n1.doc
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОШИБОК
Абсолютная и относительная ошибки
Никакую физическую величину невозможно измерить абсолютно точно: как бы тщательно не был поставлен опыт, измеренное значение величины х будет отличаться от ее истинного значения Х . Разница между этими значениями представляет собой абсолютную ошибку (или абсолютную погрешность * ) измерения х :
х = х – Х . (1)
Абсолютная погрешность является размерной величиной: она выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина (например, абсолютная погрешность измерения длины выражается в метрах, силы тока – в амперах и т.д.). Как следует из выражения (1), х может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
Хотя величина х показывает, насколько измеренное значение отличается от истинного, одной лишь абсолютной ошибкой нельзя полностью характеризовать точность проделанного измерения. Пусть, например, известно, что абсолютная погрешность измерения расстояния равна 1 м . Если измерялось расстояние между географическими пунктами (порядка нескольких километров), то точность такого измерения следует признать весьма высокой; если же измерялись размеры помещения (не превышающие десятка метров), то измерение проведено очень грубо. Для характеристики точности существует понятие относительной ошибки (или относительной погрешности ) Е , представляющей собой отношение модуля абсолютной ошибки к измеряемой величине:
Очевидно, что относительная погрешность – величина безразмерная; чаще всего ее выражают в процентах.
При определении ошибок измерений важно иметь в виду следующее. Выражения (1) и (2) содержат истинное значение измеряемой величины Х
, которое точно знать невозможно – поэтому значения х
и Е
в принципе не могут быть рассчитаны точно. Можно лишь оценить
эти значения, т.е. найти их приближенно с той или иной степенью достоверности. Поэтому все расчеты, связанные с определением погрешностей, должны носить приближенный (оценочный) характер.
Случайная и приборная погрешности
Разнообразные ошибки, возникающие при измерениях, можно классифицировать как по их происхождению, так и по характеру их проявления.
По своему происхождению ошибки делятся на инструментальные и методические.
Инструментальные погрешности обусловлены несовершенством применяемых измерительных приборов и приспособлений. Эти погрешности могут быть уменьшены за счет применения более точных приборов. Так, размер детали можно измерить линейкой или штанген-циркулем. Очевидно, что во втором случае ошибка измерения меньше, чем в первом.
Методические погрешности возникают из-за того, что реальные физические процессы всегда в той или иной степени отличаются от их теоретических моделей. Например, формула для периода колебаний математического маятника в точности верна лишь при бесконечно малой амплитуде колебаний; формула Стокса, определяющая силу трения при движении шарика в вязкой жидкости, справедлива только в случае идеально сферической формы, и т.д. Обнаружить и учесть методическую погрешность можно путем измерения той же величины совершенно иным независимым методом.
По характеру проявления ошибки бывают систематические и случайные.
Систематическая погрешность может быть обусловлена как приборами, так и методикой измерения. Она имеет две характерные особенности. Во-первых, систематическая погрешность всегда либо положительна, либо отрицательна, и не меняет своего знака от опыта к опыту. Во-вторых, систематическую погрешность нельзя уменьшить за счет увеличения числа измерений. Например, если в отсутствие внешних воздействий стрелка измерительного прибора показывает величину х 0 , отличную от нуля, то во всех дальнейших измерениях будет присутствовать систематическая ошибка, равная х 0 .
Случайная ошибка также может быть как инструментальной, так и методической. Причину ее появления установить трудно, а чаще всего – невозможно (это могут быть различные помехи, случайные толчки, вибрации, неверно взятый отсчет по прибору и т.д.). Случайная погрешность бывает и положительной и отрицательной, причем непредсказуемо изменяет свой знак от опыта к опыту. Значение ее можно уменьшить путем увеличения числа измерений.
Детальный анализ погрешностей измерения представляет собой сложную задачу, для решения которой не существует единого рецепта. Поэтому в каждом конкретном случае этот анализ проводят по-разному. Однако, в первом приближении, если исключена систематическая ошибка, то остальные можно условно свести к следующим двум видам: приборная и случайная.
Приборной
погрешностью в дальнейшем будем называть случайную ошибку, обусловленную измерительными приборами и приспособлениями, а случайной
– ошибку, причина появления которой неизвестна. Приборную погрешность измерения величины х
будем обозначать как
х
, случайную – как s
x
.
Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал
Методика оценки случайной погрешности основана на положениях теории вероятностей и математической статистики. Оценить случайную ошибку можно только в том случае, когда проведено неоднократное измерение одной и той же величины.
Пусть в результате проделанных измерений получено п
значений величины х
: х
1 , х
2 , …, х
п
. Обозначим через 
среднеарифметическое значение
. (3)
В теории вероятностей доказано, что при увеличении числа измерений п среднеарифметическое значение измеряемой величины приближается к истинному:
При небольшом числе измерений (п 10) среднее значение может существенно отличаться от истинного. Для того, чтобы знать, насколько точно значение характеризует измеряемую величину, необходимо определить так называемый доверительный интервал полученного результата.
