چگونه مساحت ذوزنقه منحنی را پیدا کنیم؟ انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل

موضوع: محاسبه مساحت یک شکل صفحه با استفاده از یک انتگرال معین

اهداف: تعاریف و فرمول های یافتن مساحت را یاد بگیرید ذوزنقه منحنی;

موارد مختلف یافتن مساحت ذوزنقه منحنی را در نظر بگیرید.

قادر به محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی باشد.

طرح:

ذوزنقه منحنی.

فرمول های محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی.

ذوزنقه منحنیشکلی است که توسط نمودار یک تابع پیوسته و غیر منفی f(x) در بازه، پاره خط x=a و x=b و همچنین پاره ای از محور x بین نقاط a و b محدود می شود. .

تصاویر ذوزنقه های منحنی:

حالا بیایید به ادامه مطلب برویم گزینه های ممکنمحل ارقامی که مساحت آنها باید در صفحه مختصات محاسبه شود.

اولین ساده ترین گزینه (تصویر اول)، معمولی وجود خواهد داشت ذوزنقه منحنی، همانطور که در تعریف است. در اینجا نیازی به اختراع چیزی نیست، فقط انتگرال آن را در نظر بگیرید آقبل از باز تابع f(x). اگر انتگرال را پیدا کنیم، مساحت این ذوزنقه را نیز می دانیم.

که در دومین گزینه، شکل ما نه توسط محور x، بلکه توسط تابع دیگری محدود می شود g(x). بنابراین، برای پیدا کردن منطقه CEFD، ابتدا باید منطقه را پیدا کنیم AEFB(با استفاده از انتگرال از f(x)، سپس منطقه را پیدا کنید ACDB(با استفاده از انتگرال از g(x)). و مساحت مورد نیاز شکل CEFD، بین ناحیه اول و دوم ذوزنقه منحنی تفاوت وجود خواهد داشت. از آنجایی که مرزهای ادغام در اینجا یکسان است، همه اینها را می توان زیر یک انتگرال نوشت (فرمول های زیر را ببینید)، همه چیز به پیچیدگی توابع بستگی دارد، در این صورت یافتن انتگرال آسان تر خواهد بود.

سوم بسیار شبیه به مورد اول است، اما فقط ذوزنقه ما قرار دارد، نه در بالا محور x، و زیر آن. بنابراین، در اینجا باید همان انتگرال را فقط با علامت منفی بگیریم، زیرا مقدار انتگرال منفی خواهد بود و مقدار مساحت باید مثبت باشد. اگر به جای یک تابع f(x)عملکرد -f(x)، سپس نمودار آن یکسان خواهد بود، به سادگی به صورت متقارن نسبت به محور x نمایش داده می شود.

و چهارمگزینه زمانی که بخشی از شکل ما بالای محور x و بخشی زیر آن است. بنابراین، ابتدا باید مساحت شکل را پیدا کنیم AEFB، مانند گزینه اول و سپس مساحت شکل آ ب پ تمانند گزینه سوم و سپس آنها را تا کنید. در نتیجه مساحت شکل را بدست می آوریم DEFC. از آنجایی که مرزهای ادغام در اینجا یکسان است، همه اینها را می توان زیر یک انتگرال نوشت (فرمول های زیر را ببینید)، همه چیز به پیچیدگی توابع بستگی دارد، در این صورت یافتن انتگرال آسان تر خواهد بود.

سوالات خودآزمایی:

به کدام شکل ذوزنقه منحنی می گویند؟

چگونه مساحت ذوزنقه منحنی را پیدا کنیم؟

شکلی که توسط نمودار یک تابع غیرمنفی $f(x)$ در قسمت $$ و خطوط $y=0، \ x=a$ و $x=b$ محدود شده باشد ذوزنقه منحنی نامیده می شود.

مساحت ذوزنقه منحنی متناظر با فرمول محاسبه می شود:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

ما مسائل را به صورت مشروط برای یافتن مساحت ذوزنقه منحنی به انواع 4 دلاری تقسیم می کنیم. بیایید هر نوع را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

نوع I: ذوزنقه خمیده به صراحت مشخص شده است.سپس بلافاصله فرمول (*) را اعمال کنید.

