Karekök nedir?
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Bu kavram çok basit. Doğal, derdim. Matematikçiler her etki için bir tepki bulmaya çalışırlar. Toplama var, çıkarma var. Çarpma var, bölme var. Kare alma var ... Yani bir de var çıkarma kare kök! Bu kadar. Bu hareket ( karekök alma) matematikte bu simge ile gösterilir:
Simgenin kendisi denir güzel dünya "radikal".
Kök nasıl çıkarılır? dikkate almak daha iyidir örnekler.
9'un karekökü kaçtır? Ve hangi sayının karesi bize 9 verir? 3'ün karesi bize 9 verir! Onlar:
Sıfırın karekökü nedir? Sorun değil! Sıfırın karesi hangi sayıyı verir? Evet, kendisi sıfır veriyor! Araç:
Yakalanmış karekök nedir? Sonra düşünürüz örnekler:
Cevaplar (dağınık): 6; 1; 4; 9; 5.
Karar verilmiş? Gerçekten, çok daha kolay!
Ama... Kökleri olan bir iş gördüğünde insan ne yapar?
Özlemeye başlar insan... Köklerin sadeliğine, hafifliğine inanmaz. biliyormuş gibi görünse de karekök nedir...
Bunun nedeni, bir kişinin kökleri incelerken birkaç önemli noktayı göz ardı etmesidir. Sonra bu geçici hevesler acımasızca sınavlardan ve sınavlardan intikam alıyor ...
Birinci nokta. Kökler görerek tanınmalıdır!
49'un karekökü kaçtır? Yedi? Sağ! Yedi olduğunu nasıl bildin? Yedinin karesini alıp 49 mu elde ettiniz? Sağ! Lütfen bunu not al kökü çıkarmak 49'da ters işlemi yapmak zorunda kaldık - 7. kare! Ve kaçırmadığımızdan emin olun. Ya da özleyebilirler...
Zorluk burada yatıyor kök çıkarma. kare alma herhangi bir sayı sorunsuz bir şekilde mümkündür. Sayıyı bir sütunda kendisiyle çarpın - hepsi bu. Ama için kök çıkarma bu kadar basit ve sorunsuz bir teknoloji yok. hesap vermek toplamak cevaplayın ve kare alarak isabet için kontrol edin.
Bu karmaşık yaratıcı süreç, yani bir yanıt seçmek, eğer Unutma popüler sayıların kareleri. Çarpım tablosu gibi. Diyelim ki 4'ü 6 ile çarpmanız gerekiyorsa - dördü 6 kez eklemiyorsunuz, değil mi? Cevap hemen ortaya çıkıyor 24. Her ne kadar herkesin elinde olmasa da, evet ...
Köklerle özgür ve başarılı bir çalışma için 1'den 20'ye kadar olan sayıların karelerini bilmek yeterlidir. Orası Ve geri. Onlar. hem 11'in karesini hem de 121'in karekökünü kolayca adlandırabilmelisiniz. Bu ezberlemeyi başarmanın iki yolu vardır. Birincisi kareler tablosunu öğrenmek. Bu, örneklerle çok yardımcı olacaktır. İkincisi, daha fazla örnek çözmek. Kareler tablosunu hatırlamak harika.
Ve hesap makinesi yok! Yalnızca doğrulama için. Aksi takdirde sınav esnasında acımasızca yavaşlarsınız...
Bu yüzden, karekök nedir Ve nasıl kökleri ayıklamak- Anlaşılabilir olduğunu düşünüyorum. Şimdi onları NEDEN çıkarabileceğinizi öğrenelim.
İkinci nokta. Kök, seni tanımıyorum!
Hangi sayılardan karekök alabilirsin? Evet, neredeyse herhangi biri. ne olduğunu anlamak daha kolay yasaktır onları ayıklayın.
Bu kökü hesaplamaya çalışalım:
Bunu yapmak için, karesi bize -4 verecek bir sayı almanız gerekiyor. biz seçiyoruz
Ne seçilmedi? 2 2 +4 verir. (-2) 2 tekrar +4 verir! İşte bu ... Karesi alındığında bize verecek hiçbir sayı yok negatif bir sayı! Rakamları bilmeme rağmen. Ama sana söylemeyeceğim.) Üniversiteye git ve kendin öğren.
Aynı hikaye herhangi bir negatif sayı ile olacaktır. Dolayısıyla sonuç:
Negatif bir sayının karekök işaretinin altında olduğu bir ifade - mantıklı değil! Bu yasaklanmış bir işlemdir. Sıfıra bölmek kadar yasak. Bu gerçeği aklınızda tutun! Veya başka bir deyişle:
Negatif sayılardan karekök çıkaramazsınız!
Ama geri kalan her şeyden - yapabilirsiniz. Örneğin, hesaplamak mümkündür
İlk bakışta bu çok zor. Kesirleri al, ama karesini al ... Endişelenme. Köklerin özelliklerini ele aldığımızda bu tür örnekler aynı kareler tablosuna indirgenecektir. Hayat daha kolay olacak!
Tamam kesirler. Ama yine de şöyle ifadelerle karşılaşıyoruz:
Önemli değil. Hepsi aynı. İkinin karekökü, karesi alındığında bize ikili verecek sayıdır. Sadece sayı tamamen düzensiz ... İşte burada:
İlginçtir, bu kesir asla bitmez... Bu tür sayılara irrasyonel denir. Kareköklerde bu en yaygın olan şeydir. Bu arada, bu yüzden köklü ifadeler denir. mantıksız. Her zaman böyle sonsuz bir kesir yazmanın sakıncalı olduğu açıktır. Bu nedenle, sonsuz bir kesir yerine şu şekilde bırakırlar:
Örneği çözerken çıkarılamayan bir şeyle karşılaşırsanız, örneğin:
sonra bu şekilde bırakıyoruz. Cevap bu olacak.
Simgelerin altında ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir.
