La formula generale del seno in trigonometria. Proprietà del seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo

Viene chiamato il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa seno di un angolo acuto triangolo rettangolo.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo

Si chiama il rapporto tra il cateto più vicino e l'ipotenusa coseno di un angolo acuto triangolo rettangolo.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo

Viene chiamato il rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente tangente ad angolo acuto triangolo rettangolo.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo

Viene chiamato il rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta cotangente di un angolo acuto triangolo rettangolo.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Seno di un angolo arbitrario

Si chiama l'ordinata del punto sulla circonferenza unitaria a cui corrisponde l'angolo \alpha seno di un angolo arbitrario rotazione \alpha .

\sin \alpha=y

Coseno di un angolo arbitrario

Si chiama l'ascissa di un punto sulla circonferenza unitaria a cui corrisponde l'angolo \alpha coseno di un angolo arbitrario rotazione \alpha .

\cos \alpha=x

Tangente di un angolo arbitrario

Viene chiamato il rapporto tra il seno di un angolo di rotazione arbitrario \alpha e il suo coseno tangente di un angolo arbitrario rotazione \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangente di un angolo arbitrario

Viene chiamato il rapporto tra il coseno di un angolo di rotazione arbitrario \alpha e il suo seno cotangente di un angolo arbitrario rotazione \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Un esempio di trovare un angolo arbitrario

Se \alpha è un angolo AOM , dove M è un punto sulla circonferenza unitaria, allora

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Ad esempio, se \angle AOM = -\frac(\pi)(4), allora: l'ordinata del punto M è -\frac(\sqrt(2))(2), l'ascissa è \frac(\sqrt(2))(2) ed ecco perché

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabella dei valori dei seni dei coseni delle tangenti delle cotangenti

I valori dei principali angoli frequentemente riscontrati sono riportati nella tabella:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\sinistra(\frac(\pi)(6)\destra)	45^(\circ)\sinistra(\frac(\pi)(4)\destra)	60^(\circ)\sinistra(\frac(\pi)(3)\destra)	90^(\circ)\sinistra(\frac(\pi)(2)\destra)	180^(\circ)\sinistra(\pi\destra)	270^(\circ)\sinistra(\frac(3\pi)(2)\destra)	360^(\circ)\sinistra(2\pi\destra)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Centrato in un punto UN.
α è un angolo espresso in radianti.

Definizione
Senoè una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Coseno (cos α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Designazioni accettate

;
;
.

Grafico della funzione seno, y = sin x

Grafico della funzione coseno, y = cos x

Proprietà di seno e coseno

Periodicità

Funzioni y= peccato x e y= cosx periodico con un punto 2π.

Parità

La funzione seno è dispari. La funzione coseno è pari.

Dominio di definizione e valori, estremi, accrescimento, decremento

Le funzioni seno e coseno sono continue nel loro dominio di definizione, cioè per ogni x (vedi la prova di continuità). Le loro proprietà principali sono presentate nella tabella (n - numero intero).

	e= peccato x	e= cosx
Portata e continuità	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Intervallo di valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ascendente
Discendente
Massimi, y= 1
Minimi, y = - 1
Zero, y= 0
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	e= 0	e= 1

Formule di base

Somma del quadrato di seno e coseno

Formule seno e coseno per somma e differenza

;
;

Formule per il prodotto di seno e coseno

Formule di somma e differenza

Espressione di seno tramite coseno

;
;
;
.

Espressione del coseno attraverso il seno

;
;
;
.

Espressione in termini di tangente

; .

Per , abbiamo:
; .

A :
; .

Tavola dei seni e coseni, tangenti e cotangenti

Questa tabella mostra i valori di seno e coseno per alcuni valori dell'argomento.

Espressioni attraverso variabili complesse

;

Formula di Eulero

Espressioni in termini di funzioni iperboliche

;
;

Derivati

; . Derivazione di formule > > >

Derivate dell'ennesimo ordine:
{ -∞ < x < +∞ }

Secante, cosecante

Funzioni inverse

Le funzioni inverse di seno e coseno sono rispettivamente arcoseno e arcoseno.

Arcoseno, arcoseno

Arcosine, arcos

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

La trigonometria è una branca della matematica che studia funzioni trigonometriche e il loro uso in geometria. Lo sviluppo della trigonometria iniziò ai tempi dell'antica Grecia. Durante il Medioevo, scienziati del Medio Oriente e dell'India hanno dato un contributo importante allo sviluppo di questa scienza.