به عنوان مثال، مساحت یک ذوزنقه منحنی را پیدا کنید که با نمودار تابع $y=4-(x-2)^(2)$ و خطوط $y=0، \ x=1$ و $x محدود شده است. = 3 دلار

بیایید این ذوزنقه منحنی را ترسیم کنیم.

با استفاده از فرمول (*)، مساحت این ذوزنقه منحنی را پیدا می کنیم.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) - \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\راست)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\راست) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (واحد$^(2)$).

نوع دوم: ذوزنقه منحنی به طور ضمنی مشخص شده است.در این حالت، خطوط مستقیم $x=a، \ x=b$ معمولاً مشخص نمی‌شوند یا تا حدی مشخص می‌شوند. در این حالت باید نقاط تقاطع توابع $y=f(x)$ و $y=0$ را پیدا کنید. این نقاط نقاط $a$ و $b$ خواهند بود.

به عنوان مثال، مساحت یک شکل را که توسط نمودارهای توابع $y=1-x^(2)$ و $y=0$ محدود شده است، پیدا کنید.

بیایید نقاط تقاطع را پیدا کنیم. برای این کار، سمت راست توابع را برابر می کنیم.

بنابراین، $a=-1$ و $b=1$. بیایید این ذوزنقه منحنی را ترسیم کنیم.

بیایید مساحت این ذوزنقه منحنی را پیدا کنیم.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) - \left.\frac(x^(3))(3)\راست|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\راست)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (واحد$^(2)$).

نوع III: مساحت یک شکل محدود شده توسط تقاطع دو تابع غیر منفی پیوسته.این شکل یک ذوزنقه منحنی نخواهد بود، به این معنی که نمی توانید مساحت آن را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنید. چگونه بودن؟به نظر می رسد که مساحت این شکل را می توان به عنوان تفاوت بین مناطق ذوزنقه های منحنی محدود شده با تابع بالا و $y=0$ ($S_(uf)$) و تابع پایین و $y یافت. =0$ ($S_(lf)$)، که در آن نقش $x=a، \ x=b$ توسط مختصات $x$ نقاط تقاطع این توابع، یعنی.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

مهمترین چیز هنگام محاسبه چنین مناطقی این است که با انتخاب توابع بالا و پایین "از دست ندهید".

به عنوان مثال، مساحت یک شکل را که با توابع $y=x^(2)$ و $y=x+6$ محدود شده است، پیدا کنید.

بیایید نقاط تلاقی این نمودارها را پیدا کنیم:

طبق قضیه ویتا،

$x_(1)=-2،\ x_(2)=3.$

یعنی $a=-2،\b=3$. بیایید یک شکل بکشیم:

بدین ترتیب، عملکرد بالا– $y=x+6$، و پایینی – $y=x^(2)$. سپس با استفاده از فرمول (*) $S_(uf)$ و $S_(lf)$ را پیدا می کنیم.

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\چپ.\frac(x^(2))(2)\راست|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 0.5$ (واحد$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\چپ.\frac(x^(3))(3)\راست|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (واحد$^(2)$).

بیایید آنچه را که پیدا کردیم را با (**) جایگزین کنیم و دریافت کنیم:

$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (واحد$^(2)$).

نوع IV: مساحت یک شکل محدود شده توسط تابع(هایی) که شرایط غیر منفی را برآورده نمی کند.برای یافتن مساحت چنین شکلی، باید در مورد محور $Ox$ متقارن باشید ( به عبارت دیگر،"منهای" را در جلوی توابع قرار دهید) ناحیه را نمایش دهید و با استفاده از روش های ذکر شده در انواع I - III ، مساحت ناحیه نمایش داده شده را پیدا کنید. این منطقه منطقه مورد نیاز خواهد بود. ابتدا، ممکن است مجبور شوید نقاط تقاطع نمودارهای تابع را پیدا کنید.

به عنوان مثال، مساحت یک شکل را که توسط نمودارهای توابع $y=x^(2)-1$ و $y=0$ محدود شده است، پیدا کنید.

بیایید نقاط تقاطع نمودارهای تابع را پیدا کنیم:

آن ها $a=-1$ و $b=1$. بیایید منطقه را ترسیم کنیم.

