Karekök nedir?
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Bu kavram çok basit. Doğal, derdim. Matematikçiler her etki için bir tepki bulmaya çalışırlar. Toplama var, çıkarma var. Çarpma var, bölme var. Kare alma var ... Yani bir de var çıkarma kare kök! Bu kadar. Bu hareket ( karekök alma) matematikte bu simge ile gösterilir:
Simgenin kendisi denir güzel dünya "radikal".
Kök nasıl çıkarılır? dikkate almak daha iyidir örnekler.
9'un karekökü kaçtır? Ve hangi sayının karesi bize 9 verir? 3'ün karesi bize 9 verir! Onlar:
Sıfırın karekökü nedir? Sorun değil! Sıfırın karesi hangi sayıyı verir? Evet, kendisi sıfır veriyor! Araç:
Yakalanmış karekök nedir? Sonra düşünürüz örnekler:
Cevaplar (dağınık): 6; 1; 4; 9; 5.
Karar verilmiş? Gerçekten, çok daha kolay!
Ama... Kökleri olan bir iş gördüğünde insan ne yapar?
Özlemeye başlar insan... Köklerin sadeliğine, hafifliğine inanmaz. biliyormuş gibi görünse de karekök nedir...
Bunun nedeni, bir kişinin kökleri incelerken birkaç önemli noktayı göz ardı etmesidir. Sonra bu geçici hevesler acımasızca sınavlardan ve sınavlardan intikam alıyor ...
Birinci nokta. Kökler görerek tanınmalıdır!
49'un karekökü kaçtır? Yedi? Sağ! Yedi olduğunu nasıl bildin? Yedinin karesini alıp 49 mu elde ettiniz? Sağ! Lütfen bunu not al kökü çıkarmak 49'da ters işlemi yapmak zorunda kaldık - 7. kare! Ve kaçırmadığımızdan emin olun. Ya da özleyebilirler...
Zorluk burada yatıyor kök çıkarma. kare alma herhangi bir sayı sorunsuz bir şekilde mümkündür. Sayıyı bir sütunda kendisiyle çarpın - hepsi bu. Ama için kök çıkarma bu kadar basit ve sorunsuz bir teknoloji yok. hesap vermek toplamak cevaplayın ve kare alarak isabet için kontrol edin.
Bu karmaşık yaratıcı süreç, yani bir yanıt seçmek, eğer Unutma popüler sayıların kareleri. Çarpım tablosu gibi. Diyelim ki 4'ü 6 ile çarpmanız gerekiyorsa - dördü 6 kez eklemiyorsunuz, değil mi? Cevap hemen ortaya çıkıyor 24. Her ne kadar herkesin elinde olmasa da, evet ...
Köklerle özgür ve başarılı bir çalışma için 1'den 20'ye kadar olan sayıların karelerini bilmek yeterlidir. Orası Ve geri. Onlar. hem 11'in karesini hem de 121'in karekökünü kolayca adlandırabilmelisiniz. Bu ezberlemeyi başarmanın iki yolu vardır. Birincisi kareler tablosunu öğrenmek. Bu, örneklerle çok yardımcı olacaktır. İkincisi, daha fazla örnek çözmek. Kareler tablosunu hatırlamak harika.
Ve hesap makinesi yok! Yalnızca doğrulama için. Aksi takdirde sınav esnasında acımasızca yavaşlarsınız...
Bu yüzden, karekök nedir Ve nasıl kökleri ayıklamak- Anlaşılabilir olduğunu düşünüyorum. Şimdi onları NEDEN çıkarabileceğinizi öğrenelim.
İkinci nokta. Kök, seni tanımıyorum!
Hangi sayılardan karekök alabilirsin? Evet, neredeyse herhangi biri. ne olduğunu anlamak daha kolay yasaktır onları ayıklayın.
Bu kökü hesaplamaya çalışalım:
Bunu yapmak için, karesi bize -4 verecek bir sayı almanız gerekiyor. biz seçiyoruz
Ne seçilmedi? 2 2 +4 verir. (-2) 2 tekrar +4 verir! İşte bu kadar... Karesi alındığında bize negatif bir sayı verecek hiçbir sayı yok! Rakamları bilmeme rağmen. Ama sana söylemeyeceğim.) Üniversiteye git ve kendin öğren.
