Sayısal dizi kavramı, her doğal sayının bir gerçek değere karşılık geldiğini ima eder. Böyle bir sayı dizisi hem keyfi olabilir hem de belirli özelliklere sahip olabilir - bir ilerleme. İkinci durumda, dizinin sonraki her elemanı (üyesi) bir önceki kullanılarak hesaplanabilir.
Aritmetik ilerleme, komşu üyelerinin birbirinden aynı sayıda farklı olduğu bir sayısal değerler dizisidir (2.'den başlayarak serinin tüm öğeleri benzer bir özelliğe sahiptir). Bu sayı - önceki ve sonraki üye arasındaki fark - sabittir ve ilerleme farkı olarak adlandırılır.
İlerleme Farkı: Tanım
A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j'nin N doğal sayılar kümesine ait j değerlerinden oluşan bir dizi düşünün. d'nin değeri, bu ilerlemenin istenen farkıdır.
d = a(j) - a(j-1).
tahsis et:
- Artan bir ilerleme, bu durumda d > 0. Örnek: 4, 8, 12, 16, 20, …
- azalan ilerleme, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
İlerleme farkı ve keyfi unsurları
Dizinin rastgele 2 üyesi (i-th, k-th) biliniyorsa, bu dizinin farkı şu ilişkiye göre belirlenebilir:
a(i) = a(k) + (i - k)*d, yani d = (a(i) - a(k))/(i-k).
İlerleme farkı ve ilk terimi
Bu ifade, yalnızca dizi elemanının numarasının bilindiği durumlarda bilinmeyen değerin belirlenmesine yardımcı olacaktır.
İlerleme farkı ve toplamı
Bir ilerlemenin toplamı, üyelerinin toplamıdır. İlk j öğelerinin toplam değerini hesaplamak için ilgili formülü kullanın:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ancak a(j) = a(1) + d(j – 1), sonra S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Aritmetik ilerleme, her sayının bir öncekinden aynı miktarda daha büyük (veya daha az) olduğu bir sayı dizisidir.
Bu konu genellikle zor ve anlaşılmazdır. Harf dizinleri, n. dönem ilerlemeler, ilerlemedeki fark - tüm bunlar bir şekilde kafa karıştırıcı, evet ... Aritmetik ilerlemenin anlamını bulalım ve her şey hemen yoluna girecek.)
Aritmetik ilerleme kavramı.
Aritmetik ilerleme çok basit ve net bir kavramdır. Şüphe? Boşuna.) Kendiniz görün.
Bitmemiş bir sayı dizisi yazacağım:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bu hattı uzatabilir misiniz? Beşten sonra hangi sayılar gelecek? Herkes ... uh ..., kısacası herkes 6, 7, 8, 9 vb. sayıların daha da ileri gideceğini anlayacak.
Görevi karmaşıklaştıralım. Bitmemiş bir sayı dizisi veriyorum:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Deseni yakalayabilir, seriyi genişletebilir ve adlandırabilirsiniz. yedinci satır numarası?
Bu sayının 20 olduğunu anladıysanız - sizi tebrik ederim! sadece hissetmedin aritmetik ilerlemenin kilit noktaları, ama aynı zamanda bunları iş hayatında da başarıyla kullandı! Anlamadıysanız okumaya devam edin.
Şimdi duyumlardan alınan kilit noktaları matematiğe çevirelim.)
İlk kilit nokta.
Aritmetik ilerleme sayı dizileriyle ilgilenir. Bu ilk başta kafa karıştırıcı. Denklemleri çözmeye, grafikler oluşturmaya ve tüm bunlara alışkınız ... Ve sonra seriyi genişletin, serinin sayısını bulun ...
Önemli değil. Sadece ilerlemeler yeni bir matematik dalı ile ilk tanışmadır. Bölüm "Seri" olarak adlandırılır ve sayı ve ifade dizileriyle çalışır. Alışmak.)
İkinci kilit nokta.
Aritmetik ilerlemede, herhangi bir sayı bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.
İlk örnekte bu fark birdir. Hangi sayıyı alırsanız alın, bir öncekinden bir fazladır. İkinci - üç. Herhangi bir sayı bir öncekinin üç katıdır. Aslında, bize modeli yakalama ve sonraki sayıları hesaplama fırsatı veren bu andır.
Üçüncü kilit nokta.
Bu an çarpıcı değil, evet ... Ama çok, çok önemli. İşte burada: her ilerleme numarası kendi yerindedir.İlk sayı var, yedinci var, kırk beşinci var, vb. Onları gelişigüzel bir şekilde karıştırırsanız, model kaybolacaktır. Aritmetik ilerleme de kaybolacaktır. Bu sadece bir sayı dizisi.
Bütün mesele bu.
Tabii ki, yeni konuda yeni terimler ve gösterimler görünür. Bilmeleri gerekiyor. Aksi takdirde görevi anlayamazsınız. Örneğin, şöyle bir şeye karar vermelisiniz:
a 2 = 5, d = -2.5 ise, aritmetik dizinin ilk altı terimini (a n) yazın.
İlham veriyor mu?) Harfler, bazı indeksler... Ve bu arada görev daha kolay olamazdı. Sadece terimlerin ve notasyonun anlamını anlamanız gerekir. Şimdi bu konuya hakim olacağız ve göreve geri döneceğiz.
Terimler ve atamalar.
Aritmetik ilerleme her sayının bir öncekinden farklı olduğu bir sayı dizisidir aynı miktarda.
Bu değer denir . Bu kavramı daha ayrıntılı olarak ele alalım.
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerleme farkı herhangi bir ilerleme numarasının Daha bir önceki.
Bir önemli nokta. Lütfen söze dikkat edin "Daha". Matematiksel olarak bu, her ilerleme numarasının elde edildiği anlamına gelir. ekleme aritmetik ilerlemenin önceki sayıya farkı.
Hesaplamak için diyelim ikinci satır numaraları, gerekli Birinci sayı eklemek aritmetik ilerlemenin tam da bu farkı. hesaplama için beşinci- fark gereklidir eklemekİle dördüncü iyi, vb.
Aritmetik ilerleme farkı Belki pozitif o zaman dizinin her numarası gerçek olacak öncekinden daha fazla. Bu ilerleme denir artan.Örneğin:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Burada her sayı ekleme pozitif sayı, bir öncekine +5.
fark olabilir olumsuz o zaman dizideki her sayı olacak öncekinden daha az. Bu ilerleme denir (inanmayacaksınız!) azalıyor.
Örneğin:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Burada her sayı da elde edilir ekleme bir öncekine ama negatif sayı, -5.
