Čo je druhá odmocnina?
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Tento koncept je veľmi jednoduchý. Prirodzené, povedal by som. Matematici sa snažia nájsť reakciu na každú akciu. Existuje sčítanie a odčítanie. Existuje násobenie a delenie. Tam je kvadratúra ... Takže tam je tiež extrakcia odmocnina! To je všetko. Táto akcia ( brať druhú odmocninu) je v matematike označená touto ikonou:
Samotná ikona je tzv krásne slovo "radikálny".
Ako extrahovať koreň? Je lepšie zvážiť príklady.
Aká je druhá odmocnina z 9? A aké druhé číslo nám dá 9? 3 na druhú nám dáva 9! tieto:
Aká je druhá odmocnina nuly? Žiaden problém! Aké číslo dáva druhá mocnina nule? Áno, on sám dáva nulu! znamená:
Chytený čo je druhá odmocnina? Potom zvážime príklady:
Odpovede (v neporiadku): 6; 1; 4; 9; 5.
Rozhodnuté? Naozaj, je to oveľa jednoduchšie!
Ale... Čo robí človek, keď vidí nejakú úlohu s koreňmi?
Človek začne túžiť ... Neverí v jednoduchosť a ľahkosť koreňov. Aj keď sa zdá, že vie čo je druhá odmocnina...
Je to preto, že človek pri štúdiu koreňov ignoroval niekoľko dôležitých bodov. Potom sa tieto výstrelky brutálne pomstia na testoch a skúškach ...
Bod jedna. Korene treba rozpoznať zrakom!
Aká je druhá odmocnina zo 49? Sedem? Správny! Ako si vedel, že ich je sedem? Druhá mocnina sedem a 49? Správny! Vezmite prosím na vedomie, že extrahovať koreň zo 49 sme museli urobiť opačnú operáciu - štvorec 7! A uistite sa, že nezmeškáme. Alebo by mohli chýbať...
V tom spočíva obtiažnosť extrakcia koreňov. Kvadratúra akékoľvek číslo je možné bez problémov. Vynásobte číslo samo o sebe v stĺpci - a to je všetko. Ale pre extrakcia koreňov taká jednoduchá a bezproblémová technológia neexistuje. Účet pre zdvihnúť odpovedzte a skontrolujte, či nie je zasiahnutá druhou mocninou.
Tento zložitý tvorivý proces – výber odpovede – sa výrazne zjednoduší, ak vy zapamätaj sištvorce populárnych čísel. Ako násobilka. Ak, povedzme, potrebujete vynásobiť 4 x 6 - nesčítate štyri 6-krát, však? Okamžite sa objaví odpoveď 24. Aj keď, nie každý ju má, áno ...
Pre slobodnú a úspešnú prácu s odmocninami stačí poznať druhé mocniny čísel od 1 do 20. Navyše, tam A späť. Tie. mali by ste byť schopní ľahko pomenovať povedzme 11 na druhú a druhú odmocninu zo 121. Na dosiahnutie tohto zapamätania existujú dva spôsoby. Prvým je naučiť sa tabuľku štvorcov. Veľmi to pomôže s príkladmi. Druhým je vyriešiť viac príkladov. Je skvelé zapamätať si tabuľku štvorcov.
A žiadne kalkulačky! Len na overenie. V opačnom prípade počas skúšky nemilosrdne spomalíte ...
takže, čo je druhá odmocnina A ako extrahovať korene- Myslím, že je to pochopiteľné. Teraz poďme zistiť, Z ČOHO ich môžete extrahovať.
Bod dva. Root, nepoznám ťa!
Z akých čísel môžete odvodiť odmocniny? Áno, takmer akýkoľvek. Je ľahšie pochopiť, čo je zakázané extrahovať ich.
Skúsme vypočítať tento koreň:
Ak to chcete urobiť, musíte vybrať číslo, ktorého odmocnenie nám dá -4. Vyberáme.
Čo nie je vybrané? 2 2 dáva +4. (-2) 2 dáva opäť +4! To je všetko... Neexistujú žiadne čísla, ktoré nám po druhej mocnine dajú záporné číslo! Aj keď čísla poznám. Ale to ti nepoviem.) Choďte na vysokú školu a zistite to sami.
