Čo je druhá odmocnina?
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Tento koncept je veľmi jednoduchý. Prirodzené, povedal by som. Matematici sa snažia nájsť reakciu na každú akciu. Existuje sčítanie a odčítanie. Existuje násobenie a delenie. Tam je kvadratúra ... Takže tam je tiež extrakcia odmocnina! To je všetko. Táto akcia ( brať druhú odmocninu) je v matematike označená touto ikonou:
Samotná ikona je tzv krásne slovo "radikálny".
Ako extrahovať koreň? Je lepšie zvážiť príklady.
Aká je druhá odmocnina z 9? A aké druhé číslo nám dá 9? 3 na druhú nám dáva 9! tieto:
Aká je druhá odmocnina nuly? Žiaden problém! Aké číslo dáva druhá mocnina nule? Áno, on sám dáva nulu! znamená:
Chytený čo je druhá odmocnina? Potom zvážime príklady:
Odpovede (v neporiadku): 6; 1; 4; 9; 5.
Rozhodnuté? Naozaj, je to oveľa jednoduchšie!
Ale... Čo robí človek, keď vidí nejakú úlohu s koreňmi?
Človek začne túžiť ... Neverí v jednoduchosť a ľahkosť koreňov. Aj keď sa zdá, že vie čo je druhá odmocnina...
Je to preto, že človek pri štúdiu koreňov ignoroval niekoľko dôležitých bodov. Potom sa tieto výstrelky brutálne pomstia na testoch a skúškach ...
Bod jedna. Korene treba rozpoznať zrakom!
Aká je druhá odmocnina zo 49? Sedem? Správny! Ako si vedel, že ich je sedem? Druhá mocnina sedem a 49? Správny! Vezmite prosím na vedomie, že extrahovať koreň zo 49 sme museli urobiť opačnú operáciu - štvorec 7! A uistite sa, že nezmeškáme. Alebo by mohli chýbať...
V tom spočíva obtiažnosť extrakcia koreňov. Kvadratúra akékoľvek číslo je možné bez problémov. Vynásobte číslo samo o sebe v stĺpci - a to je všetko. Ale pre extrakcia koreňov taká jednoduchá a bezproblémová technológia neexistuje. Účet pre zdvihnúť odpovedzte a skontrolujte, či nie je zasiahnutá druhou mocninou.
Tento zložitý tvorivý proces – výber odpovede – sa výrazne zjednoduší, ak vy zapamätaj sištvorce populárnych čísel. Ako násobilka. Ak, povedzme, potrebujete vynásobiť 4 x 6 - nesčítate štyri 6-krát, však? Okamžite sa objaví odpoveď 24. Aj keď, nie každý ju má, áno ...
Pre slobodnú a úspešnú prácu s odmocninami stačí poznať druhé mocniny čísel od 1 do 20. Navyše, tam A späť. Tie. mali by ste byť schopní ľahko pomenovať povedzme 11 na druhú a druhú odmocninu zo 121. Na dosiahnutie tohto zapamätania existujú dva spôsoby. Prvým je naučiť sa tabuľku štvorcov. Veľmi to pomôže s príkladmi. Druhým je vyriešiť viac príkladov. Je skvelé zapamätať si tabuľku štvorcov.
A žiadne kalkulačky! Len na overenie. V opačnom prípade počas skúšky nemilosrdne spomalíte ...
takže, čo je druhá odmocnina A ako extrahovať korene- Myslím, že je to pochopiteľné. Teraz poďme zistiť, Z ČOHO ich môžete extrahovať.
Bod dva. Root, nepoznám ťa!
Z akých čísel môžete odvodiť odmocniny? Áno, takmer akýkoľvek. Je ľahšie pochopiť, čo je zakázané extrahovať ich.
Skúsme vypočítať tento koreň:
Ak to chcete urobiť, musíte vybrať číslo, ktorého odmocnenie nám dá -4. Vyberáme.
Čo nie je vybrané? 2 2 dáva +4. (-2) 2 dáva opäť +4! To je ono... Neexistujú žiadne čísla, ktoré nám po druhej mocnine dajú záporné číslo! Aj keď čísla poznám. Ale to ti nepoviem.) Choďte na vysokú školu a zistite to sami.
Rovnaký príbeh bude s ľubovoľným záporným číslom. Preto záver:
Výraz, v ktorom je záporné číslo pod odmocninou - nedáva zmysel! Toto je zakázaná operácia. Rovnako zakázané ako delenie nulou. Majte túto skutočnosť na pamäti! Alebo inak povedané:
Zo záporných čísel nemôžete získať druhé odmocniny!
Ale zo všetkého ostatného - môžete. Napríklad je možné vypočítať
Na prvý pohľad je to veľmi ťažké. Zbierajte zlomky, ale umocnite ... Nebojte sa. Keď sa zaoberáme vlastnosťami koreňov, takéto príklady sa zredukujú na rovnakú tabuľku štvorcov. Život bude jednoduchší!
Dobre zlomky. Stále sa však stretávame s výrazmi ako:
Je to v poriadku. Všetky rovnaké. Druhá odmocnina z dvoch je číslo, ktoré nám po odmocnení dá dvojku. Len číslo je úplne nepárne ... Tu je:
Zaujímavé je, že tento zlomok nikdy nekončí... Takéto čísla sa nazývajú iracionálne. V odmocninách je to najbežnejšia vec. Mimochodom, preto sa nazývajú výrazy s koreňmi iracionálny. Je jasné, že neustále písať taký nekonečný zlomok je nepohodlné. Preto to namiesto nekonečného zlomku nechajú takto:
Ak pri riešení príkladu dostanete niečo, čo nie je extrahovateľné, ako napríklad:
potom to necháme tak. Toto bude odpoveď.