Tabii sayının kökü alınırsa düz, bunu yapmalısınız. Formdaki görevin cevabı, örneğin
oldukça eksiksiz bir cevap.
Ve elbette, yaklaşık değerleri hafızadan bilmeniz gerekir:
Bu bilgi, karmaşık görevlerde durumu değerlendirmek için çok yardımcı olur.
Üçüncü nokta. En kurnaz.
Köklerle çalışmadaki ana kafa karışıklığı tam da bu hevesten kaynaklanıyor. Kendinden şüphe duyan odur ... Bu tuhaflıkla düzgün bir şekilde ilgilenelim!
Başlamak için, dördünün karekökünü tekrar çıkarıyoruz. Ne, seni zaten bu kökle yakaladım mı?) Hiçbir şey, şimdi ilginç olacak!
4'ün karesi hangi sayıyı verir? Şey, iki, iki - Tatmin olmayan cevaplar duyuyorum ...
Sağ. İki. Ama aynı zamanda eksi iki 4'ün karesini verecek... Bu arada cevap
doğru ve cevap
en büyük hata Bunun gibi.
Peki anlaşma nedir?
Nitekim (-2) 2 = 4. Ve karekök dört tanımı altında eksi iki oldukça uygun ... Bu aynı zamanda dördün kareköküdür.
Ancak! Matematik okul dersinde, karekökleri dikkate almak gelenekseldir. sadece negatif olmayan sayılar! Yani sıfır ve hepsi pozitif. Özel bir terim bile icat edildi: numaradan A- Bu negatif olmayan karesi olan sayı A. Aritmetik karekökü çıkarırken negatif sonuçlar basitçe atılır. Okulda, tüm karekökler - aritmetik. Özel olarak belirtilmese de.
Tamam, bu anlaşılabilir. Hiç karışmamak daha iyi olumsuz sonuçlar... Bu henüz bir kafa karışıklığı değil.
Karışıklık, ikinci dereceden denklemleri çözerken başlar. Örneğin, aşağıdaki denklemi çözmeniz gerekiyor.
Denklem basit, cevabı yazıyoruz (öğretildiği gibi):
Bu cevap (bu arada oldukça doğru) sadece kısaltılmış bir gösterimdir. iki Yanıtlar:
Dur dur! Biraz yukarı karekökün bir sayı olduğunu yazdım Her zaman negatif olmayan! Ve işte cevaplardan biri - olumsuz! Düzensizlik. Bu, köklere güvensizliğe neden olan ilk (ama son değil) sorun ... Haydi bu sorunu çözelim. Cevapları (sadece anlamak için!) Şöyle yazalım:
Parantezler cevabın özünü değiştirmez. sadece parantez ile ayırdım işaretler itibaren kök. Şimdi kökün kendisinin (parantez içinde) hala negatif olmayan bir sayı olduğu açıkça görülüyor! Ve işaretler denklemi çözmenin sonucu. Sonuçta, herhangi bir denklemi çözerken şunu yazmalıyız: Tüm x, orijinal denklemde yerine konduğunda doğru sonucu verecektir. Beşin kökü (pozitif!), hem artı hem de eksi içeren denklemimiz için uygundur.
Bunun gibi. Eğer sen sadece karekök al herhangi bir şeyden Her zaman elde etmek negatif olmayan bir sonuç. Örneğin:
Çünkü bu - aritmetik karekök.
Ama eğer karar verirsen ikinci dereceden denklem, tip:
O Her zaman ortaya çıktı iki cevap (artı ve eksi ile):
Çünkü o bir denklemin çözümü.
Umut, karekök nedir Puanlarınızla doğru anladınız. Şimdi geriye köklerle neler yapılabileceğini, özelliklerinin neler olduğunu bulmak kalıyor. Ve geçici hevesler ve su altı kutuları nelerdir ... afedersiniz, taşlar!)
Bütün bunlar - sonraki derslerde.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Gerçek 1.
\(\bullet\) Negatif olmayan bir sayı alın \(a\) (yani \(a\geqslant 0\) ). Sonra (aritmetik) kare kök\(a\) sayısından böyle negatif olmayan bir sayı \(b\) çağrılır, karesini alırken \(a\) sayısını alırız: \[\sqrt a=b\quad \text( ile aynı)\quad a=b^2\] Tanımdan şu çıkar ki \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Bu kısıtlamalar önemli koşul karekökün varlığı ve hatırlanmaları gerekir!
Herhangi bir sayının karesi alındığında negatif olmayan bir sonuç verdiğini hatırlayın. Yani, \(100^2=10000\geqslant 0\) ve \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) nedir? \(5^2=25\) ve \((-5)^2=25\) olduğunu biliyoruz. Tanım gereği negatif olmayan bir sayı bulmamız gerektiğinden, \(-5\) uygun değildir, dolayısıyla \(\sqrt(25)=5\) (çünkü \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) değerini bulmaya \(a\) sayısının karekökünü alarak, \(a\) sayısını bulmaya ise kök ifade denir.
\(\bullet\) Tanıma göre \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , vb. ifadeler kullanılır. mantıklı değil
Gerçek 2.
Hızlı hesaplamalar için \(1\) ile \(20\) arasındaki doğal sayıların kareler tablosunu öğrenmek faydalı olacaktır: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^ 2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end(array)\]
Gerçek 3.
Karekök ile neler yapılabilir?
\(\madde işareti\) Toplam veya fark Karekök Toplamın veya farkın kareköküne EŞİT DEĞİLDİR, yani \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Bu nedenle, örneğin \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) hesaplamanız gerekiyorsa, önce \(\sqrt(25)\) ve \(\sqrt(49)\) değerlerini bulmanız ve ardından bunları eklemeniz gerekir. Buradan, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] \(\sqrt a+\sqrt b\) eklenirken \(\sqrt a\) veya \(\sqrt b\) değerleri bulunamazsa, böyle bir ifade daha fazla dönüştürülmez ve olduğu gibi kalır. Örneğin, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) toplamında \(\sqrt(49)\) bulabiliriz - bu \(7\) , ancak \(\sqrt 2\) hiçbir şekilde dönüştürülemez, bu nedenle \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Ayrıca bu ifade ne yazık ki hiçbir şekilde basitleştirilemez.\(\madde işareti\) Kareköklerin çarpımı/bölümü, çarpım/bölümün kareköküne eşittir, yani \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eşitliğin her iki tarafının da anlamlı olması şartıyla)
Örnek: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bu özellikleri kullanarak, karekökleri bulmak uygundur. büyük sayılar onları çarpanlara ayırarak.