Rovnaký príbeh bude s ľubovoľným záporným číslom. Preto záver:
Výraz, v ktorom je záporné číslo pod odmocninou - nedáva zmysel! Toto je zakázaná operácia. Rovnako zakázané ako delenie nulou. Majte túto skutočnosť na pamäti! Alebo inak povedané:
Zo záporných čísel nemôžete získať druhé odmocniny!
Ale zo všetkého ostatného - môžete. Napríklad je možné vypočítať
Na prvý pohľad je to veľmi ťažké. Zbierajte zlomky, ale umocnite ... Nebojte sa. Keď sa zaoberáme vlastnosťami koreňov, takéto príklady sa zredukujú na rovnakú tabuľku štvorcov. Život bude jednoduchší!
Dobre zlomky. Stále sa však stretávame s výrazmi ako:
Je to v poriadku. Všetky rovnaké. Druhá odmocnina z dvoch je číslo, ktoré nám po odmocnení dá dvojku. Len číslo je úplne nepárne ... Tu je:
Zaujímavé je, že tento zlomok nikdy nekončí... Takéto čísla sa nazývajú iracionálne. V odmocninách je to najbežnejšia vec. Mimochodom, preto sa nazývajú výrazy s koreňmi iracionálny. Je jasné, že písať stále taký nekonečný zlomok je nepohodlné. Preto to namiesto nekonečného zlomku nechajú takto:
Ak pri riešení príkladu dostanete niečo, čo nie je extrahovateľné, ako napríklad:
potom to necháme tak. Toto bude odpoveď.
Musíte jasne pochopiť, čo je pod ikonami
Samozrejme, ak sa vezme koreň čísla hladké, musíte tak urobiť. Odpoveď na úlohu vo forme napr
celkom úplná odpoveď.
A samozrejme musíte poznať približné hodnoty z pamäte:
Tieto znalosti veľmi pomáhajú pri posudzovaní situácie v zložitých úlohách.
Bod tri. Najprefíkanejší.
Hlavný zmätok v práci s korienkami prináša práve tento výstrelok. Je to on, kto o sebe pochybuje... Poďme sa s týmto výstrelkom poriadne vysporiadať!
Na začiatok opäť extrahujeme druhú odmocninu ich štyroch. Čože, už som ťa dostal s týmto koreňom?) Nič, teraz to bude zaujímavé!
Aké číslo dá štvorec 4? No, dva, dva - počujem nespokojné odpovede ...
Správny. Dva. Ale tiež mínus dva dá 4 na druhú ... Medzitým odpoveď
správne a odpoveď
najhrubšia chyba. Páči sa ti to.
Tak aká je dohoda?
Skutočne, (-2) 2 = 4. A podľa definície druhej odmocniny štyroch mínus dva celkom vhodné... Toto je tiež druhá odmocnina zo štyroch.
Ale! V školskom kurze matematiky je zvykom brať do úvahy druhé odmocniny iba nezáporné čísla! Teda nula a všetko pozitívne. Bol vytvorený aj špeciálny termín: z čísla A- Toto nezápornéčíslo, ktorého štvorec je A. Negatívne výsledky pri extrakcii aritmetickej druhej odmocniny sa jednoducho zahodia. V škole všetky odmocniny - aritmetika. Aj keď to nie je konkrétne uvedené.
Dobre, to je pochopiteľné. Ešte lepšie je nezahrávať sa negatívne výsledky... Toto ešte nie je zmätok.
Zmätok začína pri riešení kvadratických rovníc. Napríklad musíte vyriešiť nasledujúcu rovnicu.
