مهمة 1(حول حساب المنطقة منحني الأضلاع شبه منحرف).

في نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي xOy ، يتم إعطاء رقم (انظر الشكل) ، يحده المحور x ، والخطوط المستقيمة x \ u003d a ، x \ u003d b (شبه منحني منحني الشكل. مطلوب لحساب مساحة \ شبه منحني منحني.
حل.تعطينا الهندسة وصفات لحساب مساحات المضلعات وبعض أجزاء الدائرة (قطاع ، مقطع). باستخدام الاعتبارات الهندسية ، سنكون قادرين فقط على إيجاد قيمة تقريبية للمنطقة المطلوبة ، بحجة ما يلي.

دعونا نقسم المقطع [أ ؛ ب] (قاعدة شبه منحنية منحنية الخطوط) إلى ن أجزاء متساوية ؛ هذا القسم ممكن بمساعدة النقاط x 1، x 2، ... x k، ... x n-1. دعونا نرسم خطوطًا من خلال هذه النقاط موازية للمحور y. ثم سيتم تقسيم شبه منحرف منحني الخط إلى أجزاء n ، إلى عدد n من الأعمدة الضيقة. مساحة شبه المنحرف بالكامل تساوي مجموع مساحات الأعمدة.

ضع في اعتبارك بشكل منفصل العمود k ، أي شبه منحرف منحني الخط ، قاعدته عبارة عن قطعة. دعنا نستبدلها بمستطيل له نفس القاعدة والارتفاع يساوي f (x k) (انظر الشكل). مساحة المستطيل هي \ (f (x_k) \ cdot \ Delta x_k \) ، حيث \ (\ Delta x_k \) هو طول المقطع ؛ من الطبيعي اعتبار المنتج المترجم قيمة تقريبية لمساحة العمود k.

إذا فعلنا نفس الشيء الآن مع جميع الأعمدة الأخرى ، فإننا نصل إلى النتيجة التالية: المنطقة S لشبه منحني منحني الخطوط تساوي تقريبًا المنطقة S n لشكل متدرج مكون من n مستطيلات (انظر الشكل):
\ (S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + \ dots + f (x_k) \ Delta x_k + \ dots + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) \)
هنا ، من أجل توحيد التدوين ، نعتبر أن a \ u003d x 0 ، b \ u003d x n ؛ \ (\ Delta x_0 \) - طول المقطع \ (\ Delta x_1 \) - طول المقطع ، إلخ ؛ بينما ، كما اتفقنا أعلاه ، \ (\ Delta x_0 = \ dots = \ Delta x_ (n-1) \)

لذلك ، \ (S \ تقريبًا S_n \) ، وهذه المساواة التقريبية هي الأكثر دقة ، والأكبر n.
بحكم التعريف ، من المفترض أن المنطقة المرغوبة لشبه المنحني المنحني تساوي حد التسلسل (S n):
$$ S = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

المهمة 2(حول تحريك نقطة)
تتحرك النقطة المادية في خط مستقيم. يتم التعبير عن اعتماد السرعة على الوقت بالصيغة v = v (t). أوجد إزاحة نقطة خلال الفترة الزمنية [a؛ ب].
حل.إذا كانت الحركة موحدة ، فسيتم حل المشكلة بكل بساطة: s = vt ، أي ق = ت (ب أ). بالنسبة للحركة غير المتساوية ، يتعين على المرء استخدام نفس الأفكار التي استند إليها حل المشكلة السابقة.
1) اقسم الفاصل الزمني [أ ؛ ب] في ن أجزاء متساوية.
2) ضع في اعتبارك فترة زمنية وافترض أنه خلال هذه الفترة الزمنية كانت السرعة ثابتة ، كما هو الحال في الوقت t k. لذلك ، نفترض أن v = v (t k).
3) أوجد القيمة التقريبية لنقطة الإزاحة خلال الفترة الزمنية ، سيتم الإشارة إلى هذه القيمة التقريبية بواسطة s k
\ (s_k = v (t_k) \ Delta t_k \)
4) أوجد القيمة التقريبية للإزاحة:
\ (s \ تقريبا S_n \) أين
\ (S_n = s_0 + \ dots + s_ (n-1) = v (t_0) \ Delta t_0 + \ dots + v (t_ (n-1)) \ Delta t_ (n-1) \)
5) الإزاحة المطلوبة تساوي حد التسلسل (S n):
$$ s = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

