Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Eğrisel bir yamuğun alanı nasıl bulunur?

Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır

Şimdi integral hesabın uygulamalarının değerlendirilmesine dönüyoruz. Bu derste tipik ve en yaygın bir görevi analiz edeceğiz. Bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integral nasıl kullanılır?. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayanlar - onu bulabilirler. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonlara sahip bir yazlık kulübeye yaklaşmanız ve alanını belirli bir integral kullanarak bulmanız gerekecek.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) anlamak belirsiz integral en azından ortalama düzeyde. Bu nedenle, aptallar önce dersi okumalıdır. Değil.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilme ve belirli integrali hesaplayabilme. Sayfada belirli integraller ile sıcak dostluk ilişkileri kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında çok fazla bilgiye ihtiyacınız yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizimin oluşturulmasını içerir., bu nedenle bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha alakalı bir konu olacaktır. Bu bağlamda, ana temel fonksiyonların grafiklerinin hafızasını tazelemek ve en azından düz bir çizgi, bir parabol ve bir hiperbol oluşturabilmek için yararlıdır. Bu, (birçok ihtiyaç) yardımı ile yapılabilir. metodolojik malzeme ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine makaleler.

Aslında herkes okuldan beri belirli bir integral kullanarak alanı bulma problemine aşinadır ve biz biraz ileri gideceğiz. Okul müfredatı. Bu makale hiç olmayabilir, ancak gerçek şu ki, sorun 100 vakadan 99'unda, bir öğrenci yüksek matematik dersinde ustalaşma hevesiyle nefret edilen bir kule tarafından eziyet edildiğinde ortaya çıkıyor.

Bu çalıştayın materyalleri basit, ayrıntılı ve minimum teori ile sunulmaktadır.

İle başlayalım eğri yamuk.

Eğrisel yamuk eksenle sınırlanmış düz bir şekil, düz çizgiler ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiği. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil apsis:

O zamanlar eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. (Var olan) herhangi bir belirli integralin çok iyi bir geometrik anlamı vardır. derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söyledim. Ve şimdi başka bir ifade zamanı yararlı gerçek. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır..

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak bazı şekillerin alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli integrali ele alalım. İntegrand, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyen çizimi tamamlayabilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir görev bildirimidir. İlk ve can alıcı noktaçözümler - çizim. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bir plan oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: ilk tüm satırları (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca sonrasında- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyon grafikleri oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktasal inşaat tekniği bulunabilir referans malzemesi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada, dersimizle ilgili olarak çok yararlı olan materyalleri de bulabilirsiniz - hızlı bir şekilde bir parabol nasıl inşa edilir.

Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.
Bir çizim yapalım (ekseni denklemin tanımladığını unutmayın):

Eğrisel bir yamuk çıkarmayacağım, burada hangi alandan bahsettiğimiz açık. Çözüm şöyle devam ediyor:

Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, bu yüzden:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman yararlıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - peki, yaklaşık 9 yazılacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabımız olsaydı: 20 birim kare, o zaman, belli ki, bir yerde bir hata yapılmıştı - 20 hücre, söz konusu şekle açıkça uymuyor, en fazla bir düzine. Cevap olumsuz çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ve eksen

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eğrisel yamuk bulunursa ne yapılmalı aks altı?

Örnek 3

Çizgiler ve koordinat eksenleri ile sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğrisel yamuk bulunursa aks altı(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), ardından alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde eksi görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak, alan problemlerinde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Dolayısıyla, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırıdır.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak en iyisidir..

Hatları nokta nokta inşa etmek çok daha karlı ve hızlı olurken, entegrasyonun sınırları sanki “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli çizelgeler için nokta nokta oluşturma tekniği, yardım bölümünde ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyonun sınırlarını ortaya çıkarmadıysa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) limitleri bulmak için analitik yöntem hala bazen kullanılmalıdır. Ve böyle bir örneği de ele alacağız.

Görevimize geri dönüyoruz: önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Bir çizim yapalım:

Noktasal yapı ile entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik" olarak bulunduğunu tekrar ediyorum.

