نمونه های نظریه ریشه مربع استخراج جذر

جذر چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

این مفهوم بسیار ساده است. طبیعی است، من می گویم. ریاضیدانان سعی می کنند برای هر عملی واکنشی بیابند. جمع وجود دارد - تفریق نیز وجود دارد. ضرب وجود دارد - تقسیم نیز وجود دارد. مربع وجود دارد ... پس وجود دارد استخراج ریشه دوم! همین. این اقدام ( ریشه دوم) در ریاضیات با این نماد نشان داده شده است:

خود نماد نامیده می شود یک کلمه زیبا "افراطی".

چگونه ریشه را استخراج کنیم؟بهتر است نگاه کنید مثال ها.

جذر 9 چقدر است؟ کدام عدد مربع به ما 9 می دهد؟ 3 مربع به ما 9 می دهد! آنهایی که:

اما جذر صفر چیست؟ مشکلی نیست! صفر چه عدد مربعی را می سازد؟ بله صفر میده! به معنای:

فهمیدم، جذر چیست؟سپس در نظر می گیریم مثال ها:

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; 1 4; 9; 5.

تصمیم گرفت؟ واقعا چقدر راحت تره؟!

اما... آدم وقتی فلان کار را با ریشه می بیند چه می کند؟

آدم شروع به غمگینی می کند... به سادگی و سبکی ریشه هایش اعتقادی ندارد. اگرچه به نظر می رسد که می داند جذر چیست...

به این دلیل که فرد هنگام مطالعه ریشه چندین نکته مهم را نادیده گرفته است. سپس این مدها انتقام بی رحمانه ای از آزمون ها و امتحانات می گیرند...

نقطه یک شما باید ریشه ها را از روی دید تشخیص دهید!

جذر 49 چقدر است؟ هفت؟ درست! از کجا فهمیدی ساعت هفت است؟ مربع هفت شد و 49 گرفت؟ درست! لطفا توجه داشته باشید که ریشه را استخراج کنیداز 49 ما باید عملیات معکوس را انجام می دادیم - مربع 7! و مطمئن باشید که از دست ندهیم. یا می توانستند از دست بدهند...

این سختی است استخراج ریشه. مربعشما می توانید از هر شماره ای بدون هیچ مشکلی استفاده کنید. یک عدد را در خودش با یک ستون ضرب کنید - همین. اما برای استخراج ریشهچنین فناوری ساده و ایمن وجود ندارد. ما باید سوار کردنپاسخ دهید و با مربع کردن صحیح بودن آن را بررسی کنید.

این فرآیند پیچیده خلاق - انتخاب پاسخ - بسیار ساده می شود اگر شما یاد آوردنمربع اعداد محبوب مثل جدول ضرب. مثلاً اگر باید 4 را در 6 ضرب کنید، چهار را 6 برابر نمی کنید، درست است؟ پاسخ 24 بلافاصله مطرح می شود، اگرچه همه آن را دریافت نمی کنند، بله ...

برای کار آزادانه و موفقیت آمیز با ریشه ها، کافی است مربع اعداد از 1 تا 20 را بدانید. آنجاو بازگشت.آن ها شما باید بتوانید به راحتی هر دو مثلاً 11 و جذر 121 را بخوانید. برای رسیدن به این حفظ، دو راه وجود دارد. اولین مورد یادگیری جدول مربع هاست. این کمک بزرگی در حل مثال ها خواهد بود. دوم حل مثال های بیشتر است. این به شما کمک زیادی می کند تا جدول مربع ها را به خاطر بسپارید.

و بدون ماشین حساب! فقط برای اهداف آزمایشی در غیر این صورت در طول امتحان بی رحمانه سرعت خود را کاهش می دهید ...

بنابراین، جذر چیستو چطور استخراج ریشه- فکر می کنم واضح است. حالا بیایید دریابیم که از چه چیزی می توانیم آنها را استخراج کنیم.

نقطه دو ریشه، من شما را نمی شناسم!

از چه اعدادی می توان جذر گرفت؟ بله، تقریباً هر کدام از آنها. راحت تر می توان فهمید که از چه چیزی است ممنوع استآنها را استخراج کنید

بیایید سعی کنیم این ریشه را محاسبه کنیم:

برای این کار باید عددی را انتخاب کنیم که مجذور آن -4 به ما بدهد. انتخاب می کنیم.

چیه، مناسب نیست؟ 2 2 +4 می دهد. (-2) 2 دوباره +4 می دهد! همین... هیچ عددی وجود ندارد که با مجذور شدن، به ما بدهد یک عدد منفی! اگرچه من این اعداد را می دانم. اما من به شما نمی گویم). به دانشگاه بروید و خودتان متوجه خواهید شد.

برای هر عدد منفی هم همین داستان اتفاق می افتد. از این رو نتیجه گیری:

عبارتی که در آن یک عدد منفی زیر علامت جذر وجود دارد - معنی ندارد! این یک عمل ممنوع است. به اندازه تقسیم بر صفر حرام است. این واقعیت را محکم به خاطر بسپار!یا به عبارت دیگر:

شما نمی توانید از اعداد منفی جذر مربع استخراج کنید!

اما از بین همه موارد دیگر، ممکن است. به عنوان مثال، محاسبه کاملاً ممکن است

در نگاه اول، این بسیار دشوار است. انتخاب کسرها و مجذور کردن آنها... نگران نباشید. وقتی خواص ریشه ها را درک کنیم، چنین مثال هایی به همان جدول مربع ها کاهش می یابد. زندگی آسان تر خواهد شد!

خوب، کسری. اما هنوز با عباراتی مانند:

خوبه. همه یکسان. جذر دو عددی است که با مجذور شدن دو عدد به ما می دهد. فقط این عدد کاملاً ناهموار است ... اینجاست:

جالب اینجاست که این کسر هرگز تمام نمی شود... چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند. در ریشه های مربع این رایج ترین چیز است. به هر حال، به همین دلیل است که عبارات با ریشه نامیده می شوند غیر منطقی. واضح است که نوشتن چنین کسر نامتناهی همیشه ناخوشایند است. بنابراین به جای کسر نامتناهی آن را به این صورت رها می کنند:

اگر هنگام حل یک مثال، به چیزی رسیدید که قابل استخراج نیست، مانند:

سپس آن را همینطور رها می کنیم. این پاسخ خواهد بود.

