Вычисление погрешностей измерений в лабораторных работах
«Процесс любого измерения только тогда считается полностью завершенным, когда указаны абсолютные и относительные погрешности измерений. Модуль абсолютной погрешности измерения || позволяет указать интервал, внутри которого находится истинное значение измеряемой величины. Длина этого интервала равна 2*|| (Рис. 1). Другими словами, абсолютная погрешность показывает, на сколько истинное значение измеряемой величины может отличаться от результатов измерения. Качество измерений характеризует относительная погрешность, которая показывает, во сколько раз модуль абсолютной погрешности || меньше измеряемой величины X изм. Т. е. при измерении неизвестной величины измеряемая величина должна находится в интервале , а результат измерения можно принять за истинное с значение с относительной погрешностью =x/X изм.
При измерении известных величин (постоянных или табличных) признаком доверенности полученного результата является принадлежность известного значения интервалу (рис 2.). Если при измерениях известных величин оценка погрешностей не производилась, то в выводе следует сравнить полученное значение с табличным. С этой целью удобно рассчитать величину (X изм - X табл)/X табл, которая может служить простой оценкой качества измерений.
При проверке законов, имеющих вид равенства A=B, признаком достоверности является пересечение интервалов и (рис. 3). Если, при проверке законов, оценку погрешности произвести трудно, то можно рассчитать отношение A/B от 1. Тогда разность |A/B-1| позволяет сделать заключение о качестве экспериментальной проверки равенства A=B, т. е. принять за ».
Оценка точности измерений
«На точность измерений физических величин оказывает влияние ряд причин, вызывающих появление погрешностей.
Погрешности измерений в зависимости от причин из возникновения классифицируются так:
Погрешности метода измерения - это погрешности, возникающие вследствие несовершенства применяемого метода измерения или из-за влияния допущений и упрощений в применении эмпирических формул.
Погрешности, возникающие в результате неправильной установки прибора. Измерительные приборы требуют предварительной проверки и определенной установки. Например, ненагруженные весы должны быть уравновешены, проверено качание чашечек, чувствительные весы должны быть установлены по уровню или отвесу и т. д. Необходимо строгое соблюдение правил пользования измерительным прибором.
Погрешности, возникающие вследствие внешних влияний на средства измерения.
Влияния температуры. Большинство измерительных приборов, применяемых в школе, дают верные показания при температуре +20С. При отклонении от этой температуры результаты измерений искажаются.
На температуру воздуха оказывают потоки теплого и холодного воздуха, источниками которых являются печи, радиаторы центрального отопления и т. п.
Для устранений влияния этих причин при калометрических измерениях необходимо экранировать пламя горелки или плитки, а опыты проводить дальше от окон или радиаторов.
Влияния магнитных полей (магнитного поля Земли и магнитных полей токов) устраняют экранированием. В измерительных приборах экранирование предусмотрено их конструкцией, но он не является полным.
Влияние вредных вибраций и сотрясений устраняют путем применения различных пружин, резиновых прокладок.
Субъективные погрешности - это погрешности, обусловленные индивидуальными свойствами наблюдателя.
Например, запаздывание реакции человека на световой сигнал колеблется от 0,15 до 0,225 с, на звуковой - 0,82-0,195 с. Субъективная погрешность может быть обнаружена при проведении одинаковых измерений несколькими экспериментаторами.
Инструментальные погрешности (основные) - это погрешности, возникающие при изготовлении меры или измерительного прибора.
Инструментальную погрешность, взятую с обратным знаком, называют поправкой. Поправки обычно указываются в техническом паспорте прибора или при помощи сравнения с приборами более высшего класса. Если средства измерения дают заниженные показания, то поправка, у казанная в паспорте имеет знак «+», при завышенных показаниях – «-».
При обнаружении погрешности от неисправности измерительного прибора следует внести поправку в его показания, если не представляется возможности его исправить.
Например термометр, опущенный в лед, не устанавливается на 0ºС, а показывает +1ºС, т. е. нулевая точка термометра смещена вверх по шкале. Показание такого термометра при измерении температур необходимо уменьшить на 1ºС.
