harmonik salınım. Harmonik salınımlar ve özellikleri

Saatlerde sarkaç hareketi, deprem, alternatif akım elektrik devresi, radyo iletimi ve radyo alımı süreçleri tamamen farklı, ilgisiz süreçlerdir. Her birinin kendi özel nedenleri vardır, ancak tek bir işaretle birleşirler - değişimin ortak doğasının bir işareti. fiziksel özellikler mesai. Bunlar ve farklı fiziksel yapıya sahip diğer birçok süreç, çoğu durumda tek bir özel tür olarak ele alınması uygun görünmektedir. fiziksel olaylar- dalgalanmalar.

Salınım adı verilen fiziksel olayların ortak bir özelliği, zaman içinde tekrarlanmalarıdır. Farklı bir fiziksel yapıya sahip olan birçok salınım, aynı yasalara göre gerçekleşir, bu da uygulanmasını mümkün kılar. ortak yöntemler Açıklamaları ve analizleri için.

Harmonik titreşimler.İtibaren Büyük bir sayı Doğada ve teknolojide çeşitli salınımlar, özellikle harmonik salınımlar yaygındır. Harmonik salınımlar, kosinüs veya sinüs yasasına göre meydana gelen salınımlardır:

burada dalgalanmalar yaşayan bir değer; - zaman; anlamı daha sonra açıklanacak olan sabit bir değerdir.

Bir miktarın harmonik yasasına göre değişen maksimum değerine salınımların genliği denir. Harmonik salınımlar için kosinüs veya sinüs argümanına salınımın fazı denir.

Zamanın ilk anında salınım fazına başlangıç ​​fazı denir. İlk aşama, zamanın ilk anında miktarın değerini belirler.

Sinüs veya kosinüs fonksiyonunun değerleri, fonksiyon argümanı olarak değiştiğinde tekrarlanır, bu nedenle harmonik salınımlarda, salınım fazı olarak değiştiğinde büyüklük değerleri tekrarlanır. Öte yandan, harmonik bir salınım sırasında, miktar, salınım periyodu T olarak adlandırılan bir zaman aralığında aynı değerleri almalıdır. Bu nedenle, faz değişimi onda gerçekleşir.

T salınım periyodu boyunca. Aldığımız durum için:

(1.2) ifadesinden, denklemdeki sabitin harmonik titreşimler saniyede meydana gelen salınımların sayısıdır. Değer, döngüsel salınım frekansı olarak adlandırılır. İfade (1.2) kullanılarak, denklem (1.1) salınımların frekansı veya periyodu T cinsinden ifade edilebilir:

Harmonik salınımları açıklayan analitik yöntemin yanı sıra, sunumlarının grafiksel yöntemleri yaygın olarak kullanılmaktadır.

İlk yol, Kartezyen koordinat sisteminde salınım grafiğini ayarlamaktır. Zaman I apsis boyunca çizilir ve değişen değerin değeri ordinat boyunca çizilir.Harmonik salınımlar için bu grafik bir sinüs veya kosinüs dalgasıdır (Şekil 1).

Salınım sürecini temsil etmenin ikinci yolu spektraldir. Genlik, ordinat ekseni boyunca ölçülür ve harmonik salınımların frekansı, apsis ekseni boyunca ölçülür. Frekans ve genlik ile harmonik salınım süreci, bu durumda apsis ekseni üzerinde bir koordinata sahip bir noktadan çizilen düz uzunluğa sahip dikey bir parça ile temsil edilir (Şekil 2).

Harmonik salınımları tanımlamanın üçüncü yolu, vektör diyagramları yöntemidir. Bu yöntemde, herhangi bir zamanda harmonik yasasına göre değişen bir niceliğin değerini bulmak için aşağıdaki tamamen biçimsel teknik kullanılır:

Düzlemde, bizi ilgilendiren değeri sayacağımız keyfi olarak yönlendirilmiş bir koordinat ekseni seçelim.Eksen boyunca koordinatların orijininden, xm harmonik salınımının genliğine eşit olan bir vektör modülü çiziyoruz. Şimdi vektörün orijin etrafında bir düzlemde saat yönünün tersine sabit bir c açısal hızıyla döndüğünü düşünürsek, o zaman dönen vektör ile eksen arasındaki herhangi bir andaki açı ifade ile belirlenir.