شما باید به وضوح معنی نمادها را درک کنید

البته اگر ریشه عدد گرفته شود صاف، باید این کار را انجام دهید. جواب تکلیف مثلاً به شکل است

یک جواب کاملا کامل

و البته، شما باید مقادیر تقریبی را از حافظه بدانید:

این دانش تا حد زیادی به ارزیابی وضعیت در کارهای پیچیده کمک می کند.

نقطه سه حیله گر ترین.

سردرگمی اصلی در کار با ریشه ها از همین نقطه ایجاد می شود. اوست که به توانایی های خودش اطمینان می دهد... بیایید با این نکته درست برخورد کنیم!

ابتدا بیایید دوباره جذر چهار عدد از آنها را بگیریم. آیا قبلاً با این ریشه شما را اذیت کرده ام؟) مهم نیست، حالا جالب خواهد شد!

4 چه عددی را مربع می کند؟ خوب، دو، دو - من پاسخ های ناراضی می شنوم ...

درست. دو اما همچنین منهای دو 4 می دهد مجذور... در ضمن جواب

درست و جواب

اشتباه فاحش مثل این.

پس قضیه چیه؟

در واقع، (-2) 2 = 4. و تحت تعریف جذر چهار منهای دوکاملا مناسب... این هم جذر چهار است.

ولی! در درس ریاضی مدرسه مرسوم است که جذر را در نظر بگیرند فقط اعداد غیر منفی!یعنی صفر و همه مثبت. حتی یک اصطلاح خاص اختراع شد: از شماره آ- این غیر منفیعددی که مربع آن است آ. نتایج منفی هنگام استخراج یک جذر حسابی به سادگی کنار گذاشته می شوند. در مدرسه، همه چیز ریشه مربع است - حسابی. اگر چه این مورد به طور خاص ذکر نشده است.

خوب، این قابل درک است. حتی بهتر است - اذیت نکنید نتایج منفی... این هنوز سردرگمی نیست.

سردرگمی با حل معادلات درجه دوم شروع می شود. برای مثال باید معادله زیر را حل کنید.

معادله ساده است، ما پاسخ را می نویسیم (همانطور که آموزش داده شد):

این پاسخ (به هر حال کاملاً صحیح) فقط یک نسخه اختصاری است دوپاسخ می دهد:

ایست ایست! همین بالا نوشتم که جذر یک عدد است همیشهغیر منفی! و این یکی از پاسخ ها است - منفی! اختلال. این اولین (نه آخرین) مشکلی است که باعث بی اعتمادی به ریشه ها می شود... بیایید این مشکل را حل کنیم. بیایید پاسخ ها را (صرفاً برای درک!) اینگونه بنویسیم:

پرانتز اصل پاسخ را تغییر نمی دهد. فقط با براکت جداش کردم نشانه هااز جانب ریشه. حالا به وضوح می بینید که خود ریشه (در پرانتز) هنوز یک عدد غیر منفی است! و نشانه ها هستند نتیجه حل معادله. از این گذشته، هنگام حل هر معادله ای باید بنویسیم همه X هایی که با جایگزین کردن آنها در معادله اصلی، نتیجه صحیح را می دهند. ریشه پنج (مثبت!) با هر دو مثبت و منفی در معادله ما قرار می گیرد.

مثل این. اگر شما فقط جذر را بگیریداز هر چیزی، تو همیشهشما دریافت می کنید یکی غیر منفینتیجه مثلا:

زیرا آن - جذر حسابی.

اما اگر چیزی تصمیم بگیرید معادله درجه دوم، نوع:

که همیشهمعلوم می شود دوپاسخ (با مثبت و منفی):

زیرا این راه حل معادله است.

امید، جذر چیستشما نکات خود را روشن کرده اید. اکنون باقی مانده است که بفهمیم با ریشه ها چه کاری می توان انجام داد، خواص آنها چیست. و چه نکات و مشکلاتی وجود دارد ... متاسفم، سنگ!)

همه اینها در درس های زیر است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

واقعیت 1.
\(\bullet\) بیایید مقداری غیر منفی \(a\) (یعنی \(a\geqslant 0\)) را در نظر بگیریم. سپس (حساب) ریشه دوماز عدد \(a\) چنین عدد غیر منفی \(b\) نامیده می شود، وقتی مربع شود عدد \(a\) را بدست می آوریم: \[\sqrt a=b\quad \text(همانند)\quad a=b^2\]از تعریف بر می آید که \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). این محدودیت ها هستند یک شرط مهموجود یک جذر و آنها را باید به خاطر داشت!
به یاد بیاورید که هر عددی که مجذور شود یک نتیجه غیر منفی می دهد. یعنی \(100^2=10000\geqslant 0\) و \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) برابر چیست؟ می دانیم که \(5^2=25\) و \((-5)^2=25\) . از آنجایی که طبق تعریف باید یک عدد غیر منفی پیدا کنیم، پس \(-5\) مناسب نیست، بنابراین، \(\sqrt(25)=5\) (از آنجا که \(25=5^2\) ).
یافتن مقدار \(\sqrt a\) را گرفتن جذر عدد \(a\) و عدد \(a\) را عبارت رادیکال می نامند.
\(\bullet\) بر اساس تعریف، عبارت \(\sqrt(-25)\)، \(\sqrt(-4)\) و غیره. منطقی نیست

واقعیت 2.
برای محاسبات سریع، یادگیری جدول مربع های اعداد طبیعی از \(1\) تا \(20\) مفید خواهد بود: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end(آرایه)\]