Ve şimdi çalışma formülü: Aralıkta sürekli bir işlev varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar, daha sonra bu fonksiyonların grafikleri ve düz çizgilerle sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede olduğunu - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak - düşünmek gerekli değildir. Hangi grafiğin ÜSTTE olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarılması gerektiği açıktır.

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenen şekil yukarıdan bir parabol ve aşağıdan düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Aslında, alt yarı düzlemde eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3), formülün özel bir halidir. . Eksen denklem tarafından verildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, sonra

Ve şimdi bağımsız bir karar için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle çevrili şeklin alanını bulun , .

Alanı belirli bir integral kullanarak hesaplamak için problem çözme sürecinde bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten dolayı... yanlış şeklin alanını buldu, itaatkar hizmetkarınız birkaç kez bu şekilde batırdı. İşte gerçek hayattan bir vaka:

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Önce bir çizim yapalım:

…Eh, çizim berbat çıktı, ama her şey okunaklı görünüyor.

Alanını bulmamız gereken şekil mavi ile gölgelendirilmiştir.(duruma dikkatlice bakın - şeklin nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle şeklin gölgeli alanını bulmanız gereken bir "aksaklık" meydana gelir. yeşil!

Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır. Yok canım:

1) Eksenin üzerindeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üzerindeki segmentte bir hiperbol grafiği bulunur.

Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Bir anlamlı göreve daha geçelim.

Örnek 8

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri bir "okul" formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım:

Üst limitimizin “iyi” olduğu çizimden görülmektedir: .
Ancak alt sınır nedir? Bunun bir tamsayı olmadığı açık, ama ne? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, bu pekala ortaya çıkabilir. Veya kök. Ya grafiği hiç doğru anlamazsak?

Bu gibi durumlarda, ek zaman harcamak ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak iyileştirmek gerekir.

Doğrunun ve parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

,

Yok canım, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele ikamelerde ve işaretlerde kafa karıştırmamak, buradaki hesaplamalar en kolayı değil.

segmentte , karşılık gelen formüle göre:

Cevap:

Pekala, dersin sonunda, iki görevi daha zor olarak ele alacağız.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Çizimde bu şekli çizin.

Kahretsin, programı imzalamayı unuttum ve resmi yeniden yapıyorum, üzgünüm, hotz değil. Çekiliş değil kısacası gün bugün =)

Noktasal inşaat için bilmeniz gerekir dış görünüş sinüzoidler (ve genel olarak bilmek yararlıdır tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, içinde bulunabilirler. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), üzerinde grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının ilke olarak doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturulmasına izin verilir.

Burada entegrasyon limitleri ile ilgili herhangi bir sorun yoktur, bunlar doğrudan şu koşuldan kaynaklanır: - "x" sıfırdan "pi"ye değişir. Bir karar daha veriyoruz:

Segmentte, fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir

(Var olan) herhangi bir belirli integralin çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste belirli bir integralin bir sayı olduğunu söyledim. Ve şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır..

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak bazı şekillerin alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli integrali ele alalım. İntegrand, düzlem üzerinde belirli bir eğri tanımlar (istenirse her zaman çizilebilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir görev bildirimidir. Kararın ilk ve en önemli anı, bir çizimin oluşturulmasıdır.. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Orada, dersimizle ilgili olarak çok yararlı olan materyalleri de bulabilirsiniz - hızlı bir şekilde bir parabol nasıl inşa edilir.

Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.
Bir çizim yapalım (ekseni denklemin tanımladığını unutmayın):

Eğrisel bir yamuk çıkarmayacağım, burada hangi alandan bahsettiğimiz açık. Çözüm şöyle devam ediyor:

Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, bu yüzden:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ve eksen

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eğrisel yamuk bulunursa ne yapılmalı aks altı?

Örnek 3

Çizgiler ve koordinat eksenleri ile sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğrisel bir yamuk ise tamamen aksın altında, o zaman alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde eksi görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Genel olarak, alan problemlerinde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Dolayısıyla, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırıdır.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir.

Ve şimdi çalışma formülü: Bir segmentte bazı sürekli fonksiyonlar varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar, ardından karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarılması gerektiği açıktır.

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenen şekil yukarıdan bir parabol ve aşağıdan düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Ve şimdi bağımsız bir karar için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle çevrili şeklin alanını bulun , .

