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Il minimo comune denominatore viene utilizzato per semplificare questa equazione. Questo metodo viene utilizzato quando non è possibile scrivere una determinata equazione con un'espressione razionale su ciascun lato dell'equazione (e utilizzare il metodo di moltiplicazione incrociata). Questo metodo viene utilizzato quando ti viene fornita un'equazione razionale con 3 o più frazioni (nel caso di due frazioni è meglio utilizzare la moltiplicazione incrociata).
Trova il minimo comune denominatore delle frazioni (o minimo comune multiplo). NOZ lo è numero più piccolo, che è uniformemente divisibile per ciascun denominatore.
- A volte NPD è un numero ovvio. Ad esempio, se data l'equazione: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, allora è ovvio che il minimo comune multiplo dei numeri 3, 2 e 6 è 6.
- Se il NCD non è evidente, annota i multipli del denominatore più grande e trova tra loro quello che sarà multiplo degli altri denominatori. Spesso il NOD può essere trovato semplicemente moltiplicando due denominatori. Ad esempio, se l'equazione è x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, allora NOS = 8*9 = 72.
- Se uno o più denominatori contengono una variabile, il processo diventa un po’ più complicato (ma non impossibile). In questo caso, il NOC è un'espressione (contenente una variabile) divisa per ciascun denominatore. Ad esempio, nell'equazione 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), poiché questa espressione è divisa per ciascun denominatore: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Moltiplica sia il numeratore che il denominatore di ciascuna frazione per un numero uguale al risultato della divisione del NOC per il corrispondente denominatore di ciascuna frazione. Poiché stai moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero, stai effettivamente moltiplicando la frazione per 1 (ad esempio, 2/2 = 1 o 3/3 = 1).
- Quindi, nel nostro esempio, moltiplica x/3 per 2/2 per ottenere 2x/6, e moltiplica 1/2 per 3/3 per ottenere 3/6 (non è necessario moltiplicare la frazione 3x +1/6 perché è la frazione il denominatore è 6).
- Procedi allo stesso modo quando la variabile è al denominatore. Nel nostro secondo esempio, NOZ = 3x(x-1), quindi moltiplica 5/(x-1) per (3x)/(3x) per ottenere 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x moltiplicato per 3(x-1)/3(x-1) e ottieni 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) moltiplicato per (x-1)/(x-1) e ottieni 2(x-1)/3x(x-1).
Trova x. Ora che hai ridotto le frazioni a un denominatore comune, puoi eliminare il denominatore. Per fare ciò, moltiplica ciascun lato dell'equazione per il denominatore comune. Quindi risolvi l'equazione risultante, ovvero trova "x". Per fare ciò, isola la variabile su un lato dell'equazione.
- Nel nostro esempio: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puoi aggiungere 2 frazioni con stesso denominatore, quindi scrivi l'equazione come: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6 ed elimina i denominatori: 2x+3 = 3x +1. Risolvi e ottieni x = 2.
- Nel nostro secondo esempio (con una variabile al denominatore), l'equazione appare così (dopo la riduzione a un denominatore comune): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2(x-1)/3x(x-1). Moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per N3, elimini il denominatore e ottieni: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), o 15x = 3x - 3 + 2x -2, o 15x = x - 5 Risolvi e ottieni: x = -5/14.
"Risoluzione di equazioni razionali frazionarie"
Obiettivi della lezione:
Educativo:
- formazione del concetto di equazioni razionali frazionarie; considerare vari modi per risolvere equazioni razionali frazionarie; considerare un algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie, inclusa la condizione che la frazione sia uguale a zero; insegnare a risolvere equazioni razionali frazionarie utilizzando un algoritmo; verificare il livello di padronanza dell'argomento effettuando un test.
Sviluppo:
- sviluppo della capacità di operare correttamente con le conoscenze acquisite e pensare in modo logico; sviluppo di capacità intellettuali e operazioni mentali - analisi, sintesi, confronto e generalizzazione; sviluppo dell'iniziativa, capacità di prendere decisioni e non fermarsi qui; sviluppo del pensiero critico; sviluppo delle capacità di ricerca.
Educare:
- promuovere l’interesse cognitivo per l’argomento; promuovere l'indipendenza nella risoluzione dei problemi educativi; coltivare volontà e perseveranza per raggiungere i risultati finali.
Tipo di lezione: lezione - spiegazione del nuovo materiale.