Aynı hikaye herhangi bir negatif sayı ile olacaktır. Dolayısıyla sonuç:
Negatif bir sayının karekök işaretinin altında olduğu bir ifade - mantıklı değil! Bu yasaklanmış bir işlemdir. Sıfıra bölmek kadar yasak. Bu gerçeği aklınızda tutun! Veya başka bir deyişle:
Negatif sayılardan karekök çıkaramazsınız!
Ama geri kalan her şeyden - yapabilirsiniz. Örneğin, hesaplamak mümkündür
İlk bakışta bu çok zor. Kesirleri al, ama karesini al ... Endişelenme. Köklerin özelliklerini ele aldığımızda bu tür örnekler aynı kareler tablosuna indirgenecektir. Hayat daha kolay olacak!
Tamam kesirler. Ama yine de şöyle ifadelerle karşılaşıyoruz:
Önemli değil. Hepsi aynı. İkinin karekökü, karesi alındığında bize ikili verecek sayıdır. Sadece sayı tamamen düzensiz ... İşte burada:
İlginçtir, bu kesir asla bitmez... Bu tür sayılara irrasyonel denir. Kareköklerde bu en yaygın olan şeydir. Bu arada, bu yüzden köklü ifadeler denir. mantıksız. Her zaman böyle sonsuz bir kesir yazmanın sakıncalı olduğu açıktır. Bu nedenle, sonsuz bir kesir yerine şu şekilde bırakırlar:
Örneği çözerken çıkarılamayan bir şeyle karşılaşırsanız, örneğin:
sonra bu şekilde bırakıyoruz. Cevap bu olacak.
Simgelerin altında ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir.
Tabii sayının kökü alınırsa düz, bunu yapmalısınız. Formdaki görevin cevabı, örneğin
oldukça eksiksiz bir cevap.
Ve elbette, yaklaşık değerleri hafızadan bilmeniz gerekir:
Bu bilgi, karmaşık görevlerde durumu değerlendirmek için çok yardımcı olur.
Üçüncü nokta. En kurnaz.
Köklerle çalışmadaki ana kafa karışıklığı tam da bu hevesten kaynaklanıyor. Kendinden şüphe duyan odur ... Bu tuhaflıkla düzgün bir şekilde ilgilenelim!
Başlamak için, dördünün karekökünü tekrar çıkarıyoruz. Ne, seni zaten bu kökle yakaladım mı?) Hiçbir şey, şimdi ilginç olacak!
4'ün karesi hangi sayıyı verir? Şey, iki, iki - Tatmin olmayan cevaplar duyuyorum ...
Sağ. İki. Ama aynı zamanda eksi iki 4'ün karesini verecek... Bu arada cevap
doğru ve cevap
en büyük hata Bunun gibi.
Peki anlaşma nedir?
Nitekim (-2) 2 = 4. Ve karekök dört tanımı altında eksi iki oldukça uygun ... Bu aynı zamanda dördün kareköküdür.
Ancak! Matematik okul dersinde, karekökleri dikkate almak gelenekseldir. sadece negatif olmayan sayılar! Yani sıfır ve hepsi pozitif. Özel bir terim bile icat edildi: numaradan A- Bu negatif olmayan karesi olan sayı A. Aritmetik karekökü çıkarırken negatif sonuçlar basitçe atılır. Okulda, tüm karekökler - aritmetik. Özel olarak belirtilmese de.
Tamam, bu anlaşılabilir. Hiç karışmamak daha iyi olumsuz sonuçlar... Bu henüz bir kafa karışıklığı değil.
Karışıklık, ikinci dereceden denklemleri çözerken başlar. Örneğin, aşağıdaki denklemi çözmeniz gerekiyor.