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Önce çizelim:

Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır. Yok canım:

1) Eksenin üzerindeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üzerindeki segmentte bir hiperbol grafiği bulunur.

Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Örnek 8

Bu gibi durumlarda, ek zaman harcamak ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak iyileştirmek gerekir.

Doğrunun ve parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

Sonuç olarak, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele ikamelerde ve işaretlerde kafa karıştırmamak, buradaki hesaplamalar en kolayı değil.

segmentte , karşılık gelen formüle göre:

Pekala, dersin sonunda, iki görevi daha zor olarak ele alacağız.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Çizimde bu şekli çizin.

Bir çizimin nokta nokta inşası için sinüzoidin görünüşünü bilmek gerekir (ve genel olarak bilmek faydalıdır) tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, içinde bulunabilirler. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), üzerinde grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının ilke olarak doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturulmasına izin verilir.

Burada entegrasyon limitleri ile ilgili herhangi bir sorun yoktur, bunlar doğrudan şu koşuldan kaynaklanır: - "x" sıfırdan "pi"ye değişir. Bir karar daha veriyoruz:

Segmentte, fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

(1) Sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlerde nasıl entegre edildiği derste görülebilir. Trigonometrik fonksiyonların integralleri. Bu tipik bir tekniktir, bir sinüsü kıstırırız.

(2) Temeli kullanın trigonometrik kimlik olarak

(3) Değişkeni değiştirelim, o zaman:

Entegrasyonun yeni yeniden dağıtımları:

Oyuncu değişikliğiyle kimin işi gerçekten kötü, lütfen derse gidin belirsiz integralde değiştirme yöntemi. Belirli bir integralde yer değiştirme algoritması hakkında pek net olmayanlar için sayfayı ziyaret edin. Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Konu: Düz bir şeklin alanını belirli bir integral kullanarak hesaplama

Görevler: eğrisel bir yamuğun alanını bulmak için tanım ve formülleri öğrenin;

eğrisel bir yamuğun alanını bulmanın çeşitli durumlarını düşünün;

Eğrisel bir yamuğun alanını hesaplayabilme.

Plan:

Eğrisel yamuk.

Eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamak için formüller.

Eğrisel yamuk aralıktaki sürekli, negatif olmayan bir f (x) fonksiyonunun grafiği ile sınırlı olan bir şekil çağrılır , x=a ve x=b çizgi segmentleri ve ayrıca a noktaları arasındaki x ekseninin bir segmenti ve B.

Eğrisel yamuk görüntüleri:

Şimdi devam edelim seçenekler alanı koordinat düzleminde hesaplanması gereken şekillerin konumu.

Öncelikle en basit seçenek olacak (ilk resim), olağan eğri yamuk, tanımda olduğu gibi. Burada bir şey icat etmeye gerek yok, sadece integrali al. aönceki b fonksiyondan f(x). İntegrali buluyoruz - bu yamuğun alanını bileceğiz.

İçinde ikinci seçeneği, rakamımız x ekseni ile değil, başka bir fonksiyon ile sınırlı olacaktır. gr(x). Bu nedenle alanı bulmak için CEFD, önce alanı bulmalıyız AEFB(integresini kullanarak f(x)), ardından alanı bulun ACDB(integresini kullanarak gr(x)). Ve şeklin istenen alanı CEFD, eğrisel yamuğun birinci ve ikinci alanları arasındaki fark olacaktır. İntegrasyon sınırları burada aynı olduğundan, tüm bunlar tek bir integral altında yazılabilir (şeklin altındaki formüllere bakın), hepsi fonksiyonların karmaşıklığına bağlıdır, bu durumda integrali bulmak daha kolay olacaktır.

Üçüncü birinciye çok benzer ama sadece yamuk yerlestirilmis, uzerine degil x ekseni, ve onun altında. Bu nedenle, burada aynı integrali yalnızca eksi işaretiyle almalıyız çünkü integralin değeri negatif olacak ve alanın değeri pozitif olmalıdır. Eğer bir işlev yerine f(x) bir işlev almak -f(x), o zaman grafiği, x eksenine göre basitçe simetrik olarak görüntülenenle aynı olacaktır.