Поскольку абсолютно точное измерение невозможно, то вероятность правильности утверждения “величина х имеет значение, в точности равное
” равна нулю. Вероятность же утверждения “величина х имеет какое-либо значение
” равна единице (100%). Таким образом, вероятность правильности любого промежуточного утверждения лежит в пределах от 0 до 1. Цель измерения – найти такой интервал, в котором с наперед заданной вероятностью
(0 доверительным интервалом
, а неразрывно связанная с ним величина
– доверительной вероятностью
(или коэффициентом надежности
). За середину интервала принимается среднее значение, рассчитанное по формуле (3). Половина ширины доверительного интервала представляет собой случайную погрешность s
x
(рис. 1).
Рис.1 (см. конец файла)
На рис. 1, а, б
наглядно показано, что при прочих равных условиях для увеличения вероятности попадания истинного значения в доверительный интервал необходимо увеличить ширину последнего (вероятность “накрывания” значения Х
более широким интервалом выше). Следовательно, величина t
n
,
должна быть тем больше, чем выше доверительная вероятность
.
Очевидно, что ширина доверительного интервала (а следовательно, и ошибка s x ) зависит от того, насколько сильно отличаются отдельные измерения величины х i от среднего значения . “Разброс” результатов измерений относительно среднего характеризуется среднеквадратичной ошибкой , которую находят по формуле
, (4)
где 
.
Ширина искомого доверительного интервала прямо пропорциональна среднеквадратичной ошибке:
. (5)
Коэффициент пропорциональности t n , называется коэффициентом Стьюдента ; он зависит от числа опытов п и доверительной вероятности .
С увеличением количества опытов среднее значение становится ближе к истинному; поэтому при той же вероятности доверительный интервал можно взять более узким (см. рис. 1, а,в ) – таким образом, с ростом п коэффициент Сьюдента должен уменьшаться.
Таблица значений коэффициента Стьюдента в зависимости от п и дана в приложении к настоящему пособию.
Следует отметить, что доверительная вероятность никак не связана с точностью результата измерений. Величиной
задаются заранее, исходя из требований к их надежности. В большинстве технических экспериментов и в лабораторном практикуме значение
принимается равным 0,95.
Расчет случайной погрешности измерения величины х
проводится в следующем порядке:
1) вычисляется сумма измеренных значений, а затем – среднее значение величины по формуле (3);
2) для каждого i -го опыта рассчитываются разность между измеренным и средним значениями , а также квадрат этой разности (отклонения) ( х i ) 2 ;
3) находится сумма квадратов отклонений, а затем – средне-квадратичная ошибка по формуле (4);
4) по заданной доверительной вероятности и числу проведенных опытов п из табл. П-1 приложения выбирается соответствующее значение коэффициента Стьюдента t n , и определяется случайная погрешность s x по формуле (5).
Для удобства расчетов и проверки промежуточных результатов данные заносятся в таблицу, образец которой дан ниже.
Таблица 1
| Номер опыта | … | х | х | ( х ) 2 |
| 1 | … | |||
| 2 | … | |||
| … | … | |||
| П | … | |||
| = | = |
В каждом конкретном случае величина х
имеет определенный физический смысл и соответствующие единицы измерения. Это может быть, например, ускорение свободного падения g
(м/с
2), коэффициент вязкости жидкости
(Па
с
) и т.д. Пропущенные столбцы табл. 1 могут содержать промежуточные измеряемые величины, необходимые для расчета соответствующих значений х
.
Пример 1.
Для определения ускорения а
движения тела измерялось время t
прохождения им пути S
без начальной скорости. Используя известное соотношение 
, получим расчетную формулу
. (6)
Результаты измерений пути S и времени t приведены во втором и третьем столбцах табл. 2. Проведя вычисления по формуле (6), заполним
четвертый столбец значениями ускорения a
i
и найдем их сумму, которую запишем под этим столбцом в ячейку “ = ”. Затем рассчитаем среднее значение 
по формуле (3):
.
Таблица 2
| Номер опыта | S, м
| t, c
| а, м/с
2 | а, м/с
2 | (а ) 2 , (м/с
2) 2 |
| 1 | 5 | 2,20 | 2,07 | 0,04 | 0,0016 |
| 2 | 7 | 2,68 | 1,95 | -0,08 | 0,0064 |
| 3 | 9 | 2,91 | 2,13 | 0,10 | 0,0100 |
| 4 | 11 | 3,35 | 1,96 | -0,07 | 0,0049 |
| = | 8,11 | = | 0,0229 |
Вычитая из каждого значения a i среднее, найдем разности a i и занесем их в пятый столбец таблицы. Возводя эти разности в квадрат, заполним последний столбец. Затем рассчитаем сумму квадратов отклонений и запишем ее во вторую ячейку “ = ”. По формуле (4) определим среднеквадратичную погрешность:
.
Задавшись величиной доверительной вероятности = 0,95, для числа опытов п = 4 из табл. П-1 приложения выбираем значение коэффициента Стьюдента t n , = 3,18; наконец, с помощью формулы (5) оценим случайную погрешность измерения ускорения
s а = 3,180,0437 0,139 (м/с 2 ) .
