速度と時間のグラフを使用して、物体の移動経路を見つける方法を示しましょう。
最も単純なケース、つまり等速運動から始めましょう。 図 6.1 は、v(t) – 速度対時間のグラフを示しています。 等速運動では速度が一定であるため、これは時間の基準に平行な直線のセグメントを表します。
このグラフの下に囲まれた図形は長方形（図では網掛け部分）となっている。 その面積は、数値的には速度 v と移動時間 t の積に等しくなります。 一方、積 vt は、身体が通過する経路 l に等しくなります。 つまり、等速運動で
数値的には 面積に等しい速度対時間のグラフの下に囲まれた図。
ここで、不均一な動きにもこの注目すべき特性があることを示しましょう。
たとえば、速度対時間のグラフが図 6.2 に示す曲線のように見えるとします。 
動作の全時間を心の中で、体の動きがほぼ均一であるとみなせるような小さな間隔に分割してみましょう (この分割は図 6.2 の破線で示されています)。
次に、そのような各間隔中に移動した経路は、グラフの対応する塊の下にある図の面積に数値的に等しくなります。 したがって、パス全体は、グラフ全体の下に含まれる図形の面積に等しくなります。 (私たちが使用した手法は積分計算の基礎であり、その基礎は「数学解析の基礎」コースで学習します。)
2. 直線等加速度運動時の軌跡と変位
ここで、上で説明した方法を適用して直線等加速度運動の経路を見つけてみましょう。
機体の初速度はゼロです
x 軸を身体の加速度の方向に向けてみましょう。 すると、a x = a、v x = v となります。 したがって、
図 6.3 に v(t) のグラフを示します。 
1. 図 6.3 を使用して、初速のない直線等加速度運動の場合、経路 l は加速度モジュール a と移動時間 t で次の式で表されることを証明します。
l = 2 /2 で。 (2)
主な結論:
初速度のない直線等加速度運動の場合、物体の移動距離は移動時間の二乗に比例します。
このように、等加速度運動は等速運動とは大きく異なります。
図 6.4 は、2 つの物体の経路と時間のグラフを示しています。一方は均一に移動し、もう一方は初速度なしで均一に加速します。 
2. 図 6.4 を見て、質問に答えてください。
a) 等加速度で運動する物体のグラフは何色ですか?
b) この物体の加速度はいくらですか?
c) 物体が同じ経路を通過した瞬間の速度はどれくらいですか?
d) 物体の速度はどの時点で等しくなりますか?
3. 発進後、車は最初の 4 秒で 20 m の距離を移動しました。車の動きは直線的であり、均一に加速されていると考えてください。 車の加速度を計算せずに、車が移動する距離を決定します。
a) 8秒以内? b) 16秒以内? c) 2秒以内?
ここで、変位 s x の投影の時間依存性を見つけてみましょう。 この場合、x 軸への加速度の投影は正であるため、s x = l、a x = a となります。 したがって、式 (2) から次のようになります。
s x = a x t 2 /2。 (3)
式 (2) と (3) は非常に似ているため、解く際にエラーが発生することがあります。 単純な作業。 実際のところ、変位投影値は負の値になる可能性があります。 これは、x 軸が変位と反対の方向を向いている場合に発生します。その場合、s x< 0. А путь отрицательным быть не может!
4. 図 6.5 は、特定の物体の移動時間と変位予測のグラフを示しています。 変位投影グラフは何色ですか?
体の初速はゼロではない
この場合、速度投影の時間依存性は次の式で表されることを思い出してください。
v x = v 0x + a x t、(4)
ここで、v 0x は、x 軸への初速度の投影です。
v 0x > 0、a x > 0の場合をさらに検討します。この場合、パスが速度対時間のグラフの下の図の面積に数値的に等しいという事実を再び利用できます。 (初速度と加速度を投影するための他の符号の組み合わせを自分で検討してください。結果は同じになります。 一般式 (5).
図 6.6 は、v 0x > 0、a x > 0 の場合の v x (t) のグラフを示しています。 
5. 図 6.6 を用いて、初速のある直線等加速度運動の場合、変位の射影が成り立つことを証明してください。
s x = v 0x + a x t 2 /2。 (5)
この公式を使用すると、物体の X 座標の時間依存性を見つけることができます。 物体の座標 x は、次の関係によってその変位 s x の投影に関係していることを思い出してください (式 (6)、§ 2 を参照)。
s x = x – x 0 、
ここで、x 0 はボディの初期座標です。 したがって、
x = x 0 + s x 、(6)
式 (5)、(6) から次が得られます。
x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2。 （7）
6. x 軸に沿って移動する特定の物体の座標の時間依存性は、式 x = 6 – 5t + t 2 によって SI 単位で表されます。
a) 体の初期座標は何ですか?
b) 初速度の x 軸への投影は何ですか?
