ما يسمى متوازي الأضلاع. مشروع بحثي "متوازي الأضلاع وخصائصه"

1. تعريف متوازي الأضلاع.

إذا تقاطعنا مع زوج من الخطوط المتوازية مع زوج آخر من الخطوط المتوازية ، فسنحصل على شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية.

في الأشكال الرباعية ABDC و EFNM (الشكل 224) BD || AC و AB || قرص مضغوط

إي أف || MN و EM || ف.

يسمى الشكل الرباعي الذي يكون ضلعه المتقابلان متوازيين متوازي الأضلاع.

2. خصائص متوازي الأضلاع.

نظرية. قطري متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين.

يجب أن يكون هناك متوازي أضلاع ABDC (الشكل 225) فيه AB || CD و AC || BD.

مطلوب إثبات أن القطر يقسمه إلى مثلثين متساويين.

لنرسم قطريًا CB في متوازي الأضلاع ABDC. دعونا نثبت أن \ (\ Delta \) CAB = \ (\ Delta \) СDВ.

الجانب الشمالي الشرقي مشترك بين هذه المثلثات ؛ ∠ABC = ∠BCD ، كزوايا استلقاء داخلية متقاطعة مع AB متوازي و CD و CB القاطع ؛ ∠ACB = ∠CBD ، مثل زوايا الكذب المتقاطعة الداخلية مع موازية AC و BD و CB القاطع.

ومن هنا \ (\ Delta \) CAB = \ (\ Delta \) СDВ.

بنفس الطريقة ، يمكن للمرء أن يثبت أن القطر AD يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متساويين ACD و ABD.

عواقب:

1 . الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية.

∠A = ∠D ، هذا يتبع من المساواة بين المثلثات CAB و CDB.

وبالمثل ، ∠C = ∠B.

2. أضلاع متوازي أضلاع متساوية.

AB \ u003d CD و AC \ u003d BD ، لأن هذه جوانب من مثلثات متساوية وتقع في زوايا متساوية متقابلة.

نظرية 2. يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع عند نقطة تقاطعها.

لنفترض أن BC و AD هما قطري متوازي الأضلاع ABDC (الشكل 226). دعنا نثبت أن AO = OD و CO = OB.

للقيام بذلك ، دعنا نقارن بعض أزواج المثلثات المعاكسة ، على سبيل المثال \ (\ Delta \) AOB و \ (\ Delta \) COD.

في هذه المثلثات AB = CD ، كأضلاع متقابلة في متوازي الأضلاع ؛

∠1 = ∠2 ، حيث أن الزوايا الداخلية بالعرض تقع على التوازي AB و CD والقطع AD ؛

∠3 = ∠4 لنفس السبب ، منذ AB || CD و CB هما قاطعتهما.

ويترتب على ذلك أن \ (\ Delta \) AOB = \ (\ Delta \) COD. و في مثلثات متساويةالأضلاع المتساوية تقع في مقابل زوايا متساوية. لذلك ، AO = OD و CO = OB.

نظرية 3. مجموع الزوايا المجاورة لأحد جانبي متوازي الأضلاع يساوي 180 درجة.

ارسم قطري AC في متوازي الأضلاع ABCD واحصل على مثلثين ABC و ADC.

المثلثات متطابقة لأن ∠1 = ∠4 ، ∠2 = ∠3 (زوايا متقاطعة عند خطوط متوازية) ، والجانب AC شائع.
تعني المساواة \ (\ Delta \) ABC = \ (\ Delta \) ADC أن AB = CD ، BC = AD ، ∠B = ∠D.

مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد ، على سبيل المثال ، الزاويتان A و D ، يساوي 180 درجة على وجه واحد مع خطوط متوازية.

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على أ" جميع الموضوعات الضرورية لنجاحك اجتياز الامتحانفي الرياضيات لـ 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من ملف التعريف المستخدم في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

الجميع النظرية الضرورية. طرق سريعةالحلول والفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. نظرية، المواد المرجعيةوتحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من الامتحان.