Способы определения приборных ошибок
Основными характеристиками измерительных приборов являются предел измерения и цена деления, а также – главным образом, для электро-измерительных приборов – класс точности.
Предел измерения П
– это максимальное значение величины, которое может быть измерено с помощью данной шкалы прибора. Если предел измерения не указан отдельно, то его определеяют по оцифровке шкалы. Так, если рис. 2 изображает шкалу миллиамперметра, то его предел измерения равен 100 мА
.
Рис.2
Цена деления Ц
– значение измеряемой величины, соответствующее самому малому делению шкалы. Если шкала начинается с нуля, то
,
где N – общее количество делений. Например, на рис. 2 N = 50. Если эта шкала принадлежит амперметру с пределом измерения 5 А , то цена деления равна 5/50 = 0,1 (А ). Если шкала принадлежит термометру и проградуирована в С , то цена деления Ц = 100/50 = 2 (С ). Многие электроизмерительные приборы имеют несколько пределов измерения. При переключении их с одного предела на другой изменяется и цена деления шкалы.
Класс точности К представляет собой отношение абсолютной приборной погрешности к пределу измерения шкалы, выраженное в процентах:
. (7)
Значение класса точности (без символа “%”) указывается, как правило, на электроизмерительных приборах.
В зависимости от вида измерительного устройства абсолютная приборная погрешность определяется одним из нижеперечисленных способов.
1. Погрешность указана непосредственно на приборе. Так, на микрометре есть надпись “0,01 мм”. Если с помощью этого прибора измеряется, например, диаметр шарика D (лабораторная работа 1.2), то погрешность его измерения D = 0,01 мм . Абсолютная ошибка указывается обычно на жидкостных (ртутных, спиртовых) термометрах, штангенциркулях и др.
2. На приборе указан класс точности. Согласно определению этой величины, из формулы (7) имеем:
. (8)
Например, для вольтметра с классом точности 2,5 и пределом измерения 600 В абсолютная приборная ошибка измерения напряжения
.
3. Если на приборе не указаны ни абсолютная погрешность, ни класс точности, то в зависимости от характера работы прибора возможны два способа определения величины х :
а) указатель значения измеряемой величины может занимать только определенные (дискретные) положения, соответствующие делениям шкалы (например, электронные часы, секундомеры, счетчики импульсов и т.п.). Такие приборы являются приборами дискретного действия , и их абсолютная погрешность равна цене деления шкалы: х = Ц . Так, при измерении промежутка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с погрешность t = 0,2 с ;
б)
указатель значения измеряемой величины может занимать любое положение на шкале (линейки, рулетки, стрелочные весы, термометры и т.п.). В этом случае абсолютная приборная погрешность равна половине цены деления:
х
= Ц
/2. Точность снимаемых показаний прибора не должна превышать его возможностей. Например, при показанном на рис. 3 положении стрелки прибора следует записать либо 62,5 либо 63,0 – в обоих случаях ошибка не превысит половины цены деления. Записи же типа 62,7 или 62,8 не имеют смысла.
Рис.3
4. Если какая-либо величина не измеряется в данном оыте, а была измерена независимо и известно лишь ее значение, то она является заданным параметром
. Так, в работе 2.1 по определению коэффициента вязкости воздуха такими параметрами являются размеры капилляра, в опыте Юнга по интерференции света (работа 5.1) – расстояние между щелями и т.д. Погрешность заданного параметра принимается равной половине единицы последнего разряда числа, которым задано значение этого параметра. Например, если радиус капилляра r
задан с точностью до сотых долей миллиметра, то его погрешность
r
= 0,005 мм
.
Погрешности косвенных измерений
В большинстве физических экспериментов искомая величина и
не измеряется непосредственно каким-либо одним прибором, а рассчитывается на основе измерения ряда промежуточных величин x
,
y
,
z
,…
Расчет проводится по определенной формуле, которую в общем виде можно записать как
и = и (x , y , z ,… ). (9)
В этом случае говорят, что величина и представляет собой результат косвенного измерения в отличие от x , y , z ,… , являющихся результатами прямых измерений . Например, в работе 1.2 коэффициент вязкости жидкости рассчитывается по формуле
, (10)
где ш – плотность материала шарика; ж – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; D – диаметр шарика; t – время его падения в жидкости; l – расстояние между метками на сосуде. В данном случае результатами прямых измерений являются величины l , D и t , а коэффициент вязкости – результат косвенного измерения. Величины ш , ж и g представляют собой заданные параметры.
Абсолютная погрешность косвенного измерения и зависит от погрешностей прямых измерений x , y , z … и от вида функции (9). Как правило, величину и можно оценить по формуле вида
где коэффициенты k x , k y , k z ,… определяются видом зависимостей величины и от x , y , z ,… Приведенная ниже табл. 3 позволяет найти эти коэффициенты для наиболее распространенных элементарных функций (a , b , c , n – заданные константы).