بیایید منطقه را به صورت متقارن نمایش دهیم:

$y=0 \ \پیکان راست \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \پیکان راست \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

نتیجه یک ذوزنقه منحنی است که توسط نمودار تابع $y=1-x^(2)$ و $y=0$ محدود شده است. این یک مشکل برای یافتن ذوزنقه منحنی نوع دوم است. ما قبلا آن را حل کرده ایم. پاسخ این بود: $S= 1\frac(1)(3)$ (واحد $^(2)$). این بدان معنی است که مساحت ذوزنقه منحنی مورد نیاز برابر است با:

$S=1\frac(1)(3)$ (واحد$^(2)$).

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر شما علاقه مندید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

کلید واژه ها:ذوزنقه منحنی منحنی یکپارچه، ناحیه ای از شکل های محدود شده توسط نیلوفرها

تجهیزات: برد نشانگر، کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای

نوع درس: درس-سخنرانی

اهداف درس:

آموزشی:ایجاد فرهنگ کار ذهنی، ایجاد موقعیت موفقیت برای هر دانش آموز و ایجاد انگیزه مثبت برای یادگیری. توانایی صحبت کردن و گوش دادن به دیگران را توسعه دهید.
در حال توسعه:شکل گیری تفکر مستقل دانش آموز در به کارگیری دانش در موقعیت های مختلف، توانایی تجزیه و تحلیل و نتیجه گیری ، توسعه منطق ، توسعه توانایی طرح صحیح سؤالات و یافتن پاسخ آنها. بهبود شکل گیری مهارت های محاسباتی و محاسباتی، توسعه تفکر دانش آموزان در دوره تکمیل وظایف پیشنهادی، توسعه فرهنگ الگوریتمی.
آموزشی: ایجاد مفاهیم در مورد ذوزنقه منحنی، در مورد یک انتگرال، برای تسلط بر مهارت های محاسبه مساحت شکل های صفحه

روش تدریس:توضیحی و گویا

در طول کلاس ها

در کلاس های قبلی یاد گرفتیم که مساحت شکل هایی را که مرز آنها خطوط چند ضلعی است محاسبه کنیم. در ریاضیات، روش هایی وجود دارد که به شما امکان می دهد مساحت ارقام محدود شده با منحنی ها را محاسبه کنید. چنین ارقامی ذوزنقه های منحنی نامیده می شوند و مساحت آنها با استفاده از ضد مشتقات محاسبه می شود.

ذوزنقه منحنی ( اسلاید 1)

ذوزنقه منحنی شکلی است که با نمودار یک تابع محدود شده است. sh.m.)، سر راست x = aو x = bو محور x

انواع ذوزنقه های منحنی ( اسلاید 2)

در حال بررسی هستیم انواع مختلفذوزنقه های منحنی و توجه: یکی از خطوط به یک نقطه تبدیل می شود، نقش تابع محدود کننده توسط خط بازی می شود.

مساحت ذوزنقه منحنی (اسلاید 3)

انتهای سمت چپ فاصله را ثابت کنید آ،و حق ایکسما تغییر خواهیم کرد، یعنی دیوار سمت راست ذوزنقه منحنی را جابجا می کنیم و یک شکل متغیر به دست می آوریم. مساحت یک ذوزنقه منحنی متغیر که توسط نمودار تابع محدود شده است یک ضد مشتق است. افبرای عملکرد f

و در بخش [ آ؛ ب] ناحیه یک ذوزنقه منحنی شکل که توسط تابع تشکیل شده است fبرابر است با افزایش ضد مشتق این تابع:

تمرین 1:

مساحت ذوزنقه منحنی را که با نمودار تابع محدود شده است را بیابید: f(x) = x 2و مستقیم y = 0، x = 1، x = 2.

راه حل: ( طبق اسلاید 3 الگوریتم)

بیایید یک نمودار از تابع و خطوط رسم کنیم

بیایید یکی از آنها را پیدا کنیم توابع ضد مشتق f(x) = x 2 :

خودآزمایی اسلاید

انتگرال

ذوزنقه ای منحنی را در نظر بگیرید که با تابع تعریف شده است fدر بخش [ آ؛ ب]. بیایید این بخش را به چند قسمت تقسیم کنیم. مساحت کل ذوزنقه به مجموع مساحت ذوزنقه های منحنی کوچکتر تقسیم می شود. ( اسلاید 5). هر ذوزنقه از این قبیل را می توان تقریباً یک مستطیل در نظر گرفت. مجموع مساحت این مستطیل ها تصوری تقریبی از کل مساحت ذوزنقه منحنی به دست می دهد. هر چه کوچکتر قسمت را تقسیم کنیم [ آ؛ ب]، هر چه مساحت را با دقت بیشتری محاسبه کنیم.