ميزانية البلدية مؤسسة تعليمية

متوسط Savinskaya مدرسة شاملة

بحث

متوازي الأضلاع وخصائصه الجديدة

تم بواسطة: طالب في الصف الثامن ب

مدرسة MBOU Savinskaya الثانوية

كوزنتسوفا سفيتلانا ، 14 عامًا

القائد: مدرس رياضيات

تولشيفسكايا ن.

سافينو

منطقة إيفانوفو، روسيا

2016

أنا. مقدمة ______________________________________________ الصفحة 3

ثانيًا. من تاريخ متوازي الأضلاع ___________________________________ الصفحة 4

III خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع ______________________ الصفحة 4

رابعا. إثبات الممتلكات _____________________________________ الصفحة 5

الخامس. حل المشكلات باستخدام خصائص إضافية __________ الصفحة 8

السادس. تطبيق خصائص متوازي الأضلاع في الحياة ___________________ الصفحة 11

سابعا. خاتمة _________________________________________________ صفحة 12

ثامنا. الأدب _________________________________________________ صفحة 13

مقدمة

"بين العقول المتساوية

في تشابه الشروط الأخرى

متفوقة على أولئك الذين يعرفون الهندسة "

(بليز باسكال).

أثناء دراسة موضوع "متوازي الأضلاع" في دروس الهندسة ، أخذنا في الاعتبار خاصيتين لمتوازي الأضلاع وثلاث ميزات ، ولكن عندما بدأنا في حل المشكلات ، اتضح أن هذا لم يكن كافيًا.

كان لدي سؤال ، هل متوازي الأضلاع له أي خصائص أخرى ، وكيف سيساعد في حل المشكلات.

وقررت دراسة الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع وإظهار كيف يمكن تطبيقها لحل المشكلات.

موضوع الدراسة : متوازي الاضلاع

موضوع الدراسة : خصائص متوازي الأضلاع
الهدف من العمل:

صياغة وإثبات الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع التي لم تتم دراستها في المدرسة ؛

تطبيق هذه الخصائص لحل المشاكل.

مهام:

لدراسة تاريخ متوازي الأضلاع وتاريخ تطور خصائصه ؛

ابحث عن منشورات إضافية حول القضية قيد الدراسة ؛

دراسة الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع وإثباتها ؛

إظهار تطبيق هذه الخصائص لحل المشاكل ؛

ضع في اعتبارك تطبيق خصائص متوازي الأضلاع في الحياة.
طرق البحث:

العمل مع التربوية والعلمية - الأدب الشعبي ، موارد الإنترنت ؛

دراسة المادة النظرية.

اختيار مجموعة من المهام التي يمكن حلها باستخدام خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع ؛

الملاحظة ، المقارنة ، التحليل ، القياس.

مدة الدراسة : 3 شهور: يناير - مارس 2016

في كتاب الهندسة ، نقرأ التعريف التالي لمتوازي الأضلاع: متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية في أزواج.

تتم ترجمة الكلمة "متوازي الأضلاع" على أنها "خطوط متوازية" (from كلمات يونانية Parallelos - متوازي وخط غرام) ، قدم هذا المصطلح إقليدس. أثبت إقليدس في كتابه العناصر الخصائص التالية لمتوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة وزوايا متوازي الأضلاع متساوية ، والقطري يشطرها. لا يذكر إقليدس نقطة تقاطع متوازي الأضلاع. فقط بحلول نهاية العصور الوسطى ، تم تطوير نظرية كاملة لمتوازي الأضلاع ، وفقط في القرن السابع عشر ، ظهرت نظريات متوازي الأضلاع في الكتب المدرسية ، والتي تم إثباتها باستخدام نظرية إقليدس في خصائص متوازي الأضلاع.

ثالثا خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع

في كتاب الهندسة ، تم إعطاء خاصيتين فقط لمتوازي الأضلاع:

الزوايا والجوانب المتقابلة متساوية

تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع وتنقسم نقطة التقاطع

في مصادر متعددةفي الهندسة ، يمكنك العثور على الخصائص الإضافية التالية:

مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي أضلاع يساوي 180 0

منصف زاوية متوازي الأضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين ؛

منصفات زوايا متقابلة لمتوازي أضلاع تقع على خطوط متوازية ؛

تتقاطع منصفات الزوايا المتجاورة لمتوازي الأضلاع بزوايا قائمة ؛

تشكل منصفات جميع زوايا متوازي الأضلاع مستطيلًا عندما تتقاطع ؛

المسافات من الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع إلى نفس القطر متساوية.

