العديد من الأشياء في العالم من حولنا مستديرة. هذه هي العجلات وفتحات النوافذ المستديرة والأنابيب والأواني المختلفة وغير ذلك الكثير. يمكنك حساب محيط الدائرة بمعرفة قطرها أو نصف قطرها.
هناك عدة تعريفات لهذا الشكل الهندسي.
- إنه منحنى مغلق يتكون من نقاط تقع على نفس المسافة من نقطة معينة.
- هذا منحنى يتكون من النقطتين A و B ، وهما نهايتي المقطع ، وجميع النقاط التي يمكن رؤية A و B منها بزاوية قائمة. في هذه الحالة ، المقطع AB هو القطر.
- بالنسبة إلى نفس المقطع AB ، يتضمن هذا المنحنى جميع النقاط C بحيث تكون النسبة AC / BC ثابتة ولا تساوي 1.
- هذا منحنى يتكون من نقاط يكون ما يلي صحيحًا بالنسبة لها: إذا أضفت مربعات المسافات من نقطة واحدة إلى نقطتين في حالة وجود نقطتين أخريين A و B ، فستحصل على رقم ثابت أكبر من 1/2 من المقطع الذي يربط A و ب. هذا التعريف مشتق من نظرية فيثاغورس.
ملحوظة!هناك تعريفات أخرى كذلك. الدائرة هي منطقة داخل دائرة. محيط الدائرة هو طولها. وفقًا لتعريفات مختلفة ، قد تتضمن الدائرة أو لا تتضمن المنحنى نفسه ، وهو حدودها.
تعريف الدائرة
الصيغ
كيف تحسب محيط الدائرة باستخدام نصف القطر؟ يتم ذلك بصيغة بسيطة:
حيث L هي القيمة المطلوبة ،
π هو الرقم pi ، يساوي تقريبًا 3.1413926.
عادة ، للعثور على القيمة المرغوبة ، يكفي استخدام حتى المرتبة العشرية الثانية ، أي 3.14 ، وهذا سيوفر الدقة المطلوبة. في الآلات الحاسبة ، ولا سيما الآلات الهندسية ، قد يكون هناك زر يقوم تلقائيًا بإدخال قيمة الرقم π.
الرموز
للعثور على القطر ، توجد الصيغة التالية:
إذا كانت L معروفة بالفعل ، فيمكنك بسهولة معرفة نصف القطر أو القطر. للقيام بذلك ، يجب قسمة L على 2π أو π على التوالي.
إذا تم تقديم دائرة بالفعل ، فأنت بحاجة إلى فهم كيفية العثور على المحيط من هذه البيانات. مساحة الدائرة هي S = πR2. من هنا نجد نصف القطر: R = √ (S / π). ثم
L = 2πR = 2π√ (S / π) = 2√ (Sπ).
حساب المنطقة من حيث L سهل أيضًا: S = πR2 = π (L / (2π)) 2 = L2 / (4π)
بإيجاز ، يمكننا القول أن هناك ثلاث صيغ رئيسية:
- من خلال نصف القطر - L = 2πR ؛
- من خلال القطر - L = πD ؛
- من خلال مساحة الدائرة - L = 2√ (Sπ).
بي
بدون الرقم ، لن يكون من الممكن حل المشكلة قيد النظر. تم إيجاد الرقم π لأول مرة كنسبة محيط دائرة إلى قطرها. وقد قام بذلك البابليون القدماء والمصريون والهنود. لقد وجدوا ذلك بدقة تامة - اختلفت نتائجهم عن القيمة المعروفة الآن π بما لا يزيد عن 1٪. تم تقريب الثابت بواسطة كسور مثل 25/8 ، 256/81 ، 339/108.
علاوة على ذلك ، تم اعتبار قيمة هذا الثابت ليس فقط من وجهة نظر الهندسة ، ولكن أيضًا من وجهة نظر التحليل الرياضي من خلال مبالغ السلاسل. استخدم ويليام جونز تدوين هذا الثابت بالحرف اليوناني لأول مرة في عام 1706 ، وأصبح شائعًا بعد عمل أويلر.
من المعروف الآن أن هذا الثابت هو كسر عشري لانهائي غير دوري ، وهو غير منطقي ، أي لا يمكن تمثيله كنسبة من عددين صحيحين. بمساعدة الحسابات على أجهزة الكمبيوتر العملاقة في عام 2011 ، تعلموا علامة 10 تريليون للثابت.