Denklem basit, cevabı yazıyoruz (öğretildiği gibi):
Bu cevap (bu arada oldukça doğru) sadece kısaltılmış bir gösterimdir. iki Yanıtlar:
Dur dur! Biraz yukarı karekökün bir sayı olduğunu yazdım Her zaman negatif olmayan! Ve işte cevaplardan biri - olumsuz! Düzensizlik. Bu, köklere güvensizliğe neden olan ilk (ama son değil) sorun ... Haydi bu sorunu çözelim. Cevapları (sadece anlamak için!) Şöyle yazalım:
Parantezler cevabın özünü değiştirmez. sadece parantez ile ayırdım işaretler itibaren kök. Şimdi kökün kendisinin (parantez içinde) hala negatif olmayan bir sayı olduğu açıkça görülüyor! Ve işaretler denklemi çözmenin sonucu. Sonuçta, herhangi bir denklemi çözerken şunu yazmalıyız: Tüm x, orijinal denklemde yerine konduğunda doğru sonucu verecektir. Beşin kökü (pozitif!), hem artı hem de eksi içeren denklemimiz için uygundur.
Bunun gibi. Eğer sen sadece karekök al herhangi bir şeyden Her zaman elde etmek negatif olmayan bir sonuç. Örneğin:
Çünkü bu - aritmetik karekök.
Ama eğer karar verirsen ikinci dereceden denklem, tip:
O Her zaman ortaya çıktı iki cevap (artı ve eksi ile):
Çünkü o bir denklemin çözümü.
Umut, karekök nedir Puanlarınızla doğru anladınız. Şimdi geriye köklerle neler yapılabileceğini, özelliklerinin neler olduğunu bulmak kalıyor. Ve geçici hevesler ve su altı kutuları nelerdir ... afedersiniz, taşlar!)
Bütün bunlar - sonraki derslerde.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Kök formüller. kareköklerin özellikleri.
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Bir önceki derste karekökün ne olduğunu bulmuştuk. ne olduğunu anlamanın zamanı geldi kökler için formüller, neler kök özellikleri ve tüm bunlar hakkında ne yapılabilir?
Kök Formülleri, Kök Özellikleri ve Köklü İşlemler İçin Kurallar- temelde aynı şey. için formüller Karekökşaşırtıcı derecede az Hangisi, elbette memnun! Aksine, her türden pek çok formül yazabilirsiniz, ancak köklerle pratik ve kendinden emin çalışma için yalnızca üçü yeterlidir. Diğer her şey bu üçünden akar. Köklerin üç formülünde başıboş olsa da, evet ...
En basitinden başlayalım. İşte burada:
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
sökme zamanı kök çıkarma yöntemleri. Köklerin özelliklerine, özellikle de herhangi bir olmayan için geçerli olan eşitliğe dayanırlar. negatif sayı B.
Aşağıda sırasıyla kök çıkarmanın ana yöntemlerini ele alacağız.
En basit durumla başlayalım - bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb. Kullanarak doğal sayılardan kökler çıkarmak.
Tablolar kareler, küpler vb. elde değilse, kök sayısını basit çarpanlara ayırmayı içeren kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.
Ayrı olarak, tek üslü kökler için mümkün olan üzerinde durmaya değer.
Son olarak, kökün değerinin basamaklarını sırayla bulmanızı sağlayan bir yöntem düşünün.
Başlayalım.
Bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb.
En basit durumlarda, kareler, küpler vb. tabloları köklerin çıkarılmasına izin verir. Bu tablolar nelerdir?
0'dan 99'a (dahil) kadar olan tam sayıların kareler tablosu (aşağıda gösterilmiştir) iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri zemin üzerinde yer alır, belli bir satır ve belli bir sütunu seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı yapmanızı sağlar. Örneğin 8 onluk bir satır ve 3 birimlik bir sütun seçelim, bununla 83 sayısını sabitledik. İkinci bölge masanın geri kalanını kaplar. Hücrelerinin her biri, belirli bir satır ile belirli bir sütunun kesiştiği noktada bulunur ve 0'dan 99'a kadar karşılık gelen sayının karesini içerir. Seçtiğimiz 8 onluk sıra ile birlik sütun 3'ün kesiştiği noktada, 83 sayısının karesi olan 6889 numaralı bir hücre var.
Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar olan sayıların dördüncü güç tabloları vb. kareler tablosuna benzer, yalnızca ikinci bölgede küpler, dördüncü güçler vb. karşılık gelen sayılar.
Kareler, küpler, dördüncü kuvvetler vb. kare kökler, küp kökler, dördüncü kökler vb. ayıklamanıza izin verir. sırasıyla bu tablolardaki sayılardan. Kök çıkarmada uygulamalarının ilkesini açıklayalım.
a sayısı n'inci dereceler tablosunda yer alırken a sayısından n'inci derecenin kökünü çıkarmamız gerekiyor diyelim. Bu tabloya göre b sayısını a=b n olacak şekilde buluyoruz. Daha sonra 
, bu nedenle b sayısı, n'inci derecenin istenen kökü olacaktır.
Örnek olarak, küp tablosu kullanılarak 19683'ün küp kökünün nasıl çıkarıldığını gösterelim. 19 683 sayısını küpler tablosunda buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının bir küpü olduğunu buluyoruz, bu nedenle 
.
Kökleri çıkarırken n'inci dereceden tabloların çok uygun olduğu açıktır. Ancak, genellikle el altında değildirler ve derlenmeleri belirli bir süre gerektirir. Ayrıca, karşılık gelen tablolarda yer almayan sayılardan kök çıkarmak genellikle gereklidir. Bu durumlarda, kökleri çıkarmak için başka yöntemlere başvurmak gerekir.
Kök sayının asal çarpanlara ayrıştırılması
Kökü bir doğal sayıdan çıkarmanın oldukça uygun bir yolu (elbette kök çıkarılırsa), kök sayıyı asal çarpanlara ayrıştırmaktır. Onun özü aşağıdaki gibidir: Bundan sonra, kökün değerini almanızı sağlayan istenen göstergeyle derece olarak temsil etmek oldukça kolaydır. Bu noktayı açıklayalım.
Bir a doğal sayısından n'inci derecenin kökü çıkarılsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda a=bn eşitliği doğrudur. Herhangi bir doğal sayı olarak b sayısı, tüm asal çarpanlarının p 1 , p 2 , …, pm şeklinde p 1 ·p 2 ·…·p m şeklinde temsil edilebilir ve bu durumda a kök sayısı (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Sayının asal çarpanlara ayrışması benzersiz olduğundan, kök sayı a'nın asal çarpanlara ayrışımı (p 1 ·p 2 ·…·p m) n gibi görünecektir, bu da kökün değerini olarak hesaplamayı mümkün kılar.
a kök sayısının çarpanlara ayrılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n şeklinde temsil edilemiyorsa, böyle bir a sayısından n'inci derecenin kökü tam olarak çıkarılamaz.
Örnekleri çözerken bununla ilgilenelim.
Örnek.
144'ün karekökünü alın.
Çözüm.
Önceki paragrafta verilen kareler tablosuna dönersek, 144=12 2 olduğu açıkça görülür, buradan da 144'ün karekökünün 12 olduğu anlaşılır.
Ancak bu noktanın ışığında, 144 kök sayısını asal çarpanlara ayrıştırarak kökün nasıl çıkarıldığı ile ilgileniyoruz. Bu çözüme bir göz atalım.
hadi parçalayalım 144 asal çarpanlara:
Yani 144=2 2 2 2 3 3 . Ortaya çıkan ayrışmaya bağlı olarak, aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Buradan, 
.
Derecenin özellikleri ve köklerin özellikleri kullanılarak, çözüm biraz farklı formüle edilebilir: .
Cevap:
Materyali pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.
Örnek.
Kök değerini hesaplayın.
Çözüm.
243 kök sayısının asal çarpanlarına ayrılması 243=3 5'tir. Böylece, 
.
Cevap:
Örnek.
Kökün değeri bir tamsayı mı?
Çözüm.