إذا قمت بتوصيل رؤوس متقابلة في متوازي الأضلاع بنقاط المنتصف للأضلاع المتقابلة ، تحصل على متوازي أضلاع آخر.

مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعات أضلاعه المجاورة.

إذا رسمنا ارتفاعًا من زاويتين متقابلتين في متوازي أضلاع ، نحصل على مستطيل.

رابعا إثبات خصائص متوازي الأضلاع

مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي أضلاع يساوي 180 0

منح:

ABCD متوازي أضلاع

يثبت:

أ +
ب =

دليل:

أ و
ب - الزوايا الداخلية أحادية الجانب ذات الخطوط المستقيمة المتوازية قبل الميلاد AD و secant AB ، لذلك
أ +
ب =

منح:ا ب ت ث - متوازي الاضلاع،

حزب العدالة والتنمية المنصف
أ.

يثبت: AVK - متساوي الساقين

دليل:

1)
1=
3 (عبر الكذب مع BC AD و قاطع AK) ،

2)
2=
3 لأن حزب العدالة والتنمية هو منصف ،

يعني 1 =
2.

3) ABK متساوي الساقين لأن زاويتين في المثلث متساويتان

. منصف زاوية متوازي الأضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين

منح: ABCD متوازي أضلاع

AK هو منصف A ،

СР هو منصف C.

يثبت: AK ║ SR

دليل:

1) 1 = 2 منذ AK-bisector

2) 4 = 5 لأن ريال - منصف

3) 3 = 1 (زوايا متقاطعة عند

BC ║ AD و AK-secant) ،

4) A \ u003d C (بخاصية متوازي الأضلاع) ، مما يعني 2 \ u003d 3 \ u003d 4 \ u003d 5.

4) من الفقرتين 3 و 4 يترتب على ذلك أن 1 = 4 ، وهذه الزوايا تتوافق مع الخطوط المستقيمة AK و SR والقطع BC ،

ومن ثم ، AK ║ SR (على أساس الخطوط المتوازية)

. منصفات زوايا متقابلة في متوازي أضلاع تقع على خطوط متوازية

تتقاطع مناصرات الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع بزوايا قائمة

منح: ABCD - متوازي الأضلاع ،

منصف المكيف أ ،

موانئ دبي المنصف د

يثبت:موانئ دبي AK.

دليل:

1) 1 = 2 لأن AK - منصف

دع 1 = 2 = س ، ثم أ = 2 س ،

2) 3 = 4 لأن د ف - منصف

دع 3 = 4 = ص ، ثم د = 2 ص

3) A + D \ u003d 180 0 بسبب مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي أضلاع يساوي 180

2) النظر التطوير التنظيمي

1 + 3 = 90 0 إذن
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. تشكل منصفات جميع زوايا متوازي الأضلاع مستطيلًا عندما تتقاطع

منح: ABCD - متوازي الأضلاع ، AK-bisector A ،

DP-bisector D ،

CM هو منصف C ،

BF - منصف ب.

يثبت: KRNS- مستطيل

دليل:

بناءً على الخاصية السابقة 8 = 7 = 6 = 5 = 90 0 ،

يعني KRNS مستطيل.

المسافات من الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع إلى نفس القطر متساوية.

منح: ABCD- متوازي الأضلاع ، AC قطري.

VC AU ، م. تيار متردد

يثبت: BK = موانئ دبي

دليل: 1) DCP \ u003d KAB ، مثل الكذب بالعرض الداخلي عند AB CD و AC القاطع.

2) AKB = CDP (على طول الجانب وزاويتين متجاورتين له AB = CD CD P = AB K).

وفي المثلثات المتساوية ، تكون الأضلاع المتناظرة متساوية ، لذا DP \ u003d BK.