إنه ممتع!لحفظ الأحرف القليلة الأولى من الرقم π ، تم اختراع قواعد ذاكري مختلفة. البعض يسمح لك بالتخزين رقم ضخمالأرقام ، على سبيل المثال ، ستساعدك قصيدة فرنسية واحدة على تذكر pi حتى 126 حرفًا.
إذا كنت بحاجة إلى المحيط ، فستساعدك الآلة الحاسبة عبر الإنترنت في ذلك. هناك العديد من هذه الآلات الحاسبة ، فهي تحتاج فقط إلى إدخال نصف القطر أو القطر. يحتوي بعضها على كلا الخيارين ، والبعض الآخر يحسب النتيجة فقط من خلال R. يمكن لبعض الآلات الحاسبة حساب القيمة المطلوبة بدقة مختلفة ، تحتاج إلى تحديد عدد المنازل العشرية. أيضًا ، باستخدام الآلات الحاسبة عبر الإنترنت ، يمكنك حساب مساحة الدائرة.
يسهل العثور على هذه الآلات الحاسبة في أي محرك بحث. هناك أيضا تطبيقات الهاتف الجوال، مما سيساعد في حل مشكلة كيفية إيجاد محيط الدائرة.
فيديو مفيد: المحيط
الاستخدام العملي
غالبًا ما يكون حل مثل هذه المشكلة ضروريًا للمهندسين والمعماريين ، ولكن في الحياة اليومية ، يمكن أن تكون معرفة الصيغ الضرورية مفيدة أيضًا. على سبيل المثال ، من الضروري لف كعكة مخبوزة في شكل بقطر 20 سم بشريط ورقي ، وبعد ذلك لن يكون من الصعب العثور على طول هذا الشريط:
L = πD = 3.14 * 20 = 62.8 سم.
مثال آخر: تحتاج إلى بناء سياج حول بركة دائرية على مسافة معينة. إذا كان نصف قطر حوض السباحة 10 أمتار ، وكان يجب وضع السور على مسافة 3 أمتار ، فسيكون R للدائرة الناتجة 13 مترًا ، ويكون طوله كما يلي:
L = 2πR = 2 * 3.14 * 13 = 81.68 م.
فيديو مفيد: الدائرة - نصف القطر ، القطر ، المحيط
حصيلة
من السهل حساب محيط الدائرة باستخدام صيغ بسيطة تتضمن القطر أو نصف القطر. يمكنك أيضًا العثور على القيمة المطلوبة من خلال منطقة الدائرة. ستساعد الآلات الحاسبة عبر الإنترنت أو تطبيقات الهاتف المحمول في حل هذه المشكلة التي تحتاج إلى الدخول فيها صيغة المفردهو القطر أو نصف القطر.
حاسبة الدائرة هي خدمة مصممة خصيصًا لحساب الأبعاد الهندسية للأشكال عبر الإنترنت. بفضل هذه الخدمة ، يمكنك بسهولة تحديد أي معلمة من الشكل بناءً على الدائرة. على سبيل المثال: أنت تعرف حجم الكرة ، لكنك تحتاج إلى معرفة مساحتها. لا يوجد شيء أسهل! حدد الخيار المناسب ، وأدخل قيمة رقمية ، وانقر فوق الزر "حساب". لا تعرض الخدمة نتائج العمليات الحسابية فحسب ، بل توفر أيضًا الصيغ التي تم إجراؤها من خلالها. باستخدام خدمتنا ، يمكنك بسهولة حساب نصف القطر والقطر والمحيط (محيط الدائرة) ومساحة الدائرة والكرة وحجم الكرة.
احسب نصف القطر
تعد مهمة حساب قيمة نصف القطر من أكثر المهام شيوعًا. السبب في ذلك بسيط للغاية ، لأنه بمعرفة هذه المعلمة ، يمكنك بسهولة تحديد قيمة أي معلمة أخرى لدائرة أو كرة. تم بناء موقعنا بالضبط على مثل هذا المخطط. بغض النظر عن المعلمة الأولية التي تختارها ، يتم حساب قيمة نصف القطر أولاً وتعتمد جميع الحسابات اللاحقة عليها. لمزيد من الدقة في الحسابات ، يستخدم الموقع الرقم Pi مقربًا إلى المكان العشري العاشر.
