmetickej postupnosti sa akékoľvek číslo líši od predchádzajúceho o rovnakú sumu.
V prvom príklade je tento rozdiel jeden. Nech si vezmete akékoľvek číslo, je o jedno viac ako to predchádzajúce. V druhej - tri. Akékoľvek číslo je trikrát väčšie ako predchádzajúce. V skutočnosti je to tento moment, ktorý nám dáva príležitosť zachytiť vzor a vypočítať nasledujúce čísla.
Tretí kľúčový bod.
Tento moment nie je nápadný, áno... Ale veľmi, veľmi dôležitý. Tu je: každé číslo postupu je na svojom mieste. Je tu prvé číslo, je siedme, je štyridsiate piate atď. Ak si ich náhodne popletiete, vzor zmizne. Aritmetický postup tiež zmizne. Je to len séria čísel.
To je celá podstata.
V novej téme sa samozrejme objavujú nové pojmy a zápisy. Potrebujú vedieť. Inak nepochopíte úlohu. Napríklad, musíte sa rozhodnúť niečo ako:
Napíšte prvých šesť členov aritmetickej progresie (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.
Inšpiruje?) Listy, nejaké indexy... A tá úloha, mimochodom, nemôže byť jednoduchšia. Musíte len pochopiť význam pojmov a zápisu. Teraz túto záležitosť zvládneme a vrátime sa k úlohe.
Termíny a označenia.
Aritmetický postup je rad čísel, v ktorých je každé číslo iné ako predchádzajúce o rovnakú sumu.
Táto hodnota sa nazýva . Poďme sa tomuto konceptu venovať podrobnejšie.
Rozdiel aritmetického postupu.
Rozdiel aritmetického postupu je čiastka, o ktorú akékoľvek progresívne číslo viac ten predchádzajúci.
Jeden dôležitý bod. Venujte prosím pozornosť slovu „viac“. Matematicky to znamená, že sa získa každé číslo postupu pridávanie rozdiel aritmetického postupu k predchádzajúcemu číslu.
Na výpočet, povedzme druhýčísla riadku, je potrebné najprvčíslo pridať práve tento rozdiel aritmetického postupu. Pre výpočet piaty- rozdiel je nutný pridať do štvrtý dobre, atď.
Rozdiel aritmetického postupu možno pozitívne potom sa každé číslo série ukáže ako skutočné viac ako predchádzajúca. Táto progresia sa nazýva zvyšujúci sa. Napríklad:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Tu je každé číslo pridávanie kladné číslo, +5 k predchádzajúcemu.
Rozdiel môže byť negatívne potom bude každé číslo v rade menej ako predchádzajúca. Tento postup sa nazýva (neuveríte!) klesajúci.
Napríklad:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aj tu sa získa každé číslo pridávanie na predchádzajúce, ale už záporné číslo, -5.
Mimochodom, pri práci s progresiou je veľmi užitočné okamžite určiť jej povahu - či sa zvyšuje alebo znižuje. Veľmi pomáha zorientovať sa v rozhodovaní, odhaliť svoje chyby a opraviť ich skôr, než bude neskoro.
Rozdiel aritmetického postupu zvyčajne sa označuje písmenom d.
Ako nájsť d? Veľmi jednoduché. Je potrebné odpočítať od ľubovoľného čísla série predchádzajúcečíslo. Odčítať. Mimochodom, výsledok odčítania sa nazýva "rozdiel".)
Definujme si napr. d pre rastúci aritmetický postup:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Zoberieme ľubovoľné číslo riadku, ktoré chceme, napríklad 11. Odčítame z neho predchádzajúce číslo tie. osem:
Toto je správna odpoveď. Pre tento aritmetický postup je rozdiel tri.
Môžete len vziať ľubovoľný počet progresií, pretože pre konkrétny postup d-vždy to isté. Aspoň niekde na začiatku radu, aspoň v strede, aspoň kdekoľvek. Nemôžete vziať len prvé číslo. Už len kvôli prvému číslu žiadne predchádzajúce.)
Mimochodom, vedieť to d=3, nájdenie siedmeho čísla tohto postupu je veľmi jednoduché. K piatemu číslu pridáme 3 - dostaneme šieste, bude to 17. K šiestemu číslu pridáme tri, dostaneme siedme číslo - dvadsať.
Poďme definovať d pre klesajúci aritmetický postup:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Pripomínam, že bez ohľadu na znamenia určiť d potrebné z akéhokoľvek čísla odobrať predchádzajúce. Zvolíme ľubovoľný počet progresie, napríklad -7. Jeho predchádzajúce číslo je -2. potom:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Rozdiel v aritmetickej progresii môže byť ľubovoľné číslo: celé číslo, zlomok, iracionálne, ľubovoľné.
Iné termíny a označenia.
Každé číslo v rade sa volá člen aritmetického postupu.
Každý člen progresu má svoje číslo.Čísla sú prísne v poriadku, bez akýchkoľvek trikov. Prvý, druhý, tretí, štvrtý atď. Napríklad v postupnosti 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvý člen, päť je druhý, jedenásť je štvrtý, dobre, rozumiete ...) Jasne pochopte - samotné čísla môže byť úplne akýkoľvek, celý, zlomkový, negatívny, akýkoľvek, ale číslovanie- prísne v poriadku!
Ako zaznamenať progres v všeobecný pohľad? Žiaden problém! Každé číslo v rade je napísané ako písmeno. Na označenie aritmetického postupu sa spravidla používa písmeno a. Číslo člena je označené indexom vpravo dole. Členovia sa píšu oddelené čiarkami (alebo bodkočiarkami) takto:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
1 je prvé číslo a 3- tretí atď. Nič zložité. Túto sériu môžete stručne napísať takto: (a n).
Existujú progresie konečný a nekonečný.
Ultimate progresia má obmedzené množstvočlenov. Päť, tridsaťosem, čokoľvek. Ale je to konečné číslo.
Nekonečné progresia - má nekonečný počet členov, ako by ste mohli hádať.)
Môžete napísať konečný postup cez sériu, ako je táto, všetci členovia a bodka na konci:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
Alebo takto, ak je veľa členov:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
V krátkom zázname budete musieť dodatočne uviesť počet členov. Napríklad (pre dvadsať členov) takto:
(a n), n = 20
Nekonečný postup možno rozpoznať podľa elipsy na konci riadku, ako v príkladoch v tejto lekcii.
Teraz už môžete riešiť úlohy. Úlohy sú jednoduché, čisto na pochopenie významu aritmetického postupu.
Príklady úloh na aritmetický postup.
Pozrime sa bližšie na vyššie uvedenú úlohu:
1. Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.
Úlohu prenášame na zrozumiteľný jazyk. Vzhľadom na nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohto postupu je známe: a 2 = 5. Známy rozdiel v postupe: d = -2,5. Musíme nájsť prvého, tretieho, štvrtého, piateho a šiesteho člena tohto postupu.