В аттестатах, каталогах и описаниях средств измерений указаны допускаемые погрешности, т. е. наибольшие погрешности мер и из мерительных приборов, которые разрешается допускать при их изготовлении при нормальных условиях (температура окружающей среды 20ºС, атмосферное давление 760 мм. рт. ст., влажность 80%). Допускаемые погрешности нормируются государственными стандартами. Они, как правило, имеют двойной знак (+ ).
Погрешности отсчета – это погрешности, которые в основном появляются вследствие округления показания измерительных приборов до заданной степени точности.
В школьной практике для более рационального проведения экспериментальной работы желательно до начала измерений полностью или частично исключить источники погрешностей, вызываемые внешними влияниями на объекты и средства измерений, неправильной установкой прибора, и устранить основную инструментальную погрешность внесением соответствующих поправок.
Если допускаемая погрешность близка или больше погрешности отсчета данной меры (измерительного прибора), то ее следует прибавлять к погрешности отсчета.
Инструментальную погрешность мер (измерительных приборов) для сравнительно небольших диапазонов измерений можно считать постоянной.
Приближенное значение измеряемой величины, абсолютная и относительная погрешности измерения.
x=X ном -X
где X ном -значение, полученное при измерении, X-истинное значение измеряемой величины.
> где a-максимальная абсолютная погрешность (граница погрешности), a- приближенное значение измеряемой величины, x-истинное значение измеряемой величин. Вследствие этого определяется диапазон границ значений измеряемой величины:
a+ a=x; a+a > x > a-a;
Приближенное значение измеряемой величины, абсолютная и относительная погрешности измерения.
Значения, получаемые при измерении физических величин, являются не истинны ми значениями, а приближенными, с неточностями, определяемы ми абсолютной погрешностью.
Абсолютная погрешность измерения выражается в единицах измеряемой величины. Абсолютная погрешность измерения x определяется формулой
x=X ном -X, где
X ном - значение, полученное при измерении, X-истинное значение измеряемой величины.
Однако, поскольку истинное значение измеряемой величины остается неизвестно, на практике можно найти лишь приближенную оценку погрешности измерения.
Отношение абсолютной погрешности измерения истинному значению измеряемой величины есть относительная погрешность измерения. Относительная погрешность измерения может быть выражена в процентах.
Согласно определению истинной абсолютной погрешности ее знак и величина известны, поэтому на практике применяют максимальную абсолютную погрешность.
Максимальная абсолютная погрешность является границей погрешности, и она определяется формулой a > где a-максимальная абсолютная погрешность (граница погрешности), a- приближенное значение измеряемой величины, x-истинное значение измеряемой величин. Вследствие этого определяется диапазон границ значений измеряемой величины:
a + a = x; a + a > x > a - a;
В зависимости от практической необходимости, точности применяемых измерительных приборов и методов измерений можно уменьшать или увеличивать границы абсолютной погрешности.
Максимальной относительной погрешностью (границей относительной погрешности) называют отношение максимальной абсолютной погрешности к модулю приближенного значения измеряемой величины:
a отн =a/|a|
Метод среднего арифметического
На точность результатов измерений могут сказаться не только свойства средств измерения (инструментальная погрешность и т. д.), но и особенности измеряемого физического тела.
Например, толщина проволоки может быть различной на протяжении её длины, вследствие чего нельзя ограничиваться одним измерением, а проделать их несколько в различных местах проволоки.
Все причины, влияющие на результаты измерений, учесть и выявить невозможно, вследствие этого неизбежные случайные погрешности дают отличные друг от друга результаты. Одни из них больше истинного значения измеряемой величины, другие меньше, причем вероятность сделать меньшую погрешность больше, чем большую (закон нормального распределения случайных погрешностей). Беря среднее арифметическое из полученных результатов, мы ослабляем влияние случайных погрешностей, и находит результат, более близкой к истинному значению измеряемой величины.
Пусть при многократных измерениях толщины проволоки микрометром были получены следующие результаты: a 1 , a 2 , ... a n . Среднее арифметическое результатов всех измерений (среднее значение величины) равно:
a ср =(a 1 +a 2 +...+a n)/n
Отклонение от среднего значения в i-ом измерении будет равно: a=|a i -a ср |
Находим среднее отклонение, как a ср =(a 1 +a 2 +..+a n)/n
Результат записывается в виде: a = a ср + a ср
Среднее относительная погрешность результата определяется отношением средней абсолютной погрешности к среднему значению величины.
a ср /a ср =
Если в процессе многократных измерений измерительный прибор дает одни и те же показания, то многократность измерений теряет смысл; достаточно провести измерение один раз.
