Basit irrasyonel denklemler. İrrasyonel denklemler nasıl çözülür? örnekler

ders özeti

"Çözüm Yöntemleri ir rasyonel denklemler»

11. sınıf fiziksel ve matematiksel profil.

Tataristan Cumhuriyeti'nin Zelenodolsky belediye bölgesi

Valieva S.Z.

Ders konusu: İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

Dersin amacı: 1. İrrasyonel denklemleri çözmenin çeşitli yollarını inceleyin.

İrrasyonel denklemleri çözmek için yöntemleri genelleştirme, doğru seçme becerisini geliştirin.
Bağımsızlığı geliştirin, konuşma okuryazarlığını eğitin

ders türü: seminer.
Ders planı:

Organizasyon zamanı
Yeni materyal öğrenmek
demirleme
Ev ödevi
ders özeti

dersler sırasında
ben. Organizasyon zamanı: dersin konusunun mesajı, dersin amacı.

Bir önceki derste, karekök içeren irrasyonel denklemlerin karelerini alarak çözmeyi ele almıştık. Bu durumda, bazen yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olan bir sonuç denklemi elde ederiz. Ve sonra denklemi çözmenin zorunlu bir kısmı kökleri kontrol etmektir. Ayrıca karekök tanımını kullanarak denklemleri çözmeyi de düşündük. Bu durumda, kontrol atlanabilir. Bununla birlikte, denklemleri çözerken, denklemi çözmek için hemen algoritmaların "kör" uygulamasına geçmek her zaman gerekli değildir. Birleşik Devlet Sınavının görevlerinde, denklemleri daha kolay, daha hızlı çözmenizi sağlayan bir çözüm yöntemi seçmeniz gereken çözmede epeyce denklem vardır. Bu nedenle, bugün tanışacağımız irrasyonel denklemleri çözmek için başka yöntemler bilmek gereklidir. Daha önce, sınıf 8 yaratıcı gruba ayrıldı ve onlara somut örneklerşu veya bu yöntemin özünü ortaya çıkarın. Onlara bir söz veriyoruz.

II. Yeni materyal öğrenmek.

Her gruptan 1 öğrenci çocuklara irrasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini açıklar. Tüm sınıf hikayelerini dinler ve notlar alır.

1 yol. Yeni bir değişkenin tanıtılması.

Denklemi çözün: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Cevap: -3; 5.

2 yol. ODZ araştırması.

denklemi çözün

ODZ:

x \u003d 2. Kontrol ederek x \u003d 2'nin denklemin kökü olduğundan emin oluruz.

3 yol. Denklemin her iki tarafını eşlenik faktörle çarpmak.

+
(her iki tarafı da - ile çarpın)
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, dolayısıyla x=1. Kontrol ederek, x \u003d 1'in bu denklemin kökü olduğuna ikna olduk.

4 yol. Bir denklemin bir değişken ekleyerek bir sisteme indirgenmesi.

denklemi çözün

= u olsun,
= v.

Sistemi alıyoruz:

Yerine koyma yöntemi ile çözelim. u = 2, v = 2 elde ederiz. Dolayısıyla,

x = 1 elde ederiz.

Cevap: x = 1.

5 yol. Tam bir kare seçimi.

denklemi çözün

Modülleri açalım. Çünkü -1≤cos0,5x≤1, ardından -4≤cos0,5x-3≤-2, yani . Aynı şekilde,

O zaman denklemi elde ederiz

x = 4πn, nZ.

Cevap: 4πn, nZ.

6 yol. Değerlendirme yöntemi

denklemi çözün

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, tanım gereği sağ taraf -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

alırız
şunlar. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Denklemi çarpanlarına ayırarak çözerek x = 2, x = -2 elde ederiz

Yöntem 7: Fonksiyonların monotonluğunun özelliklerini kullanma.

Denklemi çözün. Fonksiyonlar kesinlikle artıyor. Artan fonksiyonların toplamı artıyor ve bu denklemin en fazla bir kökü var. Seçimle x = 1'i buluruz.

8 yol. Vektörlerin kullanımı.

