In questo articolo mostreremo come donare definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo e numero in trigonometria. Qui parleremo di notazioni, forniremo esempi di voci e forniremo illustrazioni grafiche. In conclusione, tracciamo un parallelo tra le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente in trigonometria e geometria.
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Definizione di seno, coseno, tangente e cotangente
Vediamo come si forma l'idea di seno, coseno, tangente e cotangente in un corso di matematica scolastica. Nelle lezioni di geometria viene data la definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo. E successivamente si studia la trigonometria, che parla di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione e numero. Presentiamo tutte queste definizioni, forniamo esempi e forniamo i commenti necessari.
Angolo acuto in un triangolo rettangolo
Dal corso di geometria conosciamo le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo. Sono dati come rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo. Diamo le loro formulazioni.
Definizione.
Seno di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa.
Definizione.
Coseno di un angolo acuto in un triangolo rettangoloè il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.
Definizione.
Tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo– questo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.
Definizione.
Cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo- questo è il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.
Qui vengono introdotte anche le designazioni di seno, coseno, tangente e cotangente: rispettivamente sin, cos, tg e ctg.
Ad esempio, se ABC è triangolo rettangolo con un angolo retto C, allora il seno dell'angolo acuto A è uguale al rapporto tra il lato opposto BC e l'ipotenusa AB, cioè sin∠A=BC/AB.
Queste definizioni consentono di calcolare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto dalle lunghezze note dei lati di un triangolo rettangolo, nonché da valori conosciuti trova le lunghezze degli altri lati utilizzando seno, coseno, tangente, cotangente e la lunghezza di uno dei lati. Ad esempio, se sapessimo che in un triangolo rettangolo il cateto AC è uguale a 3 e l'ipotenusa AB è uguale a 7, allora potremmo calcolare il valore del coseno dell'angolo acuto A per definizione: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Angolo di rotazione
Nella trigonometria, iniziano a considerare l'angolo in modo più ampio: introducono il concetto di angolo di rotazione. L'ampiezza dell'angolo di rotazione, a differenza di un angolo acuto, non è limitata da 0 a 90 gradi; l'angolo di rotazione in gradi (e in radianti) può essere espresso da qualsiasi numero reale compreso tra −∞ e +∞.
In questa luce, le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente non vengono date per un angolo acuto, ma per un angolo di dimensione arbitraria: l'angolo di rotazione. Sono dati attraverso le coordinate xey del punto A 1, al quale va il cosiddetto punto iniziale A(1, 0) dopo la sua rotazione di un angolo α attorno al punto O - l'inizio del sistema di coordinate cartesiane rettangolari e il centro della circonferenza unitaria.
Definizione.
Seno dell'angolo di rotazioneα è l'ordinata del punto A 1, cioè sinα=y.
Definizione.
Coseno dell'angolo di rotazioneα è detta ascissa del punto A 1, cioè cosα=x.
Definizione.
Tangente dell'angolo di rotazioneα è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 e la sua ascissa, cioè tanα=y/x.
Definizione.
Cotangente dell'angolo di rotazioneα è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 e la sua ordinata, ovvero ctgα=x/y.
Seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo α, poiché possiamo sempre determinare l'ascissa e l'ordinata del punto, che si ottiene ruotando il punto iniziale dell'angolo α. Ma tangente e cotangente non sono definiti per nessun angolo. La tangente non è definita per gli angoli α in cui il punto iniziale va in un punto con ascissa zero (0, 1) o (0, −1), e ciò avviene per angoli 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Infatti, a tali angoli di rotazione, l'espressione tgα=y/x non ha senso, poiché contiene una divisione per zero. Per quanto riguarda la cotangente, essa non è definita per gli angoli α in cui il punto iniziale va al punto di ordinata zero (1, 0) o (−1, 0), e questo avviene per angoli 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Quindi, seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo di rotazione, la tangente è definita per tutti gli angoli tranne 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) e la cotangente è definita per tutti gli angoli tranne 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Le definizioni includono le designazioni già note a noi sin, cos, tg e ctg, sono anche usate per designare seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione (a volte puoi trovare le designazioni tan e cotcorrispondenti a tangente e cotangente) . Quindi il seno di un angolo di rotazione di 30 gradi può essere scritto come sin30°, le voci tg(−24°17′) e ctgα corrispondono alla tangente dell'angolo di rotazione −24 gradi 17 minuti e alla cotangente dell'angolo di rotazione α . Ricordiamo che quando si scrive la misura in radianti di un angolo, la designazione “rad” viene spesso omessa. Ad esempio, il coseno di un angolo di rotazione di tre pi rad è solitamente indicato come cos3·π.
