مساحت ذوزنقه منحنی از نظر عددی برابر با یک انتگرال معین است. چگونه مساحت ذوزنقه منحنی را پیدا کنیم

انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل

بیایید به بررسی کاربردهای حساب انتگرال برویم. در این درس ما معمولی ترین و رایج ترین کار را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - نحوه استفاده از یک انتگرال معین برای محاسبه مساحت یک شکل صفحه. در نهایت، کسانی که به دنبال معنی در ریاضیات عالی هستند - ممکن است آن را پیدا کنند. شما هرگز نمی دانید. در زندگی واقعی، شما باید با استفاده از توابع ابتدایی یک طرح ویلا را تقریب بزنید و مساحت آن را با استفاده از یک انتگرال مشخص پیدا کنید.

برای تسلط بر مواد، باید:

1) درک کنید انتگرال نامعینحداقل در سطح متوسط بنابراین، آدمک ها ابتدا باید درس را بخوانند نه.

2) قادر به اعمال فرمول نیوتن-لایبنیتس و محاسبه انتگرال معین باشد. می توانید با انتگرال های خاصی در صفحه روابط دوستانه گرم برقرار کنید انتگرال معین. نمونه هایی از راه حل ها.

در واقع، برای یافتن مساحت یک شکل، به دانش زیادی از انتگرال نامعین و معین نیاز ندارید. کار "محاسبه مساحت با استفاده از یک انتگرال معین" همیشه شامل ساختن یک نقشه است، بنابراین دانش و مهارت های طراحی شما مسئله بسیار مهم تری خواهد بود. در این راستا، مفید است که حافظه خود را از نمودارهای توابع ابتدایی اولیه تجدید کنید و حداقل بتوانید یک خط مستقیم، سهمی و هذلولی بسازید. این را می توان (برای بسیاری، ضروری است) با استفاده از مواد روش شناختیو مقالات در مورد تبدیل هندسی نمودارها.

در واقع، همه از دوران مدرسه با کار یافتن منطقه با استفاده از یک انتگرال معین آشنا هستند و ما خیلی بیشتر از این پیش نخواهیم رفت. برنامه آموزشی مدرسه. این مقاله ممکن است اصلا وجود نداشته باشد، اما واقعیت این است که مشکل در 99 مورد از 100 مورد رخ می دهد، زمانی که دانش آموزی از مدرسه منفور رنج می برد و با اشتیاق در یک درس در ریاضیات عالی تسلط می یابد.

مطالب این کارگاه به صورت ساده، جزئی و با حداقل تئوری ارائه شده است.

بیا شروع کنیم با ذوزنقه منحنی.

ذوزنقه منحنییک شکل صاف است که توسط یک محور، خطوط مستقیم و نمودار یک تابع پیوسته در بازه‌ای که علامت آن در این بازه تغییر نمی‌کند محدود شده است. بگذارید این رقم واقع شود نه کمترمحور x:

سپس مساحت ذوزنقه منحنی از نظر عددی برابر با یک انتگرال معین است. هر انتگرال معینی (که وجود دارد) معنای هندسی بسیار خوبی دارد. در درس انتگرال معین. نمونه هایی از راه حل هاگفتم انتگرال معین یک عدد است. و حالا وقت آن است که یک مورد دیگر را بیان کنیم واقعیت مفید. از نظر هندسه، انتگرال معین AREA است.

به این معنا که، انتگرال معین (در صورت وجود) از نظر هندسی با مساحت یک شکل مشخص مطابقت دارد. مثلاً انتگرال معین را در نظر بگیرید. انتگرال یک منحنی را روی صفحه واقع در بالای محور تعریف می کند (کسانی که مایلند می توانند نقاشی بکشند) و خود انتگرال معین از نظر عددی برابر با مساحت ذوزنقه منحنی منحنی مربوطه است.

مثال 1

این یک بیانیه انتساب معمولی است. اول و مهمترین لحظهراه حل - نقاشی. علاوه بر این، نقاشی باید ساخته شود درست.

هنگام ساخت یک نقشه، ترتیب زیر را توصیه می کنم: در ابتدابهتر است تمام خطوط مستقیم (در صورت وجود) و فقط ساخته شوند سپس- سهمی ها، هذلولی ها، نمودارهای توابع دیگر. ساخت نمودارهای توابع سودآورتر است نقطه به نقطه، تکنیک ساخت نقطه به نقطه را می توان در پیدا کرد مواد مرجع نمودارها و خواص توابع ابتدایی. در آنجا می توانید مطالب بسیار مفیدی را برای درس ما پیدا کنید - چگونه به سرعت یک سهمی بسازیم.