اجازه دهید این استدلال ها را در قالب فرمول بنویسیم.

تقسیم بخش [ آ؛ ب] به n قسمت با نقطه x 0 =a، x1،…، xn = b.طول k-هفتم با نشان دادن xk = xk – xk-1. بیایید یک جمع بندی کنیم

از نظر هندسی، این مجموع مساحت شکل سایه دار در شکل را نشان می دهد ( sh.m.)

مجموع فرم را مجموع انتگرال تابع می نامند f. (sh.m.)

مجموع انتگرال مقدار تقریبی مساحت را می دهد. ارزش دقیقبا عبور از حد به دست می آید. بیایید تصور کنیم که در حال اصلاح پارتیشن بخش [ آ؛ ب] به طوری که طول تمام بخش های کوچک به صفر تمایل دارد. سپس ناحیه شکل تشکیل شده به ناحیه ذوزنقه منحنی نزدیک می شود. می توان گفت مساحت ذوزنقه منحنی برابر با حد مجموع انتگرال است. Sc.t. (sh.m.)یا انتگرال، یعنی

تعریف:

انتگرال یک تابع f(x)از جانب آقبل از بحد مجموع انتگرال نامیده می شود

= (sh.m.)

فرمول نیوتن لایب نیتس

به یاد داریم که حد مجموع انتگرال برابر با مساحت ذوزنقه منحنی است، به این معنی که می توانیم بنویسیم:

Sc.t. = (sh.m.)

از طرف دیگر، مساحت ذوزنقه منحنی با فرمول محاسبه می شود

S k.t. (sh.m.)

با مقایسه این فرمول ها، دریافت می کنیم:

= (sh.m.)

این برابری فرمول نیوتن لایب نیتس نامیده می شود.

برای سهولت در محاسبه، فرمول به صورت زیر نوشته شده است:

= = (sh.m.)

وظایف: (sh.m.)

1. انتگرال را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه کنید: اسلاید 5 را بررسی کنید)

2. انتگرال ها را مطابق نقشه بنویسید ( اسلاید 6 را بررسی کنید)

3. مساحت شکل محدود شده با خطوط را بیابید: y = x 3، y = 0، x = 1، x = 2. ( اسلاید 7)

پیدا کردن مساحت شکل های صفحه ( اسلاید 8)

چگونه می توان مساحت شکل هایی را که ذوزنقه های منحنی نیستند پیدا کرد؟

اجازه دهید دو تابع داده شود که نمودارهای آنها را در اسلاید می بینید . (sh.m.)مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید . (sh.m.). آیا شکل مورد بحث ذوزنقه منحنی است؟ چگونه می توان مساحت آن را با استفاده از خاصیت افزایشی مساحت پیدا کرد؟ دو ذوزنقه منحنی را در نظر بگیرید و مساحت دیگری را از مساحت یکی از آنها کم کنید ( sh.m.)

بیایید یک الگوریتم برای یافتن منطقه با استفاده از انیمیشن در یک اسلاید ایجاد کنیم:

توابع نمودار
نقاط تقاطع نمودارها را روی محور x طرح ریزی کنید
شکل به دست آمده را هنگام تلاقی نمودارها سایه بزنید
ذوزنقه های منحنی را پیدا کنید که تقاطع یا اتحاد آنها شکل داده شده است.
مساحت هر یک از آنها را محاسبه کنید
تفاوت یا مجموع مساحت ها را پیدا کنید

تکلیف شفاهی: نحوه بدست آوردن مساحت یک شکل سایه دار (با استفاده از انیمیشن بگویید، اسلاید 8 و 9)

مشق شب:از طریق یادداشت ها، شماره 353 (الف)، شماره 364 (الف) کار کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب

جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 9-11 مدرسه عصر (نوبت) / ویرایش. G.D. گلیزر. - م: روشنگری، 1983.
باشماکوف M.I. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 10-11 دبیرستان / باشماکوف M.I. - م: روشنگری، 1991.
باشماکوف M.I. ریاضیات: کتاب درسی برای مؤسسات آغازین. و چهارشنبه پروفسور تحصیلات / M.I. باشماکوف. - م: آکادمی، 2010.
کولموگروف A.N. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10-11. موسسات آموزشی / A.N. Kolmogorov. - م: آموزش، 2010.
Ostrovsky S.L. چگونه برای یک درس ارائه دهیم؟/ S.L. استروفسکی. - م.: 1 سپتامبر 2010.