دعونا نلخص. تم اختزال حلول المشكلات المختلفة في نفس النموذج الرياضي. تؤدي العديد من المشكلات من مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا إلى نفس النموذج في عملية الحل. إذا هذا نموذج رياضيتحتاج إلى دراسة خاصة.

مفهوم التكامل المحدد

دعونا نقدم وصفًا رياضيًا للنموذج الذي تم إنشاؤه في المشكلات الثلاث المدروسة للدالة y = f (x) ، والتي هي مستمرة (ولكن ليس بالضرورة غير سالب ، كما تم افتراضه في المشكلات المدروسة) في المقطع [ أ؛ ب]:
1) تقسيم المقطع [أ ؛ ب] إلى ن أجزاء متساوية ؛
2) مجموع $$ S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + f (x_1) \ Delta x_1 + \ dots + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) $$
3) حساب $$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

في سياق التحليل الرياضي ، ثبت أن هذا الحد موجود في حالة دالة متصلة (أو متصلة متعددة التعريف). يسمى تكامل محدد للدالة y = f (x) فوق المقطع [a ؛ ب]ويشار إليها على النحو التالي:
\ (\ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)
يُطلق على الرقمين أ و ب حدود التكامل (الأدنى والأعلى ، على التوالي).

دعنا نعود إلى المهام التي تمت مناقشتها أعلاه. يمكن الآن إعادة كتابة تعريف المنطقة الوارد في المشكلة 1 على النحو التالي:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)
هنا S هي مساحة شبه المنحني المنحني الموضحة في الشكل أعلاه. هذا هو ما المعنى الهندسي للتكامل المحدد.

يمكن إعادة كتابة تعريف الإزاحة s لنقطة تتحرك في خط مستقيم بسرعة v = v (t) خلال الفترة الزمنية من t = a إلى t = b ، الوارد في المسألة 2 ، على النحو التالي:

صيغة نيوتن - ليبنيز

بادئ ذي بدء ، دعنا نجيب على السؤال: ما هي العلاقة بين التكامل المحدد والمشتق العكسي؟

يمكن إيجاد الإجابة في المشكلة 2. من ناحية أخرى ، فإن الإزاحة s لنقطة تتحرك على طول خط مستقيم بسرعة v = v (t) خلال فترة زمنية من t = a إلى t = b ويتم حسابها بواسطة الصيغة
\ (S = \ int \ limits_a ^ b v (t) dt \)

من ناحية أخرى ، فإن تنسيق النقطة المتحركة هو المشتق العكسي للسرعة - دعنا نشير إليها s (t) ؛ ومن ثم يتم التعبير عن الإزاحة بواسطة الصيغة s = s (b) - s (a). نتيجة لذلك ، نحصل على:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b v (t) dt = s (b) -s (a) \)
حيث s (t) هي المشتق العكسي لـ v (t).

تم إثبات النظرية التالية في سياق التحليل الرياضي.
نظرية. إذا كانت الدالة y = f (x) متصلة في المقطع [a ؛ ب] ، ثم الصيغة
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) \)
حيث F (x) هي المشتق العكسي لـ f (x).

عادة ما تسمى هذه الصيغة صيغة نيوتن ليبنيزتكريما للفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنيز (1646-1716) ، اللذين تلقاهما بشكل مستقل عن بعضهما البعض وفي نفس الوقت تقريبًا.

في الممارسة العملية ، بدلاً من كتابة F (b) - F (a) ، يستخدمون الترميز \ (\ left. F (x) \ right | _a ^ b \) (يطلق عليه أحيانًا استبدال مزدوج) وبناءً عليه ، أعد كتابة صيغة نيوتن-لايبنيز بهذا الشكل:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx = \ left. F (x) \ right | _a ^ b \)

بحساب تكامل محدد ، أوجد أولًا المشتق العكسي ، ثم نفذ تعويضًا مزدوجًا.