Bir örnek düşünün. \(\sqrt(44100)\) öğesini bulun. \(44100:100=441\) olduğundan, o zaman \(44100=100\cdot 441\) . Bölünebilirlik kriterine göre \(441\) sayısı \(9\) ile bölünebilir (çünkü rakamları toplamı 9'dur ve 9'a bölünebilir), dolayısıyla \(441:9=49\) , yani \(441=9\cdot 49\) .
Böylece, elde ettik: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Başka bir örneğe bakalım: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \ sqrt4 \cdot \sqrt(49)(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3=\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) \(5\sqrt2\) (ifadesinin kısaltması \(5\cdot \sqrt2\) ) örneğini kullanarak karekök işareti altına sayıların nasıl girileceğini gösterelim. \(5=\sqrt(25)\) olduğundan, o zaman \
Şuna da dikkat edin, örneğin,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Nedenmiş? Örnek 1) ile açıklayalım. Zaten anladığınız gibi, \(\sqrt2\) sayısını bir şekilde dönüştüremiyoruz. \(\sqrt2\)'nin bir sayı olduğunu hayal edin \(a\) . Buna göre, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifadesi \(a+3a\)'dan başka bir şey değildir (bir \(a\) sayısı artı aynı sayılardan üç tane daha \(a\) ). Ve bunun \(a\) , yani \(4\sqrt2\) gibi dört sayıya eşit olduğunu biliyoruz.
Gerçek 4.
\(\bullet\) Bazı sayıların değeri bulunurken kökün (kökün) \(\sqrt()) \ \) işaretinden kurtulmak mümkün olmadığında genellikle “kök çıkarılamaz” denir. Örneğin, \(16\) sayısını köklendirebilirsiniz çünkü \(16=4^2\) , yani \(\sqrt(16)=4\) . Ancak \(3\) sayısından kök çıkarmak, yani \(\sqrt3\) sayısını bulmak imkansızdır, çünkü karesinin \(3\) vereceği bir sayı yoktur.
Bu tür sayılar (veya bu sayıları içeren ifadeler) irrasyoneldir. Örneğin, sayılar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) ve benzeri. irrasyoneldir.
Ayrıca, \(\pi\) ("pi" sayısı, yaklaşık olarak eşittir \(3,14\) ), \(e\) (bu sayıya Euler sayısı denir, yaklaşık olarak eşittir \(2,7\) ), vb.
\(\bullet\) Lütfen herhangi bir sayının ya rasyonel ya da irrasyonel olacağını unutmayın. Ve tüm rasyonel ve tüm irrasyonel sayılar birlikte bir küme oluşturur. gerçek (gerçek) sayılar kümesi. Bu küme \(\mathbb(R)\) harfi ile gösterilir.
Bu, tüm sayıların olduğu anlamına gelir. şu an gerçek sayılar olarak adlandırıldığını biliyoruz.
Gerçek 5.
\(\bullet\) Bir gerçek sayının modülü \(a\), gerçek doğru üzerinde \(a\) noktasından \(0\) noktasına kadar olan mesafeye eşit \(|a|\) negatif olmayan bir sayıdır. Örneğin, \(|3|\) ve \(|-3|\) 3'e eşittir çünkü \(3\) ve \(-3\) ile \(0\) noktalarından olan mesafeler aynıdır ve \(3\)'e eşittir.
\(\bullet\) \(a\) negatif olmayan bir sayıysa, o zaman \(|a|=a\) .
Örnek: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) \(a\) negatif bir sayıysa, o zaman \(|a|=-a\) .
Örnek: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Negatif sayılar için modülün eksiyi ve pozitif sayıları ve \(0\) sayısını "yer" olduğunu söylerler, modül değişmeden kalır.
ANCAK bu kural sadece sayılar için geçerlidir. Modül işareti altında bilinmeyen bir \(x\) (veya başka bir bilinmeyen) varsa, örneğin, pozitif mi, sıfıra eşit mi yoksa negatif mi olduğunu bilmediğimiz \(|x|\) , o zaman modülden kurtulamayız. Bu durumda, bu ifade şu şekilde kalır: \(|x|\) . \(\bullet\) Aşağıdaki formüller geçerlidir: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a))), \text( sağlanan ) a\geqslant 0\]Şu hata sıklıkla yapılır: \(\sqrt(a^2)\) ve \((\sqrt a)^2\)'nin aynı şey olduğunu söylerler. Bu yalnızca \(a\) pozitif bir sayı veya sıfır olduğunda geçerlidir. Ancak \(a\) negatif bir sayıysa, bu doğru değildir. Böyle bir örneği ele almak yeterlidir. \(a\) yerine \(-1\) sayısını alalım. O zaman \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ancak \((\sqrt (-1))^2\) ifadesi hiç yok (çünkü kök işaretinin altına negatif sayılar koyamazsınız!).
Bu nedenle, \(\sqrt(a^2)\) öğesinin \((\sqrt a)^2\) değerine eşit olmadığına dikkatinizi çekiyoruz!Örnek 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\sağ)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Çünkü \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) olduğundan, o zaman \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) ifadesi çift sayıyı belirtir)
Yani bir derecede olan bir sayıdan kökü alınırken bu derece yarıya iner.