واقعیت 3.
چه عملیاتی را می توان با ریشه های مربع انجام داد؟
\(\گلوله\) جمع یا تفاوت ریشه های مربعبا جذر مجموع یا تفاوت برابر نیست، یعنی \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]بنابراین، اگر برای مثال نیاز به محاسبه \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) دارید، ابتدا باید مقادیر \(\sqrt(25)\) و \(\ را پیدا کنید. sqrt(49)\ ) و سپس آنها را تا کنید. از این رو، \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] اگر مقادیر \(\sqrt a\) یا \(\sqrt b\) در هنگام اضافه کردن \(\sqrt a+\sqrt b\) یافت نشد، چنین عبارتی بیشتر تبدیل نمی شود و همانطور که هست باقی می ماند. برای مثال، در مجموع \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) می‌توانیم پیدا کنیم \(\sqrt(49)\) \(7\) است، اما \(\sqrt 2\) را نمی‌توان در به هر حال، به همین دلیل است \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). متأسفانه، این عبارت را نمی توان بیشتر ساده کرد\(\bullet\) حاصل ضرب/ضریب ریشه های مربع برابر است با جذر حاصلضرب/ضریب، یعنی \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (مشروط بر اینکه دو طرف برابری معنا داشته باشد)
مثال: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) با استفاده از این ویژگی ها، یافتن ریشه های مربع راحت است اعداد بزرگبا فاکتورگیری آنها
بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید \(\sqrt(44100)\) را پیدا کنیم. از آنجایی که \(44100:100=441\) ، سپس \(44100=100\cdot 441\) . با توجه به معیار تقسیم پذیری عدد \(441\) بر \(9\) بخش پذیر است (چون مجموع ارقام آن 9 است و بر 9 بخش پذیر است) بنابراین \(441:9=49\) یعنی \(441=9\ cdot 49\) .
بنابراین ما دریافتیم: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3)) = \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) بیایید نحوه وارد کردن اعداد زیر علامت جذر را با استفاده از مثال عبارت \(5\sqrt2\) (نشان کوتاه برای عبارت \(5\cdot \sqrt2\)) نشان دهیم. از آنجایی که \(5=\sqrt(25)\) پس \ همچنین توجه داشته باشید که برای مثال،
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

چرا اینطور است؟ بیایید با استفاده از مثال 1 توضیح دهیم). همانطور که قبلاً فهمیدید، ما نمی توانیم به نحوی عدد \(\sqrt2\) را تغییر دهیم. بیایید تصور کنیم که \(\sqrt2\) مقداری \(a\) است. بر این اساس، عبارت \(\sqrt2+3\sqrt2\) چیزی بیش از \(a+3a\) نیست (یک عدد \(a\) به اضافه سه عدد دیگر از همان اعداد \(a\)). و می دانیم که این برابر با چهار عدد از جمله \(a\) است، یعنی \(4\sqrt2\) .

واقعیت 4.
\(\bullet\) وقتی نمی‌توانید علامت \(\sqrt () \\) ریشه (رادیکال) را هنگام پیدا کردن مقدار یک عدد از بین ببرید، اغلب می‌گویند "شما نمی‌توانید ریشه را استخراج کنید". . به عنوان مثال، می توانید ریشه عدد \(16\) را بگیرید زیرا \(16=4^2\) , بنابراین \(\sqrt(16)=4\) . اما استخراج ریشه عدد \(3\)، یعنی پیدا کردن \(\sqrt3\) غیرممکن است، زیرا هیچ عددی وجود ندارد که مربع آن \(3\) را بدهد.
چنین اعدادی (یا عباراتی با چنین اعدادی) غیر منطقی هستند. مثلا اعداد \(\sqrt3، \ 1+\sqrt2، \ \sqrt(15)\)و غیره غیر منطقی هستند
همچنین اعداد \(\pi\) (عدد "pi" تقریبا برابر با \(3.14\))، \(e\) غیر منطقی هستند (این عدد را عدد اویلر می نامند، تقریبا برابر است با \(2.7 \)) و غیره.
\(\bullet\) لطفاً توجه داشته باشید که هر عددی یا گویا یا غیرمنطقی خواهد بود. و همه اعداد گویا و غیر منطقی با هم مجموعه ای به نام را تشکیل می دهند مجموعه ای از اعداد واقعیاین مجموعه با حرف \(\mathbb(R)\) نشان داده می شود.
این بدان معنی است که تمام اعدادی که در این لحظهمی دانیم که اعداد حقیقی نامیده می شوند.

واقعیت 5.
\(\bullet\) مدول یک عدد واقعی \(a\) یک عدد غیر منفی \(|a|\) برابر با فاصله از نقطه \(a\) تا \(0\) در خط واقعی برای مثال، \(|3|\) و \(|-3|\) برابر با 3 هستند، زیرا فاصله از نقاط \(3\) و \(-3\) تا \(0\) برابر است. یکسان و برابر با \(3 \) .
\(\bullet\) اگر \(a\) یک عدد غیر منفی است، \(|a|=a\) .
مثال: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) اگر \(a\) یک عدد منفی است، آنگاه \(|a|=-a\) .
مثال: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
آنها می گویند که برای اعداد منفی، مدول منهای را "می خورد"، در حالی که اعداد مثبت و همچنین عدد \(0\) توسط مدول بدون تغییر باقی می مانند.
ولیاین قانون فقط برای اعداد اعمال می شود. اگر در زیر علامت مدول شما یک ناشناخته \(x\) (یا یک مجهول دیگر) مثلا \(|x|\) وجود دارد که نمی دانیم مثبت، صفر یا منفی است، پس خلاص شوید. از مدول ما نمی توانیم. در این حالت، این عبارت ثابت می ماند: \(|x|\) . \(\bullet\) فرمول های زیر برقرار است: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a))، \text( ارائه شده ) a\geqslant 0\]خیلی اوقات اشتباه زیر انجام می شود: آنها می گویند \(\sqrt(a^2)\) و \((\sqrt a)^2\) یکی هستند. این تنها زمانی درست است که \(a\) یک عدد مثبت یا صفر باشد. اما اگر \(a\) یک عدد منفی باشد، این نادرست است. توجه به این مثال کافی است. بیایید به جای \(a\) عدد \(-1\) را در نظر بگیریم. سپس \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\)، اما عبارت \((\sqrt (-1))^2\) اصلا وجود ندارد (بالاخره، استفاده از علامت ریشه غیرممکن است که اعداد منفی قرار دهید!).
بنابراین توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که \(\sqrt(a^2)\) برابر با \((\sqrt a)^2\) نیست!مثال: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)، زیرا \(-\sqrt2<0\) ;

\(\فانتوم(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) از آنجایی که \(\sqrt(a^2)=|a|\) , سپس \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (عبارت \(2n\) یک عدد زوج را نشان می دهد)
یعنی هنگام استخراج ریشه عددی که تا حدی است، این درجه نصف می شود.
مثال:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (توجه داشته باشید که اگر ماژول ارائه نشده باشد، معلوم می شود که ریشه عدد برابر است با \(-25\ ) اما ما به یاد داریم که طبق تعریف ریشه این اتفاق نمی افتد: هنگام استخراج ریشه، همیشه باید یک عدد مثبت یا صفر بدست آوریم)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (زیرا هر عددی به توان زوج غیرمنفی است)