استنادًا إلى صيغة نيوتن-لايبنيز ، يمكن للمرء الحصول على خاصيتين للتكامل المحدد.

خاصية 1.تكامل مجموع الدوال يساوي مجموع التكاملات:
\ (\ int \ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx + \ int \ limits_a ^ b g (x) dx \)

خاصية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:
\ (\ int \ limits_a ^ b kf (x) dx = k \ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)

حساب مساحات الأشكال المستوية باستخدام تكامل محدد

باستخدام التكامل ، يمكنك حساب مساحة ليس فقط من المنحنيات المنحنية ، ولكن أيضًا للأشكال المسطحة أكثر من نوع معقد، مثل الذي يظهر في الشكل. الشكل P مقيّد بخطوط مستقيمة x = a و x = b ورسوم بيانية للوظائف المستمرة y = f (x) و y = g (x) وعلى المقطع [a ؛ ب] المتباينة \ (g (x) \ leq f (x) \) تحمل. لحساب المنطقة S لهذا الشكل ، سنمضي على النحو التالي:
\ (S = S_ (ABCD) = S_ (aDCb) - S_ (aABb) = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx - \ int \ limits_a ^ b g (x) dx = \)
\ (= \ int \ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

لذا ، فإن المنطقة S من الشكل تحدها الخطوط المستقيمة x = a و x = b والرسوم البيانية للوظائف y = f (x) و y = g (x) ، وهي متصلة على المقطع وهذا بالنسبة لأي x من المقطع [أ ؛ ب] يتم استيفاء عدم المساواة \ (g (x) \ leq f (x) \) ، ويتم حسابها بواسطة الصيغة
\ (S = \ int \ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

جدول التكاملات غير المحددة (المشتقات العكسية) لبعض الوظائف

$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \ ؛ \ ؛ (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \؛ \؛ (a> 0، \؛ \؛ a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C $$