Questo articolo è dedicato ai concetti e alle definizioni di base della trigonometria. Discute le definizioni delle principali funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente. Il loro significato nel contesto della geometria è spiegato e illustrato.

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Inizialmente le definizioni delle funzioni trigonometriche, il cui argomento è un angolo, erano espresse attraverso il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo.

Definizioni di funzioni trigonometriche

Il seno di un angolo (sin α) è il rapporto tra la gamba opposta a questo angolo e l'ipotenusa.

Il coseno dell'angolo (cos α) è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

La tangente dell'angolo (t g α) è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente.

La cotangente dell'angolo (c t g α) è il rapporto tra la gamba adiacente e quella opposta.

Queste definizioni sono date per un angolo acuto di un triangolo rettangolo!

Facciamo un esempio.

Nel triangolo ABC di angolo retto C, il seno dell'angolo A è uguale al rapporto tra il cateto BC e l'ipotenusa AB.

Le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente consentono di calcolare i valori di queste funzioni dalle lunghezze note dei lati di un triangolo.

Importante da ricordare!

L'intervallo dei valori seno e coseno: da -1 a 1. In altre parole, seno e coseno assumono valori da -1 a 1. L'intervallo dei valori tangente e cotangente è l'intera linea numerica, ovvero questi le funzioni possono assumere qualsiasi valore.

Le definizioni sopra riportate si riferiscono ad angoli acuti. Nella trigonometria viene introdotto il concetto di angolo di rotazione, il cui valore, a differenza di un angolo acuto, non è limitato da frame da 0 a 90 gradi L'angolo di rotazione in gradi o radianti è espresso da qualsiasi numero reale da - ∞ a + ∞.

In questo contesto, si possono definire seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di grandezza arbitraria. Immagina un cerchio unitario centrato all'origine del sistema di coordinate cartesiane.

Il punto di partenza A con coordinate (1 , 0) ruota intorno al centro della circonferenza unitaria di un certo angolo α e va al punto A 1 . La definizione è data attraverso le coordinate del punto A 1 (x, y).

Seno (sin) dell'angolo di rotazione

Il seno dell'angolo di rotazione α è l'ordinata del punto A 1 (x, y). sinα = y

Coseno (cos) dell'angolo di rotazione

Il coseno dell'angolo di rotazione α è l'ascissa del punto A 1 (x, y). cosα = x

Tangente (tg) dell'angolo di rotazione

La tangente dell'angolo di rotazione α è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 (x, y) e la sua ascissa. t g α = y x

Cotangente (ctg) dell'angolo di rotazione

La cotangente dell'angolo di rotazione α è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 (x, y) e la sua ordinata. c t g α = x y

Seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo di rotazione. Questo è logico, perché l'ascissa e l'ordinata del punto dopo la rotazione possono essere determinate in qualsiasi angolo. La situazione è diversa con tangente e cotangente. La tangente non è definita quando il punto dopo la rotazione va al punto con zero ascissa (0 , 1) e (0 , - 1). In tali casi, l'espressione per la tangente t g α = y x semplicemente non ha senso, poiché contiene la divisione per zero. La situazione è simile con la cotangente. La differenza è che la cotangente non è definita nei casi in cui l'ordinata del punto si annulla.

Importante da ricordare!

Seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo α.

La tangente è definita per tutti gli angoli tranne α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π K , k ∈ Z)

La cotangente è definita per tutti gli angoli tranne α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Quando si risolvono esempi pratici, non dire "seno dell'angolo di rotazione α". Le parole "angolo di rotazione" sono semplicemente omesse, il che implica che dal contesto è già chiaro qual è la posta in gioco.

Numeri

Che dire della definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero e non dell'angolo di rotazione?

Seno, coseno, tangente, cotangente di un numero

Seno, coseno, tangente e cotangente di un numero T viene chiamato un numero, che è rispettivamente uguale al seno, coseno, tangente e cotangente in T radiante.

Ad esempio, il seno di 10 π è uguale al seno dell'angolo di rotazione di 10 π rad.

C'è un altro approccio alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero. Consideriamolo in modo più dettagliato.

Qualsiasi numero reale T un punto sulla circonferenza unitaria è posto in corrispondenza del centro all'origine del sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Seno, coseno, tangente e cotangente sono definiti in termini di coordinate di questo punto.