Musíte jasne pochopiť, čo je pod ikonami
Samozrejme, ak sa vezme koreň čísla hladké, musíte tak urobiť. Odpoveď na úlohu vo forme napr
celkom úplná odpoveď.
A samozrejme musíte poznať približné hodnoty z pamäte:
Tieto znalosti veľmi pomáhajú pri posudzovaní situácie v zložitých úlohách.
Bod tri. Najprefíkanejší.
Hlavný zmätok v práci s korienkami prináša práve tento výstrelok. Je to on, kto o sebe pochybuje... Poďme sa s týmto výstrelkom poriadne vysporiadať!
Na začiatok opäť extrahujeme druhú odmocninu ich štyroch. Čože, už som ťa dostal s týmto koreňom?) Nič, teraz to bude zaujímavé!
Aké číslo dá štvorec 4? No, dva, dva - počujem nespokojné odpovede ...
Správny. Dva. Ale tiež mínus dva dá 4 na druhú ... Medzitým odpoveď
správne a odpoveď
najhrubšia chyba. Páči sa ti to.
Tak aká je dohoda?
Skutočne, (-2) 2 = 4. A podľa definície druhej odmocniny štyroch mínus dva celkom vhodné... Toto je tiež druhá odmocnina zo štyroch.
Ale! V školskom kurze matematiky je zvykom brať do úvahy druhé odmocniny iba nezáporné čísla! Teda nula a všetko pozitívne. Bol vytvorený aj špeciálny termín: z čísla A- Toto nezápornéčíslo, ktorého štvorec je A. Negatívne výsledky pri extrakcii aritmetickej druhej odmocniny sa jednoducho zahodia. V škole všetky odmocniny - aritmetika. Aj keď to nie je konkrétne uvedené.
Dobre, to je pochopiteľné. Ešte lepšie je nezahrávať sa negatívne výsledky... Toto ešte nie je zmätok.
Zmätok začína pri riešení kvadratických rovníc. Napríklad musíte vyriešiť nasledujúcu rovnicu.
Rovnica je jednoduchá, napíšeme odpoveď (ako sme sa naučili):
Táto odpoveď (mimochodom celkom správna) je len skrátený zápis dva odpovede:
Stop stop! O niečo vyššie som napísal, že druhá odmocnina je číslo Vždy nie negatívne! A tu je jedna z odpovedí - negatívne! Porucha. Toto je prvý (ale nie posledný) problém, ktorý spôsobuje nedôveru ku koreňom ... Poďme tento problém vyriešiť. Zapíšme si odpovede (čisto pre pochopenie!) takto:
Zátvorky nemenia podstatu odpovede. Len som to oddelil zátvorkami znamenia od koreň. Teraz je jasne vidieť, že samotný koreň (v zátvorkách) je stále nezáporné číslo! A znamenia sú výsledok riešenia rovnice. Pri riešení akejkoľvek rovnice totiž musíme písať Všetky x, ktorá po dosadení do pôvodnej rovnice poskytne správny výsledok. Odmocnina z piatich (kladná!) je vhodná pre našu rovnicu s plusom aj mínusom.
Páči sa ti to. Ak ty stačí vziať druhú odmocninu z čohokoľvek ty Vždy dostať jeden nezáporný výsledok. Napríklad:
Pretože to - aritmetická druhá odmocnina.
Ale ak sa rozhodnete kvadratická rovnica, typ:
To Vždy ukázalo sa dva odpoveď (s plusom a mínusom):
Pretože je to riešenie rovnice.
Nádej, čo je druhá odmocnina s bodmi si to vystihol správne. Teraz zostáva zistiť, čo sa dá robiť s koreňmi, aké sú ich vlastnosti. A aké sú módy a podvodné škatule ... prepáčte, kamene!)
To všetko - v ďalších lekciách.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Fakt 1.
\(\bullet\) Vezmite nejaké nezáporné číslo \(a\) (tj \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina z čísla \(a\) sa volá také nezáporné číslo \(b\), pri jeho umocnení dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(rovnaké ako )\quad a=b^2\] Z definície vyplýva, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tieto obmedzenia sú dôležitá podmienka existenciu druhej odmocniny a mali by sme si ich pamätať!
Pripomeňme, že každé číslo pri druhej mocnine dáva nezáporný výsledok. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Čo je \(\sqrt(25)\) ? Vieme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Keďže podľa definície musíme nájsť nezáporné číslo, \(-5\) nie je vhodné, preto \(\sqrt(25)=5\) (keďže \(25=5^2\) ).
Nájdenie hodnoty \(\sqrt a\) sa nazýva prevzatie druhej odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) sa nazýva koreňový výraz.
\(\bullet\) Na základe definície sú výrazy \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) atď. nedávajú zmysel.
Fakt 2.
Pre rýchle výpočty bude užitočné naučiť sa tabuľku druhých mocnín prirodzených čísel od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]
Fakt 3.
Čo sa dá robiť s odmocninami?
\(\bullet\) Súčet alebo rozdiel odmocniny NEROVNÁ SA druhej odmocnine súčtu alebo rozdielu, t.j. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ak teda potrebujete vypočítať napríklad \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , najprv musíte nájsť hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\sqrt (49)\ ) a potom ich spočítajte. teda \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ak pri pridávaní \(\sqrt a+\sqrt b\) nemožno nájsť hodnoty \(\sqrt a\) alebo \(\sqrt b\), potom sa takýto výraz ďalej nekonvertuje a zostane tak, ako je. Napríklad v súčte \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) nájdeme \(\sqrt(49)\) - toto je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nemôže byť prevedené akýmkoľvek spôsobom, Preto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Ďalej tento výraz, žiaľ, nemožno nijako zjednodušiť.\(\bullet\) Súčin/podiel odmocnín sa rovná druhej odmocnine súčinu/podielu, t.j. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za predpokladu, že obe časti rovnosti dávajú zmysel)
Príklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Pomocou týchto vlastností je vhodné nájsť druhé odmocniny z veľké čísla ich faktoringom.