مشکل 1(درباره محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی).

در سیستم مختصات مستطیلی دکارتی xOy، یک شکل داده می شود (شکل را ببینید) محدود به محور x، خطوط مستقیم x = a، x = b (a توسط یک ذوزنقه منحنی. محاسبه مساحت یک منحنی ضروری است. ذوزنقه ای
راه حل.هندسه دستور العمل هایی را برای محاسبه مساحت چندضلعی ها و برخی از قسمت های یک دایره (بخش، قطعه) به ما می دهد. با استفاده از ملاحظات هندسی، ما فقط می‌توانیم مقدار تقریبی مساحت مورد نیاز را پیدا کنیم و به شرح زیر استدلال کنیم.

بیایید بخش را تقسیم کنیم [a; b] (پایه ذوزنقه منحنی) به n قسمت مساوی. این پارتیشن با استفاده از نقاط x 1، x 2، ... x k، ... x n-1 انجام می شود. اجازه دهید خطوط مستقیمی را از میان این نقاط موازی با محور y رسم کنیم. سپس ذوزنقه منحنی شکل داده شده به n قسمت، به n ستون باریک تقسیم می شود. مساحت کل ذوزنقه برابر است با مجموع مساحت ستون ها.

اجازه دهید ستون k-امین را جداگانه در نظر بگیریم، یعنی. ذوزنقه منحنی که قاعده آن یک قطعه است. بیایید آن را با یک مستطیل با همان قاعده و ارتفاع برابر با f(x k) جایگزین کنیم (شکل را ببینید). مساحت مستطیل برابر است با $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ که $\Delta x_k $ طول قطعه است. طبیعی است که محصول حاصل را به عنوان مقدار تقریبی مساحت ستون k در نظر بگیریم.

اگر اکنون همین کار را با تمام ستون های دیگر انجام دهیم، به نتیجه زیر می رسیم: مساحت S یک ذوزنقه منحنی مشخص تقریباً برابر است با مساحت S n یک شکل پلکانی که از n مستطیل تشکیل شده است (شکل را ببینید):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
در اینجا، به منظور یکنواختی نمادگذاری، فرض می کنیم که a = x 0، b = x n; $\Delta x_0 $ - طول بخش، $\Delta x_1 $ - طول بخش و غیره. در این مورد، همانطور که در بالا توافق کردیم، $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

بنابراین، $S \تقریبا S_n $، و این برابری تقریبی دقیق تر است، هر چه n بزرگتر باشد.
طبق تعریف، اعتقاد بر این است که مساحت مورد نیاز یک ذوزنقه منحنی برابر با حد دنباله (Sn) است:
$$ S = \lim_(n \ به \infty) S_n $$

مشکل 2(در مورد جابجایی یک نقطه)
یک نقطه مادی در یک خط مستقیم حرکت می کند. وابستگی سرعت به زمان با فرمول v=v(t) بیان می شود. حرکت یک نقطه را در یک دوره زمانی پیدا کنید [a; ب].
راه حل.اگر حرکت یکنواخت بود، آنگاه مشکل خیلی ساده حل می شد: s = vt، یعنی. s = v(b-a). برای حرکت ناهموار، باید از همان ایده هایی استفاده کنید که راه حل مشکل قبلی بر اساس آنها بود.
1) فاصله زمانی [a; b] به n قسمت مساوی.
2) یک دوره زمانی را در نظر بگیرید و فرض کنید که در این بازه زمانی سرعت ثابت بوده است، مانند زمان t k. بنابراین ما فرض می کنیم که v = v(t k).
3) بیایید مقدار تقریبی حرکت نقطه را در یک دوره زمانی پیدا کنیم و این مقدار تقریبی را با s k نشان دهیم
$s_k = v(t_k) \دلتا t_k $
4) مقدار تقریبی جابجایی s را بیابید:
$s \ approx S_n $ که در آن
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) جابجایی مورد نیاز برابر است با حد دنباله (S n):
$$ s = \lim_(n \ به \infty) S_n $$

بیایید خلاصه کنیم. راه‌حل‌های مسائل مختلف به یک مدل ریاضی تقلیل یافتند. بسیاری از مشکلات از حوزه های مختلف علم و فناوری منجر به همین مدل در فرآیند حل می شود. پس این مدل ریاضینیاز به مطالعه ویژه دارد.