Durante le lezioni
1. Momento organizzativo.
Ciao ragazzi! Ci sono delle equazioni scritte alla lavagna, guardale attentamente. Riesci a risolvere tutte queste equazioni? Quali non lo sono e perché?
Le equazioni in cui i lati sinistro e destro sono espressioni razionali frazionarie sono chiamate equazioni razionali frazionarie. Cosa pensi che studieremo in classe oggi? Formulare l'argomento della lezione. Quindi apriamo i nostri quaderni e scriviamo l'argomento della lezione "Risoluzione di equazioni razionali frazionarie".
2. Aggiornamento delle conoscenze. Indagine frontale, lavoro orale con la classe.
E ora ripeteremo il materiale teorico principale di cui avremo bisogno per studiare un nuovo argomento. Per favore, rispondi alle seguenti domande:
1. Cos'è un'equazione? ( Uguaglianza con una o più variabili.)
2. Qual è il nome dell'equazione n. 1? ( Lineare.) Un metodo per risolvere equazioni lineari. ( Sposta tutto con l'incognita sul lato sinistro dell'equazione, tutti i numeri a destra. Fornisci termini simili. Trova il fattore sconosciuto).
3. Qual è il nome dell'equazione n. 3? ( Piazza.) Metodi per risolvere equazioni quadratiche. ( Isolare un quadrato completo utilizzando formule che utilizzano il teorema di Vieta e i suoi corollari.)
4. Cos'è la proporzione? ( Uguaglianza di due rapporti.) La proprietà principale della proporzione. ( Se la proporzione è corretta, il prodotto dei suoi termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi.)
5. Quali proprietà vengono utilizzate quando si risolvono le equazioni? ( 1. Se sposti un termine di un'equazione da una parte all'altra, cambiandone il segno, otterrai un'equazione equivalente a quella data. 2. Se entrambi i lati dell'equazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, ottieni un'equazione equivalente a quella data.)
6. Quando una frazione è uguale a zero? ( Una frazione è uguale a zero quando il numeratore è zero e il denominatore non è zero..)
3. Spiegazione del nuovo materiale.
Risolvi l'equazione n. 2 sui tuoi quaderni e sulla lavagna.
Risposta: 10.
Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere utilizzando la proprietà fondamentale della proporzione? (N.5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
Risolvi l'equazione n. 4 sui tuoi quaderni e sulla lavagna.
Risposta: 1,5.
Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per il denominatore? (N. 6).
D=1›0, x1=3, x2=4.
Risposta: 3;4.
Ora prova a risolvere l'equazione numero 7 utilizzando uno dei seguenti metodi.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Risposta: 0;5;-2. | Risposta: 5;-2. |
Spiegare perché è successo? Perché ci sono tre radici in un caso e due nell'altro? Quali numeri sono le radici di questa equazione razionale frazionaria?
Fino ad ora gli studenti non hanno incontrato il concetto di radice estranea, infatti è molto difficile per loro capire perché ciò sia accaduto. Se nessuno in classe è in grado di fornire una spiegazione chiara di questa situazione, l'insegnante pone domande guida.
- In che modo le equazioni n. 2 e 4 differiscono dalle equazioni n. 5,6,7? ( Nelle equazioni n. 2 e 4 ci sono numeri al denominatore, n. 5-7 sono espressioni con una variabile.) Qual è la radice di un'equazione? ( Il valore della variabile in corrispondenza del quale l'equazione diventa vera.) Come scoprire se un numero è la radice di un'equazione? ( Fai un controllo.)
Durante i test, alcuni studenti notano che devono dividere per zero. Concludono che i numeri 0 e 5 non sono le radici di questa equazione. La domanda sorge spontanea: esiste un modo per risolvere le equazioni razionali frazionarie che ci permetta di eliminare questo errore? Sì, questo metodo si basa sulla condizione che la frazione sia uguale a zero.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Se x=5, allora x(x-5)=0, il che significa che 5 è una radice estranea.
Se x=-2, allora x(x-5)≠0.
Risposta: -2.
Proviamo a formulare un algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie in questo modo. I bambini formulano da soli l'algoritmo.
Algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie:
1. Sposta tutto sul lato sinistro.
2. Ridurre le frazioni a un denominatore comune.
3. Crea un sistema: una frazione è uguale a zero quando il numeratore è uguale a zero e il denominatore è diverso da zero.