Örnek:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (modül ayarlanmazsa, sayının kökünün \(-25\) olduğu ortaya çıkar; ancak kökün tanımı gereği bunun olamayacağını unutmayın: kökü çıkarırken, her zaman pozitif bir sayı veya sıfır almalıyız)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (çünkü herhangi bir sayının çift kuvveti negatif değildir)
Gerçek 6.
İki karekök nasıl karşılaştırılır?
\(\bullet\) Karekökler için doğrudur: if \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) \(\sqrt(50)\) ve \(6\sqrt2\) öğelerini karşılaştırın. İlk olarak, ikinci ifadeyi şuna dönüştürüyoruz: \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Böylece, \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) \(\sqrt(50)\) hangi tam sayılar arasındadır?
\(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ve \(49) olduğundan<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) \(\sqrt 2-1\) ve \(0,5\) karşılaştırın. Varsayalım \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(hizalı) &\sqrt 2-1>0.5 \ \büyük| +1\quad \text((her iki tarafa da bir ekleyin))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((her iki parçanın karesini alın))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(hizalı)\] Yanlış bir eşitsizlik elde ettiğimizi görüyoruz. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştı ve \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Eşitsizliğin her iki tarafına belirli bir sayı eklemenin işaretini etkilemediğine dikkat edin. Eşitsizliğin her iki tarafını da pozitif bir sayı ile çarpmak/bölmek de işaretini etkilemez, ancak negatif bir sayı ile çarpmak/bölmek eşitsizliğin işaretini tersine çevirir!
Bir denklemin/eşitsizliğin her iki tarafının da karesi YALNIZCA her iki taraf da negatif değilse alınabilir. Örneğin, önceki örnekteki eşitsizlikte, \(-3) eşitsizliğinde her iki tarafın karesini alabilirsiniz.<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\madde işareti\) Şuna dikkat edin \[\begin(hizalı) &\sqrt 2\yaklaşık 1,4\\ &\sqrt 3\yaklaşık 1,7 \end(hizalı)\] Bu sayıların yaklaşık anlamlarını bilmek, sayıları karşılaştırırken size yardımcı olacaktır! \(\bullet\) Kareler tablosunda olmayan büyük bir sayıdan kökünü (çıkarılmışsa) çıkarmak için önce hangi "yüzler" arasında, sonra hangi "onlar" arasında olduğunu belirlemeli ve ardından bu sayının son basamağını belirlemelisiniz. Nasıl çalıştığını bir örnekle gösterelim.
\(\sqrt(28224)\) alın. \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) vb. olduğunu biliyoruz. \(28224\) öğesinin \(10\,000\) ile \(40\,000\) arasında olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, \(\sqrt(28224)\) , \(100\) ile \(200\) arasındadır.
Şimdi sayımızın hangi "onlar" arasında olduğunu belirleyelim (yani \(120\) ile \(130\) arasında). Kareler tablosundan şunu da biliyoruz ki \(11^2=121\) , \(12^2=144\) , vb., sonra \(110^2=12100\) , \(120^2=14400\) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=2250 0 \) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) . Böylece \(28224\) öğesinin \(160^2\) ile \(170^2\) arasında olduğunu görüyoruz. Bu nedenle, \(\sqrt(28224)\) sayısı \(160\) ile \(170\) arasındadır.
Son basamağı belirlemeye çalışalım. Kare alırken sonunda hangi tek basamaklı sayıların verildiğini hatırlayalım \(4\) ? Bunlar \(2^2\) ve \(8^2\) . Bu nedenle, \(\sqrt(28224)\) 2 veya 8 ile bitecek. Bunu kontrol edelim. \(162^2\) ve \(168^2\) öğesini bulun:
\(162^2=162\cnokta 162=26224\)
\(168^2=168\cnokta 168=28224\) .
Dolayısıyla \(\sqrt(28224)=168\) . İşte!
Matematik sınavını yeterince çözmek için her şeyden önce çok sayıda teorem, formül, algoritma vb. Tanıtan teorik materyali incelemek gerekir. İlk bakışta bu oldukça basit görünebilir. Bununla birlikte, matematikte Birleşik Devlet Sınavı teorisinin herhangi bir eğitim düzeyine sahip öğrenciler için kolay ve anlaşılır bir şekilde sunulduğu bir kaynak bulmak aslında oldukça zor bir iştir. Okul ders kitapları her zaman el altında tutulamaz. Ve matematikte sınav için temel formülleri bulmak internette bile zor olabilir.
Sadece sınava girenler için değil de matematikte teori çalışmak neden bu kadar önemli?
- Ufkunuzu genişlettiği için. Matematikte teorik materyal çalışması, dünya bilgisi ile ilgili çok çeşitli sorulara cevap almak isteyen herkes için yararlıdır. Doğada her şey düzenlidir ve net bir mantığı vardır. Bu, dünyayı anlamanın mümkün olduğu bilime yansıyan şeydir.
- Zekayı geliştirdiği için. Matematik sınavı için referans materyalleri incelemek ve çeşitli problemleri çözmenin yanı sıra, kişi mantıklı düşünmeyi ve akıl yürütmeyi, düşünceleri doğru ve net bir şekilde formüle etmeyi öğrenir. Analiz etme, genelleme yapma, sonuç çıkarma yeteneğini geliştirir.
Sizi, eğitim materyallerinin sistematikleştirilmesi ve sunumuna yönelik yaklaşımımızın tüm avantajlarını kişisel olarak değerlendirmeye davet ediyoruz.
sökme zamanı kök çıkarma yöntemleri. Köklerin özelliklerine, özellikle negatif olmayan herhangi bir b sayısı için geçerli olan eşitliğe dayanırlar.
Aşağıda sırasıyla kök çıkarmanın ana yöntemlerini ele alacağız.
En basit durumla başlayalım - bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb. Kullanarak doğal sayılardan kökler çıkarmak.
Tablolar kareler, küpler vb. elde değilse, kök sayısını basit çarpanlara ayırmayı içeren kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.
Ayrı olarak, tek üslü kökler için mümkün olan üzerinde durmaya değer.
