Belirsiz integral tablosu. ters türev

Bu sayfada şunları bulacaksınız:

1. Aslında, ters türevler tablosu - şu adresten indirilebilir: PDF biçimi ve yazdırın;

2. Bu tablonun nasıl kullanılacağına ilişkin video;

3. Çeşitli ders kitaplarından ve testlerden ters türevin hesaplanmasına ilişkin bir dizi örnek.

Videonun kendisinde, genellikle oldukça karmaşık olan ters türevli fonksiyonları hesaplamanın gerekli olduğu birçok görevi analiz edeceğiz, ancak en önemlisi, bunlar kuvvet yasası değildir. Yukarıda önerilen tabloda özetlenen tüm fonksiyonlar, türevler gibi ezbere bilinmelidir. Onlar olmadan, integrallerin daha fazla çalışılması ve pratik problemleri çözmek için uygulanması imkansızdır.

Bugün ilkellerle uğraşmaya devam ediyoruz ve biraz daha ilerliyoruz. zor konu. Geçen sefer sadece güç fonksiyonlarından ve biraz daha karmaşık yapılardan ters türevleri ele aldıysak, bugün trigonometriyi ve çok daha fazlasını analiz edeceğiz.

Geçen derste söylediğim gibi, ters türevler, türevlerin aksine, herhangi bir standart kural kullanılarak asla "boş" çözülmezler. Dahası, kötü haber şu ki, türevin aksine, ters türev hiç dikkate alınmayabilir. Tamamen rastgele bir fonksiyon yazıp türevini bulmaya çalışırsak, o zaman çok yüksek bir olasılıkla başarılı oluruz, ancak bu durumda ters türev neredeyse hiç hesaplanmayacaktır. Ancak iyi haberler de var: Ters türevlerini hesaplaması çok kolay olan, temel işlevler adı verilen oldukça geniş bir işlev sınıfı var. Ve çeşitli kontrol, bağımsız ve sınavlarda verilen diğer tüm daha karmaşık yapılar, aslında, toplama, çıkarma ve diğer basit eylemlerden oluşan bu temel işlevlerden oluşur. Bu tür fonksiyonların ters türevleri uzun süredir hesaplanmakta ve özel tablolarda özetlenmektedir. Bugün çalışacağımız bu tür işlevler ve tablolarla.

Ama her zaman olduğu gibi bir tekrarla başlayacağız: Ters türevin ne olduğunu, neden sonsuz sayıda olduklarını ve bunların nasıl belirleneceğini hatırlayın. Genel form. Bunu yapmak için iki basit görev aldım.

Kolay örnekleri çözme

Örnek 1

$\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text() )(6)$ ve $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ bize hemen fonksiyonun gerekli ters türevinin trigonometri ile ilgili olduğunu ima eder. Ve gerçekten de tabloya bakarsak, $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ öğesinin $\text(arctg)x$'den başka bir şey olmadığını görürüz. Öyleyse yazalım:

Bulmak için aşağıdakileri yazmanız gerekir:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )( )(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Örnek 2

Burada ayrıca bahsediyoruz trigonometrik fonksiyonlar. Tabloya bakarsak, o zaman gerçekten şöyle olacak:

Tüm ters türevler kümesi arasından belirtilen noktadan geçeni bulmamız gerekiyor:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text() )(6)+C\]

Son olarak şunu yazalım:

Bu kadar basit. Tek sorun, ilkelleri saymak için basit fonksiyonlar, ters türevler tablosunu öğrenmeniz gerekir. Ancak sizin için türev tablosunu öğrendikten sonra bu sorun olmayacak sanırım.

Üstel fonksiyon içeren problemleri çözme

Aşağıdaki formülleri yazarak başlayalım:

\[(((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Tüm bunların pratikte nasıl çalıştığını görelim.

Örnek 1

Parantezlerin içeriğine bakarsak, ters türevler tablosunda $((e)^(x))$ karenin içinde diye bir ifade olmadığını, dolayısıyla bu karenin açılması gerektiğini görürüz. Bunu yapmak için kısaltılmış çarpma formüllerini kullanırız:

Terimlerin her biri için ters türevi bulalım:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \sağ))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \sağ))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \sağ))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \sağ))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Ve şimdi tüm terimleri tek bir ifadede topluyoruz ve ortak bir ters türev elde ediyoruz:

Örnek 2

Bu sefer üs zaten daha büyük, yani kısaltılmış çarpma formülü oldukça karmaşık olacak. Parantezleri genişletelim:

Şimdi formülümüzün ters türevini bu yapıdan almaya çalışalım:

Gördüğünüz gibi ilkel üstel fonksiyon karmaşık ve doğaüstü hiçbir şey yoktur. Hepsi tablolar aracılığıyla hesaplanır, ancak, dikkatli öğrenciler $((e)^(2x))$ ters türevinin sadece $((e)^(x))$'ye $((a)'dan çok daha yakın olduğunu kesinlikle fark edeceklerdir. )^(x )$. Öyleyse, $((e)^(x))$ ters türevini bilerek $((e)^(2x))$'yi bulmayı sağlayan daha özel bir kural olabilir mi? Evet böyle bir kural var. Ayrıca, ters türevler tablosuyla çalışmanın ayrılmaz bir parçasıdır. Şimdi, az önce örnek olarak çalıştığımız aynı ifadeleri kullanarak analiz edeceğiz.