Bu arada, bir ilerleme ile çalışırken, onun doğasını - artıyor mu yoksa azalıyor mu - hemen belirlemek çok faydalıdır. Karar verirken yönünüzü bulmanız, hatalarınızı fark etmeniz ve çok geç olmadan düzeltmeniz çok yardımcı olur.
Aritmetik ilerleme farkı genellikle harfle gösterilir D.
Nasıl bulunur D? Çok basit. Serinin herhangi bir sayısından çıkarmak gerekir öncesi sayı. Çıkart. Bu arada çıkarma işleminin sonucuna "fark" denir.)
Örneğin, tanımlayalım, D artan bir aritmetik ilerleme için:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Satırdan istediğimiz herhangi bir sayıyı alıyoruz, örneğin 11. Ondan çıkar önceki numara onlar. 8:
Bu doğru cevap. Bu aritmetik ilerleme için fark üçtür.
sadece alabilirsin herhangi bir sayıda ilerleme,Çünkü Belirli bir ilerleme için D-her zaman aynı. En azından sıranın başında bir yerde, en azından ortada, en azından herhangi bir yerde. Sadece ilk numarayı alamazsınız. İlk sayı olduğu için öncesi yok.)
Bu arada, bunu bilerek d=3, bu dizinin yedinci sayısını bulmak çok basit. Beşinci sayıya 3 ekliyoruz - altıncıyı alıyoruz, 17 olacak. Altıncı sayıya üç ekliyoruz, yedinci sayıyı alıyoruz - yirmi.
tanımlayalım D azalan bir aritmetik ilerleme için:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Size hatırlatırım, işaretlerden bağımsız olarak, belirlemek için D herhangi bir sayıdan gerekli öncekini al. Herhangi bir sayıda ilerleme seçiyoruz, örneğin -7. Önceki sayısı -2'dir. Daha sonra:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Bir aritmetik ilerlemenin farkı herhangi bir sayı olabilir: tamsayı, kesirli, irrasyonel, herhangi biri.
Diğer terimler ve tanımlamalar.
Serideki her sayı çağrılır bir aritmetik ilerlemenin üyesi.
İlerlemenin her üyesi onun numarası var Rakamlar, herhangi bir numara olmadan kesinlikle sıralanmıştır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü vb. Örneğin, ilerlemede 2, 5, 8, 11, 14, ... iki birinci üye, beş ikinci, on bir dördüncü, peki, anlıyorsunuz ...) Lütfen açıkça anlayın - sayıların kendileri kesinlikle herhangi biri olabilir, tam, kesirli, negatif, her neyse, ama numaralama- kesinlikle sırayla!
İlerleme nasıl kaydedilir Genel görünüm? Sorun değil! Dizideki her sayı bir harf olarak yazılır. Bir aritmetik ilerlemeyi belirtmek için, kural olarak harf kullanılır. A. Üye numarası sağ alttaki indeks ile gösterilir. Üyeler virgülle (veya noktalı virgülle) ayrılır, şöyle yazılır:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....
bir 1 ilk sayı 3- üçüncü vb. Zor bir şey yok. Bu diziyi kısaca şöyle yazabilirsiniz: (BİR).
İlerlemeler var sonlu ve sonsuz.
Nihai ilerleme var sınırlı miktarüyeler. Beş, otuz sekiz, her neyse. Ama sonlu bir sayı.
Sonsuz ilerleme - tahmin edebileceğiniz gibi sonsuz sayıda üyeye sahiptir.)
Bunun gibi bir dizi aracılığıyla, tüm üyeler ve sonunda bir nokta ile son bir ilerleme yazabilirsiniz:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Veya bunun gibi, çok sayıda üye varsa:
bir 1 , bir 2 , ... bir 14 , bir 15 .
Kısa bir girişte, ek olarak üye sayısını belirtmeniz gerekecektir. Örneğin (yirmi üye için), şöyle:
(bir n), n = 20
Bu dersteki örneklerde olduğu gibi, satırın sonundaki üç nokta ile sonsuz bir ilerleme fark edilebilir.
Artık görevleri zaten çözebilirsiniz. Görevler basit, tamamen aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.
Aritmetik ilerleme için görev örnekleri.
Yukarıdaki göreve daha yakından bakalım:
1. a 2 = 5, d = -2.5 ise, aritmetik dizinin ilk altı üyesini (a n) yazın.
görevi aktarıyoruz anlaşılır dil. Sonsuz bir aritmetik ilerleme verildiğinde. Bu ilerlemenin ikinci sayısı biliniyor: 2 = 5 Bilinen ilerleme farkı: d = -2.5. Bu dizinin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci ve altıncı üyelerini bulmamız gerekiyor.
Netlik için, sorunun durumuna göre bir dizi yazacağım. İkinci üyenin beş olduğu ilk altı üye:
1 , 5 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....
3 = 2 + D
ifadede yerine koyarız 2 = 5 Ve d=-2.5. Eksi unutma!
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Üçüncü terim ikinciden daha azdır. Her şey mantıklı. Sayı bir öncekinden büyükse olumsuz değer, bu nedenle sayının kendisi bir öncekinden daha az olacaktır. İlerleme azalıyor. Tamam dikkate alalım.) Serimizin dördüncü üyesini ele alalım:
4 = 3 + D
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + D
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + D
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Böylece üçüncüden altıncıya kadar olan terimler hesaplanmıştır. Bu bir dizi ile sonuçlandı:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Geriye ilk terimi bulmak kalıyor bir 1 iyi bilinen saniyeye göre. Bu, diğer yönde, sola doğru bir adımdır.) Dolayısıyla, aritmetik ilerlemenin farkı D eklenmemeli 2, A götürmek:
bir 1 = 2 - D
bir 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Hepsi bu kadar. Görev yanıtı:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Geçerken, bu görevi çözdüğümüzü not ediyorum. yinelenen yol. Bu korkunç kelime, yalnızca ilerlemenin bir üyesini aramak anlamına gelir. önceki (bitişik) numaraya göre.İlerleme ile çalışmanın diğer yolları daha sonra tartışılacaktır.
Bu basit görevden önemli bir sonuç çıkarılabilir.
Hatırlamak:
Bir aritmetik dizinin en az bir üyesini ve farkını biliyorsak, bu dizinin herhangi bir üyesini bulabiliriz.
Hatırlamak? Bu basit sonuç, bu konudaki okul kursu problemlerinin çoğunu çözmemizi sağlar. Tüm görevler üç ana parametre etrafında döner: bir aritmetik dizinin üyesi, bir dizinin farkı, bir dizinin bir üyesinin sayısı. Tüm.
