Среднее арифметическое значение серии измерений
При увеличении n среднее значение
Формула Гаусса может быть выведена из следующих предположений:
- ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
- при большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
- вероятность, то есть относительная частота появления ошибок, уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки встречаются реже, чем малые.
Нормальный закон распределения описывается следующей функцией:
где σ – средняя квадратичная ошибка; σ2 – дисперсия измерения; Х ист – истинное значение измеряемой величины.
Анализ формулы (1.13) показывает, что функция нормального распределения симметрична относительно прямой X = X ист и имеет максимум при X = Xист. Значение ординаты этого максимума найдем, поставив в правую часть уравнения (1.13) X ист вместо X. Получим
,
откуда следует, что с уменьшением σ возрастает y(X). Площадь под кривой
должна оставаться постоянной и равной 1, так как вероятность того, что измеренное значение величины Х будет заключено в интервале от -∞ до +∞ равно 1 (это свойство называется условием нормировки вероятности).
На рис. 1.1 приведены графики трех функций нормального распределения для трех значений σ (σ 3 > σ 2 > σ 1) и одном Х ист. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины, которая при бесконечно большом количестве измерений (n → ∞) совпадает с ее истинным значением, и дисперсией σ. Величина σ характеризует разброс погрешностей относительно среднего значения принимаемого за истинное. При малых значениях σ кривые идут более круто и большие значения ΔХ менее вероятны, то есть отклонение результатов измерений от истинного значения величины в этом случае меньше.
Для оценки величины случайной ошибки измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или среднеквадратичной ошибки. Иногда применяется средняя арифметическая ошибка.
Стандартная ошибка (среднеквадратическая) среднего в серии из n измерений определяется по формуле:
Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным случайным колебаниям величина Sn стремится к некоторому постоянному значению σ, которое называется статистическим пределом Sn:
Именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Как уже было отмечено выше, квадрат этой величины называется дисперсией измерения, которая входит в формулу Гаусса (1.13).
Величина σ имеет большое практическое значение. Пусть в результате измерений некоторой физической величины нашли среднее арифметическое <Х> и некоторую ошибку ΔX. Если измеряемая величина подвержена случайной ошибке, то нельзя безоговорочно считать, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале (<Х> – ΔХ, <Х> + ΔХ) или (<Х> – ΔХ) < Х < (<Х> + ΔХ)). Всегда существует некоторая вероятность того, что истинное значение лежит за пределами этого интервала.
Доверительным интервалом называется интервал значений (<Х> – ΔХ, <Х> + ΔХ) величины X, в который по определению попадает ee истинное значение Х ист с заданной вероятностью.
Надежностью результата серии измерений называют вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Надежность результата измерения или доверительная вероятность выражается в долях единицы или процентах.
Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем ΔХ. Это принято записывать в виде:
Р((<Х> – ΔХ) < Х < (<Х> + ΔХ)) = α
Выражение (1.16) означает, что с вероятностью, равной α, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от <Х> – ΔХ до <Х> + ΔХ. Чем больше доверительный интервал, то есть чем больше задаваемая погрешность результата измерений ΔХ, тем с большей надежностью искомая величина Х попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа n произведенных измерений. а также от задаваемой погрешности ΔХ.
Таким образом, для характеристики величины случайной ошибки, необходимо задать два числа, а именно:
- величину самой ошибки (или доверительный интервал);
- величину доверительной вероятности (надежности).
Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.
Необходимая степень надежности задается характером проводимых изменений. Средней квадратичной ошибке S n соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной ошибке (2σ) – доверительная вероятность 0.95, утроенной (3σ) – 0.997.
Если в качестве доверительного интервала выбран интервал (X – σ, X + σ), то мы можем сказать, что из ста результатов измерений 68 будут обязательно находиться внутри этого интервала (рис. 1.2). Если при измерении абсолютная погрешность ∆Х > 3σ, то это измерение стоит отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3σ обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3σ берут абсолютную погрешность измерительного прибора).
Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проведены и их результаты сведены в табл. 1.1.
Доверительные вероятности α для доверительного интервала, выраженного а долях средней квадратичной ошибки ε = ΔX/σ.
Cтраница 1
Средняя арифметическая погрешность ft вычисляется для проверки - наличия систематических погрешностей. Если при вычислении ft по обеим формулам (7) и (7а) получаются значительно расходящиеся результаты, есть основание предполагать наличие систематических погрешностей.
Средняя арифметическая погрешность вычисляется при ответственных измерениях, когда предполагается наличие систематических погрешностей.
Средняя арифметическая погрешность Истинное значение А измеряемой величины почти всегда неизвестно, и поэтому определить погрешность каждого отдельного измерения по разности (2.1) не представляется возможным.
Однако средняя арифметическая погрешность недостаточно полно отражает влияние больших по величине погрешностей на точность результата измерений. Современная теория показывает, что более точной оценкой является так называемая средняя квадратичная погрешность.