Rovnica je jednoduchá, napíšeme odpoveď (ako sme sa naučili):
Táto odpoveď (mimochodom celkom správna) je len skrátený zápis dva odpovede:
Stop stop! O niečo vyššie som napísal, že druhá odmocnina je číslo Vždy nie negatívne! A tu je jedna z odpovedí - negatívne! Porucha. Toto je prvý (ale nie posledný) problém, ktorý spôsobuje nedôveru ku koreňom ... Poďme tento problém vyriešiť. Zapíšme si odpovede (čisto pre pochopenie!) takto:
Zátvorky nemenia podstatu odpovede. Len som to oddelil zátvorkami znamenia od koreň. Teraz je jasne vidieť, že samotný koreň (v zátvorkách) je stále nezáporné číslo! A znamenia sú výsledok riešenia rovnice. Pri riešení akejkoľvek rovnice totiž musíme písať Všetky x, ktorá po dosadení do pôvodnej rovnice poskytne správny výsledok. Odmocnina z piatich (kladná!) je vhodná pre našu rovnicu s plusom aj mínusom.
Páči sa ti to. Ak ty stačí vziať druhú odmocninu z čohokoľvek ty Vždy dostať jeden nezáporný výsledok. Napríklad:
Pretože to - aritmetická druhá odmocnina.
Ale ak sa rozhodnete kvadratická rovnica, typ:
To Vždy ukázalo sa dva odpoveď (s plusom a mínusom):
Pretože je to riešenie rovnice.
Nádej, čo je druhá odmocnina s bodmi si to vystihol správne. Teraz zostáva zistiť, čo sa dá robiť s koreňmi, aké sú ich vlastnosti. A aké sú módy a podvodné škatule ... prepáčte, kamene!)
To všetko - v ďalších lekciách.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Koreňové vzorce. vlastnosti odmocnin.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
V predchádzajúcej lekcii sme zistili, čo je druhá odmocnina. Je čas zistiť, čo sú vzorce pre korene, čo sú koreňové vlastnosti a čo sa s tým všetkým dá robiť.
Koreňové vzorce, koreňové vlastnosti a pravidlá pre akcie s koreňmi- je to v podstate to isté. Vzorce pre odmocniny prekvapivo málo. Čo, samozrejme, poteší! Skôr sa dá napísať množstvo všelijakých vzorcov, no na praktickú a sebavedomú prácu s koreňmi stačia len tri. Všetko ostatné plynie z týchto troch. Hoci mnohí blúdia v troch vzorcoch koreňov, áno ...
Začnime tým najjednoduchším. Tu je:
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Je čas rozobrať metódy extrakcie koreňov. Sú založené na vlastnostiach koreňov, najmä na rovnosti, ktorá platí pre každé nezáporné číslo b.
Nižšie sa budeme zaoberať hlavnými metódami extrakcie koreňov.
Začnime s najjednoduchším prípadom - extrahovanie koreňov z prirodzených čísel pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
Ak sú tabuľky štvorcov, kociek atď. nie je po ruke, je logické použiť metódu extrakcie koreňa, ktorá zahŕňa rozklad koreňového čísla na jednoduché faktory.
Samostatne stojí za to prebývať, čo je možné pre korene s nepárnymi exponentmi.
Nakoniec zvážte metódu, ktorá vám umožní postupne nájsť číslice hodnoty koreňa.
Začnime.
Pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
V najjednoduchších prípadoch umožňujú extrakciu koreňov tabuľky štvorcov, kociek atď. Čo sú to za tabuľky?
Tabuľka druhých mocnín celých čísel od 0 do 99 vrátane (zobrazená nižšie) pozostáva z dvoch zón. Prvá zóna tabuľky je umiestnená na sivom pozadí, výberom určitého riadku a určitého stĺpca umožňuje vytvoriť číslo od 0 do 99. Vyberme napríklad riadok s 8 desiatkami a stĺpec s 3 jednotkami, čím sme opravili číslo 83. Druhá zóna zaberá zvyšok tabuľky. Každá z jeho buniek sa nachádza na priesečníku určitého riadku a určitého stĺpca a obsahuje druhú mocninu príslušného čísla od 0 do 99 . Na priesečníku nami zvoleného radu 8 desiatok a stĺpca 3 jednej je bunka s číslom 6889, čo je druhá mocnina čísla 83.
Tabuľky kociek, tabuľky štvrtých mocnín čísel od 0 do 99 a tak ďalej sú podobné tabuľke štvorcov, len v druhej zóne obsahujú kocky, štvrté mocniny atď. zodpovedajúce čísla.