Fiziksel olarak tamamen farklı birkaç sistemi ele aldık ve hareket denklemlerinin aynı forma indirgendiğinden emin olduk.

Fiziksel sistemler arasındaki farklılıklar kendilerini yalnızca niceliğin farklı tanımlarında gösterir. ve değişkenin farklı bir fiziksel anlamında x: bir koordinat, açı, yük, akım vb. olabilir. Bu durumda, denklemin (1.18) yapısından da anlaşılacağı gibi, niceliğin her zaman ters zaman boyutuna sahip olduğuna dikkat edin.

Denklem (1.18) sözde açıklar harmonik titreşimler.

Harmonik salınımların denklemi (1.18) doğrusaldır diferansiyel denklem ikinci dereceden (çünkü değişkenin ikinci türevini içerir) x). Denklemin doğrusallığı şu anlama gelir:

herhangi bir işlev varsa x(t) bu denklemin bir çözümü, o zaman fonksiyon Cx(t) onun çözümü de olacak ( C keyfi bir sabittir);

eğer fonksiyonlar x 1 (t) ve x 2 (t) bu denklemin çözümleri, sonra toplamları x 1 (t) + x 2 (t) aynı denklemin çözümü de olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin iki bağımsız çözümü olduğunu belirten bir matematik teoremi de kanıtlanmıştır. Lineerlik özelliklerine göre diğer tüm çözümler lineer kombinasyonları olarak elde edilebilir. Doğrudan türev alarak bağımsız fonksiyonların çalıştığını ve denklemi (1.18) karşıladığını kontrol etmek kolaydır. Yani bu denklemin genel çözümü:

nerede C1,C2 keyfi sabitlerdir. Bu çözüm başka bir biçimde de sunulabilir. Miktarı tanıtıyoruz

ve açıyı şu şekilde tanımlayın:

Daha sonra genel çözüm (1.19) şu şekilde yazılır:

Trigonometri formüllerine göre parantez içindeki ifade

sonunda varıyoruz harmonik salınım denkleminin genel çözümü olarak:

Negatif olmayan değer A aranan salınım genliği, - salınımın ilk aşaması. Tüm kosinüs argümanı - kombinasyon - denir salınım fazı.

İfadeler (1.19) ve (1.23) tamamen eşdeğerdir, bu nedenle basitlik nedeniyle bunlardan herhangi birini kullanabiliriz. Her iki çözüm de zamanın periyodik fonksiyonlarıdır. Aslında, sinüs ve kosinüs bir periyotla periyodiktir. . Dolayısıyla harmonik salınımlar yapan bir sistemin çeşitli halleri belli bir süre sonra tekrarlanır. t* salınım fazının katları olan bir artış aldığı :

Dolayısıyla bunu takip eder

Bu zamanların en küçüğü

aranan salınım dönemi (Şekil 1.8), a - onun dairesel (döngüsel) Sıklık.

Pirinç. 1.8.

onlar da kullanıyor Sıklık tereddüt

Buna göre, dairesel frekans, başına salınım sayısına eşittir. saniye.

Yani, eğer sistem zamanında t değişkenin değeri ile karakterize edilir x(t), o zaman, değişken bir süre sonra aynı değere sahip olacaktır (Şekil 1.9), yani

Aynı değer elbette bir süre sonra tekrarlanacaktır. 2T, ZT vb.

Pirinç. 1.9. salınım süresi

Genel çözüm iki isteğe bağlı sabit içerir ( C1 , C2 veya A, a), değerleri iki tarafından belirlenmesi gereken başlangıç ​​koşulları. Genellikle (zorunlu olmamakla birlikte) rolleri, değişkenin başlangıç ​​değerleri tarafından oynanır. x(0) ve türevi.