در این مشکل، راه حل ممکن است به این صورت باشد.
بیایید نقشه را رسم کنیم (توجه داشته باشید که معادله محور را مشخص می کند):

من بر ذوزنقه منحنی سایه نمی اندازم؛ اینجا واضح است که در مورد چه ناحیه ای صحبت می کنیم. راه حل به این صورت ادامه می یابد:

روی قطعه، نمودار تابع قرار دارد بالای محور، از همین رو:

پاسخ:

چه کسی در محاسبه انتگرال معین و به کارگیری فرمول نیوتن لایبنیتس مشکل دارد رجوع به سخنرانی شود انتگرال معین. نمونه هایی از راه حل ها.

پس از اتمام کار، همیشه مفید است که به نقاشی نگاه کنید و بفهمید که آیا پاسخ واقعی است یا خیر. در این مورد، ما تعداد سلول های نقاشی را "با چشم" می شماریم - خوب، حدود 9 خواهد بود، به نظر می رسد درست باشد. کاملاً واضح است که اگر ما مثلاً جواب گرفتیم: 20 واحد مربع ، واضح است که در جایی اشتباهی رخ داده است - 20 سلول به وضوح در شکل مورد نظر ، حداکثر یک دوجین قرار نمی گیرند. اگر پاسخ منفی است، تکلیف نیز به اشتباه حل شده است.

مثال 2

مساحت شکل محدود شده با خطوط، و محور را محاسبه کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

اگر ذوزنقه منحنی واقع شده باشد چه باید کرد زیر محور؟

مثال 3

مساحت شکل محدود شده با خطوط و محورهای مختصات را محاسبه کنید.

راه حل: بیایید یک نقاشی بکشیم:

اگر ذوزنقه منحنی واقع شده باشد زیر محور(یا حداقل بالاتر نیستمحور داده شده)، سپس مساحت آن را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:
در این مورد:

توجه! این دو نوع کار را نباید با هم اشتباه گرفت:

1) اگر از شما خواسته شود که یک انتگرال معین را بدون هیچ معنای هندسی حل کنید، ممکن است منفی باشد.

2) اگر از شما خواسته شود که مساحت یک شکل را با استفاده از یک انتگرال معین پیدا کنید، مساحت همیشه مثبت است! به همین دلیل است که منهای در فرمول مورد بحث ظاهر می شود.

در عمل، اغلب این شکل در هر دو نیم صفحه بالا و پایین قرار دارد، و بنابراین، از ساده ترین مسائل مدرسه به نمونه های معنی دار تر می رویم.

مثال 4

مساحت شکل صفحه ای را که با خطوط محدود شده است، پیدا کنید.

راه حل: ابتدا باید نقاشی را کامل کنید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقشه در مسائل مساحت، ما بیشتر به نقاط تلاقی خطوط علاقه مند هستیم. بیایید نقاط تقاطع سهمی و خط مستقیم را پیدا کنیم. این میتواند با دو راه انجام شود. روش اول تحلیلی است. معادله را حل می کنیم:

این بدان معنی است که حد پایین ادغام است ، حد بالایی یکپارچگی است.
در صورت امکان بهتر است از این روش استفاده نکنید..

ساختن خطوط نقطه به نقطه بسیار سودآورتر و سریعتر است و محدودیتهای ادغام "خود به خود" مشخص می شود. تکنیک ساخت نقطه به نقطه برای نمودارهای مختلف به تفصیل در راهنما مورد بحث قرار گرفته است نمودارها و خواص توابع ابتدایی. با این وجود، اگر برای مثال، نمودار به اندازه کافی بزرگ باشد، یا ساختار دقیق محدودیت‌های ادغام را آشکار نکند، گاهی اوقات باید از روش تحلیلی برای یافتن محدودیت‌ها استفاده کرد (آنها می‌توانند کسری یا غیرمنطقی باشند). و ما نیز چنین مثالی را در نظر خواهیم گرفت.

بیایید به وظیفه خود بازگردیم: منطقی تر است که ابتدا یک خط مستقیم بسازیم و فقط سپس یک سهمی. بیایید نقاشی را انجام دهیم:

تکرار می‌کنم که هنگام ساختن نقطه‌ای، محدودیت‌های ادغام اغلب «به‌طور خودکار» مشخص می‌شوند.