Denklemi çözün. ODZ: -1≤х≤3.

vektöre izin ver
. Vektörlerin iç çarpımı - evet Sol Taraf. uzunluklarının çarpımını bulalım. Bu sağ taraf. Var
, yani a ve b vektörleri doğrusaldır. Buradan
. Her iki tarafın karesini alalım. Denklemi çözerek x \u003d 1 ve x \u003d elde ederiz
.

konsolidasyon(her öğrenciye bir çalışma sayfası verilir)

Ön sözlü çalışma

Denklemleri çözmek için bir fikir bulun (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(yenisiyle değiştirme)

4. (tam kare seçimi)

5.
(Bir değişkeni tanıtarak bir denklemi bir sisteme indirgemek.)

6.
(adjoint ifade ile çarpılarak)

7.
çünkü
. Bu denklemin kökleri yoktur.

8. Çünkü her terim negatif değil, onları sıfıra eşitliyoruz ve sistemi çözüyoruz.

9. 3

10. Denklemin kökünü (veya birkaç tane varsa köklerin çarpımını) bulun.

Sonraki doğrulama ile yazılı bağımsız çalışma

11,13,17,19 numaralı denklemleri çöz

Denklemleri Çöz:

12. (x + 6) 2 -

14.

Değerlendirme yöntemi

Fonksiyonların monotonluk özelliklerini kullanma.

Vektörlerin kullanımı.

Diğer denklem türlerini çözmek için bu yöntemlerden hangisi kullanılır?
Bu yöntemlerden en çok hangisini beğendiniz ve neden?

Ödev: Kalan denklemleri çözün.

Kaynakça:

Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı: ders kitabı. 11 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. M: Aydınlanma, 2009

11. sınıf /B.M. için cebir ve analiz ilkeleri üzerine didaktik materyaller. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. – M.: Aydınlanma, 2003.
Mordkovich A. G. Cebir ve analizin başlangıcı. 10 - 11 hücre: Genel eğitim için görev kitabı. kurumlar. – M.: Mnemosyne, 2000.
Ershova A.P., Goloborodko V.V. Bağımsız ve test kağıtları cebir ve 10-11. sınıflar için analizin başlangıcı. – M.: İleksa, 2004
KİM KULLANIMI 2002 - 2010

6. Cebirsel simülatör. AG Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. Okul çocukları ve yeni başlayanlar için el kitabı. Moskova.: "Ileksa" 2001.
7. Denklemler ve eşitsizlikler. Standart olmayan çözüm yöntemleri. Eğitim - metodik el kitabı. 10 - 11 sınıf. SN Oleinik, M.K. Potapov, P.I.Pasichenko. Moskova. "Bustard". 2001

İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri.

Ders için ön hazırlık: öğrenciler irrasyonel denklemleri çeşitli şekillerde çözebilmelidir.

Bu oturumdan üç hafta önce, öğrenciler 1 numaralı ödevi alırlar: çeşitli irrasyonel denklemleri çözün. (Öğrenciler bağımsız olarak 6 farklı irrasyonel denklem bulur ve bunları ikili olarak çözer.)

Bu dersten bir hafta önce, öğrenciler bireysel olarak tamamladıkları 2 numaralı ödevi alırlar.

1. Denklemi çözünFarklı yollar.

2. Her yöntemin avantaj ve dezavantajlarını değerlendirin.

3. Sonuçları bir tablo şeklinde kaydedin.

№ s/p	Yol	Avantajlar	Kusurlar

Dersin Hedefleri:

eğitici:öğrencilerin bu konudaki bilgilerinin genelleştirilmesi, gösterim çeşitli metodlar irrasyonel denklemleri çözme, öğrencilerin denklem çözmeye araştırma açısından yaklaşma becerileri.

eğitici:bağımsızlık eğitimi, başkalarını dinleme ve gruplar halinde iletişim kurma becerisi, konuya ilgiyi artırma.

Geliştirme:mantıksal düşünmenin gelişimi, algoritmik kültür, kendi kendine eğitim becerileri, kendi kendine organizasyon, ödev yaparken çiftler halinde çalışma, analiz etme, karşılaştırma, genelleme, sonuç çıkarma becerisi.