Il punto iniziale sulla circonferenza è il punto A con coordinate (1 , 0).

numero positivo T

Numero negativo T corrisponde al punto verso il quale si sposterà il punto di partenza se si sposta in senso antiorario attorno al cerchio e supera il percorso t .

Stabilita la connessione tra il numero e il punto sulla circonferenza, procediamo alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente.

Seno (sin) del numero t

Seno di un numero T- ordinata del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero T. peccato t = y

Coseno (cos) di t

Coseno di un numero T- ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero T. cos t = x

Tangente (tg) di t

Tangente di un numero T- il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero T. t g t = y x = sin t cos t

Queste ultime definizioni sono coerenti con e non contraddicono la definizione fornita all'inizio di questa sezione. Punto su un cerchio corrispondente a un numero T, coincide con il punto in cui passa il punto di partenza dopo aver girato l'angolo T radiante.

Funzioni trigonometriche di argomento angolare e numerico

Ogni valore dell'angolo α corrisponde a un certo valore del seno e del coseno di questo angolo. Come tutti gli angoli α diversi da α = 90° + 180° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corrisponde a un certo valore della tangente. La cotangente, come detto sopra, è definita per tutti gli α, eccetto per α = 180°k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Possiamo dire che sin α , cos α , t g α , c t g α sono funzioni dell'angolo alfa, o funzioni dell'argomento angolare.

Allo stesso modo, si può parlare di seno, coseno, tangente e cotangente come funzioni di un argomento numerico. Ogni numero reale T corrisponde a un valore specifico del seno o del coseno di un numero T. Tutti i numeri diversi da π 2 + π · k , k ∈ Z, corrispondono al valore della tangente. La cotangente è definita in modo simile per tutti i numeri tranne π · k , k ∈ Z.

Funzioni di base della trigonometria

Seno, coseno, tangente e cotangente sono le funzioni trigonometriche di base.

Di solito è chiaro dal contesto quale argomento della funzione trigonometrica (argomento angolare o argomento numerico) stiamo trattando.

Torniamo ai dati all'inizio delle definizioni e all'angolo alfa, che si trova nell'intervallo da 0 a 90 gradi. Definizioni trigonometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono pienamente coerenti con le definizioni geometriche date utilizzando i rapporti dei lati di un triangolo rettangolo. Dimostriamolo.

Prendi una circonferenza unitaria centrata su un sistema di coordinate cartesiane rettangolare. Ruotiamo il punto iniziale A (1, 0) di un angolo fino a 90 gradi e disegniamo dal punto risultante A 1 (x, y) perpendicolare all'asse x. Nel ricevuto triangolo rettangolo l'angolo A 1 O H è uguale all'angolo di rotazione α, la lunghezza della gamba O H è uguale all'ascissa del punto A 1 (x, y) . La lunghezza della gamba opposta all'angolo è uguale all'ordinata del punto A 1 (x, y) e la lunghezza dell'ipotenusa è uguale a uno, poiché è il raggio del cerchio unitario.

Secondo la definizione dalla geometria, il seno dell'angolo α è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa.

peccato α \u003d LA 1 H O LA 1 \u003d y 1 \u003d y

Ciò significa che la definizione del seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo attraverso le proporzioni è equivalente alla definizione del seno dell'angolo di rotazione α, con alfa compreso nell'intervallo da 0 a 90 gradi.

Allo stesso modo, la corrispondenza delle definizioni può essere mostrata per coseno, tangente e cotangente.

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In questo articolo, mostreremo come definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di angolo e numero in trigonometria. Qui parleremo di notazione, forniremo esempi di record, forniremo illustrazioni grafiche. In conclusione, tracciamo un parallelo tra le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente in trigonometria e geometria.

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Definizione di seno, coseno, tangente e cotangente

Seguiamo come si forma il concetto di seno, coseno, tangente e cotangente nel corso di matematica scolastica. Nelle lezioni di geometria viene data la definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo. E successivamente viene studiata la trigonometria, che si riferisce al seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione e del numero. Diamo tutte queste definizioni, forniamo esempi e diamo i commenti necessari.

Angolo acuto in un triangolo rettangolo

Dal corso di geometria sono note le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo. Sono dati come il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo. Presentiamo le loro formulazioni.

Definizione.

Seno di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa.

Definizione.

Coseno di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.

Definizione.

Tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

Definizione.

Cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.

Qui viene introdotta anche la notazione di seno, coseno, tangente e cotangente: sin, cos, tg e ctg, rispettivamente.