مفهوم انتگرال معین

اجازه دهید یک توصیف ریاضی از مدلی ارائه دهیم که در سه مسئله در نظر گرفته شده برای تابع y = f(x)، پیوسته (اما نه لزوماً غیرمنفی، همانطور که در مسائل در نظر گرفته شده فرض شد) در بازه [a; ب]:
1) بخش [a; b] به n قسمت مساوی.
2) جمع $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ را محاسبه کنید

در جریان تحلیل ریاضی ثابت شد که این حد در مورد تابع پیوسته (یا به صورت تکه ای پیوسته) وجود دارد. او نامیده می شود انتگرال معینی از تابع y = f(x) روی قطعه [a; ب]و به صورت زیر مشخص می شود:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
اعداد a و b را حدود ادغام (به ترتیب پایین و بالا) می گویند.

بیایید به وظایفی که در بالا بحث شد برگردیم. تعریف مساحت ارائه شده در مسئله 1 اکنون می تواند به صورت زیر بازنویسی شود:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
در اینجا S مساحت ذوزنقه منحنی شکل است که در شکل بالا نشان داده شده است. این هست معنای هندسی یک انتگرال معین.

تعریف جابجایی s نقطه ای که در یک خط مستقیم با سرعت v = v(t) در بازه زمانی از t = a تا t = b که در مسئله 2 ارائه شده است، به صورت زیر بازنویسی می شود:

فرمول نیوتن - لایب نیتس

ابتدا به این سوال پاسخ می دهیم که چه ارتباطی بین انتگرال معین و ضد مشتق وجود دارد؟

پاسخ را می توان در مسئله 2 پیدا کرد. از یک طرف، جابجایی s یک نقطه در حال حرکت در یک خط مستقیم با سرعت v = v(t) در بازه زمانی از t = a تا t = b محاسبه می شود. فرمول
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

از طرف دیگر، مختصات یک نقطه متحرک یک پاد مشتق برای سرعت است - بیایید آن را s(t) نشان دهیم. این بدان معنی است که جابجایی s با فرمول s = s(b) - s(a) بیان می شود. در نتیجه دریافت می کنیم:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
که در آن s(t) ضد مشتق v(t) است.

قضیه زیر در درس تحلیل ریاضی ثابت شد.
قضیه. اگر تابع y = f(x) در بازه [a; b]، پس فرمول معتبر است
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
که در آن F(x) پاد مشتق f(x) است.

فرمول داده شده معمولا نامیده می شود فرمول نیوتن لایب نیتسبه افتخار فیزیکدان انگلیسی اسحاق نیوتن (1643-1727) و فیلسوف آلمانی گوتفرید لایبنیتس (1646-1716) که آن را مستقل از یکدیگر و تقریباً همزمان دریافت کردند.

در عمل به جای نوشتن F(b) - F(a) از علامت $\left. F(x)\right|_a^b $ استفاده می کنند (گاهی به آن می گویند. تعویض دوبل) و بر این اساس، فرمول نیوتن-لایبنیتس را به این شکل بازنویسی کنید:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \چپ. F(x)\راست|_a^b $

هنگام محاسبه یک انتگرال معین، ابتدا ضد مشتق را پیدا کنید و سپس یک جایگزین دوگانه انجام دهید.

بر اساس فرمول نیوتن-لایب نیتس می توانیم دو خاصیت انتگرال معین را بدست آوریم.