Son olarak, kökün değerinin basamaklarını sırayla bulmanızı sağlayan bir yöntem düşünün.
Başlayalım.
Bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb.
En basit durumlarda, kareler, küpler vb. tabloları köklerin çıkarılmasına izin verir. Bu tablolar nelerdir?
0'dan 99'a (dahil) kadar olan tam sayıların kareler tablosu (aşağıda gösterilmiştir) iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri zemin üzerinde yer alır, belli bir satır ve belli bir sütunu seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı yapmanızı sağlar. Örneğin 8 onluk bir satır ve 3 birimlik bir sütun seçelim, bununla 83 sayısını sabitledik. İkinci bölge masanın geri kalanını kaplar. Hücrelerinin her biri, belirli bir satır ile belirli bir sütunun kesiştiği noktada bulunur ve 0'dan 99'a kadar karşılık gelen sayının karesini içerir. Seçtiğimiz 8 onluk sıra ile birlik sütun 3'ün kesiştiği noktada, 83 sayısının karesi olan 6889 numaralı bir hücre var.
Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar olan sayıların dördüncü güç tabloları vb. kareler tablosuna benzer, yalnızca ikinci bölgede küpler, dördüncü güçler vb. karşılık gelen sayılar.
Kareler, küpler, dördüncü kuvvetler vb. kare kökler, küp kökler, dördüncü kökler vb. ayıklamanıza izin verir. sırasıyla bu tablolardaki sayılardan. Kök çıkarmada uygulamalarının ilkesini açıklayalım.
a sayısı n'inci dereceler tablosunda yer alırken a sayısından n'inci derecenin kökünü çıkarmamız gerekiyor diyelim. Bu tabloya göre b sayısını a=b n olacak şekilde buluyoruz. Daha sonra 
, bu nedenle b sayısı, n'inci derecenin istenen kökü olacaktır.
Örnek olarak, küp tablosu kullanılarak 19683'ün küp kökünün nasıl çıkarıldığını gösterelim. 19 683 sayısını küpler tablosunda buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının bir küpü olduğunu buluyoruz, bu nedenle 
.
Kökleri çıkarırken n'inci dereceden tabloların çok uygun olduğu açıktır. Ancak, genellikle el altında değildirler ve derlenmeleri belirli bir süre gerektirir. Ayrıca, karşılık gelen tablolarda yer almayan sayılardan kök çıkarmak genellikle gereklidir. Bu durumlarda, kökleri çıkarmak için başka yöntemlere başvurmak gerekir.
Kök sayının asal çarpanlara ayrıştırılması
Kökü bir doğal sayıdan çıkarmanın oldukça uygun bir yolu (elbette kök çıkarılırsa), kök sayıyı asal çarpanlara ayrıştırmaktır. Onun özü aşağıdaki gibidir: Bundan sonra, kökün değerini almanızı sağlayan istenen göstergeyle derece olarak temsil etmek oldukça kolaydır. Bu noktayı açıklayalım.
Bir a doğal sayısından n'inci derecenin kökü çıkarılsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda a=bn eşitliği doğrudur. Herhangi bir doğal sayı olarak b sayısı, tüm asal çarpanlarının p 1 , p 2 , …, pm şeklinde p 1 ·p 2 ·…·p m şeklinde temsil edilebilir ve bu durumda a kök sayısı (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Sayının asal çarpanlara ayrışması benzersiz olduğundan, kök sayı a'nın asal çarpanlara ayrışımı (p 1 ·p 2 ·…·p m) n gibi görünecektir, bu da kökün değerini olarak hesaplamayı mümkün kılar.
a kök sayısının çarpanlara ayrılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n şeklinde temsil edilemiyorsa, böyle bir a sayısından n'inci derecenin kökü tam olarak çıkarılamaz.
Örnekleri çözerken bununla ilgilenelim.
Örnek.
144'ün karekökünü alın.
Çözüm.
Önceki paragrafta verilen kareler tablosuna dönersek, 144=12 2 olduğu açıkça görülür, buradan da 144'ün karekökünün 12 olduğu anlaşılır.
Ancak bu noktanın ışığında, 144 kök sayısını asal çarpanlara ayrıştırarak kökün nasıl çıkarıldığı ile ilgileniyoruz. Bu çözüme bir göz atalım.
hadi parçalayalım 144 asal çarpanlara:
Yani 144=2 2 2 2 3 3 . Ortaya çıkan ayrışmaya bağlı olarak, aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Buradan, 
.
Derecenin özellikleri ve köklerin özellikleri kullanılarak, çözüm biraz farklı formüle edilebilir: .
Cevap:
Materyali pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.
Örnek.
Kök değerini hesaplayın.
Çözüm.
243 kök sayısının asal çarpanlarına ayrılması 243=3 5'tir. Böylece, 
.
Cevap:
Örnek.
Kökün değeri bir tamsayı mı?
Çözüm.
Bu soruyu cevaplamak için, kök sayıyı asal çarpanlara ayıralım ve bir tamsayının küpü olarak gösterilip gösterilemeyeceğini görelim.
285 768=2 3 3 6 7 2'ye sahibiz. Ortaya çıkan ayrışma, bir tamsayının küpü olarak temsil edilmez, çünkü asal çarpan 7'nin derecesi üçün katı değildir. Bu nedenle 285.768'in küp kökü tam olarak alınmamıştır.
Cevap:
HAYIR.
Kesirli sayılardan kök çıkarma
Kökün kesirli bir sayıdan nasıl çıkarıldığını anlamanın zamanı geldi. Kesirli kök sayı p/q şeklinde yazalım. Bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlikten şu çıkar kesir kök kuralı: Bir kesrin kökü, payın kökünün paydanın köküne bölümünün bölümüne eşittir.
Bir kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.
Örnek.
25/169 ortak kesrinin karekökü nedir?
Çözüm.