و حالا فرمول کار: اگر مقداری تابع پیوسته روی قطعه وجود داشته باشد بزرگتر یا مساوی بامقداری تابع پیوسته، سپس مساحت شکل محدود شده توسط نمودارهای این توابع و خطوط، را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

در اینجا دیگر لازم نیست به این فکر کنید که شکل در کجا قرار دارد - بالای محور یا زیر محور، و به طور کلی، مهم است که کدام نمودار بالاتر است(نسبت به نمودار دیگری)، و کدام یک در زیر است.

در مثال مورد بررسی، بدیهی است که سهمی در قسمت بالای خط مستقیم قرار دارد و بنابراین باید از آن کم کرد.

راه حل تکمیل شده ممکن است به شکل زیر باشد:

شکل مورد نظر با یک سهمی در بالا و یک خط مستقیم در زیر محدود می شود.
در بخش، طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

در واقع، فرمول مدرسه برای مساحت ذوزنقه منحنی در نیم صفحه پایین (نگاه کنید به مثال ساده شماره 3) یک مورد خاص از فرمول است. . از آنجایی که محور با معادله مشخص می شود و نمودار تابع قرار دارد بالاتر نیستپس تبرها

و حالا چند مثال برای راه حل خودتان

مثال 5

مثال 6

مساحت شکل محدود شده با خطوط را پیدا کنید.

هنگام حل مسائل مربوط به محاسبه مساحت با استفاده از یک انتگرال معین، گاهی اوقات یک حادثه خنده دار رخ می دهد. ترسیم به درستی انجام شد، محاسبات درست بود، اما به دلیل بی دقتی... ناحیه شکل اشتباه پیدا شد، این دقیقاً همینطور است که بنده حقیر چندین بار گند زد. در اینجا یک مورد واقعی وجود دارد:

مثال 7

مساحت شکل محدود شده با خطوط،،، را محاسبه کنید.

راه حل: ابتدا بیایید یک نقاشی بکشیم:

...آه، نقاشی از بین رفت، اما همه چیز خوانا به نظر می رسد.

شکلی که باید مساحت آن را پیدا کنیم آبی سایه دار است(با دقت به شرایط نگاه کنید - چگونه رقم محدود است!). اما در عمل، به دلیل بی توجهی، اغلب یک "شکلی" ایجاد می شود که باید ناحیه یک شکل را که سایه دار است پیدا کنید. سبز!

این مثال همچنین از این جهت مفید است که مساحت یک شکل را با استفاده از دو انتگرال معین محاسبه می کند. واقعا:

1) در قسمت بالای محور نمودار یک خط مستقیم وجود دارد.

2) در قسمت بالای محور نمودار هذلولی وجود دارد.

کاملاً واضح است که مناطق را می توان (و باید) اضافه کرد، بنابراین:

پاسخ:

بیایید به یک کار معنی دار دیگر برویم.

مثال 8

مساحت یک شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید،
بیایید معادلات را به شکل "مدرسه" ارائه کنیم و یک نقاشی نقطه به نقطه انجام دهیم:

از نقاشی مشخص است که حد بالایی ما "خوب" است: .
اما حد پایین چیست؟! واضح است که این یک عدد صحیح نیست، اما چیست؟ شاید ؟ اما این تضمین وجود دارد که نقاشی با دقت کامل انجام شده است، ممکن است معلوم شود که ... یا ریشه. اگر نمودار را اشتباه بسازیم چه می شود؟

در چنین مواردی، شما باید زمان بیشتری را صرف کنید و محدودیت های یکپارچه سازی را به صورت تحلیلی روشن کنید.

بیایید نقاط تلاقی یک خط مستقیم و یک سهمی را پیدا کنیم.
برای انجام این کار، معادله را حل می کنیم:

,

واقعا، .

راه حل بیشتر بی اهمیت است، نکته اصلی این است که در جایگزینی ها و نشانه ها گیج نشوید؛ محاسبات در اینجا ساده ترین نیستند.

در بخش ، طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

خوب، برای پایان دادن به درس، اجازه دهید به دو کار دشوار دیگر نگاه کنیم.

مثال 9

مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید،

راه حل: بیایید این شکل را در نقاشی به تصویر بکشیم.

لعنتی، فراموش کردم برنامه را امضا کنم، و متاسفم، نمی خواستم تصویر را دوباره انجام دهم. روز نقاشی نیست، خلاصه امروز همان روز است =)

برای ساخت نقطه به نقطه باید بدانید ظاهرسینوسی ها (و به طور کلی مفید است که بدانید نمودار تمام توابع ابتدایی، و همچنین برخی از مقادیر سینوسی، آنها را می توان در آنها یافت جدول مثلثاتی. در برخی موارد (مانند این مورد)، می توان یک نقشه شماتیک ساخت که بر روی آن نمودارها و محدودیت های ادغام باید اساساً به درستی نمایش داده شوند.