Таблица 3
| и (х ) | k x |
|
|  |
 |  |
 |  |
|
|  |
 |  |
|
| |
На практике зависимость (9) чаще всего имеет вид степенной функции
показатели степеней которой k , m , n ,… – вещественные (положительные или отрицательные, целые или дробные) числа; С – постоянный коэффициент. В этом случае абсолютная приборная погрешность и оценивается по формуле
где 
– среднее значение величины и
; 
– относительные приборные погрешности прямых измерений величин x
, y
, z
,… Для подстановки в формулу (12) выбираются наиболее представительные
, т.е. близкие к средним значения x
, y
, z
,…
При расчетах по формулам типа (12) необходимо помнить следующее.
1. Измеряемые величины и их абсолютные погрешности (например, х и х ) должны быть выражены в одних и тех же единицах.
2. Расчеты не требуют высокой точности вычислений и должны иметь оценочный характер. Так, входящие в подкоренное выражение и возводимые в квадрат величины (kE
x
, mE
y
, nE
z
,…) обычно округляются с точностью до двух значащих цифр (напомним, что ноль является значащей цифрой только тогда, когда перед ним слева есть хотя бы одна цифра, отличная от нуля). Далее, если одна из этих величин (например, | kE
x
|) по модулю превышает наибольшую из остальных (| mE
y
| , | nE
z
| ,…) более чем в три раза, то можно, не прибегая к вычислениям по формуле (12), принять абсолютную ошибку равной 
. Если же одна из них более чем в три раза меньше наименьшей из остальных, то при расчете по формуле (12) ею можно пренебречь.
Пример 2.
Пусть при определении ускорения тела (см. пример 1) путь S
измерялся рулеткой с ценой деления 1 мм
, а время t
– электронным секундомером. Тогда, в соответствии с изложенными в п.3, а
, б
(с. 13) правилами, погрешности прямых измерений будут равны
S = 0,5 мм = 0,0005 м ;
t = 0,01 с .
Расчетную формулу (6) можно записать в виде степенной функции
a (S , t ) = 2S 1 t – 2 ;
тогда, на основании (12), погрешность косвенного измерения ускорения а определится выражением
В качестве наиболее представительных значений измеренных величин возьмем (см. табл. 2) S 8 м ; t 3 с и оценим по модулю относительные приборные ошибки прямых измерений с учетом их весовых коэффициентов:
;
.
Очевидно, что в данном случае величиной E S можно пренебречь и принять погрешность а равной
.
Пример 3.
Вернемся к определению коэффициента вязкости жидкости (работа 1.2). Расчетную формулу (10) можно представить в виде
где 
. Тогда для оценки приборной погрешности
, согласно (12), получим выражение
где 
.
Пусть расстояние между метками l
измерено сантиметровой лентой с ценой деления 0,5 см
, диаметр шарика – микрометром, время его падения – электронным секундомером. Тогда
l
= 0,25 см
;
D
= 0,01 мм
;
t
= 0,01 с
. Предположим, что измеренные значения равны: l
80 c
м
;
D
4 мм
;
t
10 с
; 
Па
с
. Оценим величины, входящие в формулу (13):
Пренебрегая величиной Е t , проведем расчет по формуле (13):
Полная ошибка. Окончательный результат измерений
В результате оценки случайной и приборной ошибок измерения величины х
получено два доверительных интервала, характеризуемые значениями s
x
и
х
. Результирующий доверительный интервал характеризуется полной абсолютной ошибкой
, которая, в зависимости от соотношения между величинами s
x
и
х
, находится следующим образом.
Если одна из погрешностей более чем в три раза превышает другую (например, s x > 3 х ), то полная ошибка принимается равной этой большей величине (в приведенном примере s x ). Если же величины s x и х близки между собой, то полная ошибка вычисляется как
. (14)
Запись окончательного результата измерений должна включать в себя следующие обязательные элементы.
1) Доверительный интервал вида
с указанием значения доверительной вероятности . Величины и выражаются в одних и тех же единицах измерения, которые выносятся за скобку.
2) Значение полной относительной погрешности
,
выраженное в процентах и округленное до десятых долей.
Полная ошибка округляется до двух значащих цифр. Если полученное после округления число оканчивается цифрами 4, 5 или 6, то дальнейшее округление не производится; если же вторая значащая цифра 1, 2, 3, 7, 8 или 9, то значение округляется до одной значащей цифры (примеры: а)
0,2642 0,26; б)
3,177 3,2 3; в)
7,8310 – 7 810 – 7 и т.д.). После этого среднее значение округляется с той же точностью.
Пример 4.
В результате определения ускорения движения тела (примеры 1 и 2) получено среднее значение ускорения = 2,03 м/с
2 , случайная ошибка s
а
=
0,139 м/с
2 с доверительной вероятностью
=
0,95 и приборная ошибка
а
= 0,0136 м/с
2 . Так как
а
более чем в десять раз меньше s
а
, то ею можно пренебречь и принять округленную полную абсолютную погрешность равной s
а
0,14 м/с
2 . Оценим относительную ошибку:
и запишем окончательный результат измерений:
Пример 5. Пусть при определении скорости звука и (лабораторная работа 4.2) получены следующие результаты: среднее значение = 343,3 м/с ; случайная погрешность s и = 8,27 м/с при = 0,90; абсолютная приборная погрешность и = 1,52 м/с . Очевидно, что и в данном случае величиной и можно пренебречь по сравнению с s и , и расчет по формуле (14) не требуется. Полная ошибка после округления равна s и 8 м/с ; округленное среднее значение 343 м/с . Полная относительная погрешность
.