In conclusione di questo punto, vale la pena notare che quando si parla di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione, spesso la frase “angolo di rotazione” o la parola “rotazione” viene omessa. Cioè, al posto della frase "seno dell'angolo di rotazione alfa", viene solitamente utilizzata la frase "seno dell'angolo alfa" o anche più breve "seno alfa". Lo stesso vale per coseno, tangente e cotangente.
Diremo anche che le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo sono coerenti con le definizioni appena date per seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di rotazione compreso tra 0 e 90 gradi. Lo giustificheremo.
Numeri
Definizione.
Seno, coseno, tangente e cotangente di un numero t è un numero uguale a seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione rispettivamente in t radianti.
Ad esempio, il coseno del numero 8·π per definizione è un numero uguale al coseno dell'angolo di 8·π rad. E il coseno di un angolo di 8·π rad è uguale a uno, quindi il coseno del numero 8·π è uguale a 1.
Esiste un altro approccio per determinare il seno, il coseno, la tangente e la cotangente di un numero. Consiste nel fatto che ogni numero reale t è associato ad un punto della circonferenza unitaria con centro nell'origine del sistema di coordinate rettangolari, e seno, coseno, tangente e cotangente sono determinati attraverso le coordinate di questo punto. Diamo un'occhiata a questo in modo più dettagliato.
Mostriamo come si stabilisce una corrispondenza tra numeri reali e punti su un cerchio:
- al numero 0 viene assegnato il punto iniziale A(1, 0);
- numero positivo t è associato al punto della circonferenza unitaria, al quale arriveremo se ci muoviamo lungo la circonferenza dal punto di partenza in senso antiorario e percorriamo un percorso di lunghezza t;
- il numero negativo t è associato ad un punto della circonferenza unitaria, al quale arriveremo se ci muoviamo lungo la circonferenza dal punto di partenza in senso orario e percorriamo un percorso di lunghezza |t| .
Passiamo ora alle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente del numero t. Supponiamo che il numero t corrisponda a un punto del cerchio A 1 (x, y) (ad esempio, il numero &pi/2; corrisponde al punto A 1 (0, 1) ).
Definizione.
Seno del numero t è l'ordinata del punto sulla circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè sint=y.
Definizione.
Coseno del numero t è detta ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè costo=x.
Definizione.
Tangente del numero t è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di un punto sulla circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè tgt=y/x. In un'altra formulazione equivalente, la tangente di un numero t è il rapporto tra il seno di questo numero e il coseno, cioè tgt=sint/cost.
Definizione.
Cotangente del numero t è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata di un punto sulla circonferenza unitaria corrispondente al numero t, cioè ctgt=x/y. Un'altra formulazione è questa: la tangente del numero t è il rapporto tra il coseno del numero t e il seno del numero t: ctgt=cost/sint.
Qui notiamo che le definizioni appena fornite sono coerenti con la definizione data all'inizio di questo paragrafo. Infatti, il punto sulla circonferenza unitaria corrispondente al numero t coincide con il punto ottenuto ruotando il punto iniziale di un angolo di t radianti.
Vale ancora la pena chiarire questo punto. Diciamo che abbiamo la voce sin3. Come facciamo a capire se stiamo parlando del seno del numero 3 o del seno dell'angolo di rotazione di 3 radianti? Questo di solito è chiaro dal contesto, altrimenti probabilmente non è di fondamentale importanza.
Funzioni trigonometriche di argomento angolare e numerico
Secondo le definizioni date nel paragrafo precedente, ad ogni angolo di rotazione α corrisponde un ben preciso valore sinα, così come il valore cosα. Inoltre, tutti gli angoli di rotazione diversi da 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) corrispondono a valori tgα, e valori diversi da 180°k, k∈Z (πk rad ) – valori di ctgα. Quindi sinα, cosα, tanα e ctgα sono funzioni dell'angolo α. In altre parole, queste sono funzioni dell'argomento angolare.
Possiamo parlare in modo simile delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente di un argomento numerico. Ad ogni numero reale t corrisponde infatti un valore sint ben preciso, oltre che un costo. Inoltre, tutti i numeri diversi da π/2+π·k, k∈Z corrispondono a valori tgt, e i numeri π·k, k∈Z - valori ctgt.