Это происходит в том случае, когда инструментальная погрешность средств измерения больше случайных погрешностей отдельных измерений. За максимальную абсолютную погрешность измерения в этом случае принимают инструментальную погрешность меры (измерительного прибора) или цену деления шкалы.
Правила вычисления погрешностей методом среднего арифметического:
измерение одной и той же неизменной величины производят многократно при одних и тех же условиях.
все измерения производят с одной и той же погрешностью отсчета.
Этот метод применяют при прямых измерениях и только тогда, когда расхождение результатов отдельных измерений повышает погрешность отсчета каждого из измерений и допускаемую инструментальную погрешность.
Примечание. Прямыми измерениями называют такие, результат которых получают непосредственно с помощью меры (измерительного прибора), например измерение длины тела измерительной линейкой, массы тела - на весах и т. д.
Точность приближенного значения искомой величины может быть значительной, зависящей от многократности измерений, чтобы погрешность среднего арифметического приближалась к инструментальной допускаемой погрешности или была доведена до погрешности отсчета отдельного измерения.
если при повторных измерениях получается один и тот же результат, то за погрешность измерения принимают инструментальную допускаемую погрешность меры (или измеренного прибора).
Метод границ
Метод границ – это один из основных методов приближенных вычислений при косвенных измерениях и при прямых однократных измерениях.
Примечание: Косвенными измерениями называют такие измерения, которые дают результат измеряемой величины с помощью вычислений по формулам, связывающим функциональной зависимостью искомую величину с величинами, полученными при прямых измерениях. Например, определение скорости равномерно движущегося тела по совершенному им перемещению, измеренного линейкой, и времени, затраченного на него, определенного с помощью часов, по формуле U=S/t.
При методе границ определяют два значения физической величины: одно заведомо меньше истинного значения, называемое нижней границей величины (НГ), другое большее, называемое верхней границей (ВГ). Между верхней и нижней границами находится истинное значение искомой величины.
В этом случае за абсолютную погрешность значения величины, полученной прямым измерением, берут не среднюю арифметическую погрешность от многократных измерений, а максимальную абсолютную погрешность однократного измерения. Например, длина доски, измеренная сантиметровой лентой: L=95+ 1 см. Можно написать следующее неравенство:
95-1 где 94 – нижняя граница (НГ), а 96 – верхняя граница (ВГ) Правила нахождения границ.
Границы значений физической величины вычисляют как промежуточные результаты, т. е. с одной запасной цифрой. Нижнюю границу округляют с недостатком, а верхнюю - с избытком». На практике, при выполнении операций с приближенными числами, поступают следующим образом: по среднему значению приближенного числа производят операции (сложение, вычитание, умножение, деление); те же операции производят со средним значением, прибавив и отняв абсолютную погрешность; из последних результатов находят абсолютную погрешность, найдя их разность. a = a ср +
a; b = b ср +
b; a в = a ср + a; a н = a ср – a; b в = a ср + a; b н = a ср – a; «+»: s ср = a ср +b ср; s = (a в +b в) – (в н +b н); s = s ср + s «*»: s ср = a ср * b ср; s = (a в +b в) * (в н +b н); s = s ср + s, и т. д. Методы оценки результатов измерений
«Метод оценки результатов дает возможность быстро определить абсолютные и относительные погрешности, получаемые при измерении физических величин. Он основан на применении формул теории приближенных вычислений. Примечание. Учитываются погрешности отсчета, погрешности инструментальные принимаются во внимание по указанию преподавателя. Зная абсолютную и относительную погрешности приближенного значения физической величины, можно определить верхнюю и нижнюю границы диапазона значений, между которой находится истинное значений, между которыми находится истинное значение искомой величины (ВГ и НГ)». «Примеры оценок границ погрешностей косвенных измерений приведены в таблице» : Формулы погрешностей Вид функции Абсолютная погрешность Относительная погрешность z=x+y
F=sin(x)x . На практике, перед дифференцированием, часто берут логарифм от функции, чтобы упростить расчеты. Тогда произведение величин преобразуются в соответствующие суммы, а степенные и показательные функции - в произведения. Тогда для нахождения погрешностей используют следующие правила: Определить абсолютные ошибки (приборные или средние) прямых измерений. Прологарифмировать расчетную рабочую формулу. Принимая величины прямых измерений за независимые переменные, найти полный дифференциал от полученного выражения. Сложить все частные дифференциалы по абсолютной величине, заменив в них дифференциалы переменных соответствующими ошибками прямых измерений. Графическое представление результатов
