Denklemler, kök işareti altında bilinmeyen bir miktar içeriyorsa irrasyonel olarak adlandırılır. Bunlar, örneğin, denklemler
Çoğu durumda, denklemin her iki bölümünün üstelleştirilmesini bir veya tekrar tekrar uygulayarak, irrasyonel denklemi şu veya bu dereceden bir cebirsel denkleme (orijinal denklemin bir sonucu olan) indirgemek mümkündür. Denklemi bir kuvvete yükseltirken fazladan çözümler ortaya çıkabileceğinden, bu irrasyonel denklemi verdiğimiz cebirsel denklemi çözdükten sonra, bulunan kökleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol etmeli ve sadece onu karşılayanları tutmalıyız. ve gerisini atın - gereksiz.
karar verirken irrasyonel denklemler kendimizi onların gerçek kökleri ile sınırlıyoruz; denklem gösterimindeki çift dereceli tüm kökler aritmetik anlamda anlaşılmaktadır.
İrrasyonel denklemlerin bazı tipik örneklerini ele alalım.
A. Bilinmeyeni karekök işareti altında içeren denklemler. Bu denklem, işareti altında bilinmeyen olan yalnızca bir karekök içeriyorsa, bu kök izole edilmeli, yani denklemin bir bölümüne yerleştirilmeli ve diğer tüm terimler başka bir bölüme aktarılmalıdır. Denklemin her iki tarafının da karesini aldıktan sonra, kendimizi zaten irrasyonellikten kurtarmış ve cebirsel bir denklem elde etmiş oluyoruz.
Örnek 1. Denklemi çözün.
Çözüm. Denklemin sol tarafındaki kökü yalnız bırakıyoruz;
Ortaya çıkan denklemin karesini alıyoruz:
Bu denklemin köklerini buluyoruz:
Doğrulama, yalnızca orijinal denklemi karşıladığını gösterir.
Denklem, x içeren iki veya daha fazla kök içeriyorsa, kare almanın birkaç kez tekrarlanması gerekir.
Örnek 2. Aşağıdaki denklemleri çözün:
Çözüm, a) Denklemin her iki tarafının karesini alıyoruz:
Kökü ayırıyoruz:
Ortaya çıkan denklemin karesi tekrar alınır:
Dönüşümlerden sonra, aşağıdakileri elde ederiz ikinci dereceden denklem:
çöz onu:
Orijinal denklemde yerine koyarak, kökünün var olduğundan emin oluruz, ancak onun için yabancı bir köktür.
b) Örnek, a) örneğinin çözüldüğü şekilde çözülebilir. Ancak bu denklemin sağ tarafının bilinmeyen bir nicelik içermemesi gerçeğinden yararlanarak farklı şekilde ilerleyeceğiz. Denklemi sol tarafındaki eşlenik ifade ile çarpıyoruz; alırız
Sağda ise toplam ile farkın yani karelerin farkının çarpımı var. Buradan
Bu denklemin sol tarafında toplam Karekök; şimdi elde edilen denklemin sol tarafında aynı köklerin farkı var. Verilen ve alınan denklemleri yazalım:
Bu denklemlerin toplamını alırsak,
Son denklemin karesini alıyoruz ve sadeleştirmelerden sonra,
Buradan buluyoruz. Kontrol ederek, yalnızca sayının bu denklemin kökü olarak hizmet ettiğine ikna olduk. Örnek 3. Denklemi çözün
Burada, zaten kök işaretinin altında, kare üçlü terimlerimiz var.
Çözüm. Denklemi sol tarafıyla eşlenik ifadeyle çarpıyoruz:
Son denklemi verilenden çıkarın:
Bu denklemin karesini alalım:
Bulduğumuz son denklemden . Kontrol ederek, yalnızca x \u003d 1 sayısının bu denklemin kökü olarak hizmet ettiğine ikna olduk.
B. Üçüncü dereceden kökler içeren denklemler. İrrasyonel denklem sistemleri. Kendimizi bu tür denklemlerin ve sistemlerin münferit örnekleriyle sınırlıyoruz.
Örnek 4. Denklemi çözün
Çözüm. (70.1) denklemini çözmenin iki yolunu gösterelim. İlk yol. Bu denklemin her iki tarafının küpünü alalım (bkz. formül (20.8)):
(burada denklemi kullanarak küp köklerin toplamını 4 sayısıyla değiştirdik).
Böylece sahibiz
yani, basitleştirmelerden sonra,
bu nedenle Her iki kök de orijinal denklemi sağlar.
İkinci yol. koyalım
Denklem (70.1) olarak yazılacaktır. Üstelik şu da açık ki. Denklemden (70.1) sisteme geçtik.