c) X 軸上の加速度の投影は何ですか?
d) x 座標対時間のグラフを描きます。
e) 予測速度対時間のグラフを描きます。
f) 体の速度がゼロになるのはどの瞬間ですか?
g) 体は原点に戻りますか？ もしそうなら、それはいつの時点ですか?
h) ボディは原点を通過しますか? もしそうなら、いつの時点ですか?
i) 変位投影対時間のグラフを描きます。
j) 距離と時間のグラフを描きます。
3. 経路と速度の関係
問題を解くとき、経路、加速度、速度の関係 (初期 v 0、最終 v、またはその両方) がよく使用されます。 これらの関係を導き出してみましょう。 まずは初速のない動きから始めましょう。 式 (1) から移動時間については次の値が得られます。
この式をパスの式 (2) に代入してみましょう。
l = 2 /2 = a/2(v/a) 2 = v 2 /2a。 (9)
主な結論:
初速度のない直線等加速度運動では、物体が移動する距離は最終速度の 2 乗に比例します。
7. 発進後、車は 40 m の距離にわたって 10 m/s の速度を上げました。車の動きは直線的であり、均一に加速されていると考えてください。 車の加速度を計算せずに、車の速度が次の場合に移動の開始からどのくらいの距離を移動したかを決定します。 a) 20 m/s? b) 40m/秒? c) 5 m/s?
関係(9)は、経路が速度対時間のグラフ(図6.7)の下に囲まれた図形の面積に数値的に等しいことを覚えておくことによっても取得できます。 
この考慮事項は、次のタスクに簡単に対処するのに役立ちます。
8. 図 6.8 を使用して、一定の加速度でブレーキをかけると、車体は完全に停止するまで l t = v 0 2 /2a の距離を移動することを証明します。ここで、v 0 は車体の初速度、a は加速度係数です。
ブレーキの場合 車両（車、電車）完全に停止するまでの距離を制動距離といいます。 注意してください: 初速度 v 0 での制動距離と、同じ加速度 a で停止状態から速度 v 0 まで加速する際の移動距離は同じです。
9. ドライアスファルトでの緊急ブレーキ中の車の加速度は、絶対値で 5 m/s 2 に等しくなります。 初速度での車の制動距離はどのくらいですか: a) 60 km/h (市街地で許可される最大速度)。 b) 120 km/h? 加速係数が 2 m/s 2 の場合、氷上条件下での表示速度での制動距離を求めます。 見つけた制動距離の値を教室の長さと比較してください。
10. 図 6.9 と、台形の高さおよび底辺の合計の半分を通る台形の面積を表す式を使用して、直線等加速度運動について次のことを証明します。
a) l = (v 2 – v 0 2)/2a、物体の速度が増加する場合。
b) l = (v 0 2 – v 2)/2a、車体の速度が低下した場合。
11. 変位、初速度と終速度、加速度の予測が次の関係によって関連付けられていることを証明します。
s x = (v x 2 – v 0x 2)/2ax (10)
12. 200 m 走行中の車が、速度 10 m/s から 30 m/s まで加速しました。
a) 車はどれくらいの速さで動いていましたか?
b) 車が示された距離を移動するのにどれくらいかかりましたか?
c) 車の平均速度はどれくらいですか?
追加の質問とタスク
13. 最後尾の車両が走行中の列車から切り離され、その後列車は均一に移動し、車両は完全に停止するまで一定の加速度で移動します。
a) 電車と馬車の速度と時間のグラフを 1 つの図面に描きます。
b) 馬車が停留所まで移動する距離は、列車が同じ時間に移動する距離より何倍短いですか?
14. 駅を出ると、列車はしばらくの間均一に加速し、その後 1 分間、時速 60 km の速度で均一に加速し、次の駅で停止するまで再び均一に加速しました。 加速時と制動時の加速モジュールが異なりました。 列車は駅間の距離を2分で走った。
a) 時間の関数としての列車の速度の予測の概略グラフを描きます。
b) このグラフを使用して、駅間の距離を求めます。
c) ルートの最初のセクションで加速し、2 番目のセクションで減速した場合、列車はどのくらいの距離を移動しますか? その最高速度はどれくらいでしょうか?
15. 物体は x 軸に沿って均一に加速されて移動します。 最初の瞬間、それは座標の原点にあり、その速度の投影は 8 m/s に等しかった。 2秒後、体の座標は12mになりました。
a) 物体の加速度の投影は何ですか?
b) v x (t) のグラフをプロットします。
c) 依存性 x(t) を SI 単位で表す式を書きます。
d) 体の速度はゼロになりますか? 「はい」の場合、いつの時点ですか?
e) 身体は座標 12 m の点をもう一度訪問しますか? 「はい」の場合、いつの時点ですか?
f) 体は原点に戻りますか？ 移動する場合、いつの時点で、移動距離はどれくらいになりますか?