Tabii ki, önceki tüm cebir iptal edilmez.) Eşitsizlikler, denklemler ve diğer şeyler ilerlemeye eklenir. Ancak ilerleme göre- her şey üç parametre etrafında döner.
Örneğin, bu konuyla ilgili bazı popüler görevleri ele alalım.
2. n=5, d=0.4 ve a 1=3.6 ise son aritmetik ilerlemeyi bir dizi olarak yazın.
Burada her şey basit. Her şey zaten verildi. Bir aritmetik dizinin üyelerinin nasıl hesaplandığını, sayıldığını ve yazıldığını hatırlamanız gerekir. Görev koşulundaki kelimelerin atlanmaması tavsiye edilir: "son" ve " n=5". Yüzünüz tamamen mavi olana kadar saymamak için.) Bu ilerlemede sadece 5 (beş) üye vardır:
2 \u003d 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
3 \u003d 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Cevabı yazmak için kalır:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Başka bir görev:
3. Aşağıdaki durumlarda 7 sayısının bir aritmetik dizinin (a n) üyesi olup olmayacağını belirleyin: 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hmm... Kim bilir? Bir şey nasıl tanımlanır?
Nasıl-nasıl... Evet, dizi şeklinde ilerleyişi yazın ve yedili olup olmayacağına bakın! İnanıyoruz:
2 \u003d 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
3 \u003d 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Şimdi açıkça görülüyor ki sadece yedi kişiyiz. doğru kaymış 6,5 ile 7,7 arasında! Yedi, sayı serimize girmedi ve bu nedenle yedi, verilen ilerlemenin bir üyesi olmayacak.
Cevap: hayır.
Ve burada dayalı bir sorun gerçek versiyon GİA:
4. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık üyesi yazılır:
...; 15; X; 9; 6; ...
İşte sonu ve başı olmayan bir dizi. Üye numarası yok, fark yok D. Önemli değil. Problemi çözmek için aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak yeterlidir. Bakalım ve neler yapabileceğimizi görelim bilmek bu hattan mı Üç ana parametrenin parametreleri nelerdir?
Üye numaraları? Burada tek bir numara yok.
Ama üç sayı var ve - dikkat! - kelime "ardışık" durumda. Bu, sayıların boşluklar olmadan kesinlikle sıralı olduğu anlamına gelir. Bu sırada iki tane var mı? komşu bilinen numaralar? Evet bende var! Bunlar 9 ve 6. Yani bir aritmetik ilerlemenin farkını hesaplayabiliriz! Altıdan çıkarırız öncesi sayı, yani dokuz:
Kalan boş alanlar var. Hangi sayı x için bir önceki olacak? 15. Yani x basit toplama ile kolayca bulunabilir. 15'e bir aritmetik ilerlemenin farkını ekleyin:
Bu kadar. Cevap: x=12
Aşağıdaki sorunları kendimiz çözüyoruz. Not: Bu bulmacalar formüller için değildir. Sadece bir aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.) Sadece bir dizi sayı-harf yazıyoruz, bak ve düşün.
5. a 5 = -3 ise, aritmetik dizinin ilk pozitif terimini bulun; d = 1.1.
6. 5.5 sayısının, a 1 = 1.6 olduğu aritmetik dizinin (a n) bir üyesi olduğu bilinmektedir; d = 1.3. Bu üyenin n sayısını belirleyiniz.
7. Bir aritmetik ilerlemede a 2 = 4 olduğu bilinmektedir; 5 \u003d 15.1. 3'ü bulun.
8. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık üyesi yazılır:
...; 15.6; X; 3.4; ...
X harfi ile gösterilen ilerlemenin terimini bulun.
9. Tren istasyondan hareket etmeye başladı ve hızını kademeli olarak dakikada 30 metre artırdı. Beş dakika sonra trenin hızı ne kadar olur? Cevabınızı km/s cinsinden veriniz.
10. Bir aritmetik ilerlemede 2 = 5 olduğu bilinmektedir; 6 = -5. 1 bul.
Yanıtlar (dağınık): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.
Her şey yolunda mı? İnanılmaz! Daha fazlası için aritmetik ilerlemede ustalaşabilirsiniz yüksek seviye, sonraki derslerde.
Her şey yolunda gitmedi mi? Sorun değil. Özel Bölüm 555'te, tüm bu bulmacalar parça parça ayrılmıştır.) Ve elbette, bu tür görevlerin çözümünü avucunuzun içinde olduğu gibi net, net bir şekilde hemen vurgulayan basit bir pratik teknik açıklanmaktadır!
Bu arada, trenle ilgili bilmecede insanların sıklıkla tökezlediği iki sorun var. Biri - tamamen ilerleme yoluyla ve ikincisi - matematik ve fizikteki herhangi bir görev için ortaktır. Bu, boyutların birinden diğerine çevirisidir. Bu sorunların nasıl çözülmesi gerektiğini gösterir.
Bu derste, bir aritmetik ilerlemenin temel anlamını ve ana parametrelerini inceledik. Bu, bu konudaki hemen hemen tüm sorunları çözmek için yeterlidir. Eklemek D sayılara, bir dizi yazın, her şeye karar verilir.
Parmak çözümü, bu dersteki örneklerde olduğu gibi, dizinin çok kısa parçaları için iyi sonuç verir. Seri daha uzunsa, hesaplamalar daha karmaşık hale gelir. Örneğin, sorudaki 9. problemdeyse, değiştirin "Beş dakika" Açık "otuz beş dakika" sorun çok daha kötüleşecektir.)
Ayrıca özünde basit olan ancak hesaplamalar açısından tamamen saçma olan görevler de vardır, örneğin:
Bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.
Ve ne, birçok kez 1/6 ekleyeceğiz?! Kendini öldürmek mümkün mü!?
Yapabilirsin.) Bu tür görevleri bir dakika içinde çözebileceğiniz basit bir formül bilmiyorsanız. Bu formül bir sonraki derste olacak. Ve bu sorun orada çözüldü. Bir dakika içinde.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı.
Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuda her türlü görev var. Temelden oldukça katıya.
İlk olarak, toplamın anlamını ve formülünü ele alalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Toplamın anlamı, böğürmek kadar basittir. Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm üyelerini dikkatlice toplamanız yeterlidir. Bu terimler azsa, herhangi bir formül olmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok şey varsa veya çok varsa ... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül kurtarır.