Bir örnek alalım. Harmonik salınım denkleminin çözümü (1.19) bir yay sarkacının hareketini tanımlasın. Keyfi sabitlerin değerleri, sarkacı dengeden çıkarma şeklimize bağlıdır. Örneğin yayı biraz uzağa çektik. ve ilk hız olmadan topu serbest bıraktı. Bu durumda

İkame t = 0(1.19)'da, sabitin değerini buluruz 2'den

Böylece çözüm şuna benzer:

Yükün hızı zamana göre türev alınarak bulunur.

Burada ikame t = 0, sabiti bulun 1'den:

Nihayet

(1.23) ile karşılaştırıldığında, şunu buluruz: salınım genliğidir ve başlangıç ​​fazı sıfıra eşittir: .

Şimdi sarkacı başka bir şekilde dengeden çıkarıyoruz. Yükü bir başlangıç ​​​​hızı kazanması için vuralım, ancak çarpma sırasında pratik olarak hareket etmez. O zaman başkalarımız var başlangıç ​​koşulları:

çözümümüz şuna benziyor

Yükün hızı yasaya göre değişecektir:

buraya koyalım:

En basit titreşim türleri harmonik titreşimler- salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesinin sinüs veya kosinüs yasasına göre zamanla değiştiği dalgalanmalar.

Böylece, topun çevre etrafında düzgün bir şekilde dönmesiyle, çıkıntısı (paralel ışık ışınlarındaki gölge) dikey bir ekranda uyumlu bir salınım hareketi gerçekleştirir (Şekil 1).

Harmonik titreşimler sırasında denge konumundan yer değiştirme, formun bir denklemiyle (harmonik hareketin kinematik yasası olarak adlandırılır) tanımlanır:

burada x - yer değiştirme - denge konumuna göre t zamanında salınım noktasının konumunu karakterize eden ve belirli bir zamanda denge konumundan noktanın konumuna olan mesafe ile ölçülen bir değer; A - salınım genliği - vücudun denge konumundan maksimum yer değiştirmesi; T - salınım süresi - bir tam salınımın süresi; şunlar. salınımı karakterize eden fiziksel büyüklüklerin değerlerinin tekrarlandığı en küçük süre; - başlangıç ​​aşaması;

t zamanında salınımın fazı. Salınım aşaması argümandır periyodik fonksiyon, belirli bir salınım genliğinde herhangi bir zamanda vücudun salınım sisteminin durumunu (yer değiştirme, hız, ivme) belirler.

Zamanın ilk anında salınım noktası denge konumundan maksimum olarak kaydırılırsa, o zaman ve noktanın denge konumundan yer değiştirmesi yasaya göre değişir

Eğer salınan nokta kararlı bir denge konumundaysa, noktanın denge konumundan yer değiştirmesi yasaya göre değişir.

V değeri, dönemin tersi ve sayıya eşit 1 s'de yapılan tam salınımlara salınımların frekansı denir:

t zamanında vücut N tam salınım yaparsa, o zaman

değer vücudun s cinsinden kaç salınım yaptığını gösteren, denir döngüsel (dairesel) frekans.

Harmonik hareketin kinematik yasası şu şekilde yazılabilir:

Grafiksel olarak, bir salınım noktasının yer değiştirmesinin zamana bağlılığı bir kosinüs (veya sinüzoidal) ile temsil edilir.

Şekil 2, bir durum için salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesinin zamana bağlılığını göstermektedir.

Salınım yapan bir noktanın hızının zamanla nasıl değiştiğini bulalım. Bunu yapmak için, bu ifadenin zamana göre türevini buluruz:

burada x ekseni üzerindeki hız izdüşümünün genliğidir.

Bu formül, harmonik salınımlar sırasında, vücut hızının x ekseni üzerindeki izdüşümünün de harmonik yasasına göre aynı frekansta, farklı bir genlikte değiştiğini ve karıştırma fazının önünde olduğunu göstermektedir (Şekil 2, b) .

İvmenin bağımlılığını bulmak için hız projeksiyonunun zamana göre türevini buluruz:

burada x ekseni üzerindeki ivme izdüşümünün genliğidir.

Harmonik salınımlar için, ivme projeksiyonu faz kaymasına k kadar öncülük eder (Şekil 2, c).