در اینجا هیچ مشکلی با محدودیت های ادغام وجود ندارد؛ آنها مستقیماً از این شرط پیروی می کنند: "x" از صفر به "pi" تغییر می کند. بیایید تصمیم بیشتری بگیریم:

در قطعه، نمودار تابع در بالای محور قرار دارد، بنابراین:

مساحت ذوزنقه منحنی از نظر عددی برابر با یک انتگرال معین است

هر انتگرال معینی (که وجود دارد) معنای هندسی بسیار خوبی دارد. در کلاس گفتم انتگرال معین یک عدد است. و اکنون زمان بیان یک واقعیت مفید دیگر است. از نظر هندسه، انتگرال معین AREA است.

به این معنا که، انتگرال معین (در صورت وجود) از نظر هندسی با مساحت یک شکل مشخص مطابقت دارد. مثلاً انتگرال معین را در نظر بگیرید. انتگرال منحنی خاصی را روی صفحه تعریف می کند (در صورت تمایل همیشه می توان آن را رسم کرد) و خود انتگرال معین از نظر عددی برابر با مساحت ذوزنقه منحنی منحنی مربوطه است.

مثال 1

این یک بیانیه انتساب معمولی است. اولین و مهمترین نکته در تصمیم گیری ساخت نقشه است. علاوه بر این، نقاشی باید ساخته شود درست.

در آنجا می توانید مطالب بسیار مفیدی را برای درس ما پیدا کنید - چگونه به سرعت یک سهمی بسازیم.

روی قطعه، نمودار تابع قرار دارد بالای محور، از همین رو:

پاسخ:

مثال 2

مساحت شکل محدود شده با خطوط، و محور را محاسبه کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

اگر ذوزنقه منحنی واقع شده باشد چه باید کرد زیر محور؟

مثال 3

مساحت شکل محدود شده با خطوط و محورهای مختصات را محاسبه کنید.

راه حل: بیایید یک نقاشی بکشیم:

اگر ذوزنقه منحنی کاملاً در زیر محور قرار دارد، سپس مساحت آن را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:
در این مورد:

توجه! دو نوع کار را نباید با هم اشتباه گرفت:

1) اگر از شما خواسته شود که یک انتگرال معین را بدون هیچ معنای هندسی حل کنید، ممکن است منفی باشد.

مثال 4

مساحت شکل صفحه ای را که با خطوط محدود شده است، پیدا کنید.

راه حل: ابتدا باید یک نقاشی بکشید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقشه در مسائل مساحت، ما بیشتر به نقاط تلاقی خطوط علاقه مند هستیم. بیایید نقاط تقاطع سهمی و خط مستقیم را پیدا کنیم. این میتواند با دو راه انجام شود. روش اول تحلیلی است. معادله را حل می کنیم:

این بدان معنی است که حد پایین ادغام است ، حد بالایی یکپارچگی است.
در صورت امکان بهتر است از این روش استفاده نکنید.

و حالا فرمول کار:اگر روی یک قطعه تابع پیوسته وجود داشته باشد بزرگتر یا مساوی بامقداری تابع پیوسته، سپس مساحت شکل مربوطه را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

در مثال مورد بررسی، بدیهی است که سهمی در قسمت بالای خط مستقیم قرار دارد و بنابراین باید از آن کم کرد.

راه حل تکمیل شده ممکن است به شکل زیر باشد:

شکل مورد نظر با یک سهمی در بالا و یک خط مستقیم در زیر محدود می شود.
در بخش، طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

در واقع، فرمول مدرسه برای مساحت ذوزنقه منحنی در نیم صفحه پایین (نگاه کنید به مثال ساده شماره 3) یک مورد خاص از فرمول است. . از آنجایی که محور با معادله مشخص می شود و نمودار تابع زیر محور قرار دارد، پس

و حالا چند مثال برای راه حل خودتان

مثال 5

مثال 6

مساحت شکل محدود شده با خطوط را پیدا کنید.

مثال 7

مساحت شکل محدود شده با خطوط،،، را محاسبه کنید.

ابتدا بیایید یک نقاشی بکشیم:

شکلی که باید مساحت آن را پیدا کنیم آبی سایه دار است(با دقت به شرایط نگاه کنید - چگونه رقم محدود است!). اما در عمل، به دلیل بی توجهی، اغلب پیش می‌آید که باید ناحیه شکلی را پیدا کنید که به رنگ سبز سایه زده است!

این مثال همچنین مفید است زیرا مساحت یک شکل را با استفاده از دو انتگرال معین محاسبه می کند. واقعا:

1) در قسمت بالای محور نمودار یک خط مستقیم وجود دارد.

