Mekanik harmonik salınım- bu, salınım yapan bir cismin (malzeme noktası) koordinatlarının zamana bağlı olarak kosinüs veya sinüs yasasına göre değiştiği, doğrusal, düzensiz bir harekettir.
Bu tanıma göre, zamana bağlı olarak koordinat değişimi yasası şu şekildedir:
Burada wt, kosinüs veya sinüs işaretinin altındaki değerdir; w- fiziksel anlamı aşağıda açıklayacağımız katsayı; A, mekanik harmonik salınımların genliğidir.
Denklemler (4.1), mekanik harmonik titreşimlerin ana kinematik denklemleridir.
Aşağıdaki örneği ele alalım. Öküz eksenini ele alalım (Şek. 64). 0 noktasından R = A yarıçaplı bir daire çiziyoruz. M noktası 1 konumundan sabit hızla daire etrafında hareket etmeye başlasın. v(veya sabit açısal hızla w, v = wA). Bir süre sonra t, yarıçap bir açıyla dönecektir. f: f=ağırlık.
M noktasının çevresi boyunca böyle bir hareketle, x ekseni üzerindeki izdüşüm M x, x'in x \u003d A cos'a eşit olacağı x ekseni boyunca hareket edecektir. f = = birçünkü ağırlık. Bu nedenle, eğer bir malzeme noktası, merkezi orijine denk gelen A yarıçaplı bir daire boyunca hareket ederse, bu noktanın x eksenindeki (ve y eksenindeki) izdüşümü harmonik mekanik titreşimler gerçekleştirecektir.
Kosinüs işareti altındaki wt değeri ve A genliği biliniyorsa, denklem (4.1)'de x de belirlenebilir.
Belirli bir genlikte salınım noktasının koordinatını benzersiz bir şekilde belirleyen kosinüs (veya sinüs) işaretinin altındaki wt değerine denir. salınım fazı. Bir daire boyunca hareket eden bir M noktası için, w değeri onun açısal hızı anlamına gelir. Mekanik harmonik salınımlar gerçekleştiren M x noktası için w değerinin fiziksel anlamı nedir? Salınım noktası Mx'in koordinatları bazı t ve (T +1) zamanlarında aynıdır (T periyodunun tanımından), yani A cos ağırlık= A cos w (t + T), bunun anlamı w(t + T) - ağırlık = 2 PI(kosinüs fonksiyonunun periyodik özelliğinden). Dolayısıyla bunu takip eder
Bu nedenle, harmonik mekanik salınımlar gerçekleştiren bir malzeme noktası için, w'nin değeri, belirli bir süre için salınım sayısı olarak yorumlanabilir. döngü zaman eşittir 2 litre. Bu nedenle, değer w isminde döngüsel(veya dairesel) frekans.
M noktası hareketine 1. noktadan değil de 2. noktadan başlarsa, denklem (4.1) şu şekli alacaktır:
değer f 0 isminde ilk aşama.
Koordinatın zamana göre türevi olarak M x noktasının hızını buluyoruz:
Harmonik yasaya göre salınan bir noktanın ivmesini hızın bir türevi olarak tanımlarız:
Formül (4.4)'ten harmonik salınım yapan bir noktanın hızının da kosinüs yasasına göre değiştiği görülmektedir. Ancak fazdaki hız, koordinatın şu kadar ilerisindedir: PI/2. Harmonik salınım sırasında hızlanma kosinüs yasasına göre değişir, ancak fazda koordinatın önündedir. P. Denklem (4.5) x koordinatı cinsinden yazılabilir:
Harmonik salınımlar sırasında ivme, ters işaretli yer değiştirme ile orantılıdır. Denklemin (4.5) sağ ve sol kısımlarını salınan malzeme noktası m'nin kütlesi ile çarparsak, aşağıdaki ilişkileri elde ederiz:
Newton'un ikinci yasasına göre (4.6) ifadesinin sağ tarafının fiziksel anlamı, harmonik mekanik hareket sağlayan Fx kuvvetinin izdüşümüdür:
F x'in değeri, yer değiştirme x ile orantılıdır ve ona zıt yönlüdür. Böyle bir kuvvete bir örnek, büyüklüğü deformasyonla orantılı olan ve ona zıt yönde olan elastik kuvvettir (Hooke yasası).