احسب القطر
حساب القطر هو أبسط أنواع الحسابات التي يمكن أن تقوم بها الآلة الحاسبة. الحصول على قيمة القطر ليس بالأمر الصعب على الإطلاق ويدويًا ، لذلك لا تحتاج إلى اللجوء إلى مساعدة الإنترنت على الإطلاق. القطر يساوي قيمة نصف القطر مضروبًا في 2. القطر هو أهم معلمة في الدائرة ، والتي غالبًا ما تستخدم في الحياة اليومية. بالتأكيد يجب أن يكون كل شخص قادرًا على حسابه بشكل صحيح واستخدامه. باستخدام إمكانيات موقعنا ، ستحسب القطر بدقة كبيرة في جزء من الثانية.
اكتشف محيط الدائرة
لا يمكنك حتى تخيل عدد الأشياء المستديرة من حولنا وماذا دورا هامايلعبون في حياتنا. القدرة على حساب المحيط ضرورية للجميع ، من سائق عادي إلى مهندس تصميم رائد. معادلة حساب المحيط بسيطة للغاية: D = 2Pr. يمكن إجراء الحساب بسهولة على قطعة من الورق وبمساعدة نظرا للإنترنتمساعد. ميزة هذا الأخير هو أنه سيوضح جميع الحسابات بالرسومات. وكل شيء آخر ، الطريقة الثانية أسرع بكثير.
احسب مساحة الدائرة
مساحة الدائرة - مثل جميع المعلمات المدرجة في هذه المقالة ، هي أساس الحضارة الحديثة. لتكون قادرًا على حساب ومعرفة مساحة الدائرة أمر مفيد لجميع شرائح السكان دون استثناء. من الصعب تخيل مجال العلم والتكنولوجيا حيث لن يكون من الضروري معرفة مساحة الدائرة. معادلة الحساب ليست صعبة مرة أخرى: S = PR 2. ستساعدك هذه الصيغة وآلتنا الحاسبة عبر الإنترنت بدون ذلك جهد إضافيأوجد مساحة أي دائرة. يضمن موقعنا دقة عالية في الحسابات وتنفيذها بسرعة البرق.
احسب مساحة الكرة
صيغة حساب مساحة الكرة ليست أكثر تعقيدًا من الصيغ الموصوفة في الفقرات السابقة. S = 4Pr 2. تمنح هذه المجموعة البسيطة من الأحرف والأرقام الأشخاص القدرة على حساب مساحة الكرة بدقة لسنوات عديدة. أين يمكن تطبيقه؟ نعم ، في كل مكان! على سبيل المثال ، أنت تعلم أن المنطقة العالمتساوي 510100000 كيلومتر مربع. لا جدوى من سرد أين يمكن تطبيق معرفة هذه الصيغة. نطاق الصيغة لحساب مساحة الكرة واسع جدًا.
احسب حجم الكرة
لحساب حجم الكرة ، استخدم الصيغة V = 4/3 (Pr 3). تم استخدامه لإنشاء خدمة الإنترنت. يتيح موقع الموقع حساب حجم الكرة في غضون ثوانٍ ، إذا كنت تعرف أيًا من المعلمات التالية: نصف القطر ، القطر ، المحيط ، مساحة الدائرة أو مساحة الكرة. يمكنك أيضًا استخدامه في الحسابات العكسية ، على سبيل المثال ، لمعرفة حجم الكرة ، والحصول على قيمة نصف قطرها أو قطرها. نشكرك على المراجعة الموجزة لإمكانيات آلة حاسبة الدورات. نأمل أن تكون قد استمتعت بإقامتك معنا وقمت بالفعل بإضافة الموقع إلى إشاراتك المرجعية.
§ 117. محيط ومساحة الدائرة.1. محيط.الدائرة عبارة عن خط منحني مسطح مغلق ، تقع جميع نقاطه على مسافة متساوية من نقطة واحدة (O) ، تسمى مركز الدائرة (الشكل 27).
الدائرة مرسومة بالبوصلة. للقيام بذلك ، يتم وضع الساق الحادة للبوصلة في المنتصف ، ويتم تدوير الأخرى (بقلم رصاص) حول الأولى حتى ترسم نهاية القلم دائرة كاملة. المسافة من المركز إلى أي نقطة على الدائرة تسمى لها نصف القطر.يستنتج من التعريف أن جميع أنصاف أقطار دائرة واحدة متساوية مع بعضها البعض.
يسمى الجزء المستقيم (AB) الذي يربط بين أي نقطتين في الدائرة ويمر عبر مركزها قطر الدائرة. جميع أقطار الدائرة الواحدة متساوية مع بعضها البعض ؛ القطر يساوي نصف قطر.
كيف تجد محيط الدائرة؟ في الممارسة العملية ، في بعض الحالات ، يمكن العثور على المحيط عن طريق القياس المباشر. يمكن القيام بذلك ، على سبيل المثال ، عند قياس محيط الأشياء الصغيرة نسبيًا (دلو ، زجاج ، إلخ). للقيام بذلك ، يمكنك استخدام شريط قياس أو جديلة أو حبل.