Bu soruyu cevaplamak için, kök sayıyı asal çarpanlara ayıralım ve bir tamsayının küpü olarak gösterilip gösterilemeyeceğini görelim.
285 768=2 3 3 6 7 2'ye sahibiz. Ortaya çıkan ayrıştırma, bir tamsayının küpü olarak temsil edilmez, çünkü derece asal çarpan 7, üçün katı değildir. Bu nedenle 285.768'in küp kökü tam olarak alınmamıştır.
Cevap:
HAYIR.
Kesirli sayılardan kök çıkarma
Kökün kesirli bir sayıdan nasıl çıkarıldığını anlamanın zamanı geldi. Kesirli kök sayı p/q şeklinde yazalım. Bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlikten şu çıkar kesir kök kuralı: Bir kesrin kökü, payın kökünün paydanın köküne bölümünün bölümüne eşittir.
Bir kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.
Örnek.
karekökü nedir ortak kesir 25/169 .
Çözüm.
Kareler tablosuna göre, orijinal kesrin payının karekökünün 5 ve paydanın karekökünün 13 olduğunu buluyoruz. Daha sonra 
. Bu, kökün sıradan bir kesirden 25/169 çıkarılmasını tamamlar.
Cevap:
Bir ondalık kesrin veya karışık bir sayının kökü, kök sayıları adi kesirlerle değiştirdikten sonra çıkarılır.
Örnek.
474.552 ondalık sayının küp kökünü alın.
Çözüm.
Orijinali hayal edin ondalık sıradan bir kesir biçiminde: 474.552=474552/1000. Daha sonra 
. Ortaya çıkan kesrin payında ve paydasında bulunan küp köklerini çıkarmak için kalır. Çünkü 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 ve 1 000=10 3 , ardından 
Ve 
. Sadece hesaplamaları tamamlamak için kalır 
.
Cevap:
.
Negatif bir sayının kökünü çıkarma
Ayrı olarak, negatif sayılardan kökler çıkarmaya değer. Kökleri incelerken, kökün üssü tek bir sayı olduğunda, kökün işaretinin altında negatif bir sayı olabileceğini söylemiştik. Bu tür gösterimlere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2 n−1 kökünün tek üssü için, 
. Bu eşitlik verir Negatif sayılardan tek kök çıkarma kuralı: Negatif bir sayıdan kökü çıkarmak için, karşıdaki pozitif sayıdan kökü çıkarmanız ve sonucun önüne bir eksi işareti koymanız gerekir.
Örnek bir çözüm düşünelim.
Örnek.
Kök değeri bulun.
Çözüm.
Orijinal ifadeyi, kök işaretinin altında pozitif bir sayı görünecek şekilde dönüştürelim: 
. Şimdi karışık numara sıradan bir kesirle değiştirin: 
. Sıradan bir kesirden kök çıkarma kuralını uyguluyoruz: 
. Ortaya çıkan kesrin pay ve paydasındaki kökleri hesaplamaya devam ediyor: 
.
İşte çözümün bir özeti: 
.
Cevap:
.
Bitsel Kök Değeri Bulma
Genel durumda, kök altında, yukarıda tartışılan teknikleri kullanarak herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak temsil edilemeyecek bir sayı vardır. Ancak aynı zamanda, belirli bir kökün değerini, en azından belirli bir işarete kadar bilmek gerekir. Bu durumda, kökü çıkarmak için, istenen sayının basamaklarının yeterli sayıda değerini tutarlı bir şekilde elde etmenizi sağlayan bir algoritma kullanabilirsiniz.
ilk adımda bu algoritma kök değerinin en önemli bitinin ne olduğunu bulmanız gerekir. Bunu yapmak için, kök sayıyı aşan bir sayı elde edilene kadar 0, 10, 100, ... sayıları art arda n kuvvetine yükseltilir. Daha sonra, bir önceki adımda n'nin kuvvetine yükselttiğimiz sayı, karşılık gelen yüksek mertebeyi gösterecektir.