Mekanik harmonik salınımlar için tarafımızdan dikkate alınan denklem (4.6)'dan sonra gelen ivmenin yer değiştirmeye bağımlılığının düzenliliği, farklı bir fiziksel yapıya sahip salınımlar (örneğin, bir salınımdaki akımdaki bir değişiklik) dikkate alındığında genelleştirilebilir ve uygulanabilir. devre, şarj değişikliği, voltaj, indüksiyon manyetik alan vesaire.). Bu nedenle, denklem (4.8) ana denklem olarak adlandırılır. harmonik salınımların dinamikleri.
Yayın hareketini ve matematiksel sarkaçları düşünün.
Yatay olarak yerleştirilmiş ve 0 noktasında sabitlenmiş bir yayın (Şekil 63), bir ucuna bağlı m kütleli bir cisme sahip olduğunu ve x ekseni boyunca sürtünme olmadan hareket edebildiğini varsayalım. Yay sabiti k'ye eşit olsun. Bir dış kuvvetle m cismini dengeden çıkaralım ve bırakalım. Ardından, x ekseni boyunca, yalnızca elastik kuvvet, Hooke yasasına göre şuna eşit olacak şekilde vücut üzerinde hareket edecektir: F ypr = -kx.
Bu cismin hareket denklemi şöyle görünecektir:
(4.6) ve (4.9) denklemlerini karşılaştırarak iki sonuç çıkarıyoruz:
(4.2) ve (4.10) formüllerinden, yay üzerindeki yükün salınım periyodu için formülü elde ederiz:
Matematiksel bir sarkaç, ihmal edilebilir bir kütleye sahip, uzayamayan uzun bir iplik üzerinde asılı duran m kütleli bir cisimdir. Denge konumunda yerçekimi kuvveti ve ipliğin elastik kuvveti bu cisme etki edecektir. Bu güçler birbirini dengeleyecektir.
İplik bir açıda sapmışsa A denge konumundan, aynı kuvvetler vücuda etki eder, ancak artık birbirlerini dengelemezler ve vücut, teğet boyunca yaya yönlendirilen ve mg sin'e eşit olan yerçekimi bileşeninin etkisi altında yay boyunca hareket etmeye başlar. A.
Sarkacın hareket denklemi şu şekli alır:
Sağ taraftaki eksi işareti, F x = mg sin a kuvvetinin yer değiştirmeye yönelik olduğu anlamına gelir. harmonik salınım küçük sapma açılarında, yani koşul altında meydana gelecektir. 2* günah A.
Günahı değiştir ve denklem (4.12), aşağıdaki denklemi elde ederiz.
Harmonik salınımlar - sinüs ve kosinüs yasalarına göre gerçekleştirilen salınımlar. Aşağıdaki şekil, kosinüs yasasına göre bir noktanın koordinatındaki değişimin zaman içindeki grafiğini göstermektedir.
resim
salınım genliği
Harmonik salınımın genliği denir en yüksek değer vücudun denge konumundan yer değiştirmesi. Genlik farklı değerler alabilir. Zamanın ilk anında bedeni denge konumundan ne kadar uzaklaştırdığımıza bağlı olacaktır.
Genlik belirlenir başlangıç koşulları, yani, zamanın ilk anında vücuda verilen enerji. Sinüs ve kosinüs -1 ile 1 aralığında değerler alabildiğinden, denklem salınımların genliğini ifade eden Xm faktörünü içermelidir. Harmonik titreşimler için hareket denklemi:
x = Xm*cos(ω0*t).
salınım süresi
Salınım periyodu, bir tam salınım için geçen süredir. Salınım periyodu T harfi ile gösterilir. Periyodun birimleri zaman birimlerine karşılık gelir. Yani, SI'da saniyedir.
Salınım frekansı - birim zamandaki salınım sayısı. Salınım frekansı ν harfi ile gösterilir. Salınım frekansı, salınım periyodu cinsinden ifade edilebilir.
v = 1/T.