ملک 1.انتگرال مجموع توابع برابر است با مجموع انتگرال ها:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

ملک 2.عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

محاسبه مساحت شکل های صفحه با استفاده از انتگرال معین

با استفاده از انتگرال، می توانید نه تنها مساحت ذوزنقه های منحنی، بلکه بیشتر ارقام مسطح را نیز محاسبه کنید. نوع پیچیده، برای مثال آنچه در شکل نشان داده شده است. شکل P با خطوط مستقیم x = a، x = b و نمودارهای توابع پیوسته y = f(x)، y = g(x) و روی پاره [a; b] نابرابری $g(x) \leq f(x) $ برقرار است. برای محاسبه مساحت S چنین شکلی به صورت زیر عمل می کنیم:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

بنابراین، مساحت S یک شکل محدود به خطوط مستقیم x = a، x = b و نمودارهای توابع y = f(x)، y = g(x)، پیوسته روی پاره و به‌طوری که برای هر x از پاره [آ؛ b] نابرابری $g(x) \leq f(x) $ ارضا می شود، با فرمول محاسبه می شود
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

جدول انتگرال های نامعین (ضد مشتق) برخی از توابع

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

اجازه دهید تابع غیر منفی و پیوسته در بازه باشد. سپس، با توجه به حس هندسیاز یک انتگرال مشخص، مساحت ذوزنقه منحنی که در بالا با نمودار این تابع، در پایین با محور، در سمت چپ و راست با خطوط مستقیم محدود شده است و (شکل 2 را ببینید) با فرمول محاسبه می شود.

مثال 9.مساحت شکل محدود شده با خط و محور را پیدا کنید.

راه حل. نمودار تابع سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هدایت می شوند. بیایید آن را بسازیم (شکل 3). برای تعیین حدود یکپارچگی، نقاط تلاقی خط (پارابولا) با محور (خط مستقیم) را پیدا می کنیم. برای این کار سیستم معادلات را حل می کنیم

ما گرفتیم: ، جایی که ، ؛ از این رو،، .

برنج. 3

مساحت شکل را با استفاده از فرمول (5) پیدا می کنیم:

اگر تابع روی پاره غیر مثبت و پیوسته باشد، مساحت ذوزنقه منحنی که در زیر با نمودار این تابع، در بالا با محور، در سمت چپ و راست با خطوط مستقیم محدود شده است و با فرمول

. (6)

اگر تابع روی یک قطعه پیوسته باشد و علامت را در تعداد محدودی از نقاط تغییر دهد، مساحت شکل سایه دار (شکل 4) برابر است با مجموع جبری انتگرال های معین مربوطه:

برنج. 4

مثال 10.مساحت شکل محدود شده با محور و نمودار تابع در را محاسبه کنید.

برنج. 5

راه حل. بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 5). مساحت مورد نیاز مجموع مساحت ها و . بیایید هر یک از این مناطق را پیدا کنیم. ابتدا با حل سیستم حدود یکپارچه سازی را مشخص می کنیم ما گرفتیم ، . از این رو:

;

بنابراین، مساحت شکل سایه دار است

(واحد مربع).

برنج. 6

در نهایت، اجازه دهید ذوزنقه منحنی در بالا و پایین توسط نمودارهای توابع پیوسته در بخش محدود شود و
و در سمت چپ و راست - خطوط مستقیم و (شکل 6). سپس مساحت آن با فرمول محاسبه می شود

. (8)

مثال 11.مساحت شکل محدود شده با خطوط را پیدا کنید و.

راه حل.این شکل در شکل نشان داده شده است. 7. مساحت آن را با استفاده از فرمول (8) محاسبه می کنیم. حل سیستم معادلات پیدا می کنیم، ; از این رو،، . در بخش داریم: . این بدان معناست که در فرمول (8) ما به عنوان ایکس، و به عنوان کیفیت – . ما گرفتیم:

(واحد مربع).

مشکلات پیچیده تر محاسبه مساحت ها با تقسیم رقم به قسمت های غیر همپوشانی و محاسبه مساحت کل شکل به عنوان مجموع مساحت این قسمت ها حل می شود.

برنج. 7

مثال 12.مساحت شکل محدود شده با خطوط،، را پیدا کنید.

راه حل. بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 8). این شکل را می توان به عنوان یک ذوزنقه منحنی در نظر گرفت که از پایین توسط محور، به چپ و راست - با خطوط مستقیم و از بالا - با نمودارهای توابع و. از آنجایی که شکل از بالا توسط نمودارهای دو تابع محدود شده است، برای محاسبه مساحت آن، این شکل خط مستقیم را به دو قسمت تقسیم می کنیم (1 آبسیسا نقطه تلاقی خطوط و ). مساحت هر یک از این قسمت ها با استفاده از فرمول (4) بدست می آید:

(واحد مربع)؛ (واحد مربع). از این رو:

(واحد مربع).