ضع في اعتبارك شبه منحني منحني الخطي يحده محور الثور ، ومنحنى y \ u003d f (x) وخطين مستقيمين: x \ u003d a و x \ u003d b (الشكل 85). خذ قيمة عشوائية لـ x (فقط ليس a وليس b). دعونا نعطيها زيادة h = dx ونفكر في شريط يحده خطوط مستقيمة AB و CD ومحور Ox وبقوس BD الذي ينتمي إلى المنحنى قيد الدراسة. سيطلق على هذا الشريط اسم الشريط الأولي. تختلف مساحة الشريط الأولي عن مساحة المستطيل ACQB بمثلث منحني الخط BQD ، ومنطقة الأخير مساحة أقل المستطيل BQDM بجوانب BQ = h = dx) QD = Ay ومساحة تساوي hAy = Ay dx. مع انخفاض الضلع h ، يتناقص الجانب Du أيضًا ، وبالتزامن مع h ، يميل إلى الصفر. لذلك ، فإن مساحة BQDM هي متناهية الصغر من الدرجة الثانية. مساحة الشريط الأولي هي زيادة المساحة ، ومساحة المستطيل ACQB ، التي تساوي AB-AC == / (x) dx> هي تفاضل المساحة. لذلك ، نجد المساحة نفسها من خلال تكامل تفاضلها. ضمن حدود الشكل قيد النظر ، المتغير المستقل l: يتغير من a إلى b ، وبالتالي فإن المساحة المطلوبة 5 ستكون مساوية لـ 5 = \ f (x) dx. (I) مثال 1. احسب المنطقة التي يحدها القطع المكافئ y - 1 -x * ، والخطوط المستقيمة X \ u003d - Fj- ، x \ u003d 1 والمحور O * (الشكل 86). في التين. 87. التين. 86. 1 هنا f (x) = 1 - l؟ ، حدود التكامل a = - و t = 1 ، وبالتالي 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * مثال 2. احسب المنطقة التي يحدها الجيب الجيبي y = sinXy ومحور الثور والخط المستقيم (الشكل 87). بتطبيق الصيغة (I) ، نحصل على L 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf مع محور الثور (على سبيل المثال ، بين الأصل والنقطة التي بها حدود الإحداثية i). لاحظ أنه من الاعتبارات الهندسية فمن الواضح أن هذه المنطقة ستكون ضعف مساحة المثال السابق. ومع ذلك ، لنقم بالحسابات: i 5 = | s \ nxdx \ u003d [- cosx) * - - cos i- (- cos 0) \ u003d 1 + 1 \ u003d 2. o في الواقع ، تبين أن افتراضنا عادل. مثال 4. احسب المساحة التي يحدها الجيوب الأنفية والمحور ^ الثور في فترة واحدة (الشكل 88). تشير الأحكام الأولية على شكل ras إلى أن المنطقة ستصبح أكبر أربع مرات من الرقم 2. ومع ذلك ، بعد إجراء الحسابات ، نحصل على "i G ، * i S - \ sin x dx \ u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \ u003d - 1 + 1 \ u003d 0. هذه النتيجة تتطلب توضيحًا. لتوضيح جوهر الأمر ، نحسب أيضًا المنطقة التي يحدها نفس الجيوب الأنفية y \ u003d sin l: ومحور الثور يتراوح من l إلى 2n. بتطبيق الصيغة (I) ، نحصل عليها وهكذا ، نرى أن هذه المنطقة تبين أنها سلبية. بمقارنتها مع المساحة المحسوبة في المثال 3 ، نجد أن قيمها المطلقة هي نفسها ، لكن العلامات مختلفة. إذا طبقنا الخاصية V (انظر الفصل الحادي عشر ، الفقرة 4) ، فإننا نحصل عليها بالصدفة. دائمًا ما يتم الحصول على المساحة الواقعة أسفل المحور x ، بشرط أن يتغير المتغير المستقل من اليسار إلى اليمين ، عن طريق الحساب باستخدام التكاملات السالبة. في هذه الدورة ، سننظر دائمًا في المناطق غير الموقعة. لذلك ، ستكون الإجابة في المثال الذي تم تحليله للتو كما يلي: المساحة المطلوبة تساوي 2 + | -2 | = 4. مثال 5. دعونا نحسب مساحة BAB الموضحة في الشكل. 89. هذه المنطقة محدودة بمحور الثور ، القطع المكافئ y = - xr والخط المستقيم y - = -x + \. منطقة شبه منحنية منحنية الخطوط تتكون المنطقة المرغوبة OAB من جزأين: OAM و MAB. نظرًا لأن النقطة A هي نقطة تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم ، فسنجد إحداثياتها من خلال حل نظام المعادلات 3 2 Y \ u003d mx. (نحتاج فقط لإيجاد حدود النقطة أ). حل النظام نجد ل ؛ = ~. لذلك ، يجب حساب المنطقة في أجزاء ، أول رر. OAM ، ثم رر. MAV: .... G 3 2، 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM- ^ x = [إستبدال:

] =

ومن ثم ، فإن التكامل غير الصحيح يتقارب وقيمته تساوي.

واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل

ننتقل الآن إلى النظر في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. في هذا الدرس ، سنقوم بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا. كيفية استخدام تكامل محدد لحساب مساحة الشكل المستوي. أخيرًا ، أولئك الذين يبحثون عن معنى في الرياضيات العليا - ربما يجدونها. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية ، سيتعين عليك تقريب كوخ صيفي بوظائف أولية وإيجاد مساحته باستخدام جزء تكامل معين.