Zvážte príklad. Nájdite \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , potom \(44100=100\cdot 441\) . Podľa kritéria deliteľnosti je číslo \(441\) deliteľné \(9\) (keďže súčet jeho číslic je 9 a je deliteľný 9), preto \(441:9=49\) , tj \(441=9\ cdot 49\) .
Takto sme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pozrime sa na ďalší príklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Na príklade výrazu \(5\sqrt2\) (skratka pre výraz \(5\cdot \sqrt2\) si ukážeme, ako zadávať čísla pod odmocninu). Keďže \(5=\sqrt(25)\) , potom \
Všimnite si tiež, že napr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
prečo je to tak? Vysvetlíme na príklade 1). Ako ste už pochopili, nemôžeme nejako previesť číslo \(\sqrt2\) . Predstavte si, že \(\sqrt2\) je nejaké číslo \(a\) . Preto výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nie je nič iné ako \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tri ďalšie rovnaké čísla \(a\) ). A vieme, že toto sa rovná štyrom takýmto číslam \(a\) , teda \(4\sqrt2\) .
Fakt 4.
\(\bullet\) Často sa hovorí „nedá extrahovať koreň“, keď nie je možné zbaviť sa znamienka \(\sqrt () \ \) koreňa (radikálu) pri hľadaní hodnoty nejakého čísla. Môžete napríklad odmocniť číslo \(16\), pretože \(16=4^2\) , takže \(\sqrt(16)=4\) . Ale extrahovať koreň z čísla \(3\) , teda nájsť \(\sqrt3\) , je nemožné, pretože neexistuje také číslo, ktoré by odmocnilo dalo \(3\) .
Takéto čísla (alebo výrazy s takýmito číslami) sú iracionálne. Napríklad čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) a tak ďalej. sú iracionálne.
Iracionálne sú aj čísla \(\pi\) (číslo „pi“, približne rovné \(3,14\) ), \(e\) (toto číslo sa nazýva Eulerovo číslo, približne rovné \(2) ,7\) ) atď.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že každé číslo bude racionálne alebo iracionálne. A spolu všetky racionálne a všetky iracionálne čísla tvoria množinu tzv množina reálnych (reálnych) čísel. Táto množina je označená písmenom \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všetky čísla, ktoré sú tento moment vieme, že sa nazývajú reálne čísla.
Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálneho čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdialenosti od bodu \(a\) po \(0\) na reálnom riadok. Napríklad \(|3|\) a \(|-3|\) sa rovnajú 3, pretože vzdialenosti od bodov \(3\) a \(-3\) po \(0\) sú rovnaké a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Ak \(a\) je nezáporné číslo, potom \(|a|=a\) .
Príklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ak je \(a\) záporné číslo, potom \(|a|=-a\) .
Príklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Hovorí sa, že pre záporné čísla modul „zje“ mínus a kladné čísla, ako aj číslo \(0\) , modul zostane nezmenený.
ALE toto pravidlo platí len pre čísla. Ak máte pod znakom modulu neznámu \(x\) (alebo nejakú inú neznámu), napríklad \(|x|\) , o ktorej nevieme, či je kladná, rovná nule alebo záporná, potom zbaviť sa modulu nemôžeme. V tomto prípade tento výraz zostane takto: \(|x|\) . \(\bullet\) Platia nasledujúce vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytnutý) a\geqslant 0\]Často sa robí nasledujúca chyba: hovoria, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) sú to isté. To platí len vtedy, keď \(a\) je kladné číslo alebo nula. Ale ak \(a\) je záporné číslo, potom to nie je pravda. Stačí zvážiť takýto príklad. Zoberme si číslo \(-1\) namiesto \(a\). Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vôbec neexistuje (pretože je pod znamienkom koreňa nie je možné vložiť záporné čísla!).
Preto dávame do pozornosti, že \(\sqrt(a^2)\) sa nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Príklad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), pretože \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Keďže \(\sqrt(a^2)=|a|\) , potom \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (výraz \(2n\) označuje párne číslo)
To znamená, že pri extrakcii koreňa z čísla, ktoré je v určitom stupni, sa tento stupeň zníži na polovicu.
Príklad:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimnite si, že ak modul nie je nastavený, potom sa ukáže, že koreň čísla sa rovná \(-25) \) ; ale pamätáme si , čo podľa definície koreňa nemôže byť: pri extrakcii koreňa by sme mali vždy dostať kladné číslo alebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (keďže akékoľvek číslo na párnu mocninu nie je záporné)
Fakt 6.
Ako porovnať dve odmocniny?
\(\bullet\) Platí pre odmocniny: ak \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) porovnajte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Najprv transformujeme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Takže od \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Medzi ktorými celými číslami je \(\sqrt(50)\) ?
Pretože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Porovnajte \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Predpokladajme \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\začiatok(zarovnané) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pridajte jeden na obe strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((obe časti štvorec)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnané)\] Vidíme, že sme dostali nesprávnu nerovnosť. Preto bol náš predpoklad nesprávny a \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Všimnite si, že pridanie určitého čísla na obe strany nerovnosti neovplyvní jej znamienko. Násobenie/delenie oboch častí nerovnosti kladným číslom tiež neovplyvní jej znamienko, ale násobenie/delenie záporným číslom obráti znamienko nerovnosti!
