چگونه معادلات کسری را حل کنیم. معادلات با قوانین حل کسری

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

برای ساده کردن این معادله از کمترین مخرج مشترک استفاده می شود.این روش زمانی استفاده می شود که نمی توانید یک معادله معین را با یک عبارت منطقی در هر طرف معادله بنویسید (و از روش ضرب متقاطع استفاده کنید). این روش زمانی استفاده می شود که به شما یک معادله منطقی با 3 یا بیشتر کسری داده شود (در مورد دو کسر، بهتر است از ضرب متقاطع استفاده کنید).

کمترین مخرج مشترک کسرها (یا حداقل مضرب مشترک) را بیابید. NOZ است کوچکترین عدد، که به طور مساوی بر هر مخرج تقسیم می شود.

گاهی اوقات NPD یک عدد واضح است. به عنوان مثال، اگر معادله x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 داده شود، واضح است که کمترین مضرب مشترک اعداد 3، 2 و 6 6 است.
اگر NCD واضح نیست، مضرب بزرگترین مخرج را یادداشت کنید و یکی از آنها را پیدا کنید که مضربی از مخرج های دیگر باشد. اغلب NOD را می توان با ضرب دو مخرج به سادگی یافت. برای مثال، اگر معادله x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 داده شود، NOS = 8*9 = 72.
اگر یک یا چند مخرج حاوی یک متغیر باشد، فرآیند تا حدودی پیچیده‌تر می‌شود (اما غیرممکن نیست). در این مورد، NOC یک عبارت (شامل یک متغیر) است که بر هر مخرج تقسیم می شود. به عنوان مثال، در معادله 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1)، زیرا این عبارت بر هر مخرج تقسیم می شود: 3x(x-1)/(x -1 = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

هم صورت و هم مخرج هر کسر را در عددی برابر با حاصل تقسیم NOC بر مخرج مربوط به هر کسر ضرب کنید. از آنجایی که شما هم صورت و هم مخرج را در یک عدد ضرب می کنید، به طور موثر کسر را در 1 ضرب می کنید (مثلاً 2/2 = 1 یا 3/3 = 1).

بنابراین در مثال ما، x/3 را در 2/2 ضرب کنید تا 2x/6، و 1/2 در 3/3 ضرب کنید تا 3/6 به دست آید (کسری 3x +1/6 نیازی به ضرب ندارد زیرا مخرج 6 است).
هنگامی که متغیر در مخرج است به همین ترتیب ادامه دهید. در مثال دوم ما، NOZ = 3x(x-1)، بنابراین 5/(x-1) را در (3x)/(3x) ضرب کنید تا 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ضرب در 3(x-1)/3(x-1) و 3(x-1)/3x(x-1) بدست می آید. 2/(3x) در (x-1)/(x-1) ضرب می شود و 2(x-1)/3x(x-1) بدست می آید.

x را پیدا کنید.اکنون که کسرها را به مخرج مشترک کاهش داده اید، می توانید از مخرج خلاص شوید. برای این کار هر ضلع معادله را در مخرج مشترک ضرب کنید. سپس معادله حاصل را حل کنید، یعنی "x" را پیدا کنید. برای انجام این کار، متغیر را در یک طرف معادله جدا کنید.

در مثال ما: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. می توانید 2 کسر را با آن اضافه کنید مخرج یکسانبنابراین معادله را به صورت زیر بنویسید: (2x+3)/6=(3x+1)/6. دو طرف معادله را در 6 ضرب کنید و از مخرج ها خلاص شوید: 2x+3 = 3x +1. حل کنید و x=2 را بدست آورید.
در مثال دوم ما (با یک متغیر در مخرج)، معادله به نظر می رسد (پس از کاهش به مخرج مشترک): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). با ضرب دو طرف معادله در N3، از مخرج خلاص می شوید و به دست می آورید: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1)، یا 15x = 3x - 3 + 2x -2، یا 15x = x - 5 حل کنید و بدست آورید: x = -5/14.

"حل معادلات گویا کسری"

اهداف درس:

آموزشی:

شکل گیری مفهوم معادلات گویا کسری؛ روش های مختلفی را برای حل معادلات گویا کسری در نظر بگیرید. الگوریتمی را برای حل معادلات گویا کسری در نظر بگیرید، از جمله شرطی که کسری برابر با صفر باشد. آموزش حل معادلات منطقی کسری با استفاده از یک الگوریتم. بررسی میزان تسلط بر مبحث با برگزاری آزمون.

رشدی:

توسعه توانایی عملکرد صحیح با دانش کسب شده و تفکر منطقی؛ توسعه مهارت های فکری و عملیات ذهنی - تجزیه و تحلیل، ترکیب، مقایسه و تعمیم. توسعه ابتکار، توانایی تصمیم گیری و توقف نکردن در اینجا؛ توسعه تفکر انتقادی؛ توسعه مهارت های پژوهشی

آموزش دادن:

پرورش علاقه شناختی به موضوع؛ تقویت استقلال در حل مشکلات آموزشی؛ پرورش اراده و پشتکار برای دستیابی به نتایج نهایی.