Tabuľky štvorcov, kociek, štvrtej mocniny atď. umožňujú extrahovať odmocniny, kocky, štvrté odmocniny atď. z čísel v týchto tabuľkách. Vysvetlime si princíp ich aplikácie pri extrakcii koreňov.
Povedzme, že potrebujeme extrahovať koreň n-tého stupňa z čísla a, pričom číslo a je obsiahnuté v tabuľke n-tých stupňov. Podľa tejto tabuľky nájdeme číslo b také, že a=b n . Potom 
, preto číslo b bude želaným koreňom n-tého stupňa.
Ako príklad si ukážeme, ako sa odmocnina z roku 19683 extrahuje pomocou tabuľky kociek. V tabuľke kociek nájdeme číslo 19 683, z nej zistíme, že toto číslo je kockou čísla 27, teda 
.
Je zrejmé, že tabuľky n-tých stupňov sú veľmi vhodné pri extrakcii koreňov. Často však nie sú po ruke a ich zostavenie si vyžaduje určitý čas. Okrem toho je často potrebné extrahovať korene z čísel, ktoré nie sú obsiahnuté v príslušných tabuľkách. V týchto prípadoch sa musíte uchýliť k iným metódam extrakcie koreňov.
Rozklad koreňového čísla na prvočiniteľa
Pomerne pohodlný spôsob, ako extrahovať koreň z prirodzeného čísla (ak je, samozrejme, koreň extrahovaný), je rozložiť číslo koreňa na prvočísla. Jeho podstata je nasledovná: potom je celkom ľahké ho reprezentovať ako stupeň s požadovaným ukazovateľom, ktorý vám umožňuje získať hodnotu koreňa. Vysvetlime si tento bod.
Nech je koreň n-tého stupňa extrahovaný z prirodzeného čísla a a jeho hodnota sa rovná b. V tomto prípade platí rovnosť a=b n. Číslo b ako ľubovoľné prirodzené číslo môže byť reprezentované ako súčin všetkých jeho prvočiniteľov p 1 , p 2 , …, p m v tvare p 1 p 2 … p m a koreňové číslo a je v tomto prípade reprezentované ako (p 1 p 2 ... p m) n . Keďže rozklad čísla na prvočísla je jedinečný, rozklad čísla odmocniny a na prvočísla bude vyzerať takto (p 1 ·p 2 ·...·p m) n , čo umožňuje vypočítať hodnotu odmocniny ako .
Všimnite si, že ak rozklad koreňového čísla a nemožno znázorniť v tvare (p 1 ·p 2 ·...·p m) n , potom koreň n-tého stupňa z takého čísla a nie je úplne extrahovaný.
Vyrovnajme sa s tým pri riešení príkladov.
Príklad.
Vezmite druhú odmocninu zo 144 .
Riešenie.
Ak sa pozrieme na tabuľku štvorcov uvedenú v predchádzajúcom odseku, je jasne vidieť, že 144=12 2 , z čoho je zrejmé, že druhá odmocnina zo 144 je 12.
Ale vo svetle tohto bodu nás zaujíma, ako sa koreň extrahuje rozkladom koreňa číslo 144 na prvočísla. Poďme sa pozrieť na toto riešenie.
Poďme sa rozložiť 144 k hlavným faktorom:
To znamená, 144 = 2 2 2 2 3 3 . Na základe výsledného rozkladu je možné vykonať nasledujúce transformácie: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. teda 
.
Pomocou vlastností stupňa a vlastností koreňov by sa riešenie dalo formulovať trochu inak: .
odpoveď:
Na upevnenie materiálu zvážte riešenia dvoch ďalších príkladov.
Príklad.
Vypočítajte koreňovú hodnotu.
Riešenie.
Prvočíslo odmocniny 243 je 243=3 5 . teda 
.
odpoveď:
Príklad.
Je hodnota koreňa celé číslo?
Riešenie.
Aby sme odpovedali na túto otázku, rozložme koreňové číslo na prvočísla a uvidíme, či ho možno reprezentovať ako kocku celého čísla.
