جذر چیست؟
توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")
این مفهوم بسیار ساده است. طبیعی است، من می گویم. ریاضیدانان سعی می کنند برای هر عملی واکنشی بیابند. جمع وجود دارد - تفریق نیز وجود دارد. ضرب وجود دارد - تقسیم نیز وجود دارد. مربع وجود دارد ... پس وجود دارد استخراج ریشه دوم! همین. این اقدام ( ریشه دوم) در ریاضیات با این نماد نشان داده شده است:
خود نماد نامیده می شود یک کلمه زیبا "افراطی".
چگونه ریشه را استخراج کنیم؟بهتر است نگاه کنید مثال ها.
جذر 9 چقدر است؟ کدام عدد مجذور به ما 9 می دهد؟ 3 مربع به ما 9 می دهد! آنهایی که:
اما جذر صفر چیست؟ مشکلی نیست! صفر چه عدد مربعی را می سازد؟ بله صفر میده! به معنای:
فهمیدم، جذر چیست؟سپس در نظر می گیریم مثال ها:
پاسخ ها (به هم ریخته): 6; 1 4; 9; 5.
تصمیم گرفت؟ واقعا چقدر راحت تره؟!
اما... آدم وقتی فلان کار را با ریشه می بیند چه می کند؟
آدم شروع به غمگینی می کند... به سادگی و سبکی ریشه هایش اعتقادی ندارد. اگرچه به نظر می رسد که می داند جذر چیست...
به این دلیل که فرد هنگام مطالعه ریشه چندین نکته مهم را نادیده گرفته است. سپس این مدها انتقام بی رحمانه ای از آزمون ها و امتحانات می گیرند...
نقطه یک شما باید ریشه ها را از روی دید تشخیص دهید!
جذر 49 چقدر است؟ هفت؟ درست! از کجا فهمیدی ساعت هفت است؟ مربع هفت شد و 49 گرفت؟ درست! لطفا توجه داشته باشید که ریشه را استخراج کنیداز 49 ما باید عملیات معکوس را انجام می دادیم - مربع 7! و مطمئن باشید که از دست ندهیم. یا می توانستند از دست بدهند...
این سختی است استخراج ریشه. مربعمی توانید از هر شماره ای بدون مشکل استفاده کنید. یک عدد را در خودش با یک ستون ضرب کنید - همین. اما برای استخراج ریشهچنین فناوری ساده و ایمن وجود ندارد. ما باید سوار کردنپاسخ دهید و با مربع کردن صحیح بودن آن را بررسی کنید.
این فرآیند پیچیده خلاق - انتخاب پاسخ - بسیار ساده می شود اگر شما یاد آوردنمربع اعداد محبوب مثل جدول ضرب. مثلاً اگر باید 4 را در 6 ضرب کنید، چهار را 6 برابر نمی کنید، درست است؟ پاسخ 24 بلافاصله مطرح می شود، اگرچه همه آن را دریافت نمی کنند، بله ...
برای کار آزادانه و موفقیت آمیز با ریشه ها، کافی است مربع اعداد از 1 تا 20 را بدانید. آنجاو بازگشت.آن ها شما باید بتوانید به راحتی هر دو مثلاً 11 و جذر 121 را بخوانید. برای رسیدن به این حفظ، دو راه وجود دارد. اولین مورد یادگیری جدول مربع هاست. این کمک بزرگی در حل مثال ها خواهد بود. دوم حل مثال های بیشتر است. این به شما کمک زیادی می کند تا جدول مربع ها را به خاطر بسپارید.
و بدون ماشین حساب! فقط برای اهداف آزمایشی در غیر این صورت در طول امتحان بی رحمانه سرعت خود را کاهش می دهید ...
بنابراین، جذر چیستو چطور استخراج ریشه- فکر می کنم واضح است. حالا بیایید دریابیم که از چه چیزی می توانیم آنها را استخراج کنیم.
نقطه دو ریشه، من شما را نمی شناسم!
از چه اعدادی می توان جذر گرفت؟ بله، تقریباً هر یک از آنها. راحت تر می توان فهمید که از چه چیزی است ممنوع استآنها را استخراج کنید
بیایید سعی کنیم این ریشه را محاسبه کنیم:
برای این کار باید عددی را انتخاب کنیم که مجذور آن -4 به ما بدهد. انتخاب می کنیم.