Obe strany rovnice/nerovnice možno odmocniť LEN AK obe strany nie sú záporné. Napríklad v nerovnosti z predchádzajúceho príkladu môžete odmocniť obe strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Všimnite si to \[\začiatok (zarovnané) &\sqrt 2\približne 1,4\\ &\sqrt 3\približne 1,7 \koniec (zarovnané)\] Poznanie približného významu týchto čísel vám pomôže pri porovnávaní čísel! \(\bullet\) Aby ste mohli extrahovať odmocninu (ak je extrahovaná) z nejakého veľkého čísla, ktoré nie je v tabuľke štvorcov, musíte najprv určiť, medzi ktorými „stovkami“ to je, potom medzi ktorými „desiatkami“, a potom určiť poslednú číslicu tohto čísla. Ukážme si ako to funguje na príklade.
Vezmite \(\sqrt(28224)\) . Vieme, že \(100^2=10\000\) , \(200^2=40\000\) a tak ďalej. Všimnite si, že \(28224\) je medzi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Preto je \(\sqrt(28224)\) medzi \(100\) a \(200\) .
Teraz určme, medzi ktorými „desiatkami“ je naše číslo (teda napríklad medzi \(120\) a \(130\) ). Z tabuľky štvorcov tiež vieme, že \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atď., potom \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Vidíme teda, že \(28224\) je medzi \(160^2\) a \(170^2\) . Preto je číslo \(\sqrt(28224)\) medzi \(160\) a \(170\) .
Skúsme určiť poslednú číslicu. Spomeňme si, aké jednociferné čísla pri umocňovaní dávajú na konci \ (4 \) ? Sú to \(2^2\) a \(8^2\) . Preto \(\sqrt(28224)\) skončí buď na 2 alebo 8. Poďme to skontrolovať. Nájdite \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Preto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Na adekvátne vyriešenie skúšky z matematiky je v prvom rade potrebné preštudovať si teoretický materiál, ktorý prináša množstvo teorémov, vzorcov, algoritmov atď. Na prvý pohľad sa môže zdať, že je to celkom jednoduché. Nájsť zdroj, v ktorom by bola teória pre Jednotnú štátnu skúšku z matematiky prezentovaná ľahko a zrozumiteľne pre študentov s akoukoľvek úrovňou prípravy, je však v skutočnosti pomerne náročná úloha. Školské učebnice nie je možné mať vždy po ruke. A nájsť základné vzorce na skúšku z matematiky môže byť náročné aj na internete.
Prečo je také dôležité študovať teóriu z matematiky, a to nielen pre tých, ktorí robia skúšku?
- Pretože vám to rozširuje obzory. Štúdium teoretického materiálu z matematiky je užitočné pre každého, kto chce získať odpovede na širokú škálu otázok súvisiacich s poznaním sveta. Všetko v prírode je usporiadané a má jasnú logiku. To je presne to, čo sa odráža vo vede, prostredníctvom ktorej je možné pochopiť svet.
- Pretože rozvíja intelekt. Štúdiom referenčných materiálov na skúšku z matematiky, ako aj riešením rôznych problémov sa človek naučí myslieť a logicky uvažovať, správne a jasne formulovať myšlienky. Rozvíja schopnosť analyzovať, zovšeobecňovať, vyvodzovať závery.
Pozývame vás osobne zhodnotiť všetky výhody nášho prístupu k systematizácii a prezentácii vzdelávacích materiálov.
Je čas rozobrať metódy extrakcie koreňov. Sú založené na vlastnostiach koreňov, najmä na rovnosti, ktorá platí pre každé nezáporné číslo b.
Nižšie sa budeme zaoberať hlavnými metódami extrakcie koreňov.
Začnime s najjednoduchším prípadom - extrahovanie koreňov z prirodzených čísel pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
Ak sú tabuľky štvorcov, kociek atď. nie je po ruke, je logické použiť metódu extrakcie koreňa, ktorá zahŕňa rozklad koreňového čísla na jednoduché faktory.
Samostatne stojí za to prebývať, čo je možné pre korene s nepárnymi exponentmi.
Nakoniec zvážte metódu, ktorá vám umožní postupne nájsť číslice hodnoty koreňa.
Začnime.
Pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
V najjednoduchších prípadoch umožňujú extrakciu koreňov tabuľky štvorcov, kociek atď. Čo sú to za tabuľky?
Tabuľka druhých mocnín celých čísel od 0 do 99 vrátane (zobrazená nižšie) pozostáva z dvoch zón. Prvá zóna tabuľky je umiestnená na sivom pozadí, výberom určitého riadku a určitého stĺpca umožňuje vytvoriť číslo od 0 do 99. Vyberme napríklad riadok s 8 desiatkami a stĺpec s 3 jednotkami, čím sme opravili číslo 83. Druhá zóna zaberá zvyšok tabuľky. Každá z jeho buniek sa nachádza na priesečníku určitého riadku a určitého stĺpca a obsahuje druhú mocninu príslušného čísla od 0 do 99 . Na priesečníku nami zvoleného radu 8 desiatok a stĺpca 3 jednej je bunka s číslom 6889, čo je druhá mocnina čísla 83.
Tabuľky kociek, tabuľky štvrtých mocnín čísel od 0 do 99 a tak ďalej sú podobné tabuľke štvorcov, len v druhej zóne obsahujú kocky, štvrté mocniny atď. zodpovedajúce čísla.
Tabuľky štvorcov, kociek, štvrtej mocniny atď. umožňujú extrahovať odmocniny, kocky, štvrté odmocniny atď. z čísel v týchto tabuľkách. Vysvetlime si princíp ich aplikácie pri extrakcii koreňov.