Окончательный результат измерений имеет вид
Пример 6.
При определении длины волны
лазерного излучения (работа 5.1) получено: при
= 0,95;
= 1,8610 - 5 мм
. В данном случае значения приборной и случайной погрешностей близки между собой, поэтому полную ошибку найдем по формуле (14):
Округленное среднее будет равно 
мм
. Оценим полную относительную ошибку
и запишем окончательный результат:
Е = 4,4 %.
Л
Cтраница 1
Абсолютная ошибка определения не превышает 0 01 мкг фосфора. Этот метод был применен нами для определения фосфора в азотной, уксусной, соляной и серной кислотах и ацетоне с предварительным выпариванием их.
Абсолютная ошибка определения составляет 0 2 - 0 3 мг.
Абсолютная ошибка определения цинка в цинк-марганцевых ферритах предложенным методом не превышает 0 2 % отн.
Абсолютная ошибка определения углеводородов С2 - С4, при содержании их в газе 0 2 - 5 0 %, составляет 0 01 - 0 2 % соответственно.
Здесь Ау - - абсолютная ошибка определения г /, которая получается в результате ошибки Да в определении а. Например, относительная ошибка квадрата числа в два раза больше ошибки определения самого числа, а относительная ошибка числа, стоящего под кубическим корнем, составляет просто одну треть от ошибки определения числа.
Более сложные соображения необходимы при выборе меры сравнений абсолютных ошибок определения времени начала аварии TV - Ts, где Tv и Ts - соответственно время восстановленной и реальной аварии. По аналогии здесь может использоваться среднее время добега-ния пика загрязнений от реального сброса до тех точек мониторинга, которые фиксировали аварию за время прохождения загрязнений Tsm. Вычисление достоверности определения мощности аварий основано на расчете относительной ошибки MV - Ms / Мв, где Mv и Ms - соответственно восстановленная и реальная мощности. Наконец, относительная ошибка определения продолжительности аварийного выброса характеризуется величиной rv - rs / re, где rv и rs - соответственно восстановленная и реальная продолжительности аварий.
Более сложные соображения необходимы при выборе меры сравнений абсолютных ошибок определения времени начала аварии TV - Ts, где Tv и Ts - соответственно время восстановленной и реальной аварии. По аналогии здесь может использоваться среднее время добега-ния пика загрязнений от реального сброса до тех точек мониторинга, которые фиксировали аварию за время прохождения загрязнений Tsm. Вычисление достоверности определения мощности аварий основано на расчете относительной ошибки Mv - Ms / Ms, где Mv и Ms - соответственно восстановленная и реальная мощности. Наконец, относительная ошибка определения продолжительности аварийного выброса характеризуется величиной rv - rs / rs, где rv и rs - соответственно восстановленная и реальная продолжительности аварий.
При одной и той же абсолютной ошибке измерения ау абсолютная ошибка определения количества ах уменьшается с увеличением чувствительности метода.
Поскольку в основе ошибок лежат не случайные, а систематические погрешности, итоговая абсолютная ошибка определения присосов может достигать 10 % теоретически необходимого количества воздуха. Только при недопустимо неплотных топках (А а0 25) общепринятый метод дает более или менее удовлетворительные результаты. Описанное хорошо известно наладчикам, которые при сведении воздушного баланса плотных топок нередко получают отрицательные значения присосов.
Анализ погрешности определения величины пэт показал, что она складывается из 4 составляющих: абсолютной ошибки определения массы матрицы, емкости образца, взвешивания, относительной ошибки за счет флуктуации массы образца около равновесного значения.
При соблюдении всех правил отбора, отсчета объемов и анализа газов при помощи газоанализатора ГХП-3 общая абсолютная ошибка определения содержания С02 и О2 не должна превышать 0 2 - 0 4 % истинной их величины.
Из табл. 1 - 3 можно сделать заключение, что используемые нами данные для исходных веществ, взятые из разных источников, имеют сравнительно небольшие различия, которые лежат в пределах абсолютных ошибок определения этих величин.
Случайные ошибки могут быть абсолютными и относительными. Случайную ошибку, имеющую размерность измеряемой величины, называют абсолютной ошибкой определения. Среднее арифметическое значение абсолютных ошибок всех отдельных измерений называют абсолютной ошибкой метода анализа.
Величина допустимого отклонения, или доверительный интервал, устанавливается не произвольно, а вычисляется из конкретных данных измерений и характеристик используемых приборов. Отклонение результата отдельного измерения от истинного значения величины называется абсолютной ошибкой определения или просто ошибкой. Отношение абсолютной ошибки к измеряемой величине называется относительной ошибкой, которую обычно выражают в процентах. Знание ошибки отдельного измерения не имеет самостоятельного значения, и во всяком серьезно поставленном эксперименте должно проводиться несколько параллельных измерений, по которым и вычисляют ошибку эксперимента. Ошибки измерений в зависимости от причин их возникновения делятся на три вида.