4. Risolvi l'equazione.
5. Controllare la disuguaglianza per escludere radici estranee.
6. Scrivi la risposta.
Discussione: come formalizzare la soluzione se si utilizza la proprietà di base della proporzione e moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per un denominatore comune. (Aggiungere alla soluzione: escludere dalle sue radici quelle che fanno svanire il denominatore comune).
4. Comprensione iniziale di nuovo materiale.
Lavoro in coppia. Gli studenti scelgono come risolvere l'equazione da soli a seconda del tipo di equazione. Compiti dal libro di testo “Algebra 8”, 2007: n. 000 (b, c, i); N. 000(a, d, g). L'insegnante monitora il completamento del compito, risponde a tutte le domande che sorgono e fornisce assistenza agli studenti con scarso rendimento. Autotest: le risposte vengono scritte alla lavagna.
b) 2 – radice estranea. Risposta: 3.
c) 2 – radice estranea. Risposta: 1.5.
a) Risposta: -12.5.
g) Risposta: 1;1.5.
5. Impostazione dei compiti.
2. Impara l'algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie.
3. Risolvi nei quaderni n. 000 (a, d, e); N. 000(g, h).
4. Prova a risolvere il n. 000(a) (facoltativo).
6. Completare un'attività di controllo sull'argomento studiato.
Il lavoro viene svolto su pezzi di carta.
Compito di esempio:
A) Quali equazioni sono razionali frazionarie?
B) Una frazione è uguale a zero quando il numeratore è ______________________ e il denominatore è _______________________.
D) Il numero -3 è la radice dell'equazione numero 6?
D) Risolvi l'equazione n. 7.
Criteri di valutazione per l'incarico:
- Viene assegnato "5" se lo studente ha completato correttamente più del 90% dell'attività. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” viene assegnato a uno studente che ha completato meno del 50% dell'attività. Il punteggio 2 non è riportato nella rivista, 3 è facoltativo.
7. Riflessione.
Sui fogli di lavoro indipendenti, inserire:
- 1 – se la lezione ti è stata interessante e comprensibile; 2 – interessante, ma non chiaro; 3 – non interessante, ma comprensibile; 4 – non interessante, non chiaro.
8. Riassumendo la lezione.
Quindi, oggi nella lezione abbiamo conosciuto le equazioni razionali frazionarie, abbiamo imparato a risolvere queste equazioni in vari modi e abbiamo testato le nostre conoscenze con l'aiuto di un lavoro educativo indipendente. Imparerai i risultati del tuo lavoro indipendente nella prossima lezione e a casa avrai l'opportunità di consolidare le tue conoscenze.
Quale metodo per risolvere le equazioni razionali frazionarie, secondo te, è più semplice, più accessibile e più razionale? Indipendentemente dal metodo per risolvere le equazioni razionali frazionarie, cosa dovresti ricordare? Qual è l’“astuzia” delle equazioni razionali frazionarie?
Grazie a tutti, la lezione è finita.
Continuiamo a parlare di risolvere equazioni. In questo articolo entreremo nel dettaglio equazioni razionali e principi per risolvere equazioni razionali con una variabile. Per prima cosa, scopriamo quali tipi di equazioni sono chiamate razionali, diamo una definizione di equazioni razionali intere e frazionarie e forniamo esempi. Successivamente otterremo algoritmi per risolvere equazioni razionali e, ovviamente, considereremo soluzioni ad esempi tipici con tutte le spiegazioni necessarie.
Navigazione della pagina.
Sulla base delle definizioni indicate, diamo diversi esempi di equazioni razionali. Ad esempio, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , sono tutte equazioni razionali.
Dagli esempi mostrati risulta chiaro che le equazioni razionali, così come le equazioni di altro tipo, possono essere ad una variabile, oppure a due, tre, ecc. variabili. Nei paragrafi seguenti parleremo della risoluzione di equazioni razionali con una variabile. Risoluzione di equazioni in due variabili e loro un largo numero meritano un'attenzione particolare.
Oltre a dividere le equazioni razionali per il numero di variabili sconosciute, sono anche divise in intere e frazionarie. Diamo le definizioni corrispondenti.
Definizione.
Equazione razionale chiamato Totale, se entrambi i suoi lati sinistro e destro sono espressioni razionali intere.
Definizione.
Se almeno una delle parti di un'equazione razionale lo è espressione frazionaria, allora questa equazione viene chiamata frazionalmente razionale(o razionale frazionario).