Преимуществом средней арифметической погрешности г является простота ее вычисления. Все же в большинстве случаев чаще применяется S, чем г потому, что S является эффективной оценкой дисперсии.
Характеристиками рассеяния являются средняя арифметическая погрешность, средняя квадратическая погрешность, размах результатов измерений. Поскольку рассеяние носит вероятностный характер, то при указании на значения случайной погрешности задают вероятность.
Формула (6) показывает, что средняя арифметическая погрешность может быть вычислена по результатам измерений без возведения в квадрат остаточных погрешностей.
Узкие вертикальные овалы около кружков изображают величины средних арифметических погрешностей определения ординат точек.
Характеристикой рассеяния результатов измерений данного ряда может служить также средняя арифметическая погрешность (по абсолютному значению) и размах показаний.
Отбраковке подлежат те значения p / z, для которых величина погрешности больше или равна утроенному значению средней арифметической погрешности. Проведенные по изложенной методике расчеты не выявили необходимости осуществления отбраковки исходных данных для рассматриваемых месторождений.
Формулы второй группы однопараметрические и позволяют оценить РК, когда отсутствуют результаты термодинамического исследования газоконденсатной системы. Средние арифметические погрешности расчетов по формулам третьей группы мало отличаются друг от друга. Точность формул (III.116) - (III.118) невелика, они дают уменьшение погрешности при расчете всего на 3 - 16 % от среднего арифметического приближения рк. Формулы (III.119) и (III.120) практически не уменьшают начальное среднее квадратичное отклонение.
Для оценки точности измерения теория случайных погрешностей включает еще так называемые вероятную погрешность g и среднюю арифметическую погрешность § ряда измерений.
Предположим теперь, что в рассматриваемом ряду отсутствует 2 - е измерение (271 3), давшее Наибольшее отклонение (и - 6 3) от среднего арифметического. Сравнивая эти две последние цифры со значениями аналогичных погрешностей для первого примера, замечаем, что средняя арифметическая погрешность ряда значительно менее чувствительна к наличию в ряду отдельных больших погрешностей, чам средняя квадратичная погрешность а. В этом заключается существенный недостаток оценки надежности измерений методом средней арифметической погрешности ряда. Поэтому, несмотря на преимущество простоты, метод средней арифметической погрешности применяется сравнительно редко.
Пусть измеряемая имеет известное значение величина X . Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x 1 , x 2 ,… xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X . Тогда величина будет являться абсолютной погрешностью i -го измерения. Но поскольку истинное значение результата X , как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое , которое рассчитывают по формуле:
 |
Однако при малых объемах выборки вместо
предпочтительнее пользоваться медианой
. Медианой (Ме)
называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая большее, чем Ме
. Для вычисления Ме
результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда. Например,
для n=3
Для четных n, значение Ме
равно полусумме значений двух средних результатов. Например,
для n=4
Для расчета s
пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком.
При очень большом числе выборки (n
>) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса. При малых n
распределение может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t
-распределением. Существует некоторый коэффициент t
, называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f
) и доверительной вероятности (Р
) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата определяется по формуле:
Величина является доверительным интервалом среднего значения . Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.
Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t )
f |
||||
Пример 1.
Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа
По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t =2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.
Пример 2.
Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности.
Решение. КоэффициентСтьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен 2,31. Учитывая, что
и , найдем:
- ширина доверит. интервала для среднего значения
- ширина доверит. интервала для единичного измерения значения
Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s . Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в виде таблицы:
Номер |
Номер анализа |
||
Погрешность - отклонение результата измерений от истинного значения измеряемой величины. В зависимости от различных признаков погрешности классифицируют на виды (рис. 2.9).
Абсолютная погрешность () - погрешность, представленная разностью между измеренным () и истинным (действительным) значением и выраженная в единицах измеряемой величины
Относительная погрешность () - погрешность, представленная отношением абсолютной погрешности к истинному (действительному) значению измеряемой величины и выражаемая в процентах
Приведенная погрешность () - отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению ().
Нормирующее значение принимается равным верхнему пределу измерений при наличии нулевого значения односторонней шкалы прибора или диапазону измерений в случае двухзначной шкалы прибора.
Систематическая погрешность - погрешность, остающаяся постоянной при повторных измерениях или изменяющаяся закот номерно.
Постоянные систематические погрешности обычно свидетельствуют о высоких или недостаточных показателях метрологической надежности средств измерений, могут быть установлены и устранены Иногда для устранения систематических погрешностей вводят таблицу поправок.
Закономерно возникающие систематические погрешности вызываются процессами старения средств измерений, так как происходят процессы стирания поверхностей, окисление и т.п. Наличие таких погрешностей и обуславливает необходимость поверки и калибровки средств измерений
Случайная погрешность - погрешности, изменяющиеся при повторных измерениях случайным образом. Эти погрешности непредсказуемы, поэтому неизмеримы и неустранимы Однако их влияние можно уменьшить путем многократных измерений с последующим определением характеристик случайной погрешности методами математической статистики. Близость к нулю случайных погрешностей называется сходимостью измерений.