Измерением какой-либо величины называется операция, в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за эталон (единицу измерения). Все измерения можно разбить на два типа: прямые и косвенные.
ПРЯМЫЕ это такие измерения, при которых измеряется непосредственно интересующая нас физическая величина (масса, длина, интервалы времени, изменение температуры и т.д.).
КОСВЕННЫЕ это такие измерения, при которых интересующая нас величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, связанных с ней определенной функциональной зависимостью. Например, определение скорости равномерного движения по измерениям пройденного пути промежутка времени, измерение плотности тела по измерениям массы и объема тела и т.д.
Общая черта измерений невозможность получения истинного значения измеряемой величины, результат измерения всегда содержит какую-то ошибку (погрешность). Объясняется это как принципиально ограниченной точностью измерения, так и природой самих измеряемых объектов. Поэтому, чтобы указать, насколько полученный результат близок к истинному значению, вместе с полученным результатом указывают ошибку измерения.
Например, мы измерили фокусное расстояние линзы f и написали, что
f = (256 ± 2) мм (1)
Это означает, что фокусное расстояние лежит в пределах от 254 до 258 мм . Но на самом деле это равенство (1) имеет вероятностный смысл. Мы не можем с полной уверенностью сказать, что величина лежит в указанных пределах, имеется лишь некоторая вероятность этого, поэтому равенство (1) нужно дополнить еще указанием вероятности, с которой это соотношение имеет смысл (ниже мы сформулируем это утверждение точнее).
Оценка ошибок необходима, т.к., не зная, каковы они, нельзя сделать определенных выводов из эксперимента.
Обычно рассчитывают абсолютную и относительную ошибку. Абсолютной ошибкой Δx называется разность между истинным значением измеряемой величины μ и результатом измерения x, т.е. Δx = μ - x
Отношение абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины ε = (μ - x)/μ и называется относительной ошибкой.
Абсолютная ошибка характеризует погрешность метода, который был выбран для измерения.
Относительная ошибка характеризует качество измерений. Точностью измерения называют величину, обратную относительной ошибке, т.е. 1/ε.
§ 2. Классификация ошибок
Все ошибки измерения делятся на три класса: промахи (грубые ошибки), систематические и случайные ошибки.
ПРОМАХ вызван резким нарушением условий измерения при отдельных наблюдениях. Это ошибка, связанная с толчком или поломкой прибора, грубым просчетом экспериментатора, непредвиденным вмешательством и т.д. грубая ошибка появляется обычно не более чем в одномдвух измерениях и резко отличается по величине от прочих ошибок. Наличие промаха может сильно исказить результат, содержащий промах. Проще всего, установив причину промаха, устранить его в процессе измерения. Если в процессе измерения промах не был исключен, то это следует сделать при обработке результатов измерений, использовав специальные критерии, позволяющие объективно выделить в каждой серии наблюдений грубую ошибку, если она имеется.
СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКОЙ называют составляющую погрешности измерений, остающуюся постоянной и закономерно изменяющуюся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические ошибки возникают, если не учитывать, например, теплового расширения при измерениях объема жидкости или газа, производимых при медленно меняющейся температуре; если при измерении массы не принять во внимание действие выталкивающей силы воздуха на взвешиваемое тело и на разновесы и т.д.
Систематические ошибки наблюдаются, если шкала линейки нанесена неточно (неравномерно); капилляр термометра в разных участках имеет разное сечение; при отсутствии электрического тока через амперметр стрелка прибора стоит не на нуле и т.д.
Как видно из примеров, систематическая ошибка вызывается определенными причинами, величина ее остается постоянной (смещение нуля шкалы прибора, неравноплечность весов), либо изменяется по определенному (иногда довольно сложному) закону (неравномерность шкалы, неравномерность сечения капилляра термометра и т.д.).
Можно сказать, что систематическая ошибка это смягченное выражение, заменяющее слова «ошибка экспериментатора».
Такие ошибки возникают из-за того, что:
- неточны измерительные приборы;
- реальная установка в чем-то отличается от идеальной;
- не совсем верна теория явления, т.е. не учтены какие-то эффекты.
Как поступать в первом случае, мы знаем, нужна калибровка или градуировка. В двух других случаях готового рецепта не существует. Чем лучше вы знаете физику, чем больше у вас опыта, тем больше вероятность, что вы обнаружите подобные эффекты, а значит, и устраните их. Общих правил, рецептов для выявления и устранения систематических ошибок нет, но некоторую классификацию можно провести. Выделим четыре типа систематических ошибок.
- Систематические ошибки, природа которых вам известна, а величина может быть найдена, следовательно, и исключена введением поправок. Пример. Взвешивание на неравноплечных весах. Пусть разность длин плеч 0.001 мм . При длине коромысла 70 мм и массе взвешиваемого тела 200 г систематическая ошибка составит 2.86 мг . Систематическую ошибку этого измерения можно устранить, применяя специальные методы взвешивания (метод Гаусса, метод Менделеева и т.д.).