Vengono chiamate le funzioni seno, coseno, tangente e cotangente funzioni trigonometriche di base.
Di solito è chiaro dal contesto se si tratta di funzioni trigonometriche di un argomento angolare o di un argomento numerico. Altrimenti, possiamo pensare alla variabile indipendente sia come una misura dell'angolo (argomento angolare) sia come un argomento numerico.
Tuttavia, a scuola studiamo principalmente funzioni numeriche, cioè funzioni i cui argomenti, così come i valori corrispondenti, sono numeri. Pertanto, se parliamo specificamente di funzioni, è consigliabile considerare le funzioni trigonometriche come funzioni di argomenti numerici.
Relazione tra le definizioni della geometria e della trigonometria
Se consideriamo l'angolo di rotazione α compreso tra 0 e 90 gradi, allora le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione nel contesto della trigonometria sono pienamente coerenti con le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo, che vengono trattati nel corso di geometria. Giustifichiamolo.
Rappresentiamo il cerchio unitario nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari Oxy. Contrassegniamo il punto iniziale A(1, 0) . Ruotiamolo di un angolo α compreso tra 0 e 90 gradi, otteniamo il punto A 1 (x, y). Lasciamo cadere la perpendicolare A 1 H dal punto A 1 all'asse del Bue.
È facile vedere che in un triangolo rettangolo l'angolo A 1 OH è uguale all'angolo di rotazione α, la lunghezza della gamba OH adiacente a questo angolo è uguale all'ascissa del punto A 1, cioè |OH |=x, la lunghezza del cateto A 1 H opposto all'angolo è uguale all'ordinata del punto A 1, cioè |A 1 H|=y, e la lunghezza dell'ipotenusa OA 1 è uguale a uno, poiché è il raggio della circonferenza unitaria. Allora, per definizione geometrica, il seno di un angolo acuto α in un triangolo rettangolo A 1 OH è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, cioè sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. E per definizione trigonometrica, il seno dell'angolo di rotazione α è uguale all'ordinata del punto A 1, cioè sinα=y. Ciò dimostra che determinare il seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo equivale a determinare il seno dell'angolo di rotazione α quando α è compreso tra 0 e 90 gradi.
Allo stesso modo si può dimostrare che le definizioni di coseno, tangente e cotangente di un angolo acuto α sono coerenti con le definizioni di coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione α.
Bibliografia.
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- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematica (manuale per chi accede alle scuole tecniche): Proc. indennità.- M.; Più alto scuola, 1984.-351 p., ill.
La trigonometria è una branca della scienza matematica che studia le funzioni trigonometriche e il loro utilizzo in geometria. Lo sviluppo della trigonometria iniziò nell'antica Grecia. Durante il Medioevo, gli scienziati del Medio Oriente e dell'India diedero un contributo importante allo sviluppo di questa scienza.
Questo articolo è dedicato ai concetti e alle definizioni di base della trigonometria. Discute le definizioni delle funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente e cotangente. Il loro significato è spiegato e illustrato nel contesto della geometria.
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Inizialmente, le definizioni delle funzioni trigonometriche il cui argomento è un angolo erano espresse in termini di rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo.
Definizioni di funzioni trigonometriche
Il seno di un angolo (sin α) è il rapporto tra il cateto opposto a questo angolo e l'ipotenusa.
Coseno dell'angolo (cos α) - il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.
Tangente angolare (t g α) - il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.
Cotangente angolare (ct g α) - il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.
Queste definizioni sono date per l'angolo acuto di un triangolo rettangolo!
Diamo un'illustrazione.
Nel triangolo ABC con angolo retto C, il seno dell'angolo A è uguale al rapporto tra il cateto BC e l'ipotenusa AB.
Le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente consentono di calcolare i valori di queste funzioni dalle lunghezze note dei lati del triangolo.
Importante da ricordare!
L'intervallo di valori di seno e coseno va da -1 a 1. In altre parole, seno e coseno assumono valori da -1 a 1. L'intervallo di valori di tangente e cotangente è l'intera linea numerica, cioè, queste funzioni possono assumere qualsiasi valore.
Le definizioni sopra riportate si applicano agli angoli acuti. In trigonometria viene introdotto il concetto di angolo di rotazione, il cui valore, a differenza di un angolo acuto, non è limitato da 0 a 90 gradi.L'angolo di rotazione in gradi o radianti è espresso da qualsiasi numero reale da - ∞ a + ∞ .