Ve dördüncüşeklimizin bir kısmı x ekseninin üzerinde ve bir kısmı da altında olduğunda bir seçenek. Bu nedenle önce şeklin alanını bulmalıyız AEFB, ilk versiyonda olduğu gibi ve ardından şeklin alanı ABCD, üçüncü seçenekte olduğu gibi ve ardından bunları ekleyin. Sonuç olarak, şeklin alanını alıyoruz DEFC. İntegrasyon sınırları burada aynı olduğundan, tüm bunlar tek bir integral altında yazılabilir (şeklin altındaki formüllere bakın), hepsi fonksiyonların karmaşıklığına bağlıdır, bu durumda integrali bulmak daha kolay olacaktır.

Kendi kendine muayene için sorular:

Hangi şekle eğrisel yamuk denir?

Eğrisel bir yamuğun alanı nasıl bulunur?

Fonksiyonun negatif olmayan ve aralığında sürekli olmasına izin verin. Sonra, göre geometrik anlamda belirli bir integralin, eğrisel bir yamuğun alanı yukarıdan bu fonksiyonun grafiğiyle, aşağıdan eksenle , soldan ve sağdan düz çizgilerle ve (bkz. Şekil 2) formülle hesaplanır.

Örnek 9Çizgi ve eksenle sınırlanan şeklin alanını bulun.

Çözüm. Fonksiyon Grafiği dalları aşağıyı gösteren bir paraboldür. Hadi inşa edelim (Şek. 3). Entegrasyon sınırlarını belirlemek için doğrunun (parabol) eksenle (düz doğru) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklem sistemini çözüyoruz

Biz: , nerede , ; Sonuç olarak, , .

Pirinç. 3

Şeklin alanı formül (5) ile bulunur:

Fonksiyon pozitif değilse ve segment üzerinde sürekli ise , o zaman eğrisel yamuğun alanı, aşağıdan bu fonksiyonun grafiğiyle, yukarıdan eksenle, soldan ve sağdan düz çizgilerle ve , formül ile hesaplanır

. (6)

Fonksiyon bir segment üzerinde sürekliyse ve sonlu sayıda noktada işaret değiştirirse, gölgeli şeklin alanı (Şekil 4), karşılık gelen belirli integrallerin cebirsel toplamına eşittir:

Pirinç. dört

Örnek 10 Eksen tarafından sınırlanan şeklin alanını ve için fonksiyonun grafiğini hesaplayın.

Pirinç. 5

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 5). İstenen alan, alanların toplamıdır ve . Bu alanların her birini bulalım. İlk olarak, sistemi çözerek entegrasyonun sınırlarını belirliyoruz. . Sonuç olarak:

;

Böylece, gölgeli şeklin alanı

(kare birim).

Pirinç. 6

Son olarak, eğrisel yamuk, segment üzerinde sürekli fonksiyonların grafikleri tarafından yukarıdan ve aşağıdan sınırlandırılsın ve ,
ve solda ve sağda - düz ve (Şek. 6). Daha sonra alanı formülle hesaplanır.

. (8)

Örnek 11.Çizgilerin çevrelediği şeklin alanını bulun ve .

Çözüm. Bu şekil Şekil l'de gösterilmiştir. 7. Alanını (8) formülünü kullanarak hesaplıyoruz. Denklem sistemini çözerek , ; Sonuç olarak, , . Segmentte elimizde: . Bu nedenle, formül (8)'de şu şekilde alıyoruz: x, ve benzeri - . Biz:

(kare birim).

Alanları hesaplamanın daha karmaşık problemleri, şekli kesişmeyen parçalara bölerek ve tüm şeklin alanını bu parçaların alanlarının toplamı olarak hesaplayarak çözülür.

Pirinç. 7

Örnek 12.Şeklin , , çizgileriyle sınırlanan alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 8). Bu şekil, aşağıdan eksenle, soldan ve sağdan - düz çizgilerle ve yukarıdan - fonksiyon grafikleri ve ile sınırlanan eğrisel bir yamuk olarak düşünülebilir. Şekil yukarıdan iki fonksiyonun grafikleriyle sınırlandığından, alanını hesaplamak için bu düz şekli iki parçaya ayırıyoruz (1, çizgilerin kesişme noktasının apsisidir ve). Bu parçaların her birinin alanı formül (4) ile bulunur:

(kare birim); (kare birim). Sonuç olarak:

(kare birim).