في الرياضيات ، يتم استخدام الطريقة تعريف غير مباشرمحيط. يتكون من الحساب وفقًا للصيغة الجاهزة ، والتي سنشتقها الآن.
إذا أخذنا عدة أشياء مستديرة كبيرة وصغيرة (عملة معدنية ، زجاج ، دلو ، برميل ، إلخ) وقمنا بقياس محيط وقطر كل منها ، فسنحصل على رقمين لكل كائن (أحدهما يقيس المحيط ، والآخر هو طول القطر). بطبيعة الحال ، بالنسبة للأشياء الصغيرة ، ستكون هذه الأرقام صغيرة ، وبالنسبة للأشياء الكبيرة ، ستكون كبيرة.
ومع ذلك ، إذا أخذنا في كل حالة من هذه الحالات نسبة الرقمين اللذين تم الحصول عليهما (المحيط والقطر) ، فسنجد نفس الرقم تقريبًا من خلال القياس الدقيق. دلالة على المحيط بالحرف من، طول القطر بالحرف د، ثم ستبدو علاقتهم ج: د. القياسات الفعلية دائمًا ما تكون مصحوبة بأخطاء لا مفر منها. ولكن بعد إجراء التجربة المشار إليها وإجراء الحسابات اللازمة ، سنحصل على العلاقة ج: دتقريبًا الأرقام التالية: 3.13 ؛ 3.14 ؛ 3.15. تختلف هذه الأرقام قليلاً عن بعضها البعض.
في الرياضيات ، من خلال الاعتبارات النظرية ، ثبت أن النسبة المرغوبة ج: دلا يتغير أبدًا وهو يساوي كسرًا غير دوري لا نهائي ، قيمته التقريبية ، بدقة تصل إلى عشرة آلاف ، تساوي 3,1416 . هذا يعني أن أي دائرة أطول من قطرها بنفس عدد المرات. عادة ما يتم الإشارة إلى هذا الرقم بالحرف اليوناني π (بي). ثم تتم كتابة نسبة المحيط إلى القطر على النحو التالي: ج: د = π . سنقتصر هذا الرقم على المئات فقط ، أي خذ π = 3,14.
لنكتب صيغة لتحديد محيط الدائرة.
لان ج: د= π ، ومن بعد
ج = π د
أي أن المحيط يساوي حاصل ضرب العدد π للقطر.
مهمة 1.أوجد المحيط ( من) غرفة مستديرة إذا كان قطرها د= 5.5 م.
مع الأخذ في الاعتبار ما سبق ، يجب زيادة القطر بمقدار 3.14 مرة لحل هذه المشكلة:
5.5 3.14 = 17.27 (م).
المهمة 2.أوجد نصف قطر عجلة محيطها 125.6 سم.
هذه المشكلة هي عكس السابق. أوجد قطر العجلة:
125.6: 3.14 = 40 (سم).
لنجد الآن نصف قطر العجلة:
40: 2 = 20 (سم).
2. مساحة الدائرة.لتحديد مساحة الدائرة ، يمكن للمرء رسم دائرة بنصف قطر معين على الورق ، وتغطيتها بورق متقلب شفاف ، ثم عد الخلايا داخل الدائرة (الشكل 28).
لكن هذه الطريقة غير ملائمة لأسباب عديدة. أولاً ، بالقرب من محيط الدائرة ، يتم الحصول على عدد من الخلايا غير المكتملة ، يصعب الحكم على حجمها. ثانيًا ، لا يمكنك تغطية كائن كبير بورقة من الورق (فراش زهرة دائري ، بركة ، نافورة ، إلخ). ثالثًا ، بعد عد الخلايا ، ما زلنا لا نحصل على أي قاعدة تسمح لنا بحل مشكلة أخرى مماثلة. لهذا السبب ، دعونا نفعل ذلك بشكل مختلف. دعنا نقارن الدائرة ببعض الأشكال المألوفة لدينا ونفعل ذلك على النحو التالي: قص دائرة من الورق ، اقطعها أولاً بقطر نصفين ، ثم قص كل نصف إلى نصفين مرة أخرى ، كل ربع إلى نصفين مرة أخرى ، إلخ. قطع الدائرة ، على سبيل المثال ، إلى 32 جزء على شكل أسنان (الشكل 29).