Статические погрешности - погрешность средств измерений, когда измеряемая величина во время измерений не изменяется. Предполагается, что в этом случае не изменяется и действительное значение измеряемой величины, а абсолютная погрешность остается постоянной.
Динамическая погрешность - погрешность средств измерений, когда измеряемая величина по время измерения изменяется. Например, при измерении температуры термометром должно пройти время, чтобы ртуть изменила свою температуру, а столбик ртути дошел до соответствующей отметки на шкале. Если за это время температура измеряемого объекта изменится, возникнет динамическая погрешность.
Устранимые погрешности - систематические погрешности, которые могут быть выявлены и устранены. К неустранимым относятся систематические и случайные погрешности, но определенная часть случайных погрешностей неустранима, отсюда случайность любого результата измерений.
Основные погрешности - погрешности, соответствующие нормальным условиям применения средств измерения. Эти условия устанавливаются нормативными документами на виды средств измерений или отдельные их типы. Чаще всего устанавливаются следующие внешние условия: температура окружающей среды, относительная влажность, атмосферное давление. Выделение основной погрешности, соответствующей стандартным условиям применения, является одним из важных факторов обеспечения единства измерений.
Дополнительная погрешность - погрешность, возникающая при отклонении одной из влияющих величин от нормального значения. Принято различать дополнительные погрешности по отдельным факторам: дополнительная температурная погрешность, погрешность за счет изменения атмосферного давления и т.п.
Инструментальные погрешности - погрешности средств измерения, определяемые их несовершенством, конструктивно-технологическими особенностями и влиянием внешних условий, например помехи. Инструментальные погрешности являются одной из наиболее значимых составляющих погрешности и могут носить систематический или случайный характер.
Методическая погрешность - погрешность, определяемая несовершенством применяемой методики измерения. К методическим погрешностям относится и невозможность идеального воспроизведения модели объекта измерения. В большинстве случаев методические погрешности носят систематический характер.
Субъективная погрешность - погрешность отсчитывания, возникающая вследствие индивидуальных особенностей субъекта (оператора), проводящего измерения. Эта погрешность определяется степенью внимательности, сосредоточенности операторов, может носить как систематический, так и случайный характер.
Допустимая погрешность - это погрешность, размер которой устанавливается нормативно-техническими документами или определяется расчетным путем.
Недопустимая погрешность - это погрешность, при возникновении которой результат измерения недостоверен и не может учитываться.
Недопустимые погрешности называются грубыми погрешностями, или ошибками. Важное значение имеет своевременное обнаружение и устранение грубых погрешностей.
Грубые погрешности могут возникнуть под воздействием любого фактора, влияющего на результат измерения. Однако чаще всего источником грубой погрешности является неправильный отсчет показаний прибора или непредсказуемые изменения внешней среды.
Существуют два основных способа обнаружения грубых погрешностей:
При однократных измерениях ошибка может быть выявлена, если примерно известен ожидаемый результат измерения, например при поверке рабочих средств измерений с помощью эталонов и калибров или при систематическом измерении объекта, физическая величина которого практически не изменяется;
При многократных измерениях ошибка может быть установлена с помощью статистического анализа результатов наблюдений. Например, при определении естественной убыли плодоовощной продукции измеряется масса 10 и более объектов. Полученная разница между начальным и конечным измерениями дает убыль массы. Испытатель сразу обращает внимание на «выпадающие» из общего числа результаты.
Пути устранения грубых погрешностей:
1. Грубые погрешности, выявленные при однократных измерениях, можно устранить повторением измерений и превращением их в многократные.
2. При многократных измерениях грубые погрешности устраняются путем применения следующих способов:
правила «трех сигм»;
математической обработкой результатов измерений.
Правило «трех сигм» гласит, что грубой считается погрешность, размер которой превышает три сигмы.
Сигма () - среднеквадратичное отклонение, рассчитываемое по уравнению
где - фактическое значение величины при однократном измерении; - среднеарифметическое значение измеряемой величины при многократном измерении; -- количество измерений.
При этом рассчитывается доверительный интервал. В него входят значения измеряемой величины, которые по нормальному закону распределения признаются достоверными. Значения, находящиеся вне этого интервала, относятся к ошибочным и исключаются как недостоверные. Результат измерения пере-считывается с учетом исключенных значений.
Например, при измерении средней массы орехов были взве-шаны 10 экземпляров. Получены следующие результаты: 15, 19, 20, 21, 22, 18, 22, 20, 25, 17 г. Средняя масса орехов равна 19,9 г; = 2. Доверительный интервал равен (20 2, или 18,2 ..22,2). За его пределами находятся значения 15; 17; 18 и 25, которые исключаются, и получается уточненный результат, равный 20,7 г.
Математическая обработка результатов измерения регламентируется стандартом.