SI 1/sn cinsinden frekans birimleri. Bu ölçü birimine Hertz denir. 2 * pi saniyelik bir sürede salınım sayısı şuna eşit olacaktır:
ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.
salınım frekansı
Bu değere döngüsel salınım frekansı denir. Bazı literatürlerde dairesel frekans adı bulunur. Bir salınım sisteminin doğal frekansı, serbest salınımların frekansıdır.
Doğal salınımların frekansı aşağıdaki formülle hesaplanır:
Doğal salınımların frekansı, malzemenin özelliklerine ve yükün kütlesine bağlıdır. Yayın sertliği arttıkça, doğal salınımların frekansı da artar. Yükün kütlesi ne kadar büyük olursa, doğal salınımların frekansı o kadar düşük olur.
Bu iki sonuç açıktır. Yay ne kadar sert olursa, sistem dengesiz olduğunda vücuda vereceği ivme o kadar büyük olur. Vücudun kütlesi ne kadar büyükse, bu vücudun bu hızı o kadar yavaş değişecektir.
Serbest salınım periyodu:
T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)
Küçük sapma açılarında, cismin yay üzerindeki salınım periyodunun ve sarkacın salınım periyodunun salınımların genliğine bağlı olmayacağı dikkat çekmektedir.
Matematiksel bir sarkaç için serbest salınımların periyodu ve frekansı için formülleri yazalım.
o zaman dönem olacak
T = 2*pi*√(l/g).
Bu formül sadece küçük sapma açıları için geçerli olacaktır. Formülden, salınım periyodunun sarkaç ipliğinin uzunluğu ile arttığını görüyoruz. Uzunluk ne kadar uzun olursa, daha yavaş vücut dalgalanma olacaktır.
Salınım süresi yükün kütlesine bağlı değildir. Ama ivmeye bağlı. serbest düşüş. g azaldıkça salınım periyodu artacaktır. Bu özellik uygulamada yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, ölçmek için Kesin değerücretsiz hızlanma.
Harmonik titreşimler
Fonksiyon Grafikleri F(X) = günah( X) Ve G(X) = çünkü( X) Kartezyen düzlemde.
harmonik salınım- fiziksel (veya başka herhangi bir) niceliğin sinüzoidal veya kosinüs yasasına göre zaman içinde değiştiği dalgalanmalar. Harmonik salınımların kinematik denklemi şu şekildedir:
,Nerede X- salınım noktasının t zamanında denge konumundan yer değiştirmesi (sapması); A- salınım genliği, bu, salınım noktasının denge konumundan maksimum sapmasını belirleyen değerdir; ω - döngüsel frekans, 2π saniye içinde meydana gelen tam salınımların sayısını gösteren bir değer - salınımların tam fazı, - salınımların başlangıç fazı.
genelleştirilmiş harmonik salınım diferansiyel form
(Bu diferansiyel denklemin önemsiz olmayan herhangi bir çözümü, döngüsel frekanslı harmonik bir salınımdır)
Titreşim türleri
Harmonik harekette yer değiştirme, hız ve ivme zamanındaki evrim
- serbest titreşimler sistem dengeden çıktıktan sonra sistemin iç kuvvetlerinin etkisi altında yapılır. Serbest salınımların harmonik olması için, salınım sisteminin doğrusal olması (doğrusal hareket denklemleriyle tanımlanır) ve içinde enerji dağılımı olmaması gerekir (ikincisi sönümlemeye neden olur).
- Zorlanmış titreşimler harici bir periyodik kuvvetin etkisi altında gerçekleştirilir. Harmonik olmaları için, salınım sisteminin doğrusal olması (doğrusal hareket denklemleriyle tanımlanır) ve dış kuvvetin kendisinin zamanla harmonik bir salınım olarak değişmesi (yani, bu kuvvetin zamana bağlılığının sinüzoidal olması) yeterlidir. .
Başvuru
Harmonik titreşimler, aşağıdaki nedenlerle diğer tüm titreşim türlerinden farklıdır:
Ayrıca bakınız
notlar
Edebiyat
- Fizik. İlköğretim ders kitabı Fizik / Ed. GS Lansberg. - 3. baskı - M., 1962. - T.3.