16. プッシュ後、ボールは傾斜面を転がり、その後開始点に戻ります。 ボールは、プッシュ後、時間間隔ｔ １ およびｔ ２ で２回、初期点から距離ｂにあった。 ボールは傾斜面に沿って同じ加速度で上下に移動しました。
a) x 軸を傾斜面に沿って上に向け、ボールの初期位置に原点を選択し、ボールの初速度の係数 v0 と係数を含む依存性 x(t) を表す式を書きます。ボールの加速度 a.
b) この公式と、時刻 t 1 および t 2 においてボールが開始点から距離 b にあったという事実を使用して、2 つの未知数 v 0 および a を含む 2 つの方程式系を作成します。
c) この連立方程式を解いた後、v 0 と a を b、t 1、t 2 で表します。
d) ボールが移動する経路全体 l を b、t 1 および t 2 で表します。
e) b = 30 cm、t 1 = 1 s、t 2 = 2 sの場合のv 0、a、lの数値を求めます。
f) v x (t)、s x (t)、l(t) のグラフをプロットします。
g) sx(t) のグラフを使用して、ボールの変位係数が最大となる瞬間を決定します。
B2。 速度投影対時間のグラフ (図 1) を使用して、各物体について次のことを決定します。
a) 初速度の投影。
b) 2 秒後の速度投影。
c) 加速度投影。
d) 速度射影方程式。
e) 物体の速度の予測が 6 m/s に等しくなるのはいつですか?
解決
a) 各物体の初速度の予測を決定します。グラフィック手法。 グラフを使用して、グラフと軸の交点の投影速度の値を見つけます。 0υ バツ(図 2a では、これらの点が強調表示されています):
υ 01バツ = 0; υ 02バツ= 5 メートル/秒; υ 03バツ= 5 メートル/秒。
B) 2 秒後の各物体の速度投影を決定します。
グラフィック手法。 グラフを使用して、軸に引いた垂線とのグラフの交点の投影速度の値を求めます。 0t時点で t= 2 秒 (図 2 b では、これらの点が強調表示されています):
υ 1バツ(2 秒) = 6 メートル/秒; υ 2バツ(2 秒) = 5 メートル/秒; υ 3バツ(2 秒) = 3 m/秒。
分析方法。 速度の投影のための方程式を作成し、それを使用して次の速度の値を決定します。 t= 2 秒 (点 d を参照)。
C) 各物体の加速度投影を決定します。
グラフィック手法。 加速度投影 \(~a_x = \tan \alpha = \frac(\Delta \upsilon)(\Delta t) = \frac(\upsilon_2 - \upsilon_1)(t_2-t_1)\)、ここで α は傾斜角ですグラフの軸への変換 0t; Δ t = t 2 – t 1 – 任意の期間。 Δ υ = υ 2 – υ 1 – 時間間隔 Δ に対応する速度間隔 t = t 2 – t 1. 加速度値の計算の精度を高めるために、可能な最大期間を選択し、それに応じて各グラフの可能な最大速度期間も選択します。
グラフ 1 の場合: t 2 = 2 秒、 t 1 = 0 の場合 υ 2 = 6 m/秒、 υ 1 = 0 および ある 1x = (6 m/s - 0)/(2 s - 0) = 3 m/s 2 (図 3a)。
グラフ 2 の場合: t 2 = 6 秒、 t 1 = 0 の場合 υ 2 = 5 m/秒、 υ 1 = 5 m/秒および ある 2x = (5 m/s - 5 m/s)/(6 s - 0) = 0 (図 3 b)。
グラフ 3 の場合: t 2 = 5秒、 t 1 = 0 の場合 υ 2 = 0, υ 1 = 5 m/秒および ある 3x = (0 - 5 m/s)/(4 s - 0) = –1 m/s 2 (図 3 c)。
分析方法。 速度射影方程式を次のように書いてみましょう。 一般的な見解 υ バツ = υ 0バツ + ある バツ · t。 初速度投影 (点 a を参照) と次の速度投影の値を使用します。 t= 2 s (点 b を参照)、加速度投影\[~a_x = \frac(\upsilon_x - \upsilon_(0x))(t)\] の値を見つけます。
D) 各物体の速度投影方程式を決定します。
一般的な形式の速度射影方程式は次のとおりです。 υ バツ = υ 0バツ + ある バツ · t。 スケジュール 1 の場合: なぜなら υ 01バツ = 0, ある 1バツ= 3 m/s 2、すると υ 1バツ= 3・ t。 ポイントbを確認してみましょう。 υ 1バツ(2 s) = 3 2 = 6 (m/s)、これが答えに相当します。
スケジュール 2 の場合: なぜなら υ 02バツ= 5 m/秒、 ある 2バツ= 0 の場合 υ 2バツ= 5. ポイント b を確認してみましょう。 υ 2バツ(2 s) = 5 (m/s)、これが答えに相当します。
スケジュール 3 の場合: なぜなら υ 03バツ= 5 m/秒、 ある 3バツ= –1 m/s 2 、すると υ 3バツ= 5 – 1・ t = 5 – t。 ポイントbを確認してみましょう。 υ 3バツ(2 s) = 5 – 1 2 = 3 (m/s)、これが答えに相当します。
E) 物体の速度の予測が 6 m/s に等しくなる時期を決定しますか?