ثم نقوم بطيها كما هو موضح في الشكل 30 ، أي ، أولاً نضع 16 سنًا على شكل منشار ، ثم نضع 15 سنًا في الثقوب المتكونة ، وأخيراً نقطع آخر سن متبقية على طول نصف القطر إلى نصفين ونعلقها. جزء واحد على اليسار ، والآخر - على اليمين. ثم تحصل على شكل يشبه المستطيل.
طول هذا الشكل (القاعدة) يساوي تقريبًا طول نصف الدائرة ، والارتفاع يساوي تقريبًا نصف القطر. ثم يمكن إيجاد مساحة هذا الشكل بضرب الأرقام التي تعبر عن طول نصف الدائرة وطول نصف القطر. إذا أشرنا إلى مساحة الدائرة بالحرف س، محيط الرسالة من، حرف نصف القطر ص، ثم يمكننا كتابة صيغة لتحديد مساحة الدائرة:
الذي يقرأ مثل هذا: مساحة الدائرة تساوي طول نصف الدائرة في نصف القطر.
مهمة.أوجد مساحة دائرة نصف قطرها 4 سم. أوجد أولًا محيطها ثم طول نصف الدائرة ثم اضربها في نصف القطر.
1) المحيط من = π د= 3.14 8 = 25.12 (سم).
2) نصف طول الدائرة ج / 2 = 25.12: 2 = 12.56 (سم).
3) منطقة الدائرة S = ج / 2 ص= 12.56 4 = 50.24 (سم مربع).
§ 118. سطح وحجم الاسطوانة.
مهمة 1.أوجد مساحة السطح الكلية لأسطوانة قطر قاعدتها 20.6 سم وارتفاعها 30.5 سم.
شكل الأسطوانة (الشكل 31) هو: دلو ، وزجاج (غير ذو أوجه) ، وإناء ، والعديد من العناصر الأخرى.
يتكون السطح الكامل للأسطوانة (مثل السطح الكامل للخط المتوازي المستطيل) من السطح الجانبي ومناطق القاعدتين (الشكل 32).
لتصور ما نتحدث عنه ، عليك أن تصنع بعناية نموذجًا لأسطوانة من الورق. إذا طرحنا قاعدتين من هذا النموذج ، أي دائرتين ، وقطعنا السطح الجانبي بالطول وفتحناه ، فسيكون من الواضح تمامًا كيفية حساب السطح الكلي للأسطوانة. السطح الجانبيتتكشف في مستطيل ، قاعدته تساوي محيط الدائرة. لذلك ، سيبدو حل المشكلة كما يلي:
1) المحيط: 20.6 3.14 = 64.684 (سم).
2) مساحة السطح الجانبية: 64.684 30.5 = 1972.862 (سم مربع).
3) مساحة قاعدة واحدة: 32.342 10.3 = 333.1226 (سم مربع).
4) السطح الكامل للأسطوانة:
1972.862 + 333.1226 + 333.1226 = 2639.1072 (سم 2) 2639 (سم 2).
المهمة 2.أوجد حجم برميل حديدي على شكل أسطوانة بأبعاد: قطر القاعدة 60 سم وارتفاعها 110 سم.
لحساب حجم الأسطوانة ، عليك أن تتذكر كيف حسبنا حجم مستطيل متوازي السطوح (من المفيد قراءة الفقرة 61).
وحدة قياس الحجم هي السنتيمتر المكعب. تحتاج أولاً إلى معرفة عدد السنتيمترات المكعبة التي يمكن وضعها في مساحة القاعدة ، ثم ضرب الرقم الذي تم العثور عليه في الارتفاع.
لمعرفة عدد السنتيمترات المكعبة التي يمكن وضعها في منطقة القاعدة ، تحتاج إلى حساب مساحة قاعدة الأسطوانة. بما أن القاعدة عبارة عن دائرة ، فأنت بحاجة إلى إيجاد مساحة الدائرة. ثم ، لتحديد الحجم ، اضربه في الارتفاع. يبدو حل المشكلة كما يلي:
1) المحيط: 60 3.14 = 188.4 (سم).
2) مساحة الدائرة: 94.230 = 2826 سم مربع.
3) حجم الاسطوانة: 2826110 \ u003d 310860 (سم مكعب).
إجابه. حجم البرميل 310.86 متر مكعب. د م.
إذا أشرنا إلى حجم الأسطوانة بالحرف الخامس، منطقة قاعدة س، ارتفاع الاسطوانة ح، ثم يمكنك كتابة صيغة لتحديد حجم الأسطوانة:
V = S H
الذي يقرأ مثل هذا: حجم الاسطوانة مساوية للمنطقةالقاعدة مضروبة في الارتفاع.