Povedzme, že potrebujeme extrahovať koreň n-tého stupňa z čísla a, pričom číslo a je obsiahnuté v tabuľke n-tých stupňov. Podľa tejto tabuľky nájdeme číslo b také, že a=b n . Potom 
, preto číslo b bude želaným koreňom n-tého stupňa.
Ako príklad si ukážeme, ako sa odmocnina z roku 19683 extrahuje pomocou tabuľky kociek. V tabuľke kociek nájdeme číslo 19 683, z nej zistíme, že toto číslo je kockou čísla 27, teda 
.
Je zrejmé, že tabuľky n-tých stupňov sú veľmi vhodné pri extrakcii koreňov. Často však nie sú po ruke a ich zostavenie si vyžaduje určitý čas. Okrem toho je často potrebné extrahovať korene z čísel, ktoré nie sú obsiahnuté v príslušných tabuľkách. V týchto prípadoch sa musíte uchýliť k iným metódam extrakcie koreňov.
Rozklad koreňového čísla na prvočiniteľa
Pomerne pohodlný spôsob, ako extrahovať koreň z prirodzeného čísla (ak je, samozrejme, koreň extrahovaný), je rozložiť číslo koreňa na prvočísla. Jeho podstata je nasledovná: potom je celkom ľahké ho reprezentovať ako stupeň s požadovaným ukazovateľom, ktorý vám umožňuje získať hodnotu koreňa. Vysvetlime si tento bod.
Nech je koreň n-tého stupňa extrahovaný z prirodzeného čísla a a jeho hodnota sa rovná b. V tomto prípade platí rovnosť a=b n. Číslo b ako ľubovoľné prirodzené číslo môže byť reprezentované ako súčin všetkých jeho prvočiniteľov p 1 , p 2 , …, p m v tvare p 1 p 2 … p m a koreňové číslo a je v tomto prípade reprezentované ako (p 1 p 2 ... p m) n . Keďže rozklad čísla na prvočísla je jedinečný, rozklad čísla odmocniny a na prvočísla bude vyzerať takto (p 1 ·p 2 ·...·p m) n , čo umožňuje vypočítať hodnotu odmocniny ako .
Všimnite si, že ak rozklad koreňového čísla a nemožno znázorniť v tvare (p 1 ·p 2 ·...·p m) n , potom koreň n-tého stupňa z takého čísla a nie je úplne extrahovaný.
Vyrovnajme sa s tým pri riešení príkladov.
Príklad.
Vezmite druhú odmocninu zo 144 .
Riešenie.
Ak sa pozrieme na tabuľku štvorcov uvedenú v predchádzajúcom odseku, je jasne vidieť, že 144=12 2 , z čoho je zrejmé, že druhá odmocnina zo 144 je 12.
Ale vo svetle tohto bodu nás zaujíma, ako sa koreň extrahuje rozkladom koreňa číslo 144 na prvočísla. Poďme sa pozrieť na toto riešenie.
Poďme sa rozložiť 144 k hlavným faktorom:
To znamená, 144 = 2 2 2 2 3 3 . Na základe výsledného rozkladu je možné vykonať nasledujúce transformácie: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. teda 
.
Pomocou vlastností stupňa a vlastností koreňov by sa riešenie dalo formulovať trochu inak: .
odpoveď:
Na upevnenie materiálu zvážte riešenia dvoch ďalších príkladov.
Príklad.
Vypočítajte koreňovú hodnotu.
Riešenie.
Prvočíslo odmocniny 243 je 243=3 5 . teda 
.
odpoveď:
Príklad.
Je hodnota koreňa celé číslo?
Riešenie.
Aby sme odpovedali na túto otázku, rozložme koreňové číslo na prvočísla a uvidíme, či ho možno reprezentovať ako kocku celého čísla.
Máme 285 768=2 3 3 6 7 2 . Výsledný rozklad nie je reprezentovaný ako kocka celého čísla, pretože stupeň prvočiniteľa 7 nie je násobkom troch. Preto sa odmocnina 285 768 neberie úplne.
odpoveď:
Nie
Extrahovanie koreňov z zlomkových čísel
Je čas zistiť, ako sa koreň extrahuje z zlomkového čísla. Nech je zlomkové číslo odmocniny napísané ako p/q . Podľa vlastnosti koreňa kvocientu platí nasledujúca rovnosť. Z tejto rovnosti vyplýva pravidlo zlomkového koreňa: Odmocnina zlomku sa rovná podielu delenia odmocniny čitateľa odmocninou menovateľa.
Pozrime sa na príklad extrakcie koreňa zo zlomku.
Príklad.
Aká je druhá odmocnina bežného zlomku 25/169.
Riešenie.
Podľa tabuľky štvorcov zistíme, že druhá odmocnina čitateľa pôvodného zlomku je 5 a druhá odmocnina menovateľa je 13. Potom 
. Tým sa dokončí extrakcia koreňa z obyčajnej frakcie 25/169.
odpoveď:
Odmocnina desatinného zlomku alebo zmiešaného čísla sa extrahuje po nahradení koreňových čísel bežnými zlomkami.
Príklad.
Vezmite odmocninu desatinného čísla 474,552.
Riešenie.
Predstavme si pôvodné desatinné číslo ako bežný zlomok: 474,552=474552/1000 . Potom 
. Zostáva extrahovať kubické korene, ktoré sú v čitateli a menovateli výsledného zlomku. Pretože 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, potom 
A 
. Zostáva len dokončiť výpočty 
.
odpoveď:
.