واقعیت 6.
چگونه دو ریشه مربع را با هم مقایسه کنیم؟
\(\bullet\) برای ریشه های مربع درست است: اگر \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aمثال:
1) \(\sqrt(50)\) و \(6\sqrt2\) را مقایسه کنید. اول، اجازه دهید عبارت دوم را به \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). بنابراین، از زمانی که \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) بین چه اعداد صحیحی قرار دارد؟
از آنجایی که \(\sqrt(49)=7\) ، \(\sqrt(64)=8\) و \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) بیایید \(\sqrt 2-1\) و \(0.5\) را با هم مقایسه کنیم. بیایید فرض کنیم \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(تراز شده) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((یکی را به هر دو طرف اضافه کنید))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((مربع هر دو طرف))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end (تراز شده)\]می بینیم که یک نابرابری نادرست به دست آورده ایم. بنابراین، فرض ما نادرست بود و \(\sqrt 2-1<0,5\) .
توجه داشته باشید که افزودن یک عدد معین به دو طرف نامساوی تاثیری بر علامت آن ندارد. ضرب/تقسیم هر دو طرف نامساوی بر یک عدد مثبت نیز بر علامت آن تأثیری ندارد، اما ضرب/تقسیم بر یک عدد منفی، علامت نامساوی را معکوس می‌کند!
فقط در صورتی می توانید هر دو طرف یک معادله/نابرابری را مربع کنید. به عنوان مثال، در نابرابری مثال قبلی، می توانید هر دو طرف را مربع کنید، در نابرابری \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) باید به خاطر داشت که \[\شروع (تراز شده) &\sqrt 2\حدود 1.4\\ &\sqrt 3\حدود 1.7 \پایان (تراز شده)\]دانستن معنای تقریبی این اعداد به شما در مقایسه اعداد کمک می کند! \(\bullet\) برای استخراج ریشه (اگر بتوان آن را استخراج کرد) از تعداد زیادی که در جدول مربع ها نیست، ابتدا باید تعیین کنید که بین کدام "صدها" قرار دارد، سپس - بین کدام " ده ها» و سپس آخرین رقم این عدد را مشخص کنید. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار می کند.
بیایید \(\sqrt(28224)\) را در نظر بگیریم. ما می دانیم که \(100^2=10\,000\)، \(200^2=40\,000\) و غیره. توجه داشته باشید که \(28224\) بین \(10\,000\) و \(40\,000\) است. بنابراین، \(\sqrt(28224)\) بین \(100\) و \(200\) است.
حالا بیایید تعیین کنیم که عدد ما بین کدام "ده ها" قرار دارد (به عنوان مثال، بین \(120\) و \(130\)). همچنین از جدول مربع ها می دانیم که \(11^2=121\) , \(12^2=144\) و غیره، سپس \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) ، \(130^2=16900\) ، \(140^2=19600\) ، \(150^2=22500\) ، \(160^2=25600\) ، \(170^2=28900 \ ) . بنابراین می بینیم که \(28224\) بین \(160^2\) و \(170^2\) است. بنابراین، عدد \(\sqrt(28224)\) بین \(160\) و \(170\) است.
بیایید سعی کنیم رقم آخر را تعیین کنیم. بیایید به یاد بیاوریم که در انتها چه اعداد تک رقمی، وقتی که مربع می شوند، \(4\) می دهند؟ اینها \(2^2\) و \(8^2\) هستند. بنابراین، \(\sqrt(28224)\) به 2 یا 8 ختم می شود. بیایید این را بررسی کنیم. بیایید \(162^2\) و \(168^2\) را پیدا کنیم:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
بنابراین، \(\sqrt(28224)=168\) . وایلا!

برای حل مناسب آزمون دولتی واحد در ریاضیات، ابتدا باید مطالب نظری را مطالعه کنید، که شما را با قضایای متعدد، فرمول ها، الگوریتم ها و غیره آشنا می کند. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این بسیار ساده است. با این حال، یافتن منبعی که در آن تئوری آزمون دولتی واحد در ریاضیات به روشی آسان و قابل درک برای دانش‌آموزان با هر سطح آموزشی ارائه شود، در واقع کار نسبتاً دشواری است. کتاب های درسی مدرسه را نمی توان همیشه در دسترس داشت. و یافتن فرمول های اساسی برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات می تواند حتی در اینترنت دشوار باشد.

چرا مطالعه تئوری در ریاضیات نه تنها برای کسانی که در آزمون یکپارچه دولتی شرکت می کنند، بسیار مهم است؟

1. زیرا افق دید شما را گسترده تر می کند. مطالعه مطالب نظری در ریاضیات برای هر کسی که می خواهد به طیف گسترده ای از سؤالات مربوط به دانش دنیای اطراف خود پاسخ دهد مفید است. همه چیز در طبیعت منظم است و منطق روشنی دارد. این دقیقاً همان چیزی است که در علم منعکس شده است و از طریق آن می توان جهان را درک کرد.
2. زیرا باعث رشد هوش می شود. با مطالعه مواد مرجع برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات، و همچنین حل مسائل مختلف، فرد یاد می گیرد که به طور منطقی فکر کند و استدلال کند، افکار را به طور شایسته و واضح فرموله کند. او توانایی تجزیه و تحلیل، تعمیم و نتیجه گیری را توسعه می دهد.

ما از شما دعوت می کنیم تا شخصاً تمام مزایای رویکرد ما در سیستم سازی و ارائه مطالب آموزشی را ارزیابی کنید.

وقت آن است که آن را مرتب کنیم روش های استخراج ریشه. آنها بر اساس ویژگی های ریشه ها، به ویژه، بر تساوی هستند، که برای هر عدد غیر منفی b صادق است.

در زیر روش های اصلی استخراج ریشه را یکی یکی بررسی خواهیم کرد.

بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم - استخراج ریشه از اعداد طبیعی با استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

اگر جداول مربع، مکعب و غیره اگر آن را در دسترس ندارید، منطقی است که از روش استخراج ریشه استفاده کنید، که شامل تجزیه عدد رادیکال به عوامل اول است.

شایان ذکر است که چه چیزی برای ریشه هایی با توان های فرد امکان پذیر است.

در نهایت، بیایید روشی را در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد ارقام مقدار ریشه را به ترتیب پیدا کنیم.

بیا شروع کنیم.

استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

در ساده ترین موارد، جداول مربع، مکعب و غیره به شما امکان استخراج ریشه را می دهد. این جداول چیست؟

جدول مربع های اعداد صحیح از 0 تا 99 شامل (نشان داده شده در زیر) از دو ناحیه تشکیل شده است. منطقه اول جدول بر روی یک پس زمینه خاکستری قرار دارد، با انتخاب یک ردیف خاص و یک ستون خاص، به شما امکان می دهد یک عدد از 0 تا 99 بنویسید. برای مثال، بیایید یک ردیف 8 ده تایی و یک ستون 3 واحدی را انتخاب کنیم، با این کار عدد 83 را ثابت کردیم. منطقه دوم بقیه جدول را اشغال می کند. هر سلول در تقاطع یک ردیف خاص و یک ستون خاص قرار دارد و شامل مربع عدد مربوطه از 0 تا 99 است. در تقاطع ردیف انتخابی ما از 8 ده و ستون 3 از یک، سلولی با شماره 6889 وجود دارد که مربع عدد 83 است.

جداول مکعب ها، جداول توان های چهارم اعداد از 0 تا 99 و ... شبیه جدول مربع ها هستند، فقط در منطقه دوم حاوی مکعب ها، قدرت های چهارم و غیره هستند. اعداد مربوطه

جداول مربع، مکعب، قدرت چهارم و غیره به شما امکان استخراج ریشه های مربع، ریشه های مکعبی، ریشه های چهارم و غیره را می دهد. بر این اساس از اعداد این جداول. اجازه دهید اصل استفاده از آنها را هنگام استخراج ریشه توضیح دهیم.

فرض کنید باید ریشه n عدد a را استخراج کنیم، در حالی که عدد a در جدول توان های n موجود است. با استفاده از این جدول عدد b را به گونه ای می یابیم که a=b n. سپس بنابراین عدد b ریشه مورد نظر درجه n خواهد بود.

به عنوان مثال، اجازه دهید نحوه استفاده از جدول مکعب برای استخراج ریشه مکعب 19683 را نشان دهیم. عدد 19683 را در جدول مکعب ها پیدا می کنیم، از آن در می یابیم که این عدد مکعب عدد 27 است، بنابراین، .

واضح است که جداول توان های n برای استخراج ریشه بسیار راحت هستند. با این حال، آنها اغلب در دسترس نیستند و تدوین آنها نیاز به زمان دارد. علاوه بر این، اغلب لازم است که ریشه ها را از اعدادی که در جداول مربوطه موجود نیستند استخراج کنید. در این موارد باید به روش های دیگر ریشه یابی متوسل شوید.

فاکتورگیری یک عدد رادیکال به عوامل اول

یک راه نسبتاً راحت برای استخراج ریشه یک عدد طبیعی (البته اگر ریشه استخراج شود) این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تجزیه کنید. خود نکته این است: پس از آن بسیار آسان است که آن را به عنوان یک توان با توان مورد نظر نشان دهید، که به شما امکان می دهد مقدار ریشه را بدست آورید. بیایید این نکته را روشن کنیم.

ریشه n ام یک عدد طبیعی a گرفته شود و مقدار آن برابر b باشد. در این حالت برابری a=b n درست است. عدد b را مانند هر عدد طبیعی می توان به صورت حاصلضرب تمام عوامل اول آن p 1 , p 2 , ..., p m به شکل p 1 · p 2 · ... · p m و عدد رادیکال a در این مورد نشان داد. به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n نشان داده می شود. از آنجایی که تجزیه یک عدد به عوامل اول منحصر به فرد است، تجزیه عدد رادیکال a به ضرایب اول به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n خواهد بود که محاسبه مقدار ریشه را ممکن می کند. مانند .

توجه داشته باشید که اگر تجزیه به عوامل اول یک عدد رادیکال a را نتوان به شکل (p 1 · p 2 · … · p m) n نشان داد، آنگاه ریشه n چنین عددی a به طور کامل استخراج نمی شود.

بیایید در هنگام حل مثال ها این را بفهمیم.

مثال.

جذر 144 را بگیرید.

راه حل.

اگر به جدول مربع های ارائه شده در پاراگراف قبل نگاه کنید، به وضوح می بینید که 144 = 12 2، که از آن مشخص است که جذر 144 برابر با 12 است.

اما با توجه به این نکته، ما به چگونگی استخراج ریشه با تجزیه عدد رادیکال 144 به عوامل اول علاقه مندیم. بیایید به این راه حل نگاه کنیم.

تجزیه کنیم 144 تا عوامل اول:

یعنی 144=2·2·2·2·3·3. بر اساس تجزیه حاصل، تبدیلات زیر را می توان انجام داد: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. از این رو، .

با استفاده از خواص درجه و خواص ریشه، می توان راه حل را کمی متفاوت فرموله کرد: .

پاسخ:

برای تجمیع مطالب، راه حل های دو مثال دیگر را در نظر بگیرید.

مثال.

مقدار ریشه را محاسبه کنید.

راه حل.

فاکتورسازی اول عدد رادیکال 243 به شکل 243=3 5 است. بدین ترتیب، .

پاسخ:

مثال.

آیا مقدار ریشه یک عدد صحیح است؟

راه حل.

برای پاسخ به این سوال، بیایید عدد رادیکال را در ضرایب اول قرار دهیم و ببینیم که آیا می توان آن را به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد یا خیر.

ما 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 داریم. بسط حاصل را نمی توان به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد، زیرا توان ضریب اول 7 مضرب سه نیست. بنابراین، ریشه مکعب 285768 را نمی توان به طور کامل استخراج کرد.

پاسخ:

خیر

استخراج ریشه از اعداد کسری

وقت آن است که بفهمیم چگونه ریشه یک عدد کسری را استخراج کنیم. بگذارید عدد رادیکال کسری به صورت p/q نوشته شود. با توجه به خاصیت ریشه یک ضریب برابری زیر صادق است. از این برابری بر می آید قانون استخراج ریشه کسری: ریشه کسری برابر است با نصاب ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج.

بیایید به مثالی از استخراج ریشه از کسری نگاه کنیم.

مثال.

جذر کسری مشترک 25/169 چقدر است؟

راه حل.

با استفاده از جدول مربع ها متوجه می شویم که جذر صورت کسر اصلی برابر با 5 و جذر مخرج برابر با 13 است. سپس . این استخراج ریشه کسر مشترک 25/169 را کامل می کند.