Sistemin ilk denklemini terim terim ikinci terime bölerek, buluruz
Bir irrasyonel denklem, kök işareti altında bir fonksiyon içeren herhangi bir denklemdir. Örneğin:
Bu tür denklemler her zaman 3 adımda çözülür:
- Kökü ayırın. Yani eşittir işaretinin solunda kök dışında başka sayılar veya fonksiyonlar varsa bunların hepsinin işaret değiştirilerek sağa taşınması gerekir. Aynı zamanda, herhangi bir katsayı olmadan sadece radikal solda kalmalıdır.
- 2. Denklemin her iki tarafının karesini alıyoruz. Aynı zamanda, kök aralığının tümünün negatif olmayan sayılar olduğunu unutmayın. Dolayısıyla sağdaki fonksiyon irrasyonel denklem ayrıca negatif olmamalıdır: g (x) ≥ 0.
- Üçüncü adım mantıksal olarak ikinci adımı takip eder: bir kontrol yapmanız gerekir. Gerçek şu ki, ikinci adımda fazladan köklerimiz olabilir. Ve onları kesmek için, ortaya çıkan aday sayıları orijinal denklemde yerine koymak ve kontrol etmek gerekir: doğru sayısal eşitlik gerçekten elde edilmiş mi?
İrrasyonel bir denklemi çözme
Bizimle ilgilenelim rasyonel denklem dersin başında verilir. Burada kök zaten tenhadır: eşittir işaretinin solunda kökten başka bir şey yoktur. Her iki tarafın karesini alalım:
2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0
Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi diskriminant aracılığıyla çözüyoruz:
D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x1 = 6; x 2 \u003d -2
Sadece bu sayıları orijinal denklemde değiştirmek için kalır, yani. bir kontrol gerçekleştirin. Ancak burada bile nihai kararı basitleştirmek için doğru olanı yapabilirsiniz.
Çözüm nasıl basitleştirilir
Bir düşünelim: neden irrasyonel bir denklemi çözmenin sonunda kontrol ediyoruz? Köklerimizi değiştirirken olmayacağından emin olmak istiyoruz. negatif bir sayı. Ne de olsa, solda negatif olmayan bir sayı olduğundan eminiz, çünkü aritmetik karekök (bu nedenle denklemimize irrasyonel denir) tanım gereği sıfırdan az olamaz.
Bu nedenle, kontrol etmemiz gereken tek şey, eşittir işaretinin sağındaki g ( x ) = 5 − x fonksiyonunun negatif olmadığıdır:
g(x) ≥ 0
Köklerimizi bu fonksiyonda yerine koyarız ve şunu elde ederiz:
g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0
Elde edilen değerlerden, x 1 = 6 kökünün bize uymadığı anlaşılmaktadır, çünkü orijinal denklemin sağ tarafında yerine koyarken negatif bir sayı elde ederiz. Ancak x 2 \u003d −2 kökü bizim için oldukça uygundur, çünkü:
- Bu kök, her iki tarafı da yükselterek elde edilen ikinci dereceden denklemin çözümüdür. irrasyonel denklem bir kareye.
- Orijinal irrasyonel denklemin sağ tarafı, kök x 2 = −2 yerine konduğunda pozitif bir sayıya dönüşür, yani menzil aritmetik kök kırılmamış.
Tüm algoritma bu! Gördüğünüz gibi, denklemleri köklerle çözmek o kadar da zor değil. Ana şey, alınan kökleri kontrol etmeyi unutmamaktır, aksi takdirde fazladan yanıt alma olasılığı çok yüksektir.
Bir değişkenin kökün işareti altında bulunduğu denklemlere irrasyonel denir.
İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri, kural olarak, irrasyonel bir denklemi (bazı dönüşümlerin yardımıyla) orijinal irrasyonel denkleme eşdeğer veya onun sonucu olan bir rasyonel denklemle değiştirme olasılığına dayanır. Çoğu zaman, denklemin her iki tarafı da aynı güce yükseltilir. Bu durumda, orijinal olanın bir sonucu olan bir denklem elde edilir.
İrrasyonel denklemleri çözerken, aşağıdakiler dikkate alınmalıdır:
1) eğer kök indeks bir çift sayıysa, radikal ifade negatif olmamalıdır; kökün değeri de negatif değildir (çift üslü bir kökün tanımı);
2) eğer kök indeks bir tek sayı ise, o zaman radikal ifade herhangi bir gerçek sayı olabilir; bu durumda kökün işareti, kök ifadesinin işaretiyle aynıdır.
örnek 1 denklemi çözün
Denklemin her iki tarafının da karesini alalım.
x 2 - 3 \u003d 1;
Denklemin sol tarafından sağ tarafa -3 aktarıyoruz ve benzer terimlerin indirgenmesini gerçekleştiriyoruz.
x 2 \u003d 4;
Ortaya çıkan tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır -2 ve 2.
Elde edilen kökleri kontrol edelim, bunun için x değişkeninin değerlerini orijinal denklemde yerine koyacağız.