グラフィック手法。 グラフを使用して、軸に引いた垂線とグラフの交点の時間値を求めます。 0υ バツ時点で υ バツ= 6 m/s (図 4 では、これらの点が強調表示されています): t 1 (6 m/秒) = 2 秒; t 3 (6 m/s) = –1 秒。
グラフ 2 は垂線に平行であるため、物体 2 の速度が 6 m/s に等しくなることはありません。
分析方法。 各物体の速度投影方程式を書き留めて、どの時点の値を見つけるか tの場合、速度は6m/sになります。
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等速運動と等加速度運動はどう違うのでしょうか?
等加速度運動の経路グラフは等速運動の経路グラフとどう違うのでしょうか?
ベクトルを軸に投影するとどうなるでしょうか?
等速直線運動の場合、座標と時間のグラフから速度を求めることができます。
速度投影は、横軸に対する直線 x(t) の傾斜角の正接に数値的に等しくなります。 また、速度が高くなると傾斜角も大きくなります。
直線等加速度運動。
図 1.33 は、3 つの加速度対時間の予測のグラフを示しています。 さまざまな意味点の直線等加速度運動中の加速度。 それらは横軸に平行な直線です: a x = const。 グラフ 1 と 2 は加速度ベクトルが OX 軸に沿った方向を向いている場合の動きに対応し、グラフ 3 は加速度ベクトルが OX 軸と反対方向を向いている場合の動きに対応しています。
均一に加速された運動では、速度投影は時間に線形に依存します: υ x = υ 0x + a x t。 図 1.34 は、これら 3 つのケースの依存関係のグラフを示しています。 この場合、点の初速度は同じです。 このグラフを分析してみましょう。
加速度の投影 グラフから、点の加速度が大きいほど、t 軸に対する直線の傾斜角が大きくなり、それに応じて、値を決定する傾斜角の正接も大きくなることが明らかです。加速度のこと。
同じ時間内に加速度が異なると、速度は異なる値に変化します。
同じ期間の加速度投影が正の値である場合、ケース 2 の速度投影はケース 1 の 2 倍の速さで増加します。 負の値加速度を OX 軸に投影すると、速度投影モジュロはケース 1 と同じ値に変化しますが、速度は減少します。
ケース 1 と 3 では、速度係数対時間のグラフは同じになります (図 1.35)。
速度対時間のグラフ (図 1.36) を使用して、点の座標の変化を見つけます。 この変化は数値的には影付きの台形の面積に等しく、この場合は 4 秒以内の座標の変化 Δx = 16 m です。
座標の変化を発見しました。 点の座標を見つける必要がある場合は、見つかった数値にその初期値を加算する必要があります。 最初の時点で x 0 = 2 m であるとすると、次の点の座標の値は次のようになります。 この瞬間 4 秒に等しい時間は 18 m に相当します。この場合、変位モジュールは、点が移動した経路、またはその座標の変化、つまり 16 m に等しくなります。
動きが均一に遅い場合、選択した時間間隔中のポイントは停止し、最初の方向とは反対の方向に動き始める可能性があります。 図 1.37 は、このような動きの速度投影の時間依存性を示しています。 2 秒に等しい時点で、速度の方向が変化することがわかります。 座標の変化は、数値的には、影付きの三角形の面積の代数和に等しくなります。
これらの領域を計算すると、座標の変化は -6 m であることがわかります。これは、OX 軸の反対方向に、点がこの軸の方向よりも長い距離を移動したことを意味します。
四角 その上 t 軸にプラス記号を付け、面積をとります。 下 t 軸。速度投影が負であり、マイナス符号が付きます。
最初の時点で特定の点の速度が 2 m/s に等しい場合、6 秒に等しい時点でのその点の座標は、この場合の点の変位係数は -4 m に等しくなります。 6 m - 座標の変化係数にも等しい。 ただし、この点が通過する経路は、図 1.38 に示す影付きの三角形の面積の合計である 10 m に等しくなります。
ある時点の x 座標の依存性をプロットしてみましょう。 式 (1.14) の 1 つによると、座標対時間の曲線 x(t) は放物線です。
点が一定の速度で移動する場合、その時間に対するグラフを図 1.36 に示します。a x > 0 であるため、放物線の枝は上向きになります (図 1.39)。 このグラフから、いつでも点の座標と速度を決定できます。 したがって、4 秒に等しい時点で、点の座標は 18 m になります。
最初の瞬間では、点 A で曲線に接線を引き、傾斜角の接線 α 1 を決定します。これは数値的には初速度、つまり 2 m/s に等しくなります。
点 B での速度を決定するには、この点で放物線に接線を引き、角度 α 2 の接線を決定します。 これは 6 に等しいため、速度は 6 m/s になります。
経路対時間のグラフは同じ放物線ですが、原点から描かれています (図 1.40)。 時間の経過とともにパスが継続的に増加し、動きが一方向に発生していることがわかります。
点が一定の速度で移動する場合、その投影対時間のグラフを図 1.37 に示します。x であるため、放物線の枝は下向きになります。< 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.