پاسخ:

ریشه یک کسر اعشاری یا عدد مختلط پس از جایگزینی اعداد رادیکال با کسرهای معمولی استخراج می شود.

مثال.

ریشه مکعب کسر اعشاری 474.552 را بگیرید.

راه حل.

بیایید کسر اعشاری اصلی را به عنوان یک کسر معمولی تصور کنیم: 474.552=474552/1000. سپس . باقی مانده است که ریشه های مکعبی را که در صورت و مخرج کسری به دست آمده است استخراج کنیم. زیرا 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 و 1 000 = 10 3، سپس و . تنها چیزی که باقی می ماند تکمیل محاسبات است .

پاسخ:

.

ریشه گرفتن یک عدد منفی

ارزش آن را دارد که در استخراج ریشه ها از اعداد منفی صحبت کنیم. هنگام مطالعه ریشه ها، گفتیم که وقتی توان ریشه یک عدد فرد باشد، می تواند زیر علامت ریشه یک عدد منفی وجود داشته باشد. ما به این ورودی ها معنی زیر را دادیم: برای یک عدد منفی -a و یک توان فرد از ریشه 2 n-1، . این برابری می دهد قانون استخراج ریشه های فرد از اعداد منفی: برای استخراج ریشه یک عدد منفی باید ریشه عدد مثبت مقابل را بگیرید و جلوی نتیجه آن علامت منفی قرار دهید.

بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال.

مقدار ریشه را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید عبارت اصلی را طوری تبدیل کنیم که زیر علامت ریشه یک عدد مثبت وجود داشته باشد: . حالا عدد مختلط را با یک کسر معمولی جایگزین کنید: . ما قانون استخراج ریشه یک کسر معمولی را اعمال می کنیم: . باقی مانده است که ریشه ها را در صورت و مخرج کسر حاصل محاسبه کنیم: .

در اینجا خلاصه ای کوتاه از راه حل آورده شده است: .

پاسخ:

.

تعیین مقدار ریشه به صورت بیتی

در حالت کلی، در زیر ریشه یک عدد وجود دارد که با استفاده از تکنیک های مورد بحث در بالا، نمی توان آن را به عنوان توان n هر عددی نشان داد. اما در این مورد نیاز به دانستن معنای یک ریشه معین، حداقل تا یک علامت خاص وجود دارد. در این مورد، برای استخراج ریشه، می توانید از الگوریتمی استفاده کنید که به شما امکان می دهد به طور متوالی تعداد کافی از مقادیر رقمی عدد مورد نظر را بدست آورید.

اولین قدم این الگوریتم این است که بفهمیم مهم ترین بیت از مقدار ریشه چیست. برای انجام این کار، اعداد 0، 10، 100، ... به ترتیب به توان n افزایش می یابند تا لحظه ای که عددی از عدد رادیکال بیشتر شود. سپس عددی که در مرحله قبل به توان n رساندیم نشان دهنده مهم ترین رقم مربوطه خواهد بود.

برای مثال، هنگام استخراج جذر پنج، این مرحله از الگوریتم را در نظر بگیرید. اعداد 0، 10، 100، ... را بگیرید و آنها را مربع کنید تا عددی بزرگتر از 5 به دست آوریم. ما 0 2 = 0 داریم<5 , 10 2 =100>5، به این معنی که مهم ترین رقم، رقم یکان خواهد بود. مقدار این بیت و همچنین مقادیر پایین تر در مراحل بعدی الگوریتم استخراج ریشه پیدا می شود.

تمام مراحل بعدی الگوریتم با هدف روشن کردن متوالی ارزش ریشه با یافتن مقادیر بیت های بعدی از مقدار مورد نظر ریشه، شروع از بالاترین و حرکت به پایین ترین آنها، انجام می شود. به عنوان مثال، مقدار ریشه در مرحله اول 2، در مرحله دوم - 2.2، در مرحله سوم - 2.23 و به همین ترتیب 2.236067977 به نظر می رسد. اجازه دهید نحوه یافتن مقادیر ارقام را شرح دهیم.

ارقام با جستجو در مقادیر احتمالی 0، 1، 2، ...، 9 پیدا می شوند. در این حالت، توان های n اعداد مربوطه به صورت موازی محاسبه شده و با عدد رادیکال مقایسه می شوند. اگر در مرحله ای مقدار درجه از عدد رادیکال تجاوز کند، آنگاه مقدار رقم مربوط به مقدار قبلی یافت شده در نظر گرفته می شود و اگر این اتفاق نیفتد، انتقال به مرحله بعدی الگوریتم استخراج ریشه انجام می شود. پس مقدار این رقم 9 است.

اجازه دهید این نکات را با استفاده از همان مثال استخراج جذر پنج توضیح دهیم.

ابتدا مقدار عدد واحد را پیدا می کنیم. مقادیر 0، 1، 2، ...، 9 را به ترتیب با محاسبه 0 2، 1 2، ...، 9 2 طی می کنیم تا زمانی که مقداری بزرگتر از عدد رادیکال 5 به دست آوریم. ارائه تمام این محاسبات در قالب یک جدول راحت است:

بنابراین مقدار رقم واحد 2 است (از 2 2<5 , а 2 3 >5). بیایید به سراغ یافتن ارزش مکان دهم برویم. در این حالت، اعداد 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9 را مربع می کنیم و مقادیر حاصل را با عدد رادیکال 5 مقایسه می کنیم:

از 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5، سپس مقدار مکان دهم برابر با 2 است. می توانید برای یافتن مقدار مکان صدم ادامه دهید:

به این ترتیب مقدار بعدی ریشه پنج پیدا شد که برابر با 2.23 است. و بنابراین می توانید به یافتن مقادیر ادامه دهید: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

برای تجمیع مطالب، استخراج ریشه را با دقت صدم با استفاده از الگوریتم در نظر گرفته شده تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

ابتدا مهم ترین رقم را تعیین می کنیم. برای این کار اعداد 0، 10، 100 و ... را مکعب می کنیم. تا زمانی که عددی بزرگتر از 2,151,186 بدست آوریم. ما 0 3 = 0 داریم<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186، بنابراین مهم ترین رقم رقم ده ها است.

بیایید ارزش آن را تعیین کنیم.

از 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186، سپس مقدار مکان ده ها 1 است. بریم سراغ واحدها.

بنابراین، مقدار یکان رقم 2 است. بریم سراغ دهمین.