« Графическое представление результатов эксперимента полезно, когда устанавливают вид функциональной связи; изучают связь, между величинами для которых трудно представить функцию в виде формулы (аналитически)». «Фронтальное выполнение лабораторных работ дает полную возможность проводить в конце занятия коллективное обсуждение полученных результатов проведенных наблюдений и измерений. Это служит быстрым контролем правильности выполнения работ каждым звеном учащимися и постепенно приучать их к необходимости обработки и правильной оценки таких результатов. Причем в 7 и 8 классе при обработке числовых результатов можно ограничиться правилами действий над приближенными числами, а в 9 классе познакомить учащихся с вычислением максимальной (абсолютной и относительной) погрешностей измерений методом оценки результата. Разбирать здесь объем и характер таких вычислений нет необходимости, т. к. все это с достаточными подробностями приводится в многочисленных примерах в конце описаний большинства работ измерительного характера. Надо всегда помнить, что приемы вычисления погрешности измерений учащиеся усваивают с трудом, поэтому здесь никак нельзя ограничиваться некоторыми общими предварительными указаниями и разъяснениями. На коллективных обсуждениях результатов эксперимента следует постепенно и настойчиво формировать эти умения, пользуясь конкретными примерами после каждой лабораторной работы измерительного характера. Для некоторых лабораторных работ обработка полученных результатов должна ярко показать ту или иную особенность изучаемого процесса, ту или иную зависимость между физическими величинами. В таком случае наилучшей формой обобщения результатов является графики, которые также надо обсудить с учащимися. При обсуждении результатов фронтальных работ качественного характера следует на конкретных примерах показать учащимся простой способ схематического изображения установок, с которыми проводились опыты. Составление отчетов имеет важное значение для формирования у учащихся обобщенных умений по описанию физического эксперимента, проверки выполнения лабораторных работ и оценки знаний и умений учащихся. Составление краткого письменного отчета в процессе выполнения лабораторной работы часто затрудняет учащихся, и на записи, как правило, затрачивается непроизводительно много времени в ущерб экспериментальной работе. В ряде случаев учащиеся включают содержание отчета такие мало нужные материалы, как перечень всего оборудования или подробное описание процесса составления установок: "... взяли штатив, закрепили на нем лапку, а в лапку зажали колбу, в которую залили немного воды" и т. д. Это объясняется тем, что некоторые учителя предъявляют завышенные требования к отчету, а его внешнее, формальные качества часто определяют отметку за выполнение лабораторной работы. При измерении физических величин, выяснении функциональных зависимостей между величинами, изучении законов в отчете в большинстве случаев достаточно иметь: название лабораторной работы; перечень основного оборудования (измерительных и других приборов); краткое описание способа измерения и измерительной установки, сопровождаемое схематическим чертежом, рисунком, электрической или оптической схемой и расчетными формулами; запись результатов измерений, вычислений и вывод. При описании способа измерения целесообразно выделять вид измерения, средства измерения, явления и процесса, происходящие в измерительной установке, исходные закономерности, на основе которых выводится расчетная формула. Результаты измерений и вычислений целесообразно записывать в виде таблиц, форму которых полезно предварительно обсудить с учащимися. Это особенно полезно делать на начальном этапе обучения учащихся составлению отчета. Кроме табличной, часто бывает полезна свободная форма записи результатов измерений. В некоторых работах результаты измерений представляют в виде графика. Графики вычерчивают в прямоугольной системе координат на клетчатой бумаге с помощью чертежных инструментов. При этом знания аргумента (независимой переменной), т. е. величины, которую измеряют при выполнении работы, откладывают по горизонтальной оси, а полученные числовые значения функции - по вертикальной. На осях координат указывают условные обозначения отложенных величин и их размерности. Нанесенные координатные точки соединяют между собой не ломанной линией, а плавной кривой, которая должна проходить в границах погрешностей отдельных измерений. Их количеству и объему, произведена классификация
видов лабораторных