È chiaro che le equazioni intere non contengono la divisione per una variabile, al contrario, le equazioni razionali frazionarie contengono necessariamente la divisione per una variabile (o una variabile al denominatore); Quindi 3x+2=0 e (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– queste sono equazioni razionali intere, entrambe le loro parti sono espressioni intere. A e x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sono esempi di equazioni razionali frazionarie.
Concludendo questo punto, attiriamo l'attenzione sul fatto che le equazioni lineari e le equazioni quadratiche conosciute fino a questo punto sono intere equazioni razionali.
Risoluzione di intere equazioni
Uno degli approcci principali per risolvere intere equazioni è ridurle a equivalenti equazioni algebriche. Questo può sempre essere fatto eseguendo le seguenti trasformazioni equivalenti dell'equazione:
- in primo luogo, l'espressione dal lato destro dell'equazione intera originale viene trasferita al lato sinistro con il segno opposto per ottenere zero sul lato destro;
- dopodiché, sul lato sinistro dell'equazione, viene visualizzata la forma standard risultante.
Il risultato è un'equazione algebrica equivalente all'equazione intera originale. Pertanto, nei casi più semplici, la risoluzione di intere equazioni si riduce alla risoluzione di equazioni lineari o quadratiche e, nel caso generale, alla risoluzione di un'equazione algebrica di grado n. Per chiarezza, diamo un'occhiata alla soluzione dell'esempio.
Esempio.
Trova le radici dell'intera equazione 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.
Soluzione.
Riduciamo la soluzione dell'intera equazione alla soluzione di un'equazione algebrica equivalente. Per fare ciò, innanzitutto trasferiamo l'espressione dal lato destro a quello sinistro, di conseguenza arriviamo all'equazione 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. E, in secondo luogo, trasformiamo l'espressione formata a sinistra in un polinomio di forma standard completando il necessario: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Pertanto, la soluzione dell'equazione intera originale viene ridotta alla soluzione equazione quadrata x2−5x−6=0 .
Calcoliamo il suo discriminante D=(−5)2 −4·1·(−6)=25+24=49, è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali, che troviamo utilizzando la formula per le radici di un'equazione quadratica:
Per essere completamente sicuri, facciamolo controllando le radici trovate dell'equazione. Per prima cosa controlliamo la radice 6, sostituiamola al posto della variabile x nell'equazione intera originale: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, che è lo stesso, 63=63. Questa è un'equazione numerica valida, quindi x=6 è effettivamente la radice dell'equazione. Ora controlliamo la radice −1, abbiamo 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, da dove, 0=0 . Quando x=−1, l'equazione originale si trasforma anche in un'uguaglianza numerica corretta, quindi anche x=−1 è una radice dell'equazione.
Risposta:
6 , −1 .
Qui va anche notato che il termine “grado dell’intera equazione” è associato alla rappresentazione di un’intera equazione sotto forma di equazione algebrica. Diamo la definizione corrispondente:
Definizione.
La potenza dell'intera equazioneè chiamato grado di un'equazione algebrica equivalente.
Secondo questa definizione, l'intera equazione dell'esempio precedente è di secondo grado.
Questa avrebbe potuto essere la fine della risoluzione di intere equazioni razionali, se non fosse stato per una cosa…. Come è noto, la risoluzione di equazioni algebriche di grado superiore al secondo comporta notevoli difficoltà, e per equazioni di grado superiore al quarto non esiste formule generali radici Pertanto, per risolvere intere equazioni di terza, quarta e oltre gradi elevati Spesso è necessario ricorrere ad altri metodi di soluzione.
In tali casi, un approccio per risolvere intere equazioni razionali basato su metodo di fattorizzazione. In questo caso viene rispettato il seguente algoritmo:
- Innanzitutto, si assicurano che ci sia uno zero sul lato destro dell'equazione, per fare ciò trasferiscono l'espressione dal lato destro dell'intera equazione a quello sinistro;
- quindi, l'espressione risultante sul lato sinistro viene presentata come un prodotto di diversi fattori, il che ci consente di passare a un insieme di diverse equazioni più semplici.
L'algoritmo fornito per risolvere un'intera equazione tramite fattorizzazione richiede una spiegazione dettagliata utilizzando un esempio.
Esempio.
Risolvi l'intera equazione (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .
Soluzione.