2) در قسمت بالای محور نمودار هذلولی وجود دارد.

کاملاً واضح است که مناطق را می توان (و باید) اضافه کرد، بنابراین:

پاسخ:

مثال 8

در چنین مواردی، شما باید زمان بیشتری را صرف کنید و محدودیت های یکپارچه سازی را به صورت تحلیلی روشن کنید.

بیایید نقاط تلاقی یک خط مستقیم و یک سهمی را پیدا کنیم.
برای انجام این کار، معادله را حل می کنیم:

از این رو، .

در بخش ، طبق فرمول مربوطه:

خوب، برای پایان دادن به درس، اجازه دهید به دو کار دشوار دیگر نگاه کنیم.

مثال 9

مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید،

راه حل: بیایید این شکل را در نقاشی به تصویر بکشیم.

برای ساختن یک نقاشی نقطه به نقطه، باید ظاهر یک سینوسی را بدانید (و به طور کلی دانستن آن مفید است نمودار تمام توابع ابتدایی، و همچنین برخی از مقادیر سینوسی، آنها را می توان در آنها یافت جدول مثلثاتی. در برخی موارد (مانند این مورد)، می توان یک نقشه شماتیک ساخت که بر روی آن نمودارها و محدودیت های ادغام باید اساساً به درستی نمایش داده شوند.

در قطعه، نمودار تابع در بالای محور قرار دارد، بنابراین:

(1) در درس می توانید ببینید که چگونه سینوس ها و کسینوس ها در قدرت های فرد ادغام می شوند انتگرال توابع مثلثاتی. این یک تکنیک معمولی است، ما یک سینوس را نیشگون می گیریم.

(2) از پایه استفاده کنید هویت مثلثاتیمانند

(3) بیایید متغیر را تغییر دهیم، سپس:

زمینه های جدید ادغام:

هر کسی که واقعاً با تعویض بد است لطفاً درس بخواند. روش جایگزینی در انتگرال نامعین. برای کسانی که الگوریتم جایگزینی در یک انتگرال مشخص را کاملاً درک نمی کنند، به صفحه مراجعه کنند انتگرال معین. نمونه هایی از راه حل ها.

موضوع: محاسبه مساحت یک شکل صفحه با استفاده از یک انتگرال معین

اهداف: یادگیری تعریف و فرمول برای یافتن مساحت ذوزنقه منحنی.

موارد مختلف یافتن مساحت ذوزنقه منحنی را در نظر بگیرید.

قادر به محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی باشد.

طرح:

ذوزنقه منحنی.

فرمول های محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی.

ذوزنقه منحنیشکلی است که توسط نمودار یک تابع پیوسته و غیر منفی f(x) در بازه، پاره خط x=a و x=b و همچنین پاره ای از محور x بین نقاط a و b محدود می شود. .

تصاویر ذوزنقه های منحنی:

حالا بیایید به ادامه مطلب برویم گزینه های ممکنمحل ارقامی که مساحت آنها باید در صفحه مختصات محاسبه شود.

اولین ساده ترین گزینه (تصویر اول)، معمولی وجود خواهد داشت ذوزنقه منحنی، همانطور که در تعریف است. در اینجا نیازی به اختراع چیزی نیست، فقط انتگرال آن را در نظر بگیرید آقبل از باز تابع f(x). اگر انتگرال را پیدا کنیم، مساحت این ذوزنقه را نیز می دانیم.

که در دومین گزینه، شکل ما نه توسط محور x، بلکه توسط تابع دیگری محدود می شود g(x). بنابراین، برای پیدا کردن منطقه CEFD، ابتدا باید منطقه را پیدا کنیم AEFB(با استفاده از انتگرال از f(x)، سپس منطقه را پیدا کنید ACDB(با استفاده از انتگرال از g(x)). و مساحت مورد نیاز شکل CEFD، بین ناحیه اول و دوم ذوزنقه منحنی تفاوت وجود خواهد داشت. از آنجایی که مرزهای ادغام در اینجا یکسان است، همه اینها را می توان زیر یک انتگرال نوشت (فرمول های زیر را ببینید)، همه چیز به پیچیدگی توابع بستگی دارد، در این صورت یافتن انتگرال آسان تر خواهد بود.

