Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:
x 1 , x 2 , x 3 , ... x n . (1.4)
Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде
х = ± Δx. (1.5)
Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.
Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде
l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95). (1.6)
Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .
Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку измерений, найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.
Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.
В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой
, (1.7)
где Δx – отклонение от величины истинного значения;
σ – истинная среднеквадратичная ошибка;
σ 2 – дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.
Как видно из формулы, функция y(x)имеет максимальное значение при x=0 , кроме того, она является четной.
| y |
| x |
| Δx 1 |
| Δx 2 |
| -Δx 1 |
| -Δx 2 |
Рис.1.4. Кривая нормального распределения Гаусса.
На рис.1.4 показан график этой функции. Площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx 1 и Δx 2 (заштрихованная площадь) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx 1 ,Δx 2) .
Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки:
(1.8)
где – n число измерений.
Если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению x и измеряемой величины при n → ∞.
Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина
(1.9)
Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ:
σ = lim S.
n → ∞ (1.10)
С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.
Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина
(1.11)
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.
Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:
х = ± Δx. (1.12)
Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.
В 1908 году Уи́льям Си́ли Го́ссет (William Sealy Gosset), известный учёный-статистик, более известный под своим псевдонимом Стьюдент, показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.
Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t. При введении этого коэффициента
Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что
Δx t = · t, (1.13)
где Δx t – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности; – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.
Коэффициенты Стьюдента приведены в приложении 1.
Из сказанного следует:
1. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.
2. При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение х и, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.
Для этого удобнее воспользоваться таблицей приложения 2, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.
Часть коэффициентов Стьюдента, с выделенным столбцом для надежности Р=95% ,приведена в табл.1.6.
Коэффициенты Стьюдента Таблица 1.6
| n Р | 0,9 | 0,95 | 0,999 |
| 6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 | 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 | 636,6 31,6 12,9 8,61 6,37 5,96 5,41 5,04 4,78 | |
| ∞ | 1,96 |
При обработке результатов многократных прямых измерений следующий порядок операций:
1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.
2. Вычислите среднее значение из n измерений
(1.14)
3. Найдите погрешность отдельного измерения
(1.15)
4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений
(Δx 1) 2 , (Δx 2) 2 , ... , (Δx n) 2 . (1.16)
5. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического
. (1.17)
6. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).
7. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.
8. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)
Δx t = · t. (1.18)
Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора Δx п, то в качестве границы доверительного интервала возьмите:
(1.19)
Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую ошибку отбросьте.
9. Окончательный результат запишите в виде
. (1.20)
(1.21)
Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.
Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим , и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты их разности (табл. 1.7).
Таблица 1.7
| n | d, мм | ||
| 4.02 | + 0.01 | 0.0001 | |
| 3.98 | - 0.03 | 0.0009 | |
| 3.97 | - 0.04 | 0.0016 | |
| 4.01 | + 0 .00 | 0.0000 | |
| 4.05 | + 0.04 | 0.0016 | |
| 4.03 | + 0.02 | 0.0004 | |
| Σ | 24.06 | – | 0.0046 |
(1.22)
Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).
Δd = 0.01238 · 2.57 = 0.04 мм . (1.24)
Сравним случайную и систематическую ошибки:
следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить.
Окончательный результат запишем в виде:
d = (4.01 ± 0.04) мм при Р = 0.95. (1.26)
Если измеряемая величина А является функцией нескольких переменных: A = F (x , y ,..., t ), то абсолютная погрешность результата косвенных измерений
(1.29)
Частные относительные погрешности косвенного измерения определяются по формулам
…. и так далее. (1.30)
Относительная погрешность результата измерений
(1.31)
Грубая погрешность (промах) – это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Они, как правило, возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора (его психофизиологического состояния, неверного отсчёта, считывания показаний с соседней шкалы прибора, ошибок в записях или вычислениях, неправильного включения приборов или сбоев в их работе и др.). Возможной причиной возникновения промахов также могут быть кратковременные резкие изменения условий проведения измерений. Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают. Однако чаще всего промахи выявляют только при окончательной обработке результатов измерений с помощью специальных статистических критериев.
В зависимости от причин возникновения различают инструментальные, методические и субъективные погрешности.
Инструментальная погрешность – погрешность, присущая самому средству измерений, т.е. тому прибору или преобразователю, при помощи которого выполняется измерение. Причинами инструментальной погрешности могут быть несовершенство конструкции средства измерений, влияние окружающей среды на его характеристики, деформация или износ деталей прибора и т.п.
Методическая погрешность появляется вследствие несовершенства метода измерения; несоответствия измеряемой величины и её модели, принятой при разработке средства измерения; влияния средства измерений на объект измерения и процессы, происходящие в нём. Отличительной особенностей методических погрешностей является то, что они не могут быть указаны в нормативно-технической документации на средство измерения, поскольку от него не зависят, а должны определяться оператором в каждом конкретном случае.
Субъективная (личная) погрешность измерения обусловлена погрешностью отсчёта оператором показания по шкалам средства измерений, диаграммам регистрирующих приборов. Они вызываются состоянием оператора, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами средства измерений. Характеристики субъективной погрешности определяют на основе нормированной номинальной цены деления шкалы измерительного прибора (или диаграммной бумаги регистрирующего прибора) с учётом способностей "среднего оператора" к интерполяции в пределах деления шкалы. Эти погрешности уменьшаются по мере совершенствования приборов, например: применение светового указателя в аналоговых приборах устраняет погрешность вследствие параллакса (Параллакс (от греч. parállaxis - отклонение), видимое изменение относительных положений предметов вследствие перемещения глаза наблюдателя) применение цифрового отсчёта исключает субъективную погрешность.
Объективная погрешность измерения – погрешность, не зависящая от личных качеств человека, производящего измерение.
По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешности средства измерений.
Основной называется погрешность средства измерений , определяемая в нормальных условиях его применения. Для каждого средства измерений в нормативно-технических документах оговариваются условия эксплуатации – совокупность влияющих величин (температура окружающей среды, влажность, давление, напряжение, частота питающей сети и др.), при которых нормируется его погрешность (влияющая величина – это физическая величина, не измеряемая данным средством измерений, но оказывающая влияние на его результаты).
Дополнительной называется погрешность средства измерений, возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин, т.е. дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора, возникает, если прибор работает в условиях, отличных от нормальных.
В зависимости от характера изменения величины погрешности при изменении измеряемой величины погрешности делятсяна аддитивные и мультипликативные.
Аддитивные погрешности обусловлены смещением статической характеристики прибора вверх или вниз (вправо или влево), например из-за смещения шкалы прибора (дрейфа нуля), трения в опорах и т.д. Аддитивная погрешность не зависит от значения измеряемой величины х, т.е. постоянна по всей шкале прибора.
Аддитивные погрешности преобладают у большинства аналоговых приборов.
Мультипликативные погрешности возникают из-за погрешностей задания передаточного коэффициента k статической характеристики y = kx. Мультипликативная погрешность зависит от значения измеряемой величины и увеличивается к концу шкалы прибора.
Мультипликативная погрешность (при выражении её в виде абсолютной погрешности) пропорциональна значению измеряемой величины.
Мультипликативные погрешности преобладают у приборов, относящихся к масштабирующим преобразователям (шунты, добавочные сопротивления, усилители, делители, трансформаторы и т.п.).
Существуют приборы, у которых аддитивные и мультипликативные погрешности соизмеримы. К этому классу приборов относятся цифровые приборы.
Случайные погрешности измерений возникают вследствие одновременного воздействия на объект измерения нескольких независимых величин, изменения которых носят флуктуационный характер. Определенный вклад в случайную погрешность измерения вносит и случайная погрешность средства измерения.
Будем полагать, что систематическая составляющая погрешности измерения исключена и Случайная погрешность, как случайная величина, полностью
характеризуется плотностью распределения вероятностей (иначе, плотностью вероятности) где функция распределения. Следовательно, определяется не численное значение случайной погрешности, а лишь вероятность того, что она заключена в некотором интервале или не превышает некоторого значения. Если известен закон распределения, то известны и Вероятность нахождения случайной погрешности в заданном интервале от до находится по формуле
Закономерность изменения случайной погрешности можно установить при многократных наблюдениях ее значений и статистической обработке результатов наблюдений.
Рис. 2-1. Плотность вероятности случайных погрешностей при нормальном законе распределения
Эта трудоемкая и кропотливая работа выполняется при точных измерениях и заключается в проверке соответствия полученных данных предполагаемому распределению по некоторому критерию.
Флуктуации влияющих величин также являются случайными и характеризуются своими законами распределения (равномерный, треугольный, нормальный и т. д.). Однако вследствие соизмеримости их дисперсий уже при 4-5 влияющих величинах результирующий закон распределения случайной погрешности измерения удовлетворительно согласуется с нормальным (рис. 2-1).
Функция распределения по нормальному закону
и плотность вероятности
где дисперсия, характеризующая рассеивание случайной погрешности относительно центра распределения, а ее среднеквадратическое отклонение.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение характеризуют точность измерения: чем больше тем меньше точность. В практике измерений преимущественно используется среднеквадратическое отклонение с, так как оно выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина.
Рис. 2-2. Интеграл вероятности
Вероятность появления случайной погрешности в пределах от до в соответствии с формулой
Если ввести нормированную случайную величину правая часть равенства преобразуется в функцию Лапласа, часто называемую интегралом вероятности
Эта функция табулирована, и ее значения приведены, в табл. а график представлен на рис. 2-2.
Если задана некоторая вероятность а то, найдя можно определить При нормальном законе распределения максимальную погрешность Дмакс принимают равной что соответствует вероятности появления погрешности, превышающей Это означает, что в 369 из 370 наблюдений с вероятностью 0,9973 погрешность заключена в интервале ±3а и лишь в одном наблюдении может выйти за его пределы.
Рис. 2-3. Плотность вероятности случайных погрешностей при равномерном законе распределения
Равномерный закон распределения также встречается в измерениях. В частности, он характерен для измерения непрерывных величин методом дискретного счета. Плотность вероятности погрешности в интервале от до (рис. 2-3) записывается в следующем виде;
Следовательно, дисперсия
и среднеквадратическое отклонение
Например, погрешность квантования, которая обычно заключена в пределах единицы младшего разряда (от -1/2 до 1/2), характеризуется среднеквадратическим отклонением
Вернемся к закону нормального распределения. Этот закон характеризуется численными параметрами: математическим ожиданием и дисперсией. Точное определение этих параметров практически невозможно, так как для этого нужно иметь бесконечно большое число значений случайной величины, т. е. выполнить наблюдений при . В практике измерений всегда конечно, поэтому вычисленные в результате эксперимента значения называют
оценками математического ожидания и среднеквадратичен ского отклонения.
Рассмотрим процедуру статистического измерения некоторой величины, истинное значение которой Производят однократных наблюдений, в результате которых получают ряд случайных значений измеряемой величины . В каждом абсолютная погрешность 1-го наблюдения Определить значение этой погрешности невозможно, так как неизвестно.
За оценку математического ожидания (истинного значения) принимают среднее арифметическое значение
которое называют действительным значением А измеряемой величины при
Теперь можно вычислить абсолютное отклонение каждого результата наблюдения относительно среднего значения: Очевидно, что при Для контроля правильности вычислений можно использовать свойства отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического: сумма отклонений равна нулю и сумма их квадратов минимальна:
Оценка среднеквадратического отклонения абсолютных отклонений каждого из однократных наблюдений определяется по формуле
Точность результата измерений будет выше. Она характеризуется оценкой среднеквадратического отклонения среднего арифметического (действительного) значения:
С увеличением числа измерений (при независимых результатах) точность увеличивается пропорционально Казалось бы, что увеличением можно получить любое увеличение точности. Однако здравый смысл и практика измерений подсказывают, что приносит мало пользы, так как сама измеряемая величина может измениться за время измерения.
Доверительный интервал и доверительная вероятность. В результате наблюдений измеряемой величины получаем оценку ее действительного значения А, равного среднему арифметическому X, в соответствии с формулой (2-11). Эта оценка также случайная величина; ее среднеквадратическое отклонение а - определяется по формуле (2-13), т. е. результат измерения содержит неопределенность. Требуется выяснить, в каких пределах может изменяться действительное значение А при повторных измерениях (статистических) величины в одних и тех же условиях, т. е. нужно найти интервал значений, который с заданной вероятностью «накрывает» истинное значение измеряемой величины. Такой интервал называют доверительным, а заданную (установленную) вероятность - доверительной. Доверительный интервал и доверительная вероятность характеризуют неопределенность результата измерения. Аналитически это записывается следующим образом:
Выражение (2-14) читается так: истинное значение измеренной величины заключено в пределах доверительного интервала от до с доверительной вероятностью а.
Аналогично для случайной погрешности
Случайная погрешность измерения заключена в пределах доверительного интервала от до с доверительной вероятностью а.
В зависимости от целей измерения доверительную вероятность устанавливают равной . В выражениях (2-14) и (2-15) доверительные интервалы симметричны. Половину доверительного интервала называют предельной (максимальной, допустимой) погрешностью при доверительной вероятности а. Иногда доверительный интервал несимметричен и имеет вид
Предельную погрешность и доверительный интервал выражают через среднеквадратическое отклонение. Для нормального закона распределения доверительный интервал по заданной доверительной вероятности (и наоборот) определяют при помощи таблицы интеграла вероятности (табл. П4). Задаются доверительной вероятностью например 0,95. По таблице находят и значение которое в данном случае равно 2. Так как то и доверительный интервал
Очевидно, что и доверительный интервал, и доверительная вероятность связаны с числом наблюдений так как Чем больше тем уже интервал. Однако, как уже было сказано выше, в практике измерений встречается редко. Для числа наблюдений доверительный интервал определяется не через а через некоторый коэффициент который зависит от числа наблюдений и доверительной вероятности а. Закон изменения коэффициента определяется распределением Стьюдента нормированной случайной величины вычисленного для с нормальным распределением. Коэффициент определяется с помощью следующей формулы:
это не промахи, т. е. не явные ошибки, допущенные оператором, то необходимо установить, не являются ли они грубыми погрешностями, которые так же нужно исключить из обработки, как и промахи. Исключение грубой погрешности без достаточных оснований приводит к необоснованному улучшению результата измерений. С другой стороны, неисключение грубой погрешности, в особенности при малом числе наблюдений, исказит как действительное значение измеренной величины, так и границы доверительного интервала. Следовательно, грубые погрешности необходимо обнаруживать и исключать.
Простейшим способом обнаружения грубой погрешности при нормальном законе распределения является сравнение абсолютной погрешности «подозрительного» наблюдения с максимальной погрешностью Если то этот результат следует отбросить и вновь вычислить значения Этот способ основан на том, что вероятность появления значения, отклоняющегося от среднего арифметического более чем на равна всего лишь 0,003.
Однако следует помнить, что при небольшом числе наблюдений хотя и с малой вероятностью, но возможно, что отброшенное число является не грубой погрешностью, а естественным статистическим отклонением данной величины. Поэтому в ответственных случаях определение грубой погрешности производится на основе теории вероятности . Устанавливается, при каком числе измерений с заданной вероятностью а можно отбросить результат наблюдения, превышающий заданное число или заданные границы.
Ошибки измерений классифицируют по следующим видам:
Абсолютные и относительные.
Положительные и отрицательные.
Постоянные и пропорциональные.
Грубые, случайные и систематические.
Абсолютная ошибка единичного результата измерения (А y ) определяется как разность следующих величин:
А y = y i - y ист. » y i -`y .
Относительная ошибка единичного результата измерения (В y ) рассчитывается как отношение следующих величин:
Из этой формулы следует, что величина относительной ошибки зависит не только от величины абсолютной ошибки, но и от значения измеряемой величины. При неизменности измеряемой величины (y ) относительную ошибку измерения можно уменьшить только за счет снижения величины абсолютной ошибки (А y ). При постоянстве абсолютной ошибки измерения для уменьшения относительной ошибки измерения можно использовать прием увеличения значения измеряемой величины.
Пример. Допустим, что в магазине торговые весы имеют постоянную абсолютную ошибку измерения массы: A m = 10 г. Если Вы взвесите на таких весах 100 г конфет (m 1), то относительная ошибка измерения массы конфет составит:
.
При взвешивании на этих же весах 500 г конфет (m 2) относительная ошибка будет в пять раз меньше:
.
Таким образом, если Вы будете пять раз взвешивать по 100 г конфет, то вы из-за ошибки измерения массы, из 500 г недополучите суммарно 50 г продукта. При однократном взвешивании большей массы (500 г) Вы потеряете только 10 г конфет, т.е. в пять раз меньше.
Учитывая вышесказанное, можно отметить, что в первую очередь необходимо стремиться к уменьшению относительных ошибок измерения. Абсолютные и относительные ошибки можно рассчитать только после определения среднего арифметического значения результата измерения.
Знак ошибки (положительный или отрицательный) определяется разницей между единичным и фактическим результатом измерения:
y i -`y > 0 (ошибка положительная );
y i -`y < 0 (ошибка отрицательная ).
Если абсолютная ошибка измерения не зависит от значения измеряемой величины, то такая ошибка называется постоянной . В противном случае ошибка будет пропорциональной . Характер ошибки измерения (постоянная или пропорциональная) определяется после проведения специальных исследований.
Грубая ошибка измерения (промах) - это значительно отличающийся от других результат измерения, который обычно возникает при нарушении методики измерения. Наличие грубых ошибок измерения в выборке устанавливается только методами математической статистики (при n>2). С методами обнаружения грубых ошибок познакомьтесь самостоятельно в .
Деление ошибок на случайные и систематические достаточно условно.
К случайным ошибкам относят ошибки, которые не имеют постоянной величины и знака. Такие ошибки возникают под действием следующих факторов: неизвестных исследователю; известных, но нерегулируемых; постоянно изменяющихся.
Случайные ошибки можно оценить только после проведения измерений.
Количественной оценкой модуля величины случайной ошибки измерения могут являться следующие параметры: и др.
Случайные ошибки измерения невозможно исключить, их можно только уменьшить. Один из основных способов уменьшения величины случайной ошибки измерения - это увеличение числа единичных измерений (увеличение величины n). Объясняется это тем, что величина случайных ошибок обратно пропорциональна величине n, например:
Систематические ошибки - это ошибки с неизменными величиной и знаком или изменяющиеся по известному закону. Эти ошибки вызываются постоянными факторами. Систематические ошибки можно количественно оценивать, уменьшать и даже исключать.
Систематические ошибки классифицируют на ошибки I, II и III типов.
К систематическим ошибкам I типа относят ошибки известного происхождения, которые могут быть до проведения измерения оценены путем расчета. Эти ошибки можно исключить, вводя их в результат измерения в виде поправок. Примером ошибки такого типа является ошибка при титрометрическом определении объемной концентрации раствора, если титрант был приготовлен при одной температуре, а измерение концентрации проводилось при другой. Зная зависимость плотности титранта от температуры, можно до проведения измерения рассчитать изменение объемной концентрации титранта, связанное с изменением его температуры, и эту разницу учесть в виде поправки в результате измерения.
Систематические ошибки II типа - это ошибки известного происхождения, которые можно оценить только в ходе эксперимента или в результате проведения специальных исследований. К этому типу ошибок относят инструментальные (приборные), реактивные, эталонные и др. ошибки. Познакомьтесь с особенностями таких ошибок самостоятельно в .
Любой прибор при его применении в процедуре измерения вносит в результат измерения свои приборные ошибки. При этом часть этих ошибок случайная, а другая часть - систематическая. Случайные ошибки приборов отдельно не оценивают, их оценивают в общей совокупности со всеми другими случайными ошибками измерения.
Каждый экземпляр любого прибора имеет свою персональную систематическую ошибку. Для того чтобы оценить эту ошибку, необходимо проводить специальные исследования.
Наиболее надежный способ оценки приборной систематической ошибки II типа - это сверка работы приборов по эталонам. Для мерной посуды (пипеток, бюреток, цилиндров и др.) проводят специальную процедуру - калибровку.
На практике наиболее часто требуется не оценить, а уменьшить или исключить систематическую ошибку II типа. Самыми распространенными методами уменьшения систематических ошибок являются методы релятивизации и рандомизации .Познакомьтесь с этими методами самостоятельно в .
К ошибкам III типа относят ошибки неизвестного происхождения. Эти ошибки можно обнаружить только после устранения всех систематических ошибок I и II типов.
К прочим ошибкам отнесем все другие виды ошибок, не рассмотренные выше (допустимые, возможные предельные ошибки и др.). Понятие возможных предельных ошибок применяется в случаях использования средств измерения и предполагает максимально возможную по величине инструментальную ошибку измерения (реальное же значение ошибки может быть меньше величины возможной предельной ошибки).
При использовании средств измерения можно рассчитать возможные предельные абсолютную (П`y ,пр.) или относительную (Е`y ,пр.) погрешности измерения. Так, например, возможная предельная абсолютная погрешность измерения находится как сумма возможных предельных случайных (x ` y , случ., пр.) и неисключенных систематических (d`y , пр.) ошибок:
П`y ,пр.= x ` y , случ., пр. + d`y , пр.
При выборках малого объема (n £ 20) неизвестной генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному закону распределения, случайные возможные предельные ошибки измерений можно оценить следующим образом:
x ` y
, случ., пр. = D`y
= S `y
½t P, n ½,
где t P,n - квантиль распределения (критерий) Стьюдента для вероятности Р и выборки объемом n. Абсолютная возможная предельная погрешность измерения в этом случае будет равна:
П`y ,пр.= S ` y ½t P, n ½+ d ` y , пр.
Если результаты измерений не подчиняются нормальному закону распределения, то оценка погрешностей проводится по другим формулам.
Определение величины d ` y ,пр. зависит от наличия у средства измерения класса точности. Если средство измерения не имеет класса точности, то за величину d ` y ,пр. можно принять минимальную цену деления шкалы средства измерения . Для средства измерения с известным классом точности за величину d ` y ,пр.можно принять абсолютную допустимую систематическую ошибку средства измерения (d y , доп.):
d ` y ,пр.» .
Величина d y , доп. рассчитывается исходя из формул, приведенных в табл.5.
Для многих средств измерения класс точности указывается в виде чисел а×10 n , где а равно 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 и n равно 1; 0; -1; -2 и т.д., которые показывают величину возможной предельной допускаемой систематической ошибки (Е y , доп.) и специальных знаков, свидетельствующих о ее типе (относительная, приведенная, постоянная, пропорциональная).
Таблица 5
Примеры обозначения классов точности средств измерения
Продолжение табл.5
Окончание табл.5
Систематическими ошибками можно пренебрегать, если выполняется неравенство
В этом случае принимают, что:
П`y , пр.» x `y , случ. , пр. » D`y » S `y ½t P, n ½.
Случайными ошибками можно пренебречь при условии
Для этого случая П`y , пр.» d`y ,пр. .
Увеличение числа единичных измерений является наиболее распространенным методом уменьшения случайных ошибок (что тоже приводит к удорожанию измерений). Увеличивать n целесообразно до тех пор, пока общая погрешность измерения не будет определяться только систематической ошибкой. Минимально необходимое для этого число параллельных измерений (n min) можно рассчитать только при известном значении генеральной совокупности единичных результатов по формуле
.
Если известны составляющие (m - число составляющих) абсолютной систематической ошибки среднего арифметического результата измерения (), то ее можно оценить по формуле
,
где k - коэффициент, определяемый вероятностью Р и числом m.
Оценка погрешностей измерения зависит не только от средства измерения и объема выборки, но и от типа измерения (прямое это измерение или косвенное).
Деление измерений на прямые и косвенные достаточно условно. В дальнейшем под прямыми измерениями будем понимать такие, когда результат измерения получается непосредственно, например считывается со шкалы прибора. К косвенным измерениям будем относить такие, когда результат измерения рассчитывается как функция (j) результатов одного или нескольких прямых измерений (x 1 , x 2 , …, x j,. …, x k).
Необходимо знать, что ошибки косвенных измерений всегда больше, чем ошибки отдельных прямых измерений. Ошибки косвенных измерений оцениваются по соответствующим законам.
Случайные погрешности приводят к тому, что наблюдаемые значения измеряемой величины при многократных измерениях случайным образом рассеяны относительно ее истинного значения. Тогда действительное значение находится как наиболее вероятное из серии опытов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью включает истинное значение. Математическое обоснование этих положений дается в теории вероятностей, применение которой для обработки результатов измерений приведено в литературе , а непосредственное применение к работам физического практикума в литературе .
Очень часто студенты и школьники находят погрешность измерения по формуле
, (6.2)
где - полученное в процессе измерения среднее значение величины, а - значение, взятое из справочника, или рассчитанное из теоретических представлений. Такое определение погрешности является грубой ошибкой, так как целью эксперимента, как было показано выше, является проверка теоретических представлений и уточнение табличных данных.
Кроме того, часто погрешность вычисляется как среднее значение отклонений отдельных результатов измерений от среднего значения по формуле
. (6.3)
Согласно такому подходу, любое значение погрешности появляется одинаково часто, т.е. разные по величине погрешности считаются равновероятными. Этот метод можно использовать в лабораторных работах при малом числе измерений.
Однако случайные погрешности не являются равновероятными. Они требуют для своего определения статистической обработки результатов измерения. Поэтому представляется необходимым рассмотреть содержание статистической обработки результатов измерений. В основе статистической теории погрешностей лежат следующие положения:
1) при большом числе измерений наблюдаются случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т. е. погрешности, как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения, встречаются одинаково часто;
2) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые, т.е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины погрешности;
3) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений.
Распределение случайной величины, которое подчиняется перечисленным свойствам, называется нормальным распределением. Для оценки разбросов отдельных значений случайной величины с нормальным распределением или отдельных отсчетов в теории нормального распределения выбирается выборочное среднее квадратичное отклонение отсчетов, которое вычисляется по формуле:
. (6.4)
Оценка величины погрешности одного измерения, определяемая формулой (6.4) очень важна. Однако для измерения важной задачей является определение, с какой точностью среднее значение измеряемой величины соответствует искомой величине. Эта задача возникает в связи с тем, что среднее значение может быть получено из разных измерений. Например, среднее значение может быть получено при различном числе измерений. Поэтому эмпирическое среднее значение также является случайной величиной, которая также может описываться функцией распределения. Соответствующая этой функции величина среднего квадратичного отклонения определяется, как показано в теории вероятностей по формуле:
(6.5)
Эта величина называется выборочным средним квадратичным отклонением среднего значения илистандартной ошибкой.
Как видно из формулы стандартной ошибки (6.5), она уменьшается с ростом числа измерений и точность результата возрастает, что и соответствует предыдущим рассуждениям.
Рассмотренные выше формулы для определения ошибки измерения используют характеристики нормального распределения случайной величины. Однако неизвестно, по какому закону распределены результаты измерений. Поэтому эти оценки являются приближенными. В связи с этим возникает необходимость анализа этого подхода к определению погрешности измерения. Для такого анализа можно использовать известное в теории вероятностей понятие доверительного интервала. Пусть величина равна вероятности того, что результат измерения – среднее значение – отличается от истинного значения на величину не большую . В теории вероятностей эта фраза записывается следующим образом:
Величина называется доверительной вероятностью (надежностью) результата серии наблюдений. Она показывает вероятность, с которой доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины.
Доверительным интервалом называется интервал значений , который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значение измеряемой величины. Геометрическое представление этого интервала дано на рисунке 1.
Таким образом, для определения случайной погрешности необходимо найти или задать два числа: а именно величину самой случайной погрешности или доверительного интервала и величину доверительной вероятности.
Для любой величины доверительного интервала можно рассчитать доверительную вероятность. Для этого используется функция Лапласа, которая также называется интегралом вероятностей. Функция Лапласа имеет вид:
,
где . Чаще всего, при решении задач используют табличные значения функции Лапласа. Эти значения приведены в таблице 1.
Результаты этой таблицы показывают, что средней квадратичной ошибке соответствует доверительная вероятность 0,68, удвоенной средней квадратичной ошибке 2 соответствует доверительная вероятность 0,95, а утроенной средней квадратичной ошибке 3 – 0,997.
Таблица 1
Доверительные вероятности
для доверительного интервала, выраженного в долях средней квадратичной ошибки
. Функция Лапласа
| 1,2 | 0,77 | 2,6 | 0,990 | ||
| 0,05 | 0,04 | 1,3 | 0,80 | 2,7 | 0,993 |
| 0,1 | 0,08 | 1,4 | 0,84 | 2,8 | 0,995 |
| 0.15 | 0,12 | 1,5 | 0,87 | 2,9 | 0,996 |
| 0,2 | 0,16 | 1,6 | 0,89 | 3,0 | 0,997 |
| 0,3 | 0,24 | 1,7 | 0,91 | 3,1 | 0,9981 |
| 0,4 | 0,31 | 1,8 | 0,93 | 3,2 | 0,9986 |
| 0,5 | 0,38 | 1,9 | 0,94 | 3,3 | 0,9990 |
| 0,6 | 0,45 | 2,0 | 0,95 | 3,4 | 0,9993 |
| 0,7 | 0,51 | 2,1 | 0,964 | 3,5 | 0,9995 |
| 0,8 | 0,57 | 2,2 | 0,972 | 3,6 | 0,9997 |
| 0,9 | 0,63 | 2,3 | 0,978 | 3,7 | 0,9998 |
| 1,0 | 0,68 | 2,4 | 0,984 | 3,8 | 0,99986 |
| 1.1 | 0,73 | 2,5 | 0,988 | 3,9 | 0,99990 |
| 4,0 | 0,99993 |
Случайную погрешность принято определять как полуширину доверительного интервала. Размер доверительного интервала задается в виде значения кратного выборочному среднему квадратичному отклонению среднего значения , которое определяется по формуле (6.5). Тогда случайная погрешность многократных измерений определяется формулой.