از آنجایی که حتی 12.9 3 کمتر از عدد رادیکال 2 151.186 است، پس مقدار مکان دهم 9 است. باقی مانده است که آخرین مرحله الگوریتم را انجام دهیم، مقدار ریشه را با دقت لازم به ما می دهد.

در این مرحله، مقدار ریشه با دقت صدم پیدا می شود: .

در پایان این مقاله، می خواهم بگویم که راه های زیادی برای استخراج ریشه وجود دارد. اما برای اکثر وظایف، مواردی که در بالا مطالعه کردیم کافی هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

مساحت یک زمین مربع 81 متر مربع می باشد. طرفش را پیدا کن فرض کنید طول ضلع مربع است ایکسدسی متر سپس مساحت قطعه است ایکس 2 دسی متر مربع از آنجایی که طبق شرایط این مساحت برابر با 81 dm² است، پس ایکس² = 81. طول ضلع مربع یک عدد مثبت است. عدد مثبتی که مربع آن 81 است، عدد 9 است. هنگام حل مسئله، باید عدد x را که مربع آن 81 است، پیدا کنید، یعنی معادله را حل کنید. ایکس² = 81. این معادله دو ریشه دارد: ایکس 1 = 9 و ایکس 2 = - 9، زیرا 9² = 81 و (- 9)² = 81. هر دو اعداد 9 و - 9 را جذرهای 81 می نامند.

توجه داشته باشید که یکی از ریشه های مربع است ایکس= 9 یک عدد مثبت است. به آن جذر حسابی 81 می گویند و با √81 نشان داده می شود، بنابراین √81 = 9.

جذر حسابی یک عدد آعددی غیر منفی است که مربع آن برابر است آ.

به عنوان مثال، اعداد 6 و - 6 جذر عدد 36 هستند. با این حال، عدد 6 یک جذر حسابی 36 است، زیرا 6 یک عدد غیر منفی و 6² = 36 است. عدد - 6 یک عدد نیست. ریشه حسابی

جذر حسابی یک عدد آبه صورت زیر نشان داده می شود: √ آ.

این علامت را علامت ریشه مربع حسابی می نامند. آ- یک بیان رادیکال نامیده می شود. بیان √ آخواندن مانند این: جذر حسابی یک عدد آ.به عنوان مثال، √36 = 6، √0 = 0، √0.49 = 0.7. در مواردی که مشخص است ما از یک ریشه حسابی صحبت می کنیم، به اختصار می گویند: «ریشه دوم آ«.

عمل یافتن جذر یک عدد را جذر می گویند. این عمل معکوس مربع کردن است.

شما می توانید هر عددی را مربع کنید، اما از هر عددی نمی توانید ریشه مربع استخراج کنید. به عنوان مثال، استخراج ریشه دوم عدد - 4 غیرممکن است. اگر چنین ریشه ای وجود داشته باشد، آن را با حرف نشان دهید. ایکستساوی نادرست x² = - 4 را دریافت می کنیم، زیرا یک عدد غیر منفی در سمت چپ و یک عدد منفی در سمت راست وجود دارد.

بیان √ آفقط زمانی معنا پیدا می کند که a ≥ 0. تعریف جذر را می توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت: √ a ≥ 0, (√آ)² = آ. برابری (√ آ)² = آمعتبر برای a ≥ 0. بنابراین، برای اطمینان از اینکه جذر یک عدد غیر منفی است آبرابر است ب، یعنی در این واقعیت که √ آ =ب، باید بررسی کنید که دو شرط زیر وجود دارد: b ≥ 0, ب² = آ.

جذر کسری

بیایید محاسبه کنیم. توجه داشته باشید که √25 = 5، √36 = 6، و بیایید بررسی کنیم که آیا برابری درست است یا خیر.

زیرا و سپس برابری صادق است. بنابراین، .

قضیه:اگر آ≥ 0 و ب> 0، یعنی ریشه کسر برابر است با ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج. اثبات این امر لازم است که: و .

از آنجایی که √ آ≥0 و √ ب> 0، سپس .

در مورد خاصیت افزایش کسری به توان و تعریف جذر قضیه ثابت می شود بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

با استفاده از قضیه اثبات شده محاسبه کنید .

مثال دوم: ثابت کنید ، اگر آ ≤ 0, ب < 0. .

مثال دیگر: محاسبه کنید.

.

تبدیل ریشه مربع

حذف ضریب از زیر علامت ریشه. بگذارید بیان بیان شود. اگر آ≥ 0 و ب≥ 0، سپس با استفاده از قضیه ریشه حاصل ضرب می توانیم بنویسیم:

این تبدیل را حذف عامل از علامت ریشه می گویند. بیایید به یک مثال نگاه کنیم؛

محاسبه در ایکس= 2. تعویض مستقیم ایکس= 2 در عبارت رادیکال منجر به محاسبات پیچیده می شود. این محاسبات را می توان ساده کرد اگر ابتدا عوامل را از زیر علامت ریشه حذف کنید: . اکنون با جایگزینی x = 2، دریافت می کنیم:.

بنابراین، هنگام حذف عامل از زیر علامت ریشه، عبارت رادیکال به شکل یک محصول نشان داده می شود که در آن یک یا چند عامل مربع اعداد غیر منفی هستند. سپس قضیه ریشه حاصل را اعمال کنید و ریشه هر عامل را بگیرید. بیایید مثالی را در نظر بگیریم: عبارت A = √8 + √18 - 4√2 را با خارج کردن فاکتورهای دو جمله اول از زیر علامت ریشه ساده کنیم، به دست می آید:. بیایید بر این برابری تأکید کنیم فقط زمانی معتبر است که آ≥ 0 و ب≥ 0. اگر آ < 0, то .

اغلب، هنگام حل مسائل، با اعداد زیادی مواجه می شویم که باید از آنها استخراج کنیم ریشه دوم. بسیاری از دانش آموزان تصمیم می گیرند که این یک اشتباه است و شروع به حل مجدد کل مثال می کنند. تحت هیچ شرایطی این کار را نکنید! دو دلیل برای این وجود دارد:

1. ریشه های اعداد زیاد در مشکلات ظاهر می شوند. به خصوص در متن ها؛
2. الگوریتمی وجود دارد که توسط آن این ریشه ها تقریباً شفاهی محاسبه می شوند.