چیه، مناسب نیست؟ 2 2 +4 می دهد. (-2) 2 دوباره +4 می دهد! همین... هیچ عددی وجود ندارد که با مجذور آن عدد منفی به ما بدهد! اگرچه من این اعداد را می دانم. اما من به شما نمی گویم). به دانشگاه بروید و خودتان متوجه خواهید شد.
برای هر عدد منفی هم همین داستان اتفاق می افتد. از این رو نتیجه گیری:
عبارتی که در آن یک عدد منفی زیر علامت جذر وجود دارد - معنی ندارد! این یک عمل ممنوع است. به اندازه تقسیم بر صفر حرام است. این واقعیت را محکم به خاطر بسپار!یا به عبارت دیگر:
شما نمی توانید از اعداد منفی جذر مربع استخراج کنید!
اما از بین همه موارد دیگر، ممکن است. به عنوان مثال، محاسبه کاملاً ممکن است
در نگاه اول، این بسیار دشوار است. انتخاب کسرها و مجذور کردن آنها... نگران نباشید. وقتی خواص ریشه ها را درک کنیم، چنین مثال هایی به همان جدول مربع ها کاهش می یابد. زندگی آسان تر خواهد شد!
خوب، کسری. اما هنوز با عباراتی مانند:
خوبه. همه یکسان. جذر دو عددی است که با مجذور شدن دو عدد به ما می دهد. فقط این عدد کاملاً ناهموار است ... اینجاست:
جالب اینجاست که این کسر هرگز تمام نمی شود... چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند. در ریشه های مربع این رایج ترین چیز است. به هر حال، به همین دلیل است که عبارات با ریشه نامیده می شوند غیر منطقی. واضح است که نوشتن چنین کسر نامتناهی همیشه ناخوشایند است. بنابراین به جای کسر نامتناهی آن را به این صورت رها می کنند:
اگر هنگام حل یک مثال، به چیزی رسیدید که قابل استخراج نیست، مانند:
سپس آن را همینطور رها می کنیم. این پاسخ خواهد بود.
شما باید به وضوح معنی نمادها را درک کنید
البته اگر ریشه عدد گرفته شود صاف، باید این کار را انجام دهید. جواب تکلیف مثلاً به شکل است
یک جواب کاملا کامل
و البته، شما باید مقادیر تقریبی را از حافظه بدانید:
این دانش تا حد زیادی به ارزیابی وضعیت در کارهای پیچیده کمک می کند.
نقطه سه حیله گر ترین.
سردرگمی اصلی در کار با ریشه ها از همین نقطه ایجاد می شود. اوست که به توانایی های خودش اطمینان می دهد... بیایید با این نکته درست برخورد کنیم!
ابتدا بیایید دوباره جذر چهار عدد از آنها را بگیریم. آیا قبلاً با این ریشه شما را اذیت کرده ام؟) مهم نیست، حالا جالب خواهد شد!
مربع چه عددی است؟ خوب، دو، دو - من پاسخ های ناراضی می شنوم ...
درست. دو اما همچنین منهای دو 4 می دهد مجذور... در ضمن جواب
درست و جواب
اشتباه فاحش مثل این.
پس قضیه چیه؟
در واقع، (-2) 2 = 4. و تحت تعریف جذر چهار منهای دوکاملا مناسب... این هم جذر چهار است.
ولی! در درس ریاضی مدرسه مرسوم است که جذر را در نظر بگیرند فقط اعداد غیر منفی!یعنی صفر و همه مثبت هستند. حتی یک اصطلاح خاص اختراع شد: از شماره آ- این غیر منفیعددی که مربع آن است آ. نتایج منفی هنگام استخراج یک ریشه مربع حسابی به سادگی کنار گذاشته می شوند. در مدرسه، همه چیز ریشه مربع است - حسابی. اگر چه این مورد به طور خاص ذکر نشده است.
خوب، این قابل درک است. حتی بهتر است - اذیت نکنید نتایج منفی... این هنوز سردرگمی نیست.
سردرگمی با حل معادلات درجه دوم شروع می شود. برای مثال باید معادله زیر را حل کنید.