Teçhizat: bilgisayar, projektör, ekran, masa "İrrasyonel denklemleri çözme kuralları", M.V. Lomonosov “Matematik daha sonra öğretilmelidir ki zihni düzene sokar”, kartlar.

İrrasyonel denklemleri çözme kuralları.

ders türü: ders-seminer (5-6 kişilik gruplar halinde çalışın, her grubun güçlü öğrencileri olmalıdır).

dersler sırasında

ben . Organizasyon zamanı

(Konunun mesajı ve dersin hedefleri)

III . Sunum Araştırma çalışması"İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri"

(Çalışmayı yapan öğrenci tarafından sunulur.)

III . Ödev çözme yöntemlerinin analizi

(Her gruptan bir öğrenci çözüm önerilerini tahtaya yazar. Her grup çözümlerden birini analiz eder, avantaj ve dezavantajlarını değerlendirir, sonuçlar çıkarır. Cevaplar açık ve eksiksiz olmalıdır.)

İlk yol: denklemin her iki tarafını da aynı kuvvete yükseltmek, ardından doğrulama.

Çözüm.

Denklemin her iki tarafının da karesini tekrar alalım:

Buradan

Muayene:

1. Eğerx=42 o zaman, bu sayı anlamına gelir42 denklemin kökü değildir.

2. Eğerx=2, o zaman, bu sayı anlamına gelir2 denklemin köküdür.

Cevap:2.

№ s/p

Yol

Avantajlar

Kusurlar

Bir denklemin her iki tarafını da aynı güce yükseltmek

1. Anlıyorum.

2 Müsait.

1. Sözlü giriş.

2. Karmaşık kontrol.

Çözüm. İrrasyonel denklemleri denklemin her iki tarafını da aynı kuvvete yükselterek çözerken, çözümü anlaşılır ve erişilebilir kılan sözlü bir kayıt tutmak gerekir. Ancak, zorunlu doğrulama bazen karmaşık ve zaman alıcıdır. Bu yöntem, 1-2 radikal içeren basit irrasyonel denklemleri çözmek için kullanılabilir.

İkinci yol: eşdeğer dönüşümler.

Çözüm:Denklemin her iki tarafının karesini alalım:

Cevap:2.

№ s/p

Yol

Avantajlar

Kusurlar

eşdeğer dönüşümler

1. Sözlü açıklama eksikliği.

2. Doğrulama yok.

3. Mantıksal gösterimi temizleyin.

4. Bir dizi eşdeğer geçiş.

1. Hantal kayıt.

2. Sistemin işaretlerini ve kümeyi birleştirirken hata yapabilirsiniz.

Çözüm. İrrasyonel denklemleri eşdeğer geçişler yöntemiyle çözerken, sistemin işaretini ne zaman ve ne zaman toplamı koyacağınızı açıkça bilmeniz gerekir. Hantal notasyon, sistemin çeşitli işaret kombinasyonları ve bütünlük genellikle hatalara yol açar. Bununla birlikte, bir dizi eşdeğer geçiş, doğrulama gerektirmeyen sözlü bir açıklama içermeyen net bir mantıksal kayıt, bu yöntemin tartışılmaz avantajlarıdır.

Üçüncü yol: işlevsel grafik.

Çözüm.

işlevleri göz önünde bulundurunve.

1. İşlevgüç; artıyor, çünkü üs pozitif (tamsayı değil) bir sayıdır.

D(f).

Bir değerler tablosu yapalımxvef( x).

	1,5		3,5
f(x)

2. İşlevgüç; azalıyor.

Fonksiyonun etki alanını bulunD( g).

Bir değerler tablosu yapalımxveg( x).


gr(x)

Bu fonksiyon grafiklerini tek bir koordinat sisteminde oluşturalım.

Fonksiyon grafikleri apsisli bir noktada kesişirÇünkü işlevf( x) artar ve fonksiyong( x) azalıyorsa denklemin tek bir çözümü vardır.

Cevap: 2.