سوم بسیار شبیه به مورد اول است، اما فقط ذوزنقه ما قرار دارد، نه در بالا محور x، و زیر آن. بنابراین، در اینجا باید همان انتگرال را فقط با علامت منفی بگیریم، زیرا مقدار انتگرال منفی خواهد بود و مقدار مساحت باید مثبت باشد. اگر به جای یک تابع f(x)عملکرد –f(x)، سپس نمودار آن یکسان خواهد بود، به سادگی به صورت متقارن نسبت به محور x نمایش داده می شود.

و چهارمگزینه زمانی که بخشی از شکل ما بالای محور x و بخشی زیر آن است. بنابراین، ابتدا باید مساحت شکل را پیدا کنیم AEFB، مانند گزینه اول و سپس مساحت شکل آ ب پ تمانند گزینه سوم و سپس آنها را تا کنید. در نتیجه مساحت شکل را بدست می آوریم DEFC. از آنجایی که مرزهای ادغام در اینجا یکسان است، همه اینها را می توان زیر یک انتگرال نوشت (فرمول های زیر را ببینید)، همه چیز به پیچیدگی توابع بستگی دارد، در این صورت یافتن انتگرال آسان تر خواهد بود.

سوالات خودآزمایی:

به کدام شکل ذوزنقه منحنی می گویند؟

چگونه مساحت ذوزنقه منحنی را پیدا کنیم؟

اجازه دهید تابع غیر منفی و پیوسته در بازه باشد. سپس، با توجه به حس هندسیاز یک انتگرال مشخص، مساحت ذوزنقه منحنی که در بالا با نمودار این تابع، در پایین با محور، در سمت چپ و راست با خطوط مستقیم محدود شده است و (شکل 2 را ببینید) با فرمول محاسبه می شود.

مثال 9.مساحت شکل محدود شده با خط و محور را پیدا کنید.

راه حل. نمودار تابع سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هدایت می شوند. بیایید آن را بسازیم (شکل 3). برای تعیین حدود یکپارچگی، نقاط تلاقی خط (پارابولا) با محور (خط مستقیم) را پیدا می کنیم. برای این کار سیستم معادلات را حل می کنیم

ما گرفتیم: ، جایی که ، ؛ از این رو،،.

برنج. 3

مساحت شکل را با استفاده از فرمول (5) پیدا می کنیم:

اگر تابع روی پاره غیر مثبت و پیوسته باشد، مساحت ذوزنقه منحنی که در زیر با نمودار این تابع، در بالا با محور، در سمت چپ و راست با خطوط مستقیم محدود شده است و با فرمول

. (6)

اگر تابع روی یک قطعه پیوسته باشد و علامت را در تعداد محدودی از نقاط تغییر دهد، مساحت شکل سایه دار (شکل 4) برابر است با مجموع جبری انتگرال های معین مربوطه:

برنج. 4

مثال 10.مساحت شکل محدود شده با محور و نمودار تابع در را محاسبه کنید.

برنج. 5

راه حل. بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 5). مساحت مورد نیاز مجموع مساحت ها و . بیایید هر یک از این مناطق را پیدا کنیم. ابتدا با حل سیستم حدود یکپارچه سازی را مشخص می کنیم ما گرفتیم ، . از این رو:

;

بنابراین، مساحت شکل سایه دار است

(واحد مربع).

برنج. 6

در نهایت، اجازه دهید ذوزنقه منحنی در بالا و پایین توسط نمودارهای توابع پیوسته در بخش محدود شود و
و در سمت چپ و راست - خطوط مستقیم و (شکل 6). سپس مساحت آن با فرمول محاسبه می شود

. (8)

مثال 11.مساحت شکل محدود شده با خطوط را پیدا کنید و.

راه حل.این شکل در شکل نشان داده شده است. 7. مساحت آن را با استفاده از فرمول (8) محاسبه می کنیم. حل سیستم معادلات پیدا می کنیم، ; از این رو،،. در بخش داریم: . این بدان معنی است که در فرمول (8) ما به عنوان ایکس، و به عنوان کیفیت – . ما گرفتیم:

(واحد مربع).

مشکلات پیچیده تر محاسبه مساحت ها با تقسیم رقم به قسمت های غیر همپوشانی و محاسبه مساحت کل شکل به عنوان مجموع مساحت این قسمت ها حل می شود.

برنج. 7

مثال 12.مساحت شکل محدود شده با خطوط،، را پیدا کنید.

راه حل. بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 8). این شکل را می توان به عنوان یک ذوزنقه منحنی در نظر گرفت که از پایین توسط محور، به چپ و راست - با خطوط مستقیم و از بالا - با نمودارهای توابع و. از آنجایی که شکل از بالا توسط نمودارهای دو تابع محدود شده است، برای محاسبه مساحت آن، این شکل خط مستقیم را به دو قسمت تقسیم می کنیم (1 آبسیسا نقطه تلاقی خطوط و ). مساحت هر یک از این قسمت ها با استفاده از فرمول (4) بدست می آید:

(واحد مربع)؛ (واحد مربع). از این رو:

(واحد مربع).