معادله ساده است، ما پاسخ را می نویسیم (همانطور که آموزش داده شد):
این پاسخ (به هر حال کاملاً صحیح) فقط یک نسخه اختصاری است دوپاسخ می دهد:
ایست ایست! همین بالا نوشتم که جذر یک عدد است همیشهغیر منفی! و این یکی از پاسخ ها است - منفی! اختلال. این اولین (نه آخرین) مشکلی است که باعث بی اعتمادی به ریشه ها می شود... بیایید این مشکل را حل کنیم. بیایید پاسخ ها را (صرفاً برای درک!) اینگونه بنویسیم:
پرانتز اصل پاسخ را تغییر نمی دهد. فقط با براکت جداش کردم نشانه هااز جانب ریشه. حالا به وضوح می بینید که خود ریشه (در پرانتز) هنوز یک عدد غیر منفی است! و نشانه ها هستند نتیجه حل معادله. از این گذشته، هنگام حل هر معادله ای باید بنویسیم همه X هایی که با جایگزین کردن آنها در معادله اصلی، نتیجه صحیح را می دهند. ریشه پنج (مثبت!) با هر دو مثبت و منفی در معادله ما قرار می گیرد.
مثل این. اگر شما فقط جذر را بگیریداز هر چیزی، تو همیشهشما دریافت می کنید یکی غیر منفینتیجه مثلا:
زیرا آن - جذر حسابی.
اما اگر چیزی تصمیم بگیرید معادله درجه دوم، نوع:
که همیشهمعلوم می شود دوپاسخ (با مثبت و منفی):
زیرا این راه حل معادله است.
امید، جذر چیستشما نکات خود را روشن کرده اید. اکنون باقی مانده است که بفهمیم با ریشه ها چه کاری می توان انجام داد، خواص آنها چیست. و چه نکات و مشکلاتی وجود دارد ... متاسفم، سنگ!)
همه اینها در درس های زیر است.
اگر این سایت را دوست دارید ...
به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)
می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)
می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.
فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع
توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")
در درس قبل فهمیدیم که جذر چیست. وقت آن است که بفهمیم کدام یک وجود دارند فرمول های ریشهچه هستند خواص ریشهو با این همه چه می توان کرد.
فرمول های ریشه، خواص ریشه و قوانین کار با ریشه ها- این اساساً همان چیز است. فرمول هایی برای ریشه های مربعبه طرز شگفت انگیزی کم که قطعا من را خوشحال می کند! یا بهتر است بگوییم، می توانید فرمول های مختلف زیادی بنویسید، اما برای کار عملی و مطمئن با ریشه، تنها سه فرمول کافی است. همه چیز دیگر از این سه سرچشمه می گیرد. اگرچه بسیاری از افراد در سه فرمول ریشه گیج می شوند، بله...
بیایید با ساده ترین آن شروع کنیم. او اینجاست:
اگر این سایت را دوست دارید ...
به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)
می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)
می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.
وقت آن است که آن را مرتب کنیم روش های استخراج ریشه. آنها بر اساس خواص ریشه ها، به ویژه، بر برابری هستند، که برای هر یک صادق است عدد منفیب
در زیر روش های اصلی استخراج ریشه را یکی یکی بررسی خواهیم کرد.
بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم - استخراج ریشه از اعداد طبیعی با استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.
اگر جداول مربع، مکعب و غیره اگر آن را در دسترس ندارید، منطقی است که از روش استخراج ریشه استفاده کنید، که شامل تجزیه عدد رادیکال به عوامل اول است.
شایان ذکر است که چه چیزی برای ریشه هایی با توان های فرد امکان پذیر است.
در نهایت، بیایید روشی را در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد ارقام مقدار ریشه را به ترتیب پیدا کنیم.
بیا شروع کنیم.
استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.
در ساده ترین موارد، جداول مربع، مکعب و غیره به شما امکان استخراج ریشه را می دهد. این جداول چیست؟
جدول مربع های اعداد صحیح از 0 تا 99 شامل (نشان داده شده در زیر) از دو ناحیه تشکیل شده است. منطقه اول جدول بر روی یک پس زمینه خاکستری قرار دارد، با انتخاب یک ردیف خاص و یک ستون خاص، به شما امکان می دهد یک عدد از 0 تا 99 بنویسید. برای مثال، بیایید یک ردیف 8 ده تایی و یک ستون 3 واحدی را انتخاب کنیم، با این کار عدد 83 را ثابت کردیم. منطقه دوم بقیه جدول را اشغال می کند. هر سلول در تقاطع یک ردیف خاص و یک ستون خاص قرار دارد و شامل مربع عدد مربوطه از 0 تا 99 است. در تقاطع ردیف انتخابی ما از 8 ده و ستون 3 از یک، سلولی با شماره 6889 وجود دارد که مربع عدد 83 است.