Kareler tablosuna göre, orijinal kesrin payının karekökünün 5 ve paydanın karekökünün 13 olduğunu buluyoruz. Daha sonra 
. Bu, kökün sıradan bir kesirden 25/169 çıkarılmasını tamamlar.
Cevap:
Bir ondalık kesrin veya karışık bir sayının kökü, kök sayıları adi kesirlerle değiştirdikten sonra çıkarılır.
Örnek.
474.552 ondalık sayının küp kökünü alın.
Çözüm.
Orijinal ondalığı ortak bir kesir olarak gösterelim: 474.552=474552/1000 . Daha sonra 
. Ortaya çıkan kesrin payında ve paydasında bulunan küp köklerini çıkarmak için kalır. Çünkü 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 ve 1 000=10 3 , ardından 
Ve 
. Sadece hesaplamaları tamamlamak için kalır 
.
Cevap:
.
Negatif bir sayının kökünü çıkarma
Ayrı olarak, negatif sayılardan kökler çıkarmaya değer. Kökleri incelerken, kökün üssü tek bir sayı olduğunda, kökün işaretinin altında negatif bir sayı olabileceğini söylemiştik. Bu tür gösterimlere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2 n−1 kökünün tek üssü için, 
. Bu eşitlik verir Negatif sayılardan tek kök çıkarma kuralı: Negatif bir sayıdan kökü çıkarmak için, karşıdaki pozitif sayıdan kökü çıkarmanız ve sonucun önüne bir eksi işareti koymanız gerekir.
Örnek bir çözüm düşünelim.
Örnek.
Kök değeri bulun.
Çözüm.
Orijinal ifadeyi, kök işaretinin altında pozitif bir sayı görünecek şekilde dönüştürelim: 
. Şimdi karışık sayıyı sıradan bir kesirle değiştiriyoruz: 
. Sıradan bir kesirden kök çıkarma kuralını uyguluyoruz: 
. Ortaya çıkan kesrin pay ve paydasındaki kökleri hesaplamaya devam ediyor: 
.
İşte çözümün bir özeti: 
.
Cevap:
.
Bitsel Kök Değeri Bulma
Genel durumda, kök altında, yukarıda tartışılan teknikleri kullanarak herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak temsil edilemeyecek bir sayı vardır. Ancak aynı zamanda, belirli bir kökün değerini, en azından belirli bir işarete kadar bilmek gerekir. Bu durumda, kökü çıkarmak için, istenen sayının basamaklarının yeterli sayıda değerini tutarlı bir şekilde elde etmenizi sağlayan bir algoritma kullanabilirsiniz.
Bu algoritmanın ilk adımı, kök değerinin en önemli bitinin ne olduğunu bulmaktır. Bunu yapmak için, kök sayıyı aşan bir sayı elde edilene kadar 0, 10, 100, ... sayıları art arda n kuvvetine yükseltilir. Daha sonra, bir önceki adımda n'nin kuvvetine yükselttiğimiz sayı, karşılık gelen yüksek mertebeyi gösterecektir.
Örneğin, beşin karekökünü çıkarırken algoritmanın bu adımını göz önünde bulundurun. 0, 10, 100, ... sayılarını alıp 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar karelerini alıyoruz. 0 2 = 0 var<5 , 10 2 =100>5 , bu da en önemli basamağın birler basamağı olacağı anlamına gelir. Bu bitin değeri ve daha düşük olanlar, kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.
Algoritmanın aşağıdaki tüm adımları, kökün istenen değerinin sonraki basamaklarının değerlerinin en yüksekten başlayıp en düşüğe doğru hareket etmesi nedeniyle kök değerinin art arda iyileştirilmesini amaçlamaktadır. Örneğin, ilk adımdaki kökün değeri 2 , ikinci - 2.2 , üçüncü - 2.23 , vb. 2.236067977 ... . Bitlerin değerleri nasıl bulunur onu anlatalım.
Bit bulma, olası değerlerinin numaralandırılmasıyla gerçekleştirilir 0, 1, 2, ..., 9 . Bu durumda karşılık gelen sayıların n'inci kuvvetleri paralel olarak hesaplanır ve kök sayı ile karşılaştırılır. Bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, önceki değere karşılık gelen basamağın değeri bulunmuş kabul edilir ve kök çıkarma algoritmasının bir sonraki adımına geçiş yapılır, bu olmazsa bu basamağın değeri 9 .
Beşin karekökünü çıkarma örneğini kullanarak tüm bu noktaları açıklayalım.
İlk olarak, birler basamağının değerini bulun. 5 radikal sayısından daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2 , 1 2 , …, 9 2'yi hesaplayarak 0, 1, 2, …, 9 değerleri üzerinde yineleyeceğiz. Tüm bu hesaplamalar uygun bir şekilde bir tablo şeklinde sunulur: 
Yani birler basamağının değeri 2'dir (çünkü 2 2<5
, а 2 3 >5 ). Onuncu yerin değerini bulmaya geçelim. Bu durumda, elde edilen değerleri kök 5 ile karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız: 
2.2 2'den beri<5
, а 2,3 2 >5 ise onuncu basamağın değeri 2'dir. Yüzde birlik basamağın değerini bulmaya devam edebilirsiniz: 
Böylece beşin kökünün bir sonraki değeri bulunur, 2.23'e eşittir. Ve böylece daha fazla değer bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Malzemeyi birleştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.
İlk olarak, kıdemli basamağı tanımlarız. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. sayıların küplerini alıyoruz. 2,151.186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 = 0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , yani en önemli basamak onlar basamağıdır.
değerini tanımlayalım. 
10 3'ten beri<2 151,186
, а 20 3 >2.151.186, o zaman onlar basamağının değeri 1'dir. Birimlere geçelim. 
Böylece, birler basamağının değeri 2'dir. On numaraya geçelim. 
12.9 3 bile 2 151.186 kök sayısından küçük olduğu için onuncu basamağın değeri 9'dur. Algoritmanın son adımını gerçekleştirmek için kalır, bize kök değerini gerekli doğrulukla verecektir. 