Pre názornosť napíšem sériu podľa stavu problému. Prvých šesť členov, pričom druhý člen je päť:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + d
Vo výraze dosadíme a 2 = 5 a d = -2,5. Nezabudnite na mínus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Tretí termín je menší ako druhý. Všetko je logické. Ak je číslo väčšie ako predchádzajúce negatívne hodnotu, takže samotné číslo bude menšie ako predchádzajúce. Progresia sa znižuje. Dobre, zoberme to do úvahy.) Uvažujeme o štvrtom členovi našej série:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Takže termíny od tretieho do šiesteho boli vypočítané. Výsledkom bola séria:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Zostáva nájsť prvý termín 1 podľa známeho druhého. Toto je krok opačným smerom, doľava.) Preto je rozdiel v aritmetickej progresii d by sa nemalo pridávať a 2, a zobrať:
1 = a 2 - d
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To je všetko. Odpoveď na úlohu:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Na okraj podotýkam, že sme túto úlohu vyriešili opakujúci spôsobom. Toto hrozné slovo znamená iba hľadanie člena progresie o predchádzajúce (susedné) číslo. O ďalších spôsoboch práce s progresiou sa bude diskutovať neskôr.
Z tejto jednoduchej úlohy možno vyvodiť jeden dôležitý záver.
Pamätajte:
Ak poznáme aspoň jeden člen a rozdiel aritmetickej postupnosti, môžeme nájsť ľubovoľného člena tejto postupnosti.
Pamätáte si? Tento jednoduchý záver nám umožňuje vyriešiť väčšinu problémov školského kurzu na túto tému. Všetky úlohy sa točia okolo troch hlavných parametrov: člen aritmetického postupu, rozdiel postupu, číslo člena postupu. Všetko.
Samozrejme, že všetka predchádzajúca algebra nie je zrušená.) Nerovnice, rovnice a ďalšie veci sú pripojené k postupu. ale podľa progresie- všetko sa točí okolo troch parametrov.
Zvážte napríklad niektoré populárne úlohy na túto tému.
2. Napíšte konečnú aritmetickú postupnosť ako sériu, ak n=5, d=0,4 a a 1=3,6.
Všetko je tu jednoduché. Všetko je už dané. Musíte si pamätať, ako sa počítajú, počítajú a zapisujú členy aritmetického postupu. Je vhodné nepreskakovať slová v podmienke úlohy: „final“ a „ n=5". Aby ste nepočítali, kým nebudete úplne modrý v tvári.) V tomto postupe je len 5 (päť) členov:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Zostáva napísať odpoveď:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ďalšia úloha:
3. Určte, či číslo 7 bude členom aritmetickej postupnosti (a n), ak a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kto vie? Ako niečo definovať?
Ako-ako ... Áno, zapíšte si postup vo forme série a uvidíte, či bude sedmička alebo nie! My veríme:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Teraz je jasne vidieť, že máme len sedem prekĺzol medzi 6,5 a 7,7! Sedmička sa nedostala do nášho číselného radu, a preto sedmička nebude členom daného postupu.
odpoveď: nie.
A tu je problém založený na reálna verzia GIA:
4. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:
...; pätnásť; X; 9; 6; ...
Tu je séria bez konca a začiatku. Žiadne čísla členov, žiadny rozdiel d. Je to v poriadku. Na vyriešenie problému stačí pochopiť význam aritmetickej progresie. Pozrime sa a uvidíme, čo môžeme vedieť z tohto riadku? Aké sú parametre troch hlavných?
Čísla členov? Nie je tu ani jedno číslo.
Ale sú tam tri čísla a - pozor! - slovo "za sebou" v stave. To znamená, že čísla sú prísne v poriadku, bez medzier. Sú v tomto rade dvaja? susedný známe čísla? Áno, existuje! Toto je 9 a 6. Takže môžeme vypočítať rozdiel aritmetickej progresie! Odpočítame od šiestich predchádzajúcečíslo, t.j. deväť:
Zostávajú voľné miesta. Aké číslo bude predchádzajúce pre x? Pätnásť. Takže x sa dá ľahko nájsť jednoduchým sčítaním. K 15 pridajte rozdiel aritmetického postupu:
To je všetko. odpoveď: x=12
Nasledujúce problémy riešime sami. Poznámka: tieto hádanky nie sú určené na vzorce. Čisto pre pochopenie významu aritmetického postupu.) Len si zapíšeme sériu čísel-písmen, pozrieme sa a premýšľame.
5. Nájdite prvý kladný člen aritmetickej progresie, ak a 5 = -3; d = 1,1.
6. Je známe, že číslo 5,5 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určte číslo n tohto člena.
7. Je známe, že v aritmetickej progresii a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Nájdite 3.
8. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Nájdite člen postupnosti označený písmenom x.
9. Vlak sa dal zo stanice do pohybu, pričom svoju rýchlosť postupne zvyšoval o 30 metrov za minútu. Aká bude rýchlosť vlaku za päť minút? Svoju odpoveď uveďte v km/h.
10. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 5; a6 = -5. Nájdite 1.
Odpovede (v neporiadku): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; štyri.
Všetko vyšlo? úžasné! V nasledujúcich lekciách sa môžete naučiť aritmetický postup na vyššej úrovni.
Nevyšlo všetko? Žiaden problém. V špeciálnej sekcii 555 sú všetky tieto hlavolamy rozobraté kúsok po kúsku.) A samozrejme je opísaná jednoduchá praktická technika, ktorá okamžite zvýrazní riešenie takýchto úloh jasne, zreteľne, ako na dlani!
Mimochodom, v hádanke o vlaku sú dva problémy, o ktoré ľudia často narážajú. Jeden - čisto podľa postupu a druhý - spoločný pre všetky úlohy z matematiky a fyziky. Toto je preklad dimenzií z jednej do druhej. Ukazuje, ako by sa tieto problémy mali riešiť.
V tejto lekcii sme skúmali elementárny význam aritmetickej progresie a jej hlavné parametre. To stačí na vyriešenie takmer všetkých problémov na túto tému. Pridať d k číslam napíšte sériu, všetko sa rozhodne.
Riešenie prstov funguje dobre pre veľmi krátke kúsky série, ako v príkladoch v tejto lekcii. Ak je séria dlhšia, výpočty sú komplikovanejšie. Napríklad, ak máte problém 9 v otázke, nahraďte ho "päť minút" na "tridsaťpäť minút" problém bude oveľa horší.)
A existujú aj úlohy, ktoré sú v podstate jednoduché, ale z hľadiska výpočtov úplne absurdné, napríklad:
Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.
A čo, pridáme 1/6 veľa, veľa krát?! Je možné sa zabiť!?
Môžete.) Ak nepoznáte jednoduchý vzorec, podľa ktorého takéto úlohy vyriešite za minútu. Tento vzorec bude v ďalšej lekcii. A tam je tento problém vyriešený. O minútu.)