جداول مکعب ها، جداول توان های چهارم اعداد از 0 تا 99 و ... شبیه جدول مربع ها هستند، فقط در منطقه دوم حاوی مکعب ها، قدرت های چهارم و غیره هستند. اعداد مربوطه
جداول مربع، مکعب، قدرت چهارم و غیره به شما امکان استخراج ریشه های مربع، ریشه های مکعبی، ریشه های چهارم و غیره را می دهد. بر این اساس از اعداد این جداول. اجازه دهید اصل استفاده از آنها را در هنگام استخراج ریشه توضیح دهیم.
فرض کنید باید ریشه n عدد a را استخراج کنیم، در حالی که عدد a در جدول توان های n موجود است. با استفاده از این جدول عدد b را به گونه ای می یابیم که a=b n. سپس 
بنابراین عدد b ریشه مورد نظر درجه n خواهد بود.
به عنوان مثال، بیایید نحوه استفاده از جدول مکعبی برای استخراج ریشه مکعب 19683 را نشان دهیم. عدد 19683 را در جدول مکعب ها می یابیم، از آن در می یابیم که این عدد مکعب عدد 27 است، بنابراین، 
.
واضح است که جداول توان های n برای استخراج ریشه بسیار راحت هستند. با این حال، آنها اغلب در دسترس نیستند و تدوین آنها نیاز به زمان دارد. علاوه بر این، اغلب لازم است که ریشه ها را از اعدادی که در جداول مربوطه موجود نیستند استخراج کنید. در این موارد باید به روش های دیگر ریشه یابی متوسل شوید.
فاکتورگیری یک عدد رادیکال به عوامل اول
یک راه نسبتاً راحت برای استخراج ریشه یک عدد طبیعی (البته اگر ریشه استخراج شود) این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تجزیه کنید. خود نکته این است: پس از آن بسیار آسان است که آن را به عنوان یک توان با توان مورد نظر نشان دهید، که به شما امکان می دهد مقدار ریشه را بدست آورید. اجازه دهید این نکته را روشن کنیم.
ریشه n ام یک عدد طبیعی a گرفته شود و مقدار آن برابر b باشد. در این حالت برابری a=b n درست است. عدد b را مانند هر عدد طبیعی می توان به صورت حاصلضرب تمام عوامل اول آن p 1 , p 2 , ..., p m به شکل p 1 · p 2 · ... · p m و عدد رادیکال a در این مورد نشان داد. به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n نشان داده می شود. از آنجایی که تجزیه یک عدد به عوامل اول منحصر به فرد است، تجزیه عدد رادیکال a به ضرایب اول به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n خواهد بود که محاسبه مقدار ریشه را ممکن می کند. مانند.
توجه داشته باشید که اگر تجزیه به عوامل اول یک عدد رادیکال a را نتوان به شکل (p 1 · p 2 · … · p m) n نشان داد، آنگاه ریشه n چنین عددی a به طور کامل استخراج نمی شود.
بیایید در هنگام حل مثال ها این را بفهمیم.
مثال.
جذر 144 را بگیرید.
راه حل.
اگر به جدول مربع های ارائه شده در پاراگراف قبل نگاه کنید، به وضوح می بینید که 144 = 12 2، که از آن مشخص است که جذر 144 برابر با 12 است.
اما با توجه به این نکته، ما به چگونگی استخراج ریشه با تجزیه عدد رادیکال 144 به عوامل اول علاقه مندیم. بیایید به این راه حل نگاه کنیم.
تجزیه کنیم 144 تا عوامل اول:
یعنی 144=2·2·2·2·3·3. بر اساس تجزیه حاصل، تبدیلات زیر را می توان انجام داد: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. از این رو، 
.
با استفاده از خواص درجه و خواص ریشه، می توان راه حل را کمی متفاوت فرموله کرد: .
پاسخ:
برای تجمیع مطالب، راه حل های دو مثال دیگر را در نظر بگیرید.
مثال.
مقدار ریشه را محاسبه کنید.
راه حل.
فاکتورسازی اول عدد رادیکال 243 به شکل 243=3 5 است. بدین ترتیب، 
.
پاسخ:
مثال.
آیا مقدار ریشه یک عدد صحیح است؟
راه حل.
برای پاسخ به این سوال، بیایید عدد رادیکال را به فاکتورهای اول تبدیل کنیم و ببینیم که آیا می توان آن را به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد یا خیر.
ما 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 داریم. بسط حاصل به عنوان یک مکعب از یک عدد صحیح نشان داده نمی شود، زیرا درجه است عامل اصلی 7 مضرب سه نیست. بنابراین، ریشه مکعب 285768 را نمی توان به طور کامل استخراج کرد.