и практических занятий, как на... обучающихся, хотя преимущественно проводятся фронтальные
работы
. Руководство лабораторным
, практическим занятием мастер производственного... Средой между объективом и фронтальной
линзой объектива может быть... первичных кристаллов изученных сплавов; классификация
наблюдавшихся эвтектик с указанием... образующуюся при перитектической реакции? Лабораторная
работа
№6. Макро- и микроструктура литой... Институт Кафедра КиПР Лабораторная
работа
По курсу «Физика» ... (лабораториях) выполнение студентами работ
фронтальным
методом. Поэтому неизбежно возникает... 4,0, считают внеклассными, Данная классификация
распространяется на амперметры, вольтметры... Др., т.е. он должен выполняться в системе. Классификация
фронтальных
лабораторных
работ
: 1. Наблюдение и изучение физических явлений. 2. ... материала, б) использование при выполнении лабораторных
работ
, в) фронтальное
решение простых задач, г) ... Министерство высшего и профессионального образования Сыктывкарский государственный университет —————————————— Кафедра физики твердого тела Кафедра теоретической и вычислительной физики УЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ РАБОТ В ЛАБОРАТОРИЯХ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Сыктывкар 2000 Утверждено на заседании учебно-методической комиссии физического факультета 19 апреля 2000 г. (протокол N 6) Составители: Колосов С.И., Некипелов С.В. Введение ………………………………………….. 3 1. Измерения и их погрешности ……………………….. 3 2. Вычисление случайных погрешностей …………………. 4 3. Вычисление систематических погрешностей ……………. 5 4. Погрешности косвенных измерений …………………… 7 5. Запись результатов измерений ……………………… 9 6. Метод наименьших квадратов ……………………….. 9 7. Изображение экспериментальных результатов на графиках. 14 8. Требования, предъявляемые к студентам в лабораториях физического практикума ………………………….. 14 9. Правила выполнения лабораторных работ …………….. 15 10. Требования, предъявляемые к отчету ……………….. 16 11. Приложение …………………………………….. 16 Одной из основных задач физики как науки является адекватное описание физических явлений в природе, т.е. выяснение сути этих явлений и построение определенных моделей для их описания. При этом основой для построения данных моделей и критерием их правильности является физический эксперимент. Работы, выполняемые в лабораториях физического практикума, являются первым шагом на пути овладения основами экспериментальной физики. При выполнении лабораторных работ студенты должны научиться проводить измерения физических величин, оценивать точность этих измерений (находить погрешность измерений), проверять и находить связь между различными физическими величинами, сопоставлять полученные результаты с выводами теории. Задача данных методических указаний познакомить студентов с методами измерения физических величин и нахождения погрешности этих измерений из совокупности экспериментальных данных на примере работ физического практикума по механике. 1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ. При выполнении любой лабораторной работы физического практикума необходимо провести одно или несколько измерений одной или нескольких физических величин. В дальнейшем полученные экспериментальные данные обрабатываются с целью нахождения искомых величин и их погрешностей. Измерение
– это сравнение измеряемой величины с другой величиной, принимаемой за единицу измерения. Любая физическая величина обладает истинным значением
, т.е. таким значением, которое идеальным образом отражает свойства объекта. Измерения делятся на прямые
и косвенные
.. Прямые
.измерения проводятся с помощью приборов, которые измеряют саму исследуемую величину (линейные размеры тела измеряются линейкой, масса с помощью весов, отградуированных на единицу массы, и т.д.). При косвенных
измерениях искомая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с ней известной зависимостью (измерение объема тела по измеренным линейным размерам, плотности тела и т.д.). Качество измерений определяется их точностью. Точность измерений характеризуются их погрешностью. Погрешность измерений
(). называется разность между найденным на опыте и истинным значением физической величины Кроме абсолютной погрешности
важно знать относительную
погрешность
, которая равна отношению абсолютной погрешности к значению измеряемой величины Качество измерений обычно определяется именно относительной, а не абсолютной погрешностью. Погрешности измерений вызываются разными причинами, и их принято делить на систематические, случайные и "грубые" (промахи). "Грубые" погрешности
(промахи) возникаю вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Если установлено, что произошла "грубая" ошибка (промах) в измерениях, то эти измерения нужно отбрасывать. Несвязанные с "грубыми" ошибками погрешностями опыта делятся на случайные