Bu aşamada kökün değeri yüzde bire kadar bulunur: 
.
Bu makalenin sonunda, kök çıkarmanın başka birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda incelediklerimiz yeterlidir.
Kaynakça.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8 hücre için ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Genel Eğitim Kurumları 10-11. Sınıflar İçin Bir Ders Kitabı.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz).
Kare bir arsanın alanı 81 dm²'dir. Onun tarafını bul. Diyelim ki karenin bir kenarının uzunluğu X desimetre. O zaman arsanın alanı X² desimetrekare. Duruma göre bu alan 81 dm² olduğuna göre, X² = 81. Karenin kenar uzunluğu pozitif bir sayıdır. Karesi 81 olan pozitif bir sayı 9 sayısıdır. Problemi çözerken karesi 81 olan x sayısını bulmak yani denklemi çözmek istenmiştir. X² = 81. Bu denklemin iki kökü vardır: X 1 = 9 ve X 2 \u003d - 9, çünkü 9² \u003d 81 ve (- 9)² \u003d 81. Hem 9 hem de - 9 sayılarına 81 sayısının karekökleri denir.
Dikkat edin, kareköklerden biri X= 9 pozitif bir sayıdır. 81'in aritmetik karekökü olarak adlandırılır ve √81 ile gösterilir, dolayısıyla √81 = 9'dur.
Bir sayının aritmetik karekökü A karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır A.
Örneğin, 6 ve -6 sayıları 36'nın kareköküdür. 6 sayısı 36'nın aritmetik kareköküdür, çünkü 6 negatif olmayan bir sayıdır ve 6² = 36'dır. -6 sayısı aritmetik kök değildir.
Bir sayının aritmetik karekökü A aşağıdaki gibi gösterilir: √ A.
İşarete aritmetik karekök işareti denir; A kök ifadesi denir. İfade √ A Okumak bunun gibi: bir sayının aritmetik karekökü A.Örneğin, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Bir aritmetik kökten bahsettiğimizin açık olduğu durumlarda kısaca şöyle derler: "kökün karekökü A«.
Bir sayının karekökünü bulma işlemine karekök alma denir. Bu eylem, kare almanın tersidir.
Herhangi bir sayının karesi alınabilir, ancak her sayının karekökü olamaz. Örneğin, - 4 sayısının karekökünü çıkarmak imkansızdır. Eğer böyle bir kök varsa, o zaman onu harfle belirtmek X, solda negatif olmayan bir sayı ve sağda negatif bir sayı olduğu için yanlış x² \u003d - 4 eşitliğini alırdık.
İfade √ A sadece ne zaman mantıklı bir ≥ 0. Karekökün tanımı kısaca şu şekilde yazılabilir: √ bir ≥ 0, (√A)² = A. Eşitlik (√ A)² = AŞunun için geçerli bir ≥ 0. Böylece, negatif olmayan bir sayının karekökünün olduğundan emin olmak için A eşittir B, yani bu √ A =B, aşağıdaki iki koşulun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir: b ≥ 0, B² = A.
Bir kesrin karekökü
Hesaplayalım. √25 = 5, √36 = 6 olduğuna dikkat edin ve eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin.
Çünkü 
ve , o zaman eşitlik doğrudur. Bu yüzden, 
.
teorem: Eğer A≥ 0 ve B> 0, yani kesrin kökü, payın kökü bölü paydanın köküne eşittir. Aşağıdakileri kanıtlamak gerekir: ve 
.
√'den beri A≥0 ve √ B> 0, ardından .
Bir kesri bir kuvvete yükseltme ve karekökü belirleme özelliği ile 
teorem kanıtlanmıştır. Birkaç örneğe bakalım.
Kanıtlanmış teoreme göre hesaplayın 
.
İkinci örnek: Bunu kanıtlayın 
, Eğer A ≤ 0, B < 0. 
.
Başka bir örnek: Hesapla .
.
Karekök dönüşümü
Çarpanı kökün işaretinin altından çıkarmak. Bir ifade verilsin. Eğer A≥ 0 ve B≥ 0, o zaman çarpımın köküne ilişkin teorem ile şunu yazabiliriz:
Böyle bir dönüşüme kök işaretinin çarpanlarına ayrılması denir. Bir örnek düşünün;
hesapla X= 2. Doğrudan ikame X= 2 radikal ifadesinde karmaşık hesaplamalara yol açar. Bu hesaplamalar, önce kök işaretinin altındaki faktörleri kaldırırsak basitleştirilebilir: . Şimdi x = 2'yi yerine koyarsak: elde ederiz.
Bu nedenle, kök işaretinin altından çarpanı çıkarırken, kök ifadesi, bir veya daha fazla çarpanın negatif olmayan sayıların kareleri olduğu bir çarpım olarak temsil edilir. Daha sonra kök çarpım teoremi uygulanır ve her faktörün kökü alınır. Bir örnek ele alalım: A = √8 + √18 - 4√2 ifadesini ilk iki terimde kök işaretinin altındaki çarpanları çıkararak sadeleştirirsek şunu elde ederiz:. eşitliği vurguluyoruz. 
sadece ne zaman geçerlidir A≥ 0 ve B≥ 0. eğer A < 0, то .
Çoğu zaman, problemleri çözerken, çıkarmamız gereken büyük sayılarla karşı karşıya kalırız. Kare kök. Pek çok öğrenci bunun bir hata olduğuna karar verir ve tüm örneği çözmeye başlar. Hiçbir koşulda bu yapılmamalıdır! Bunun iki nedeni var:
- Büyük sayıların kökleri problemlerde ortaya çıkar. Özellikle metinde;
- Bu köklerin neredeyse sözlü olarak kabul edildiği bir algoritma var.
Bugün bu algoritmayı ele alacağız. Belki bazı şeyler size anlaşılmaz görünecektir. Ancak bu derse dikkat ederseniz, karşı en güçlü silahı alacaksınız. Karekök.