إذا قمت بتوصيل رؤوس متقابلة في متوازي الأضلاع بنقاط المنتصف للأضلاع المتقابلة ، تحصل على متوازي أضلاع آخر.

منح:متوازي الأضلاع ABCD.

يثبت: VKDP هو متوازي أضلاع.

دليل:

1) BP = دينار كويتي (AD = BC ، النقاط K و P.

شطر هذه الجوانب)

2) BP KD (استلقي على AD قبل الميلاد)

إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية ومتوازية ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

إذا رسمنا ارتفاعًا من زاويتين متقابلتين في متوازي أضلاع ، نحصل على مستطيل.

مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعات أضلاعه المجاورة.

منح: ABCD متوازي أضلاع. BD و AC قطريان.

يثبت: تيار متردد 2 + دينار بحريني 2 = 2 (أب 2 + م 2 )

دليل: 1)بسأل: تيار متردد ²=
+

2)ب صد : BD 2 = ب ص 2 + صد 2 (حسب نظرية فيثاغورس)

3) تيار متردد ²+ BD ² = SC² +أ K² +ب Р² + Рد ²

4) SK = BP = H.(ارتفاع )

5) التيار المتردد 2 + V.د 2 = ح 2 + أ ل 2 + ح 2 + صد 2

6) يترك د ك =أ ف = س، ثم ج لد : ح 2 = قرص مضغوط 2 - X 2 وفقًا لنظرية فيثاغورس )

7) تيار متردد² + بد ² = جد 2 - x² + AK 1 ²+ قرص مضغوط 2 -X 2 + صد 2 ,

تيار متردد² + خامسد ² = 2 درجة مئويةد 2 -2x 2 + أ ل 2 + صد 2

8) أ ل= م + X, صد = م- X,

تيار متردد² + خامسد ² = 2قرص مضغوط 2 -2x 2 +(إعلان + x) 2 +(إعلان -X) 2 ,

تيار متردد²+ فيد² = 2 معد² -2 X² + م 2 + 2 م X+ X 2 + م 2 -2 م X+ X 2 ,
تيار متردد²+ فيD² = 2CD 2 + 2 م 2 = 2 (قرص مضغوط 2 + م 2 ).

الخامس . حل المشكلات باستخدام هذه الخصائص

نقطة تقاطع منصف زاويتين لمتوازي أضلاع متجاورة مع أحد الجانبين تنتمي إلى الجانب المقابل. الجانب الأقصر من متوازي الأضلاع هو 5 . ابحث عن جانبه الكبير.

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع ،

AK - منصف
أ،

د ك - منصف
د ، أب = 5

يجد: شمس

حل

لأن AK - منصف
A ، ثم ABC هو متساوي الساقين.

لأن د ك - منصف
د ، إذن DCK - متساوي الساقين

تيار مستمر \ u003d C K \ u003d 5

ثم ، VS = VK + SK = 5 + 5 = 10

الجواب: 10

2. أوجد محيط متوازي الأضلاع إذا كان منصف إحدى زواياه يقسم ضلع متوازي الأضلاع إلى جزأين 7 سم و 14 سم.

1 حالة

منح:
أ،

VK = 14 سم ، KS = 7 سم

يجد:متوازي الأضلاع R

حل

BC = VK + KS = 14 + 7 = 21 (سم)

لأن AK - منصف
A ، ثم ABC هو متساوي الساقين.

AB = BK = 14 سم

ثم P = 2 (14 + 21) = 70 (سم)

يحدث

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع ،

د ك - منصف
د،

VK = 14 سم ، KS = 7 سم

يجد: R متوازي الأضلاع

حل

BC = VK + KS = 14 + 7 = 21 (سم)

لأن د ك - منصف
د ، إذن DCK - متساوي الساقين

DC \ u003d C K \ u003d 7

ثم P = 2 (21 + 7) = 56 (سم)

إجابة: 70 سم أو 56 سم

3. طول ضلعي متوازي الأضلاع 10 سم و 3 سم ، ومنصف الزاويتين المتجاورتين للضلع الأكبر يقسمان الضلع المقابل إلى ثلاثة أجزاء. ابحث عن هذه الأجزاء.