и систематические
. 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ. Многократно повторяя одни и те же измерения можно заметить, что довольно часто результаты не равны друг другу, а располагаются вокруг некоторого среднего. Погрешности, меняющие значение и знак от опыта к опыту называются случайными
. Случайные погрешности могут быть связаны как с несовершенством объекта измерений, так и с особенностями метода измерений и самого экспериментатора. Так, рассмотрим для примера работу N 24, в которой изучаются процессы упругого взаимодействия стального шарика с мраморной плитой. Из-за неоднородности шарика и плиты при бросании шарика с одной и той же высоты h
, он, ударяясь о плиту, каждый раз подпрыгивает на разную высоту h’
, измеренную по вертикально поставленной масштабной линейке. Возникающие при этом погрешности измерений величины h’
являются случайными и обусловлены несовершенством объекта измерений. Если при этом студент, выполняющий опыты, следит за движением шарика то сверху, то снизу, то погрешность в величине h’
будет определятся еще и особенностями метода измерений и самого экспериментатора. Случайны погрешности определяются по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей. Здесь мы разберем только основные свойства и правила их вычисления без использования доказательств. Продолжим рассмотрение работы N 24, начатое выше. При бросании шарика с высоты h
=30 см, шарик при ударе о мраморную доску подпрыгнул на высоту h’
: h’
(см) В качестве наилучшего значения для измеряемой величины обычно принимают среднее арифметическое значение из всех полученных результатов: Этому результату следуют принимать погрешность, определяемую формулой: Результат опыта записывается в виде: В нашем случае Как видно из формул (3) и (4) величина при увеличении числа опытов n
будет мало изменяться, т.к. величины имеют примерно одинаковое значение и их сумма будет увеличиваться пропорционально числу слагаемых, т.е. n
. В то время как будет с ростом n
уменьшаться (число членов суммы в (4) растет как n
, а все подкоренное выражение как 1/(n
-1)). В теории вероятностей показано, что при достаточно больших n
величина будет стремиться к , а величина будет называться дисперсией. При этом формула (5) означает, что примерно 2/3 (точнее 68.3%) измерений будут лежать в интервале Из сказанного выше можно сделать вывод, что, увеличивая число измерений, можно существенно уменьшить случайную
погрешность. Но увеличение числа измерений не вносит никаких изменений в систематическую погрешность. 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ. Систематическая погрешность
, в отличие от случайной, сохраняет свою величину (и знак) во время эксперимента. Систематические погрешности появляются вследствие ограниченной точности приборов, неучета внешних факторов и т.д. Обычно основной вклад в систематическую погрешность дает погрешность, определяемая точность приборов, которыми производят измерения. Т.е. сколько бы раз мы не повторяли измерения, точность полученного нами результата не превысит точности, обеспеченной характеристиками данного прибора. Для обычных измерительных инструментов (линейка, пружинные весы, секундомер) в качестве абсолютной систематической погрешности берется половина шкалы деления прибора. Так в рассматриваемом нами случае работы N 24 величина h’
может измеряться с точностью =0.05 см
, если линейка имеет миллиметровые деления, и =0.5 см
, если только сантиметровые. Систематические погрешности электроизмерительных приборов, выпускаемых промышленностью, определяется их классом точности, который обычно выражается в процентах. Электроизмерительные приборы по степени точности подразделяются на 8 основных классов точности:0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 1.5, 2.5, 4. Класс
точности
есть величина, показывающая максимально допустимую
относительную погрешность в процентах. Если например прибор имеет класс точности 2, то это означает, что его максимальная относительная погрешность при измерении, например тока, равна 2 %, т.е. где - верхний предел шкалы измерений амперметра. При этом величина (абсолютная погрешность в измерении силы тока) будет равна для любых измерений силы тока на данном амперметре. Так как , вычисленное по формуле (6), это максимально допустимая данным прибором погрешность, то обычно считают, что для определения , погрешность, определяемую классом точности прибора, нужно разделить на два. Т.е. и при этом будет так же одинакова для всех измерений на данном приборе. Однако, относительная погрешность (в нашем случае где I