Extrahovanie odmocniny záporného čísla
Samostatne stojí za to venovať sa extrakcii koreňov zo záporných čísel. Pri štúdiu koreňov sme si povedali, že keď je exponent odmocniny nepárne číslo, pod znamienkom odmocniny môže byť aj záporné číslo. Takýmto zápisom sme dali nasledujúci význam: pre záporné číslo −a a nepárny exponent od koreňa 2 n−1 máme 
. Táto rovnosť dáva pravidlo na extrakciu nepárnych koreňov zo záporných čísel: ak chcete extrahovať koreň zo záporného čísla, musíte extrahovať koreň z opačného kladného čísla a pred výsledok vložiť znamienko mínus.
Uvažujme o príklade riešenia.
Príklad.
Nájdite koreňovú hodnotu.
Riešenie.
Transformujme pôvodný výraz tak, aby sa pod znamienkom koreňa objavilo kladné číslo: 
. Teraz nahradíme zmiešané číslo obyčajným zlomkom: 
. Aplikujeme pravidlo extrakcie koreňa z obyčajnej frakcie: 
. Zostáva vypočítať korene v čitateli a menovateli výsledného zlomku: 
.
Tu je zhrnutie riešenia: 
.
odpoveď:
.
Bitové hľadanie koreňovej hodnoty
Vo všeobecnom prípade je pod odmocninou číslo, ktoré pomocou techník diskutovaných vyššie nemôže byť reprezentované ako n-tá mocnina žiadneho čísla. Ale zároveň je potrebné poznať hodnotu daného koreňa, aspoň do určitého znamienka. V tomto prípade na extrakciu koreňa môžete použiť algoritmus, ktorý vám umožní konzistentne získať dostatočný počet hodnôt číslic požadovaného čísla.
Prvým krokom tohto algoritmu je zistiť, ktorý je najvýznamnejší bit koreňovej hodnoty. Na tento účel sa čísla 0, 10, 100, ... postupne zvyšujú na mocninu n, kým sa nezíska číslo presahujúce odmocninu. Potom číslo, ktoré sme v predchádzajúcom kroku zvýšili na mocninu n, bude označovať zodpovedajúci vysoký rád.
Zvážte napríklad tento krok algoritmu pri extrakcii druhej odmocniny z piatich. Zoberieme čísla 0, 10, 100, ... a odmocníme ich, kým nedostaneme číslo väčšie ako 5 . Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , čo znamená, že najvýznamnejšia číslica bude číslica jednotiek. Hodnota tohto bitu, ako aj nižších, sa zistí v ďalších krokoch algoritmu extrakcie koreňa.
Všetky nasledujúce kroky algoritmu sú zamerané na postupné spresnenie hodnoty koreňa v dôsledku skutočnosti, že sa nájdu hodnoty ďalších číslic požadovanej hodnoty koreňa, počnúc od najvyššej po najnižšiu. . Napríklad hodnota koreňa v prvom kroku je 2 , v druhom - 2,2 , v treťom - 2,23 , a tak ďalej 2,236067977 ... . Popíšme, ako sa nachádzajú hodnoty bitov.
Hľadanie bitov sa vykonáva spočítaním ich možných hodnôt 0, 1, 2, ..., 9 . V tomto prípade sa paralelne vypočítajú n-té mocniny zodpovedajúcich čísel a porovnajú sa s koreňovým číslom. Ak v určitom štádiu hodnota stupňa prekročí radikálne číslo, potom sa hodnota číslice zodpovedajúcej predchádzajúcej hodnote považuje za nájdenú a ak sa tak nestane, vykoná sa prechod na ďalší krok algoritmu extrakcie koreňov. potom je hodnota tejto číslice 9 .
Vysvetlime všetky tieto body na rovnakom príklade extrakcie druhej odmocniny z piatich.
Najprv nájdite hodnotu číslice jednotiek. Budeme iterovať hodnoty 0, 1, 2, …, 9 , pričom budeme počítať 0 2 , 1 2 , …, 9 2, kým nedostaneme hodnotu väčšiu ako radikálne číslo 5 . Všetky tieto výpočty sú pohodlne prezentované vo forme tabuľky: 
Takže hodnota číslice jednotky je 2 (pretože 2 2<5
, а 2 3 >5). Prejdime k hľadaniu hodnoty desiateho miesta. V tomto prípade odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, pričom získané hodnoty porovnáme s koreňovým číslom 5: 
Od 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5 , potom je hodnota desiateho miesta 2 . Môžete pokračovať v hľadaní hodnoty stotín miesta: 
Takže sa nájde ďalšia hodnota odmocniny z piatich, rovná sa 2,23. A tak môžete pokračovať v hľadaní hodnôt ďalej: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Na konsolidáciu materiálu analyzujeme extrakciu koreňa s presnosťou na stotiny pomocou uvažovaného algoritmu.
Najprv definujeme staršiu číslicu. Aby sme to urobili, dáme kocku čísla 0, 10, 100 atď. kým nedostaneme číslo väčšie ako 2 151,186 . Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , takže najvýznamnejšou číslicou sú desiatky.
Definujme jeho hodnotu. 
Od 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, potom je hodnota desiatky číslic 1. Prejdime k jednotkám. 
Hodnota jedného miesta je teda 2 . Prejdime k desiatke. 
Keďže aj 12,9 3 je menej ako radikálne číslo 2 151,186 , hodnota desiateho miesta je 9 . Zostáva vykonať posledný krok algoritmu, ten nám dá hodnotu koreňa s požadovanou presnosťou. 
V tomto štádiu sa hodnota koreňa nachádza až do stotín: 
.
Na záver tohto článku by som chcel povedať, že existuje mnoho ďalších spôsobov, ako extrahovať korene. Ale pre väčšinu úloh postačujú tie, ktoré sme študovali vyššie.
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).