Ters türev tablosuyla çalışma kuralları

Fonksiyonumuzu yeniden yazalım:

Önceki durumda, çözmek için aşağıdaki formülü kullandık:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatöradı(lna))\]

Ama şimdi farklı bir şey yapalım: $((e)^(x))\to ((e)^(x))$'in neye dayandığını hatırlayalım. Daha önce de belirtildiği gibi, $((e)^(x))$'nin türevi $((e)^(x))$'den başka bir şey olmadığı için, onun ters türevi aynı $((e) ^('ye eşit olacaktır. x)$. Ama sorun şu ki elimizde $((e)^(2x))$ ve $((e)^(-2x))$ var. Şimdi $((e)^(2x))$ türevini bulmaya çalışalım:

\[((\left(((e)^(2x)) \sağ))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \sağ))^( \prime )=2\cdot ((e)^(2x))\]

Yapımızı yeniden yazalım:

\[((\left(((e)^(2x)) \sağ))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2) \sağ))^(\prime ))\]

Bu da $((e)^(2x))$ terstürevini bulduğumuzda şunu elde ettiğimiz anlamına gelir:

\[(((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x))))(2)\]

Gördüğünüz gibi, öncekiyle aynı sonucu elde ettik, ancak $((a)^(x))$'ı bulmak için formülü kullanmadık. Şimdi bu aptalca görünebilir: standart bir formül varken neden hesaplamaları karmaşık hale getirelim? Ancak biraz daha karmaşık ifadelerde bu tekniğin çok etkili olduğunu göreceksiniz, yani. ters türevleri bulmak için türevleri kullanma.

Isınma olarak benzer şekilde $((e)^(2x))$'nin terstürevini bulalım:

\[((\left(((e)^(-2x)) \sağ))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \sağ)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \sağ))^(\prime ))\]

Hesaplarken yapımız aşağıdaki gibi yazılacaktır:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Tam olarak aynı sonucu aldık ama diğer yöne gittik. Şimdi bize biraz daha karmaşık görünen bu yol, gelecekte daha karmaşık ters türevleri hesaplamak ve tabloları kullanmak için daha verimli olacaktır.

Not! Bu çok önemli nokta: Ters türevler, türevler gibi birçok farklı şekilde sayılabilir. Ancak, tüm hesaplamalar ve hesaplamalar eşitse, cevap aynı olacaktır. Bunu az önce $((e)^(-2x))$ örneğinde gördük - bir yandan bu ters türevi "baştan sona" tanımını kullanarak ve dönüşümler yardımıyla hesaplayarak, diğer yandan Öte yandan, $ ((e)^(-2x))$ öğesinin $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ olarak temsil edilebileceğini hatırladık ve sonra $( (a)^(x))$ işlevi için ters türevi kullanın. Ancak, tüm dönüşümlerden sonra sonuç beklendiği gibi aynıdır.

Ve şimdi tüm bunları anladığımıza göre, daha önemli bir şeye geçmenin zamanı geldi. Şimdi iki basit yapıyı analiz edeceğiz, ancak bunları çözerken ortaya konacak teknik, tablodaki komşu ters türevler arasında basit bir "koşuştan" daha güçlü ve kullanışlı bir araçtır.

Problem çözme: bir fonksiyonun ters türevini bulun

Örnek 1

Paylarda bulunan miktarı verin, üç ayrı kesre ayırın:

Bu oldukça doğal ve anlaşılır bir geçiştir - çoğu öğrencinin bununla bir sorunu yoktur. İfademizi aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

Şimdi şu formülü hatırlayalım:

Bizim durumumuzda, aşağıdakileri alacağız:

Tüm bu üç katlı kesirlerden kurtulmak için aşağıdakileri yapmanızı öneririm:

Örnek 2

Önceki kesrin aksine, payda ürün değil toplamdır. Bu durumda, artık kesirimizi birkaçın toplamına bölemeyiz. basit kesirler, ancak bir şekilde payın payda ile yaklaşık olarak aynı ifadeye sahip olmasını sağlamaya çalışmanız gerekir. Bu durumda, yapmak oldukça kolaydır:

Matematik dilinde "sıfır toplama" olarak adlandırılan böyle bir notasyon, kesri tekrar iki parçaya bölmemizi sağlayacaktır:

Şimdi aradığımız şeyi bulalım:

Tüm hesaplamalar bu kadar. Önceki problemdekinden daha büyük karmaşıklığa rağmen, hesaplamaların miktarı daha da küçük çıktı.

Çözümün nüansları

Ve tablo ilkelleriyle çalışmanın ana zorluğunun yattığı yer burasıdır, bu özellikle ikinci görevde fark edilir. Gerçek şu ki, tablo aracılığıyla kolayca sayılan bazı öğeleri seçmek için, tam olarak neyi aradığımızı bilmemiz gerekiyor ve tüm ters türev hesaplaması bu öğelerin arayışından oluşuyor.

Başka bir deyişle, sadece ters türevler tablosunu ezberlemek yeterli değildir - henüz orada olmayan bir şeyi, ancak bu sorunun yazarının ve derleyicisinin ne anlama geldiğini görebilmeniz gerekir. Bu nedenle birçok matematikçi, öğretmen ve profesör sürekli olarak "Ters türev almak veya integral almak nedir - bu sadece bir araç mı yoksa gerçek sanat mı?" Aslında, benim kişisel görüşüme göre, entegrasyon hiç de bir sanat değil - içinde yüce bir şey yok, sadece pratik ve tekrar pratik. Ve pratik yapmak için, üç tane daha ciddi örnek çözelim.