Örneğin, beşin karekökünü çıkarırken algoritmanın bu adımını göz önünde bulundurun. 0, 10, 100, ... sayılarını alıp 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar karelerini alıyoruz. 0 2 = 0 var<5 , 10 2 =100>5 , bu da en önemli basamağın birler basamağı olacağı anlamına gelir. Bu bitin değeri ve daha düşük olanlar, kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.
Algoritmanın aşağıdaki tüm adımları, kökün istenen değerinin sonraki basamaklarının değerlerinin en yüksekten başlayıp en düşüğe doğru hareket etmesi nedeniyle kök değerinin art arda iyileştirilmesini amaçlamaktadır. Örneğin, ilk adımdaki kökün değeri 2 , ikinci - 2.2 , üçüncü - 2.23 , vb. 2.236067977 ... . Bitlerin değerleri nasıl bulunur onu anlatalım.
Rakamları bulmak, onları numaralandırarak gerçekleştirilir. olası değerler 0, 1, 2, ..., 9 . Bu durumda karşılık gelen sayıların n'inci kuvvetleri paralel olarak hesaplanır ve kök sayı ile karşılaştırılır. Bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, önceki değere karşılık gelen basamağın değeri bulunmuş kabul edilir ve kök çıkarma algoritmasının bir sonraki adımına geçiş yapılır, bu olmazsa bu basamağın değeri 9 .
Beşin karekökünü çıkarma örneğini kullanarak tüm bu noktaları açıklayalım.
İlk olarak, birler basamağının değerini bulun. 5 radikal sayısından daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2 , 1 2 , …, 9 2'yi hesaplayarak 0, 1, 2, …, 9 değerleri üzerinde yineleyeceğiz. Tüm bu hesaplamalar uygun bir şekilde bir tablo şeklinde sunulur: 
Yani birler basamağının değeri 2'dir (çünkü 2 2<5
, а 2 3 >5 ). Onuncu yerin değerini bulmaya geçelim. Bu durumda, elde edilen değerleri kök 5 ile karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız: 
2.2 2'den beri<5
, а 2,3 2 >5 ise onuncu basamağın değeri 2'dir. Yüzde birlik basamağın değerini bulmaya devam edebilirsiniz: 
Böylece beşin kökünün bir sonraki değeri bulunur, 2.23'e eşittir. Ve böylece daha fazla değer bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Malzemeyi birleştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.
İlk olarak, kıdemli basamağı tanımlarız. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. sayıların küplerini alıyoruz. 2,151.186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 = 0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , yani en önemli basamak onlar basamağıdır.
değerini tanımlayalım. 
10 3'ten beri<2 151,186
, а 20 3 >2.151.186, o zaman onlar basamağının değeri 1'dir. Birimlere geçelim. 
Böylece, birler basamağının değeri 2'dir. On numaraya geçelim. 
12.9 3 bile 2 151.186 kök sayısından küçük olduğu için onuncu basamağın değeri 9'dur. Algoritmanın son adımını gerçekleştirmek için kalır, bize kök değerini gerekli doğrulukla verecektir. 
Bu aşamada kökün değeri yüzde bire kadar bulunur: 
.
Bu makalenin sonunda, kök çıkarmanın başka birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda incelediklerimiz yeterlidir.
Kaynakça.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8 hücre için ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Genel Eğitim Kurumları 10-11. Sınıflar İçin Bir Ders Kitabı.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz).
Pozitif bir sayının negatif olmayan kareköküne ne ad verilir? aritmetik karekök ve kök işareti kullanılarak gösterilir.
Karışık sayılar
Karmaşık sayılar alanı üzerinde, her zaman yalnızca işaret bakımından farklı olan (sıfırın karekökü hariç) iki çözüm vardır. Karmaşık bir sayının kökü genellikle olarak gösterilir, ancak bu notasyon dikkatle kullanılmalıdır. Yaygın hata:
Karmaşık bir sayının karekökünü çıkarmak için, karmaşık sayının üstel gösterimini kullanmak uygundur:
,
,
burada modulonun kökü aritmetik bir değer anlamında anlaşılır ve k k=0 ve k=1 değerlerini alabilir yani cevapta iki farklı sonuç çıkıyor.
genellemeler
Karekökler, formun denklemlerine ve diğer nesnelere çözümler olarak sunulur: matrisler, fonksiyonlar, operatörler, vb. Bu durumda, örneğin süperpozisyon gibi oldukça keyfi çarpma işlemleri kullanılabilir.