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Áno, áno: aritmetický postup nie je pre vás hračka :) Priatelia, ak čítate tento text, potom mi vnútorný uzáver hovorí, že stále neviete, čo je to aritmetická progresia, ale naozaj to chcete vedieť (nie, takto: ÁÁÁÁÁ!). Nebudem vás preto mučiť dlhými úvodmi a hneď sa pustím do veci.
Na začiatok pár príkladov. Zvážte niekoľko sád čísel:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Čo majú všetky tieto súpravy spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti tam niečo je. menovite: každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo.
Veď posúďte sami. Prvá množina sú len po sebe idúce čísla, každé je viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už rovný piatim, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade existujú korene vo všeobecnosti. Avšak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, kým $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.j. v takom prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $\sqrt(2)$ (a nezľaknite sa, že toto číslo je iracionálne).
Takže: všetky takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti. Dajme presnú definíciu:
Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé nasledujúce líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná suma, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva progresívny rozdiel a najčastejšie sa označuje písmenom $d$.
Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný priebeh, $d$ je jeho rozdiel.
A len pár dôležité poznámky. Po prvé, berie sa do úvahy iba progresia usporiadaný poradie čísel: môžu sa čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Čísla nemôžete preusporiadať ani vymeniť.
Po druhé, samotná postupnosť môže byť buď konečná alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zjavne konečná aritmetická postupnosť. Ale ak napíšete niečo ako (1; 2; 3; 4; ...) - to je už nekonečný postup. Elipsa za štvorkou, ako to bolo, naznačuje, že pomerne veľa čísel ide ďalej. Napríklad nekonečne veľa. :)
Chcel by som tiež poznamenať, že pokroky sa zvyšujú a znižujú. Už sme videli pribúdajúce - rovnakú množinu (1; 2; 3; 4; ...). Tu sú príklady klesajúcej progresie:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Dobre, dobre: posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale zvyšok, myslím, chápeš. Preto uvádzame nové definície:
Definícia. Aritmetický postup sa nazýva:
- zvýšenie, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;
- klesajúci, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.
Okrem toho existujú takzvané "stacionárne" sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).
Zostáva len jedna otázka: ako rozlíšiť rastúcu progresiu od klesajúcej? Našťastie tu všetko závisí len od znamienka čísla $d$, t.j. rozdiely v postupe:
- Ak $d \gt 0$, potom sa progresia zvyšuje;
- Ak $d \lt 0$, potom progresia zjavne klesá;
- Nakoniec je tu prípad $d=0$ — v tomto prípade je celý postup redukovaný na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.
Skúsme vypočítať rozdiel $d$ pre tri klesajúce priebehy vyššie. Na tento účel stačí vziať ľubovoľné dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať od čísla vpravo číslo vľavo. Bude to vyzerať takto:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Ako vidíte, vo všetkých troch prípadoch sa rozdiel skutočne ukázal ako negatívny. A teraz, keď sme už viac-menej prišli na definície, je čas zistiť, ako sa popisujú progresie a aké vlastnosti majú.
Členovia progresie a opakujúceho sa vzorca
Keďže prvky našich sekvencií nie je možné zamieňať, možno ich očíslovať:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \správny\)\]
Jednotlivé prvky tohto súboru sa nazývajú členovia progresie. Označujú sa týmto spôsobom pomocou čísla: prvý člen, druhý člen atď.
Okrem toho, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šípka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Stručne povedané, aby ste našli $n$-tý člen progresie, musíte poznať $n-1$-tý člen a rozdiel $d$. Takýto vzorec sa nazýva rekurentný, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo, iba ak poznáte predchádzajúce (a v skutočnosti všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje zložitejší vzorec, ktorý redukuje akýkoľvek výpočet na prvý výraz a rozdiel:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
S týmto vzorcom ste sa už určite stretli. Radi to dávajú vo všetkých druhoch referenčných kníh a reshebnikov. A v každej rozumnej učebnici matematiky je jednou z prvých.
Odporúčam vám však trochu trénovať.
Úloha číslo 1. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, ak $((a)_(1))=8,d=-5$.
Riešenie. Poznáme teda prvý člen $((a)_(1))=8$ a progresívny rozdiel $d=-5$. Použime práve daný vzorec a nahraďme $n=1$, $n=2$ a $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(zarovnať)\]
Odpoveď: (8; 3; -2)
To je všetko! Všimnite si, že naša progresia klesá.
Samozrejme, $n=1$ sa nedalo nahradiť – prvý výraz už poznáme. Nahradením jednotky sme sa však uistili, že aj na prvý termín náš vzorec funguje. V iných prípadoch všetko padlo na banálnu aritmetiku.
Úloha číslo 2. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti, ak jej siedmy člen je -40 a jej sedemnásty člen je -50.
Riešenie. Stav problému napíšeme obvyklými výrazmi:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \správny.\]
Označil som systém, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. A teraz si všimnime, že ak odpočítame prvú rovnicu od druhej rovnice (máme na to právo, pretože máme systém), dostaneme toto:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnať)\]
Len tak sme našli rozdiel v postupe! Zostáva nahradiť nájdené číslo v ktorejkoľvek z rovníc systému. Napríklad v prvom:
\[\begin(matica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matica)\]
Teraz, keď poznáme prvý výraz a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnať)\]
Pripravený! Problém je vyriešený.
Odpoveď: (-34; -35; -36)
Všimnite si zvláštnu vlastnosť progresie, ktorú sme objavili: ak vezmeme $n$-tý a $m$-tý člen a odčítame ich od seba, dostaneme rozdiel progresie vynásobený číslom $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Jednoduché ale veľmi užitočný majetok, ktorý určite potrebujete vedieť - s jeho pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých problémov v postupoch. Tu je ukážkový príklad:
Úloha číslo 3. Piaty člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.
Riešenie. Keďže $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a musíme nájsť $((a)_(15)))$, všimneme si nasledovné:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnať)\]
Ale podľa podmienky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, takže $5d=6$, odkiaľ máme:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnať)\]
Odpoveď: 20.4
To je všetko! Nepotrebovali sme skladať žiadne sústavy rovníc a počítať prvý člen a rozdiel – o všetkom sa rozhodlo v niekoľkých riadkoch.
Teraz zvážme iný typ problému - hľadanie negatívnych a pozitívnych členov progresie. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje, pričom jej prvý termín je negatívny, potom sa v ňom skôr či neskôr objavia pozitívne termíny. A naopak: podmienky klesajúcej progresie sa skôr či neskôr stanú negatívnymi.
Zároveň nie je vždy možné nájsť tento moment „na čele“, ktorý postupne triedi prvky. Často sú problémy navrhnuté tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty zabrali niekoľko listov – jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsime tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.
Úloha číslo 4. Koľko záporných členov v aritmetickej progresii -38,5; -35,8; …?