Uygulamada uygulama entegrasyonu

Görev 1

Aşağıdaki formülleri yazalım:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2))\to \text(arctg)x\]

Aşağıdakileri yazalım:

görev #2

Aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

Toplam ters türev şuna eşit olacaktır:

Görev #3

Bu görevin karmaşıklığı, önceki işlevlerden farklı olarak, yukarıda $x$ değişkeni olmamasında yatmaktadır, yani. en azından aşağıdakine benzer bir şey elde etmek için ne ekleyeceğimiz, çıkaracağımız bizim için net değil. Bununla birlikte, aslında, bu ifadenin önceki yapılardan herhangi bir ifadeden bile daha basit olduğu düşünülmektedir, çünkü bu fonksiyon aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Şimdi sorabilirsiniz: bu fonksiyonlar neden eşittir? Hadi kontrol edelim:

Tekrar yazalım:

İfademizi biraz değiştirelim:

Ve tüm bunları öğrencilerime açıkladığımda, hemen hemen her zaman aynı sorun ortaya çıkıyor: ilk işlevde her şey aşağı yukarı net, ikincisinde de şans veya pratikle çözebilirsiniz, ancak ne tür bir alternatif bilinç var? üçüncü örneği çözmek için sahip olmanız gerekiyor? Aslında korkma. Son terstürevi hesaplarken kullandığımız tekniğe "bir fonksiyonu en basite ayrıştırma" denir ve bu çok ciddi bir tekniktir ve buna ayrı bir video dersi ayrılacaktır.

Bu arada, az önce incelediğimiz konuya, yani üstel fonksiyonlara geri dönmeyi ve içerikleriyle görevleri bir şekilde karmaşıklaştırmayı öneriyorum.

Ters türevli üstel fonksiyonları çözmek için daha karmaşık problemler

Görev 1

Aşağıdakilere dikkat et:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \sağ))^(x))=((10)^(x) )\]

Bu ifadenin ters türevini bulmak için $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ standart formülünü kullanmanız yeterlidir.

Bizim durumumuzda, ilkel şöyle olacaktır:

Tabii ki, az önce çözdüğümüz yapının arka planında, bu daha basit görünüyor.

görev #2

Yine, bu fonksiyonu iki ayrı terime - iki ayrı kesre ayırmanın kolay olduğunu görmek kolaydır. Tekrar yazalım:

Geriye yukarıdaki formüle göre bu terimlerin her birinin ters türevini bulmak kalır:

Güç fonksiyonlarına kıyasla üstel fonksiyonların görünürdeki daha büyük karmaşıklığına rağmen, toplam hesaplama miktarı ve hesaplamaların çok daha basit olduğu ortaya çıktı.

Elbette, bilgili öğrenciler için, az önce ele aldığımız şey (özellikle daha önce ele aldığımız şeyin arka planına karşı) temel ifadeler gibi görünebilir. Ancak, bugünün video eğitimi için bu iki görevi seçerek, size başka bir karmaşık ve hileli numara söyleme hedefi koymadım - size göstermek istediğim tek şey, orijinal fonksiyonları dönüştürmek için standart cebir numaralarını kullanmaktan korkmamanız gerektiğidir. .

"Gizli" tekniği kullanma

Sonuç olarak, bir yandan bugün esas olarak analiz ettiğimizin ötesine geçen, ancak öte yandan, öncelikle, hiçbir şekilde karmaşık olmayan, yani başka bir ilginç tekniği analiz etmek istiyorum. acemi öğrenciler bile ustalaşabilir ve ikincisi, genellikle her türlü kontrol ve bağımsız çalışmada bulunur, yani. bunu bilmek, terstürev tablosunu bilmenin yanı sıra çok faydalı olacaktır.

Görev 1

Açıkçası, çok benzer bir şeyimiz var güç fonksiyonu. Bu durumda nasıl ilerlemeliyiz? Bir düşünelim: $x-5$, $x$'dan çok farklı değil - sadece -5$ eklendi. Şöyle yazalım:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \sağ))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

$((\left(x-5 \right))^(5))$'ın türevini bulmaya çalışalım:

\[((\left(((\left(x-5 \sağ))^(5)) \sağ))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \sağ)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \sağ))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \sağ))^(4))\]

Bu şu anlama gelir:

\[((\left(x-5 \sağ))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \sağ))^(5)))(5) \ doğru))^(\prime ))\]

Tabloda böyle bir değer yok, bu yüzden şimdi bir güç fonksiyonu için standart ters türev formülünü kullanarak bu formülü kendimiz türettik. Cevabı şu şekilde yazalım:

görev #2

Birinci çözüme bakan birçok öğrenciye her şey çok basitmiş gibi görünebilir: kuvvet fonksiyonundaki $x$'ı doğrusal bir ifadeyle değiştirmek yeterlidir ve her şey yerine oturacaktır. Ne yazık ki, her şey o kadar basit değil ve şimdi bunu göreceğiz.

İlk ifadeye benzeterek aşağıdakileri yazıyoruz:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10))))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \sağ))^(10)) \sağ))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \sağ)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \sağ))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \sağ))^(9))\cdot \left(-3 \sağ)=-30\cdot ((\left(4-3x \sağ)) ^(9)\]

Türevimize dönersek, şunu yazabiliriz:

\[((\left(((\left(4-3x \sağ))^(10)) \sağ))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \sağ)) )^(9)\]

\[((\left(4-3x \sağ))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \sağ))^(10)))(-30) \sağ)^(\prime ))\]

Buradan hemen takip eder:

Çözümün nüansları

Lütfen dikkat: geçen sefer temelde hiçbir şey değişmediyse, ikinci durumda -10$ yerine -30$ göründü. $-10$ ile $-30$ arasındaki fark nedir? Açıkçası, $-3$ faktörü ile. Soru: nereden geldi? Yakından baktığınızda, bunun karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplamanın bir sonucu olarak alındığını görebilirsiniz - $x$ olan katsayı aşağıdaki ters türevde görünmektedir. Bu çok önemli kural, başlangıçta bugünün video eğitiminde hiç analiz etmeyi planlamamıştım, ancak onsuz, tablolu ters türevlerin sunumu eksik olurdu.