In questo contesto, possiamo definire seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di grandezza arbitraria. Immaginiamo una circonferenza unitaria con centro nell'origine del sistema di coordinate cartesiane.
Il punto iniziale A con coordinate (1, 0) ruota attorno al centro della circonferenza unitaria di un certo angolo α e va al punto A 1. La definizione è data in termini di coordinate del punto A 1 (x, y).
Seno (seno) dell'angolo di rotazione
Il seno dell'angolo di rotazione α è l'ordinata del punto A 1 (x, y). peccato α = y
Coseno (cos) dell'angolo di rotazione
Il coseno dell'angolo di rotazione α è l'ascissa del punto A 1 (x, y). cosα = x
Tangente (tg) dell'angolo di rotazione
La tangente dell'angolo di rotazione α è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 (x, y) e la sua ascissa. tgα = yx
Cotangente (ctg) dell'angolo di rotazione
La cotangente dell'angolo di rotazione α è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 (x, y) e la sua ordinata. c t g α = x y
Seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo di rotazione. Questo è logico, perché l'ascissa e l'ordinata di un punto dopo la rotazione possono essere determinate con qualsiasi angolo. La situazione è diversa con tangente e cotangente. La tangente è indefinita quando un punto dopo la rotazione va ad un punto con ascissa zero (0, 1) e (0, - 1). In questi casi, l'espressione per la tangente t g α = y x semplicemente non ha senso, poiché contiene una divisione per zero. La situazione è simile con la cotangente. La differenza è che la cotangente non è definita nei casi in cui l'ordinata di un punto va a zero.
Importante da ricordare!
Seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo α.
La tangente è definita per tutti gli angoli tranne α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
La cotangente è definita per tutti gli angoli tranne α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Quando si risolvono esempi pratici, non dire "seno dell'angolo di rotazione α". Le parole “angolo di rotazione” vengono semplicemente omesse, il che implica che è già chiaro dal contesto di cosa si sta discutendo.
Numeri
Che dire della definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero e non dell'angolo di rotazione?
Seno, coseno, tangente, cotangente di un numero
Seno, coseno, tangente e cotangente di un numero Tè un numero uguale rispettivamente a seno, coseno, tangente e cotangente in T radiante.
Ad esempio, il seno del numero 10 π è uguale al seno dell'angolo di rotazione di 10 π rad.
Esiste un altro approccio per determinare il seno, il coseno, la tangente e la cotangente di un numero. Diamo un'occhiata più da vicino.
Qualsiasi numero reale T un punto sulla circonferenza unitaria è associato al centro all'origine del sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Seno, coseno, tangente e cotangente si determinano attraverso le coordinate di questo punto.
Il punto iniziale sul cerchio è il punto A con coordinate (1, 0).
Numero positivo T
Numero negativo T corrisponde al punto in cui andrà il punto di partenza se si muove attorno al cerchio in senso antiorario e passa il percorso t.
Ora che è stata stabilita la connessione tra un numero e un punto della circonferenza, passiamo alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente.
Seno (peccato) di t
Seno di un numero T- ordinata di un punto sulla circonferenza unitaria corrispondente al numero T. peccato t = y
Coseno (cos) di t
Coseno di un numero T- ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero T. costo t = x
Tangente (tg) di t
Tangente di un numero T- il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di un punto sulla circonferenza unitaria corrispondente al numero T. t g t = y x = sin t cos t
Le definizioni più recenti sono conformi e non contraddicono la definizione fornita all'inizio di questo paragrafo. Punto sul cerchio corrispondente al numero T, coincide con il punto verso il quale si dirige il punto di partenza dopo aver girato di un angolo T radiante.
Funzioni trigonometriche di argomento angolare e numerico
Ogni valore dell'angolo α corrisponde a un certo valore del seno e del coseno di questo angolo. Come tutti gli angoli α diversi da α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corrisponde ad un certo valore di tangente. La cotangente, come detto sopra, è definita per tutti gli α tranne α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Possiamo dire che sin α, cos α, t g α, c t g α sono funzioni dell'angolo alfa, ovvero funzioni dell'argomento angolare.
Allo stesso modo, possiamo parlare di seno, coseno, tangente e cotangente come funzioni di un argomento numerico. Ogni numero reale T corrisponde a un certo valore del seno o del coseno di un numero T. Tutti i numeri diversi da π 2 + π · k, k ∈ Z, corrispondono a un valore tangente. La cotangente, similmente, è definita per tutti i numeri tranne π · k, k ∈ Z.
Funzioni di base della trigonometria
Seno, coseno, tangente e cotangente sono le funzioni trigonometriche di base.
Di solito è chiaro dal contesto con quale argomento della funzione trigonometrica (argomento angolare o argomento numerico) abbiamo a che fare.
Torniamo alle definizioni fornite all'inizio e all'angolo alfa, che è compreso tra 0 e 90 gradi. Le definizioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente sono del tutto coerenti con le definizioni geometriche date dalle proporzioni di un triangolo rettangolo. Mostriamolo.
Prendiamo una circonferenza unitaria con un centro in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Ruotiamo il punto iniziale A (1, 0) di un angolo massimo di 90 gradi e disegniamo una perpendicolare all'asse delle ascisse dal punto risultante A 1 (x, y). Nel triangolo rettangolo risultante, l'angolo A 1 O H è uguale all'angolo di rotazione α, la lunghezza della gamba OH è uguale all'ascissa del punto A 1 (x, y). La lunghezza del cateto opposto all'angolo è uguale all'ordinata del punto A 1 (x, y), e la lunghezza dell'ipotenusa è uguale a uno, poiché è il raggio del cerchio unitario.
Secondo la definizione geometrica, il seno dell'angolo α è uguale al rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa.
peccato α = UN 1 H O UN 1 = y 1 = y
Ciò significa che determinare il seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo attraverso le proporzioni equivale a determinare il seno dell'angolo di rotazione α, con alfa compreso tra 0 e 90 gradi.
Allo stesso modo, la corrispondenza delle definizioni può essere mostrata per coseno, tangente e cotangente.
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Centrato nel punto A.
α è l'angolo espresso in radianti.
Tangente ( marrone chiaro α) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza della gamba adiacente |AB| .
Cotangente ( ctgα) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza della gamba opposta |BC| .
Tangente
Dove N- Totale.
Nella letteratura occidentale, la tangente è indicata come segue:
.
;
;
.
Grafico della funzione tangente, y = tan x
Cotangente
Dove N- Totale.
Nella letteratura occidentale, la cotangente è indicata come segue:
.
Sono accettate anche le seguenti notazioni:
;
;
.
Grafico della funzione cotangente, y = ctg x
Proprietà della tangente e della cotangente
Periodicità
Funzioni y = tg x e y = ctg x sono periodici con periodo π.
Parità
Le funzioni tangente e cotangente sono dispari.
Aree di definizione e valori, in aumento, in diminuzione
Le funzioni tangente e cotangente sono continue nel loro dominio di definizione (vedi prova di continuità). Le principali proprietà di tangente e cotangente sono presentate nella tabella ( N- Totale).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Portata e continuità | ||
| Intervallo di valori | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Crescente | - | |
| Discendente | - | |
| Estremi | - | - |
| Zeri, y = 0 | ||
| Punti di intercetta con l'asse delle ordinate, x = 0 | y = 0 | - |
Formule
Espressioni che utilizzano seno e coseno
;
;
;
;
;
Formule per tangente e cotangente per somma e differenza
Le restanti formule, ad esempio, sono facili da ottenere
Prodotto di tangenti
Formula per la somma e la differenza delle tangenti
Questa tabella presenta i valori di tangenti e cotangenti per determinati valori dell'argomento. 
Espressioni che utilizzano numeri complessi
Espressioni mediante funzioni iperboliche
;
;
Derivati
; .
.
Derivata dell'ennesimo ordine rispetto alla variabile x della funzione:
.
Formule di derivazione per la tangente >> > ; per cotangente > > >
Integrali
Espansioni di serie
Per ottenere l'espansione della tangente in potenze di x, è necessario prendere alcuni termini dell'espansione in serie di potenze per funzioni peccato x E cos x e dividere questi polinomi tra loro, . Ciò produce le seguenti formule.
A .
A .
Dove Bn- Numeri di Bernoulli. Sono determinati dalla relazione di ricorrenza:
;
;
Dove .
Oppure secondo la formula di Laplace: 
Funzioni inverse
Le funzioni inverse di tangente e cotangente sono rispettivamente arcotangente e arcotangente.
Arcotangente, arcog
, Dove N- Totale.
Arcotangente, arcctg
, Dove N- Totale.
Riferimenti:
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G. Korn, Manuale di matematica per scienziati e ingegneri, 2012.