Benzer şekilde, bağımlılık grafikleri oluşturabilirsiniz.

Buna göre ivme formülü yazılabilir.

şunlar. harmonik salınımlar için, ivme projeksiyonu yer değiştirme ile doğru orantılıdır ve zıt işaretlidir, yani ivme, yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirilir.

Dolayısıyla, ivme projeksiyonu yer değiştirmenin ikinci türevidir, bu durumda elde edilen oran şu şekilde yazılabilir:

Son eşitliğe denir harmonik salınımların denklemi.

Harmonik salınımların var olabileceği fiziksel bir sisteme denir. harmonik osilatör ve harmonik salınımların denklemi - harmonik osilatör denklemi.

Sinüzoidal bir yasaya göre zamandaki değişiklikler:

nerede X- zaman anında dalgalanan miktarın değeri t, ANCAK- genlik , ω - dairesel frekans, φ salınımların ilk aşamasıdır, ( φt + φ ) salınımların toplam aşamasıdır. Aynı zamanda değerler ANCAK, ω ve φ - kalıcı.

Salınım değeri olan mekanik titreşimler için Xözellikle elektriksel salınımlar için yer değiştirme ve hız - voltaj ve akım gücü.

Harmonik salınımlar, tüm salınım türleri arasında özel bir yere sahiptir, çünkü bu, herhangi bir homojen ortamdan geçerken şekli bozulmayan tek salınım türüdür, yani, bir harmonik salınım kaynağından yayılan dalgalar da harmonik olacaktır. Herhangi bir harmonik olmayan titreşim, çeşitli harmonik titreşimlerin toplamı (integral) olarak temsil edilebilir (bir harmonik titreşim spektrumu şeklinde).

Harmonik titreşimler sırasında enerji dönüşümleri.

Salınım sürecinde, potansiyel enerjide bir geçiş vardır. wp kinetik içine hafta ve tersi. Denge konumundan maksimum sapma konumunda potansiyel enerji maksimum, kinetik enerji sıfırdır. Denge konumuna döndüğümüzde salınan cismin hızı artar ve bununla birlikte kinetik enerjisi de artarak denge konumunda maksimuma ulaşır. Potansiyel enerji daha sonra sıfıra düşer. Daha fazla boyun hareketi, sapma ikinci maksimumuna ulaştığında sıfıra düşen hızda bir azalma ile gerçekleşir. Buradaki potansiyel enerji, başlangıç ​​(maksimum) değerine (sürtünme olmadığında) yükselir. Bu nedenle, kinetik ve potansiyel enerjilerin salınımları, çift (sarkacın salınımlarına kıyasla) frekansta meydana gelir ve antifazdadır (yani, aralarında eşit bir faz kayması vardır). π ). Toplam titreşim enerjisi W değişmeden kalır. Elastik bir kuvvetin etkisi altında salınan bir cisim için şuna eşittir:

nerede v m — azami hız vücut (denge konumunda), x m = ANCAK- genlik.

Ortamın sürtünme ve direncinin varlığı nedeniyle, serbest salınımlar sönümlenir: enerjileri ve genlikleri zamanla azalır. Bu nedenle pratikte serbest değil, zorunlu salınımlar daha sık kullanılır.

Bu, hareketi karakterize eden koordinatın, hızın, ivmenin sinüs veya kosinüs yasasına göre değiştiği periyodik bir salınımdır. Harmonik salınım denklemi, vücut koordinatının zamana bağımlılığını kurar

Kosinüs grafiği başlangıç ​​anında maksimum değere sahiptir ve sinüs grafiği başlangıç ​​anında sıfır değerine sahiptir. Denge konumundan salınımı incelemeye başlarsak, salınım sinüsoidi tekrar edecektir. Salınımı maksimum sapma konumundan düşünmeye başlarsak, o zaman salınım kosinüsü tanımlayacaktır. Veya böyle bir salınım, bir başlangıç ​​fazı olan sinüs formülü ile tarif edilebilir.