برنج. 8

ایکس= j ( در)

برنج. 9

در نتیجه، توجه می کنیم که اگر یک ذوزنقه منحنی با خطوط مستقیم و، محور و پیوسته روی منحنی محدود شود (شکل 9)، مساحت آن با فرمول بدست می آید.

حجم بدنه انقلاب

اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی، که توسط نمودار تابعی پیوسته بر روی یک قطعه، با یک محور، با خطوط مستقیم محدود شده است، حول محور بچرخد (شکل 10). سپس حجم چرخش حاصل با فرمول محاسبه می شود

. (9)

مثال 13.حجم جسمی را که با چرخش حول محور ذوزنقه منحنی شکل که توسط هذلولی، خطوط مستقیم و محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل. بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 11).

از شرایط مسئله چنین بر می آید که، . از فرمول (9) بدست می آوریم

برنج. 10

برنج. یازده

حجم جسمی که با چرخش حول یک محور به دست می آید OUذوزنقه منحنی که توسط خطوط مستقیم محدود شده است y = cو y = d، محور OUو نمودار یک تابع پیوسته بر روی یک قطعه (شکل 12) که با فرمول تعیین می شود

. (10)

ایکس= j ( در)

برنج. 12

مثال 14. حجم جسمی را که با چرخش حول یک محور به دست می آید محاسبه کنید OUذوزنقه منحنی که با خطوط محدود شده است ایکس 2 = 4در, y = 4, x = 0 (شکل 13).

راه حل. مطابق با شرایط مسئله، حدود ادغام را می یابیم: , . با استفاده از فرمول (10) به دست می آوریم:

برنج. 13

طول قوس یک منحنی مسطح

اجازه دهید منحنی داده شده توسط معادله , Where , در صفحه باشد (شکل 14).

برنج. 14

تعریف. طول یک کمان به عنوان حدی درک می شود که طول یک خط شکسته محاط شده در این کمان، زمانی که تعداد پیوندهای خط شکسته به بی نهایت و طول بزرگترین پیوند به صفر میل می کند، درک می شود.

اگر تابع و مشتق آن بر روی قطعه ممتد باشند، طول قوس منحنی با فرمول محاسبه می شود.

. (11)

مثال 15. طول قوس منحنی محصور بین نقاطی را که برای آن محصور شده است محاسبه کنید .

راه حل. از شرایط مشکلی که داریم . با استفاده از فرمول (11) به دست می آوریم:

4. انتگرال های نامناسب
با محدودیت های بی نهایت ادغام

هنگام معرفی مفهوم انتگرال معین، فرض بر این بود که دو شرط زیر برآورده می شود:

الف) حدود ادغام آو متناهی هستند.

ب) انتگرال در بازه محدود شده است.

اگر حداقل یکی از این شرایط برآورده نشود، انتگرال فراخوانی می شود مال خودت نیست.

اجازه دهید ابتدا انتگرال های نامناسب با محدودیت های بی نهایت انتگرال را در نظر بگیریم.

تعریف. سپس اجازه دهید تابع در بازه تعریف شده و پیوسته باشدو نامحدود در سمت راست (شکل 15).

اگر انتگرال نامناسب همگرا شود، این ناحیه محدود است. اگر انتگرال نامناسب واگرا شود، این ناحیه بی نهایت است.

برنج. 15

یک انتگرال نامناسب با حد پایین بی نهایت ادغام به طور مشابه تعریف می شود:

. (13)

اگر حد در سمت راست برابری (13) وجود داشته باشد و متناهی باشد، این انتگرال همگرا می شود. در غیر این صورت انتگرال واگرا گفته می شود.

یک انتگرال نامناسب با دو حد بی نهایت انتگرال به صورت زیر تعریف می شود:

, (14)

جایی که с هر نقطه از بازه است. انتگرال فقط در صورتی همگرا می شود که هر دو انتگرال در سمت راست برابری (14) همگرا شوند.

;

ز) = [یک مربع کامل در مخرج انتخاب کنید: ] = [جایگزینی:

] =

این بدان معنی است که انتگرال نامناسب همگرا می شود و مقدار آن برابر است.