№s/p

Yol

Avantajlar

Kusurlar

fonksiyonel-grafik

1. Görünürlük.

2. Kompleks yapmaya gerek yok cebirsel dönüşümler ve ODZ'yi takip edin.

3. Çözüm sayısını bulmanızı sağlar.

1. sözlü gösterim.

2. Kesin cevabı bulmak her zaman mümkün değildir ve cevap doğruysa doğrulama gerekir.

Çözüm. İşlevsel-grafiksel yöntem açıklayıcıdır, çözümlerin sayısını bulmanızı sağlar, ancak söz konusu işlevlerin grafiklerini kolayca oluşturabildiğiniz ve doğru bir yanıt alabileceğiniz zaman onu kullanmak daha iyidir. Cevap yaklaşıksa, başka bir yöntem kullanmak daha iyidir.

Dördüncü yol: yeni bir değişkenin tanıtılması.

Çözüm.gösteren yeni değişkenler sunuyoruz.Sistemin ilk denklemini elde ederiz.

Sistemin ikinci denklemini oluşturalım.

bir değişken için:

bir değişken için

Bu yüzden

Buna göre iki rasyonel denklem sistemi elde ederiz.ve

değişkene dönüş, alırız

Yeni bir değişkenin tanıtılması

Sadeleştirme - radikal içermeyen bir denklem sistemi elde etme

1. Yeni değişkenlerin LPV'sini izleme ihtiyacı

2. Orijinal değişkene dönme ihtiyacı

Çözüm. Bu yöntem en iyi, çeşitli derecelerde radikaller içeren irrasyonel denklemler veya kök işareti altında ve kök işaretinin arkasında aynı polinomlar veya kök işareti altında karşılıklı ters ifadeler için kullanılır.

- Yani çocuklar, her irrasyonel denklem için onu çözmenin en uygun yolunu seçmelisiniz: anlaşılır. Erişilebilir, mantıklı ve iyi tasarlanmış. Elinizi kaldırın, hanginiz bu denklemi çözmeyi tercih edersiniz:

1) doğrulama ile denklemin her iki tarafını da aynı güce yükseltme yöntemi;

2) eşdeğer dönüşüm yöntemi;

3) fonksiyonel grafik yöntemi;

4) yeni bir değişken tanıtma yöntemi.

IV . pratik kısım

(Grup çalışması. Her öğrenci grubu denklem içeren bir kart alır ve bunu defterlerde çözer. Bu sırada gruptan bir temsilci tahtada bir örnek çözer. Her gruptaki öğrenciler kendi gruplarının bir üyesi olarak aynı örneği çözer. ve tahtada görevlerin doğru yürütülmesini izleyin. Tahtaya cevap veren kişi hata yaparsa, bunu fark eden kişi elini kaldırır ve düzeltmeye yardımcı olur. Ders sırasında her öğrenci, grubu tarafından çözülen örneğe ek olarak , bir deftere not almalı ve gruplara önerilen diğerlerini evde çözmelidir.)

Grup 1.

Grup 2

Grup 3.

V . Bağımsız iş

(Gruplarda önce tartışma yapılır, ardından öğrenciler görevi tamamlamaya başlar. Öğretmenin hazırladığı doğru çözüm ekranda gösterilir.)

VI . dersi özetlemek

Artık irrasyonel denklemleri çözmenin iyi bir teorik bilgiye, bunları pratikte uygulama yeteneğine, dikkat, çalışkanlık ve kıvrak zekaya sahip olmanızı gerektirdiğini biliyorsunuz.

Ev ödevi

Derste gruplara önerilen denklemleri çözün.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, yargı düzenine uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Denklemler, kök işareti altında bilinmeyen bir miktar içeriyorsa irrasyonel olarak adlandırılır. Bunlar, örneğin, denklemler

Çoğu durumda, denklemin her iki bölümünün üstelleştirilmesini bir veya tekrar tekrar uygulayarak, irrasyonel denklemi şu veya bu dereceden bir cebirsel denkleme (orijinal denklemin bir sonucu olan) indirgemek mümkündür. Denklemi bir kuvvete yükseltirken fazladan çözümler ortaya çıkabileceğinden, bu irrasyonel denklemi verdiğimiz cebirsel denklemi çözdükten sonra, bulunan kökleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol etmeli ve sadece onu karşılayanları tutmalıyız. ve gerisini atın - gereksiz.