Toplam formülü basittir:
Formülde ne tür harflerin bulunduğunu bulalım. Bu çok şeyi netleştirecek.
sn aritmetik ilerlemenin toplamıdır. Toplama sonucu Tümüüyeler, ile Birinciİle son. Bu önemli. tam olarak topla Tüm boşluklar ve atlamalar olmadan arka arkaya üyeler. Ve tam olarak, başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşinciden yirminciye kadar olan terimlerin toplamını bulmak gibi bulmacalarda - doğrudan uygulama formüller hayal kırıklığı yaratıyor.)
bir 1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.
BİR- son ilerlemenin üyesi. Satırın son numarası. Çok tanıdık bir isim değil ama miktar olarak uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.
N son üyenin numarasıdır. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen terimlerin sayısı ile çakışmaktadır.
kavramı tanımlayalım sonüye BİR. Doldurma sorusu: ne tür bir üye olacak son, verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?
Kendinden emin bir cevap için, bir aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve ... ödevi dikkatlice okumanız gerekir!)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde, son terim her zaman görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), hangisi sınırlandırılmalıdır. Aksi takdirde, sonlu, belirli bir miktar sadece yok.Çözüm için, ne tür bir ilerleme verildiği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayıyla veya n'inci üyenin formülüyle.
En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk teriminden numaralı terime kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında, formülün tam adı şöyle görünür: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca görev tarafından belirlenir. Görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet ... Ama hiçbir şey, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkaracağız.)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görev örnekleri.
Öncelikle, yardımcı bilgi:
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görevlerdeki ana zorluk, formül öğelerinin doğru belirlenmesidir.
Ödevlerin yazarları, bu unsurları sınırsız bir hayal gücü ile şifreler.) Buradaki en önemli şey korkmamaktır. Öğelerin özünü anlamak, sadece onları deşifre etmek için yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.
1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: an n = 2n-3.5. İlk 10 terimin toplamını bulun.
Aferin. Kolay.) Formüle göre miktarı belirlemek için neleri bilmemiz gerekiyor? ilk üye bir 1, son dönem BİR, evet son terimin numarası N.
Son üye numarası nereden alınır? N? Evet, orada, durumda! toplamı bul diyor ilk 10 üye Peki hangi numara olacak son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR formülde yerine koyacağız 10, ama velakin N- on. Yine son üye sayısı ile üye sayısı aynıdır.
Karar vermek için kalır bir 1 Ve 10. Bu, problem ifadesinde verilen n'inci terimin formülü ile kolayca hesaplanır. Nasıl yapılacağını bilmiyor musun? Bu olmadan önceki dersi ziyaret edin - hiçbir şey.
bir 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
sn = S 10.
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formülün tüm öğelerinin anlamını bulduk. Bunları değiştirmek ve saymak için kalır:
Hepsi bu kadar. Cevap: 75.
GIA'ya dayalı başka bir görev. Biraz daha karmaşık:
2. Farkı 3.7 olan bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; 1 \u003d 2.3. İlk 15 terimin toplamını bulun.
Hemen toplam formülünü yazıyoruz:
Bu formül, herhangi bir üyenin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:
15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Formüldeki tüm öğeleri bir aritmetik ilerlemenin toplamı ile değiştirmek ve cevabı hesaplamak için kalır:
Cevap: 423.
Bu arada, toplam formülü yerine BİR sadece n'inci terimin formülünü değiştirin, şunu elde ederiz:
Benzerlerini verirsek, aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı için yeni bir formül elde ederiz:
 |
Gördüğünüz gibi burada n'inci terim gerekli değil. BİR. Bazı görevlerde bu formül çok yardımcı oluyor, evet ... Bu formülü hatırlayabilirsiniz. Ve burada olduğu gibi doğru zamanda çekebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülü ve n'inci terimin formülü her şekilde hatırlanmalıdır.)
Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):
3. Üçün katı olan tüm pozitif iki basamaklı sayıların toplamını bulun.
Nasıl! İlk üye yok, son üye yok, ilerleme yok... Nasıl yaşanır!?
Kafanızla düşünmeniz ve bir aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını koşuldan çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayılar nedir - biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) Hangi iki basamaklı sayı olur? Birinci? 10, muhtemelen.) son şey iki haneli sayı? 99, tabii ki! Üç haneli olanlar onu takip edecek...
Üçün katları... Hm... Bunlar üçe tam olarak bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünebilir! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Zaten sorunun durumuna göre bir dizi yazabilirsiniz:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bu dizi aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç kat farklıdır. Terime 2 veya 4 eklenirse sonuç, yani yeni bir sayı artık 3'e bölünmeyecek. Yığına aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3. Kullanışlı!)
Böylece, bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:
sayı ne olacak N son üye? 99'un ölümcül bir şekilde yanıldığını düşünen herkes ... Sayılar - her zaman üst üste gelirler ve üyelerimiz ilk üçün üzerinden atlar. Eşleşmiyorlar.
Burada iki çözüm var. Bir yol süper çalışkan içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini çizebilir ve parmağınızla terim sayısını sayabilirsiniz.) İkinci yol, düşünenler içindir. n'inci terim için formülü hatırlamanız gerekir. Formül problemimize uygulanırsa, 99'un ilerlemenin otuzuncu üyesi olduğunu elde ederiz. Onlar. n = 30.
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formüle bakıyoruz:
Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorunun durumundan miktarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:
bir 1= 12.
30= 99.
sn = S 30.
Geriye temel aritmetik kalıyor. Formüldeki sayıları değiştirin ve hesaplayın:
Cevap: 1665
Başka bir popüler bulmaca türü:
4. Bir aritmetik ilerleme verilir:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Yirmi ile otuz dördüncü arasındaki terimlerin toplamını bulun.
Toplam formülüne bakıyoruz ve ... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatmama izin verin, toplamı hesaplıyor birincidenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekir yirminci yıldan beri... Formül işe yaramayacak.
Elbette tüm ilerlemeyi arka arkaya boyayabilir ve üyeleri 20'den 34'e koyabilirsiniz. Ama ... bir şekilde aptalca ve uzun bir süre çıkıyor, değil mi?)
Daha zarif bir çözüm var. Serimizi iki kısma ayıralım. ilk bölüm olacak birinci dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci kısım - yirmi ila otuz dört. Açıktır ki, birinci kısmın terimlerinin toplamını hesaplarsak S 1-19, ikinci kısımdaki üyelerin toplamına ekleyelim S 20-34, birinci terimden otuz dördüncü terime ilerlemenin toplamını elde ederiz S 1-34. Bunun gibi:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Bu toplamı bulmak için gösterir S 20-34 basit çıkarma ile yapılabilir
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Sağ taraftaki her iki toplam da dikkate alınır birincidenüye, yani standart toplam formülü onlar için oldukça uygulanabilir. Başlıyor muyuz?