Öyleyse tekrar yapalım. Ana güç fonksiyonumuz şöyle olsun:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ve şimdi $x$ yerine $kx+b$ ifadesini koyalım. O zaman ne olacak? Aşağıdakileri bulmamız gerekiyor:

\[((\left(kx+b \sağ))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \sağ))^(n+1)))(\left(n+ 1) \sağ)\cdot k)\]

Bunu neye dayanarak iddia ediyoruz? Çok basit. Yukarıda yazılı yapının türevini bulalım:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \sağ))^(n+1)))(\left(n+1 \sağ)\cdot k) \sağ))^( \prime )=\frac(1)(\left(n+1 \sağ)\cdot k)\cdot \left(n+1 \sağ)\cdot ((\left(kx+b \sağ))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \sağ))^(n))\]

Bu, başlangıçtaki ifadenin aynısıdır. Bu nedenle, bu formül de doğrudur ve ters türevler tablosunu tamamlamak için kullanılabilir, ancak tüm tabloyu hatırlamak daha iyidir.

"Gizli: resepsiyondan sonuçlar:

Az önce ele aldığımız her iki fonksiyon da aslında dereceleri açarak tabloda belirtilen ters türevlere indirgenebilir, ancak dördüncü dereceyle aşağı yukarı bir şekilde başa çıkabilirsek, o zaman dokuzuncu dereceyi hiç yapmazdım. ortaya çıkarmaya kalkıştı.
Dereceleri açacak olsak öyle bir hesap hacmi elde ederiz ki, Basit görev bizi yetersiz bir şekilde alırdı çok sayıda zaman.
Bu nedenle, içinde doğrusal ifadeler bulunan bu tür görevlerin "boş" olarak çözülmesine gerek yoktur. Tablodakinden yalnızca içinde $kx+b$ ifadesinin varlığıyla farklılık gösteren bir ters türevle karşılaşır karşılaşmaz, yukarıda yazılan formülü hemen hatırlayın, onu tablodaki ters türevinizle değiştirin ve her şey çok daha iyi sonuçlanacak daha hızlı ve daha kolay.

Doğal olarak, bu tekniğin karmaşıklığı ve ciddiyeti nedeniyle, gelecekteki video eğitimlerinde tekrar tekrar dikkate alacağız, ancak bugün için her şeye sahibim. Umarım bu ders ters türevleri ve entegrasyonu anlamak isteyen öğrencilere gerçekten yardımcı olur.

Her Öğrencinin Bilmesi Gereken Temel İntegraller

Listelenen integraller, temellerin temelidir. Bu formüller elbette hatırlanmalıdır. Daha karmaşık integralleri hesaplarken bunları sürekli kullanmanız gerekecek.

(5), (7), (9), (12), (13), (17) ve (19) formüllerine özellikle dikkat edin. İntegral alırken cevaba rastgele bir C sabiti eklemeyi unutmayın!

bir sabitin integrali

∫ Bir d x = Bir x + C (1)

Güç işlevi entegrasyonu

Aslında, formül (5) ve (7) ile sınırlandırılabilir, ancak bu gruptaki diğer integraller o kadar yaygındır ki, onlara biraz dikkat etmeye değer.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = günlük | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Üstel fonksiyonun ve hiperbolik fonksiyonların integralleri

Tabii ki, formül (8) (belki de hatırlaması en uygun olan), formül (9)'un özel bir durumu olarak kabul edilebilir. Hiperbolik sinüs ve hiperbolik kosinüsün integralleri için formüller (10) ve (11), formül (8)'den kolayca türetilebilir, ancak bu ilişkileri hatırlamak daha iyidir.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Trigonometrik fonksiyonların temel integralleri

Öğrencilerin sıklıkla yaptığı bir hata: (12) ve (13) formüllerindeki işaretleri karıştırırlar. Sinüsün türevinin kosinüs'e eşit olduğunu hatırlayarak, nedense birçok insan sinx fonksiyonunun integralinin cosx'e eşit olduğuna inanır. Bu doğru değil! Sinüsün integrali "eksi kosinüs"tür, ancak cosx'ün integrali "sadece sinüs"tür:

∫ günah x d x = - çünkü x + C (12)
∫ çünkü x d x = günah x + C (13)
∫ 1 çünkü 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 günah 2 x d x = - c t g x + C (15)

Ters Trigonometrik Fonksiyonlara İndirgenen İntegraller

Ark tanjantına götüren formül (16), doğal olarak a=1 için formül (17)'nin özel bir halidir. Benzer şekilde (18), (19)'un özel bir halidir.

∫ 1 1 + x 2 d x = bir r c t g x + C = - bir r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Daha karmaşık integraller

Bu formüllerin de hatırlanması arzu edilir. Ayrıca oldukça sık kullanılırlar ve çıktıları oldukça sıkıcıdır.

Genel entegrasyon kuralları

1) İki fonksiyonun toplamının integrali, karşılık gelen integrallerin toplamına eşittir: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) İki fonksiyonun farkının integrali, karşılık gelen integrallerin farkına eşittir: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Sabit, integral işaretinden çıkarılabilir: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

(26) özelliğinin basitçe (25) ve (27) özelliklerinin bir kombinasyonu olduğunu görmek kolaydır.

4) Karmaşık bir fonksiyonun integrali, eğer iç işlev doğrusaldır: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Burada F(x), f(x) fonksiyonunun terstürevidir. Bu formülün yalnızca iç işlev Ax + B olduğunda çalıştığını unutmayın.

Önemli: İki fonksiyonun çarpımının integrali ve bir kesrin integrali için evrensel bir formül yoktur:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (otuz)

Bu elbette bir kesrin veya bir çarpımın entegre edilemeyeceği anlamına gelmez. Sadece (30) gibi bir integrali her gördüğünüzde, onunla "savaşmanın" bir yolunu bulmalısınız. Bazı durumlarda, parçalara göre entegrasyon size yardımcı olacaktır, bir yerde değişken değişikliği yapmanız gerekecek ve bazen cebir veya trigonometrinin "okul" formülleri bile yardımcı olabilir.