Máme 285 768=2 3 3 6 7 2 . Výsledný rozklad nie je reprezentovaný ako kocka celého čísla, pretože stupeň hlavným faktorom 7 nie je násobkom troch. Preto sa odmocnina 285 768 neberie úplne.
odpoveď:
Nie
Extrahovanie koreňov z zlomkových čísel
Je čas zistiť, ako sa koreň extrahuje z zlomkového čísla. Nech je zlomkové číslo odmocniny napísané ako p/q . Podľa vlastnosti koreňa kvocientu platí nasledujúca rovnosť. Z tejto rovnosti vyplýva pravidlo zlomkového koreňa: Odmocnina zlomku sa rovná podielu delenia odmocniny čitateľa odmocninou menovateľa.
Pozrime sa na príklad extrakcie koreňa zo zlomku.
Príklad.
Čo je druhá odmocnina z spoločný zlomok 25/169 .
Riešenie.
Podľa tabuľky štvorcov zistíme, že druhá odmocnina čitateľa pôvodného zlomku je 5 a druhá odmocnina menovateľa je 13. Potom 
. Tým sa dokončí extrakcia koreňa z obyčajnej frakcie 25/169.
odpoveď:
Odmocnina desatinného zlomku alebo zmiešaného čísla sa extrahuje po nahradení koreňových čísel bežnými zlomkami.
Príklad.
Vezmite odmocninu desatinného čísla 474,552.
Riešenie.
Predstavte si originál desiatkový vo forme obyčajného zlomku: 474,552=474552/1000. Potom 
. Zostáva extrahovať kubické korene, ktoré sú v čitateli a menovateli výsledného zlomku. Pretože 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, potom 
A 
. Zostáva len dokončiť výpočty 
.
odpoveď:
.
Extrahovanie odmocniny záporného čísla
Samostatne stojí za to venovať sa extrakcii koreňov zo záporných čísel. Pri štúdiu koreňov sme si povedali, že keď je exponent odmocniny nepárne číslo, pod znamienkom odmocniny môže byť aj záporné číslo. Takýmto zápisom sme dali nasledujúci význam: pre záporné číslo −a a nepárny exponent od koreňa 2 n−1 máme 
. Táto rovnosť dáva pravidlo na extrakciu nepárnych koreňov zo záporných čísel: ak chcete extrahovať koreň zo záporného čísla, musíte extrahovať koreň z opačného kladného čísla a pred výsledok vložiť znamienko mínus.
Uvažujme o príklade riešenia.
Príklad.
Nájdite koreňovú hodnotu.
Riešenie.
Pôvodný výraz transformujeme tak, aby sa ukázal pod znamienkom koreňa kladné číslo: 
. Teraz zmiešané číslo nahradiť obyčajným zlomkom: 
. Aplikujeme pravidlo extrakcie koreňa z obyčajnej frakcie: 
. Zostáva vypočítať korene v čitateli a menovateli výsledného zlomku: 
.
Tu je zhrnutie riešenia: 
.
odpoveď:
.
Bitové hľadanie koreňovej hodnoty
Vo všeobecnom prípade sa pod koreňom nachádza číslo, ktoré pomocou vyššie uvedených techník nemôže byť reprezentované ako n-tá mocnina žiadneho čísla. Ale zároveň je potrebné poznať hodnotu daného koreňa, aspoň do určitého znamienka. V tomto prípade na extrakciu koreňa môžete použiť algoritmus, ktorý vám umožní konzistentne získať dostatočný počet hodnôt číslic požadovaného čísla.
Na prvom kroku tento algoritmus musíte zistiť, čo je najvýznamnejšou časťou hodnoty koreňa. Na tento účel sa čísla 0, 10, 100, ... postupne zvyšujú na mocninu n, kým sa nezíska číslo presahujúce odmocninu. Potom číslo, ktoré sme v predchádzajúcom kroku zvýšili na mocninu n, bude označovať zodpovedajúci vysoký rád.