t = 2 s の瞬間から、傾斜角の正接が負になり、そのモジュールが増加します。これは、点が最初とは反対の方向に移動する一方で、移動速度のモジュールが増加することを意味します。
変位係数は、最終点と終点の点の座標間の差の係数に等しくなります。 最初の瞬間時間は6mに相当します。
図 1.42 に示す、点の移動距離対時間のグラフは、変位対時間のグラフ (図 1.41 を参照) とは異なります。
速度の方向に関係なく、ポイントが移動する経路は継続的に増加します。
速度投影に対する点座標の依存性を導出してみましょう。 速度υx = υ 0x + a x t、したがって
x 0 = 0 および x > 0 および υ x > υ 0x の場合、座標対速度のグラフは放物線になります (図 1.43)。
この場合、加速度が大きくなるほど、放物線の分岐の傾斜は緩やかになります。 これは説明が簡単です。なぜなら、加速度が大きくなるほど、速度がより小さい加速度で移動する場合と同じ量増加するために点が移動しなければならない距離が少なくなるからです。
×の場合< 0 и υ 0x >0 の場合、速度投影は減少します。 式 (1.17) を a = |a x | の形式に書き直してみましょう。 この関係のグラフは、下に枝を向けた放物線になります (図 1.44)。
加速された動き。
速度投影対時間のグラフを使用すると、あらゆる種類の動きについて、いつでも点の座標と加速度投影を決定できます。
図 1.45 に示すように、点の速度の投影が時間に依存するとします。 0 から t 3 までの時間間隔で、X 軸に沿った点の移動が可変加速度で発生したことは明らかです。 ｔ ３ に等しい時点から始まり、動きは一定速度υ Ｄｘ で均一である。 グラフによると、点が移動する加速度が連続的に減少していることがわかります (点 B と点 C での接線の傾斜角を比較してください)。
時間 t 1 中の点の x 座標の変化は、数値的には面積に等しくなります。 湾曲した台形 OABt 1、時間 t 2 - 面積 OACt 2 など。速度投影対時間のグラフからわかるように、任意の期間にわたる物体の座標の変化を決定できます。
座標と時間のグラフから、特定の時点に対応する点における曲線の接線を計算することで、任意の時点での速度の値を決定できます。 図 1.46 から、時間 t 1 では速度投影が正であることがわかります。 t 2 から t 3 までの時間間隔では、速度はゼロであり、物体は静止しています。 時間 t 4 では、速度もゼロになります (点 D における曲線の接線は x 軸に平行です)。 次に、速度投影は負になり、点の運動方向は反対に変わります。
速度投影対時間のグラフがわかっていれば、点の加速度を決定でき、また、初期位置がわかればいつでも物体の座標を決定できます。つまり、運動学の主な問題を解決できます。 座標と時間のグラフから、動きの最も重要な運動学的特性の 1 つである速度を判断できます。 さらに、これらのグラフを使用して、選択した軸に沿った動きのタイプ (均一、一定の加速度による動き、または可変加速度による動き) を決定できます。
均一な動き– これは一定速度での動きです。つまり、速度が変化せず (v = const)、加速も減速も発生しません (a = 0)。
直線移動- これは直線の移動です。つまり、直線移動の軌跡は直線です。
均一な直線運動- これは、身体が等間隔で等しい動きをする運動です。 たとえば、ある時間間隔を 1 秒間隔に分割すると、等速運動では、物体はこれらの時間間隔ごとに同じ距離を移動します。
等速直線運動の速度は時間に依存せず、軌道の各点では体の動きと同じ方向に進みます。 つまり、変位ベクトルは速度ベクトルと方向が一致する。 この場合、任意の期間の平均速度は瞬間速度と等しくなります。
等速直線運動の速度は、任意の期間にわたる物体の動きとこの間隔 t の値の比に等しい物理ベクトル量です。
したがって、等速直線運動の速度は、質点が単位時間あたりにどれだけ移動するかを示します。
移動等速直線運動の場合、次の式で求められます。
走行距離直線運動では変位モジュールに等しい。 OX 軸の正の方向が移動の方向と一致する場合、OX 軸への速度の射影は速度の大きさに等しく、正になります。
v x = v、つまり v > 0
変位の OX 軸への投影は次のようになります。
s = vt = x – x 0
ここで、x 0 はボディの初期座標、x はボディの最終座標 (または任意の時点でのボディの座標) です。
運動方程式つまり、時間に対する身体座標の依存性 x = x(t) は次の形式になります。
OX 軸の正の方向が体の動きの方向と反対の場合、OX 軸への体の速度の射影は負となり、速度はゼロより小さくなります (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
速度、座標、経路の時間依存性