Per prima cosa, come al solito, trasferiamo l'espressione dal lato destro al lato sinistro dell'equazione, senza dimenticare di cambiare segno, otteniamo (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Qui è abbastanza ovvio che non è consigliabile trasformare il membro sinistro dell'equazione risultante in un polinomio della forma standard, poiché ciò darà un'equazione algebrica del quarto grado della forma x4 −12 x3 +32 x2 −16 x−13=0, la cui soluzione è difficile.
D'altra parte è ovvio che sul lato sinistro dell'equazione risultante possiamo x 2 −10·x+13 , presentandolo quindi come un prodotto. Abbiamo (x2−10x+13) (x2−2x−1)=0. L'equazione risultante è equivalente all'intera equazione originale e, a sua volta, può essere sostituita da un insieme di due equazioni quadratiche x 2 −10·x+13=0 e x 2 −2·x−1=0. Trovare le loro radici usando formule di radice conosciute attraverso un discriminante non è difficile, le radici sono uguali. Sono le radici desiderate dell'equazione originale.
Risposta:
Utile anche per risolvere intere equazioni razionali Metodo per introdurre una nuova variabile. In alcuni casi, consente di passare a equazioni il cui grado è inferiore al grado dell'intera equazione originale.
Esempio.
Trova le radici reali di un'equazione razionale (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
Soluzione.
Ridurre l'intera equazione razionale a un'equazione algebrica non è, per usare un eufemismo, una buona idea, poiché in questo caso arriveremo alla necessità di risolvere un'equazione di quarto grado che non ha radici razionali. Pertanto, dovrai cercare un'altra soluzione.
Qui è facile vedere che puoi introdurre una nuova variabile y e sostituire con essa l'espressione x 2 +3·x. Questa sostituzione ci porta all'intera equazione (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , che, dopo aver spostato l'espressione −2·(y−4) a sinistra e successiva trasformazione dell'espressione lì formato, si riduce ad un'equazione quadratica y 2 +4·y+3=0. Le radici di questa equazione y=−1 e y=−3 sono facili da trovare, ad esempio possono essere selezionate in base al teorema inverso al teorema di Vieta.
Passiamo ora alla seconda parte del metodo di introduzione di una nuova variabile, ovvero all'esecuzione di una sostituzione inversa. Dopo aver eseguito la sostituzione inversa, otteniamo due equazioni x 2 +3 x=−1 e x 2 +3 x=−3, che possono essere riscritte come x 2 +3 x+1=0 e x 2 +3 x+3 =0. Utilizzando la formula per le radici di un'equazione quadratica, troviamo le radici della prima equazione. E la seconda equazione quadratica non ha radici reali, poiché il suo discriminante è negativo (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).
Risposta:
In generale, quando abbiamo a che fare con intere equazioni di grado elevato, dobbiamo sempre essere pronti a cercare un metodo non standard o una tecnica artificiale per risolverle.
Risoluzione di equazioni razionali frazionarie
Innanzitutto, sarà utile capire come risolvere equazioni razionali frazionarie della forma , dove p(x) e q(x) sono espressioni razionali intere. E poi mostreremo come ridurre la soluzione di altre equazioni frazionarie razionali alla soluzione di equazioni del tipo indicato.
Un approccio alla risoluzione dell'equazione si basa sulla seguente affermazione: la frazione numerica u/v, dove v è un numero diverso da zero (altrimenti incontreremo , che non è definito), è uguale a zero se e solo se il suo numeratore è uguale a zero, allora è, se e solo se u=0 . In virtù di questa affermazione, la risoluzione dell'equazione si riduce al soddisfacimento di due condizioni p(x)=0 e q(x)≠0.
Questa conclusione corrisponde a quanto segue algoritmo per la risoluzione di un'equazione razionale frazionaria. Per risolvere un'equazione razionale frazionaria della forma , è necessario
- risolvere l'intera equazione razionale p(x)=0 ;
- e controlla se la condizione q(x)≠0 è soddisfatta per ogni radice trovata, while
- se vero, allora questa radice è la radice dell'equazione originale;
- se non è soddisfatta, allora questa radice è estranea, cioè non è la radice dell'equazione originaria.
Diamo un'occhiata a un esempio di utilizzo dell'algoritmo annunciato durante la risoluzione di un'equazione razionale frazionaria.
Esempio.
Trova le radici dell'equazione.
Soluzione.
Questa è un'equazione razionale frazionaria e della forma , dove p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.