Muayene
x 1 \u003d -2 - doğru olduğunda:
x 2 \u003d -2- doğru olduğunda.
Orijinal irrasyonel denklemin -2 ve 2 olmak üzere iki kökü olduğu sonucu çıkar.
Örnek 2 denklemi çözün 
.
Bu denklem ilk örnekteki yöntemle çözülebilir ama biz farklı yapacağız.
Bu denklemin ODZ'sini bulalım. Karekök tanımından, bu denklemde iki koşulun aynı anda karşılanması gerektiği sonucu çıkar:
Verilen denklemin ODZ'si: x.
Cevap: kök yok.
Örnek 3 denklemi çözün 
=+ 2.
Bu denklemde ODZ'yi bulmak oldukça zor bir iştir. Denklemin her iki tarafının karesini alalım:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
Kontrol ettikten sonra, x 2 \u003d 0'ın fazladan bir kök olduğunu belirledik.
Cevap: x 1 \u003d 1.
Örnek 4 x = denklemini çözün.
Bu örnekte ODZ'yi bulmak kolaydır. Bu denklemin ODZ'si: x[-1;).
Bu denklemin her iki tarafının da karesini alalım, sonuç olarak x 2 \u003d x + 1 denklemini elde ederiz. Bu denklemin kökleri:
Bulunan kökleri kontrol etmek zordur. Ancak, her iki kökün de ODZ'ye ait olmasına rağmen, her iki kökün de orijinal denklemin kökleri olduğunu iddia etmek imkansızdır. Bu bir hataya neden olacaktır. Bu durumda, irrasyonel denklem, iki eşitsizlik ve bir denklemin kombinasyonuna eşdeğerdir:
x+10 Ve x0 Ve x 2 \u003d x + 1, buradan irrasyonel denklemin negatif kökünün konu dışı olduğu ve atılması gerektiği sonucu çıkar.
Örnek 5 .+= 7 denklemini çözün.
Denklemin iki tarafının da karesini alıp benzer terimlerin indirgemesini yapalım, denklemin bir kısmındaki terimleri diğer tarafına aktaralım ve her iki tarafı da 0,5 ile çarpalım. Sonuç olarak, denklemi elde ederiz
= 12, (*) orijinal olanın bir sonucudur. Denklemin her iki tarafının karesini tekrar alalım. Orijinal denklemin bir sonucu olan (x + 5) (20 - x) = 144 denklemini elde ederiz. Ortaya çıkan denklem, x 2 - 15x + 44 = 0 biçimine indirgenir.
Bu denklemin (aynı zamanda orijinalinin bir sonucu olan) x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11 kökleri vardır. Testin gösterdiği gibi her iki kök de orijinal denklemi karşılar.
temsilci x 1 = 4, x 2 = 11.
Yorum. Denklemlerin karesini alırken öğrenciler genellikle (*) gibi denklemlerde kök ifadeleri çarparlar yani denklem = 12 yerine denklemi yazarlar 
= 12. Denklemler denklemlerin sonuçları olduğu için bu hataya yol açmaz. Bununla birlikte, genel durumda, radikal ifadelerin böyle bir çarpımının eşdeğer olmayan denklemler verdiği akılda tutulmalıdır.
Yukarıda tartışılan örneklerde, önce radikallerden birini denklemin sağ tarafına aktarmak mümkündü. Daha sonra denklemin sol tarafında bir radikal kalacak ve denklemin her iki tarafının karesi alındıktan sonra denklemin sol tarafında bir rasyonel fonksiyon elde edilecektir. Bu teknik (kökün yalnızlığı), irrasyonel denklemlerin çözümünde oldukça sık kullanılır.
Örnek 6. Denklemi çöz-= 3.
İlk radikali izole ettikten sonra denklemi elde ederiz.
=+ 3, orijinal olana eşdeğerdir.
Bu denklemin her iki tarafının karesini alarak denklemi elde ederiz.
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, bu denkleme eşdeğerdir
4x - 5 = 3(*). Bu denklem orijinal denklemin bir sonucudur. Denklemin her iki tarafının karesini alarak denklemi elde ederiz.
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3) veya
7x2 - 13x - 2 = 0.
Bu denklem (*) denkleminin (ve dolayısıyla orijinal denklemin) bir sonucudur ve kökleri vardır. İlk kök x 1 = 2 orijinal denklemi karşılar ve ikinci x 2 =- sağlamaz.
Cevap: x = 2.
Hemen, köklerden birini ayırmadan, orijinal denklemin her iki tarafının da karesini alırsak, oldukça hantal dönüşümler yapmak zorunda kalacağımıza dikkat edin.
İrrasyonel denklemleri çözerken, radikallerin izolasyonuna ek olarak başka yöntemler de kullanılır. Bilinmeyeni değiştirme yöntemini (bir yardımcı değişkeni tanıtma yöntemi) kullanmanın bir örneğini ele alalım.