İlerleme parametrelerini görev koşulundan çıkarıyoruz:
d = 1.5.
bir 1= -21,5.
İlk 19 ve ilk 34 terimlerin toplamlarını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları 2. problemdeki gibi n'inci terimin formülüne göre sayıyoruz:
19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Hiçbir şey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Cevap: 262.5
Bir önemli Not! Bu sorunu çözmede çok kullanışlı bir özellik var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacın var (S 20-34), saydık Görünüşe göre neye gerek yok - S 1-19. Ve sonra belirlediler S 20-34, gereksizleri tam sonuçtan atarak. Böyle bir "kulaklı numara" genellikle kötü bulmacalardan kurtarır.)
Bu derste, bir aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemleri inceledik. Pekala, birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için herhangi bir sorunu çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.
n'inci terimin formülü:
Bu formüller size sorunu çözmek için nelere bakmanız, hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardım eder.
Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.
5. Üçe bölünmeyen tüm iki basamaklı sayıların toplamını bulun.
Harika mı?) İpucu, 4. problemin notunda gizli. Peki, 3. problem yardımcı olacaktır.
6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5.5; bir n+1 = bir n +0,5. İlk 24 terimin toplamını bulun.
Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu bir önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür bulmacalar genellikle GIA'da bulunur.
7. Vasya Tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevilen kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinizi hiçbir şeyden mahrum bırakmadan güzelce yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Para bitene kadar. Vasya kaç gün mutlu oldu?
Zor mu?) Görev 2'den ek bir formül yardımcı olacaktır.
Cevaplar (dağınık): 7, 3240, 6.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Karar vermeye başlamadan önce aritmetik ilerleme problemleri, bir sayı dizisinin ne olduğunu düşünün, çünkü aritmetik ilerleme bir sayı dizisinin özel bir durumudur.
Sayısal dizi, her elemanı kendi seri numarasına sahip olan sayısal bir dizidir.. Bu kümenin elemanlarına dizinin üyeleri denir. Bir dizi öğesinin sıra numarası bir indeks ile gösterilir:
Dizinin ilk elemanı;
Dizinin beşinci elemanı;
- dizinin "nth" öğesi, yani n numaralı "sırada duran" eleman.
Bir dizi öğesinin değeri ile sıra numarası arasında bir bağımlılık vardır. Bu nedenle, bir diziyi, argümanı dizinin bir öğesinin sıra numarası olan bir işlev olarak düşünebiliriz. Başka bir deyişle, şunu söyleyebiliriz dizi, doğal argümanın bir fonksiyonudur:
Sıra üç şekilde belirtilebilir:
1 . Sıra, bir tablo kullanılarak belirtilebilir. Bu durumda, dizinin her bir üyesinin değerini basitçe ayarladık.
Örneğin, Birisi kişisel zaman yönetimi yapmaya ve başlamak için hafta boyunca VKontakte'de ne kadar zaman harcadığını hesaplamaya karar verdi. Zamanı bir tabloya yazarak yedi öğeden oluşan bir dizi elde edecektir:
Tablonun ilk satırı haftanın gününü, ikincisi ise dakika cinsinden süreyi içerir. Pazartesi günü birinin VKontakte'de 125 dakika, yani Perşembe - 248 dakika ve yani Cuma günü sadece 15 dakika harcadığını görüyoruz.
2 . Dizi, n'inci üye formülü kullanılarak belirtilebilir.
Bu durumda, bir dizi elemanının değerinin numarasına bağımlılığı doğrudan bir formül olarak ifade edilir.
Örneğin, eğer , o zaman
Belirli bir sayıya sahip bir dizi öğesinin değerini bulmak için, öğe numarasını formülde n'inci üyenin yerine koyarız.
Argümanın değeri biliniyorsa, bir fonksiyonun değerini bulmamız gerekirse aynısını yaparız. Bunun yerine argümanın değerini fonksiyonun denkleminde yerine koyarız:
Örneğin, 
, O
Bir dizide, gelişigüzel bir sayısal fonksiyonun aksine, yalnızca bir doğal sayının argüman olabileceğini bir kez daha belirtmek isterim.
3 . Dizi, n numaralı dizinin üyesinin değerinin önceki üyelerin değerine bağımlılığını ifade eden bir formül kullanılarak belirtilebilir. Bu durumda bir dizi üyesinin değerini bulmak için sadece numarasını bilmemiz yeterli değildir. Dizinin ilk üyesini veya ilk birkaç üyesini belirtmemiz gerekiyor.
Örneğin, sırayı düşünün 
, 
Bir dizinin üyelerinin değerlerini bulabiliriz sırayla, üçüncüden başlayarak:
Yani, dizinin n'inci üyesinin değerini bulmak için her seferinde bir önceki iki üyeye geri dönüyoruz. Bu sıralama yöntemine denir yinelenen, Latince kelimeden yinelenen- geri gelmek.
Şimdi bir aritmetik ilerleme tanımlayabiliriz. Aritmetik ilerleme, sayısal dizinin basit bir özel durumudur.
Aritmetik ilerleme ikinciden başlayarak her üyesi bir öncekine eşit olan ve aynı sayı ile toplanan sayısal bir dizi olarak adlandırılır.
numara denir aritmetik ilerlemenin farkı. Bir aritmetik ilerlemenin farkı pozitif, negatif veya sıfır olabilir.
Eğer başlık="d>0)">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} artan.
Örneğin 2; 5; 8; onbir;...
Eğer , o zaman aritmetik ilerlemenin her terimi bir öncekinden daha azdır ve ilerleme şu şekildedir: azalan.
Örneğin 2; -1; -4; -7;...
Eğer , o zaman ilerlemenin tüm üyeleri aynı sayıya eşittir ve ilerleme şu şekildedir: sabit.
Örneğin, 2;2;2;2;...
Bir aritmetik ilerlemenin ana özelliği:
resme bakalım
bunu görüyoruz
, ve aynı zamanda
Bu iki eşitliği toplayarak şunu elde ederiz:
.
Denklemin her iki tarafını da 2'ye bölün:
Dolayısıyla, ikinciden başlayarak aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, iki komşu olanın aritmetik ortalamasına eşittir:
Ayrıca, beri
, ve aynı zamanda
, O
, ve dolayısıyla
Başlık="k>l) ile başlayan aritmetik ilerlemenin her üyesi">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
inci üye formülü.