Secondo l'algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie di questo tipo, dobbiamo prima risolvere l'equazione 3 x−2=0. Questa è un'equazione lineare la cui radice è x=2/3.
Resta da verificare questa radice, cioè verificare se soddisfa la condizione 5 x 2 −2≠0. Sostituiamo il numero 2/3 nell'espressione 5 x 2 −2 invece di x e otteniamo . La condizione è soddisfatta, quindi x=2/3 è la radice dell'equazione originale.
Risposta:
2/3 .
Puoi affrontare la risoluzione di un'equazione razionale frazionaria da una posizione leggermente diversa. Questa equazione è equivalente all'equazione intera p(x)=0 sulla variabile x dell'equazione originale. Cioè, puoi attenerti a questo algoritmo per la risoluzione di un'equazione razionale frazionaria :
- risolvere l'equazione p(x)=0 ;
- trovare l'ODZ della variabile x;
- mettono radici appartenenti alla regione dei valori accettabili: sono le radici desiderate dell'equazione razionale frazionaria originale.
Ad esempio, risolviamo un'equazione razionale frazionaria utilizzando questo algoritmo.
Esempio.
Risolvi l'equazione.
Soluzione.
Per prima cosa risolviamo l'equazione quadratica x 2 −2·x−11=0. Le sue radici possono essere calcolate utilizzando la formula della radice per il secondo coefficiente pari che abbiamo D1 =(−1)2−1·(−11)=12, E .
In secondo luogo, troviamo l'ODZ della variabile x per l'equazione originale. Consiste di tutti i numeri per i quali x 2 +3·x≠0, che è uguale a x·(x+3)≠0, da cui x≠0, x≠−3.
Resta da verificare se le radici trovate nel primo passaggio sono incluse nell'ODZ. Ovviamente sì. Pertanto, l'equazione razionale frazionaria originale ha due radici.
Risposta:
Si noti che questo approccio è più redditizio del primo se l'ODZ è facile da trovare, ed è particolarmente vantaggioso se le radici dell'equazione p(x) = 0 sono irrazionali, ad esempio, o razionali, ma con un numeratore piuttosto grande e /o denominatore, ad esempio, 127/1101 e −31/59. Ciò è dovuto al fatto che in tali casi, verificare la condizione q(x)≠0 richiederà uno sforzo computazionale significativo ed è più semplice escludere radici estranee utilizzando l'ODZ.
In altri casi, quando si risolve l'equazione, soprattutto quando le radici dell'equazione p(x) = 0 sono intere, è più vantaggioso utilizzare il primo degli algoritmi indicati. Cioè, è consigliabile trovare immediatamente le radici dell'intera equazione p(x)=0, e poi verificare se per esse è soddisfatta la condizione q(x)≠0, piuttosto che trovare l'ODZ, e quindi risolvere l'equazione p(x)=0 su questo ODZ . Ciò è dovuto al fatto che in questi casi è solitamente più facile controllare che trovare DZ.
Consideriamo la soluzione di due esempi per illustrare le sfumature specificate.
Esempio.
Trova le radici dell'equazione.
Soluzione.
Innanzitutto, troviamo le radici dell'intera equazione (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, composto utilizzando il numeratore della frazione. Lato sinistro di questa equazione è un prodotto e la mano destra è zero, quindi, secondo il metodo di risoluzione delle equazioni tramite fattorizzazione, questa equazione è equivalente a un insieme di quattro equazioni 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . Tre di queste equazioni sono lineari e una è quadratica, possiamo risolverle. Dalla prima equazione troviamo x=1/2, dalla seconda - x=6, dalla terza - x=7, x=−2, dalla quarta - x=−1.
Una volta trovate le radici, è abbastanza facile verificare se il denominatore della frazione a sinistra dell'equazione originale svanisce, ma determinare l'ODZ, al contrario, non è così facile, poiché per questo dovrai risolvere un Equazione algebrica di quinto grado. Pertanto, abbandoneremo la ricerca dell'ODZ a favore del controllo delle radici. Per fare ciò, li sostituiamo uno per uno al posto della variabile x nell'espressione x5 −15 x4 +57 x3 −13 x2 +26 x+112, ottenuti dopo la sostituzione, e confrontarli con zero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
Pertanto, 1/2, 6 e −2 sono le radici desiderate dell'equazione razionale frazionaria originale, e 7 e −1 sono radici estranee.
Risposta:
1/2 , 6 , −2 .
Esempio.