پاسخ:
خیر
استخراج ریشه از اعداد کسری
وقت آن است که بفهمیم چگونه ریشه یک عدد کسری را استخراج کنیم. بگذارید عدد رادیکال کسری به صورت p/q نوشته شود. با توجه به خاصیت ریشه یک ضریب برابری زیر صادق است. از این برابری بر می آید قانون استخراج ریشه کسری: ریشه کسری برابر است با نصاب ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج.
بیایید به مثالی از استخراج ریشه از کسری نگاه کنیم.
مثال.
جذر آن چیست؟ کسر مشترک 25/169 .
راه حل.
با استفاده از جدول مربع ها متوجه می شویم که جذر صورت کسر اصلی برابر با 5 و جذر مخرج برابر با 13 است. سپس 
. این استخراج ریشه کسر مشترک 25/169 را کامل می کند.
پاسخ:
ریشه یک کسر اعشاری یا عدد مختلط پس از جایگزینی اعداد رادیکال با کسرهای معمولی استخراج می شود.
مثال.
ریشه مکعب کسر اعشاری 474.552 را بگیرید.
راه حل.
بیایید اصل را تصور کنیم اعشاریبه عنوان کسر مشترک: 474.552=474552/1000. سپس 
. باقی مانده است که ریشه های مکعبی را که در صورت و مخرج کسری به دست آمده است استخراج کنیم. زیرا 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 و 1 000 = 10 3، سپس 
و 
. تنها چیزی که باقی می ماند تکمیل محاسبات است 
.
پاسخ:
.
ریشه گرفتن یک عدد منفی
شایان ذکر است که در استخراج ریشه ها از اعداد منفی صحبت کنیم. هنگام مطالعه ریشه ها گفتیم که وقتی توان ریشه یک عدد فرد باشد، می تواند زیر علامت ریشه یک عدد منفی وجود داشته باشد. ما به این ورودی ها معنی زیر دادیم: برای یک عدد منفی -a و یک توان فرد از ریشه 2 n-1، 
. این برابری می دهد قانون استخراج ریشه های فرد از اعداد منفی: برای استخراج ریشه یک عدد منفی باید ریشه عدد مثبت مقابل را بگیرید و جلوی نتیجه آن علامت منفی قرار دهید.
بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.
مثال.
مقدار ریشه را پیدا کنید.
راه حل.
بیایید عبارت اصلی را طوری تبدیل کنیم که زیر علامت ریشه یک عدد مثبت وجود داشته باشد: 
. اکنون شماره های درهمآن را با یک کسر معمولی جایگزین کنید: 
. ما قانون استخراج ریشه یک کسر معمولی را اعمال می کنیم: 
. باقی مانده است که ریشه ها را در صورت و مخرج کسر حاصل محاسبه کنیم: 
.
در اینجا خلاصه ای کوتاه از راه حل آورده شده است: 
.
پاسخ:
.
تعیین مقدار ریشه به صورت بیتی
در حالت کلی، در زیر ریشه یک عدد وجود دارد که با استفاده از تکنیک های مورد بحث در بالا، نمی توان آن را به عنوان توان n هر عددی نشان داد. اما در این مورد نیاز به دانستن معنای یک ریشه معین، حداقل تا یک علامت خاص وجود دارد. در این مورد، برای استخراج ریشه، می توانید از الگوریتمی استفاده کنید که به شما امکان می دهد به طور متوالی تعداد کافی از مقادیر رقمی عدد مورد نظر را بدست آورید.
در اولین پله از این الگوریتمشما باید دریابید که مهمترین بیت از مقدار ریشه چیست. برای انجام این کار، اعداد 0، 10، 100، ... به ترتیب به توان n افزایش می یابند تا لحظه ای که عددی از عدد رادیکال بیشتر شود. سپس عددی که در مرحله قبل به توان n رساندیم نشان دهنده مهم ترین رقم مربوطه خواهد بود.
برای مثال، هنگام استخراج جذر پنج، این مرحله از الگوریتم را در نظر بگیرید. اعداد 0، 10، 100، ... را می گیریم و آنها را مربع می کنیم تا عددی بزرگتر از 5 به دست آوریم. ما 0 2 = 0 داریم<5 , 10 2 =100>5، به این معنی که مهم ترین رقم، رقم یکان خواهد بود. مقدار این بیت و همچنین مقادیر پایین تر در مراحل بعدی الگوریتم استخراج ریشه پیدا می شود.