İrrasyonel denklemleri çözerken kendimizi yalnızca onların gerçek kökleri ile sınırlıyoruz; denklem gösterimindeki çift dereceli tüm kökler aritmetik anlamda anlaşılmaktadır.

İrrasyonel denklemlerin bazı tipik örneklerini ele alalım.

A. Bilinmeyeni karekök işareti altında içeren denklemler. Bu denklem, işareti altında bilinmeyen olan yalnızca bir karekök içeriyorsa, bu kök izole edilmeli, yani denklemin bir bölümüne yerleştirilmeli ve diğer tüm terimler başka bir bölüme aktarılmalıdır. Denklemin her iki tarafının da karesini aldıktan sonra, kendimizi zaten irrasyonellikten kurtarmış ve cebirsel bir denklem elde etmiş oluyoruz.

Örnek 1. Denklemi çözün.

Çözüm. Denklemin sol tarafındaki kökü yalnız bırakıyoruz;

Ortaya çıkan denklemin karesini alıyoruz:

Bu denklemin köklerini buluyoruz:

Doğrulama, yalnızca orijinal denklemi karşıladığını gösterir.

Denklem, x içeren iki veya daha fazla kök içeriyorsa, kare almanın birkaç kez tekrarlanması gerekir.

Örnek 2. Aşağıdaki denklemleri çözün:

Çözüm, a) Denklemin her iki tarafının karesini alıyoruz:

Kökü ayırıyoruz:

Ortaya çıkan denklemin karesi tekrar alınır:

Dönüşümlerden sonra, aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde ederiz:

çöz onu:

Orijinal denklemde yerine koyarak, kökünün var olduğundan emin oluruz, ancak onun için yabancı bir köktür.

b) Örnek, a) örneğinin çözüldüğü şekilde çözülebilir. Ancak bu denklemin sağ tarafının bilinmeyen bir nicelik içermemesi gerçeğinden yararlanarak farklı şekilde ilerleyeceğiz. Denklemi sol tarafındaki eşlenik ifade ile çarpıyoruz; alırız

Sağda ise toplam ile farkın yani karelerin farkının çarpımı var. Buradan

Bu denklemin sol tarafında toplam Karekök; şimdi elde edilen denklemin sol tarafında aynı köklerin farkı var. Verilen ve alınan denklemleri yazalım:

Bu denklemlerin toplamını alırsak,

Son denklemin karesini alıyoruz ve sadeleştirmelerden sonra,

Buradan buluyoruz. Kontrol ederek, yalnızca sayının bu denklemin kökü olarak hizmet ettiğine ikna olduk. Örnek 3. Denklemi çözün

Burada, zaten kök işaretinin altında, kare üçlü terimlerimiz var.

Çözüm. Denklemi sol tarafıyla eşlenik ifadeyle çarpıyoruz:

Son denklemi verilenden çıkarın:

Bu denklemin karesini alalım:

Bulduğumuz son denklemden . Kontrol ederek, yalnızca x \u003d 1 sayısının bu denklemin kökü olarak hizmet ettiğine ikna olduk.

B. Üçüncü dereceden kökler içeren denklemler. İrrasyonel denklem sistemleri. Kendimizi bu tür denklemlerin ve sistemlerin münferit örnekleriyle sınırlıyoruz.

Örnek 4. Denklemi çözün

Çözüm. (70.1) denklemini çözmenin iki yolunu gösterelim. İlk yol. Bu denklemin her iki tarafının küpünü alalım (bkz. formül (20.8)):

(burada denklemi kullanarak küp köklerin toplamını 4 sayısıyla değiştirdik).

Böylece sahibiz

yani, basitleştirmelerden sonra,

bu nedenle Her iki kök de orijinal denklemi sağlar.

İkinci yol. koyalım

Denklem (70.1) olarak yazılacaktır. Üstelik şu da açık ki. Denklemden (70.1) sisteme geçtik.

Sistemin ilk denklemini terim terim ikinci terime bölerek, buluruz