Bilgisayar biliminde karekök
İşlevsel düzeydeki birçok programlama dilinde (LaTeX gibi biçimlendirme dillerinin yanı sıra), karekök işlevi şu şekilde gösterilir: sqrt(İngilizceden. kare kök"Kare kök").
Karekökü bulmak için algoritmalar
Verilen bir sayının karekökünü bulma veya hesaplama işlemine ne ad verilir? çıkarma(kare kök.
Taylor serisi açılımı
.aritmetik karekök
Sayıların kareleri için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:
Yani, bir sayının karekökünün tamsayı kısmını, kalan bir sonraki çıkarılan sayıdan küçük veya sıfıra eşit olana kadar tüm tek sayıları ondan sırayla çıkararak ve gerçekleştirilen eylemlerin sayısını sayarak öğrenebilirsiniz. Örneğin, bunun gibi:
3 adım gerçekleştirilen, 9'un karekökü 3'tür.
Bu yöntemin dezavantajı, çıkarılan kök bir tamsayı değilse, o zaman yalnızca tamsayı kısmını bulabilmeniz, ancak daha doğru bir şekilde öğrenememenizdir. Aynı zamanda, bu yöntem, bir karekökün çıkarılmasını gerektiren en basit matematik problemlerini çözen çocuklar için oldukça erişilebilirdir.
Kabaca tahmin
Pozitif bir gerçek sayının kareköklerini hesaplamak için birçok algoritma S bir başlangıç değeri gerektirir. Başlangıç değeri kökün gerçek değerinden çok uzaksa hesaplamalar yavaşlar. Bu nedenle, çok yanlış olabilen ancak hesaplaması kolay olan kaba bir tahmine sahip olmak faydalıdır. Eğer S≥ 1, izin ver D basamak sayısı olacak S ondalık noktanın solunda. Eğer S < 1, пусть D eksi işaretiyle alınan ondalık virgülün sağındaki ardışık sıfırların sayısı olacaktır. O zaman kabaca bir tahmin şuna benzer:
Eğer D garip, D = 2N+ 1, sonra kullanırız 
Eğer D eşit, D = 2N+ 2, sonra kullanırız 
İki ve altı kullanılır çünkü 
Ve
İkili bir sistemde çalışırken (bilgisayarların içindeki gibi), farklı bir tahmin kullanılmalıdır (burada D ikili basamak sayısıdır).
geometrik karekök
Kökü manuel olarak çıkarmak için, sütun bölmesine benzer bir notasyon kullanılır. Kökünü aradığımız sayı yazılır. Sağında, istenen kökün numaralarını yavaş yavaş alacağız. Kök, sonlu sayıda ondalık basamaklı bir sayıdan çıkarılsın. Başlamak için, zihinsel olarak veya etiketlerle, N sayısını ondalık noktanın solunda ve sağında iki basamaklı gruplara ayırırız. Gerekirse, gruplar sıfırlarla doldurulur - tamsayı kısmı solda, kesirli kısım sağda doldurulur. Böylece 31234.567, 03 12 34 olarak gösterilebilir. 56 70. Bölmeden farklı olarak yıkım 2 haneli gruplar halinde yapılır.
Algoritmanın görsel açıklaması:
Öğrenciler her zaman şunu sorar: “Matematik sınavında neden hesap makinesi kullanamıyorum? Hesap makinesi olmadan bir sayının karekökü nasıl çıkarılır? Bu soruyu cevaplamaya çalışalım.
Hesap makinesinin yardımı olmadan bir sayının karekökü nasıl çıkarılır?
Aksiyon karekök çıkarma kare almanın tersi.
√81= 9 9 2 =81
Pozitif bir sayının karekökünü alıp sonucun karesini alırsak aynı sayıyı elde ederiz.