Aritmetik ilerlemenin üyeleri için aşağıdaki ilişkilerin geçerli olduğunu görüyoruz:
ve sonunda
Aldık n'inci terimin formülü.
ÖNEMLİ! Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesi ve cinsinden ifade edilebilir. Bir aritmetik ilerlemenin ilk terimini ve farkını bilerek, üyelerinden herhangi birini bulabilirsiniz.
Bir aritmetik dizinin n üyesinin toplamı.
Keyfi bir aritmetik ilerlemede, uç terimlerden eşit aralıklarla yerleştirilmiş terimlerin toplamları birbirine eşittir:
n üyeli bir aritmetik dizi düşünün. Bu dizideki n üyenin toplamı şuna eşit olsun.
İlerleme şartlarını önce sayıların artan sırasına göre ve sonra azalan sıraya göre düzenleyin:
Eşleştirelim:
Her parantezdeki toplam , çift sayısı n'dir.
Biz:
Bu yüzden, bir aritmetik ilerlemenin n üyesinin toplamı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:
Dikkate almak aritmetik ilerleme problemlerini çözme.
1 . Dizi, n'inci üyenin formülü ile verilir: . Bu dizinin aritmetik bir ilerleme olduğunu kanıtlayın.
Dizinin iki bitişik üyesi arasındaki farkın aynı sayıya eşit olduğunu kanıtlayalım.
Dizinin iki bitişik üyesinin farkının sayılarına bağlı olmadığını ve bir sabit olduğunu elde ettik. Bu nedenle, tanım gereği, bu dizi aritmetik bir ilerlemedir.
2 . Aritmetik ilerleme verildiğinde -31; -27;...
a) Dizinin 31 terimini bulunuz.
b) 41 sayısının bu ilerlemeye dahil olup olmadığını belirleyin.
A) Görüyoruz ki;
İlerlememiz için n'inci terimin formülünü yazalım.
Genel olarak 
bizim durumumuzda 
, Bu yüzden 
Ne ana nokta formüller?
Bu formül bulmanızı sağlar herhangi NUMARASINA GÖRE" N" .
Tabii ki, ilk terimi bilmeniz gerekiyor bir 1 ve ilerleme farkı D, peki, bu parametreler olmadan belirli bir ilerleme yazamazsınız.
Bu formülü ezberlemek (veya kopya çekmek) yeterli değildir. Özünü özümsemek ve formülü çeşitli problemlerde uygulamak gerekir. Evet ve doğru zamanda unutma, evet ...) Nasıl unutma- Bilmiyorum. Ve burada nasıl hatırlanır Gerekirse sana bir ipucu veririm. Dersi sonuna kadar bilenler için.)
Öyleyse, bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülünü ele alalım.
Genel olarak formül nedir - hayal ediyoruz.) Aritmetik dizi nedir, üye sayısı, dizi farkı nedir - bir önceki derste açıkça belirtilmiştir. Okumadıysanız bir göz atın. Orada her şey basit. Ne olduğunu bulmak için kalır n. üye
Genel olarak ilerleme, bir dizi sayı olarak yazılabilir:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....
bir 1- bir aritmetik ilerlemenin ilk terimini gösterir, 3- üçüncü üye 4- dördüncü vb. Beşinci dönemle ilgileniyorsak, birlikte çalışıyoruz diyelim. 5, yüz yirminci ise - itibaren 120.
Genel olarak nasıl tanımlanır herhangi bir aritmetik ilerlemenin üyesi, s herhangi sayı? Çok basit! Bunun gibi:
BİR
işte bu aritmetik ilerlemenin n'inci üyesi. N harfinin altında tüm üye sayıları aynı anda gizlenir: 1, 2, 3, 4 vb.
Ve böyle bir kayıt bize ne veriyor? Bir düşünün, bir sayı yerine bir mektup yazdılar ...
Bu gösterim bize aritmetik ilerlemelerle çalışmak için güçlü bir araç sağlar. Gösterimi kullanma BİR, hızlıca bulabiliriz herhangiüye herhangi aritmetik ilerleme. Ve ilerlemede çözülmesi gereken bir dizi görev. Devamını göreceksiniz.
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülünde:
| bir n = bir 1 + (n-1)d |
bir 1- aritmetik ilerlemenin ilk üyesi;
N- üye numarası.
Formül, herhangi bir ilerlemenin temel parametrelerini birbirine bağlar: BİR ; bir 1; D Ve N. Bu parametreler etrafında, tüm bulmacalar ilerleme içinde döner.
n'inci terim formülü, belirli bir ilerlemeyi yazmak için de kullanılabilir. Örneğin, problemde ilerlemenin koşul tarafından verildiği söylenebilir:
n = 5 + (n-1) 2.
Böyle bir problem kafa karıştırabilir bile ... Seri yok, fark yok ... Ama durumu formülle karşılaştırarak, bu ilerlemede bunu anlamak kolaydır. 1 \u003d 5 ve d \u003d 2.
Ve daha da öfkeli olabilir!) Aynı koşulu alırsak: bir n = 5 + (n-1) 2, evet, parantezleri açıp benzerlerini veriyor musunuz? Yeni bir formül elde ediyoruz:
bir = 3 + 2n.
Bu Sadece genel değil, belirli bir ilerleme için. Tuzağın yattığı yer burasıdır. Bazı insanlar ilk terimin üç olduğunu düşünüyor. Gerçekte ilk üye beş olmasına rağmen ... Biraz daha aşağıda böyle değiştirilmiş bir formülle çalışacağız.
İlerleme görevlerinde başka bir gösterim var - bir n+1. Bu, tahmin ettiğiniz gibi, ilerlemenin "n artı ilk" terimidir. Anlamı basit ve zararsızdır.) Bu, sayısı n sayısından birer fazla olan dizilim üyesidir. Örneğin, eğer bazı problemlerde BİR beşinci dönem, o zaman bir n+1 altıncı üye olacak. Vesaire.