- Haykin S. E. Mekaniğin fiziksel temelleri. - M., 1963.
- A. M. Afonin. Mekaniğin fiziksel temelleri. Ed. MSTU im. Baumann, 2006.
- Görelik G.S. Titreşimler ve dalgalar. Akustik, radyofizik ve optiğe giriş. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 s.
Wikimedia Vakfı. 2010
Diğer sözlüklerde "Harmonik titreşimler" in neler olduğuna bakın:
Modern Ansiklopedi
Harmonik titreşimler- HARMONİK OSİLASYONLAR, fiziksel bir nicelikte sinüs yasasına göre meydana gelen periyodik değişimlerdir. Grafiksel olarak, harmonik salınımlar bir sinüzoidal eğri ile temsil edilir. Harmonik titreşimler en basit hal ile karakterize edilen periyodik hareketler ... Resimli Ansiklopedik Sözlük
Sinüs veya kosinüs yasasına göre fiziksel bir niceliğin zaman içinde değiştiği dalgalanmalar. Grafiksel olarak G. to bir sinüzoidal veya kosinüs eğrisi ile temsil edilir (bkz. şekil); x = Asin (ωt + φ) veya x ... şeklinde yazılabilirler. Büyük Sovyet Ansiklopedisi
HARMONİK SALINIMLAR, bir sarkacın hareketi gibi periyodik hareket, atomik titreşimler veya titreşimler elektrik devresi. Bir cisim, bir çizgi boyunca salındığında, aynı doğrultuda hareket ettiğinde, sönümsüz harmonik salınımlar gerçekleştirir. Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük
Salınımlar, en k ryh fiziksel. (veya başka herhangi bir) değer, sinüzoidal bir yasaya göre zaman içinde değişir: x=Asin(wt+j), burada x, verilendeki salınımlı değerin değeridir. t zaman anı (mekanik G. to. için, örneğin yer değiştirme veya hız, ... ... Fiziksel Ansiklopedi
harmonik titreşimler- Genelleştirilmiş koordinatın ve (veya) genelleştirilmiş hızın, zamana doğrusal olarak bağlı bir argümanla sinüsle orantılı olarak değiştiği mekanik titreşimler. [Önerilen terimlerin toplanması. Sayı 106. Mekanik titreşimler. Bilimler Akademisi ... Teknik Tercümanın El Kitabı
Salınımlar, en k ryh fiziksel. (veya başka herhangi bir) miktar sinüzoidal bir yasaya göre zaman içinde değişir; burada x, t zamanındaki salınım miktarının değeridir (mekanik G.'den örneğin yer değiştirme ve hıza, elektrik voltajı ve akımı için) .. . Fiziksel Ansiklopedi
HARMONİK SALINIMLAR- (bkz.), hangi fiziksel. değer, sinüs veya kosinüs yasasına göre zamanla değişir (örneğin, salınım sırasındaki değişiklikler (bkz.) ve hız (bkz.) veya elektrikle değişiklikler (bkz.) ve akım gücü G. to.) ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi
Yasaya göre t zamanında x salınım değerindeki bir değişiklikle (örneğin, sarkacın denge konumundan sapması, alternatif akım devresindeki voltaj vb.) İle karakterize edilirler: x = Asin (?t + ?), burada A harmonik salınımların genliğidir, ? köşe… … Büyük Ansiklopedik Sözlük
Harmonik titreşimler- 19. Harmonik salınımlar Salınım miktarı değerlerinin yasaya göre zamanla değiştiği salınımlar Kaynak ... Normatif ve teknik dokümantasyon terimlerinin sözlük referans kitabı
Periyodik dalgalanmalar, krykh ile fiziksel zamandaki değişim. büyüklük, sinüs veya kosinüs yasasına göre oluşur (bkz. Şek.): s = Asin (wt + f0), burada s, dalgalanan değerin cf'sinden sapmasıdır. (denge) değeri, A=sabit genlik, w=const dairesel ... Büyük ansiklopedik teknik sözlük
Bir miktardaki değişiklikler, sinüs veya kosinüs yasaları kullanılarak tanımlanır, bu tür salınımlara harmonik denir. Bir kondansatör (devreye dahil edilmeden önce şarj edilmiş) ve bir indüktörden oluşan bir devre düşünün (Şekil 1).