Zvážte napríklad tento krok algoritmu pri extrakcii druhej odmocniny z piatich. Zoberieme čísla 0, 10, 100, ... a odmocníme ich, kým nedostaneme číslo väčšie ako 5 . Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , čo znamená, že najvýznamnejšia číslica bude číslica jednotiek. Hodnota tohto bitu, ako aj nižších, sa zistí v ďalších krokoch algoritmu extrakcie koreňa.
Všetky nasledujúce kroky algoritmu sú zamerané na postupné spresnenie hodnoty koreňa v dôsledku skutočnosti, že sa nájdu hodnoty ďalších číslic požadovanej hodnoty koreňa, počnúc od najvyššej po najnižšiu. . Napríklad hodnota koreňa v prvom kroku je 2 , v druhom - 2,2 , v treťom - 2,23 , a tak ďalej 2,236067977 ... . Popíšme, ako sa nachádzajú hodnoty bitov.
Nájdenie číslic sa vykonáva ich sčítaním možné hodnoty 0, 1, 2, ..., 9. V tomto prípade sa paralelne vypočítajú n-té mocniny zodpovedajúcich čísel a porovnajú sa s koreňovým číslom. Ak v určitom štádiu hodnota stupňa prekročí radikálne číslo, potom sa hodnota číslice zodpovedajúcej predchádzajúcej hodnote považuje za nájdenú a ak sa tak nestane, vykoná sa prechod na ďalší krok algoritmu extrakcie koreňov. potom je hodnota tejto číslice 9 .
Vysvetlime všetky tieto body na rovnakom príklade extrakcie druhej odmocniny z piatich.
Najprv nájdite hodnotu číslice jednotiek. Budeme iterovať hodnoty 0, 1, 2, …, 9 , pričom budeme počítať 0 2 , 1 2 , …, 9 2, kým nedostaneme hodnotu väčšiu ako radikálne číslo 5 . Všetky tieto výpočty sú pohodlne prezentované vo forme tabuľky: 
Takže hodnota číslice jednotky je 2 (pretože 2 2<5
, а 2 3 >5). Prejdime k hľadaniu hodnoty desiateho miesta. V tomto prípade odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, pričom získané hodnoty porovnáme s koreňovým číslom 5: 
Od 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5 , potom je hodnota desiateho miesta 2 . Môžete pokračovať v hľadaní hodnoty stotín miesta: 
Takže sa nájde ďalšia hodnota odmocniny z piatich, rovná sa 2,23. A tak môžete pokračovať v hľadaní hodnôt ďalej: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Na konsolidáciu materiálu analyzujeme extrakciu koreňa s presnosťou na stotiny pomocou uvažovaného algoritmu.
Najprv definujeme staršiu číslicu. Aby sme to urobili, dáme kocku čísla 0, 10, 100 atď. kým nedostaneme číslo väčšie ako 2 151,186 . Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , takže najvýznamnejšou číslicou sú desiatky.
Definujme jeho hodnotu. 
Od 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, potom je hodnota desiatky číslic 1. Prejdime k jednotkám. 
Hodnota jedného miesta je teda 2 . Prejdime k desiatke. 
Keďže aj 12,9 3 je menej ako radikálne číslo 2 151,186 , hodnota desiateho miesta je 9 . Zostáva vykonať posledný krok algoritmu, ten nám dá hodnotu koreňa s požadovanou presnosťou. 
V tomto štádiu sa hodnota koreňa nachádza až do stotín: 
.
Na záver tohto článku by som chcel povedať, že existuje mnoho ďalších spôsobov, ako extrahovať korene. Ale pre väčšinu úloh postačujú tie, ktoré sme študovali vyššie.
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).
Nezáporná druhá odmocnina kladného čísla sa nazýva aritmetická druhá odmocnina a označuje sa pomocou radikálneho znamienka.
Komplexné čísla
Nad oborom komplexných čísel existujú vždy dve riešenia, ktoré sa líšia iba znamienkom (okrem druhej odmocniny nuly). Koreň komplexného čísla sa často označuje ako , ale tento zápis sa musí používať opatrne. Častá chyba:
Na extrakciu druhej odmocniny komplexného čísla je vhodné použiť exponenciálny zápis komplexného čísla: ak
,
,
kde koreň modulu sa chápe v zmysle aritmetickej hodnoty a k môže nadobúdať hodnoty k=0 a k=1, výsledkom sú teda dva rôzne výsledky v odpovedi.