Çoğu zaman atama bir n+1özyinelemeli formüllerde oluşur. Bu korkunç kelimeden korkma!) Bu sadece bir aritmetik ilerleme terimini ifade etmenin bir yoludur. bir önceki aracılığıyla. Tekrarlayan formülü kullanarak bize bu formda bir aritmetik ilerleme verildiğini varsayalım:
bir n+1 = bir n +3
2 = 1 + 3 = 5+3 = 8
3 = 2 + 3 = 8+3 = 11
Dördüncü - üçüncü, beşinci - dördüncü, vb. Ve hemen nasıl sayılır, yirminci terim söyle, 20? Ama olmaz!) 19. dönem bilinmezken 20. dönem sayılamaz. Özyinelemeli formül ile n'inci terimin formülü arasındaki temel fark budur. Yinelemeli yalnızca aracılığıyla çalışır öncesi terim ve n'inci terimin formülü - aracılığıyla Birinci ve izin verir hemen herhangi bir üyeyi numarasına göre bulun. Tüm sayı dizisini sırayla saymamak.
Bir aritmetik ilerlemede, özyinelemeli bir formül kolayca düzenli bir formüle dönüştürülebilir. Bir çift ardışık terimi sayın, farkı hesaplayın D, gerekirse ilk terimi bulun bir 1, formülü her zamanki biçimde yazın ve onunla çalışın. GIA'da bu tür görevler sıklıkla bulunur.
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülünün uygulanması.
İlk olarak, formülün doğrudan uygulanmasına bakalım. Bir önceki dersin sonunda bir problem vardı:
Bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.
Bu problem, herhangi bir formül olmaksızın, basitçe aritmetik ilerlemenin anlamına bağlı olarak çözülebilir. Ekle, evet ekle ... Bir veya iki saat.)
Ve formüle göre çözüm bir dakikadan az sürecek. Zamanlayabilirsiniz.) Biz karar veririz.
Koşullar, formülü kullanmak için tüm verileri sağlar: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. ne olduğu görülmeye devam ediyor N. Sorun değil! Bulmalıyız 121. İşte yazıyoruz:
Lütfen dikkatini ver! indeks yerine N belirli bir sayı ortaya çıktı: 121. Bu oldukça mantıklı.) Aritmetik dizinin üyesiyle ilgileniyoruz. numara yüz yirmi bir. Bu bizim olacak N. Bu anlam N= 121'i formülde parantez içinde yerine koyacağız. Formüldeki tüm sayıları değiştirin ve hesaplayın:
121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Hepsi bu kadar. Beş yüz onuncu üye ve bin üçüncü üye herhangi biri kadar çabuk bulunabilirdi. yerine koyduk N" harfinin dizininde istenen sayı A" ve parantez içinde ve düşünüyoruz.
Size özü hatırlatmama izin verin: bu formül bulmanızı sağlar herhangi aritmetik ilerleme terimi NUMARASINA GÖRE" N" .
Sorunu daha akıllıca çözelim. Diyelim ki aşağıdaki sorunumuz var:
a 17 = -2 ise, aritmetik dizinin ilk terimini (a n) bulun; d=-0.5.
Herhangi bir zorluk yaşarsanız, ilk adımı önereceğim. Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülü yazın! Evet evet. El ile doğrudan defterinize yazın:
| bir n = bir 1 + (n-1)d |
Ve şimdi formülün harflerine baktığımızda hangi verilere sahip olduğumuzu ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz? Mevcut d=-0.5, on yedinci bir üye var ... Her şey mi? Hepsi bu kadar sanıyorsanız, o zaman sorunu çözemezsiniz, evet...
numaramız da var N! durumda bir 17 = -2 gizlenmiş İki seçenek. Bu hem on yedinci üyenin değeri (-2) hem de numarasıdır (17). Onlar. n=17. Bu "küçük şey" genellikle başın yanından kayar ve onsuz ("küçük şey" olmadan, kafa değil!) Sorun çözülemez. Yine de ... ve kafasız da.)
Şimdi verilerimizi aptalca formüle koyabiliriz:
17 \u003d 1 + (17-1) (-0,5)
Oh evet, 17-2 olduğunu biliyoruz. Tamam, koyalım:
-2 \u003d 1 + (17-1) (-0,5)
Özünde hepsi bu. Geriye aritmetik ilerlemenin ilk terimini formülden ifade etmek ve hesaplamak kalır. Cevabı alırsınız: 1 = 6
Böyle bir teknik - bir formül yazmak ve basitçe bilinen verileri değiştirmek - basit görevlerde çok yardımcı olur. Peki, elbette, bir formülden bir değişkeni ifade edebilmelisiniz, ama ne yapmalı!? Bu beceri olmadan matematik hiç çalışılamaz ...
Başka bir popüler sorun:
a 1 = 2 ise aritmetik ilerlemenin (a n) farkını bulun; bir 15 = 12.
Biz ne yapıyoruz? Şaşıracaksınız, formülü biz yazıyoruz!)
| bir n = bir 1 + (n-1)d |
Ne bildiğimizi düşünün: bir 1 =2; 15 = 12; ve (özel vurgu!) n=15. Formülde değiştirmekten çekinmeyin:
12=2 + (15-1)d
Aritmetiği yapalım.)
12=2 + 14d
D=10/14 = 5/7
Bu doğru cevap.
Yani, görevler bir n , bir 1 Ve D karar verilmiş. Numarayı nasıl bulacağınızı öğrenmek için kalır:
99 sayısı, a 1 = 12 olduğu bir aritmetik ilerlemenin (bir n) üyesidir; d=3. Bu üyenin numarasını bulun.
Bilinen miktarları n'inci terimin formülünde yerine koyarız:
bir n = 12 + (n-1) 3
İlk bakışta burada bilinmeyen iki nicelik vardır: bir n ve n. Ancak BİR numaralı ilerlemenin bir üyesidir N... Ve bildiğimiz ilerlemenin bu üyesi! 99. Numarasını bilmiyoruz. N, bu yüzden bu sayının da bulunması gerekiyor. İlerleme terimi 99'u formülde değiştirin:
99 = 12 + (n-1) 3
Formülden ifade ediyoruz N, düşünürüz. Cevabı alıyoruz: n=30.
Ve şimdi aynı konuyla ilgili, ancak daha yaratıcı bir problem):
117 sayısının bir aritmetik ilerlemenin (bir n) üyesi olup olmayacağını belirleyin:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Formülü tekrar yazalım. Ne, parametre yok mu? Hm... Neden göze ihtiyacımız var?) İlerlemenin ilk üyesini görüyor muyuz? Görürüz. Bu -3.6. Güvenle yazabilirsiniz: 1 \u003d -3.6. Fark D seriden belirlenebilir mi? Bir aritmetik ilerlemenin farkının ne olduğunu biliyorsanız, bu kolaydır:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Evet, en basit şeyi yaptık. Bilinmeyen bir numara ile uğraşmaya devam ediyor N ve anlaşılmaz bir sayı 117. Bir önceki problemde en azından verilen ilerlemenin terimi olduğu biliniyordu. Ama burada bunu bile bilmiyoruz ... Nasıl olunur!? Peki, nasıl olunur, nasıl olunur... Yaratıcı yeteneklerinizi açın!)