- Систематические ошибки, о которых известно, что величина их не превышает некоторого определенного значения. В
этом случае при записи ответа может быть указано их максимальное значение. Пример.
В паспорте, прилагаемом к
микрометру, написано: «допустимая погрешность составляет ±0.004 мм
. Температура +20 ± 4° C. Это
означает, что, измеряя данным микрометром размеры какого-нибудь тела при указанных в паспорте температурах, мы
будем иметь абсолютную погрешность, не превышающую ± 0.004 мм
при любых результатах измерений.
Часто максимальная абсолютная ошибка, даваемая данным прибором, указывается с помощью класса точности прибора, который изображается на шкале прибора соответствующим числом, чаще всего взятым в кружок.
Число, обозначающее класс точности, показывает максимальную абсолютную ошибку прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения измеряемой величины на верхнем пределе шкалы.
Пусть в измерениях использован вольтметр, имеющий шкалу от 0 до 250 В , класс точности его 1. Это значит, что максимальная абсолютная ошибка, которая может быть допущена при измерении этим вольтметром, будет не больше 1% от наибольшего значения напряжения, которое можно измерить на этой шкале прибора, иначе говоря:
δ = ±0.01·250В = ±2.5В .
Класс точности электроизмерительных приборов определяет максимальную погрешность, величина которой не меняется при переходе от начала к концу шкалы. Относительная ошибка при этом резко меняется, потому приборы обеспечивают хорошую точность при отклонении стрелки почти на всю шкалу и не дают ее при измерениях в начале шкалы. Отсюда следует рекомендация: выбрать прибор (или шкалу многопредельного прибора) так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы.
Если класс точности прибора не указан и нет паспортных данных, то в качестве максимальной ошибки прибора берется половина цены наименьшего деления шкалы прибора.
Несколько слов о точности линеек. Металлические линейки очень точны: миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ±0.05 мм , а сантиметровые не хуже, чем с точностью 0.1 мм . Погрешность измерений, производимых с точностью таких линеек, практически равна погрешности отсчета на глаз (≤0.5 мм ). Деревянными и пластиковыми линейками лучше не пользоваться, их погрешности могут оказаться неожиданно большими.
Исправный микрометр обеспечивает точность 0.01 мм , а погрешность измерений штангенциркулем определяется точностью, с которой может быть сделан отсчет, т.е. точностью нониуса (обычно 0.1 мм или 0.05 мм ).
- Систематические ошибки, обусловленные свойствами измеряемого объекта. Эти ошибки часто могут быть сведены к случайным. Пример. . Определяется электропроводность некоторого материала. Если для такого измерения взят отрезок проволоки, имеющей какой-то дефект (утолщение, трещину, неоднородность), то в определении электропроводности будет допущена ошибка. Повторение измерений дает такое же значение, т.е. допущена некоторая систематическая ошибка. Измерим сопротивление нескольких отрезков такой проволоки и найдем среднее значение электропроводности данного материала, которая может быть больше или меньше электропроводности отдельных измерений, следовательно, ошибки, допущенные в этих измерениях, можно отнести к так называемым случайным ошибкам.
- Систематические ошибки, о существовании которых ничего не известно. Пример. . Определяем плотность какого-либо металла. Вначале находим объем и массу образца. Внутри образца содержится пустота, о которой мы ничего не знаем. В определении плотности будет допущена ошибка, которая повторится при любом числе измерений. Приведенный пример прост, источник погрешности и ее величину можно определить без больших затруднений. Ошибки, такого типа можно выявить с помощью дополнительных исследований, путем проведения измерений совсем другим методом и в других условиях.
СЛУЧАЙНОЙ называют составляющую погрешности измерений, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.
При проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной неизменяющейся величины мы получаем результаты измерений некоторые из них отличаются друг от друга, а некоторые совпадают. Такие расхождения в результатах измерений говорят о наличии в них случайных составляющих погрешности.
Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным.
Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта ошибка в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса повторных измерений относительно истинного значения (рис.14 ).
Если, кроме того, имеется и систематическая ошибка, то результаты измерений будут разбросаны относительно не истинного, а смещенного значения (рис.15 ).
Рис. 14 Рис. 15
Допустим, что при помощи секундомера измеряют период колебаний маятника, причем измерение многократно повторяют. Погрешности пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника все это вызывает разброс результатов повторных измерений и поэтому может быть отнесено к категории случайных ошибок.
Если других ошибок нет, то одни результаты окажутся несколько завышенными, а другие несколько заниженными. Но если, помимо этого, часы еще и отстают, то все результаты будут занижены. Это уже систематическая ошибка.
Некоторые факторы могут вызвать одновременно и систематические и случайные ошибки. Так, включая и выключая секундомер, мы можем создать небольшой нерегулярный разброс моментов пуска и остановки часов относительно движения маятника и внести тем самым случайную ошибку. Но если к тому же мы каждый раз торопимся включить секундомер и несколько запаздываем выключить его, то это приведет к систематической ошибке.
Случайные погрешности вызываются ошибкой параллакса при отсчете делений шкалы прибора, сотрясении фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т.п.
Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяем уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно провести.
Следует иметь в виду, что если случайная погрешность, полученная из данных измерений, окажется значительно меньше погрешности, определяемой точностью прибора, то, очевидно, что нет смысла пытаться еще уменьшить величину случайной погрешности все равно результаты измерений не станут от этого точнее.
Наоборот, если случайная погрешность больше приборной (систематической), то измерение следует провести несколько раз, чтобы уменьшить значение погрешности для данной серии измерений и сделать эту погрешность меньше или одного порядка с погрешностью прибора.
Одним из наиболее важных вопросов в численном анализе является вопрос о том, как ошибка, возникшая в определенном месте в ходе вычислений, распространяется дальше, то есть становится ли ее влияние больше или меньше по мере того, как производятся последующие операции. Крайним случаем является вычитание двух почти равных чисел: даже при очень маленьких ошибках обоих этих чисел относительная ошибка разности может оказаться очень большой. Такая относительная ошибка будет распространяться дальше при выполнении всех последующих арифметических операций.
Одним из источников вычислительных погрешностей (ошибок) является приближенное представление вещественных чисел в ЭВМ, обусловленное конечностью разрядной сетки. Хотя исходные данные представляются в ЭВМ с большой точностью накопление погрешностей округления в процессе счета может привести к значительной результирующей погрешности, а некоторые алгоритмы могут оказаться и вовсе непригодными для реального счета на ЭВМ. Подробнее о представлении вещественных чисел в ЭВМ можно узнать .
Распространение ошибок
В качестве первого шага при рассмотрении такого вопроса, как распространение ошибок, необходимо найти выражения для абсолютной и относительной ошибок результата каждого из четырех арифметических действий как функции величин, участвющих в операции, и их ошибок.
Абсолютная ошибка
Сложение
Имеются два приближения и к двум величинам и , а также соответствующие абсолютные ошибки и . Тогда в результате сложения имеем
.Ошибка суммы, которую мы обозначим через , будет равна
.Вычитание
Тем же путем получаем
.Умножение
При умножении мы имеем
.Поскольку ошибки обычно гораздо меньше самих величин, пренебрегаем произведением ошибок:
.Ошибка произведения будет равна
.Деление
.Преобразовываем это выражение к виду
.Множитель, стоящий в скобках, при можно разложить в ряд
.Перемножая и пренебрегая всеми членами, которые содержат произведения ошибок или степени ошибок выше первой, имеем
.Следовательно,
.Необходимо четко понимать, что знак ошибки бывает известен только в очень редких случаях. Не факт, например, что ошибка увеличивается при сложении и уменьшается при вычитании потому, что в формуле для сложения стоит плюс, а для вычитания - минус. Если, например, ошибки двух чисел имеют противоположные знаки, то дело будет обстоять как раз наоборот, то есть ошибка уменьшится при сложении и увеличится при вычитании этих чисел.
Относительная ошибка
После того, как мы вывели формулы для распространения абсолютных ошибок при четырех арифметических действиях, довольно просто вывести соответствующие формулы для относительных ошибок. Для сложения и вычитания формулы были преобразованы с тем, чтобы в них входила в явном виде относительная ошибка каждого исходного числа.
Сложение
.Вычитание
.Умножение
.Деление
.Мы начинаем арифметическую операцию, имея в своем распоряжении два приближенных значения и с соответствующими ошибками и . Ошибки эти могут быть любого происхождения. Величины и могут быть экспериментальными результатами, содержащими ошибки; они могут быть результатами предварительного вычисления согласно какому-либо бесконечному процессу и поэтому могут содержать ошибки ограничения; они могут быть результатами предшествующих арифметических операций и могут содержать ошибки округления. Естественно, они могут также содержать в различных комбинациях и все три вида ошибок.
Вышеприведенные формулы дают выражение ошибки результата каждого из четырех арифметических действий как функции от ; ошибка округления в данном арифметическом действии при этом не учитывается . Если же в дальнейшем необходимо будет подсчитать, как распространяется в последующих арифметических операциях ошибка этого результата, то необходимо к вычисленной по одной из четырех формул ошибке результата прибавить отдельно ошибку округления .
Графы вычислительных процессов
Теперь рассмотрим удобный способ подсчета распространения ошибки в каком-либо арифметическом вычислении. С этой целью мы будем изображать последовательность операций в вычислении с помощью графа и будем писать около стрелок графа коэффициенты, которые позволят нам сравнительно легко определить общую ошибку окончательного результата. Метод этот удобен еще и тем, что позволяет легко определить вклад любой ошибки, возникшей в процессе вычислений, в общую ошибку.
Рис.1
. Граф вычислительного процесса
На рис.1 изображен граф вычислительного процесса . Граф следует читать снизу вверх, следуя стрелкам. Сначала выполняются операции, расположенные на каком-либо горизонтальном уровне, после этого - операции, расположенные на более высоком уровне, и т. д. Из рис.1, например, ясно, что x и y сначала складываются, а потом умножаются на z . Граф, изображенный на рис.1 , является только изображением самого вычислительного процесса. Для подсчета общей ошибки результата необходимо дополнить этот граф коэффициентами, которые пишутся около стрелок согласно следующим правилам.