تمام مراحل بعدی الگوریتم با هدف روشن کردن متوالی ارزش ریشه با یافتن مقادیر بیت های بعدی از مقدار مورد نظر ریشه، شروع از بالاترین و حرکت به پایین ترین آنها، انجام می شود. به عنوان مثال، مقدار ریشه در مرحله اول 2، در مرحله دوم - 2.2، در مرحله سوم - 2.23 و به همین ترتیب 2.236067977 به نظر می رسد. اجازه دهید نحوه یافتن مقادیر بیت ها را شرح دهیم.
ارقام با جستجو در آنها پیدا می شوند مقادیر ممکن 0، 1، 2، …، 9. در این حالت، توان های n اعداد مربوطه به صورت موازی محاسبه شده و با عدد رادیکال مقایسه می شوند. اگر در مرحله ای مقدار درجه از عدد رادیکال تجاوز کند، آنگاه مقدار رقم مربوط به مقدار قبلی پیدا شده در نظر گرفته می شود و اگر این اتفاق نیفتد، انتقال به مرحله بعدی الگوریتم استخراج ریشه انجام می شود. پس مقدار این رقم 9 است.
اجازه دهید این نکات را با استفاده از همان مثال استخراج جذر پنج توضیح دهیم.
ابتدا مقدار عدد واحد را پیدا می کنیم. مقادیر 0، 1، 2، ...، 9 را به ترتیب با محاسبه 0 2، 1 2، ...، 9 2 طی می کنیم تا زمانی که مقداری بزرگتر از عدد رادیکال 5 به دست آوریم. ارائه تمام این محاسبات در قالب یک جدول راحت است: 
بنابراین مقدار رقم واحد 2 است (از 2 2<5
, а 2 3 >5). بیایید به سراغ یافتن ارزش مکان دهم برویم. در این حالت، اعداد 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9 را مربع می کنیم و مقادیر حاصل را با عدد رادیکال 5 مقایسه می کنیم: 
از 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5، سپس مقدار مکان دهم 2 است. می توانید برای یافتن مقدار مکان صدم ادامه دهید: 
به این ترتیب مقدار بعدی ریشه پنج پیدا شد که برابر با 2.23 است. و بنابراین می توانید به یافتن مقادیر ادامه دهید: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
برای تجمیع مطالب، استخراج ریشه را با دقت صدم با استفاده از الگوریتم در نظر گرفته شده تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
ابتدا مهم ترین رقم را تعیین می کنیم. برای این کار اعداد 0، 10، 100 و ... را مکعب می کنیم. تا زمانی که عددی بزرگتر از 2,151,186 بدست آوریم. ما 0 3 = 0 داریم<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186، بنابراین مهم ترین رقم رقم ده ها است.
بیایید ارزش آن را تعیین کنیم. 
از 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186، سپس مقدار مکان ده ها 1 است. بریم سراغ واحدها. 
بنابراین، مقدار یکان رقم 2 است. بریم سراغ دهمین. 
از آنجایی که حتی 12.9 3 کمتر از عدد رادیکال 2 151.186 است، پس مقدار مکان دهم 9 است. باقی مانده است که آخرین مرحله الگوریتم را انجام دهیم، مقدار ریشه را با دقت لازم به ما می دهد. 
در این مرحله، مقدار ریشه به صدم مشخص می شود: 
.
در پایان این مقاله، می خواهم بگویم که راه های زیادی برای استخراج ریشه وجود دارد. اما برای اکثر وظایف، مواردی که در بالا مطالعه کردیم کافی هستند.
کتابشناسی - فهرست کتب.
- Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
- Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
- گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).
جذر غیر منفی یک عدد مثبت نامیده می شود جذر حسابیو با علامت رادیکال مشخص می شود.
اعداد مختلط
در میدان اعداد مختلط همیشه دو راه حل وجود دارد که فقط در علامت متفاوت هستند (به استثنای جذر صفر). ریشه یک عدد مختلط اغلب با علامت نشان داده می شود، اما این نماد باید با دقت استفاده شود. اشتباه رایج:
برای استخراج جذر یک عدد مختلط، استفاده از شکل نمایی نوشتن یک عدد مختلط راحت است: اگر
,
,
که در آن ریشه مدول به معنای یک مقدار حسابی درک می شود، و k می تواند مقادیر k=0 و k=1 را بگیرد، بنابراین پاسخ به دو نتیجه متفاوت ختم می شود.