§ 119. جداول لحساب محيط الدائرة حسب القطر.
عند حل مشكلات الإنتاج المختلفة ، غالبًا ما يكون من الضروري حساب المحيط. تخيل عاملاً يقوم بتصنيع الأجزاء الدائرية وفقًا للأقطار المحددة له. يجب عليه في كل مرة ، معرفة القطر ، حساب المحيط. لتوفير الوقت وتأمين نفسه ضد الأخطاء ، يلجأ إلى الجداول الجاهزة التي تشير إلى الأقطار والمحيط المقابل.
فيما يلي جزء صغير من هذه الجداول ويخبرك بكيفية استخدامها.
ليعلم أن قطر الدائرة 5 م نبحث عنها في الجدول في العمود الرأسي تحت الحرف درقم 5. هذا هو طول القطر. بجانب هذا الرقم (إلى اليمين ، في العمود المسمى "محيط") سنرى الرقم 15.708 (م). بالطريقة نفسها بالضبط ، نجد ذلك إذا د\ u003d 10 سم ، ثم المحيط 31.416 سم.
يمكن استخدام نفس الجداول لإجراء عمليات حسابية عكسية. إذا كان المحيط معروفًا ، فيمكنك إيجاد القطر المقابل في الجدول. اجعل المحيط يقارب 34.56 سم ولنجد في الجدول الرقم الأقرب للرقم المعطى. سيكون هذا 34.558 (فرق 0.002). يبلغ القطر المقابل لهذا المحيط حوالي 11 سم.
الجداول المذكورة هنا متوفرة في كتب مرجعية مختلفة. على وجه الخصوص ، يمكن العثور عليها في كتاب "الجداول الرياضية المكونة من أربعة أرقام" بقلم في إم براديس. وفي كتاب المسائل الحسابية من تأليف S. A. Ponomarev و N. I. Syrnev.
تعليمات
في البداية من الضروري البيانات الأولية للمهمة. الحقيقة هي أن حالتها لا يمكن أن تقول صراحة ما هو نصف القطر الدوائر. بدلاً من ذلك ، يمكن تحديد طول القطر للمشكلة الدوائر. قطر الدائرة الدوائرقطعة مستقيمة تربط نقطتين متعاكستين الدوائريمر عبر مركزها. بعد تحليل التعاريف الدوائر، يمكننا القول إن طول القطر يساوي ضعف طول نصف القطر.
الآن يمكننا قبول نصف القطر الدوائريساوي R. ثم للطول الدوائرتحتاج إلى استخدام الصيغة:
L = 2πR = πD ، حيث L هو الطول الدوائر، D - القطر الدوائر، وهو دائمًا ضعف نصف القطر.
ملاحظة
يمكن كتابة دائرة في شكل مضلع أو وصفها حولها. علاوة على ذلك ، إذا كانت الدائرة منقوشة ، فسوف تقسمها إلى نصفين عند نقاط التلامس مع جوانب المضلع. لإيجاد نصف قطر دائرة منقوشة ، تحتاج إلى قسمة مساحة المضلع على نصف محيطه:
R = S / p.
إذا كانت الدائرة محصورة حول مثلث ، فسيتم إيجاد نصف قطرها بالصيغة التالية:
R \ u003d a * b * c / 4S ، حيث a ، b ، c هي جوانب المثلث المحدد ، S هي مساحة المثلث الذي توصف حوله الدائرة.
إذا كان مطلوبًا وصف دائرة حول شكل رباعي ، فيمكن القيام بذلك وفقًا لشرطين:
يجب أن يكون الشكل الرباعي محدبًا.
يجب أن يكون مجموع الزوايا المقابلة للشكل الرباعي 180 درجة
بالإضافة إلى الفرجار التقليدي ، يمكن أيضًا استخدام الإستنسل لرسم دائرة. في الإستنسل الحديث ، يتم تضمين دائرة بأقطار مختلفة. يمكن شراء هذه الإستنسل من أي متجر قرطاسية.
مصادر:
- كيف تجد محيط الدائرة؟
الدائرة - خط منحني مغلق ، تقع جميع نقاطه على مسافة متساوية من نقطة واحدة. هذه النقطة هي مركز الدائرة ، ويسمى الجزء الواقع بين النقطة على المنحنى ومركزها نصف قطر الدائرة.