حالة واحدة:تتقاطع المنصفات خارج متوازي الأضلاع

منح: ABCD - متوازي الأضلاع ، AK - منصف
أ،

د ك - منصف
D ، AB = 3 سم ، BC = 10 سم

يجد: BM ، MN ، NC

حل

لأن AM - منصف
ثم التشوه الشرياني الوريدي هو متساوي الساقين.

لأن DN - منصف
د ، إذن DCN - متساوي الساقين

DC = CN = 3

ثم MN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 + 3) = 4 سم

2 حالة:تتقاطع المنصفات داخل متوازي الأضلاع

لأن AN - منصف
A ، ثم ABN هو متساوي الساقين.

AB = بن = 3 د

والشبكة المنزلقة - تحرك إلى المسافة المطلوبة في المدخل

آلية متوازية الأضلاع- آلية من أربع وصلات ، تشكل روابطها متوازي أضلاع. يتم استخدامه لتنفيذ الحركة متعدية الآليات المفصلية.

متوازي الأضلاع مع ارتباط ثابت- أحد الوصلات ثابت ، والرابط المقابل يقوم بحركة هزازة ، ويبقى موازيًا للرابط الثابت. متوازي أضلاع متصلان أحدهما خلف الآخر يمنحان الرابط الأخير درجتين من الحرية ، مما يجعله موازيًا للواحد الثابت.

أمثلة: مساحات الزجاج الأمامي للحافلات ، والرافعات الشوكية ، والحوامل ثلاثية القوائم ، والشماعات ، وحوامل السيارات.

متوازي الأضلاع بمفصلة ثابتة- تستخدم خاصية متوازي الأضلاع للحفاظ على نسبة ثابتة للمسافات بين ثلاث نقاط. مثال: رسم المنساخ - جهاز لقياس الرسومات.

معين- جميع الوصلات لها نفس الطول ، ويؤدي نهج (تقلص) زوج من المفصلات المتقابلة إلى تمدد المفصلتين الأخريين. جميع الروابط تعمل في ضغط.

ومن الأمثلة على ذلك مقبس ماسي للسيارة ، ومنساخ ترام.

مقصأو آلية على شكل X، المعروف أيضًا باسم مقص نورمبرغ- متغير من المعين - رابطان متصلان في المنتصف بمفصلة. مزايا الآلية هي الاكتناز والبساطة ، والعيب هو وجود زوجين منزلقين. اثنان (أو أكثر) من هذه الآليات ، متصلة في سلسلة ، تشكل معينًا (أو أكثر) في المنتصف. يتم استخدامه في المصاعد ولعب الأطفال.

سابعا خاتمة

من شارك في الرياضيات منذ الطفولة ،

يطور الانتباه ، يدرب دماغه ،

إرادته ، تزرع المثابرة

والمثابرة في تحقيق الهدف

أ. ماركوشفيتش

أثناء العمل ، أثبتت خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع.

كنت مقتنعًا أنه من خلال تطبيق هذه الخصائص ، يمكنك حل المشكلات بشكل أسرع.

لقد أوضحت كيف يتم تطبيق هذه الخصائص على أمثلة لحل مشاكل معينة.

لقد تعلمت الكثير عن متوازي الأضلاع غير الموجود في كتاب الهندسة

كنت مقتنعًا بأن معرفة الهندسة مهمة جدًا في الحياة من خلال أمثلة لتطبيق خصائص متوازي الأضلاع.

تم إنجاز الغرض من عملي البحثي.

تتجلى أهمية المعرفة الرياضية من خلال حقيقة أنه تم إنشاء جائزة لمن ينشر كتابًا عن شخص عاش طوال حياته دون مساعدة الرياضيات. لم يحصل أي شخص على هذه الجائزة حتى الآن.