Belirsiz integrali hesaplamak için basit bir örnek

Örnek 1. İntegrali bulun: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

(25) ve (26) formüllerini kullanıyoruz (fonksiyonların toplamının veya farkının integrali, karşılık gelen integrallerin toplamına veya farkına eşittir. Şunu elde ederiz: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 gün x

Sabitin integral işaretinden çıkarılabileceğini hatırlayın (formül (27)). İfade forma dönüştürülür

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ günah x d x - 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

Şimdi temel integraller tablosunu kullanalım. (3), (12), (8) ve (1) formüllerini uygulamamız gerekecek. Güç fonksiyonunu sinüs, üs ve sabit 1'in integralini alalım. Sonuna rastgele bir C sabiti eklemeyi unutmayın:

3 x 3 3 - 2 çünkü x - 7 e x + 12 x + C

Temel dönüşümlerden sonra nihai cevabı alıyoruz:

X 3 − 2 çünkü x − 7 e x + 12 x + C

Türev alarak kendinizi test edin: ortaya çıkan fonksiyonun türevini alın ve orijinal integrale eşit olduğundan emin olun.

Özet integral tablosu

∫ Bir d x = Bir x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = günlük | x | +C

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ günah x d x = - çünkü x + C

∫ çünkü x d x = günah x + C

∫ 1 çünkü 2 x d x = t g x + C

∫ 1 günah 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = bir r c t g x + C = - bir r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 - bir 2 d x = ln | x + x 2 - bir 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (bir > 0)

∫ x 2 - bir 2 d x = x 2 x 2 - bir 2 - bir 2 2 ln | x + x 2 - bir 2 | + C (bir > 0)

İntegral tablosunu (bölüm II) bu bağlantıdan indirin

Bir üniversitede okuyorsanız, yüksek matematikle ilgili herhangi bir sorununuz varsa (matematiksel analiz, lineer cebir, olasılık teorisi, istatistik), nitelikli bir öğretmenin hizmetlerine ihtiyacınız varsa, yüksek matematik öğretmeninin sayfasına gidin. Sorunlarınızı birlikte çözelim!

Ayrıca ilginizi çekebilir

Okulda birçoğu integralleri çözemiyor veya onlarla ilgili herhangi bir zorluk yaşıyor. Bu makale, içinde her şeyi bulacağınız için anlamanıza yardımcı olacaktır. integral tabloları.

ayrılmaz matematikteki ana hesaplamalardan ve kavramlardan biridir. Görünüşü iki amaç için ortaya çıktı:
ilk hedef- türevini kullanarak işlevi geri yükleyin.
ikinci gol- a'nın x'ten büyük veya b'ye eşit veya b'den büyük veya eşit olduğu düz bir çizgi üzerinde grafikten f(x) fonksiyonuna ve apsis eksenine uzaklıkta bulunan alanın hesaplanması.

Bu hedefler bizi belirli ve belirsiz integrallere götürür. Bu integraller arasındaki bağlantı, özellik arayışında ve hesaplamada yatmaktadır. Ama her şey akıyor ve zamanla her şey değişiyor, yeni çözümler bulundu, eklemeler ortaya çıktı, böylece diğer entegrasyon biçimlerine belirli ve belirsiz integraller getirildi.

Ne oldu belirsiz integral sen sor. Bu, a büyük x büyük b aralığındaki bir x değişkeninin ters türevi F(x) fonksiyonudur. herhangi bir fonksiyon F(x) olarak adlandırılır, herhangi bir x gösterimi için verilen aralıkta, türev F(x)'e eşittir. F(x)'in a büyük x büyük b'den aralığında f(x) için bir terstürev olduğu açıktır. Dolayısıyla F1(x) = F(x) + C. C - verilen aralıkta f(x) için herhangi bir sabit ve ters türevdir. Bu açıklama tersine, f(x) - 2 fonksiyonu için ters türevler yalnızca bir sabitte farklılık gösterir. İntegral hesabı teoremine dayanarak, her birinin a aralığında sürekli olduğu ortaya çıktı.

Kesin integral integral toplamlarda bir limit olarak veya üzerinde F'nin ters türevine sahip bir (a, b) satırında tanımlanan belirli bir f(x) fonksiyonunun durumunda, yani bu satırın sonundaki ifadelerinin farkı olarak anlaşılır. F(b) - F(a).

Netlik için, bu konunun incelenmesi, videoyu izlemenizi öneririm. Ayrıntılı olarak açıklar ve integrallerin nasıl bulunacağını gösterir.

Her bir integral tablosu, belirli bir tür integrali çözmeye yardımcı olduğu için kendi içinde çok yararlıdır.

Tüm olası tipler kırtasiye ve daha fazlası. V-kant.ru çevrimiçi mağazasından satın alabilirsiniz. Veya Kırtasiye Samara (http://v-kant.ru) bağlantısını takip edin, kalite ve fiyatlar sizi hoş bir şekilde şaşırtacak.

Bazen tablo olarak adlandırılan temel fonksiyonların integrallerini listeliyoruz:

Yukarıdaki formüllerden herhangi biri, sağ tarafın türevi alınarak kanıtlanabilir (sonuç olarak, integral elde edilecektir).

Entegrasyon yöntemleri

Bazı temel entegrasyon yöntemlerini ele alalım. Bunlar şunları içerir:

1. Ayrıştırma yöntemi(doğrudan entegrasyon).

Bu yöntem, tablo integrallerinin doğrudan uygulanmasına ve ayrıca belirsiz integralin 4 ve 5 özelliklerinin uygulanmasına (yani, sabit çarpanı parantezden çıkarmak ve / veya integrali fonksiyonların toplamı olarak temsil etmek) dayanır - integrali terimlere genişletmek).