物体速度の投影の時間依存性を図に示します。 1.11. 速度は一定（v = const）なので、速度グラフは時間軸 Ot に平行な直線になります。
米。 1.11. 等速直線運動における物体速度の投影の時間依存性。
移動ベクトルの大きさは速度ベクトルと移動が行われた時間の積に等しいため、座標軸上への移動の投影は、数値的には長方形OABCの面積に等しくなります（図1.12）。作った。
米。 1.12. 等速直線運動における物体変位の投影の時間依存性。
変位対時間のグラフを図に示します。 1.13。 グラフは、速度の投影が次と等しいことを示しています。
v = s 1 / t 1 = Tan α
ここで、αは時間軸に対するグラフの傾き角度です。
角度αが大きいほど、物体は速く動く、つまり速度が大きくなります（短い時間で長い距離を移動できる）。 座標対時間のグラフに対する接線の正接は速度に等しくなります。
米。 1.13。 等速直線運動における物体変位の投影の時間依存性。
座標の時間依存性を図に示します。 1.14。 図から明らかなように、
Tan α 1 > Tan α 2
したがって、物体 1 の速度は物体 2 の速度よりも高くなります (v 1 > v 2)。
タンα 3 = v 3< 0
身体が静止している場合、座標グラフは時間軸に平行な直線になります。
米。 1.14。 等速直線運動における身体座標の時間依存性。
角度量と線形量の関係
回転体の各点の線速度は異なります。 各点の速度は、対応する円の接線方向に向けられ、その方向が連続的に変化します。 速度の大きさは、物体の回転速度と回転軸からの当該点の距離 R によって決まります。 短時間で体をある角度で回転させます (図 2.4)。 軸から距離 R の位置にある点は、次のパスを移動します。
定義による点の線速度。
接線加速度
同じ関係 (2.6) を使用すると、次のようになります。
したがって、法線方向の加速度と接線方向の加速度は両方とも、回転軸からの点の距離に応じて直線的に増加します。
基本概念。
周期発振システム (機械など) が一定期間後に同じ状態に戻るプロセスです。 この期間を発振周期と呼びます。
復元力- 振動プロセスが発生する影響下にある力。 この力は、静止位置からずれた物体または物質点を元の位置に戻そうとします。
振動体への衝撃の性質に応じて、自由（または自然）振動と強制振動が区別されます。
自由振動振動体に復元力のみが作用した場合に発生します。 エネルギー散逸が発生しない場合、自由振動は減衰されません。 ただし、実際の振動プロセスは減衰します。 振動体は運動抵抗力（主に摩擦力）の影響を受けます。
強制振動強制と呼ばれる、周期的に変化する外部の力の影響下で実行されます。 多くの場合、システムは高調波とみなされる振動を起こします。
調和振動これらは振動運動と呼ばれ、物体の平衡位置からの変位がサインまたはコサインの法則に従って発生します。
物理的意味を説明するために、円を考え、半径 OK を角速度 ω で反時計回り (7.1) 反時計回りに回転させます。 最初の瞬間に OK が水平面にあった場合、時間 t 後には角度だけシフトします。 開始角度がゼロ以外で次の値に等しい場合 φ 0 の場合、回転角度は に等しくなります。 XO 1 軸への投影は に等しくなります。 半径 OK が回転すると、投影の大きさが変化し、点は点に対して上、下などに振動します。 この場合、x の最大値は A に等しく、振動の振幅と呼ばれます。 ω - 円周周波数または周期周波数; - 初期位相。 点 K が円の周りを 1 回転すると、その投影は 1 回完全に振動し、開始点に戻ります。
期間Tは 1 回の完全な振動の時間と呼ばれます。 時間 T の後、振動を特徴付けるすべての物理量の値が繰り返されます。 1 周期内で、発振点は数値的に 4 つの振幅に等しい経路を移動します。
角速度は、期間 T の間に半径 OK が 1 回転するという条件から決定されます。 2π ラジアンの角度で回転します。
発振周波数- 1 秒あたりのポイントの振動数、つまり 発振周波数は発振周期の逆数として定義されます。
バネ振り子の弾性力。
ばね振り子は、ばねと、それに沿って滑ることができる水平ロッドに取り付けられた巨大なボールで構成されています。 穴の開いたボールをバネに取り付けてガイド軸（ロッド）に沿ってスライドさせます。 図では、 7.2a は静止時のボールの位置を示しています。 図の 7.2、b - 最大圧縮、図では。 7.2,c - ボールの任意の位置。
圧縮力と等しい復元力の影響下で、ボールは振動します。 圧縮力 F = -kx、ここで k はバネ剛性係数です。 マイナス記号は、力 F と変位 x の方向が逆であることを示します。 圧縮されたバネの位置エネルギー
運動的な
ボールの運動方程式を導くには、x と t を関係付ける必要があります。 結論はエネルギー保存則に基づいています。 総機械エネルギーは、システムの運動エネルギーと位置エネルギーの合計に等しくなります。 この場合：
。 b) の位置では: 
.