Zovšeobecnenia
Druhé odmocniny sa zavádzajú ako riešenia rovníc tvaru a pre iné objekty: matice, funkcie, operátory atď. V tomto prípade možno použiť celkom ľubovoľné multiplikatívne operácie, napríklad superpozíciu.
Druhá odmocnina v informatike
V mnohých programovacích jazykoch na funkčnej úrovni (ako aj v značkovacích jazykoch ako LaTeX) sa funkcia druhej odmocniny označuje ako sqrt(z angličtiny. odmocnina"Odmocnina").
Algoritmy na nájdenie druhej odmocniny
Nájdenie alebo výpočet druhej odmocniny daného čísla sa nazýva extrakcia(odmocnina.
Rozšírenie Taylorovho radu
v .Aritmetická druhá odmocnina
Pre druhé mocniny čísel platia nasledujúce rovnosti:
To znamená, že môžete zistiť celú časť druhej odmocniny čísla tak, že od nej odčítate všetky nepárne čísla v poradí, kým zvyšok nie je menší ako nasledujúce odpočítané číslo alebo sa rovná nule, a spočítate počet vykonaných akcií. Napríklad takto:
Vykonané 3 kroky, druhá odmocnina z 9 je 3.
Nevýhodou tejto metódy je, že ak extrahovaný koreň nie je celé číslo, potom môžete zistiť iba jeho celočíselnú časť, ale nie presnejšie. Zároveň je táto metóda celkom prístupná deťom, ktoré riešia najjednoduchšie matematické problémy vyžadujúce extrakciu druhej odmocniny.
Hrubý odhad
Mnoho algoritmov na výpočet druhej odmocniny kladného reálneho čísla S vyžadujú určitú počiatočnú hodnotu. Ak je počiatočná hodnota príliš vzdialená od skutočnej hodnoty koreňa, výpočty sa spomalia. Preto je užitočné mať hrubý odhad, ktorý môže byť veľmi nepresný, ale dá sa ľahko vypočítať. Ak S≥ 1, let D bude počet číslic S naľavo od desatinnej čiarky. Ak S < 1, пусть D bude počet po sebe idúcich núl napravo od desatinnej čiarky, braných so znamienkom mínus. Potom hrubý odhad vyzerá takto:
Ak D zvláštny, D = 2n+ 1, potom použijeme 
Ak D dokonca, D = 2n+ 2, potom použijeme 
Dva a šesť sa používajú, pretože 
A
Pri práci v binárnom systéme (ako v počítačoch) by sa mal použiť iný odhad (tu D je počet binárnych číslic).
Geometrická druhá odmocnina
Na manuálne extrahovanie koreňa sa používa zápis podobný deleniu stĺpcov. Číslo, ktorého koreň hľadáme, je vypísané. Napravo od neho postupne dostaneme čísla požadovaného koreňa. Nech je koreň extrahovaný z čísla s konečným počtom desatinných miest. Na začiatok, v duchu alebo s menovkami, rozdelíme číslo N do skupín po dvoch čísliciach vľavo a vpravo od desatinnej čiarky. V prípade potreby sú skupiny doplnené nulami - celočíselná časť je doplnená vľavo, zlomková vpravo. Takže 31234.567 môže byť reprezentované ako 03 12 34 . 56 70. Na rozdiel od delenia sa demolácia vykonáva v takýchto skupinách po 2 číslach.
Vizuálny popis algoritmu:
Študenti sa vždy pýtajú: „Prečo nemôžem na skúške z matematiky použiť kalkulačku? Ako extrahovať druhú odmocninu čísla bez kalkulačky? Skúsme si na túto otázku odpovedať.
Ako extrahovať druhú odmocninu čísla bez pomoci kalkulačky?
Akcia extrakcia druhej odmocniny opak kvadratúry.