örnek 1Örneğin, (dx/x 4)'ü bulmak için doğrudan x n dx için tablo integralini kullanabilirsiniz. Gerçekten de, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2 Bulmak için aynı integrali kullanırız:

Örnek 3 bulmak için almanız gerekir

Örnek 4 Bulmak için, integrali formda temsil ediyoruz ve üstel fonksiyon için tablo integralini kullanın:

Sabit faktörü parantez içine almayı düşünün.

Örnek 5bulalım mesela . Bunu göz önünde bulundurarak, elde ederiz

Örnek 6 Bulalım. Çünkü , tablo integralini kullanıyoruz Elde etmek

Aşağıdaki iki örnekte parantezleri ve tablo integrallerini de kullanabilirsiniz:

Örnek 7

(kullanıyoruz ve );

Örnek 8

(kullanırız Ve ).

Toplam integralini kullanan daha karmaşık örneklere bakalım.

Örnek 9Örneğin, bulalım
. Payda genişletme yöntemini uygulamak için, toplam küp formülünü  kullanırız ve sonra elde edilen polinom terimini paydaya böleriz.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Çözümün sonunda bir ortak sabit C'nin yazıldığına dikkat edilmelidir (ve her terimi entegre ederken ayrı olanlar değil). Gelecekte, ifade en az bir belirsiz integral içerdiği sürece (çözümün sonunda bir sabit yazacağız) çözme sürecinde sabitlerin tek tek terimlerin entegrasyonundan çıkarılması da önerilmektedir.

Örnek 10 Bulalım . Bu sorunu çözmek için payı çarpanlarına ayırırız (bundan sonra paydayı azaltabiliriz).

Örnek 11. Bulalım. Trigonometrik özdeşlikler burada kullanılabilir.

Bazen bir ifadeyi terimlere ayırmak için daha karmaşık teknikler kullanmanız gerekir.

Örnek 12. Bulalım . İntegrand'da kesrin tamsayı kısmını seçiyoruz . Daha sonra

Örnek 13 Bulalım

2. Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)

Yöntem aşağıdaki formüle dayanmaktadır: f(x)dx=f((t))`(t)dt, burada x =(t) dikkate alınan aralıkta türevlenebilir bir fonksiyondur.

Kanıt. Formülün sağ ve sol kısımlarından t değişkenine göre türevleri bulalım.

Sol tarafta, ara argümanı x = (t) olan karmaşık bir fonksiyon olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, t'ye göre türevini almak için önce integralin x'e göre türevini alırız ve sonra ara argümanın t'ye göre türevini alırız.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Sağ tarafın türevi:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Bu türevler eşit olduğundan, Lagrange teoreminin bir sonucu olarak, ispatlanan formülün sol ve sağ kısımları bir miktar sabitle farklılık gösterir. Belirsiz integrallerin kendileri belirsiz bir sabit terime kadar tanımlandığından, bu sabit son notasyonda ihmal edilebilir. Kanıtlanmış.

Başarılı bir değişken değişikliği, orijinal integrali basitleştirmemize ve en basit durumlarda onu tablo haline getirmemize olanak tanır. Bu yöntemin uygulanmasında, doğrusal ve doğrusal olmayan ikame yöntemleri ayırt edilir.

a) Doğrusal ikame yöntemi bir örneğe bakalım.

örnek 1
. Lett= 1 – 2x, o zaman

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Yeni değişkenin açıkça yazılması gerekmediğine dikkat edilmelidir. Bu gibi durumlarda, diferansiyelin işareti altında bir fonksiyonun dönüşümünden veya diferansiyelin işareti altında sabitlerin ve değişkenlerin eklenmesinden söz edilir, yani. Ö örtük değişken ikamesi.

Örnek 2Örneğin, cos(3x + 2)dx'i bulalım. Diferansiyelin özelliklerine göre dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), o zamancos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

İncelenen her iki örnekte de, integralleri bulmak için lineer ikame t=kx+b(k0) kullanıldı.

Genel durumda, aşağıdaki teorem geçerlidir.

Doğrusal ikame teoremi. F(x), f(x) fonksiyonu için bir ters türev olsun. O zamanf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, burada k ve b bazı sabitlerdir,k0.

Kanıt.

f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C integralinin tanımına göre. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. İntegral işareti için k sabit çarpanını çıkarıyoruz: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Şimdi eşitliğin sol ve sağ kısımlarını k'ye bölebilir ve sabit terim gösterimine kadar ispatlanacak iddiayı elde edebiliriz.

Bu teorem, f(x)dx= F(x) + C integralinin tanımında (kx+b) ifadesinin yerine konulursa, bunun önünde ek bir 1/k çarpanının görünmesine yol açacağını belirtir. ters türevi.

Kanıtlanmış teoremi kullanarak aşağıdaki örnekleri çözüyoruz.

Örnek 3

Bulalım . Burada kx+b= 3 –x, yani k= -1,b= 3. Sonra

Örnek 4

Bulalım. Burada kx+b= 4x+ 3, yani k= 4,b= 3. Sonra

Örnek 5

Bulalım . Burada kx+b= -2x+ 7, yani k= -2,b= 7. Sonra

Örnek 6 Bulalım
. Burada kx+b= 2x+ 0, yani k= 2,b= 0.

Elde edilen sonucu ayrıştırma yöntemiyle çözülmüş örnek 8 ile karşılaştıralım. Aynı sorunu başka bir yöntemle çözerek cevabı aldık.
. Sonuçları karşılaştıralım: Böylece, bu ifadeler sabit bir terimle birbirinden farklıdır. , yani alınan cevaplar birbiriyle çelişmiyor.

Örnek 7 Bulalım
. Paydada tam bir kare seçiyoruz.

Bazı durumlarda, değişkenin değiştirilmesi integrali doğrudan tabloya indirgemez, ancak bir sonraki adımda ayrıştırma yöntemini uygulamayı mümkün kılarak çözümü basitleştirebilir.