Trova le radici di un'equazione razionale frazionaria.
Soluzione.
Innanzitutto, troviamo le radici dell'equazione (5 x 2 −7 x −1) (x−2)=0. Questa equazione è equivalente a un insieme di due equazioni: quadrato 5 x 2 −7 x−1=0 e lineare x−2=0. Usando la formula per le radici di un'equazione quadratica, troviamo due radici e dalla seconda equazione abbiamo x=2.
Controllare se il denominatore va a zero ai valori trovati di x è piuttosto spiacevole. E determinare l'intervallo di valori consentiti della variabile x nell'equazione originale è abbastanza semplice. Pertanto, agiremo tramite ODZ.
Nel nostro caso, l'ODZ della variabile x dell'equazione razionale frazionaria originale è costituito da tutti i numeri tranne quelli per i quali è soddisfatta la condizione x 2 +5·x−14=0. Le radici di questa equazione quadratica sono x=−7 ex=2, da cui traiamo una conclusione sull'ODZ: è costituito da tutti gli x tali che .
Resta da verificare se le radici trovate e x=2 appartengono all'intervallo dei valori accettabili. Le radici appartengono, quindi, sono radici dell'equazione originale, e x=2 non appartiene, quindi è una radice estranea.
Risposta:
Sarà anche utile soffermarsi separatamente sui casi in cui in un'equazione razionale frazionaria della forma c'è un numero al numeratore, cioè quando p(x) è rappresentato da un numero. In cui
- se questo numero è diverso da zero, allora l'equazione non ha radici, poiché una frazione è uguale a zero se e solo se il suo numeratore è uguale a zero;
- se questo numero è zero, la radice dell'equazione è un numero qualsiasi dell'ODZ.
Esempio.
Soluzione.
Poiché il numeratore della frazione sul lato sinistro dell'equazione contiene un numero diverso da zero, per qualsiasi x il valore di questa frazione non può essere uguale a zero. Pertanto, questa equazione non ha radici.
Risposta:
senza radici.
Esempio.
Risolvi l'equazione.
Soluzione.
Il numeratore della frazione sul lato sinistro di questa equazione razionale frazionaria contiene zero, quindi il valore di questa frazione è zero per qualsiasi x per cui ha senso. In altre parole, la soluzione di questa equazione è qualsiasi valore di x dell'ODZ di questa variabile.
Resta da determinare questo intervallo di valori accettabili. Comprende tutti i valori di x per i quali x 4 +5 x 3 ≠0. Le soluzioni dell'equazione x 4 +5 x 3 =0 sono 0 e −5, poiché questa equazione è equivalente all'equazione x 3 (x+5)=0, ed è a sua volta equivalente alla combinazione di due equazioni x 3 =0 ex +5=0, da dove queste radici sono visibili. Pertanto, l'intervallo desiderato di valori accettabili è qualsiasi x tranne x=0 e x=−5.
Pertanto, un'equazione razionale frazionaria ha infinite soluzioni, che sono qualsiasi numero tranne zero e meno cinque.
Risposta:
Infine, è il momento di parlare della risoluzione di equazioni razionali frazionarie di forma arbitraria. Possono essere scritte come r(x)=s(x), dove r(x) e s(x) sono espressioni razionali e almeno una di esse è frazionaria. Guardando al futuro, diciamo che la loro soluzione si riduce alla risoluzione di equazioni nella forma a noi già familiare.
È noto che trasferendo un termine da una parte dell’equazione ad un’altra con segno opposto si ottiene un’equazione equivalente, quindi l’equazione r(x)=s(x) è equivalente all’equazione r(x)−s(x )=0.
Sappiamo anche che qualsiasi , identicamente uguale a questa espressione, è possibile. Pertanto, possiamo sempre trasformare l'espressione razionale sul lato sinistro dell'equazione r(x)−s(x)=0 in una frazione razionale identicamente uguale della forma .
Quindi passiamo dall'equazione razionale frazionaria originale r(x)=s(x) all'equazione e la sua soluzione, come abbiamo scoperto sopra, si riduce alla risoluzione dell'equazione p(x)=0.
Ma qui è necessario tenere conto del fatto che sostituendo r(x)−s(x)=0 con , e poi con p(x)=0, l'intervallo dei valori consentiti della variabile x può ampliarsi .