Doğal sayıların tam kareleri olan küçük sayılardan, örneğin 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, sözel olarak karekökler alınabilir. Genellikle okulda yirmiye kadar doğal sayılardan oluşan bir kareler tablosu öğretilir. Bu tabloyu bilerek 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 sayılarından karekök çıkarmak kolaydır. 400'den büyük sayılardan bazı ipuçlarını kullanarak seçim yöntemini kullanarak çıkarabilirsiniz. Bu yöntemi ele almak için bir örnek deneyelim.
Örnek: 676 sayısının kökünü çıkarın.
20 2 \u003d 400 ve 30 2 \u003d 900'ün 20 anlamına geldiğini fark ettik.< √676 < 900.
Doğal sayıların tam kareleri 0 ile biter; 1; 4; 5; 6; 9.
6 sayısı 4 2 ve 6 2 tarafından verilir.
Yani, kök 676'dan alınırsa, o zaman ya 24 ya da 26'dır.
Kontrol etmek için kalır: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Cevap: √676 = 26 .
Daha örnek: √6889 .
80 2 \u003d 6400 ve 90 2 \u003d 8100 olduğundan, 80< √6889 < 90.
9 sayısı 3 2 ve 7 2 ile verilir, bu durumda √6889 83 veya 87'dir.
Kontrol edin: 83 2 = 6889.
Cevap: √6889 = 83 .
Seçim yöntemiyle çözmeyi zor bulursanız, kök ifadeyi çarpanlara ayırabilirsiniz.
Örneğin, √893025'i bul.
893025 sayısını çarpanlarına ayıralım, unutmayın altıncı sınıfta yapmıştınız.
Şunu elde ederiz: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Daha örnek: √20736. 20736 sayısını çarpanlarına ayıralım:
√20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 elde ederiz.
Elbette faktoring, bölünebilme kriterleri hakkında bilgi ve faktoring becerisi gerektirir.
Ve son olarak, var karekök kuralı. Bu kuralı bir örnekle inceleyelim.
Hesapla √279841.
Çok basamaklı bir tam sayının kökünü çıkarmak için, onu sağdan sola doğru her biri 2 basamak içeren yüzlere böleriz (sol uç yüzde bir basamak olabilir). Böyle yaz 27'98'41
Kökün (5) ilk basamağını elde etmek için, ilk sol yüzde (27) bulunan en büyük tam karenin karekökünü alırız.
Daha sonra kökün (25) ilk basamağının karesi birinci yüzden çıkarılır ve sonraki yüz (98) farka atfedilir (yıkılır).
Ortaya çıkan 298 sayısının soluna, kökün çift hanesini (10) yazarlar, daha önce elde edilen sayının onluk sayısını (29/2 ≈ 2) buna bölerler, bölümü test ederler (102 ∙ 2 = 204, 298'den fazla olmamalıdır) ve kökün ilk basamağından sonra (2) yazarlar.
Daha sonra ortaya çıkan bölüm 204, 298'den çıkarılır ve sonraki yön (41) farka (94) atfedilir (yıkılır).
Ortaya çıkan 9441 sayısının soluna kökün rakamlarının çift çarpımını (52 ∙ 2 = 104) yazarlar, 9441 sayısının onluklarının sayısını bu çarpıma bölerler (944/104 ≈ 9), bölümün (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 olması gerektiğini test ederler ve kökün ikinci basamağından sonraya (9) yazarlar.
√279841 = 529 cevabını aldık.
Benzer şekilde ayıklayın ondalık sayıların kökleri. Virgül yüzler arasında olacak şekilde sadece kök sayı yüzlere bölünmelidir.
Örnek. √0.00956484 değerini bulun.
Ondalık kesrin tek sayıda ondalık basamağı varsa, karekökün ondan tam olarak çıkarılmadığını unutmayın.
Şimdi kökü çıkarmanın üç yolunu gördünüz. Size en uygun olanı seçin ve uygulayın. Sorunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek için onları çözmeniz gerekir. Herhangi bir sorunuz varsa, derslerime kaydolun.
site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.