Pirinç. sekiz

X= j ( de)

Pirinç. 9

Sonuç olarak, eğrisel bir yamuk düz çizgilerle sınırlanmışsa ve , eksen ve eğri üzerinde sürekli (Şekil 9), o zaman alanı formülle bulunur.

Bir devrim gövdesinin hacmi

Bir fonksiyonun grafiği ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun bir parça, bir eksen, düz çizgiler üzerinde sürekli olmasına ve eksen etrafında dönmesine izin verin (Şekil 10). Ardından, ortaya çıkan devir gövdesinin hacmi formülle hesaplanır.

. (9)

Örnek 13 Bir hiperbol , düz çizgiler ve eksenle sınırlanmış eğrisel bir yamuğun ekseni etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın .

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 11).

Sorunun durumundan şu sonuç çıkar ki , . Formül (9) ile elde ederiz

Pirinç. on

Pirinç. onbir

Bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmi kuruluş birimi düz çizgilerle sınırlanmış eğrisel yamuk y = ç ve y = gün, eksen kuruluş birimi ve bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun grafiği (Şekil 12), aşağıdaki formülle belirlenir

. (10)

X= j ( de)

Pirinç. 12

Örnek 14. Bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın kuruluş birimiçizgilerle sınırlanmış eğrisel yamuk X 2 = 4de, y= 4, x = 0 (Şek. 13).

Çözüm. Problemin durumuna göre integral alma limitlerini buluyoruz: , . Formül (10) ile şunu elde ederiz:

Pirinç. 13

Düz bir eğrinin yay uzunluğu

Denklem tarafından verilen eğrinin bir düzlemde uzanmasına izin verin (Şekil 14).

Pirinç. on dört

Tanım. Bir yayın uzunluğu, sürekli çizginin bağlantılarının sayısı sonsuza ve en büyük bağlantının uzunluğunun sıfıra yöneldiğinde, bu yaya çizilen bir sürekli çizginin uzunluğunun yöneldiği sınır olarak anlaşılır.

Fonksiyon ve türevi segment üzerinde sürekli ise, eğrinin yay uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:

. (11)

Örnek 15. Eğrinin yayının uzunluğunu, noktaların arasına alınmış olarak hesaplayın. .

Çözüm. Elimizdeki sorunun durumundan . Formül (11) ile şunu elde ederiz:

4. Uygun olmayan integraller
sonsuz entegrasyon sınırları ile

Belirli bir integral kavramını tanıtırken, aşağıdaki iki koşulun sağlandığı varsayılmıştır:

a) entegrasyonun sınırları a ve sonludur;

b) integral segment üzerinde sınırlıdır.

Bu koşullardan en az biri karşılanmazsa, integral denir. uygunsuz.

Önce sonsuz entegrasyon limitleri olan uygunsuz integralleri ele alalım.

Tanım. Fonksiyonun aralıkta tanımlanmış ve sürekli olmasına izin verin, o zaman ve sağda sınırsız (Res. 15).

Uygun olmayan integral yakınsaksa, bu alan sonludur; uygun olmayan integral ıraksarsa, bu alan sonsuzdur.

Pirinç. onbeş

Sonsuz alt entegrasyon limitine sahip uygunsuz bir integral benzer şekilde tanımlanır:

. (13)

Bu integral, eşitliğin (13) sağındaki limit varsa ve sonlu ise yakınsar; aksi takdirde integralin ıraksak olduğu söylenir.

İki sonsuz entegrasyon sınırına sahip uygun olmayan bir integral aşağıdaki gibi tanımlanır:

, (14)

burada с aralığın herhangi bir noktasıdır. İntegral ancak her iki integral de eşitliğin (14) sağ tarafında birleşirse yakınsar.

;

G) = [paydadaki tam kareyi seçin: ] = [yenisiyle değiştirme:

] =

Bu nedenle, uygun olmayan integral yakınsar ve değeri eşittir.