نوع درس: درس - توضیح مطالب جدید.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

سلام بچه ها! معادلات روی تخته نوشته شده است، با دقت به آنها نگاه کنید. آیا می توانید تمام این معادلات را حل کنید؟ کدام یک نیستند و چرا؟

معادلاتی که در آن سمت چپ و راست عبارات گویا کسری هستند، معادلات گویا کسری نامیده می شوند. به نظر شما امروز در کلاس چه خواهیم خواند؟ موضوع درس را تدوین کنید. بنابراین، دفترهای خود را باز کنید و موضوع درس "حل معادلات گویا کسری" را یادداشت کنید.

2. به روز رسانی دانش. نظرسنجی پیشانی، کار شفاهی با کلاس.

و اکنون ما مطالب نظری اصلی را که برای مطالعه یک موضوع جدید به آن نیاز داریم، تکرار می کنیم. لطفا به سوالات زیر پاسخ دهید:

1. معادله چیست؟ ( برابری با متغیر یا متغیرها.)

2. نام معادله شماره 1 چیست؟ ( خطی.) روشی برای حل معادلات خطی. ( همه چیز را با مجهول به سمت چپ معادله، همه اعداد را به سمت راست منتقل کنید. اصطلاحات مشابه را بیان کنید. عامل ناشناخته را پیدا کنید).

3. نام معادله شماره 3 چیست؟ ( مربع.) روش های حل معادلات درجه دوم. ( جداسازی یک مربع کامل با استفاده از فرمول با استفاده از قضیه ویتا و پیامدهای آن.)

4. تناسب چیست؟ ( برابری دو نسبت.) خاصیت اصلی تناسب. ( اگر نسبت صحیح باشد، حاصل ضرب جملات افراطی آن برابر است با حاصلضرب عبارات میانی.)

5. در حل معادلات از چه ویژگی هایی استفاده می شود؟ ( 1. اگر یک عبارت را در یک معادله از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنید و علامت آن را تغییر دهید، معادله ای معادل معادله داده شده به دست خواهید آورد. 2. اگر هر دو طرف معادله در یک عدد غیر صفر یکسان ضرب یا تقسیم شوند، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آید..)

6. چه زمانی یک کسری برابر با صفر می شود؟ ( کسری برابر با صفر است که صورت آن صفر باشد و مخرج آن صفر نباشد..)

3. توضیح مطالب جدید.

معادله شماره 2 را در دفترچه و روی تخته حل کنید.

پاسخ: 10.

چه معادله گویا کسری را می توانید با استفاده از ویژگی اصلی نسبت حل کنید؟ (شماره 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

معادله شماره 4 را در دفترچه و روی تخته حل کنید.

پاسخ: 1,5.

با ضرب دو طرف معادله در مخرج چه معادله کسری را می توانید حل کنید؟ (شماره 6).

D=1›0، x1=3، x2=4.

پاسخ: 3;4.

حال سعی کنید با استفاده از یکی از روش های زیر معادله شماره 7 را حل کنید.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

پاسخ: 0;5;-2.			پاسخ: 5;-2.

توضیح دهید چرا این اتفاق افتاد؟ چرا در یک مورد سه ریشه و در مورد دیگر دو ریشه وجود دارد؟ ریشه های این معادله کسری گویا چه اعدادی هستند؟

تا به حال، دانش‌آموزان با مفهوم ریشه خارجی مواجه نشده‌اند؛ در واقع درک دلیل این اتفاق برای آنها بسیار دشوار است. اگر هیچ کس در کلاس نتواند توضیح واضحی از این وضعیت بدهد، معلم سوالات اصلی می پرسد.

در معادلات شماره 2 و 4 اعداد در مخرج وجود دارد، شماره 5-7 عباراتی با متغیر هستند.

مقدار متغیری که در آن معادله درست می شود

چک کنید

برخی از دانش آموزان هنگام تست زدن متوجه می شوند که باید بر صفر تقسیم کنند. آنها نتیجه می گیرند که اعداد 0 و 5 ریشه این معادله نیستند. این سوال مطرح می شود: آیا راهی برای حل معادلات منطقی کسری وجود دارد که به ما امکان می دهد این خطا را حذف کنیم؟ بله، این روش به شرطی است که کسر برابر با صفر باشد.

x2-3x-10=0، D=49، x1=5، x2=-2.

اگر x=5 باشد، x(x-5)=0، یعنی 5 یک ریشه خارجی است.

اگر x=-2، آنگاه x(x-5)≠0.

پاسخ: -2.

بیایید سعی کنیم الگوریتمی برای حل معادلات گویا کسری به این روش فرموله کنیم. بچه ها خودشان الگوریتم را فرموله می کنند.