考慮中の運動では力学的エネルギー保存則が満たされるため、次のように書くことができます。
。 ここから速度を決定しましょう。
しかし、順番に、したがって 
。 変数を分けてみましょう 
。 この式を統合すると、次のようになります。 
,
ここで、 は積分定数です。 後者から次のことがわかります
したがって、弾性力の作用下で、物体は調和振動を実行します。 弾性とは性質が異なるが、条件 F = -kx が満たされる力は、準弾性と呼ばれます。 これらの力の影響下で、物体は調和振動も行います。 ここで:
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バイアス： | |
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スピード： |
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加速度： |
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数学的な振り子。
数学的な振り子は、重力の影響下で 1 つの垂直面内で振動運動を行う、非伸縮性の無重力の糸に吊り下げられた物質点です。
このような振り子は、細い糸で吊り下げられた質量 m の重い球と考えることができ、その長さ l は球のサイズよりもはるかに大きくなります。 垂直線から角度 α (図 7.3.) だけ偏向すると、重量 P の成分の 1 つである力 F の影響を受けて振動します。 ねじ山に沿った他のコンポーネントは考慮されません。 糸の張力でバランスが取れています。 小さな変位角では、x 座標を水平方向に測定できます。 図 7.3 から、ねじ山に垂直な重量成分は次の値に等しいことが明らかです。
右側のマイナス記号は、力 F が角度 α が減少する方向に向かうことを意味します。 角度αの小ささを考慮すると
数学的および物理的な振り子の運動法則を導き出すには、回転運動の力学の基本方程式を使用します。
点 O を基準とした力のモーメント: 、および慣性モーメント: M=フロリダ。 慣性モーメント Jこの場合は角加速度:
これらの値を考慮すると、次のようになります。 
彼の決断 
,
ご覧のとおり、数学的な振り子の振動周期はその長さと重力加速度に依存し、振動の振幅には依存しません。
減衰振動。
すべての実際の振動システムは散逸性です。 このようなシステムの機械振動のエネルギーは、摩擦力に対する仕事に徐々に費やされるため、自由振動は常に減衰し、その振幅は徐々に減少します。 多くの場合、乾燥摩擦がない場合、最初の近似として、低速の移動速度では機械振動の減衰を引き起こす力は速度に比例すると仮定できます。 これらの勢力は、その起源に関係なく、抵抗勢力と呼ばれます。
この方程式を次のように書き換えてみましょう。 
そして次のことを示します: 
ここで、 は環境抵抗がない場合にシステムの自由振動が発生する周波数を表します。 r = 0 の場合。この周波数はシステムの固有振動数と呼ばれます。 β は減衰係数です。 それから
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U が t の関数である形式で式 (7.19) の解を探します。
この式を時間 t に関して 2 回微分し、一次導関数と二次導関数の値を式 (7.19) に代入すると、次のようになります。 
この方程式の解は、U における係数の符号に大きく依存します。この係数が正の場合を考えてみましょう。 表記法を導入しましょう。実数 ω を使用すると、ご存知のように、この方程式の解は次の関数になります。
したがって、媒体の抵抗が低い場合、式 (7.19) の解は次の関数になります。
この関数のグラフを図に示します。 7.8. 点線は、振動点の変位が収まる限界を示しています。 この量は、散逸系の振動の固有周期周波数と呼ばれます。 減衰振動は、変位、速度、加速度の最大値など、決して繰り返されないため、非周期的な振動です。 この量は通常、減衰振動の周期、またはより正確には減衰振動の条件付き周期と呼ばれます。
周期 T に等しい時間間隔で互いに続く変位振幅の比の自然対数は、対数減衰減分と呼ばれます。
振動の振幅が e 倍に減少する期間を τ で表すことにします。 それから
したがって、減衰係数は、振幅が e 倍に減少する時間周期 τ に逆数の物理量になります。 量 τ は緩和時間と呼ばれます。
N を振動数とし、その後振幅は e 倍に減少します。
したがって、対数減衰減分δは次のようになります。 物理量、振動数 N の逆数、その後振幅は e 倍減少します
強制振動。