Cos'è seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo ti aiuterà a capire un triangolo rettangolo.
Come si chiamano i lati di un triangolo rettangolo? Esatto, ipotenusa e cateti: l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto (nel nostro esempio è il lato \(AC\)); le gambe sono i due lati rimanenti \(AB\) e \(BC\) (quelli adiacenti all'angolo retto), e se consideriamo le gambe relative all'angolo \(BC\), allora la gamba \(AB\) è la gamba adiacente e la gamba \(BC\) è opposta. Quindi ora rispondiamo alla domanda: cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo?
Seno dell'angolo– questo è il rapporto tra il cateto opposto (distante) e l'ipotenusa.
Nel nostro triangolo:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Coseno dell'angolo– questo è il rapporto tra il cateto adiacente (vicino) e l'ipotenusa.
Nel nostro triangolo:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangente dell'angolo– questo è il rapporto tra il lato opposto (distante) e quello adiacente (vicino).
Nel nostro triangolo:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangente dell'angolo– questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).
Nel nostro triangolo:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Queste definizioni sono necessarie Ricordare! Per rendere più facile ricordare quale gamba dividere in cosa, è necessario capirlo chiaramente tangente E cotangente siedono solo le gambe e l'ipotenusa appare solo in seno E coseno. E poi puoi inventare una catena di associazioni. Ad esempio, questo:
coseno→tocco→tocco→adiacente;
Cotangente→tocco→tocco→adiacente.
Prima di tutto, devi ricordare che seno, coseno, tangente e cotangente come i rapporti tra i lati di un triangolo non dipendono dalla lunghezza di questi lati (allo stesso angolo). Non credere? Quindi assicurati guardando l'immagine:
Consideriamo, ad esempio, il coseno dell'angolo \(\beta \) . Per definizione, da un triangolo \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ma possiamo calcolare il coseno dell'angolo \(\beta \) dal triangolo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedi, le lunghezze dei lati sono diverse, ma il valore del coseno di un angolo è lo stesso. Pertanto, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dipendono esclusivamente dalla grandezza dell'angolo.
Se capisci le definizioni, vai avanti e consolidale!
Per il triangolo \(ABC \) mostrato nella figura seguente, troviamo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Bene, hai capito? Allora provalo tu stesso: calcola lo stesso per l'angolo \(\beta \) .
Risposte: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Cerchio unitario (trigonometrico).
Comprendendo i concetti di gradi e radianti, abbiamo considerato un cerchio con raggio pari a \(1\) . Un tale cerchio si chiama separare. Sarà molto utile quando studierai la trigonometria. Pertanto, esaminiamolo un po 'più in dettaglio.
Come puoi vedere, questo cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane. Il raggio del cerchio è uguale a uno, mentre il centro del cerchio si trova nell'origine delle coordinate, la posizione iniziale del raggio vettore è fissata lungo la direzione positiva dell'asse \(x\) (nel nostro esempio, questo è il raggio \(AB\)).
Ogni punto del cerchio corrisponde a due numeri: la coordinata lungo l'asse \(x\) e la coordinata lungo l'asse \(y\). Quali sono questi numeri di coordinate? E in generale, cosa c'entrano con l'argomento in questione? Per fare ciò, dobbiamo ricordare il triangolo rettangolo considerato. Nella figura sopra puoi vedere due triangoli rettangoli interi. Considera il triangolo \(ACG\) . È rettangolare perché \(CG\) è perpendicolare all'asse \(x\).
Cosa dista \(\cos \ \alpha \) dal triangolo \(ACG \)? Giusto \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Inoltre, sappiamo che \(AC\) è il raggio del cerchio unitario, il che significa \(AC=1\) . Sostituiamo questo valore nella nostra formula per il coseno. Ecco cosa succede:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
A cosa è uguale \(\sin \ \alpha \) del triangolo \(ACG \)? Beh, certo, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Sostituisci il valore del raggio \(AC\) in questa formula e ottieni:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Sapreste quindi dire quali coordinate ha il punto \(C\) appartenente alla circonferenza? Beh, assolutamente no? E se ti rendessi conto che \(\cos \ \alpha \) e \(\sin \alpha \) sono solo numeri? A quale coordinata corrisponde \(\cos \alpha \)? Beh, ovviamente, la coordinata \(x\)! E a quale coordinata corrisponde \(\sin \alpha \)? Esatto, coordina \(y\)! Quindi il punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
A cosa sono allora uguali \(tg \alpha \) e \(ctg \alpha \)? Esatto, usiamo le definizioni corrispondenti di tangente e cotangente e otteniamolo \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), UN \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Cosa succede se l'angolo è maggiore? Ad esempio, come in questa immagine:
Cosa è cambiato in questo esempio? Scopriamolo. Per fare ciò, torniamo di nuovo al triangolo rettangolo. Considera un triangolo rettangolo \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : angolo (come adiacente all'angolo \(\beta \) ). Qual è il valore di seno, coseno, tangente e cotangente per un angolo? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Esatto, aderiamo alle definizioni corrispondenti delle funzioni trigonometriche:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angolo ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Ebbene, come puoi vedere, il valore del seno dell'angolo corrisponde ancora alla coordinata \(y\) ; il valore del coseno della coordinata angolare \(x\) ; e i valori di tangente e cotangente ai rapporti corrispondenti. Pertanto, queste relazioni si applicano a qualsiasi rotazione del raggio vettore.