الگوریتم حل معادلات گویا کسری:

1. همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید.

2. کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید.

3. یک سیستم ایجاد کنید: کسری برابر با صفر است که صورت آن برابر با صفر باشد و مخرج آن برابر با صفر نباشد.

4. معادله را حل کنید.

5. نابرابری را برای حذف ریشه های خارجی بررسی کنید.

6. پاسخ را یادداشت کنید.

بحث: اگر از ویژگی اصلی نسبت و ضرب هر دو طرف معادله در یک مخرج مشترک استفاده کنید، چگونه می توان راه حل را رسمی کرد. (به راه حل اضافه کنید: آنهایی را که مخرج مشترک را از بین می برند از ریشه حذف کنید).

4. درک اولیه مطالب جدید.

دوتایی کار کنید. دانش آموزان بسته به نوع معادله خود نحوه حل معادله را انتخاب می کنند. تکالیف از کتاب درسی جبر 8، 1386: شماره 000 (b, c, i); شماره 000 (a, d, g). معلم بر تکمیل کار نظارت می کند، به هر سوالی که پیش می آید پاسخ می دهد و به دانش آموزان کم کار کمک می کند. خودآزمایی: پاسخ ها روی تخته نوشته می شوند.

ب) 2 – ریشه خارجی. پاسخ: 3.

ج) 2- ریشه خارجی. پاسخ: 1.5.

الف) پاسخ: -12.5.

ز) جواب: 1؛ 1.5.

5. تنظیم تکالیف.

2. الگوریتم حل معادلات گویا کسری را یاد بگیرید.

3. حل در دفترهای شماره 000 (الف، د، ه). شماره 000 (g, h).

4. سعی کنید شماره 000(a) را حل کنید (اختیاری).

6. تکمیل یک کار کنترلی در مورد موضوع مورد مطالعه.

کار روی تکه های کاغذ انجام می شود.

نمونه کار:

الف) کدام یک از معادلات کسری گویا هستند؟

ب) کسری برابر با صفر است که صورت آن _____________________ و مخرج آن _______________________ باشد.

س) آیا عدد -3 ریشه معادله شماره 6 است؟

د) معادله شماره 7 را حل کنید.

معیارهای ارزیابی تکلیف:

اگر دانش آموز بیش از 90 درصد از تکلیف را به درستی انجام داده باشد، "5" داده می شود. "4" - 75٪ - 89٪ "3" - 50٪ -74٪ "2" به دانش آموزی داده می شود که کمتر از 50٪ از کار را انجام داده باشد. رتبه 2 در مجله داده نشده است، 3 اختیاری است.

7. انعکاس.

روی برگه های کار مستقل بنویسید:

1 - اگر درس برای شما جالب و قابل درک بود. 2 - جالب، اما واضح نیست. 3 - جالب نیست، اما قابل درک است. 4- جالب نیست، واضح نیست.

8. جمع بندی درس.

بنابراین، امروز در درس با معادلات گویا کسری آشنا شدیم، حل این معادلات را به روش های مختلف یاد گرفتیم و دانش خود را با کمک کار آموزشی مستقل آزمایش کردیم. نتایج کار مستقل خود را در درس بعدی خواهید آموخت و در خانه این فرصت را خواهید داشت که دانش خود را تثبیت کنید.

به نظر شما کدام روش برای حل معادلات گویا کسری راحت تر، در دسترس تر و منطقی تر است؟ صرف نظر از روش حل معادلات گویا کسری، چه چیزی را باید به خاطر بسپارید؟ "حیله گری" معادلات عقلی کسری چیست؟

با تشکر از همه، درس تمام شد.

بیایید به صحبت کردن ادامه دهیم حل معادلات. در این مقاله به جزئیات در مورد آن خواهیم پرداخت معادلات منطقیو اصول حل معادلات گویا با یک متغیر. ابتدا بیایید بفهمیم که چه نوع معادلاتی را گویا می نامند، از کل معادلات گویا و کسری تعریف کنیم و مثال هایی بزنیم. در ادامه الگوریتم هایی برای حل معادلات گویا به دست می آوریم و البته راه حل هایی برای مثال های معمولی با تمام توضیحات لازم در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

بر اساس تعاریف بیان شده، چندین مثال از معادلات گویا را بیان می کنیم. برای مثال، x=1، 2·x−12·x 2·y·z 3 =0، همه معادلات گویا هستند.

از مثال های نشان داده شده مشخص می شود که معادلات گویا و همچنین معادلات انواع دیگر می توانند با یک متغیر یا با دو، سه و غیره باشند. متغیرها در پاراگراف های بعدی در مورد حل معادلات گویا با یک متغیر صحبت خواهیم کرد. حل معادلات در دو متغیرو آنها تعداد زیادیسزاوار توجه ویژه هستند.