Resim 1.
Harmonik salınım denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
nerede $t$-zaman; $q$ ücreti, $q_0$-- değişiklikler sırasında ortalama (sıfır) değerinden maksimum ücret sapması; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- salınım fazı; $(\alpha )_0$ - başlangıç aşaması; $(\omega )_0$ - döngüsel frekans. Dönem boyunca, aşama $2\pi $ değişir.
Tip denklemi:
aktif direnç içermeyen bir salınım devresi için diferansiyel formdaki harmonik salınımların denklemi.
Her türlü periyodik salınım, harmonik seri olarak adlandırılan harmonik salınımların toplamı olarak doğru bir şekilde temsil edilebilir.
Bobin ve kondansatörden oluşan bir devrenin salınım periyodu için Thomson formülünü elde ederiz:
(1) ifadesinin zamana göre türevini alırsak, $I(t)$ işlevi için aşağıdaki formülü elde edebiliriz:
Kapasitör üzerindeki voltaj şu şekilde bulunabilir:
Formül (5) ve (6)'dan, akım gücünün kapasitördeki gerilimden $\frac(\pi )(2)$ önde olduğu sonucu çıkar.
Harmonik salınımlar hem denklemler, fonksiyonlar hem de vektör diyagramları şeklinde temsil edilebilir.
Denklem (1), serbest sönümsüz salınımları temsil eder.
sönümlü salınım denklemi
Devredeki kondansatör plakalarındaki yük değişimi ($q$), direnci hesaba katarak (Şekil 2), formun bir diferansiyel denklemi ile açıklanacaktır:
Şekil 2.
Devrenin bir parçası olan direnç $R \
burada $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ döngüsel salınım frekansıdır. $\beta =\frac(R)(2L)-$zayıflama katsayısı. Sönümlü salınımların genliği şu şekilde ifade edilir:
$t=0$'da kondansatör üzerindeki yükün $q=q_0$'a eşit olması durumunda devrede akım yoktur, o zaman $A_0$ için şunu yazabiliriz:
Zamanın ilk anında ($(\alpha )_0$) salınım fazı şuna eşittir:
$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ için yükteki değişiklik bir salınım değildir, kapasitör deşarjına periyodik olmayan denir.
örnek 1
Egzersiz yapmak: Maksimum değer yük $q_0=10\ C$'ye eşittir. $T= 5 c$ periyodu ile harmonik olarak değişir. Mümkün olan maksimum akımı belirleyin.
Çözüm:
Sorunu çözmek için bir temel olarak şunları kullanırız:
Mevcut gücü bulmak için ifade (1.1) zamana göre farklılaştırılmalıdır:
mevcut gücün maksimum (genlik değeri) ifadesi şu şekildedir:
Problemin koşullarından yükün genlik değerini biliyoruz ($q_0=10\ Kl$). Salınımların doğal frekansını bulmalısınız. Şöyle ifade edelim:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]
Bu durumda istenen değer (1.3) ve (1.2) denklemleri kullanılarak şu şekilde bulunur:
Problemin koşullarındaki tüm nicelikler SI sisteminde sunulduğu için hesaplamaları yapacağız:
Cevap:$I_0=12,56\ A.$
Örnek 2
Egzersiz yapmak:$L=1$H endüktansı ve bir kondansatör içeren bir devredeki akım şu yasaya göre değişiyorsa salınım periyodu nedir: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t\ \left(A \right)?$ Kondansatörün kapasitansı nedir?