È già stato detto che la posizione iniziale del raggio vettore è lungo la direzione positiva dell'asse \(x\). Finora abbiamo ruotato questo vettore in senso antiorario, ma cosa succede se lo ruotiamo in senso orario? Niente di straordinario, otterrai anche un angolo di un certo valore, ma solo negativo. Pertanto, ruotando il raggio vettore in senso antiorario, otteniamo angoli positivi e quando si ruota in senso orario – negativo.
Quindi, sappiamo che l'intera rivoluzione del raggio vettore attorno al cerchio è \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . È possibile ruotare il vettore del raggio di \(390()^\circ \) o di \(-1140()^\circ \)? Beh, certo che puoi! Nel primo caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), quindi, il raggio vettore farà un giro completo e si fermerà nella posizione \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Nel secondo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), cioè il raggio vettore ne farà tre rivoluzioni complete e si fermerà alla posizione \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Pertanto, dagli esempi precedenti possiamo concludere che gli angoli che differiscono di \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (dove \(m \) è un numero intero qualsiasi), corrispondono alla stessa posizione del raggio vettore.
La figura seguente mostra l'angolo \(\beta =-60()^\circ \) . La stessa immagine corrisponde all'angolo \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) eccetera. Questo elenco può essere continuato indefinitamente. Tutti questi angoli possono essere scritti con la formula generale \(\beta +360()^\circ \cdot m\) oppure \(\beta +2\pi \cdot m \) (dove \(m \) è un numero intero qualsiasi)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Ora, conoscendo le definizioni delle funzioni trigonometriche di base e utilizzando la circonferenza unitaria, prova a rispondere quali sono i valori:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Ecco un cerchio unitario per aiutarti:
Hai difficoltà? Allora scopriamolo. Quindi sappiamo che:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)
Da qui determiniamo le coordinate dei punti corrispondenti a determinate misure angolari. Bene, cominciamo con ordine: l'angolo dentro \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corrisponde ad un punto di coordinate \(\left(0;1 \right) \), quindi:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- non esiste;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Inoltre, aderendo alla stessa logica, scopriamo che gli angoli entrano \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corrispondono a punti con coordinate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text()\left(1;0 \right),\text()\left(0 ;1 \destra) \), rispettivamente. Sapendo questo, è facile determinare i valori delle funzioni trigonometriche nei punti corrispondenti. Provalo prima tu stesso e poi controlla le risposte.
Risposte:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- non esiste
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- non esiste
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- non esiste
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- non esiste
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Possiamo quindi realizzare la seguente tabella:
Non è necessario ricordare tutti questi valori. Basta ricordare la corrispondenza tra le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria e i valori delle funzioni trigonometriche:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Devi ricordarlo o essere in grado di visualizzarlo!! \) !}
Ma i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli in e \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) riportati nella tabella seguente, è necessario ricordare:
Non spaventarti, ora ti mostriamo un esempio di memorizzazione abbastanza semplice dei valori corrispondenti:
Per utilizzare questo metodo, è fondamentale ricordare i valori del seno per tutte e tre le misure dell'angolo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), così come il valore della tangente dell'angolo in \(30()^\circ \) . Conoscendo questi valori \(4\), è abbastanza semplice ripristinare l'intera tabella: i valori del coseno vengono trasferiti secondo le frecce, ovvero:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sapendo questo, puoi ripristinare i valori di \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Il numeratore "\(1 \)" corrisponderà a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) e il denominatore "\(\sqrt(\text(3)) \)" corrisponderà a \(\testo (tg)\ 60()^\circ \ \) . I valori della cotangente vengono trasferiti secondo le frecce indicate in figura. Se lo capisci e ricordi il diagramma con le frecce, sarà sufficiente ricordare solo i valori \(4\) della tabella.