معادلات گویا علاوه بر تقسیم بر تعداد متغیرهای مجهول، به عدد صحیح و کسری نیز تقسیم می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله منطقیتماس گرفت کل، اگر هر دو سمت چپ و راست آن عبارت های منطقی صحیح باشند.

تعریف.

اگر حداقل یکی از اجزای یک معادله گویا باشد بیان کسری، سپس این معادله نامیده می شود کسری منطقی(یا عقلی کسری).

واضح است که معادلات کل شامل تقسیم بر متغیر نیستند، برعکس، معادلات گویا کسری لزوماً شامل تقسیم بر متغیر (یا متغیر در مخرج) هستند. پس 3 x+2=0 و (x+y)·(3·x 2-1)+x=-y+0.5- اینها معادلات کل عقلی هستند، هر دو قسمت آنها عبارت های کل هستند. A و x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 نمونه هایی از معادلات گویا کسری هستند.

در پایان به این نکته توجه کنیم که معادلات خطی و معادلات درجه دوم شناخته شده در این نقطه، معادلات کامل عقلی هستند.

حل معادلات کل

یکی از رویکردهای اصلی برای حل کل معادلات، کاهش آنها به معادلات است معادلات جبری. همیشه می توان این کار را با انجام تبدیل های معادل زیر در معادله انجام داد:

ابتدا عبارت از سمت راست معادله عدد صحیح اصلی با علامت مخالف به سمت چپ منتقل می شود تا صفر در سمت راست به دست آید.
پس از این، در سمت چپ معادله فرم استاندارد به دست آمده است.

نتیجه یک معادله جبری است که معادل معادله عدد صحیح اصلی است. بنابراین، در ساده ترین موارد، حل کل معادلات به حل معادلات خطی یا درجه دوم، و در حالت کلی، به حل معادله جبری درجه n کاهش می یابد. برای وضوح، بیایید به راه حل مثال نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های کل معادله را پیدا کنید 3·(x+1)·(x-3)=x·(2·x-1)-3.

راه حل.

اجازه دهید حل کل این معادله را به حل یک معادله جبری معادل تقلیل دهیم. برای این کار ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم و در نتیجه به معادله می رسیم. 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. و ثانیاً عبارت تشکیل شده در سمت چپ را با تکمیل موارد لازم به یک چند جمله ای استاندارد تبدیل می کنیم: 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2-9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2-5 x-6. بنابراین، حل معادله اعداد صحیح اصلی به حل کاهش می یابد معادله درجه دوم x 2 −5 x−6=0 .

تفکیک آن را محاسبه می کنیم D=(-5) 2-4·1·(-6)=25+24=49، مثبت است، به این معنی که معادله دارای دو ریشه واقعی است که با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم آنها را پیدا می کنیم:

برای اطمینان کامل، بیایید این کار را انجام دهیم بررسی ریشه های یافت شده معادله. ابتدا ریشه 6 را بررسی می کنیم، آن را به جای متغیر x در معادله عدد صحیح اصلی جایگزین می کنیم: 3·(6+1)·(6-3)=6·(2·6-1)-3که همان 63=63 است. این یک معادله عددی معتبر است، بنابراین x=6 در واقع ریشه معادله است. اکنون ریشه −1 را بررسی می کنیم 3·(-1+1)·(-1-3)=(-1)·(2·(-1)-1)-3، از کجا، 0=0 . هنگامی که x=−1، معادله اصلی نیز به یک برابری عددی صحیح تبدیل می‌شود، بنابراین، x=−1 نیز ریشه‌ای از معادله است.

پاسخ:

6 , −1 .

در اینجا همچنین باید توجه داشت که اصطلاح "درجه کل معادله" با نمایش کل معادله در قالب یک معادله جبری همراه است. اجازه دهید تعریف مربوطه را ارائه دهیم:

تعریف.

قدرت کل معادلهدرجه یک معادله جبری معادل نامیده می شود.

طبق این تعریف، کل معادله مثال قبلی دارای درجه دوم است.

این می‌توانست پایان حل معادلات منطقی باشد، اگر نه برای یک چیز…. همانطور که مشخص است حل معادلات جبری درجه بالاتر از دوم با مشکلات قابل توجهی همراه است و برای معادلات درجه بالاتر از چهارم هیچ مشکلی وجود ندارد. فرمول های کلیریشه ها بنابراین، برای حل کامل معادلات سوم، چهارم و بیشتر درجات بالااغلب شما باید به روش های دیگر راه حل متوسل شوید.

در چنین مواردی، رویکردی برای حل کل معادلات عقلی بر اساس روش فاکتورسازی. در این مورد، الگوریتم زیر رعایت می شود:

ابتدا از وجود یک صفر در سمت راست معادله اطمینان حاصل می کنند؛ برای انجام این کار، عبارت را از سمت راست کل معادله به سمت چپ منتقل می کنند.
سپس، عبارت حاصل در سمت چپ به‌عنوان محصولی از چندین عامل ارائه می‌شود که به ما امکان می‌دهد به مجموعه‌ای از چندین معادله ساده‌تر برویم.