Ad esempio, se ABC è un triangolo rettangolo con un angolo retto C, allora il seno dell'angolo acuto A è uguale al rapporto tra il cateto opposto BC e l'ipotenusa AB, cioè sin∠A=BC/AB.

Queste definizioni consentono di calcolare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto dalle lunghezze note dei lati di un triangolo rettangolo, nonché da valori noti seno, coseno, tangente, cotangente e la lunghezza di uno dei lati per trovare le lunghezze degli altri lati. Ad esempio, se sapessimo che in un triangolo rettangolo il cateto AC è 3 e l'ipotenusa AB è 7 , allora potremmo calcolare il coseno dell'angolo acuto A per definizione: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Angolo di rotazione

Nella trigonometria, iniziano a considerare l'angolo in modo più ampio: introducono il concetto di angolo di rotazione. L'angolo di rotazione, a differenza di un angolo acuto, non è limitato da frame da 0 a 90 gradi, l'angolo di rotazione in gradi (e in radianti) può essere espresso da qualsiasi numero reale da −∞ a +∞.

In questa luce, le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente non sono più un angolo acuto, ma un angolo di grandezza arbitraria: l'angolo di rotazione. Sono dati attraverso le coordinate x e y del punto A 1 , in cui passa il cosiddetto punto iniziale A(1, 0) dopo che ruota di un angolo α attorno al punto O - l'inizio di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari e il centro della circonferenza unitaria.

Definizione.

Seno dell'angolo di rotazioneα è l'ordinata del punto A 1 , cioè sinα=y .

Definizione.

coseno dell'angolo di rotazioneα si dice ascissa del punto A 1 , cioè cosα=x .

Definizione.

Tangente dell'angolo di rotazioneα è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 e la sua ascissa, cioè tgα=y/x .

Definizione.

La cotangente dell'angolo di rotazioneα è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 e la sua ordinata, cioè ctgα=x/y .

Il seno e il coseno sono definiti per qualsiasi angolo α , poiché possiamo sempre determinare l'ascissa e l'ordinata di un punto, che si ottiene ruotando il punto iniziale attraverso l'angolo α . E tangente e cotangente non sono definite per nessun angolo. La tangente non è definita per tali angoli α in cui il punto iniziale va in un punto con ascissa nulla (0, 1) o (0, −1) , e questo avviene per angoli 90°+180° k , k∈Z (π /2+πkrad). Infatti, a tali angoli di rotazione, l'espressione tgα=y/x non ha senso, poiché contiene la divisione per zero. Per quanto riguarda la cotangente, non è definita per tali angoli α in cui il punto iniziale va a un punto con ordinata nulla (1, 0) o (−1, 0) , e questo è il caso per angoli 180° k , k ∈Z (π k rad).

Quindi, il seno e il coseno sono definiti per qualsiasi angolo di rotazione, la tangente è definita per tutti gli angoli tranne 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), e la cotangente è per tutti gli angoli tranne 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Le notazioni a noi già note compaiono nelle definizioni sin, cos, tg e ctg, sono utilizzate anche per denotare seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione (a volte si possono trovare le notazioni tan e cotcorrispondenti a tangente e cotangente). Quindi il seno dell'angolo di rotazione di 30 gradi può essere scritto come sin30°, i record tg(−24°17′) e ctgα corrispondono alla tangente dell'angolo di rotazione −24 gradi 17 minuti e alla cotangente dell'angolo di rotazione α . Ricordiamo che quando si scrive la misura in radianti di un angolo, la notazione "rad" viene spesso omessa. Ad esempio, il coseno di un angolo di rotazione di tre pi rad è solitamente indicato con cos3 π .

In conclusione di questo paragrafo, vale la pena notare che quando si parla di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione, la frase "angolo di rotazione" o la parola "rotazione" viene spesso omessa. Cioè, invece della frase "seno dell'angolo di rotazione alfa", viene solitamente usata la frase "seno dell'angolo alfa", o anche più breve - "seno dell'alfa". Lo stesso vale per coseno, tangente e cotangente.

Diciamo anche che le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo sono coerenti con le definizioni appena date per seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di rotazione compreso tra 0 e 90 gradi. Lo confermeremo.

Numeri

Definizione.

Seno, coseno, tangente e cotangente di un numero t è un numero uguale al seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione in t radianti, rispettivamente.