matematiksel sarkaç

Matematiksel bir sarkacın salınımları.
matematiksel sarkaç ağırlıksız, uzayamaz bir iplik (fiziksel model) üzerinde asılı duran maddi bir noktadır.
Sapma açısının küçük olması koşuluyla sarkacın hareketini ele alacağız, o zaman açıyı radyan cinsinden ölçersek, ifade doğrudur: .
Yerçekimi kuvveti ve ipliğin gerilimi vücuda etki eder. Bu kuvvetlerin bileşkesinin iki bileşeni vardır: ivmenin büyüklüğünü değiştiren teğetsel bir bileşen ve ivmenin yönünü değiştiren normal bir bileşen (merkezcil ivme, vücut bir yay üzerinde hareket eder).
Çünkü açı küçükse, teğetsel bileşen yörüngeye teğet üzerindeki yerçekimi izdüşümüne eşittir: . Radyan cinsinden açı, yay uzunluğunun yarıçapa oranına (filament uzunluğu) eşittir ve yay uzunluğu yaklaşık olarak ofsete eşittir ( x ≈ s): .
Ortaya çıkan denklemi salınım hareketi denklemi ile karşılaştıralım. Matematiksel bir sarkacın salınımları sırasında veya döngüsel bir frekans olduğu görülebilir.
Salınım periyodu veya (Galileo'nun formülü).	Galileo formülü
En önemli sonuç: matematiksel bir sarkacın salınım süresi vücudun kütlesine bağlı değildir!
Enerjinin korunumu yasası kullanılarak benzer hesaplamalar yapılabilir. Cismin yerçekimi alanındaki potansiyel enerjisinin eşit olduğunu ve toplam mekanik enerjinin maksimum potansiyele veya kinetik değere eşit olduğunu dikkate alıyoruz:
Enerjinin korunumu yasasını yazalım ve denklemin sağ ve sol kısımlarının türevini alalım: . Çünkü sabit bir değerin türevi sıfıra eşittir, o zaman . Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir: ve.
Bu nedenle: , yani.

İdeal gaz hal denklemi (Mendeleev-Clapeyron denklemi).
Durum denklemi, fiziksel bir sistemin parametrelerini ilişkilendiren ve durumunu benzersiz bir şekilde belirleyen bir denklemdir. 1834 yılında Fransız fizikçi B. Clapeyron St.Petersburg'da uzun süre çalışmış olan , sabit bir gaz kütlesi için ideal bir gazın durum denklemini türetmiştir. 1874'te DI Mendeleyev keyfi sayıda molekül için bir denklem türetmiştir.
MKT'de ve ideal gaz termodinamiğinde makroskobik parametreler şunlardır: p, V, T, m. Biz biliyoruz ki . Sonuç olarak,. Verilen , şunu elde ederiz:.
Sabit değerlerin ürünü sabit bir değerdir, bu nedenle: - evrensel gaz sabiti (evrensel, çünkü tüm gazlar için aynıdır).
Böylece elimizde: Durum denklemi (Mendeleev-Clapeyron denklemi).
İdeal bir gazın hal denklemini yazmanın diğer biçimleri.
1. 1 mol maddenin denklemi. n \u003d 1 mol ise, o zaman bir mol V m'nin hacmini ifade ederek şunu elde ederiz:. İçin normal koşullar alırız:
2. Denklemi yoğunluk cinsinden yazın: - Yoğunluk sıcaklığa ve basınca bağlıdır!
3. Clapeyron denklemi. Çoğu zaman, gazın hali sabit miktarıyla (m=sabit) değiştiğinde ve kimyasal reaksiyonların yokluğunda (M=sabit) durumu araştırmak gerekir. Bu, madde miktarının n=sabit olduğu anlamına gelir. O zamanlar:
Bu giriş şu anlama gelir: Belirli bir gazın belirli bir kütlesi için eşitlik doğrudur:
İdeal bir gazın sabit kütlesi için, belirli bir durumda basınç ve hacim ürününün mutlak sıcaklığa oranı sabit bir değerdir: .
gaz kanunları.
1. Avogadro yasası. Aynı hacimdeki farklı gazların eşit hacimlerinde dış koşullar aynı sayıda molekül (atom) vardır. Koşul: V 1 =V 2 =…=V n ; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
Kanıt: Bu nedenle aynı koşullar altında (basınç, hacim, sıcaklık) molekül sayısı gazın doğasına bağlı değildir ve aynıdır.
2. Dalton Yasası. Bir gaz karışımının basıncı, her bir gazın kısmi (özel) basınçlarının toplamına eşittir. Kanıtlayın: p=p 1 +p 2 +…+p n Kanıt:
3. Pascal yasası. Bir sıvı veya gaz üzerinde oluşan basınç, değişmeden her yöne iletilir.