Di conseguenza, l'equazione originale r(x)=s(x) e l'equazione p(x)=0 a cui siamo arrivati potrebbero rivelarsi disuguali e, risolvendo l'equazione p(x)=0, possiamo ottenere le radici quelle saranno radici estranee dell'equazione originale r(x)=s(x) . È possibile identificare e non includere radici estranee nella risposta eseguendo un controllo oppure verificando che appartengano all'ODZ dell'equazione originale.
Riassumiamo queste informazioni in algoritmo per risolvere l'equazione razionale frazionaria r(x)=s(x). Per risolvere l'equazione razionale frazionaria r(x)=s(x) , è necessario
- Ottieni lo zero a destra spostando l'espressione dal lato destro con il segno opposto.
- Esegui operazioni con frazioni e polinomi sul lato sinistro dell'equazione, trasformandola così in una frazione razionale della forma.
- Risolvi l'equazione p(x)=0.
- Identificare ed eliminare le radici estranee, operazione eseguita sostituendole nell'equazione originale o verificando la loro appartenenza all'ODZ dell'equazione originale.
Per maggiore chiarezza, mostreremo l'intera catena di risoluzione delle equazioni razionali frazionarie:
.
Diamo un'occhiata alle soluzioni di diversi esempi con una spiegazione dettagliata del processo di soluzione per chiarire il blocco di informazioni fornito.
Esempio.
Risolvere un'equazione razionale frazionaria.
Soluzione.
Agiremo secondo l'algoritmo risolutivo appena ottenuto. E prima spostiamo i termini dal lato destro dell'equazione a sinistra, di conseguenza passiamo all'equazione.
Nel secondo passaggio, dobbiamo convertire l'espressione razionale frazionaria sul lato sinistro dell'equazione risultante nella forma di una frazione. Per fare ciò, eseguiamo un cast frazioni razionali ad un denominatore comune e semplificare l'espressione risultante: . Arriviamo quindi all'equazione.
Nel passaggio successivo, dobbiamo risolvere l'equazione −2·x−1=0. Troviamo x=−1/2.
Resta da verificare se il numero trovato −1/2 non sia una radice estranea all'equazione originale. Per fare ciò, puoi controllare o trovare il VA della variabile x dell'equazione originale. Dimostriamo entrambi gli approcci.
Cominciamo con il controllo. Sostituiamo il numero −1/2 nell'equazione originale invece della variabile x e otteniamo la stessa cosa, −1=−1. La sostituzione fornisce l'uguaglianza numerica corretta, quindi x=−1/2 è la radice dell'equazione originale.
Ora mostreremo come viene eseguito l'ultimo punto dell'algoritmo tramite ODZ. L'intervallo di valori accettabili dell'equazione originale è l'insieme di tutti i numeri tranne −1 e 0 (a x=−1 e x=0 i denominatori delle frazioni svaniscono). La radice x=−1/2 trovata nel passaggio precedente appartiene all'ODZ, pertanto x=−1/2 è la radice dell'equazione originale.
Risposta:
−1/2 .
Diamo un'occhiata a un altro esempio.
Esempio.
Trova le radici dell'equazione.
Soluzione.
Dobbiamo risolvere un'equazione razionale frazionaria, seguiamo tutti i passaggi dell'algoritmo.
Per prima cosa spostiamo il termine dal lato destro a quello sinistro, otteniamo .
In secondo luogo trasformiamo l'espressione formata a sinistra: . Di conseguenza, arriviamo all'equazione x=0.
La sua radice è ovvia: è zero.
Al quarto passo resta da scoprire se la radice trovata è estranea all'equazione razionale frazionaria originaria. Quando viene sostituito nell'equazione originale, si ottiene l'espressione. Ovviamente non ha senso perché contiene la divisione per zero. Da ciò concludiamo che 0 è una radice estranea. Pertanto, l'equazione originale non ha radici.
7, che porta all’Eq. Da ciò possiamo concludere che l'espressione al denominatore del lato sinistro deve essere uguale a quella del lato destro, cioè . Ora sottraiamo da entrambi i lati della tripla: . Per analogia, da dove e oltre.
Il controllo mostra che entrambe le radici trovate sono radici dell'equazione razionale frazionaria originale.
Risposta:
Bibliografia.
- Algebra: manuale per l'ottavo grado. educazione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; a cura di S. A. Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Educazione, 2008. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019243-9.
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- Algebra: 9° grado: educativo. per l'istruzione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; a cura di S. A. Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Educazione, 2009. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-021134-5.