Ad esempio, il coseno di 8 π è, per definizione, un numero uguale al coseno di un angolo di 8 π rad. E il coseno dell'angolo è 8 π rad uguale a uno, quindi, il coseno del numero 8 π è uguale a 1 .

C'è un altro approccio alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero. Consiste nel fatto che a ogni numero reale t è assegnato un punto della circonferenza unitaria centrata nell'origine del sistema di coordinate rettangolari, e il seno, il coseno, la tangente e la cotangente sono determinati in termini di coordinate di questo punto. Soffermiamoci su questo in modo più dettagliato.

Mostriamo come si stabilisce la corrispondenza tra numeri reali e punti del cerchio:

al numero 0 viene assegnato il punto iniziale A(1, 0) ;
un numero positivo t è associato a un punto sulla circonferenza unitaria, al quale arriveremo se ci muoviamo intorno alla circonferenza dal punto di partenza in senso antiorario e percorriamo un percorso di lunghezza t;
numero negativo t corrisponde a un punto sulla circonferenza unitaria, che raggiungeremo se ci muoviamo intorno alla circonferenza dal punto di partenza in senso orario e percorriamo un percorso di lunghezza |t| .

Passiamo ora alle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente del numero t. Supponiamo che il numero t corrisponda ad un punto del cerchio A 1 (x, y) (ad esempio, il numero &pi/2; corrisponde al punto A 1 (0, 1) ).

Definizione.

Il seno di un numero t è l'ordinata del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t , ovvero sint=y .

Definizione.

Il coseno di un numero t si chiama ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t , cioè cost=x .

Definizione.

Tangente di un numero t è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè tgt=y/x. In un'altra formulazione equivalente, la tangente del numero t è il rapporto tra il seno di questo numero e il coseno, cioè tgt=sint/cost .

Definizione.

Cotangente di un numero t è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè ctgt=x/y. Un'altra formulazione è la seguente: la tangente del numero t è il rapporto tra il coseno del numero t e il seno del numero t : ctgt=cost/sint .

Qui notiamo che le definizioni appena date concordano con la definizione data all'inizio di questa sottosezione. Infatti, il punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t coincide con il punto ottenuto ruotando il punto di partenza di un angolo di t radianti.

Vale anche la pena chiarire questo punto. Diciamo che abbiamo una voce sin3. Come capire se è in questione il seno del numero 3 o il seno dell'angolo di rotazione di 3 radianti? Questo di solito è chiaro dal contesto, altrimenti probabilmente non ha importanza.

Funzioni trigonometriche di argomento angolare e numerico

Secondo le definizioni date nel paragrafo precedente, ad ogni angolo di rotazione α corrisponde un valore ben definito sin α , nonché il valore cos α . Inoltre, tutti gli angoli di rotazione diversi da 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) corrispondono ai valori tgα , e diversi da 180° k , k∈Z (π k rad ) sono i valori di ctgα . Quindi sinα, cosα, tgα e ctgα sono funzioni dell'angolo α. In altre parole, queste sono funzioni dell'argomento angolare.

Allo stesso modo, possiamo parlare delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente di un argomento numerico. Infatti, ad ogni numero reale t corrisponde un ben definito valore di sint , oltre che cost . Inoltre, tutti i numeri diversi da π/2+π·k , k∈Z corrispondono ai valori tgt , e i numeri π·k , k∈Z corrispondono ai valori ctgt .

Vengono richiamate le funzioni seno, coseno, tangente e cotangente funzioni trigonometriche di base.

Di solito è chiaro dal contesto che si tratta di funzioni trigonometriche di un argomento angolare o di un argomento numerico. Altrimenti, possiamo considerare la variabile indipendente sia come misura dell'angolo (l'argomento dell'angolo) sia come argomento numerico.

Tuttavia, la scuola studia principalmente funzioni numeriche, cioè funzioni i cui argomenti, così come i loro corrispondenti valori di funzione, sono numeri. Pertanto, se si tratta di funzioni, è consigliabile considerare le funzioni trigonometriche come funzioni di argomenti numerici.

Connessione di definizioni dalla geometria e dalla trigonometria

Se consideriamo l'angolo di rotazione α da 0 a 90 gradi, i dati nel contesto della trigonometria della definizione di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione sono pienamente coerenti con le definizioni di seno, coseno , tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo, che sono date nel corso di geometria. Sostanziamo questo.