İdeal bir gazın hal denklemi. gaz kanunları.

Serbestlik derecesi sayısı: bu, sistemin uzaydaki konumunu tamamen belirleyen bağımsız değişkenlerin (koordinatların) sayısıdır. Bazı problemlerde, tek atomlu bir gaz molekülü (Şekil 1, a), üç serbestlik derecesi verilen bir malzeme noktası olarak kabul edilir. Bu, dönme hareketinin enerjisini hesaba katmaz. Mekanikte, ilk yaklaşımdaki bir iki atomlu gaz molekülünün, deforme olmayan bir bağ ile katı bir şekilde birbirine bağlanmış iki malzeme noktası seti olduğu düşünülür (Şekil 1, b). Bu sistemüç dereceli öteleme hareket serbestliğine ek olarak, iki derece daha dönme hareket serbestliğine sahiptir. Her iki atomdan geçen üçüncü eksen etrafındaki dönüş anlamsızdır. Bu, iki atomlu bir gazın beş serbestlik derecesine sahip olduğu anlamına gelir ( i= 5). Bir triatomik (Şekil 1, c) ve çok atomlu lineer olmayan molekül altı serbestlik derecesine sahiptir: üç öteleme ve üç dönme. Atomlar arasında katı bir bağ olmadığını varsaymak doğaldır. Bu nedenle, gerçek moleküller için titreşim hareketinin serbestlik derecelerini de hesaba katmak gerekir.

Belirli bir molekülün herhangi bir sayıdaki serbestlik derecesi için, üç serbestlik derecesi her zaman ötelemedir. Öteleme serbestlik derecelerinin hiçbiri diğerlerine göre bir avantaja sahip değildir, bu da her birinin ortalama olarak değerin 1/3'üne eşit aynı enerjiye sahip olduğu anlamına gelir.<ε 0 >(moleküllerin öteleme hareketinin enerjisi): İstatistiksel fizikte, Boltzmann'ın moleküllerin serbestlik dereceleri üzerinde enerjinin tekdüze dağılımına ilişkin yasası: termodinamik denge durumunda olan bir istatistiksel sistem için, her öteleme ve dönme serbestlik derecesi kT / 2'ye eşit bir ortalama kinetik enerjiye ve her titreşim serbestlik derecesi kT'ye eşit bir ortalama enerjiye sahiptir. Titreşim derecesi iki kat daha fazla enerjiye sahiptir, çünkü hem kinetik enerjiyi (öteleme ve dönme hareketlerinde olduğu gibi) hem de potansiyel enerjiyi hesaba katar ve potansiyel ve kinetik enerjinin ortalama değerleri aynıdır. Yani molekülün ortalama enerjisi nerede i- öteleme sayısının toplamı, molekülün titreşim serbestlik derecesinin iki katı olarak dönme sayısı: i=i gönder + i dönüş +2 i titreşimler Klasik teoride moleküller, atomlar arasında katı bir bağ ile kabul edilir; onlar için i molekülün serbestlik derecesi sayısı ile çakışmaktadır. İdeal bir gazda, moleküllerin etkileşiminin karşılıklı potansiyel enerjisi sıfıra eşit olduğundan (moleküller birbirleriyle etkileşime girmez), o zaman bir mol gaz için iç enerji, moleküllerin N A kinetik enerjilerinin toplamına eşit olacaktır: (1) Rastgele bir gaz kütlesi için iç enerji. nerede M - molar kütle, ν - madde miktarı.