Plocha štvorcového pozemku je 81 dm². Nájdite jeho stranu. Predpokladajme, že dĺžka strany štvorca je X decimetre. Potom je plocha pozemku X² štvorcových decimetrov. Keďže podľa stavu je táto plocha 81 dm², tak X² = 81. Dĺžka strany štvorca je kladné číslo. Kladné číslo, ktorého druhá mocnina je 81, je číslo 9. Pri riešení úlohy bolo potrebné nájsť číslo x, ktorého druhá mocnina je 81, teda vyriešiť rovnicu X² = 81. Táto rovnica má dva korene: X 1 = 9 a X 2 \u003d - 9, pretože 9² \u003d 81 a (- 9)² \u003d 81. Obidve čísla 9 a - 9 sa nazývajú odmocniny čísla 81.
Všimnite si, že jedna odmocnina X= 9 je kladné číslo. Nazýva sa aritmetická druhá odmocnina z 81 a označuje sa √81, teda √81 = 9.
Aritmetická druhá odmocnina čísla A je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná A.
Napríklad čísla 6 a -6 sú odmocniny z 36. Číslo 6 je aritmetická odmocnina z 36, pretože 6 je nezáporné číslo a 6² = 36. Číslo -6 nie je aritmetická odmocnina.
Aritmetická druhá odmocnina čísla A označené takto: √ A.
Znamienko sa nazýva aritmetická odmocnina; A sa nazýva koreňový výraz. Výraz √ Ačítať takto: aritmetická druhá odmocnina čísla A. Napríklad √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. V prípadoch, keď je jasné, že hovoríme o aritmetickej odmocnine, stručne hovoria: „druhá odmocnina z A«.
Akt hľadania druhej odmocniny čísla sa nazýva branie druhej odmocniny. Táto akcia je opakom kvadratúry.
Každé číslo môže byť odmocnené, ale nie každé číslo môže byť odmocninou. Napríklad nie je možné extrahovať druhú odmocninu čísla - 4. Ak takýto odmocninec existoval, potom ho označte písmenom X, dostali by sme nesprávnu rovnosť x² \u003d - 4, pretože vľavo je nezáporné číslo a vpravo záporné číslo.
Výraz √ A dáva zmysel len vtedy a ≥ 0. Definíciu druhej odmocniny možno stručne zapísať ako: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Rovnosť (√ A)² = A platný na a ≥ 0. Aby sme sa uistili, že druhá odmocnina nezáporného čísla A rovná sa b, teda že √ A =b, musíte skontrolovať, či sú splnené nasledujúce dve podmienky: b ≥ 0, b² = A.
Druhá odmocnina zlomku
Poďme počítať. Všimnite si, že √25 = 5, √36 = 6 a skontrolujte, či platí rovnosť.
Pretože 
a potom platí rovnosť. takže, 
.
Veta: Ak A≥ 0 a b> 0, to znamená, že koreň zlomku sa rovná koreňu čitateľa vydelenému odmocninou menovateľa. Je potrebné preukázať, že: a 
.
Od √ A≥0 a √ b> 0, potom .
Vlastnosťou zvýšiť zlomok na mocninu a určiť druhú odmocninu 
veta je dokázaná. Pozrime sa na pár príkladov.
Vypočítajte podľa osvedčenej vety 
.
Druhý príklad: Dokážte to 
, Ak A ≤ 0, b < 0. 
.
Ďalší príklad: Vypočítajte .
.
Transformácia druhej odmocniny
Vytiahnutie multiplikátora spod znamenia koreňa. Nech je daný výraz. Ak A≥ 0 a b≥ 0, potom pomocou vety o koreni súčinu môžeme napísať:
Takáto transformácia sa nazýva vylúčenie koreňového znamienka. Zvážte príklad;
Vypočítajte pri X= 2. Priama substitúcia X= 2 v radikálnom výraze vedie ku komplikovaným výpočtom. Tieto výpočty je možné zjednodušiť, ak najprv odstránime faktory pod koreňovým znakom: . Ak teraz dosadíme x = 2, dostaneme:.
Takže, keď vyberieme faktor spod koreňového znamienka, radikálny výraz je reprezentovaný ako súčin, v ktorom jeden alebo viac faktorov sú druhé mocniny nezáporných čísel. Potom sa použije teorém koreňového produktu a vezme sa koreň každého faktora. Uvažujme o príklade: Zjednodušte výraz A = √8 + √18 - 4√2 tak, že v prvých dvoch členoch vytiahnete faktory pod znamienkom odmocniny, dostaneme:. Zdôrazňujeme, že rovnosť 
platí len vtedy A≥ 0 a b≥ 0. ak A < 0, то .
Pomerne často sa pri riešení problémov stretávame s veľkými číslami, z ktorých musíme vyťažiť Odmocnina. Mnohí žiaci sa rozhodnú, že ide o omyl a začnú riešiť celý príklad. V žiadnom prípade by sa to nemalo robiť! Sú na to dva dôvody:
- Korene veľkého počtu sa vyskytujú v problémoch. Najmä v texte;
- Existuje algoritmus, podľa ktorého sa tieto korene zvažujú takmer verbálne.
Tento algoritmus dnes zvážime. Možno sa vám niektoré veci budú zdať nepochopiteľné. Ale ak budete venovať pozornosť tejto lekcii, dostanete najsilnejšiu zbraň proti odmocniny.
Takže algoritmus:
- Obmedzte požadovaný koreň nad a pod na násobky 10. Takto zmenšíme rozsah vyhľadávania na 10 čísel;
- Z týchto 10 čísel vyraďte tie, ktoré rozhodne nemôžu byť koreňmi. V dôsledku toho zostanú 1-2 čísla;
- Odmocni tieto 1-2 čísla. Tá z nich, ktorých druhá mocnina sa rovná pôvodnému číslu, bude odmocninou.