Örnek 8Örneğin, bulalım . t=x+ 2'yi, ardından dt=d(x+ 2) =dx'i değiştirin. Daha sonra

burada C \u003d C 1 - 6 (t yerine (x + 2) ifadesini değiştirirken, ilk iki terim yerine ½x 2 -2x - 6 elde ederiz).

Örnek 9 Bulalım
. t= 2x+ 1 olsun, o zaman dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

t yerine (2x + 1) ifadesini yazıp parantezleri açıp benzerlerini veriyoruz.

Dönüşüm sürecinde başka bir sabit terime geçtiğimize dikkat edin, çünkü dönüşüm sürecindeki sabit terimler grubu ihmal edilebilir.

b) Doğrusal olmayan ikame yöntemi bir örneğe bakalım.

örnek 1
. t= -x 2 olsun. Ayrıca, x t cinsinden ifade edilebilir, ardından dx için bir ifade bulunabilir ve istenen integralde bir değişken değişikliği uygulanabilir. Ancak bu durumda, aksini yapmak daha kolaydır. dt=d(-x 2) = -2xdx'i bulun. xdx ifadesinin istenen integralin integralinin bir çarpanı olduğuna dikkat edin. Ortaya çıkan xdx= - ½dt eşitliğinden ifade ediyoruz. Daha sonra

Daha önceki bir materyalde, türevi bulma konusu ele alınmış ve çeşitli uygulamaları gösterilmiştir: grafiğe teğetin eğiminin hesaplanması, optimizasyon problemlerinin çözülmesi, monotonluk ve ekstremum için fonksiyonların incelenmesi. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$

Resim 1.

$s(t)$ fonksiyonu ile ifade edilen önceden bilinen kat edilen mesafeye göre türevi kullanılarak anlık hızı $v(t)$ bulma problemi de ele alındı.

Şekil 2.

$v(t)$ noktasının hızını bilerek, $t$ zamanında bir noktanın kat ettiği $s(t)$ yolunu bulmanız gerektiğinde ters problem de çok yaygındır. Hatırlarsanız anlık hız $v(t)$ yol fonksiyonunun $s(t)$ türevi olarak bulunur: $v(t)=s’(t)$. Bu, ters problemi çözmek, yani yolu hesaplamak için türevi hız fonksiyonuna eşit olacak bir fonksiyon bulmanız gerektiği anlamına gelir. Ama yolun türevinin hız olduğunu biliyoruz, yani: $s'(t) = v(t)$. Hız, ivme ve zamanın ürününe eşittir: $v=at$. İstenen yol fonksiyonunun şu şekilde olacağını belirlemek kolaydır: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ancak bu tam bir çözüm değil. Tam çözüm şöyle görünecektir: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, burada $C$ bir sabittir. Bunun neden böyle olduğu daha sonra tartışılacaktır. Bu arada bulunan çözümün doğruluğunu kontrol edelim: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.

Hızla yolu bulmanın, ters türevin fiziksel anlamı olduğunu belirtmekte fayda var.

Ortaya çıkan $s(t)$ işlevi, $v(t)$'nin ters türevi olarak adlandırılır. Oldukça ilginç ve sıra dışı bir isim değil mi? İçinde bu kavramın özünü açıklayan ve anlaşılmasına yol açan büyük bir anlam var. "İlk" ve "görüntü" olmak üzere iki kelime içerdiğini görebilirsiniz. Kendileri adına konuşurlar. Yani elimizdeki türevin orijinali bu fonksiyondur. Ve bu türevle, başlangıçta olan, "ilk", "ilk görüntü", yani ters türev olan işlevi arıyoruz. Bazen ilkel fonksiyon veya anti-türev olarak da adlandırılır.

Bildiğimiz gibi türevi bulma işlemine diferansiyel denir. Ters türevi bulma işlemine de entegrasyon denir. İntegrasyon işlemi, türev alma işleminin tersidir. Bunun tersi de doğrudur.

Tanım. Belirli bir aralıktaki $f(x)$ fonksiyonunun ters türevi, belirtilen aralıktaki tüm $x$ için türevi bu $f(x)$ fonksiyonuna eşit olan $F(x)$ fonksiyonudur: $F'( x)=f(x)$.

Birisinin bir sorusu olabilir: başlangıçta $s(t)$ ve $v(t)$ ile ilgiliyse, $F(x)$ ve $f(x)$ tanımda nereden geldi? Gerçek şu ki, $s(t)$ ve $v(t)$, bu durumda özel bir anlamı olan, yani sırasıyla zamanın ve hızın bir fonksiyonu olan atama fonksiyonlarının özel durumlarıdır. Aynısı $t$ değişkeni için de geçerlidir - zamanı temsil eder. Ve $f$ ve $x$, sırasıyla bir fonksiyonun ve bir değişkenin genel tanımının geleneksel değişkenidir. $F(x)$ terstürevinin notasyonuna özel dikkat göstermeye değer. İlk olarak, $F$ sermayedir. Primitifler büyük harflerle gösterilir. İkincisi, harfler aynıdır: $F$ ve $f$. Yani, $g(x)$ işlevi için ters türev $G(x)$ ile, $z(x)$ - için $Z(x)$ ile gösterilecektir. Gösterimden bağımsız olarak, ters türev fonksiyonunu bulma kuralları her zaman aynıdır.

Birkaç örneğe bakalım.

örnek 1$F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ fonksiyonunun $f(x)=\cos5x$ fonksiyonunun ters türevi olduğunu kanıtlayın.

Bunu kanıtlamak için tanımı kullanıyoruz ve daha doğrusu olanlar$F'(x)=f(x)$ olduğu gerçeğini ve $F(x)$ fonksiyonunun türevini bulun: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)' =\frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Yani $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$, $f(x)=\cos5x$'ın terstürevidir. Q.E.D.