تعمیم ها
ریشه های مربع به عنوان راه حل معادلات شکل برای اشیاء دیگر معرفی می شوند: ماتریس ها، توابع، عملگرها، و غیره. عملیات ضربی کاملا دلخواه را می توان به عنوان یک عملیات استفاده کرد، به عنوان مثال، برهم نهی.
ریشه مربع در علوم کامپیوتر
در بسیاری از زبان های برنامه نویسی سطح تابع (و همچنین زبان های نشانه گذاری مانند LaTeX)، تابع ریشه مربع به صورت نوشته می شود. sqrt(از انگلیسی ریشه دوم"ریشه دوم").
الگوریتم های پیدا کردن جذر
به یافتن یا محاسبه جذر یک عدد داده شده گفته می شود استخراج(ریشه دوم.
گسترش سری تیلور
در .جذر حسابی
برای مربع های اعداد تساوی های زیر درست است:
یعنی با کم کردن تمام اعداد فرد به ترتیب تا زمانی که باقیمانده از عدد کم شده بعدی کمتر یا برابر با صفر شود و تعداد اعمال انجام شده را بشمارید، می توانید به قسمت صحیح جذر یک عدد پی ببرید. به عنوان مثال، مانند این:
3 مرحله تکمیل شد، جذر 9 برابر 3 است.
عیب این روش این است که اگر ریشه استخراج شده یک عدد صحیح نباشد، فقط می توانید تمام قسمت آن را پیدا کنید، اما نه دقیق تر. در عین حال، این روش برای کودکانی که مسائل ساده ریاضی را که نیاز به استخراج ریشه دوم دارند، حل می کنند، کاملاً قابل دسترسی است.
آمار تقریبی
الگوریتم های زیادی برای محاسبه جذرهای یک عدد واقعی مثبت اسنیاز به مقدار اولیه دارد. اگر مقدار اولیه از مقدار واقعی ریشه خیلی دور باشد، محاسبات کندتر می شوند. بنابراین، داشتن یک تخمین تقریبی مفید است، که ممکن است بسیار مبهم باشد، اما محاسبه آن آسان است. اگر اس≥ 1، اجازه دهید دیتعداد ارقام خواهد بود اسسمت چپ نقطه اعشار اگر اس < 1, пусть دیتعداد صفرهای متوالی در سمت راست نقطه اعشار خواهد بود که با علامت منفی گرفته می شود. سپس تخمین تقریبی به صورت زیر است:
اگر دیفرد، دی = 2n+ 1، سپس استفاده کنید 
اگر دیزوج، دی = 2n+ 2، سپس استفاده کنید 
دو و شش استفاده می شود زیرا 
و
هنگام کار در یک سیستم باینری (مانند کامپیوترها)، باید از ارزیابی متفاوتی استفاده شود (اینجا دیتعداد ارقام باینری است).
جذر هندسی
برای استخراج دستی ریشه، از نمادی شبیه به تقسیم طولانی استفاده می شود. عددی که به دنبال ریشه آن هستیم، نوشته شده است. در سمت راست آن به تدریج اعداد ریشه مورد نظر را بدست می آوریم. بیایید ریشه یک عدد را با تعداد اعشار متناهی بگیریم. برای شروع، به صورت ذهنی یا با علامت، عدد N را به گروه های دو رقمی در سمت چپ و سمت راست نقطه اعشار تقسیم می کنیم. در صورت لزوم، گروه ها با صفر پر می شوند - قسمت عدد صحیح در سمت چپ و قسمت کسری در سمت راست قرار می گیرد. بنابراین 31234.567 را می توان به عنوان 03 12 34 نشان داد. 56 70. بر خلاف تقسیم، تخریب در چنین گروه های 2 رقمی انجام می شود.
توضیح تصویری الگوریتم:
دانش آموزان همیشه می پرسند: "چرا نمی توانم از ماشین حساب در امتحان ریاضی استفاده کنم؟ چگونه جذر یک عدد را بدون ماشین حساب استخراج کنیم؟ بیایید سعی کنیم به این سوال پاسخ دهیم.
چگونه جذر یک عدد را بدون کمک ماشین حساب استخراج کنیم؟
عمل ریشه دوممعکوس عمل مربع کردن
√81= 9 9 2 =81
اگر جذر یک عدد مثبت را بگیرید و حاصل را مربع کنید، همان عدد را بدست می آورید.