Biz sanmak 117, ne de olsa ilerlememizin bir üyesi. Bilinmeyen numara ile N. Ve tıpkı önceki problemdeki gibi bu sayıyı bulmaya çalışalım. Onlar. formülü (evet-evet!) yazıyoruz ve sayılarımızı değiştiriyoruz:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Yine formülden ifade ediyoruzN, sayar ve elde ederiz:
Hata! Numara ortaya çıktı kesirli! Yüz bir buçuk. Ve ilerlemelerde kesirli sayılar olamaz. Nasıl bir sonuç çıkarıyoruz? Evet! 117 numara değil ilerlememizin üyesi. 101. ve 102. üyeler arasında bir yerdedir. Sayının doğal olduğu ortaya çıktıysa, yani. pozitif tamsayı, o zaman sayı bulunan sayı ile ilerlemenin bir üyesi olacaktır. Ve bizim durumumuzda, sorunun cevabı şöyle olacaktır: HAYIR.
GIA'nın gerçek bir versiyonuna dayalı görev:
Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:
bir n \u003d -4 + 6.8n
İlerlemenin ilk ve onuncu terimlerini bulun.
Burada ilerleme alışılmadık bir şekilde belirlenir. Bir çeşit formül ... Olur.) Ancak bu formül (yukarıda yazdığım gibi) - ayrıca bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülü! O da izin verir ilerlemenin herhangi bir üyesini numarasına göre bulun.
İlk üyeyi arıyoruz. Düşünen kişi. ilk terimin eksi dört olması ölümcül bir hatadır!) Çünkü problemdeki formül değiştirilmiş. İçinde bir aritmetik ilerlemenin ilk terimi gizlenmiş. Hiçbir şey, şimdi bulacağız.)
Tıpkı önceki görevlerde olduğu gibi, değiştiriyoruz n=1 bu formüle:
1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Burada! İlk terim 2.8, -4 değil!
Benzer şekilde, onuncu terimi arıyoruz:
10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Hepsi bu kadar.
Ve şimdi bu satırlara kadar okuyanlara vaat edilen ikramiye.)
Diyelim ki, GIA'nın veya Birleşik Devlet Sınavının zorlu bir savaş durumunda, bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin yararlı formülünü unuttunuz. Aklına bir şey geliyor, ama bir şekilde belirsiz ... N orada veya n+1 veya n-1... nasıl olunur!?
Sakinlik! Bu formülü türetmek kolaydır. Çok katı değil, ama kesinlikle güven ve doğru karar için yeterli!) Sonuç için, aritmetik ilerlemenin temel anlamını hatırlamak ve birkaç dakika zaman ayırmak yeterli. Sadece bir resim çizmeniz gerekiyor. Açıklık için.
Sayısal bir eksen çiziyoruz ve ilkini üzerine işaretliyoruz. ikinci, üçüncü vb. üyeler. Ve farkı not edin Düyeler arasında. Bunun gibi:
Resme bakıyoruz ve düşünüyoruz: ikinci terim neye eşit? Saniye bir D:
A 2 = bir 1 + 1 D
Üçüncü terim nedir? Üçüncü terim eşittir birinci terim artı iki D.
A 3 = bir 1 + 2 D
anladın mı Bazı kelimeleri boşuna kalın harflerle yazmadım. Tamam, bir adım daha.)
Dördüncü terim nedir? Dördüncü terim eşittir birinci terim artı üç D.
A 4 = bir 1 + 3 D
Boşluk sayısının farkına varmanın zamanı geldi, yani. D, Her zaman aradığınız üye sayısından bir eksik N. Yani sayıya kadar n, boşluk sayısı irade n-1. Yani, formül şöyle olacaktır (seçenek yok!):
| bir n = bir 1 + (n-1)d |
Genel olarak, görsel resimler matematikteki birçok problemin çözümünde çok yardımcı olur. Resimleri ihmal etmeyin. Ama bir resim çizmek zorsa, o zaman ... sadece bir formül!) Ek olarak, n'inci terimin formülü, matematiğin tüm güçlü cephaneliğini çözüme bağlamanıza olanak tanır - denklemler, eşitsizlikler, sistemler vb. Denkleme bir resim koyamazsınız...
Bağımsız karar için görevler.
ısınma için:
1. Aritmetik dizide (a n) a 2 =3; 5 \u003d 5.1. 3'ü bulun.
İpucu: resme göre problem 20 saniyede çözülüyor ... Formüle göre daha zor çıkıyor. Ancak formüle hakim olmak için daha kullanışlıdır.) 555. Bölümde bu sorun hem resimle hem de formülle çözülmektedir. Farkı Hisset!)
Ve bu artık bir ısınma değil.)
2. Aritmetik ilerlemede (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. 3'ü bulun.
Ne, resim çizme isteksizliği mi?) Yine de! Daha iyi formül, evet...
3. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:1 \u003d -5,5; bir n+1 = bir n +0,5. Bu dizinin yüz yirmi beşinci terimini bulun.
Bu görevde, ilerleme tekrarlayan bir şekilde verilir. Ama yüz yirmi beşinci döneme kadar saymak... Herkes böyle bir başarıyı başaramaz.) Ama n'inci dönemin formülü herkesin elinde!
4. Bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde:
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
İlerlemedeki en küçük pozitif terimin sayısını bulun.
5. Görev 4'ün durumuna göre, ilerlemenin en küçük pozitif ve en büyük negatif üyelerinin toplamını bulun.
6. Artan bir aritmetik dizinin beşinci ve on ikinci terimlerinin çarpımı -2,5, üçüncü ve on birinci terimlerin toplamı sıfırdır. 14'ü bulun.
En kolay görev değil, evet ...) Burada "parmaklarda" yöntemi işe yaramayacak. Formüller yazmalı ve denklemleri çözmelisiniz.
Yanıtlar (karmaşa içinde):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Olmuş? Bu iyi!)
Her şey yolunda değil mi? Olur. Bu arada, son görevde ince bir nokta var. Sorunu okurken dikkat gerekli olacaktır. Ve mantık.
Tüm bu sorunların çözümü Bölüm 555'te ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Ve dördüncü için fantezi unsuru ve altıncı için ince an ve n'inci terimin formülü için herhangi bir sorunu çözmek için genel yaklaşımlar - her şey boyanmıştır. Ben tavsiye ediyorum.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.