Yani algoritma:
- İstenilen kökü yukarıda ve aşağıda 10'un katları ile sınırlayın. Böylece, arama aralığını 10 sayıya indireceğiz;
- Bu 10 sayıdan kesinlikle kök olamayacakları ayıklayın. Sonuç olarak 1-2 sayı kalacak;
- Bu 1-2 sayıların karesini alın. Karesi orijinal sayıya eşit olan kök olacaktır.
Bu algoritmayı pratikte uygulamadan önce, her bir adıma bakalım.
Kök kısıtlaması
Öncelikle kökümüzün hangi sayılar arasında yer aldığını bulmamız gerekiyor. Sayıların onun katı olması çok arzu edilir:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Bir dizi sayı alıyoruz:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Bu rakamlar bize ne veriyor? Çok basit: sınırlar elde ederiz. Örneğin 1296 sayısını ele alalım. 900 ile 1600 arasındadır. Bu nedenle kökü 30'dan küçük ve 40'tan büyük olamaz:
[Şekil yazısı]
Aynısı, karekökü bulabileceğiniz diğer tüm sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 3364:
[Şekil yazısı]Böylece anlaşılmaz bir sayı yerine orijinal kökün bulunduğu çok özel bir aralık elde ederiz. Aramanın kapsamını daha da daraltmak için ikinci adıma geçin.
Açıkça gereksiz sayıların ortadan kaldırılması
Yani, 10 numaramız var - kök için adaylar. Onları bir sütunda karmaşık düşünme ve çarpma olmadan çok hızlı bir şekilde aldık. Devam etme zamanı.
İster inanın ister inanmayın, şimdi aday sayısını ikiye indireceğiz - ve yine karmaşık hesaplamalar olmadan! Özel kuralı bilmek yeterlidir. İşte burada:
Karenin son basamağı yalnızca son basamağa bağlıdır orijinal numara.
Başka bir deyişle, karenin son basamağına bakmak yeterlidir - ve orijinal sayının nerede bittiğini hemen anlayacağız.
Son sırada olabilecek sadece 10 hane vardır. Kareleri alındığında neye dönüştüklerini bulmaya çalışalım. Tabloya bir göz atın:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Bu tablo kökü hesaplamaya yönelik başka bir adımdır. Gördüğünüz gibi, ikinci satırdaki sayıların beşe göre simetrik olduğu ortaya çıktı. Örneğin:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Gördüğünüz gibi, her iki durumda da son rakam aynıdır. Ve bu, örneğin 3364'ün kökünün mutlaka 2 veya 8 ile bittiği anlamına gelir. Öte yandan, önceki paragraftan kısıtlamayı hatırlıyoruz. Biz:
[Şekil yazısı] Kırmızı kareler bu rakamı henüz bilmediğimizi gösteriyor. Ancak kök 50 ile 60 arasında yer alır ve üzerinde 2 ve 8 ile biten yalnızca iki sayı vardır:
[Şekil yazısı]Bu kadar! Tüm olası köklerden sadece iki seçenek bıraktık! Ve bu en zor durumda çünkü son basamak 5 veya 0 olabilir. Ve sonra kökler için tek aday kalacak!
Son Hesaplamalar
Yani 2 aday sayımız kaldı. Hangisinin kök olduğunu nasıl anlarsınız? Cevap açık: her iki sayının da karesini alın. Karesi olan orijinal sayıyı verecek ve kök olacaktır.
Örneğin 3364 sayısı için iki aday sayı bulduk: 52 ve 58. Karelerini alalım:
52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.
Bu kadar! Kökün 58 olduğu ortaya çıktı! Aynı zamanda hesaplamaları basitleştirmek için toplamın ve farkın karelerinin formülünü kullandım. Bu sayede bir sütundaki sayıları çarpmanıza bile gerek kalmadı! Bu, hesaplamaların başka bir optimizasyon düzeyidir, ancak elbette tamamen isteğe bağlıdır :)
Kök Hesaplama Örnekleri
Teori elbette iyidir. Ama pratikte test edelim.
[Şekil yazısı]
Öncelikle 576 sayısının hangi sayılar arasında olduğunu bulalım:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Şimdi son sayıya bakalım. 6'ya eşittir. Bu ne zaman olur? Yalnızca kök 4 veya 6 ile bitiyorsa. İki sayı elde ederiz:
Her sayının karesini almak ve orijinaliyle karşılaştırmak kalır:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Harika! İlk karenin orijinal sayıya eşit olduğu ortaya çıktı. Yani bu kök.
Görev. Karekökü hesaplayın:
[Şekil yazısı]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Son sayıya bakalım:
1369 → 9;
33; 37.
Karesini alalım:
33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.
İşte cevap: 37.
Görev. Karekökü hesaplayın:
[Şekil yazısı]
Sayıyı sınırlıyoruz:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Son sayıya bakalım:
2704 → 4;
52; 58.
Karesini alalım:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Cevabı aldık: 52. Artık ikinci sayının karesini almanıza gerek kalmayacak.
Görev. Karekökü hesaplayın:
[Şekil yazısı]
Sayıyı sınırlıyoruz:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Son sayıya bakalım:
4225 → 5;
65.
Gördüğünüz gibi ikinci adımdan sonra geriye sadece bir seçenek kalıyor: 65. Bu istenen kök. Ama yine de karesini alalım ve kontrol edelim:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Her şey doğru. Cevabı yazıyoruz.
Çözüm
Ne yazık ki, daha iyisi yok. Nedenlerine bir göz atalım. İki tane var:
- İster GIA ister Birleşik Devlet Sınavı olsun, herhangi bir normal matematik sınavında hesap makinesi kullanmak yasaktır. Ve sınıfa hesap makinesi taşıdıkları için kolayca sınavdan atılabilirler.
- Aptal Amerikalılar gibi olmayın. Kökler gibi olmayanlar - iki asal sayıyı toplayamazlar. Ve kesirleri görünce genellikle histerikleşirler.