Riešenie. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, z čoho okamžite nájdeme rozdiel:
Všimnite si, že rozdiel je pozitívny, takže progresia sa zvyšuje. Prvý člen je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa tak stane.
Skúsme zistiť: ako dlho (t. j. do akého prirodzeného čísla $n$) sa zachová negativita pojmov:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((a)_(n)) \lt 0\šípka doprava ((a)_(1))+\vľavo(n-1 \vpravo)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\šípka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnať)\]
Posledný riadok potrebuje objasnenie. Takže vieme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhej strane nám budú vyhovovať iba celočíselné hodnoty čísla (navyše: $n\in \mathbb(N)$), takže najväčšie prípustné číslo je presne $n=15$ a v žiadnom prípade nie 16.
Úloha číslo 5. V aritmetickom postupe $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.
Bol by to presne ten istý problém ako ten predchádzajúci, ale nevieme $((a)_(1))$. Ale susedné výrazy sú známe: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:
Okrem toho sa pokúsme vyjadriť piaty člen z hľadiska prvého a rozdielu pomocou štandardného vzorca:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnať)\]
Teraz postupujeme analogicky s predchádzajúcim problémom. Zisťujeme, v ktorom bode v našej sekvencii sa objavia kladné čísla:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\šípka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnať)\]
Minimálne celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 56.
Upozorňujeme, že v poslednej úlohe bolo všetko zredukované na striktnú nerovnosť, takže možnosť $n=55$ nám nebude vyhovovať.
Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdime k zložitejším. Najprv sa však naučíme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovnakých buniek. :)
Aritmetický priemer a rovnaké zarážky
Zvážte niekoľko po sebe idúcich členov rastúcej aritmetickej progresie $\left(((a)_(n)) \right)$. Skúsme ich označiť na číselnej osi:
Členovia aritmetického postupu na číselnej osiKonkrétne som si všimol ľubovoľných členov $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie žiadne $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atď. Pretože pravidlo, ktoré vám teraz poviem, funguje rovnako pre akékoľvek „segmenty“.
A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si rekurzívny vzorec a zapíšme si ho pre všetky označené členy:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnať)\]
Tieto rovnosti však možno prepísať inak:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnať)\]
No a čo? Ale skutočnosť, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1)))$ ležia v rovnakej vzdialenosti od $((a)_(n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $d$. To isté možno povedať o výrazoch $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ – sú tiež odstránené z $((a)_(n) )$ o rovnakú vzdialenosť rovnajúcu sa $2d$. Môžete pokračovať donekonečna, ale obrázok dobre ilustruje význam
Členovia progresie ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu Čo to pre nás znamená? To znamená, že môžete nájsť $((a)_(n))$, ak sú susedné čísla známe:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Vydedukovali sme veľkolepé tvrdenie: každý člen aritmetického postupu sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov! Okrem toho sa môžeme odchýliť od nášho $((a)_(n))$ doľava a doprava nie o jeden krok, ale o $k$ krokov – a aj tak bude vzorec správny:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Tie. môžeme ľahko nájsť nejaké $((a)_(150))$, ak poznáme $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, pretože $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvý pohľad sa môže zdať, že táto skutočnosť nám nedáva nič užitočné. V praxi je však veľa úloh špeciálne „vybrúsených“ na použitie aritmetického priemeru. Pozri sa:
Úloha číslo 6. Nájdite všetky hodnoty $x$ tak, že čísla $-6(x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ sú po sebe idúce členy aritmetický postup (v určenom poradí).
Riešenie. Keďže tieto čísla sú členmi progresie, podmienka aritmetického priemeru je pre ne splnená: centrálny prvok $x+1$ možno vyjadriť pomocou susedných prvkov:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnať)\]
Ukázalo sa to klasicky kvadratická rovnica. Jeho korene: $x=2$ a $x=-3$ sú odpovede.
Odpoveď: -3; 2.
Úloha číslo 7. Nájdite hodnoty $$ tak, aby čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvorili aritmetickú postupnosť (v tomto poradí).
Riešenie. Opäť vyjadrujeme stredný člen z hľadiska aritmetického priemeru susedných členov:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnať)\]
Ďalšia kvadratická rovnica. A opäť dva korene: $x=6$ a $x=1$.
Odpoveď: 1; 6.
Ak v procese riešenia problému dostanete nejaké brutálne čísla alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje skvelý trik, ktorý vám umožní skontrolovať: vyriešili sme problém správne?
Povedzme, že v úlohe 6 sme dostali odpovede -3 a 2. Ako môžeme skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Zapojme ich do pôvodného stavu a uvidíme, čo sa stane. Dovoľte mi pripomenúť, že máme tri čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), ktoré by mali tvoriť aritmetickú postupnosť. Nahradiť $x=-3$:
\[\začiatok(zarovnanie) & x=-3\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Dostali sme čísla -54; -2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetický postup. To isté sa stane pre $ x = 2 $:
\[\začiatok(zarovnanie) & x=2\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Opäť postup, ale s rozdielom 27. Úloha je teda vyriešená správne. Tí, ktorí chcú, môžu sami skontrolovať druhú úlohu, ale hneď poviem: aj tam je všetko správne.
Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných úloh narazili na ďalšiu zaujímavý fakt, čo je tiež potrebné pripomenúť:
Ak sú tri čísla také, že druhé je priemerom prvého a posledného, potom tieto čísla tvoria aritmetickú postupnosť.
Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „konštruovať“ potrebné postupy na základe stavu problému. No skôr, než sa pustíme do takejto „stavby“, mali by sme venovať pozornosť ešte jednej skutočnosti, ktorá priamo vyplýva z už uvažovaného.
Zoskupovanie a súčet prvkov
Vráťme sa opäť k číselnému radu. Zaznamenávame tam niekoľko členov progresie, medzi ktorými sa možno. stojí za veľa ďalších členov:
6 prvkov vyznačených na číselnom radeSkúsme vyjadriť „ľavý chvost“ pomocou $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý chvost“ pomocou $((a)_(k))$ a $ d$. Je to veľmi jednoduché:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnať)\]
Teraz si všimnite, že nasledujúce sumy sú rovnaké:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Zjednodušene povedané, ak za začiatok považujeme dva prvky postupu, ktoré sa v súčte rovnajú nejakému číslu $S$, a potom začneme od týchto prvkov postupovať opačným smerom (k sebe alebo naopak, aby sme sa vzdialili), potom súčty prvkov, o ktoré zakopneme, budú tiež rovnaké$ S$. Najlepšie sa to dá znázorniť graficky:
Rovnaké zarážky dávajú rovnaké súčty Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní riešiť problémy zásadne viac vysoký stupeň zložitosť ako tie, ktoré sú uvedené vyššie. Napríklad tieto:
Úloha číslo 8. Určte rozdiel aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho člena je najmenší možný.