ثامنا الأدب

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية ، أي الاستلقاء على خطوط متوازية

خصائص متوازي الأضلاع:
نظرية 22. أضلاع متوازي أضلاع متساوية.
دليل. ارسم قطري AC في متوازي أضلاع ABCD. يتطابق المثلثان ACD و ACB على أنهما لهما جانب مشترك AC وزوجان من الزوايا المتساوية. بجوارها: ∠ CAB = ∠ ACD ، ∠ ASV = ∠ DAC (كزوايا متقاطعة مع خطوط متوازية AD و BC). ومن ثم ، AB = CD و BC = AD كأضلاع متقابلة لمثلثات متساوية ، إلخ. تعني المساواة بين هذه المثلثات أيضًا المساواة في الزوايا المقابلة للمثلثات:
نظرية 23. الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع هما: ∠ A = ∠ C و ∠ B = ∠ D.
تأتي المساواة بين الزوج الأول من المساواة بين المثلثين ABD و CBD ، والثاني - ABC و ACD.
نظرية 24. الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع ، أي مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد يصل إلى 180 درجة.
هذا لأنها زوايا داخلية من جانب واحد.
نظرية 25. قطري متوازي الأضلاع ينقسمان عند نقطة تقاطعهما.
دليل. ضع في اعتبارك المثلثات BOC و AOD. وفقًا للخاصية الأولى ، AD = BC ∠ ОАD = ∠ OSV و ∠ ОDA = ∠ ОВС على أنها تقع مع خطوط متوازية AD و BC. لذلك ، فإن المثلثين BOC و AOD متساويان في الضلع والزوايا المجاورة لهما. ومن ثم ، BO = OD و AO = OC ، مثل الأضلاع المقابلة لمثلثات متساوية ، إلخ.

ميزات متوازي الأضلاع
نظرية 26. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فهذا يعني أنه متوازي أضلاع.
دليل. دع الشكل الرباعي ABCD له جوانب AD و BC و AB و CD على التوالي متساويين (الشكل 2). لنرسم القطر AC. المثلث ABC و ACD لهما ثلاثة أضلاع متساوية. إذن ، الزاويتان BAC و DCA متساويتان ، وبالتالي AB يوازي CD. إن التوازي بين الجانبين BC و AD يتبع من تساوي الزوايا CAD و DIA.
نظرية 27. إذا كانت الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فهذا يعني أنه متوازي أضلاع.
دع ∠ أ = ∠ ج و ∠ ب = ∠ د. ∠ A + ∠ B + ∠ C + D = 360 o ، ثم ∠ A + ∠ B = 180 o والجانبان AD و BC متوازيان (على أساس الخطوط المتوازية). لقد أثبتنا أيضًا التوازي بين الجانبين AB و CD وخلصنا إلى أن ABCD هو متوازي أضلاع بحكم التعريف.
نظرية 28. إذا كانت الزوايا المجاورة للشكل الرباعي ، أي مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد يصل إلى 180 درجة ، فهو متوازي أضلاع.
إذا كان مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب 180 درجة ، فإن الخطوط تكون متوازية. هذا يعني أن AB هو زوج من الأقراص المضغوطة و BC هو زوج من AD. يتضح أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع بحكم التعريف.
نظرية 29. إذا تم تقسيم أقطار الشكل الرباعي بشكل متبادل عند نقطة التقاطع إلى نصفين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
دليل. إذا كانت AO = OC ، BO = OD ، فإن المثلثات AOD و BOC متساوية ، حيث أن زواياها متساوية (رأسية) عند الرأس O ، محصورة بين أزواج من الأضلاع المتساوية. من مساواة المثلثات نستنتج أن AD و BC متساويان. الضلعان AB و CD متساويان أيضًا ، ويتضح أن المربع الرباعي هو متوازي أضلاع وفقًا للميزة 1.
نظرية 30. إذا كان الشكل الرباعي له زوج من الأضلاع المتساوية والمتوازية ، فهو متوازي أضلاع.
اجعل الجانبين AB و CD متوازيين ومتساويين في الشكل الرباعي ABCD. ارسم القطرين AC و BD. من التوازي بين هذه الخطوط يتبع المساواة بين الزوايا المتقاطعة ABO = CDO و BAO = OCD. المثلثان ABO و CDO متساويان في الزوايا الجانبية والمجاورة. لذلك ، AO = OC ، BO = OD ، أي تنقسم أقطار نقطة التقاطع إلى نصفين ويتضح أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع وفقًا للميزة 4.

في الهندسة ، يتم النظر في حالات خاصة من متوازي الأضلاع.