Pred aplikáciou tohto algoritmu v praxi sa pozrime na každý jednotlivý krok.
Koreňové obmedzenie
V prvom rade musíme zistiť, medzi ktorými číslami sa nachádza náš koreň. Je veľmi žiaduce, aby čísla boli násobkom desiatich:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Dostaneme sériu čísel:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Čo nám tieto čísla dávajú? Je to jednoduché: dostávame hranice. Vezmime si napríklad číslo 1296. Leží medzi 900 a 1600. Preto jeho koreň nemôže byť menší ako 30 a väčší ako 40:
[Titul obrázku]
To isté platí pre akékoľvek iné číslo, z ktorého môžete nájsť druhú odmocninu. Napríklad 3364:
[Titul obrázku]Namiesto nezrozumiteľného čísla tak dostaneme veľmi špecifický rozsah, v ktorom leží pôvodný koreň. Ak chcete ďalej zúžiť rozsah vyhľadávania, prejdite na druhý krok.
Eliminácia zjavne nadbytočných čísel
Takže máme 10 čísel - kandidátov na koreň. Dostali sme ich veľmi rýchlo, bez zložitého premýšľania a násobenia v kolónke. Je čas pohnúť sa.
Verte či neverte, teraz zredukujeme počet kandidátskych čísel na dve – a opäť bez zložitých výpočtov! Stačí poznať špeciálne pravidlo. Tu je:
Posledná číslica štvorca závisí len od poslednej číslice pôvodné číslo.
Inými slovami, stačí sa pozrieť na poslednú číslicu štvorca – a hneď pochopíme, kde končí pôvodné číslo.
Na poslednom mieste môže byť iba 10 číslic. Pokúsme sa zistiť, na čo sa premenia, keď sú štvorcové. Pozrite sa na tabuľku:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Táto tabuľka je ďalším krokom k výpočtu koreňa. Ako vidíte, čísla v druhom riadku sa ukázali ako symetrické vzhľadom na päť. Napríklad:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Ako vidíte, posledná číslica je v oboch prípadoch rovnaká. A to znamená, že napríklad koreň 3364 nevyhnutne končí na 2 alebo 8. Na druhej strane si pamätáme obmedzenie z predchádzajúceho odseku. Dostaneme:
[Titul obrázku] Červené štvorce ukazujú, že tento údaj ešte nepoznáme. Ale koniec koncov, koreň leží medzi 50 a 60, na ktorých sú len dve čísla končiace na 2 a 8:
[Titul obrázku]To je všetko! Zo všetkých možných koreňov sme nechali len dve možnosti! A to je v najťažšom prípade, pretože posledná číslica môže byť 5 alebo 0. A potom zostane jediným kandidátom na korene!
Záverečné výpočty
Zostali nám teda 2 čísla kandidátov. Ako viete, ktorý z nich je koreň? Odpoveď je zrejmá: odmocni obe čísla. Ten, ktorý odmocni, dá pôvodné číslo a bude odmocninou.
Napríklad pre číslo 3364 sme našli dve kandidátske čísla: 52 a 58. Odmocnime ich:
52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.
To je všetko! Ukázalo sa, že koreň je 58! Zároveň som pre zjednodušenie výpočtov použil vzorec druhých mocnín súčtu a rozdielu. Vďaka tomu ste ani nemuseli násobiť čísla v stĺpci! Toto je ďalšia úroveň optimalizácie výpočtov, ale, samozrejme, je úplne voliteľná :)
Príklady výpočtu koreňa
Teória je dobrá, samozrejme. Poďme si to však vyskúšať v praxi.
[Titul obrázku]
Najprv zistíme, medzi ktorými číslami leží číslo 576:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Teraz sa pozrime na posledné číslo. Rovná sa 6. Kedy sa to stane? Iba ak koreň končí na 4 alebo 6. Získame dve čísla:
Zostáva odmocniť každé číslo a porovnať s originálom:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Skvelé! Ukázalo sa, že prvý štvorec sa rovná pôvodnému číslu. Takže toto je koreň.
Úloha. Vypočítajte druhú odmocninu:
[Titul obrázku]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Pozrime sa na posledné číslo:
1369 → 9;
33; 37.
Urobme to na druhú:
33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.
Tu je odpoveď: 37.
Úloha. Vypočítajte druhú odmocninu:
[Titul obrázku]
Obmedzujeme počet:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Pozrime sa na posledné číslo:
2704 → 4;
52; 58.
Urobme to na druhú:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Dostali sme odpoveď: 52. Druhé číslo už nebude potrebné odmocňovať.
Úloha. Vypočítajte druhú odmocninu:
[Titul obrázku]
Obmedzujeme počet:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Pozrime sa na posledné číslo:
4225 → 5;
65.
Ako vidíte, po druhom kroku zostáva iba jedna možnosť: 65. Toto je požadovaný koreň. Ale dajme si to na druhú a skontrolujte:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Všetko je správne. Odpoveď zapíšeme.
Záver
Bohužiaľ, o nič lepšie. Poďme sa pozrieť na dôvody. Sú dve z nich:
- Je zakázané používať kalkulačky pri akejkoľvek bežnej matematickej skúške, či už ide o GIA alebo jednotnú štátnu skúšku. A za nosenie kalkulačky do triedy môžu byť ľahko vyhodení zo skúšky.
- Nebuďte ako hlúpi Američania. Ktoré nie sú ako odmocniny – nedokážu sčítať dve prvočísla. A pri pohľade na zlomky sú vo všeobecnosti hysterické.