تعليمات
إذا تم رسم خط مستقيم من خلال مركز الدائرة ، فإن الجزء الواقع بين نقطتي تقاطع هذا الخط مع الدائرة يسمى قطر هذه الدائرة. نصف القطر ، من المركز إلى النقطة التي يتقاطع فيها القطر مع الدائرة ، هو نصف القطر
الدوائر. إذا تم قطع الدائرة عند نقطة اعتباطية ، وتقويمها وقياسها ، فإن القيمة الناتجة هي طول الدائرة المحددة.
ارسم عدة دوائر باستخدام حلول بوصلة مختلفة. تؤدي المقارنة المرئية إلى استنتاج مفاده أن القطر الأكبر يحدد دائرة أكبر تحدها دائرة بطول أكبر. لذلك ، هناك علاقة تناسبية مباشرة بين قطر الدائرة وطولها.
وفقًا للمعنى المادي ، فإن المعلمة "محيط" تقابل ، مقيد بخط متقطع. إذا تم إدراج n-gon منتظم مع الجانب b في دائرة ، فإن محيط هذا الشكل P يساوي منتج الجانب b بعدد الأضلاع n: P \ u003d b * n. يمكن تحديد الجانب b بالصيغة: b = 2R * Sin (π / n) ، حيث R هو نصف قطر الدائرة التي تم تسجيل n-gon فيها.
كلما زاد عدد الجوانب ، سيقترب محيط المضلع المنقوش بشكل متزايد من L. Р = b * n = 2n * R * Sin (π / n) = n * D * Sin (π / n). العلاقة بين المحيط L وقطره D ثابتة. النسبة L / D \ u003d n * Sin (π / n) حيث أن عدد جوانب المضلع المدرج يميل إلى اللانهاية يميل إلى الرقم π ، وهي قيمة ثابتة تسمى "عدد pi" ويتم التعبير عنها ككسر عشري لانهائي. للحسابات بدون استخدام تكنولوجيا الكمبيوتر ، يتم أخذ القيمة π = 3.14. محيط الدائرة وقطرها مرتبطان بالصيغة: L = πD. بالنسبة للدائرة ، اقسم طولها على π = 3.14.
في كثير من الأحيان ، عند حل المهام المدرسية في الفيزياء أو الفيزياء ، يطرح السؤال - كيف يمكن العثور على محيط الدائرة ، ومعرفة القطر؟ في الواقع ، لا توجد صعوبات في حل هذه المشكلة ، ما عليك سوى أن تفهم بوضوح ماذا الصيغوالمفاهيم والتعريفات مطلوبة لهذا الغرض.
في تواصل مع
المفاهيم والتعاريف الأساسية
- نصف القطر هو الخط الذي يربط مركز الدائرة ونقطتها التعسفية. يشار إليه حرف لاتينيص.
- الوتر هو الخط الذي يربط بين عنصرين تعسفيين نقاط على الدائرة.
- القطر هو الخط الذي يربط نقطتين من الدائرة وتمر عبر مركزها. يشار إليه بالحرف اللاتيني d.
- - هذا خط يتكون من جميع النقاط التي تقع على مسافة متساوية من نقطة واحدة محددة تسمى مركزها. سيتم الإشارة إلى طوله بالحرف اللاتيني l.
مساحة الدائرة هي المساحة بأكملها محاطة بدائرة. تم قياسه بالوحدات المربعةويُشار إليه بالحرف اللاتيني s.
باستخدام تعريفاتنا ، نستنتج أن قطر الدائرة يساوي أكبر وتر لها.
انتباه!من تعريف نصف قطر الدائرة ، يمكنك معرفة قطر الدائرة. هذان نوعان من أنصاف الأقطار الموضوعة في اتجاهين متعاكسين!
قطر الدائرة.
إيجاد محيط الدائرة ومساحتها
إذا كان لدينا نصف قطر الدائرة ، فسيتم وصف قطر الدائرة بالصيغة د = 2 * ص. وهكذا ، للإجابة على السؤال عن كيفية إيجاد قطر الدائرة ، مع معرفة نصف قطرها ، فإن الأخير يكفي اضرب في اثنين.
صيغة محيط الدائرة ، معبرًا عنها بدلالة نصف قطرها ، هي ل \ u003d 2 * ف * ص.
انتباه!يشير الحرف اللاتيني P (Pi) إلى نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ، وهذا غير دوري عدد عشري. في الرياضيات المدرسية ، تعتبر قيمة جدولية معروفة تساوي 3.14!
لنعد الآن كتابة الصيغة السابقة لإيجاد محيط الدائرة بدلالة قطرها ، مع تذكر اختلافها بالنسبة إلى نصف القطر. احصل على: l \ u003d 2 * P * r \ u003d 2 * r * P \ u003d P * d.