Disegna un cerchio unitario nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari Oxy. Nota il punto di partenza A(1, 0) . Ruotiamolo di un angolo α compreso tra 0 e 90 gradi, otteniamo il punto A 1 (x, y) . Lasciamo cadere la perpendicolare A 1 H dal punto A 1 all'asse Ox.

È facile vedere che in un triangolo rettangolo l'angolo A 1 OH è uguale all'angolo di rotazione α, la lunghezza della gamba OH adiacente a questo angolo è uguale all'ascissa del punto A 1, cioè |OH |=x, la lunghezza del cateto opposto all'angolo A 1 H è uguale all'ordinata del punto A 1 , cioè |A 1 H|=y , e la lunghezza dell'ipotenusa OA 1 è uguale a uno , poiché è il raggio della circonferenza unitaria. Allora, per definizione dalla geometria, il seno di un angolo acuto α in un triangolo rettangolo A 1 OH è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, cioè sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . E per definizione dalla trigonometria, il seno dell'angolo di rotazione α è uguale all'ordinata del punto A 1, cioè sinα=y. Ciò dimostra che la definizione del seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è equivalente alla definizione del seno dell'angolo di rotazione α per α da 0 a 90 gradi.

Allo stesso modo, si può dimostrare che le definizioni di coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto α sono coerenti con le definizioni di coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione α.

Bibliografia.

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Mordkovich A.G. Algebra e gli inizi dell'analisi. Grado 10. Alle 14 Cap. 1: un tutorial per istituzioni educative(livello di profilo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4a ed., agg. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: riprod. ISBN 978-5-346-00792-0.
Algebra e l'inizio dell'analisi matematica. Grado 10: libro di testo. per l'istruzione generale istituzioni: base e profilo. livelli /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. AB Zhizhchenko. - 3a ed. - I.: Istruzione, 2010. - 368 p .: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Bashmakov M.I. Algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per 10-11 celle. media scuola - 3a ed. - M.: Illuminismo, 1993. - 351 p.: riprod. -ISBN 5-09-004617-4.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (manuale per gli iscritti agli istituti tecnici): proc. indennità.- M.; Più alto scuola, 1984.-351 p., riprod.

2. Intervallo di valori: [-1;1]
3. Funzione dispari.
7. Intervalli in cui la funzione è positiva: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
8. Intervalli in cui la funzione è negativa: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
9. Aumentare gli intervalli: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
10. Intervalli discendenti:
11. Punti bassi: -pi/2 +2*pi*n
12. Funzione minima: -1
13. Punti alti: pi/2 +2*pi*n
14. Funzione massima: 1

Proprietà del coseno

1. Dominio di definizione: l'intero asse numerico
2. Intervallo di valori: [-1;1]
3. Funzione uniforme.
4. Il più piccolo periodo positivo: 2*pi greco
5. Coordinate dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Ox: (pi / 2 + pi * n; 0)
6. Coordinate dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Oy: (0;1)
7. Intervalli in cui la funzione è positiva: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
8. Intervalli in cui la funzione è negativa: (pi greco/2 +2*pi greco*n; 3*pi greco/2 +2*pi greco*n)
9. Aumentare gli intervalli: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
10. Intervalli discendenti:
11. Punti bassi: pi+2*pi*n
12. Funzione minima: -1
13. Punti alti: 2*pi*n
14. Funzione massima: 1

Proprietà tangenti

1. Dominio di definizione: (-pi greco/2 +pi greco*n; pi greco/2 +pi greco*n)
3. Funzione dispari.
5. Coordinate dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Ox: (pi * n; 0)
6. Coordinate dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Oy: (0; 0)
9. La funzione aumenta su intervalli (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

Proprietà cotangenti

1. Dominio di definizione: (pi*n; pi +pi*n)
2. Intervallo di valori: l'intero asse numerico
3. Funzione dispari.
4. Il più piccolo periodo positivo: pi greco
5. Coordinate dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Ox: (pi / 2 + pi * n; 0)
6. Coordinate dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Oy: n
7. Intervalli in cui la funzione è positiva: (pi*n; pi/2 + pi*n)
8. Intervalli in cui la funzione è negativa: (-pi/2 + pi*n; pi*n)
9. La funzione diminuisce su intervalli (pi*n; pi + pi*n)
10. Non ci sono punti massimi e minimi.

La figura seguente mostra diverse circonferenze unitarie, in cui i segni di seno, coseno, tangente e cotangente sono indicati in vari quarti di coordinate.