الگوریتم ارائه شده برای حل یک معادله کامل از طریق فاکتورسازی نیاز به توضیح دقیق با استفاده از یک مثال دارد.

مثال.

کل معادله را حل کنید (x 2-1)·(x2-10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

راه حل.

ابتدا، طبق معمول، عبارت را از سمت راست به سمت چپ معادله منتقل می کنیم، بدون اینکه تغییر علامت را فراموش کنیم، دریافت می کنیم (x2-1)·(x2-10·x+13)- 2 x (x 2 −10 x+13) = 0. در اینجا کاملاً واضح است که تبدیل سمت چپ معادله به دست آمده به یک چند جمله ای از فرم استاندارد توصیه نمی شود ، زیرا این یک معادله جبری درجه چهارم شکل را به دست می دهد. x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x-13=0، که حل آن دشوار است.

از سوی دیگر، بدیهی است که در سمت چپ معادله حاصل می‌توانیم x 2 −10 x+13 را داشته باشیم و در نتیجه آن را به‌عنوان یک محصول ارائه کنیم. ما داریم (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. معادله حاصل معادل معادله کل اصلی است و به نوبه خود می توان آن را با مجموعه ای از دو معادله درجه دوم x 2 −10·x+13=0 و x 2 −2·x−1=0 جایگزین کرد. یافتن ریشه های آنها با استفاده از فرمول های ریشه شناخته شده از طریق یک تفکیک کار دشواری نیست؛ ریشه ها برابر هستند. آنها ریشه های مورد نظر معادله اصلی هستند.

پاسخ:

همچنین برای حل کل معادلات منطقی مفید است روشی برای معرفی یک متغیر جدید. در برخی موارد، به شما امکان می دهد به معادلاتی بروید که درجه آنها کمتر از درجه معادله کل اصلی است.

مثال.

ریشه های واقعی یک معادله گویا را پیدا کنید (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

راه حل.

تقلیل کل این معادله عقلی به یک معادله جبری، به بیان ملایم، ایده خوبی نیست، زیرا در این صورت به نیاز به حل معادله درجه چهارمی خواهیم رسید که ریشه های عقلی ندارد. بنابراین، شما باید به دنبال راه حل دیگری باشید.

در اینجا به راحتی می توان فهمید که می توانید یک متغیر جدید y را معرفی کنید و عبارت x 2 +3·x را با آن جایگزین کنید. این جایگزینی ما را به کل معادله (y+1) 2 +10=−2·(y−4) می رساند که پس از انتقال عبارت −2·(y−4) به سمت چپ و تبدیل بعدی عبارت در آنجا تشکیل می شود، به یک معادله درجه دوم y 2 +4·y+3=0 کاهش می یابد. ریشه های این معادله y=−1 و y=−3 به راحتی پیدا می شوند، به عنوان مثال، می توان آنها را بر اساس قضیه معکوس قضیه ویتا انتخاب کرد.

حال به سراغ قسمت دوم روش معرفی متغیر جدید یعنی انجام جایگزینی معکوس می رویم. پس از انجام تعویض معکوس، دو معادله x 2 +3 x=−1 و x 2 +3 x=−3 به دست می‌آوریم که می‌توان آن‌ها را به صورت x 2 +3 x+1=0 و x 2 +3 x+3 بازنویسی کرد. =0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های معادله اول را پیدا می کنیم. و معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد، زیرا ممیز آن منفی است (D=3 2 −4·3=9−12=−3).

پاسخ:

به طور کلی، زمانی که با کل معادلات درجات بالا سر و کار داریم، همیشه باید آماده جستجوی یک روش غیر استاندارد یا یک تکنیک مصنوعی برای حل آنها باشیم.

حل معادلات گویا کسری

ابتدا، درک چگونگی حل معادلات گویا کسری به شکل مفید خواهد بود، جایی که p(x) و q(x) عبارات منطقی اعداد صحیح هستند. و سپس نشان خواهیم داد که چگونه حل معادلات دیگر کسری گویا را به حل معادلات از نوع مشخص شده کاهش دهیم.

یک رویکرد برای حل معادله بر اساس عبارت زیر است: کسری عددی u/v، که در آن v عددی غیر صفر است (در غیر این صورت با آن مواجه خواهیم شد، که تعریف نشده است)، برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد آن باشد. برابر با صفر است، اگر و فقط اگر u=0 است. به موجب این عبارت، حل معادله به تحقق دو شرط p(x)=0 و q(x)≠0 کاهش می یابد.

این نتیجه گیری با موارد زیر مطابقت دارد الگوریتم حل یک معادله گویا کسری. برای حل یک معادله گویا کسری از شکل، شما نیاز دارید

حل کل معادله گویا p(x)=0 ;
و بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای هر ریشه یافت شده برآورده می شود، while

اگر درست باشد، این ریشه ریشه معادله اصلی است.
اگر ارضا نشد، این ریشه خارجی است، یعنی ریشه معادله اصلی نیست.

بیایید به مثالی از استفاده از الگوریتم اعلام شده در حل یک معادله گویا کسری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

این یک معادله گویا کسری است، و به شکل p(x)=3·x-2، q(x)=5·x 2-2=0 است.

با توجه به الگوریتم حل معادلات گویا کسری از این نوع، ابتدا باید معادله 3 x−2=0 را حل کنیم. این یک معادله خطی است که ریشه آن x=2/3 است.

باقی مانده است که این ریشه را بررسی کنید، یعنی بررسی کنید که آیا شرط 5 x 2 −2≠0 را برآورده می کند یا خیر. عدد 2/3 را به جای x در عبارت 5 x 2-2 قرار می دهیم و می گیریم. شرط برقرار است، بنابراین x=2/3 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

2/3 .

شما می توانید به حل یک معادله منطقی کسری از موقعیت کمی متفاوت نزدیک شوید. این معادله معادل معادله عدد صحیح p(x)=0 در متغیر x معادله اصلی است. یعنی می توانید به این موضوع پایبند باشید الگوریتم حل یک معادله گویا کسری :

حل معادله p(x)=0 ;
ODZ متغیر x را پیدا کنید.
ریشه های متعلق به منطقه مقادیر قابل قبول را بگیرید - آنها ریشه های مورد نظر معادله منطقی کسری اصلی هستند.

برای مثال بیایید با استفاده از این الگوریتم یک معادله گویا کسری را حل کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

ابتدا معادله درجه دوم x 2 −2·x−11=0 را حل می کنیم. ریشه های آن را می توان با استفاده از فرمول ریشه برای ضریب زوج دوم محاسبه کرد D 1 =(-1) 2-1·(-11)=12، و .

در مرحله دوم، ما ODZ متغیر x را برای معادله اصلی پیدا می کنیم. این شامل تمام اعدادی است که برای آنها x 2 +3·x≠0، که همان x·(x+3)≠0 است، از آنجا x≠0، x≠−3 است.

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده در مرحله اول در ODZ گنجانده شده اند یا خیر. بدیهی است که بله. بنابراین، معادله گویا کسری اصلی دو ریشه دارد.

پاسخ:

توجه داشته باشید که اگر ODZ به راحتی پیدا شود، این رویکرد سودآورتر از روش اول است، و به ویژه اگر ریشه های معادله p(x) = 0 غیرمنطقی یا منطقی باشند، به عنوان مثال، یا منطقی باشند، اما با یک عدد و عدد نسبتا بزرگ و / یا مخرج، برای مثال، 127/1101 و −31/59. این به دلیل این واقعیت است که در چنین مواردی، بررسی شرط q(x)≠0 به تلاش محاسباتی قابل توجهی نیاز دارد و حذف ریشه های خارجی با استفاده از ODZ آسان تر است.

در موارد دیگر، هنگام حل معادله، به ویژه زمانی که ریشه های معادله p(x) = 0 اعداد صحیح هستند، استفاده از الگوریتم اول از الگوریتم های داده شده سود بیشتری دارد. به این معنی که توصیه می شود به جای یافتن ODZ، بلافاصله ریشه های کل معادله p(x)=0 را پیدا کنید و سپس بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای آنها برآورده می شود یا خیر، و سپس معادله را حل کنید. p(x)=0 در این ODZ. این به این دلیل است که در چنین مواردی معمولاً بررسی آسان تر از یافتن DZ است.

اجازه دهید راه حل دو مثال را برای نشان دادن تفاوت های ظریف مشخص شده در نظر بگیریم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های کل معادله را پیدا کنیم (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0، با استفاده از عدد کسر ساخته شده است. سمت چپاین معادله یک حاصلضرب و دست راست صفر است، بنابراین با توجه به روش حل معادلات از طریق فاکتورگیری، این معادله معادل مجموعه ای از چهار معادله 2 x−1=0، x−6=0، x است. 2 −5 x+14= 0، x+1=0. سه تا از این معادلات خطی و یکی درجه دوم است که می توانیم آنها را حل کنیم. از معادله اول x=1/2، از دومی - x=6، از سومی - x=7، x=−2، از چهارمی - x=−1 را پیدا می کنیم.

با یافتن ریشه ها، بررسی اینکه آیا مخرج کسری در سمت چپ معادله اصلی ناپدید می شود، بسیار آسان است، اما برعکس، تعیین ODZ چندان ساده نیست، زیرا برای این کار باید یک مشکل را حل کنید. معادله جبری درجه پنجم. بنابراین، ما از یافتن ODZ به نفع بررسی ریشه ها صرف نظر می کنیم. برای این کار به جای متغیر x در عبارت، آنها را یکی یکی جایگزین می کنیم x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112، پس از تعویض به دست آمده و آنها را با صفر مقایسه کنید: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3-13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(-2) 5-15·(-2) 4 +57·(-2) 3-13·(-2) 2 + 26·(-2)+112=-720≠0 ;
(-1) 5-15·(-1) 4 +57·(-1) 3-13·(-1) 2 + 26·(-1)+112=0.

بنابراین، 1/2، 6 و -2 ریشه های مورد نظر معادله گویا کسری اصلی هستند و 7 و -1 ریشه های خارجی هستند.

پاسخ:

1/2 , 6 , −2 .

مثال.

ریشه های یک معادله گویا کسری را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های معادله را پیدا کنیم (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. این معادله معادل مجموعه ای از دو معادله است: مربع 5 x 2 −7 x−1=0 و خطی x−2=0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم دو ریشه پیدا می کنیم و از معادله دوم x=2 داریم.

بررسی اینکه آیا مخرج در مقادیر یافت شده x به صفر می رسد بسیار ناخوشایند است. و تعیین محدوده مقادیر مجاز متغیر x در معادله اصلی بسیار ساده است. بنابراین از طریق ODZ اقدام خواهیم کرد.

در مورد ما، ODZ متغیر x معادله گویا کسری اصلی شامل همه اعدادی است به جز اعدادی که شرط x2 +5·x-14=0 برای آنها برآورده می شود. ریشه‌های این معادله درجه دوم x=−7 و x=2 هستند که از آن‌ها در مورد ODZ نتیجه‌گیری می‌کنیم: این معادله از همه x تشکیل شده است به طوری که .

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده و x=2 به محدوده مقادیر قابل قبول تعلق دارند یا خیر. ریشه ها تعلق دارند، بنابراین ریشه های معادله اصلی هستند و x=2 تعلق ندارد، بنابراین یک ریشه خارجی است.

پاسخ:

همچنین مفید خواهد بود که به طور جداگانه در مواردی صحبت کنیم که در یک معادله گویا کسری شکل یک عدد در صورت وجود دارد، یعنی زمانی که p(x) با مقداری نشان داده می شود. که در آن

اگر این عدد غیر صفر باشد، معادله هیچ ریشه ای ندارد، زیرا یک کسری برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد آن برابر با صفر باشد.
اگر این عدد صفر باشد، ریشه معادله هر عددی از ODZ است.

مثال.

راه حل.

از آنجایی که شمارنده کسری در سمت چپ معادله حاوی یک عدد غیر صفر است، بنابراین برای هر x مقدار این کسر نمی تواند برابر با صفر باشد. بنابراین، این معادله ریشه ندارد.

پاسخ:

بدون ریشه

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

عدد کسری در سمت چپ این معادله گویا کسری حاوی صفر است، بنابراین مقدار این کسری برای هر x که منطقی است، صفر است. به عبارت دیگر راه حل این معادله هر مقدار x از ODZ این متغیر است.

تعیین این محدوده از مقادیر قابل قبول باقی مانده است. این شامل تمام مقادیر x است که برای آنها x 4 + 5 x 3 ≠0 است. راه حل های معادله x 4 + 5 x 3 = 0 0 و −5 هستند، زیرا این معادله معادل معادله x 3 (x+5)=0 است و به نوبه خود معادل ترکیب دو معادله x است. 3 = 0 و x +5 = 0، از جایی که این ریشه ها قابل مشاهده هستند. بنابراین، محدوده مورد نظر مقادیر قابل قبول هر x به جز x=0 و x=−5 است.

بنابراین، یک معادله گویا کسری راه حل های بی نهایت زیادی دارد که هر عددی به جز صفر و منهای پنج هستند.

پاسخ:

در نهایت، وقت آن است که در مورد حل معادلات گویا کسری به شکل دلخواه صحبت کنیم. آنها را می توان به صورت r(x)=s(x) نوشت که r(x) و s(x) عبارات گویا هستند و حداقل یکی از آنها کسری است. با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که راه حل آنها به حل معادلاتی از شکلی که قبلاً برای ما آشنا است، می رسد.

مشخص است که انتقال عبارت از قسمتی از معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف منجر به معادله معادل می شود، بنابراین معادله r(x)=s(x) معادل معادله r(x)−s(x است. )=0.

ما همچنین می دانیم که هر یک، به طور یکسان با این عبارت، ممکن است. بنابراین، ما همیشه می‌توانیم عبارت منطقی سمت چپ معادله r(x)−s(x)=0 را به یک کسر منطقی یکسان از شکل تبدیل کنیم.

بنابراین از معادله گویا کسری اصلی r(x)=s(x) به معادله حرکت می کنیم و حل آن همانطور که در بالا متوجه شدیم به حل معادله p(x)=0 کاهش می یابد.

اما در اینجا لازم است این واقعیت را در نظر بگیریم که هنگام جایگزینی r(x)−s(x)=0 با و سپس با p(x)=0، دامنه مقادیر مجاز متغیر x ممکن است گسترش یابد. .

در نتیجه معادله اصلی r(x)=s(x) و معادله p(x)=0 که به آن رسیدیم ممکن است نابرابر باشند و با حل معادله p(x)=0 می‌توانیم ریشه بدست آوریم. که ریشه های خارجی معادله اصلی r(x)=s(x) خواهد بود. شما می توانید ریشه های اضافی را با انجام بررسی و یا با بررسی تعلق آنها به ODZ معادله اصلی شناسایی کنید و در پاسخ وارد نکنید.

بیایید این اطلاعات را خلاصه کنیم الگوریتم حل معادله منطقی کسری r(x)=s(x). برای حل معادله گویا کسری r(x)=s(x) نیاز دارید

با حرکت دادن عبارت از سمت راست با علامت مخالف، صفر را در سمت راست بگیرید.
عملیات را با کسرها و چند جمله ای ها در سمت چپ معادله انجام دهید و در نتیجه آن را به کسری گویا از فرم تبدیل کنید.
معادله p(x)=0 را حل کنید.
ریشه های خارجی را شناسایی و حذف کنید که با جایگزینی آنها در معادله اصلی یا بررسی تعلق آنها به ODZ معادله اصلی انجام می شود.

برای وضوح بیشتر، کل زنجیره حل معادلات گویا کسری را نشان خواهیم داد:
.

بیایید به راه‌حل‌های چندین مثال با توضیح دقیق فرآیند راه‌حل نگاه کنیم تا بلوک اطلاعات داده شده را روشن کنیم.

مثال.

یک معادله گویا کسری را حل کنید.

راه حل.

ما مطابق با الگوریتم حلی که به دست آمده عمل خواهیم کرد. و ابتدا عبارت ها را از سمت راست معادله به سمت چپ منتقل می کنیم در نتیجه به معادله می رویم.

در مرحله دوم باید عبارت منطقی کسری در سمت چپ معادله حاصل را به شکل کسری تبدیل کنیم. برای این کار گچ را اجرا می کنیم کسرهای گویابه یک مخرج مشترک و ساده کردن عبارت حاصل: . بنابراین به معادله می رسیم.

در مرحله بعد باید معادله −2·x−1=0 را حل کنیم. x=−1/2 را پیدا می کنیم.

باید بررسی کنیم که آیا عدد یافت شده 1/2 یک ریشه خارجی معادله اصلی نیست. برای این کار می توانید VA متغیر x معادله اصلی را بررسی یا پیدا کنید. بیایید هر دو رویکرد را نشان دهیم.

بیایید با بررسی شروع کنیم. عدد -1/2 را به جای متغیر x در معادله اصلی قرار می دهیم و همان چیزی را بدست می آوریم -1=-1. جایگزینی برابری عددی صحیح را به دست می دهد، بنابراین x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

حال نشان خواهیم داد که آخرین نقطه الگوریتم چگونه از طریق ODZ انجام می شود. محدوده مقادیر مجاز معادله اصلی مجموعه همه اعداد به جز -1 و 0 است (در x=−1 و x=0 مخرج کسرها ناپدید می شوند). ریشه x=−1/2 یافت شده در مرحله قبل متعلق به ODZ است، بنابراین، x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

−1/2 .

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ما باید یک معادله منطقی کسری را حل کنیم، بیایید تمام مراحل الگوریتم را طی کنیم.

ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم، دریافت می کنیم.

در مرحله دوم، عبارت تشکیل شده در سمت چپ را تبدیل می کنیم: . در نتیجه به معادله x=0 می رسیم.

ریشه آن واضح است - صفر است.

در مرحله چهارم، باید دریابیم که آیا ریشه یافت شده با معادله گویا کسری اصلی بیگانه است یا خیر. هنگامی که به معادله اصلی جایگزین می شود، عبارت به دست می آید. بدیهی است که منطقی نیست زیرا شامل تقسیم بر صفر است. از آنجا نتیجه می گیریم که 0 یک ریشه خارجی است. بنابراین معادله اصلی ریشه ندارد.

7 که به معادله منتهی می شود. از اینجا می توان نتیجه گرفت که عبارت در مخرج سمت چپ باید برابر با سمت راست باشد، یعنی . حالا از دو طرف ثلاث کم می کنیم: . به قیاس، از کجا، و بیشتر.

بررسی نشان می دهد که هر دو ریشه یافت شده ریشه های معادله گویا کسری اصلی هستند.

پاسخ:

کتابشناسی - فهرست کتب.

جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
جبر:پایه نهم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-021134-5.