من مسار الرياضيات ، من المعروف أن الصيغة التي تصف مساحة الدائرة لها الشكل: s \ u003d P * r ^ 2.
لنعد الآن كتابة الصيغة السابقة لإيجاد مساحة الدائرة بدلالة قطرها. نحن نحصل
s = P * r ^ 2 = P * d ^ 2/4.
من أصعب المهام في هذا الموضوع تحديد مساحة الدائرة من حيث المحيط والعكس صحيح. نستخدم حقيقة أن s = P * r ^ 2 و l = 2 * P * r. من هنا نحصل على r = l / (2 * П). نعوض بالتعبير الناتج عن نصف القطر في صيغة المساحة ، نحصل على: ق = ل ^ 2 / (4P). يتم تحديد محيط الدائرة بنفس الطريقة تمامًا من حيث مساحة الدائرة.
تحديد طول الشعاع والقطر
مهم!بادئ ذي بدء ، سوف نتعلم كيفية قياس القطر. الأمر بسيط للغاية - نرسم أي نصف قطر ، ونمده في الاتجاه المعاكس حتى يتقاطع مع القوس. نقيس المسافة الناتجة ببوصلة وبمساعدة أي أداة قياس نكتشف ما نبحث عنه!
دعنا نجيب على السؤال عن كيفية معرفة قطر الدائرة ، مع معرفة طولها. للقيام بذلك ، نعبر عنه من الصيغة l \ u003d P * d. نحصل على d = l / P.
نحن نعلم بالفعل كيفية إيجاد قطرها من محيط الدائرة ، وسنوجد نصف القطر بنفس الطريقة.
l \ u003d 2 * P * r ، ومن ثم r \ u003d l / 2 * P. بشكل عام ، لمعرفة نصف القطر ، يجب التعبير عنه من حيث القطر والعكس صحيح.
دعنا الآن نحتاج إلى تحديد القطر ، مع معرفة مساحة الدائرة. نستخدم حقيقة أن s \ u003d P * d ^ 2/4. نعبر من هنا د. اتضح د ^ 2 = 4 * ث / ف. لتحديد القطر نفسه ، تحتاج إلى استخراج الجذر التربيعي للطرف الأيمن. اتضح د \ u003d 2 * sqrt (s / P).
حل المهام النموذجية
- تعلم كيفية إيجاد القطر بالنظر إلى محيط الدائرة. فليكن 778.72 كيلومترًا. بحاجة للعثور على د. د = 778.72 / 3.14 = 248 كيلومترًا. لنتذكر ما هو القطر ونحدد على الفور نصف القطر ، لذلك نقسم القيمة d المحددة أعلاه على النصف. اتضح ص = 248/2 = 124كيلومترات.
- ضع في اعتبارك كيفية إيجاد طول دائرة معينة ، مع معرفة نصف قطرها. لنفترض أن قيمة r 8 dm 7 cm ، فلنترجم كل هذا إلى سنتيمترات ، إذن r سيساوي 87 سنتيمترًا. دعنا نستخدم الصيغة لإيجاد الطول المجهول للدائرة. ثم لدينا المطلوب سوف يساوي l = 2 * 3.14 * 87 = 546.36 سم. دعنا نترجم القيمة التي حصلنا عليها إلى أعداد صحيحة للقيم المترية l \ u003d 546.36 سم \ u003d 5 م 4 دسم 6 سم 3.6 مم.
- لنفترض أننا نحتاج إلى تحديد مساحة دائرة معينة باستخدام الصيغة بدلالة قطرها المعروف. دع د = 815 مترا. تذكر صيغة إيجاد مساحة الدائرة. بالتعويض عن القيم المعطاة هنا ، نحصل على الصورة = 3.14 * 815 ^ 2/4 = 521416.625 قدم مربع. م.
- الآن سوف نتعلم كيفية إيجاد مساحة الدائرة ، بمعرفة طول نصف قطرها. لنفترض أن نصف القطر يساوي 38 سم ، نستخدم الصيغة التي نعرفها. عوض هنا بالقيمة المعطاة لنا حسب الشرط. تحصل على ما يلي: s \ u003d 3.14 * 38 ^ 2 \ u003d 4534.16 متر مربع. سم.
- المهمة الأخيرة هي تحديد مساحة الدائرة من المحيط المعروف. دع l = 47 مترًا. الصورة = 47 ^ 2 / (4P) = 2209 / 12.56 = 175.87 قدم مربع. م.
محيط