Örnek 2 Aşağıdaki ters türevlerin hangi fonksiyonlara karşılık geldiğini bulun: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

İstenen fonksiyonları bulmak için türevlerini hesaplıyoruz:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Örnek 3$f(x)=0$ için terstürev ne olacak?
tanımını kullanalım. Hangi fonksiyonun $0$'a eşit bir türevi olabileceğini düşünelim. Türev tablosunu hatırlayarak, herhangi bir sabitin böyle bir türevi olacağını anlıyoruz. Aradığımız ters türevi elde ederiz: $F(x)= C$.

Ortaya çıkan çözüm geometrik ve fiziksel olarak açıklanabilir. Geometrik olarak, $y=F(x)$ grafiğinin teğetinin bu grafiğin her noktasında yatay olduğu ve dolayısıyla $Ox$ ekseniyle çakıştığı anlamına gelir. Fiziksel olarak, sıfıra eşit bir hıza sahip bir noktanın yerinde kalması, yani onun kat ettiği yolun değişmemesi gerçeğiyle açıklanır. Buna dayanarak, aşağıdaki teoremi formüle edebiliriz.

teorem. (İşlev sabitliği işareti). Bir aralıkta $F'(x) = 0$ ise, $F(x)$ işlevi bu aralıkta sabittir.

Örnek 4 Hangi fonksiyonların fonksiyon olduklarının ters türevlerini belirleyin a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, burada $a$ bir sayıdır.
Ters türev tanımını kullanarak, bu görevi çözmek için bize verilen ters türev fonksiyonlarının türevlerini hesaplamamız gerektiği sonucuna varıyoruz. Hesaplarken, bir sabitin, yani herhangi bir sayının türevinin sıfıra eşit olduğunu unutmayın.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7)"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Ne görüyoruz? Birkaç farklı fonksiyon, aynı fonksiyonun ters türevleridir. Bu, herhangi bir işlevin sonsuz sayıda ters türevi olduğu ve $F(x) + C$ biçiminde olduğu anlamına gelir; burada $C$ keyfi bir sabittir. Yani, entegrasyon işlemi, farklılaşma işleminin aksine çok değerlidir. Buna dayanarak, ters türevlerin ana özelliğini açıklayan bir teorem formüle ediyoruz.

teorem. (İlkellerin ana özelliği). $F_1$ ve $F_2$ fonksiyonları şöyle olsun: ters türevli fonksiyonlar Bazı aralıklarla $f(x)$. Ardından, bu aralıktaki tüm değerler için aşağıdaki eşitlik geçerlidir: $F_2=F_1+C$, burada $C$ bir miktar sabittir.

Sonsuz bir ters türev kümesinin varlığı gerçeği geometrik olarak yorumlanabilir. $Oy$ ekseni boyunca paralel öteleme yardımıyla $f(x)$ için herhangi iki ters türevin birbirinden grafikleri elde edilebilir. Bu geometrik anlam ilkel.

$C$ sabitini seçerek ters türevin grafiğini belirli bir noktadan geçirmenin mümkün olduğuna dikkat etmek çok önemlidir.

Figür 3

Örnek 5 Grafiği $(3; 1)$ noktasından geçen $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ fonksiyonunun ters türevini bulun.
Önce $f(x)$ için tüm ters türevleri bulalım: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Sonra, $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ grafiğinin $(3; 1)$ noktasından geçeceği bir C sayısı buluyoruz. Bunu yapmak için, noktanın koordinatlarını grafiğin denkleminde yerine koyar ve $C$'ye göre çözeriz:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
$F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ ters türevine karşılık gelen $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ grafiğini elde ettik.

ters türev tablosu

Ters türevleri bulmak için bir formül tablosu, türevleri bulmak için formüller kullanılarak derlenebilir.

ters türev tablosu

Fonksiyonlar	ters türevler
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\görüntü stili \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln\|x\|+C$
$\sinx$	$-\cosx+C$
$\çünkü x$	$\sinx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctgx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tgx+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccosx+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctgx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$

Tablonun doğruluğunu şu şekilde kontrol edebilirsiniz: sağ sütunda bulunan her bir ters türev seti için, sol sütunda karşılık gelen fonksiyonların elde edileceği türevi bulun.

Ters türevleri bulmak için bazı kurallar

Bildiğiniz gibi, birçok işlevin daha fazlası var karmaşık görünüm ters türevler tablosunda belirtilenlerden daha fazladır ve bu tablodaki fonksiyonların toplamlarının ve çarpımlarının keyfi herhangi bir kombinasyonu olabilir. Ve burada soru ortaya çıkıyor, benzer fonksiyonların ters türevlerinin nasıl hesaplanacağı. Örneğin, tablodan $x^3$, $\sin x$ ve $10$ ters türevlerini nasıl hesaplayacağımızı biliyoruz. Peki, örneğin $x^3-10\sin x$ terstürevi nasıl hesaplanır? İleriye bakıldığında, $\frac(x^4)(4)+10\cos x$'a eşit olacağını belirtmekte fayda var.
1. $F(x)$, $f(x)$ için bir ters türev ise, $G(x)$, $g(x)$ için, o zaman $f(x)+g(x)$ için terstürevdir $ F(x)+G(x)$'e eşit olacaktır.
2. $F(x)$, $f(x)$ için bir terstürev ve $a$ bir sabitse, $af(x)$ için terstürev $aF(x)$'dir.
3. $f(x)$ için ters türev $F(x)$, $a$ ve $b$ sabitse, $\frac(1)(a) F(ax+b)$ için terstürevdir. $f (ax+b)$.
Elde edilen kuralları kullanarak ters türev tablosunu genişletebiliriz.

Fonksiyonlar	ters türevler
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln\|ax+b\|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Örnek 5 Aşağıdakiler için ters türevler bulun:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.