از اعداد کوچکی که مجذورات دقیق اعداد طبیعی هستند، مثلاً 1، 4، 9، 16، 25، ...، 100 می توان ریشه های مربع را به صورت شفاهی استخراج کرد. معمولاً در مدرسه جدول مربع های اعداد طبیعی تا بیست را آموزش می دهند. با دانستن این جدول، به راحتی می توان از اعداد 121،144، 169، 196، 225، 256، 289، 324، 361، 400 ریشه های مربع استخراج کرد. از اعداد بزرگتر از 400 می توانید با استفاده از روش انتخاب، آنها را استخراج کنید. بیایید سعی کنیم با یک مثال به این روش نگاه کنیم.
مثال: ریشه عدد 676 را استخراج کنید.
متوجه می شویم که 20 2 = 400، و 30 2 = 900، که به معنای 20 است.< √676 < 900.
مربع های دقیق اعداد طبیعی به 0 ختم می شوند. 1 4; 5 6; 9.
عدد 6 با 4 2 و 6 2 داده می شود.
یعنی اگر ریشه از 676 گرفته شود، 24 یا 26 است.
باقی مانده است که بررسی کنید: 24 2 = 576، 26 2 = 676.
پاسخ: √676 = 26 .
بیشتر مثال: √6889 .
از آنجایی که 80 2 = 6400، و 90 2 = 8100، سپس 80< √6889 < 90.
عدد 9 با 3 2 و 7 2 داده می شود، سپس √6889 برابر است با 83 یا 87.
بیایید بررسی کنیم: 83 2 = 6889.
پاسخ: √6889 = 83 .
اگر حل با استفاده از روش انتخاب برایتان دشوار است، می توانید عبارت رادیکال را فاکتور بگیرید.
مثلا، √893025 را پیدا کنید.
بیایید عدد 893025 را فاکتور کنیم، به یاد داشته باشید، شما این کار را در کلاس ششم انجام دادید.
دریافت می کنیم: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
بیشتر مثال: √20736. بیایید عدد 20736 را فاکتور کنیم:
ما √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 بدست می آوریم.
البته فاکتورسازی مستلزم دانش علائم تقسیم پذیری و مهارت فاکتورسازی است.
و در نهایت، وجود دارد قانون استخراج ریشه های مربع. با مثال هایی با این قانون آشنا می شویم.
√279841 را محاسبه کنید.
برای استخراج ریشه یک عدد صحیح چند رقمی، آن را از راست به چپ به صورت هایی که دارای 2 رقم هستند تقسیم می کنیم (لبه سمت چپ ممکن است دارای یک رقم باشد). ما آن را اینگونه می نویسیم: 27’98’41
برای به دست آوردن اولین رقم ریشه (5)، جذر بزرگترین مربع کامل موجود در وجه اول سمت چپ (27) را می گیریم.
سپس مربع اولین رقم ریشه (25) از وجه اول کم می شود و وجه بعدی (98) به اختلاف اضافه می شود (کاهش).
در سمت چپ عدد حاصل 298، دو رقم ریشه (10) را بنویسید، تعداد تمام ده‌ها عدد قبلی (29/2 ≈ 2) را بر آن تقسیم کنید، ضریب را آزمایش کنید (102 ∙ 2 = 204). نباید بیشتر از 298 باشد و (2) را بعد از اولین رقم ریشه بنویسید.
سپس ضریب 204 حاصل از 298 کم می شود و یال بعدی (41) به اختلاف (94) اضافه می شود.
در سمت چپ عدد 9441 حاصل، حاصل ضرب دو رقمی ریشه (52 ∙2 = 104) را بنویسید، تعداد تمام ده‌های عدد 9441 (944/104 ≈ 9) را بر این حاصل تقسیم کنید، ضریب (1049 ∙9 = 9441) باید 9441 باشد و آن را (9) بعد از رقم دوم ریشه یادداشت کنید.
پاسخ √279841 = 529 را دریافت کردیم.
به همین ترتیب استخراج کنید ریشه اعشار. فقط عدد رادیکال باید به صورت تقسیم شود تا کاما بین چهره ها باشد.
مثال. مقدار √0.00956484 را پیدا کنید.
فقط به یاد داشته باشید که اگر یک کسر اعشاری دارای تعداد فرد اعشار باشد، جذر آن را نمی توان از آن استخراج کرد.
بنابراین اکنون سه راه برای استخراج ریشه مشاهده کرده اید. مناسب ترین مورد را انتخاب کنید و تمرین کنید. برای یادگیری حل مشکلات، باید آنها را حل کنید. و اگر سوالی دارید، در درس های من ثبت نام کنید.
وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.