برنج. 8

ایکس= j ( در)

برنج. 9

در نتیجه، توجه می کنیم که اگر یک ذوزنقه منحنی با خطوط مستقیم و، محور و پیوسته بر روی منحنی محدود شود (شکل 9)، مساحت آن با فرمول پیدا می شود.

حجم بدنه انقلاب

اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی، که توسط نمودار تابعی پیوسته بر روی یک قطعه، با یک محور، با خطوط مستقیم محدود شده است، حول محور بچرخد (شکل 10). سپس حجم چرخش حاصل با فرمول محاسبه می شود

. (9)

مثال 13.حجم جسمی را که با چرخش حول محور ذوزنقه منحنی شکل که توسط هذلولی، خطوط مستقیم و محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل. بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 11).

از شرایط مسئله چنین بر می آید که، . از فرمول (9) بدست می آوریم

برنج. 10

برنج. یازده

حجم جسمی که با چرخش حول یک محور به دست می آید OUذوزنقه منحنی که توسط خطوط مستقیم محدود شده است y = cو y = d، محور OUو نمودار یک تابع پیوسته بر روی یک قطعه (شکل 12) که توسط فرمول تعیین می شود

. (10)

ایکس= j ( در)

برنج. 12

مثال 14. حجم جسمی را که با چرخش حول یک محور به دست می آید را محاسبه کنید OUذوزنقه منحنی که با خطوط محدود شده است ایکس 2 = 4در, y = 4, x = 0 (شکل 13).

راه حل. مطابق با شرایط مسئله، حدود ادغام را می یابیم: , . با استفاده از فرمول (10) به دست می آوریم:

برنج. 13

طول قوس یک منحنی مسطح

اجازه دهید منحنی داده شده توسط معادله , Where , در صفحه باشد (شکل 14).

برنج. 14

تعریف. طول یک کمان به عنوان حدی درک می شود که طول یک خط شکسته محاط شده در این کمان، زمانی که تعداد پیوندهای خط شکسته به بی نهایت و طول بزرگترین پیوند به صفر میل می کند، درک می شود.

اگر تابع و مشتق آن بر روی قطعه ممتد باشند، طول قوس منحنی با فرمول محاسبه می شود.

. (11)

مثال 15. طول قوس منحنی محصور بین نقاطی را که برای آن محصور شده است محاسبه کنید .

راه حل. از شرایط مشکلی که داریم . با استفاده از فرمول (11) به دست می آوریم:

4. انتگرال های نامناسب
با محدودیت های بی نهایت ادغام

هنگام معرفی مفهوم انتگرال معین، فرض بر این بود که دو شرط زیر برآورده می شود:

الف) حدود ادغام آو متناهی هستند.

ب) انتگرال در بازه محدود شده است.

اگر حداقل یکی از این شرایط برآورده نشود، انتگرال فراخوانی می شود مال خودت نیست.

اجازه دهید ابتدا انتگرال های نامناسب با محدودیت های بی نهایت انتگرال را در نظر بگیریم.

تعریف. سپس اجازه دهید تابع در بازه تعریف شده و پیوسته باشدو نامحدود در سمت راست (شکل 15).

اگر انتگرال نامناسب همگرا شود، این ناحیه محدود است. اگر انتگرال نامناسب واگرا شود، این ناحیه بی نهایت است.

برنج. 15

یک انتگرال نامناسب با حد پایین بی نهایت ادغام به طور مشابه تعریف می شود:

. (13)

اگر حد در سمت راست برابری (13) وجود داشته باشد و متناهی باشد، این انتگرال همگرا می شود. در غیر این صورت انتگرال واگرا گفته می شود.

یک انتگرال نامناسب با دو حد بی نهایت ادغام به صورت زیر تعریف می شود:

, (14)

جایی که с هر نقطه از بازه است. انتگرال فقط در صورتی همگرا می شود که هر دو انتگرال در سمت راست برابری (14) همگرا شوند.

;

ز) = [یک مربع کامل در مخرج انتخاب کنید: ] = [جایگزینی:

] =

این بدان معنی است که انتگرال نامناسب همگرا می شود و مقدار آن برابر است.

اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی محدود به محور Ox، منحنی y=f(x) و دو خط مستقیم را در نظر بگیریم: x=a و x=b (شکل 85). بیایید مقدار دلخواه x را در نظر بگیریم (فقط نه a و نه b). بیایید به آن افزایشی h = dx بدهیم و نواری را در نظر بگیریم که با خطوط مستقیم AB و CD، محور Ox و کمان BD محدود شده است که متعلق به منحنی مورد بررسی است. ما این نوار را یک نوار ابتدایی می نامیم. مساحت یک نوار ابتدایی با مساحت مستطیل ACQB با مثلث منحنی BQD و مساحت دومی متفاوت است. مساحت کمتر مستطیل BQDM با اضلاع BQ = =h=dx) QD=Ay و مساحت برابر hAy = Ay dx. با کاهش ضلع h، ضلع Du نیز کاهش می یابد و همزمان با h به سمت صفر میل می کند. بنابراین، مساحت BQDM مرتبه دوم بینهایت کوچک است. مساحت یک نوار ابتدایی افزایش مساحت است و مساحت مستطیل ACQB برابر با AB-AC ==/(x) dx> دیفرانسیل مساحت است. در نتیجه، ما خود ناحیه را با ادغام دیفرانسیل آن پیدا می کنیم. در شکل مورد نظر، متغیر مستقل l: از a به b تغییر می کند، بنابراین مساحت مورد نیاز 5 برابر با 5 = \f(x) dx خواهد بود. (I) مثال 1. اجازه دهید مساحت محدود شده توسط سهمی y - 1 -x*، خطوط مستقیم X =--Fj-، x = 1 و محور O* را محاسبه کنیم (شکل 86). در شکل 87. شکل. 86. 1 در اینجا f(x) = 1 - l؟، حدود ادغام a = - و £ = 1 است، بنابراین J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* مثال 2. بیایید مساحت محدود شده توسط سینوسی y = sinXy، محور Ox و خط مستقیم را محاسبه کنیم (شکل 87). با استفاده از فرمول (I)، A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf به دست می آوریم. مثال 3. مساحت محدود شده توسط قوس سینوسی ^у = sin jc، محصور شده را محاسبه کنید. بین دو نقطه تقاطع مجاور با محور Ox (به عنوان مثال، بین مبدا و نقطه با abscissa i). توجه داشته باشید که از ملاحظات هندسی مشخص است که این مساحت دو برابر مساحت مثال قبلی خواهد بود. با این حال، بیایید محاسبات را انجام دهیم: I 5 = | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o در واقع، فرض ما درست بود. مثال 4. مساحت محدود شده توسط سینوسی و محور Ox را در یک دوره محاسبه کنید (شکل 88). محاسبات اولیه نشان می دهد که مساحت چهار برابر بزرگتر از مثال 2 خواهد بود. با این حال، پس از انجام محاسبات، "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x] 0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. این نتیجه نیاز به توضیح دارد. برای روشن شدن اصل موضوع، مساحت محدود شده توسط همان سینوسی y = sin l: و محور Ox را در محدوده l تا 2i نیز محاسبه می کنیم. با استفاده از فرمول (I)، 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 به دست می آوریم. بنابراین، می بینیم که این منطقه منفی شد. با مقایسه آن با مساحت محاسبه شده در تمرین 3، متوجه می شویم که مقادیر مطلق آنها یکسان است، اما علائم متفاوت است. اگر خاصیت V را اعمال کنیم (به فصل XI، § 4 مراجعه کنید)، 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 آنچه در این مثال اتفاق افتاد، تصادفی نیست. همیشه مساحتی که در زیر محور Ox قرار دارد، به شرطی که متغیر مستقل از چپ به راست تغییر کند، هنگام محاسبه با استفاده از انتگرال ها به دست می آید. در این دوره ما همیشه مناطق بدون علامت را در نظر خواهیم گرفت. بنابراین، پاسخ در مثال مورد بحث این خواهد بود: ناحیه مورد نیاز 2 + |-2| است = 4. مثال 5. بیایید مساحت BAB نشان داده شده در شکل را محاسبه کنیم. 89. این ناحیه توسط محور Ox، سهمی y = - xr و خط مستقیم y - = -x+\ محدود می شود. مساحت ذوزنقه منحنی منطقه مورد نیاز OAB از دو بخش OAM و MAV تشکیل شده است. از آنجایی که نقطه A نقطه تقاطع سهمی و خط مستقیم است، مختصات آن را با حل معادلات 3 2 Y = mx خواهیم یافت. (فقط باید ابسیسا نقطه A را پیدا کنیم). با حل سیستم، ما پیدا می کنیم l; = ~ بنابراین، مساحت باید به صورت جزئی محاسبه شود، اول مربع. OAM و سپس pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)