لإتقان المادة بنجاح ، يجب عليك:

1) فهم تكامل غير محددعلى الأقل بمستوى متوسط. وبالتالي ، يجب على الدمى قراءة الدرس أولاً لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات معينة على الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذلك ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مسألة أكثر صلة. في هذا الصدد ، من المفيد تحديث ذاكرة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الرئيسية ، وكحد أدنى ، لتكون قادرًا على بناء خط مستقيم ، وقطع مكافئ ، وقطع زائد. يمكن القيام بذلك (يحتاج الكثير) بمساعدة المواد المنهجيةومقالات عن التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

في الواقع ، الجميع على دراية بمشكلة إيجاد المنطقة باستخدام جزء متكامل محدد منذ المدرسة ، وسنتقدم قليلاً المناهج الدراسية. قد لا توجد هذه المقالة على الإطلاق ، ولكن الحقيقة هي أن المشكلة تحدث في 99 حالة من أصل 100 ، عندما يعذب الطالب من قبل برج مكروه بحماس يتقن دورة في الرياضيات العليا.

يتم تقديم مواد هذه الورشة ببساطة ، بالتفصيل وبأقل قدر من النظرية.

لنبدأ مع شبه منحرف منحني الأضلاع.

منحني الشكل شبه منحرفيسمى الشكل المسطح الذي يحده المحور ، والخطوط المستقيمة ، والرسم البياني لوظيفة متصلة على مقطع لا يغير علامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقلالإحداثي السيني:

ثم مساحة شبه منحرف منحني الخطي تساوي عدديًا تكاملًا معينًا. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس واضح لا يتجزأ. أمثلة الحلقلت أن العدد المحدد هو العدد. والآن حان الوقت لذكر آخر حقيقة مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.

إنه، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في إكمال الرسم) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أولا و اللحظة الحاسمةالحلول - الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم يمين.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: في البدايهمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط ثم- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. تعد الرسوم البيانية الوظيفية أكثر ربحية للبناء نقطة بنقطة، يمكن العثور على تقنية البناء النقطي في المواد المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنقم برسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أفقس شبه منحني منحني الأضلاع ، فمن الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها هنا. يستمر الحل على هذا النحو:

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا السبب:

إجابة:

من لديه صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

حل: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع يقع تحت المحور(أو على الأقل ليس أعلىمحور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا تخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي تكامل المعنى الهندسي، فيمكن أن تكون سلبية.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

حل: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية البناء نقطة بنقطة لمختلف المخططات بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم:

أكرر أنه مع البناء النقطي ، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل: إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة في الفترة الزمنية أكبر من أو يساوييمكن العثور على بعض الوظائف المستمرة ، ثم مساحة الشكل المحصورة برسوم بيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة ، بواسطة الصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبصورة تقريبية ، يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

الشكل المطلوب محدد بقطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة:

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في النصف السفلي من المستوى (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة . نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة ليس أعلىالمحاور إذن

والآن بعض الأمثلة لحل مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط.

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل معين ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، والحسابات كانت صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ... وجدت منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المطيع عدة مرات. هذه حالة واقعية:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

حل: لنرسم أولاً:

... آه ، خرج الرسم هراء ، لكن كل شيء يبدو مقروءًا.

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). ولكن في الممارسة العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يحدث "خلل" ، تحتاج إلى العثور على منطقة الشكل المظللة بالأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابة:

دعنا ننتقل إلى مهمة أخرى ذات مغزى.

المثال 8

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نقدم المعادلات في شكل "مدرسة" ، ونقوم برسم نقطة بنقطة:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد":.
لكن ما هو الحد الأدنى؟ من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن ماذا؟ ربما ؟ ولكن أين هو الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يتضح ذلك. أو الجذر. ماذا لو لم نحصل على الرسم البياني بشكل صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

لنجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة:


,

حقًا، .

الحل الإضافي تافه ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أسهل.

على الجزء ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابة:

حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط ،

حل: ارسم هذا الشكل في الرسم.

لعنة ، لقد نسيت أن أوقع على الجدول ، وأعيد الصورة ، آسف ، ليس hotz. ليس رسمًا ، باختصار ، اليوم هو اليوم =)

للبناء النقطي ، عليك أن تعرف مظهرأشباه الجيوب (وبشكل عام من المفيد أن تعرف الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك: