Un concetto interessante del curriculum scolastico sono i numeri opposti, che possono essere considerati sia matematicamente che geometricamente. Comprendere questo argomento semplifica lo studio della matematica e consente di affrontare rapidamente alcuni problemi, quindi vedremo quali numeri sono chiamati opposti e quali regole funzionano per loro.
Qual è l'essenza del termine?
Per comprendere il significato dei numeri opposti, rivolgiamoci per un momento alla geometria. Disegniamo una linea di coordinate e contrassegniamo il punto zero su di essa, quindi inseriamo altri due segni sulla linea, ad esempio "2" con lato destro e "-2" a sinistra dello zero. Naturalmente, da entrambi i punti la distanza dall'origine sarà esattamente la stessa - e questo può essere facilmente verificato mediante misurazioni. "2" e "-2" sono alla stessa distanza dallo zero, ma in direzioni diverse - di conseguenza, sono completamente opposti l'uno all'altro.
Questo è il punto. I numeri possono essere grandi o piccoli a piacere, interi o frazionari. Tuttavia, ognuno di essi ha un certo numero che è il suo esatto opposto. La definizione può essere data come segue - se sulla linea delle coordinate da due punti posti su entrambi i lati dello zero si può lasciare una distanza uguale all'origine - questi punti, o più precisamente, i numeri ad essi corrispondenti, saranno opposti .
Quali regole si possono ricavare dalla definizione?
Vale la pena ricordare alcune affermazioni assolute riguardanti l'argomento in esame:
- Il principio degli opposti per due numeri funziona in entrambi i sensi. Ad esempio, il numero 3 è opposto al numero -3 - e quindi solo il numero 3 è opposto al numero -3, e nessun altro.
- Un numero non può avere due opposti: ce n'è sempre solo uno.
- I numeri con segni diversi possono essere opposti tra loro. Se un numero è positivo, il suo numero opposto avrà un segno meno, ad esempio 5 e -5. La stessa cosa funziona rovescio- per un numero con segno meno, il contrario sarà sempre quello con segno più - ad esempio -6 e 6.
- Due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto o modulo. In altre parole, se per il numero 4
In questo articolo esploreremo numeri opposti. Qui risponderemo alla domanda su quali numeri sono chiamati opposti, mostreremo come viene designato l'opposto di un dato numero e forniremo esempi. Elencheremo anche i principali risultati caratteristici dei numeri opposti.
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Determinazione dei numeri opposti
Ci aiuterà a farci un’idea dei numeri opposti.
Segniamo un punto M sulla linea delle coordinate, diverso dall'origine. Possiamo arrivare al punto M separando in sequenza un segmento unitario dall'origine nella direzione del punto M, così come le sue parti decime, centesime e così via. Se tracciamo lo stesso numero di segmenti unitari e le sue quote nella direzione opposta, arriveremo ad un altro punto, indicato con la lettera N. Facciamo un esempio per illustrare le nostre azioni (vedi la figura sotto). Per arrivare al punto M sulla linea delle coordinate, abbiamo tracciato due segmenti unitari e 4 segmenti, che costituiscono un decimo di unità, nella direzione negativa. Ora mettiamo due segmenti unitari e 4 segmenti, che costituiscono un decimo di unità, nella direzione positiva. Questo ci darà il punto N.
Siamo quasi pronti per comprendere la definizione di numeri opposti, non resta che discutere un paio di sfumature.
Sappiamo che ogni punto sulla linea delle coordinate corrisponde a un singolo numero reale, quindi sia il punto M che il punto N corrispondono ad alcuni numeri reali. Quindi i numeri corrispondenti ai punti M e N sono chiamati opposti.
Separatamente, è necessario parlare del punto O: l'origine. Il punto O corrisponde al numero 0. Il numero zero è considerato l'opposto di se stesso.
Ora possiamo dare voce determinazione dei numeri opposti.
Definizione.
Due numeri si dicono opposti se i punti sulla linea coordinata corrispondenti a questi numeri possono essere raggiunti distendendo dall'origine lo stesso numero di segmenti unitari in direzioni opposte, nonché frazioni di un segmento unitario, il numero 0 è opposto a si.
Notazione dei numeri opposti ed esempi
E' ora di entrare notazioni per i numeri opposti.
Per indicare il contrario di un dato numero, utilizzare il segno meno, che si scrive davanti al numero dato. Cioè, il numero opposto al numero a si scrive come −a. Ad esempio, il numero opposto 0,24 è −0,24 e il numero opposto −25 è −(−25).
Diamo esempi di numeri opposti. La coppia di numeri 17 e −17 (o −17 e 17) è un esempio di numeri interi opposti. I numeri e sono numeri razionali opposti. Altri esempi di numeri razionali opposti sono le coppie di numeri 5.126 e −5.126. così come 0,(1201) e −0,(1201) . Resta da fornire alcuni esempi del contrario
Soggetto
Tipo di lezione
- studio e assimilazione primaria di nuovo materiale
Obiettivi della lezione
Impara le definizioni di numeri positivi, negativi e opposti.
Trova i numeri opposti quando risolvi gli esercizi, quando risolvi le equazioni
Sviluppo – sviluppare l’attenzione, la perseveranza, la perseveranza, il pensiero logico, il discorso matematico degli studenti.
Educativo: attraverso la lezione, coltivare un atteggiamento attento verso l'altro, instillare la capacità di ascoltare i compagni, l'assistenza reciproca e l'indipendenza.
Obiettivi della lezione
Scopri quali sono i numeri opposti
Impara a usare questo concetto quando risolvi i problemi
Testare le capacità di problem solving degli studenti.
Piano di lezione
1. Introduzione.
2. Parte teorica
3. Parte pratica.
4. Compiti a casa.
introduzione
Guarda le immagini e descrivi in una parola cosa hanno di diverso.
Le immagini mostrano gli opposti.
- questi sono due numeri uguali in valore assoluto, ma aventi segni diversi, per esempio. 5 e -5.
Parte teorica
Per prima cosa ricordiamo di cosa si tratta numeri negativi. Aspetto video:
I punti con coordinate 5 e -5 sono equidistanti dal punto O e si trovano su lati opposti di esso. Per arrivare dal punto O a questi punti è necessario percorrere le stesse distanze, ma in direzioni opposte. Vengono chiamati i numeri 5 e -5 numeri opposti: 5 è l'opposto di -5 e -5 è l'opposto di 5.
Vengono chiamati due numeri che differiscono tra loro solo per il segno numeri opposti.
Ad esempio, i numeri opposti sarebbero 35 e -35, poiché il numero 35 = +35, il che significa che i numeri 35 e -35 differiscono solo nei segni. I numeri opposti saranno anche 0,8 e -0,8, ¾ e -¾.
Proprietà dei numeri opposti
1). Per ogni numero esiste un solo numero opposto.
2). Il numero 0 è il contrario di se stesso.
3). Il numero opposto di a è indicato con -a. Se a = -7,8, allora -a = 7,8; se a = 8,3, allora -a = -8,3; se a = 0, allora -a = 0.
4). La notazione “-(-15)” indica il numero opposto di -15. Poiché l'opposto di -15 è 15, allora -(-15) = 15. In generale -(-a) = a.
Si chiamano i numeri naturali, i loro opposti e lo zero numeri interi.
Numero opposto n" in relazione al numero n è un numero che sommato a n dà zero.
n + n" = 0
Questa uguaglianza può essere riscritta come segue:
n + n" − n = 0 − n O n" = −n
Così, numeri opposti hanno gli stessi moduli, ma segni opposti.
Pertanto il numero opposto di n si denota − n. Quando un numero è positivo, il suo numero opposto sarà negativo e viceversa.
1. Fornisci esempi di numeri opposti.
2. Disegnali su una linea di coordinate.
3. Nomina il numero accanto -3.6; 7; 0; 8/9; -1/2
Parte pratica
Esempio
1) Segnare sulla linea coordinata i punti A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Tra questi punti, trovare e indicare quelli che sono simmetrici rispetto al punto O(0). Cosa si può dire delle coordinate dei punti simmetrici?
Punti simmetrici rispetto al punto O(0): A(2) e B(-2), E(- 5.2) e F(5.2)
Coordinate dei punti simmetrici- Questi sono numeri che differiscono solo nel segno. Tali numeri vengono chiamati opposto.
Segna i punti A(-3), B(+6), C(+4.2), D(+3), E(-4.2), F(-6) sulla linea delle coordinate. Cosa puoi dire di questi numeri? ?
Dei numeri 15; 2,5; – 2,5; -18; 0; 45; – 45 scelgono: a) numeri naturali; b) numeri interi; c) numeri negativi; d) numeri positivi; d) numeri opposti.
1) Scrivi il numero opposto di a.
2) Indicare il numero opposto al numero a se:
a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;
A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.
1) Ricorda cosa significa la voce: - (- a).
2) Posizionare un numero al posto di * per ottenere l'uguaglianza corretta: a) - (- 5) = *; b) 3 = – *.
Compiti a casa
1). Compila la tabella:
2). Trova: a) -m,
se m = -8,
se m = -16
se -k = 27
se -k = -35
se c = 41
se c = -3,6
3). Quante coppie di numeri opposti si trovano tra i numeri -7.2 e 3.6. Segna sulla linea delle coordinate.
4). Scopri il nome dell'eccezionale scienziato francese:
Sai dove si trova? Vita di ogni giorno incontriamo numeri positivi e negativi?
Elenco delle fonti utilizzate
1. Enciclopedia matematica (in 5 volumi). - M.: Enciclopedia sovietica, 2002. -T.1.
2. " Directory più recente scolaretto" "CASA XXI secolo" 2008
3. Riepilogo della lezione sull'argomento "Numeri opposti" Autore: Petrova V.P., insegnante di matematica (classi 5-9), Kiev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematica per la sesta elementare, Libro di testo per la scuola superiore
§ 1 Il concetto di numero positivo
In questa lezione imparerai quali numeri sono chiamati opposti, come trovare il numero opposto e anche quali numeri interi e numeri razionali.
Iniziamo con lavoro pratico. Sulla linea delle coordinate, segnare i punti A(2) e B(-2). Sono simmetrici e il centro di simmetria di questi punti è l'origine delle coordinate O(0), poiché la distanza OA=OB.
Vediamo che le coordinate dei punti simmetrici rispetto all'origine sono numeri che differiscono solo nel segno. Tali numeri sono chiamati opposti.
C'è un'altra definizione di numeri opposti. Quali sono le grandezze dei numeri 2 e -2? Uguale a 2. Pertanto, i numeri opposti sono numeri che hanno gli stessi moduli, ma differiscono nel segno.
Per indicare il contrario di un dato numero si usa il segno meno, che si scrive davanti al numero dato. Cioè, il numero opposto di a si scrive come −a. Ad esempio, il numero 0,24 è opposto al numero −0,24, il numero -25 è il numero opposto −(−25), ma il numero -25 sulla linea delle coordinate è opposto a 25, il che significa -(-25) = 25. Ne consegue che -( -a) = a e a = -(-a).
§ 2 Proprietà dei numeri opposti
Evidenziamo alcune proprietà dei numeri opposti.
L'opposto di un numero positivo è negativo e l'opposto di un numero negativo è positivo. Ciò è comprensibile, poiché i punti della linea delle coordinate corrispondenti ai numeri opposti si trovano sui lati opposti dell'origine.
Se il numero a è opposto al numero b, allora b è opposto ad a - ciò deriva dalla proprietà della simmetria dei punti sulla linea delle coordinate.
Passiamo alla linea delle coordinate. Quanti punti si possono segnare su una linea di coordinate simmetriche a quella data rispetto all'origine? Solo uno. Ciò significa che per ogni numero esiste un solo numero opposto.
Solo un numero è opposto a se stesso: questo è il numero 0, poiché 0 = -0 (quindi non è consuetudine scrivere -0).
Numeri con caratteristica comune formano un insieme (o gruppo), ogni insieme ha il proprio nome.
Ricordiamo che i numeri che usiamo per contare si chiamano numeri naturali e costituiscono l'insieme dei numeri naturali;
Per ogni numero naturale puoi trovare il suo opposto. I numeri naturali, i loro opposti e il numero 0 sono detti interi.
I numeri frazionari possono anche essere positivi o negativi. Tutti i numeri interi e tutte le frazioni si chiamano numeri razionali. Dicono anche che insieme formano l'insieme dei numeri razionali.
Evidenziamo altri due gruppi di numeri. Prendiamo una linea coordinata. Se rimuovi la parte della linea su cui si trovano i numeri negativi, rimarrai con un raggio con numeri positivi e il numero di riferimento 0. I restanti numeri sono detti non negativi, cioè numeri maggiori o uguali a 0. Pertanto, i numeri non positivi sono tutti numeri negativi e il numero 0, cioè numeri minori maggiore o uguale a 0.
Oggi abbiamo imparato cosa sono i numeri opposti, interi, razionali, non negativi, non positivi, e abbiamo imparato a trovare il numero opposto di un dato.
Elenco della letteratura utilizzata:
- Matematica. programma della lezione al libro di testo I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //autore-compilatore L.A. Topilina. Mnemosine 2009
- Matematica. 6a elementare: libro di testo per studenti istituzioni educative. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematica. 6a elementare: libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosine, 2013.
- Manuale di matematica - http://lyudmilanik.com.ua
- Guida dello studente a Scuola superiore http://shkolo.ru
In questo articolo cercheremo di capire cosa sono i numeri opposti. Spiegheremo cosa sono in generale, mostreremo quali designazioni specifiche vengono utilizzate per loro e vedremo alcuni esempi. Nell'ultima parte del materiale elencheremo le principali proprietà dei numeri opposti.