Çözüm:
Problem koşullarında verilen akım salınımlarının denkleminden:
$(\omega )_0=20\pi $ olduğunu görüyoruz, dolayısıyla Salınım Periyodunu aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz:
\ \
Bir indüktör ve bir kapasitör içeren bir devre için Thomson'ın formülüne göre, elimizde:
Kapasiteyi hesaplayalım:
Cevap:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$
Mekanikte cisimlerin öteleme ve dönme hareketlerinin yanı sıra, salınım hareketleri de oldukça ilgi çekicidir. mekanik titreşimler düzenli aralıklarla tam olarak (veya yaklaşık olarak) tekrar eden cisimlerin hareketleri olarak adlandırılır. Salınım yapan bir cismin hareket yasası bazı bilim adamları tarafından verilir. periyodik fonksiyon zaman X = F (T). Bu fonksiyonun grafik gösterimi, salınım sürecinin zaman içindeki seyrinin görsel bir temsilini verir.
Basit salınım sistemlerinin örnekleri, bir yay üzerindeki yük veya matematiksel bir sarkaçtır (Şekil 2.1.1).
Diğer herhangi bir fiziksel yapıdaki salınım süreçleri gibi mekanik salınımlar, özgür Ve zoraki. serbest titreşimler etkisi altında yapılır Iç kuvvetler sistem dengeden çıktıktan sonra sistem Bir yay üzerindeki ağırlığın salınımları veya bir sarkacın salınımları serbest salınımlardır. eylem altındaki titreşimler harici Periyodik olarak değişen kuvvetler denir zoraki .
En basit salınım süreci türü basittir harmonik titreşimler , denklem ile açıklanan
|
X = X m çünkü (ω T + φ 0). |
Burada X- vücudun denge konumundan yer değiştirmesi, X m - salınım genliği, yani denge konumundan maksimum yer değiştirme, ω - döngüsel veya dairesel frekans tereddüt, T- zaman. Kosinüs işareti altındaki değer φ = ω T+ φ 0 denir faz harmonik süreç. -de T= 0 φ = φ 0 , yani φ 0 denir ilk aşama. Vücudun hareketinin tekrarlandığı minimum zaman aralığına denir. salınım dönemi T. Fiziksel miktar salınım periyodunun tersi olarak adlandırılır salınım frekansı:
salınım frekansı F 1 saniyede kaç titreşim yapıldığını gösterir. Frekans birimi - hertz(Hz). salınım frekansı F döngüsel frekans ω ve salınım periyodu ile ilgilidir T oranlar:
Şek. 2.1.2 vücudun pozisyonlarını düzenli aralıklarla harmonik titreşimlerle gösterir. Böyle bir resim, salınan bir cismin kısa periyodik ışık flaşlarıyla aydınlatılmasıyla deneysel olarak elde edilebilir ( stroboskopik aydınlatma). Oklar, vücudun farklı zaman noktalarındaki hız vektörlerini temsil eder.
Pirinç. 2.1.3, salınımların genliği değişirse, harmonik bir sürecin grafiğinde meydana gelen değişiklikleri gösterir. X m veya dönem T(veya frekans F) veya başlangıç aşaması φ 0 .
Vücut düz bir çizgi boyunca salındığında (eksen ÖKÜZ) hız vektörü her zaman bu düz çizgi boyunca yönlendirilir. hız υ = υ X vücut hareketi ifade ile belirlenir
Matematikte, Δ'daki oranın sınırını bulma prosedürü T→ 0'a fonksiyonun türevinin hesaplanması denir X (T) zamanla T ve olarak veya olarak gösterilir X"(T) veya son olarak . Harmonik hareket yasası için türevin hesaplanması aşağıdaki sonuca yol açar:
+ π / 2 teriminin kosinüs bağımsız değişkeninde görünmesi, başlangıç aşamasında bir değişiklik anlamına gelir. Hızın maksimum modulo değerleri υ = ω X m, vücudun denge pozisyonlarından geçtiği anlarda elde edilir ( X= 0). Hızlanma benzer şekilde tanımlanır A = AX harmonik titreşimli cisimler:
dolayısıyla hızlanma Aυ fonksiyonunun türevine eşittir ( T) zamanla T veya fonksiyonun ikinci türevi X (T). Hesaplamalar şunu verir:
Bu ifadedeki eksi işareti, ivmenin A (T) her zaman ofsetin zıt işaretine sahiptir X (T) ve bu nedenle, Newton'un ikinci yasasına göre, vücudun harmonik salınımlar yapmasına neden olan kuvvet her zaman denge konumuna yöneliktir ( X = 0).