強制振動の場合、システムは外部 (強制) 力の影響下で振動し、この力の働きにより、システムのエネルギー損失が定期的に補償されます。 強制振動の周波数 (強制振動数) は、外力の変化の周波数に依存します。定常的に作用する力による減衰しない振動を考慮して、質量 m の強制振動の振幅を決定します。
この力が法則に従って時間とともに変化するとします。ここで、 は駆動力の振幅です。 復元力と抵抗力 するとニュートンの第二法則は次のように書けます。
均一な直線運動- これは不均一な動きの特殊なケースです。
不均一な動き- これは、物体（質点）が同じ時間にわたって不均一な動きをする動きです。 例えば、市バスは加速と減速が主な動きとなるため、不均一な動きをします。
等しく交互の動き– これは、物体（質点）の速度が等時間にわたって等しく変化する運動です。
等速運動中の物体の加速度大きさと方向は一定のままです (a = const)。
等速運動は等速加速または等速減速が可能です。
等加速度運動- これは、正の加速度を伴う物体 (質点) の動きです。つまり、このような動きでは、物体は一定の加速度で加速します。 いつ 等加速度運動物体の速度係数は時間の経過とともに増加し、加速度の方向は移動速度の方向と一致します。
等速スローモーション- これは、負の加速度を伴う物体 (質点) の動きです。つまり、そのような動きでは、物体は均一に減速します。 等速スローモーションでは、速度ベクトルと加速度ベクトルが逆になり、時間の経過とともに速度係数が減少します。
力学では、あらゆる直線運動は加速されるため、スローモーションと加速運動の違いは、座標系の選択された軸への加速度ベクトルの投影の符号のみです。
平均可変速速度身体の動きをその動きが行われた時間で割ることによって求められます。 平均速度の単位は m/s です。
Vcp = s/t
は、特定の瞬間または軌道の特定の点における物体 (質点) の速度、つまり、時間間隔 Δt が無限に減少する場合に平均速度が到達する傾向の限界です。
瞬時速度ベクトル均一に交互する動きは、時間に関する変位ベクトルの一次導関数として求めることができます。
速度ベクトル投影 OX 軸上:
V x = x’
これは、時間に関する座標の導関数です (他の座標軸への速度ベクトルの投影も同様に得られます)。
は物体の速度の変化率を決定する量です。つまり、時間間隔 Δt が無限に減少する場合の速度変化の限界を決定します。
等交運動の加速度ベクトルは、時間に関する速度ベクトルの 1 次導関数として、または時間に関する変位ベクトルの 2 次導関数として求めることができます。
物体が直線デカルト座標系の OX 軸に沿って直線的に移動し、物体の軌道と方向が一致する場合、この軸への速度ベクトルの投影は次の式で決定されます。
V x = v 0x ± a x t
加速度ベクトルの投影の前にある「-」（マイナス）記号は、均一なスローモーションを指します。 速度ベクトルを他の座標軸に投影する方程式も同様に記述されます。
等速運動では加速度は一定（a = const）なので、加速度グラフは 0t 軸（時間軸、図 1.15）に平行な直線になります。
米。 1.15。 車体加速度の時間依存性。
速度の時間依存性- これ 一次関数、そのグラフは直線です (図 1.16)。
米。 1.16 体の速度の時間依存性。
速度対時間のグラフ(図 1.16) は次のことを示しています
この場合、変位は数値的には図0abcの面積に等しくなります（図1.16）。
台形の面積は、底辺の長さと高さの合計の半分の積に等しくなります。 台形 0abc の底辺は数値的に等しいです。
0a = v 0 bc = v
台形の高さはtです。 したがって、台形の面積、したがって OX 軸への変位の投影は次と等しくなります。
等速運動の場合、加速度投影は負であり、変位投影の式では加速度の前に「-」（マイナス）記号が付けられます。
さまざまな加速度における物体の速度対時間のグラフを図に示します。 1.17。 v0 = 0 の場合の変位対時間のグラフを図に示します。 1.18
米。 1.17。 さまざまな加速度値に対する車体速度の時間依存性。
米。 1.18 体の動きの時間依存性。
特定の時間 t 1 における物体の速度は、グラフの接線と時間軸の間の傾斜角の正接 v = tg α に等しく、変位は次の式で求められます。
物体の移動時間が不明な場合は、2 つの方程式系を解くことで別の変位公式を使用できます。
これは、変位投影の公式を導出するのに役立ちます。
任意の時点における物体の座標は、初期座標と変位投影の合計によって決定されるため、次のようになります。
座標 x(t) のグラフも (変位のグラフと同様に) 放物線ですが、一般の場合、放物線の頂点は原点と一致しません。 ×のとき< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).