Riešenie. Zapíšme si všetko, čo vieme:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]
Takže nepoznáme rozdiel v progresii $d$. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na tomto rozdiele, pretože produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ možno prepísať takto:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Pre tých v nádrži: Vybral som spoločný faktor 11 z druhej zátvorky. Požadovaný súčin je teda kvadratická funkcia vzhľadom na premennú $d$. Zvážte preto funkciu $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej graf bude parabola s vetvami nahor, pretože ak otvoríme zátvorky, dostaneme:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Ako vidíte, koeficient v najvyššom termíne je 11 - to je kladné číslo, takže naozaj máme do činenia s parabolou s vetvami nahor:
harmonogram kvadratickej funkcie- parabola
Poznámka: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s osou $((d)_(0))$. Samozrejme, môžeme túto úsečku vypočítať podľa štandardnej schémy (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale bolo by oveľa rozumnejšie všimnite si, že požadovaný vrchol leží na osovej symetrii paraboly, takže bod $((d)_(0))$ je rovnako vzdialený od koreňov rovnice $f\left(d \right)=0$:
\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(d\vpravo)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnať)\]
Preto som sa s otváraním zátvoriek neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene dali veľmi, veľmi ľahko nájsť. Preto sa úsečka rovná strednej hodnote aritmetické čísla-66 a -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Čo nám dáva objavené číslo? S ním požadovaný produkt trvá najmenšia hodnota(Mimochodom, nepočítali sme $((y)_(\min ))$ – nie sme povinní to urobiť). Toto číslo je zároveň rozdielom počiatočnej progresie, t.j. našli sme odpoveď. :)
Odpoveď: -36
Úloha číslo 9. Medzi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tri čísla tak, aby spolu s danými číslami tvorili aritmetickú postupnosť.
Riešenie. V skutočnosti musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo je už známe. Chýbajúce čísla označte premennými $x$, $y$ a $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Všimnite si, že číslo $y$ je "stredom" našej postupnosti - je rovnako vzdialené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac (1) (6) $. A ak z čísel $x$ a $z$ sme v tento moment nemôžeme dostať $y$, potom je situácia iná s koncami progresie. Pamätajte na aritmetický priemer:
Teraz, keď poznáme $y$, nájdeme zvyšné čísla. Všimnite si, že $x$ leží medzi $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$ práve nájdeným. Preto
Argumentujúc podobne, nájdeme zostávajúce číslo:
Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Zapíšme si ich do odpovede v poradí, v akom majú byť vložené medzi pôvodné čísla.
Odpoveď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Úloha číslo 10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s danými číslami tvoria aritmetickú postupnosť, ak je známe, že súčet prvého, druhého a posledného vloženého čísla je 56.
Riešenie. Ešte náročnejšia úloha, ktorá sa však rieši rovnako ako tie predchádzajúce – aritmetickým priemerom. Problém je v tom, že nevieme presne koľko čísel vložiť. Preto pre istotu predpokladáme, že po vložení bude presne $n$ čísel a prvé z nich je 2 a posledné je 42. V tomto prípade môže byť požadovaný aritmetický postup reprezentovaný ako:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \vpravo\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Všimnite si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ sú získané z čísel 2 a 42 stojacich na okrajoch o krok k sebe. , t.j. do stredu sekvencie. A to znamená, že
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ale vyššie uvedený výraz môže byť prepísaný takto:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnať)\]
Keď poznáme $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\šípka doprava d=5. \\ \end(zarovnať)\]
Zostáva len nájsť zvyšných členov:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnať)\]
Už v 9. kroku sa teda dostaneme na ľavý koniec postupnosti - číslo 42. Celkovo bolo treba vložiť len 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Textové úlohy s postupmi
Na záver by som rád zvážil niekoľko jednoduché úlohy. No, jednoducho: pre väčšinu študentov, ktorí študujú matematiku v škole a nečítali, čo je napísané vyššie, môžu tieto úlohy pôsobiť ako gesto. Práve s takýmito úlohami sa však stretávame v OGE a USE v matematike, preto vám odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.
Úloha číslo 11. Tím v januári vyrobil 62 dielov a v každom ďalšom mesiaci vyrobili o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom. Koľko dielov vyrobila brigáda v novembri?
Riešenie. Je zrejmé, že počet dielov, maľovaných podľa mesiacov, bude stúpať aritmetickým postupom. a:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
V novembri sa teda vyrobí 202 dielov.
Úloha číslo 12. Kníhviazačská dielňa zviazala v januári 216 kníh a každý mesiac zviazala o 4 knihy viac ako predchádzajúci mesiac. Koľko kníh zviazal workshop v decembri?
Riešenie. Všetky rovnaké:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Toto je odpoveď – v decembri bude zviazaných 260 kníh.
Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupoch. Pokojne môžeme prejsť na ďalšiu lekciu, kde si preštudujeme vzorec súčtu postupu, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z neho.
Napríklad postupnosť \(2\); \(5\); \(osem\); \(jedenásť\); \(14\)… je aritmetický postup, pretože každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním troch):
V tejto postupnosti je rozdiel \(d\) kladný (rovná sa \(3\)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.
\(d\) však môže byť aj záporné číslo. Napríklad, v aritmetickej postupnosti \(16\); \(desať\); \(štyri\); \(-2\); \(-8\)… rozdiel postupu \(d\) sa rovná mínus šesť.
A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.
Zápis aritmetického postupu
Postup je označený malým latinským písmenom.
Čísla, ktoré tvoria progresiu, sa nazývajú členov(alebo prvky).
Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetický postup, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.
Napríklad aritmetická postupnosť \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) pozostáva z prvkov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak ďalej.
Inými slovami, pre postup \(a_n = \vľavo\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)
Riešenie problémov s aritmetickým postupom
Vyššie uvedené informácie už v zásade postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).
Príklad (OGE).
Aritmetická postupnosť je daná podmienkami \(b_1=7; d=4\). Nájsť \(b_5\).
Riešenie:
odpoveď: \(b_5=23\)
Príklad (OGE).
Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \(62; 49; 36…\) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto progresie.
Riešenie:
|
Sú nám dané prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od susedného o rovnaké číslo. Zistite, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Teraz môžeme obnoviť náš postup k požadovanému (prvému negatívnemu) prvku. |
|
|
Pripravený. Môžete napísať odpoveď. |
odpoveď: \(-3\)
Príklad (OGE).
Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \(...5; x; 10; 12,5...\) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).
Riešenie:
|
|
Aby sme našli \(x\), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami, progresívny rozdiel. Nájdeme to z dvoch známych susedných prvkov: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
A teraz bez problémov nájdeme to, čo hľadáme: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Pripravený. Môžete napísať odpoveď. |
odpoveď: \(7,5\).
Príklad (OGE).
Aritmetický postup je daný nasledujúcimi podmienkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
Riešenie:
|
Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty postupne pomocou nám daného: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Požadovaná suma bola nájdená. |
odpoveď: \(S_6=9\).
Príklad (OGE).