ما امروز این الگوریتم را در نظر خواهیم گرفت. شاید برخی چیزها برای شما نامفهوم به نظر برسد. اما اگر به این درس توجه کنید، یک سلاح قدرتمند در مقابل دریافت خواهید کرد ریشه های مربع.

بنابراین، الگوریتم:

1. ریشه مورد نیاز بالا و پایین را به اعدادی که مضرب 10 هستند محدود کنید. بنابراین، محدوده جستجو را به 10 عدد کاهش می دهیم.
2. از این 10 عدد، آنهایی را که قطعا نمی توانند ریشه باشند حذف کنید. در نتیجه، 1-2 عدد باقی می ماند.
3. این 1-2 اعداد را مربع کنید. آن که مربع آن برابر با عدد اصلی باشد، ریشه خواهد بود.

قبل از اجرای این الگوریتم، اجازه دهید به هر مرحله جداگانه نگاه کنیم.

محدودیت ریشه

اول از همه، باید بفهمیم که ریشه ما بین کدام اعداد قرار دارد. بسیار مطلوب است که اعداد مضرب ده باشند:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

یک سری اعداد بدست می آوریم:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

این اعداد به ما چه می گویند؟ ساده است: ما مرزها را می گیریم. به عنوان مثال عدد 1296 را در نظر بگیرید. بین 900 و 1600 قرار دارد. بنابراین ریشه آن نمی تواند کمتر از 30 و بزرگتر از 40 باشد.

[کپشن عکس]

همین مورد برای هر عدد دیگری که می توانید از آن جذر جذر پیدا کنید صدق می کند. به عنوان مثال، 3364:

[کپشن عکس]

بنابراین، به جای یک عدد نامفهوم، یک محدوده بسیار خاص دریافت می کنیم که ریشه اصلی در آن قرار دارد. برای محدود کردن بیشتر منطقه جستجو، به مرحله دوم بروید.

حذف اعداد آشکارا غیر ضروری

بنابراین، ما 10 عدد داریم - نامزدهای ریشه. ما آنها را خیلی سریع و بدون تفکر پیچیده و ضرب در یک ستون به دست آوردیم. وقت آن است که ادامه دهیم.

باور کنید یا نه، ما اکنون تعداد کاندیداها را به دو نفر کاهش می دهیم - دوباره بدون هیچ گونه محاسبات پیچیده! کافی است قاعده خاص را بدانید. ایناهاش:

آخرین رقم مربع فقط به رقم آخر بستگی دارد شماره اصلی.

به عبارت دیگر، فقط به آخرین رقم مربع نگاه کنید و بلافاصله متوجه می شویم که عدد اصلی به کجا ختم می شود.

تنها 10 رقم وجود دارد که می توانند در جایگاه آخر قرار گیرند. بیایید سعی کنیم دریابیم که وقتی مربع به چه چیزی تبدیل می شوند. به جدول نگاه کنید:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

این جدول گام دیگری برای محاسبه ریشه است. همانطور که می بینید، اعداد در خط دوم نسبت به پنج متقارن بودند. مثلا:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

همانطور که می بینید، رقم آخر در هر دو مورد یکسان است. یعنی مثلاً ریشه 3364 باید به 2 یا 8 ختم شود. از طرف دیگر محدودیت پاراگراف قبل را به خاطر می آوریم. ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

مربع های قرمز نشان می دهد که ما هنوز این رقم را نمی دانیم. اما ریشه در محدوده 50 تا 60 قرار دارد که در آن فقط دو عدد به 2 و 8 ختم می شود:

[کپشن عکس]

همین! از بین همه ریشه های ممکن، ما فقط دو گزینه باقی گذاشتیم! و این در سخت ترین حالت است، زیرا رقم آخر می تواند 5 یا 0 باشد. و سپس تنها یک نامزد برای ریشه ها وجود خواهد داشت!

محاسبات نهایی

بنابراین، ما 2 شماره نامزد باقی مانده است. چگونه می دانید ریشه کدام یک است؟ پاسخ واضح است: هر دو عدد را مربع کنید. عددی که مجذور آن عدد اصلی را می دهد، ریشه خواهد بود.

به عنوان مثال، برای عدد 3364 دو عدد نامزد پیدا کردیم: 52 و 58. بیایید آنها را مربع کنیم:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

همین! معلوم شد که ریشه 58 است! در عین حال برای ساده کردن محاسبات از فرمول مجذورات مجموع و تفاضل استفاده کردم. با تشکر از این، من حتی مجبور نشدم اعداد را در یک ستون ضرب کنم! این یک سطح دیگر از بهینه سازی محاسبه است، اما، البته، کاملا اختیاری است :)

نمونه هایی از محاسبه ریشه ها

البته تئوری خوب است. اما بیایید آن را در عمل بررسی کنیم.

[کپشن عکس]

ابتدا بیایید دریابیم که عدد 576 بین کدام اعداد قرار دارد:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

حالا بیایید به آخرین عدد نگاه کنیم. برابر 6 است. چه زمانی این اتفاق می افتد؟ فقط اگر ریشه به 4 یا 6 ختم شود. دو عدد بدست می آوریم:

تنها چیزی که باقی می ماند این است که هر عدد را مربع کنید و آن را با عدد اصلی مقایسه کنید:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

عالی! مربع اول برابر با عدد اصلی بود. پس این ریشه است.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

1369 → 9;
33; 37.

مربع آن:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

پاسخ این است: 37.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

2704 → 4;
52; 58.

مربع آن:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

پاسخ دریافت کردیم: 52. عدد دوم دیگر نیازی به مربع نخواهد داشت.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

4225 → 5;
65.

همانطور که می بینید بعد از مرحله دوم فقط یک گزینه باقی می ماند: 65. این ریشه مورد نظر است. اما بیایید همچنان آن را مربع کنیم و بررسی کنیم:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

همه چیز درست است. پاسخ را یادداشت می کنیم.

نتیجه

افسوس، بهتر نیست. بیایید به دلایل آن نگاه کنیم. دو تا از آنها موجود است:

• در هر امتحان معمولی ریاضی، چه آزمون دولتی یا یک آزمون دولتی واحد، استفاده از ماشین حساب ممنوع است. و اگر یک ماشین حساب به کلاس بیاورید، به راحتی می توانید از امتحان اخراج شوید.
• مثل آمریکایی های احمق نباشید. که مانند ریشه نیستند - نمی توانند دو عدد اول را اضافه کنند. و وقتی کسرها را می بینند، عموما هیستریک می شوند.