Per spiegare il concetto stesso di opposti, dobbiamo prima rappresentare una linea coordinata. Prendiamo il punto M (ma non all'inizio del conto alla rovescia). La sua distanza dallo zero sarà pari ad un certo numero di segmenti unitari, che a loro volta possono essere divisi in decimi e centesimi. Se misuriamo la stessa distanza dall'origine nella direzione opposta a quella in cui si trova M, allora possiamo arrivare ad un altro punto simile. Chiamiamolo N. Ad esempio, da M a zero la distanza è di 2,4 segmenti unitari, mentre da N a zero è la stessa distanza. Dai un'occhiata all'immagine:
Ricordiamo che ad ogni punto di una linea coordinata può essere associato un solo numero reale. In questo caso, i nostri punti M e N corrispondono a determinati numeri, chiamati opposti. Ogni numero ha un numero opposto, tranne lo zero. Poiché questo è l'inizio del conto alla rovescia, è considerato il contrario di se stesso.
Scriviamo la definizione di cosa sono i numeri opposti:
Definizione 1
Opposto vengono chiamati numeri che corrispondono a tali punti sulla linea delle coordinate a cui arriveremo se segniamo la stessa distanza dall'origine in direzioni diverse (positiva e negativa). Lo zero è all'origine ed è opposto a se stesso.
Come vengono indicati i numeri opposti?
In questa sezione introdurremo la notazione di base per tali numeri. Se abbiamo un certo numero e dobbiamo scriverne il contrario, allora usiamo un segno meno.
Esempio 1
Diciamo che il nostro numero è a, quindi il suo opposto è a (meno a). Allo stesso modo, per 0,26 il contrario è - 0,26, e per 145 sarà - 145. Se il numero originale stesso è negativo, ad esempio - 9, scriviamo il contrario come – (- 9).
Quali altri esempi di numeri opposti puoi fornire? Prendiamo i numeri interi: 12 e - 12. I numeri razionali opposti sono 3 2 11 e - 3 2 11, così come 8, 128 e − 8, 128, 0, (18901) e − 0, (18901), ecc. I numeri irrazionali possono anche essere opposti, ad esempio, i valori espressioni numeriche 2 + 1 e - 2 + 1.
Anche i numeri irrazionali opposti saranno e e - e.
Proprietà fondamentali dei numeri opposti
Tali numeri hanno determinate proprietà. Di seguito ne forniremo un elenco con le spiegazioni.
Definizione 2
1. Se il numero originale è positivo, il suo opposto sarà negativo.
Questa affermazione è ovvia e deriva dal grafico sopra: tali numeri si trovano sui lati opposti della linea di riferimento. Se hai dimenticato i concetti di positivo e numeri negativi, guarda il materiale che abbiamo pubblicato in precedenza.
Da questa regola si può dedurre un’altra affermazione molto importante. In forma letterale, la sua notazione è questa: per ogni a positivo sarà vero − (− a) = a. Mostriamo con un esempio perché questo è importante.
Prendiamo il numero 5. Usando la linea delle coordinate, puoi vedere che il numero opposto è 5 e viceversa. Utilizzando la notazione che abbiamo indicato sopra, scriviamo il numero opposto - 5 come – (- 5) . Risulta che – (- 5) = 5. Da qui la conclusione: i numeri opposti differiscono tra loro solo per la presenza di un segno meno.
2. La seguente proprietà è solitamente chiamata proprietà della simmetria. Può anche essere derivato dalla definizione stessa di numeri opposti. Suona così:
Definizione 3
Se un numero a è l'opposto di b, allora b è l'opposto di a.
Ovviamente questa affermazione non necessita di ulteriori prove.
3. La terza proprietà dei numeri opposti dice:
Definizione 4
Ogni numero reale ha un solo numero opposto.
Questa affermazione deriva dal fatto che i punti su una linea di coordinate non possono corrispondere a più numeri contemporaneamente.
Definizione 5
4. I moduli dei numeri opposti sono uguali.
Ciò segue dalla definizione del modulo. È logico che i punti su una linea corrispondente a qualsiasi numero opposto si trovino alla stessa distanza dal punto di riferimento.
Definizione 6
5. Se sommiamo numeri opposti, otteniamo 0.
Letteralmente, questa affermazione assomiglia a a + (− a) = 0.
Esempio 2
Ecco alcuni esempi di tali calcoli:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
Come puoi vedere, questa regola funziona per tutti i numeri: interi, razionali, irrazionali, ecc.
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