V aritmetickom postupe \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Nájdite rozdiel tohto postupu.
Riešenie:
odpoveď: \(d=7\).
Dôležité vzorce aritmetického postupu
Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci – že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý ďalší prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu (rozdiel progresie).
Niekedy však existujú situácie, kedy je veľmi nepohodlné riešiť „na čelo“. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \(b_5\), ale tristoosemdesiaty šiesty \(b_(386)\). Čo je to, musíme \ (385 \) krát pridať štyri? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Počítanie je mätúce...
Preto sa v takýchto prípadoch nerozhodujú „na čelo“, ale používajú špeciálne vzorce, odvodené pre aritmetickú progresiu. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \(n\) prvých členov.
Vzorec pre \(n\)-tý člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je prvý člen postupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) je členom postupnosti s číslom \(n\).
Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aspoň tristotinu, dokonca aj miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý prvok a rozdiel postupu.
Príklad.
Aritmetický postup je daný podmienkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Nájdite \(b_(246)\).
Riešenie:
odpoveď: \(b_(246)=1850\).
Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde
\(a_n\) je posledný sčítaný člen;
Príklad (OGE).
Aritmetický postup je daný podmienkami \(a_n=3,4n-0,6\). Nájdite súčet prvých \(25\) členov tejto postupnosti.
Riešenie:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich prvkov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho člena. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Teraz nájdime dvadsiaty piaty člen dosadením dvadsaťpäť namiesto \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Teraz bez problémov vypočítame požadovanú sumu. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Odpoveď je pripravená. |
odpoveď: \(S_(25)=1090\).
Pre súčet \(n\) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namiesto \(a_n\) dosaďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dostaneme:
Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde
\(S_n\) – požadovaný súčet \(n\) prvých prvkov;
\(a_1\) je prvý člen, ktorý sa má sčítať;
\(d\) – progresívny rozdiel;
\(n\) - počet prvkov v súčte.
Príklad.
Nájdite súčet prvých \(33\)-ex členov aritmetickej postupnosti: \(17\); \(15,5\); \(štrnásť\)…
Riešenie:
odpoveď: \(S_(33)=-231\).
Zložitejšie problémy aritmetického postupu
Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Dokončite tému úvahami o problémoch, v ktorých musíte nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)
Príklad (OGE).
Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Riešenie:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme riešiť rovnakým spôsobom: najprv nájdeme \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Teraz nahraďte \ (d \) vo vzorci pre súčet ... a tu sa objaví malá nuansa– nevieme \(n\). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? Zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď sa dostaneme k prvému pozitívnemu prvku. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. Ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pre náš prípad. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Potrebujeme, aby \(a_n\) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, pre čo \(n\) sa to stane. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Obe strany nerovnosti vydelíme \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Prenášame mínus jedna, pričom nezabúdame na zmenu značiek |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Výpočtový... |
|
|
\(n>65 333…\) |
…a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \(66\). Podľa toho má posledný zápor \(n=65\). Pre každý prípad, poďme sa na to pozrieť. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Preto musíme pridať prvých \(65\) prvkov. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Odpoveď je pripravená. |
odpoveď: \(S_(65)=-630,5\).
Príklad (OGE).
Aritmetický postup je daný podmienkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nájdite súčet od \(26\)-tého do \(42\) prvku vrátane.
Riešenie:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \(26\)-ého. Nemáme na to vzorec. Ako sa rozhodnúť? |
|
|
Pre náš postup \(a_1=-33\) a rozdiel \(d=4\) (napokon k predchádzajúcemu prvku pridáme štyri, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \(42\)-uh prvkov. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Teraz súčet prvých \(25\)-tých prvkov. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
A nakoniec vypočítame odpoveď. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
odpoveď: \(S=1683\).
Pre aritmetický postup existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.
IV Jakovlev | Materiály z matematiky | MathUs.ru
Aritmetický postup
Aritmetický postup je špeciálny druh postupnosti. Preto pred definovaním aritmetickej (a potom geometrickej) progresie musíme stručne diskutovať dôležitý konceptčíselná postupnosť.
Následná sekvencia
Predstavte si zariadenie, na ktorého obrazovke sa postupne zobrazujú niektoré čísla. Povedzme 2; 7; 13; jeden; 6; 0; 3; : : : Takáto množina čísel je len príkladom postupnosti.
Definícia. Číselná postupnosť je množina čísel, v ktorej možno každému číslu priradiť jedinečné číslo (to znamená dať do súladu s jedným prirodzeným číslom)1. Volá sa číslo s číslom n n-tý člen sekvencie.
Takže vo vyššie uvedenom príklade má prvé číslo číslo 2, čo je prvý člen postupnosti, ktorý možno označiť a1 ; číslo päť má číslo 6, čo je piaty člen postupnosti, ktorý možno označiť a5 . Vo všeobecnosti je n-tý člen sekvencie označený a (alebo bn, cn, atď.).
Veľmi výhodná je situácia, keď n-tý člen postupnosti môže byť špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec an = 2n 3 určuje postupnosť: 1; jeden; 3; 5; 7; : : : Vzorec an = (1)n definuje postupnosť: 1; jeden; jeden; jeden; : : :
Nie každá množina čísel je postupnosť. Takže segment nie je sekvencia; obsahuje ¾príliš veľa¿ čísel na prečíslovanie. Množina R všetkých reálnych čísel tiež nie je postupnosť. Tieto skutočnosti sú dokázané v priebehu matematickej analýzy.
Aritmetická postupnosť: základné definície
Teraz sme pripravení definovať aritmetickú progresiu.
Definícia. Aritmetická postupnosť je postupnosť, v ktorej sa každý člen (počnúc druhým) rovná súčtu predchádzajúceho člena a nejakého pevného čísla (nazývaného rozdiel aritmetického postupu).
Napríklad sekvencia 2; 5; osem; jedenásť; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 2 a rozdielom 3. Sekvencia 7; 2; 3; osem; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 7 a rozdielom 5. Sekvencia 3; 3; 3; : : : je aritmetický postup s nulovým rozdielom.
Ekvivalentná definícia: Postupnosť an sa nazýva aritmetická progresia, ak rozdiel an+1 an je konštantná hodnota (nezávislá od n).
Aritmetická progresia sa nazýva rastúca, ak je jej rozdiel kladný, a klesajúca, ak je jej rozdiel záporný.
1 A tu je stručnejšia definícia: postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Napríklad postupnosť reálnych čísel je funkcia f: N! R.
V predvolenom nastavení sa postupnosti považujú za nekonečné, to znamená, že obsahujú nekonečný počet čísel. Ale nikto sa neobťažuje uvažovať aj o konečných postupnostiach; v skutočnosti môže byť každá konečná množina čísel nazývaná konečnou postupnosťou. Napríklad konečná sekvencia 1; 2; 3; štyri; 5 pozostáva z piatich čísel.
Vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti
Je ľahké pochopiť, že aritmetický postup je úplne určený dvoma číslami: prvým členom a rozdielom. Preto vyvstáva otázka: ako, keď poznáme prvý člen a rozdiel, nájsť ľubovoľný člen aritmetickej progresie?
Nie je ťažké získať požadovaný vzorec pre n-tý člen aritmetickej progresie. Nechajte
aritmetická progresia s rozdielom d. Máme: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Predovšetkým píšeme: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (al + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (al + 2d) + d = a1 + 3d; | |
a teraz je jasné, že vzorec pre an je: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Úloha 1. V aritmetickom postupe 2; 5; osem; jedenásť; : : : nájdite vzorec n-tého členu a vypočítajte stý člen.
Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Vlastnosť a znak aritmetického postupu
vlastnosť aritmetickej progresie. V aritmetickej postupnosti a pre ľubovoľné
Inými slovami, každý člen aritmetickej postupnosti (počnúc od druhého) je aritmetickým priemerom susedných členov.
Dôkaz. Máme: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
čo sa vyžadovalo.
Všeobecnejšie povedané, aritmetický postup a spĺňa rovnosť
a n = a n k+ a n+k
pre ľubovoľné n > 2 a ľubovoľné prirodzené k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ukazuje sa, že vzorec (2) je nielen nevyhnutnou, ale aj postačujúcou podmienkou, aby postupnosť bola aritmetickou progresiou.
Znak aritmetického postupu. Ak platí rovnosť (2) pre všetky n > 2, potom postupnosť an je aritmetická postupnosť.
Dôkaz. Prepíšme vzorec (2) takto:
a na n 1= a n+1a n:
To ukazuje, že rozdiel an+1 an nezávisí od n, a to znamená, že postupnosť an je aritmetická progresia.
Vlastnosť a znamienko aritmetickej progresie možno formulovať ako jeden výrok; pre pohodlie to urobíme pre tri čísla (toto je situácia, ktorá sa často vyskytuje pri problémoch).
Charakterizácia aritmetickej progresie. Tri čísla a, b, c tvoria aritmetickú postupnosť práve vtedy, ak 2b = a + c.
Úloha 2. (Moskva štátna univerzita, Ekonomická fakulta, 2007) Tri čísla 8x, 3x2 a 4 v zadanom poradí tvoria klesajúcu aritmetickú postupnosť. Nájdite x a napíšte rozdiel tohto postupu.
Riešenie. Podľa vlastnosti aritmetického postupu máme:
2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:
Ak x = 1, potom sa získa klesajúca progresia 8, 2, 4 s rozdielom 6. Ak x = 5, potom sa získa rastúca progresia 40, 22, 4; tento prípad nefunguje.
Odpoveď: x = 1, rozdiel je 6.
Súčet prvých n členov aritmetickej progresie
Legenda hovorí, že raz učiteľ povedal deťom, aby našli súčet čísel od 1 do 100 a posadili sa, aby si potichu prečítali noviny. Jeden chlapec však v priebehu niekoľkých minút povedal, že problém vyriešil. Bol to 9-ročný Carl Friedrich Gauss, neskôr jeden z najväčších matematikov histórie.
Nápad malého Gaussa bol takýto. Nechaj
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Napíšme túto sumu v opačnom poradí:
S = 100 + 99 + 98 + : : + 3 + 2 + 1;
a pridajte tieto dva vzorce:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Každý výraz v zátvorkách sa rovná 101 a takýchto výrazov je celkovo 100. Preto
2S = 101 100 = 10 100;
Túto myšlienku použijeme na odvodenie súčtového vzorca
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Užitočnú modifikáciu vzorca (3) získame dosadením vzorca pre n-tý člen an = a1 + (n 1)d do neho:
2a1 + (n1)d | |||||
Úloha 3. Nájdite súčet všetkých kladných trojciferných čísel deliteľných 13.
Riešenie. Trojciferné čísla, ktoré sú násobkami 13, tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom 104 a rozdielom 13; N-tý termín tohto postupu je:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Poďme zistiť, koľko členov obsahuje naša progresia. Aby sme to dosiahli, riešime nerovnosť:
6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
V našej progresii je teda 69 členov. Podľa vzorca (4) nájdeme požadované množstvo:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37 674: 2
Ak každé prirodzené číslo n zodpovedať skutočnému číslu a n , potom hovoria, že daný číselná postupnosť :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Takže číselná postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu.
číslo a 1 volal prvý člen postupnosti , číslo a 2 — druhý člen postupnosti , číslo a 3 — tretí a tak ďalej. číslo a n volal n-tý člen postupnosti a prirodzené číslo n — jeho číslo .
Od dvoch susedných členov a n a a n +1 členské sekvencie a n +1 volal následné (smerom k a n ), a a n — predchádzajúce (smerom k a n +1 ).
Ak chcete zadať sekvenciu, musíte zadať metódu, ktorá vám umožní nájsť člena sekvencie s ľubovoľným číslom.
Často sa postupnosť uvádza s vzorce n-tého členu , teda vzorec, ktorý umožňuje určiť člen sekvencie podľa jeho čísla.
Napríklad,
postupnosť kladných nepárnych čísel môže byť daná vzorcom
a n= 2n- 1,
a postupnosť striedania 1 a -1 - vzorec
b n = (-1)n +1 . ◄
Poradie sa dá určiť opakujúci sa vzorec, teda vzorec, ktorý vyjadruje ľubovoľný člen postupnosti, počnúc niektorým, cez predchádzajúce (jeden alebo viacero) členov.
Napríklad,
ak a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Ak 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potom sa prvých sedem členov číselnej postupnosti nastaví takto:
1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sekvencie môžu byť finálny, konečný a nekonečné .
Sekvencia je tzv konečný ak má konečný počet členov. Sekvencia je tzv nekonečné ak má nekonečne veľa členov.
Napríklad,
postupnosť dvojciferných prirodzených čísel:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
finálny, konečný.
Poradie prvočísel:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
nekonečné. ◄
Sekvencia je tzv zvyšujúci sa , ak je každý z jeho členov, počnúc druhým, väčší ako predchádzajúci.
Sekvencia je tzv ubúdanie , ak je každý jeho člen, počnúc druhým, menší ako predchádzajúci.
Napríklad,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je vzostupná sekvencia;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je zostupná postupnosť. ◄
Postupnosť, ktorej prvky s rastúcim počtom neklesajú, alebo naopak nerastú, sa nazýva monotónna postupnosť .
Monotónne sekvencie sú najmä rastúce sekvencie a klesajúce sekvencie.
Aritmetický postup
Aritmetický postup volá sa postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu, ku ktorému sa pridá rovnaké číslo.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
je aritmetický postup pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:
a n +1 = a n + d,
kde d - nejaké číslo.
Rozdiel medzi nasledujúcim a predchádzajúcim členom danej aritmetickej progresie je teda vždy konštantný:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
číslo d volal rozdiel aritmetického postupu.