√81= 9 9 2 =81
Ak vezmeme druhú odmocninu kladného čísla a výsledok odmocníme, dostaneme rovnaké číslo.
Z malých čísel, ktoré sú presnými druhými mocninami prirodzených čísel, napríklad 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, je možné získať odmocniny slovne. Zvyčajne v škole učia tabuľku druhých mocnín prirodzených čísel do dvadsať. Keď poznáte túto tabuľku, je ľahké extrahovať odmocniny z čísel 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z čísel väčších ako 400 môžete extrahovať pomocou metódy výberu pomocou niekoľkých tipov. Skúsme príklad na zváženie tejto metódy.
Príklad: Extrahujte koreň čísla 676.
Všimli sme si, že 20 2 \u003d 400 a 30 2 \u003d 900, čo znamená 20< √676 < 900.
Presné druhé mocniny prirodzených čísel končia 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Číslo 6 je dané 4 2 a 6 2 .
Takže, ak je koreň prevzatý z 676, potom je to buď 24 alebo 26.
Zostáva skontrolovať: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
odpoveď: √676 = 26 .
Viac príklad: √6889 .
Od 80 2 \u003d 6400 a 90 2 \u003d 8100, potom 80< √6889 < 90.
Číslo 9 je dané 3 2 a 7 2, potom √6889 je buď 83 alebo 87.
Kontrola: 83 2 = 6889.
odpoveď: √6889 = 83 .
Ak zistíte, že je to ťažké vyriešiť metódou výberu, môžete koreňový výraz rozložiť na faktor.
Napríklad, nájsť √893025.
Rozložme číslo 893025, pamätajte, že ste to robili v šiestej triede.
Získame: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Viac príklad: √20736. Rozložme číslo 20736 na faktor:
Získame √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Faktoring si samozrejme vyžaduje znalosť kritérií deliteľnosti a faktoringové zručnosti.
A nakoniec, existuje pravidlo druhej odmocniny. Pozrime sa na toto pravidlo na príklade.
Vypočítajte √279841.
Aby sme extrahovali odmocninu z viacciferného celého čísla, rozdelili sme ho sprava doľava na plochy obsahujúce 2 číslice (v ľavej krajnej strane môže byť jedna číslica). Napíšte takto 27'98'41
Aby sme získali prvú číslicu odmocniny (5), extrahujeme druhú odmocninu najväčšieho presného štvorca obsiahnutého v prvej ľavej strane (27).
Potom sa druhá mocnina prvej číslice odmocniny (25) odčíta od prvej plochy a ďalšia plocha (98) sa pripíše (zničí) rozdielu.
Naľavo od výsledného čísla 298 napíšu dvojcifernú odmocninu (10), vydelia ňou počet všetkých desiatok predtým získaného čísla (29/2 ≈ 2), zažijú kvocient (102 ∙ 2 = 204 by nemalo byť väčšie ako 298) a napíšte (2) za prvú číslicu koreňa.
Potom sa výsledný kvocient 204 odpočíta od 298 a rozdielu (94) sa pripíše (demoluje) ďalšia fazeta (41).
Naľavo od výsledného čísla 9441 napíšu dvojitý súčin číslic odmocniny (52 ∙ 2 = 104), týmto súčinom vydelia počet všetkých desiatok čísla 9441 (944/104 ≈ 9), skúsenosť podiel (1049 ∙ 9 = 9441) by mal byť 9441 a zapísať ho (9) za druhú číslicu odmocniny.
Dostali sme odpoveď √279841 = 529.
Podobne extrahujte korene desatinných miest. Iba radikálne číslo musí byť rozdelené na tváre tak, aby bola čiarka medzi tvárami.
Príklad. Nájdite hodnotu √0,00956484.
Len si pamätajte, že ak má desatinný zlomok nepárny počet desatinných miest, druhá odmocnina z neho nie je presne extrahovaná.
Takže teraz ste videli tri spôsoby, ako extrahovať koreň. Vyberte si ten, ktorý vám najviac vyhovuje a cvičte. Aby ste sa naučili riešiť problémy, musíte ich vyriešiť. A ak máte nejaké otázky, prihláste sa na moje lekcie.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.