Öküz ekseni, bir eğri y \u003d f (x) ve iki düz çizgi ile sınırlanmış eğrisel bir yamuk düşünün: x \u003d a ve x \u003d b (Şekil 85). Rastgele bir x değeri alın (yalnızca a ve b değil). Buna h = dx artışını verelim ve AB ve CD düz çizgileri, Öküz ekseni ve söz konusu eğriye ait bir BD yayı ile sınırlanmış bir şeridi ele alalım. Bu şeride temel şerit adı verilir. Bir temel şeridin alanı, bir ACQB dikdörtgeninin alanından bir eğrisel üçgen BQD ile ve ikincisinin alanından farklıdır. daha az alan kenarları BQ = h=dx) QD=Ay ve alanı hAy = Ay dx'e eşit olan dikdörtgen BQDM. h kenarı azaldıkça, Du kenarı da azalır ve h ile eş zamanlı olarak sıfıra yönelir. Bu nedenle, BQDM alanı ikinci dereceden sonsuzdur. Temel şeridin alanı, alan artışıdır ve AB-AC==/(x) dx>'e eşit olan ACQB dikdörtgeninin alanı, alan farkıdır. Bu nedenle, diferansiyelini entegre ederek alanın kendisini buluruz. Ele alınan şeklin sınırları dahilinde, bağımsız değişken l: a'dan b'ye değişir, dolayısıyla gerekli alan 5, 5= \f (x) dx'e eşit olacaktır. (I) Örnek 1. y - 1 -x * parabolü, X \u003d - Fj-, x \u003d 1 düz çizgileri ve O * ekseni ile sınırlanan alanı hesaplayın (Şekil 86). Şek. 87. Şek. 86. 1 Burada f(x) = 1 - l?, integralin limitleri a = - ve t = 1, dolayısıyla 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Örnek 2. Sinüsoid tarafından sınırlanan alanı hesaplayın y = sinXy, Öküz ekseni ve düz çizgi (Şek. 87). Formül (I)'i uygulayarak, Öküz ekseni ile L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf elde ederiz (örneğin, orijin ile apsis i noktası arasında). Geometrik değerlendirmelerden, bu alanın önceki örneğin alanının iki katı olacağı açıktır. Ancak hesaplamaları yapalım: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Gerçekten de varsayımımızın adil olduğu ortaya çıktı. Örnek 4. Bir periyotta sinüsoid ve ^ ekseni Ox tarafından sınırlanan alanı hesaplayın (Şekil 88). Ön ras-şekil yargıları, alanın pr.2'dekinden dört kat daha büyük olacağını gösteriyor. Ancak, hesaplamaları yaptıktan sonra “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - çünkü 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Bu sonuç açıklama gerektiriyor. Konunun özünü açıklığa kavuşturmak için, aynı sinüzoidal y \u003d sin l: ile sınırlanan alanı ve l ile 2n arasında değişen Öküz eksenini de hesaplıyoruz. Formül (I) uygulayarak, elde ederiz Böylece bu alanın negatife döndüğünü görüyoruz. Örnek 3'te hesaplanan alanla karşılaştırdığımızda, mutlak değerlerinin aynı olduğunu ancak işaretlerinin farklı olduğunu görüyoruz. V özelliğini uygularsak (bkz. Bölüm XI, § 4), o zaman tesadüfen elde ederiz. Her zaman x ekseninin altındaki alan, bağımsız değişkenin soldan sağa doğru değişmesi koşuluyla, negatif integraller kullanılarak hesaplanarak elde edilir. Bu kursta, her zaman işaretlenmemiş alanları ele alacağız. Bu nedenle, az önce analiz edilen örnekteki cevap şu şekilde olacaktır: gerekli alan 2 + |-2| = 4. Örnek 5. Şekil l'de gösterilen BAB'nin alanını hesaplayalım. 89. Bu alan Öküz ekseni, y = - xr parabolü ve y - = -x + \ düz çizgisi ile sınırlıdır. Eğrisel bir yamuğun alanı Aranan OAB alanı iki bölümden oluşur: OAM ve MAB. A noktası, parabol ile düz çizginin kesişme noktası olduğundan, koordinatlarını 3 2 Y \u003d mx denklem sistemini çözerek bulacağız. (sadece A noktasının apsisini bulmamız gerekiyor). Sistemi çözerek l'yi buluruz; =~. Bu nedenle, alan parçalar halinde hesaplanmalıdır, önce pl. OAM ve ardından pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x)