Na nastavenie aritmetického postupu stačí zadať jeho prvý člen a rozdiel.
Napríklad,
ak a 1 = 3, d = 4 , potom prvých päť členov postupnosti nájdete takto:
1 =3,
a 2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Pre aritmetický postup s prvým členom a 1 a rozdiel d jej n
a n = 1 + (n- 1)d.
Napríklad,
nájsť tridsiaty člen aritmetického postupu
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, d = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = 1 + (n- 2)d,
a n= 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
potom samozrejme
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
každý člen aritmetického postupu od druhého sa rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.
čísla a, b a c sú po sebe idúcimi členmi nejakej aritmetickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa jedno z nich rovná aritmetickému priemeru ostatných dvoch.
Napríklad,
a n = 2n- 7 , je aritmetický postup.
Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
v dôsledku toho
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Poznač si to n -tý člen aritmetického postupu možno nájsť nielen cez a 1 , ale aj akékoľvek predchádzajúce a k
a n = a k + (n- k)d.
Napríklad,
pre a 5 dá sa napísať
a 5 = 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n+k - kd,
potom samozrejme
| a n=
| a n-k
+ a n+k
|
| 2
|
ktorýkoľvek člen aritmetickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná polovici súčtu členov tejto aritmetickej postupnosti, ktoré sú od nej rovnako vzdialené.
Okrem toho pre akúkoľvek aritmetickú postupnosť platí rovnosť:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Napríklad,
v aritmetickej progresii
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, pretože
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
najprv n členov aritmetickej progresie sa rovná súčinu polovice súčtu extrémnych členov počtom členov:
Z toho najmä vyplýva, že ak je potrebné sčítať termíny
a k, a k +1 , . . . , a n,
potom si predchádzajúci vzorec zachová svoju štruktúru:
Napríklad,
v aritmetickej progresii 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Ak je daná aritmetická postupnosť, potom množstvá a 1 , a n, d, n aS n spojené dvoma vzorcami:
Preto, ak sú uvedené hodnoty troch z týchto veličín, potom zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sú určené z týchto vzorcov kombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.
Aritmetický postup je monotónna postupnosť. kde:
- ak d > 0 , potom sa zvyšuje;
- ak d < 0 , potom sa znižuje;
- ak d = 0 , potom bude sekvencia nehybná.
Geometrická progresia
geometrický postup volá sa postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
je geometrická postupnosť pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:
b n +1 = b n · q,
kde q ≠ 0 - nejaké číslo.
Pomer nasledujúceho člena tejto geometrickej postupnosti k predchádzajúcemu je teda konštantné číslo:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
číslo q volal menovateľ geometrickej postupnosti.
Na stanovenie geometrickej progresie stačí zadať jej prvý člen a menovateľa.
Napríklad,
ak b 1 = 1, q = -3 , potom prvých päť členov postupnosti nájdete takto:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 a menovateľ q jej n -tý člen možno nájsť podľa vzorca:
b n = b 1 · q n -1 .
Napríklad,
nájsť siedmy člen geometrickej postupnosti 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
potom samozrejme
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
každý člen geometrickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná geometrickému priemeru (proporcionálnemu) predchádzajúceho a nasledujúceho člena.
Keďže platí aj opak, platí nasledujúce tvrdenie:
čísla a, b a c sú po sebe idúce členy nejakej geometrickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa druhá mocnina jedného z nich rovná súčinu ostatných dvoch, to znamená, že jedno z čísel je geometrickým priemerom ostatných dvoch.
Napríklad,
dokážme, že postupnosť daná vzorcom b n= -3 2 n , je geometrický postup. Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
v dôsledku toho
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-32 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
ktorý dokazuje požadované tvrdenie. ◄
Poznač si to n člen geometrickej progresie možno nájsť nielen cez b 1 , ale aj akékoľvek predchádzajúce obdobie b k , na čo stačí použiť vzorec
b n = b k · q n - k.
Napríklad,
pre b 5 dá sa napísať
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
potom samozrejme
b n 2 = b n - k· b n + k
druhá mocnina ktoréhokoľvek člena geometrickej postupnosti, počínajúc druhým, sa rovná súčinu členov tejto postupnosti, ktoré sú od nej rovnako vzdialené.
Okrem toho pre akúkoľvek geometrickú progresiu platí rovnosť:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Napríklad,
exponenciálne
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , pretože
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
najprv n členov geometrickej postupnosti s menovateľom q ≠ 0 vypočítané podľa vzorca:
A kedy q = 1 - podľa vzorca
S n= n.b. 1
Všimnite si, že ak potrebujeme sčítať podmienky
b k, b k +1 , . . . , b n,
potom sa použije vzorec:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Napríklad,
exponenciálne 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ak je daná geometrická postupnosť, potom množstvá b 1 , b n, q, n a S n spojené dvoma vzorcami:
Preto, ak sú uvedené hodnoty akýchkoľvek troch z týchto veličín, potom zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sú určené z týchto vzorcov kombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.
Pre geometrický postup s prvým členom b 1 a menovateľ q prebieha nasledovné vlastnosti monotónnosti :
- progresia sa zvyšuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
b 1 > 0 a q> 1;
b 1 < 0 a 0 < q< 1;
- Progresia sa znižuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
b 1 > 0 a 0 < q< 1;
b 1 < 0 a q> 1.
Ak q< 0 , potom je geometrická postupnosť znamienkovo striedavá: jej nepárne členy majú rovnaké znamienko ako jej prvý člen a párne členy majú opačné znamienko. Je jasné, že striedavý geometrický postup nie je monotónny.
Produkt prvého n členy geometrickej progresie možno vypočítať podľa vzorca:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Napríklad,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Nekonečne klesajúca geometrická progresia
Nekonečne klesajúca geometrická progresia sa nazýva nekonečná geometrická postupnosť, ktorej modul menovateľa je menší ako 1 , teda
|q| < 1 .
Všimnite si, že nekonečne klesajúca geometrická progresia nemusí byť klesajúca postupnosť. Toto sa hodí na prípad
1 < q< 0 .
S takýmto menovateľom je postupnosť znamienkovo striedavá. Napríklad,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie pomenujte číslo, ku ktorému je súčet prvého n podmienky postupu s neobmedzeným nárastom počtu n . Toto číslo je vždy konečné a je vyjadrené vzorcom
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Napríklad,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Vzťah medzi aritmetickými a geometrickými postupnosťami
Aritmetické a geometrický postupúzko súvisia. Uvažujme len o dvoch príkladoch.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , potom
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Napríklad,
1, 3, 5, . . . — aritmetický postup s rozdielom 2 a
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrická postupnosť s menovateľom 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrická postupnosť s menovateľom q , potom
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetický postup s rozdielom log aq .
Napríklad,
2, 12, 72, . . . je geometrická postupnosť s menovateľom 6 a
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetický postup s rozdielom lg 6 . ◄