Coordinate di un punto su una circonferenza
È possibile trovare un punto (le sue coordinate) su un cerchio, conoscendo le coordinate del centro del cerchio, il suo raggio e l'angolo di rotazione? Beh, certo che puoi! Tiriamolo fuori formula generale per trovare le coordinate di un punto. Ad esempio, ecco un cerchio davanti a noi:
Ci viene dato questo punto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centro del cerchio. Il raggio del cerchio è \(1,5\) . È necessario trovare le coordinate del punto \(P\) ottenuto ruotando il punto \(O\) di \(\delta \) gradi.
Come si vede dalla figura, la coordinata \(x\) del punto \(P\) corrisponde alla lunghezza del segmento \(TP=UQ=UK+KQ\) . La lunghezza del segmento \(UK\) corrisponde alla coordinata \(x\) del centro del cerchio, cioè è uguale a \(3\) . La lunghezza del segmento \(KQ\) può essere espressa utilizzando la definizione di coseno:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Allora abbiamo che per il punto \(P\) la coordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Utilizzando la stessa logica, troviamo il valore della coordinata y per il punto \(P\) . Così,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Quindi, dentro vista generale le coordinate dei punti sono determinate dalle formule:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Dove
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordinate del centro del cerchio,
\(r\) - raggio del cerchio,
\(\delta \) - angolo di rotazione del raggio del vettore.
Come puoi vedere, per la circonferenza unitaria che stiamo considerando, queste formule sono notevolmente ridotte, poiché le coordinate del centro sono uguali a zero e il raggio è uguale a uno:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
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Conferenza: Seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo arbitrario
Seno, coseno di un angolo arbitrario
Per capire cosa sono le funzioni trigonometriche, consideriamo un cerchio di raggio unitario. Questo cerchio ha un centro nell'origine sul piano delle coordinate. Per determinare le funzioni date utilizzeremo il raggio vettore O, che inizia al centro del cerchio, e il punto Rè un punto sulla circonferenza. Questo raggio vettore forma un angolo alfa con l'asse OH. Poiché un cerchio ha un raggio, uguale a uno, Quello O = R = 1.
Se dal punto R abbassare la perpendicolare all'asse OH, allora otteniamo un triangolo rettangolo con ipotenusa uguale a uno.
Se il vettore del raggio si muove in senso orario, viene chiamata questa direzione negativo, se si muove in senso antiorario - positivo.
Seno dell'angolo O, è l'ordinata del punto R vettore su un cerchio.
Cioè, per ottenere il valore del seno di un dato angolo alfa, è necessario determinare la coordinata U in superficie.
Come è stato ottenuto questo valore? Poiché sappiamo che il seno di un angolo arbitrario in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, otteniamo che
E da allora R=1, Quello peccato(α) = y 0 .
In una circonferenza unitaria, il valore dell'ordinata non può essere inferiore a -1 e maggiore di 1, il che significa
Il seno assume valore positivo nel primo e nel secondo quarto della circonferenza unitaria, negativo nel terzo e nel quarto.
Coseno dell'angolo dato cerchio formato dal raggio vettore O, è l'ascissa del punto R vettore su un cerchio.
Cioè, per ottenere il valore del coseno di un dato angolo alfa, è necessario determinare la coordinata X in superficie.
Il coseno di un angolo arbitrario in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa, otteniamo che
E da allora R=1, Quello cos(α) = x 0 .
Nel cerchio unitario, il valore dell'ascissa non può essere inferiore a -1 e maggiore di 1, il che significa
Il coseno assume un valore positivo nel primo e nel quarto quarto del cerchio unitario e negativo nel secondo e nel terzo.
Tangenteangolo arbitrario Viene calcolato il rapporto tra seno e coseno.
Se consideriamo un triangolo rettangolo, questo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente. Se stiamo parlando del cerchio unitario, allora questo è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa.
A giudicare da queste relazioni si può capire che la tangente non può esistere se il valore dell'ascissa è zero, cioè con un angolo di 90 gradi. La tangente può assumere tutti gli altri valori.
La tangente è positiva nel primo e nel terzo quarto della circonferenza unitaria, mentre è negativa nel secondo e nel quarto.