- показания прибора) будет тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к максимально возможному на данном приборе. Следовательно, лучше выбирать прибор так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы. В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки. Пусть они характеризуются абсолютными погрешностями и . Тогда суммарная погрешность опыта находится по формуле Из формулы (7) видно, что если одна из этих погрешностей мала, то ей можно пренебречь. Например, пусть в 2 раза больше , тогда т.е. с точностью до 12% = . Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее. В том случае, если случайная ошибка опытов хотя бы вдвое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается. Достаточно произвести 2 – 3 измерения, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала. В случае рассматриваемой нами работы N 24 =0.26 см
, а равна либо 0.05 см
, либо 0.5 см
. В этом случае Как видно, в первом случае можно пренебречь , а во втором . 4. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. Очень часто величину, необходимую получить в работе, нельзя определить прямыми измерениями, а только косвенными. Т.е. искомая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с ней известной зависимостью. Пусть величина A
связана с прямоизмеряемыми величинами x, y, z
… соотношением A=f(x,y,z..),
а тогда и В формуле (9) выражение означает частная производная функции по переменной x
, т.е. берется производная когда все остальные переменные y, z
,…считаются параметрами (константами). Значения соответствующих частных производных в формуле (9) находится при подстановке вместо переменных x, y ,z
… значений В таблице 1 представлены выражения для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений.
Как видно из таб.1, для некоторых косвенных измерений удобно пользоваться формулами для абсолютных погрешностей (сумма, разность, тригонометрические функции), а для некоторых – формулами для относительных погрешностей (произведение, частное, выражения, содержащие степень). Если величина A
имеет более сложную зависимость, чем представленную в табл.1, то нужно либо пользоваться общим правилом (9), либо компоновать выражения из табл.1. Продолжим рассмотрение работы N 24. Следующим этапом в данной работе является нахождение коэффициента восстановления, который ищется по формуле где h
– высота, с которой бросается шарик, а h’
– высота, на которую шарик подпрыгивает после удара. В нашем случае h’
=(15.35 0.56)см или h’
=(15.35 0.26)см, а h
=(30.0 0.5)см или h
= (30.00 0.05)см, для измерения линейкой с сантиметровыми и миллиметровыми делениями соответственно. По формуле (8) находим Для нахождения воспользуемся табл.1. Обозначим h’/h = x
, тогда и Так как x = h’/h
, из таблицы 1 находим Окончательно имеем Подставляя соответствующие значения, получим 0.0203 или =0.0093 Отсюда =0.5123 0.0203=0.0104 или =0.5123 0.0093=0.0048 Тогда в окончательном виде результат запишется 0.5123 0.0104 или = 0.5123 0.0048 (10) для случая с сантиметровыми и миллиметровыми делениями соответственно. 5. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ. При окончательной записи результатов в виде (5) нужно пользоваться следующими правилами: 1) При записи погрешности следует округлять ее до первой значащей цифры или до двух значащих цифр, если это 10, 11, 12, 13, 14. 2) При записи измеренного значения X
последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. При этом нужно пользоваться стандартным правилом округления: если следующая за последней значащей цифрой меньше 5, то значащая цифра остается неизменной; если же первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя значащая цифра увеличивается на единицу. В соответствии с этими правилами окончательно результаты (10)запишутся в виде 0.512 0.010 или = 0.512 0.005 Если полученные результаты являются промежуточными для дальнейших расчетов (косвенные измерения), и их нахождение не является целью лабораторной работы, то в этом случае в записи результатов в виде (5) можно оставлять две значащие цифры, что мы и проделали при записи результатов для h’
. 6. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Результаты экспериментальных исследований для дальнейшего анализа удобно представить в графическом виде. Часто функциональные зависимости между переменными линейны, либо определенной заменой переменных зависимость удается привести к линейному виду. Например, исследуя равноускоренное одномерное движение тела, мы определяем координату тела в разные моменты времени: где - начальная координата тела, - начальная скорость. Перепишем данную зависимость в следующем виде: Если ввести переменную Тангенс угла наклона данной прямой к оси равен половине ускорения, с каким двигалось тело, а отрезок, отсекаемый прямой на оси , дает величину начальной скорости тела. Экспериментальные точки, как правило, не лежат в точности на прямой. Возникает естественный вопрос: как наилучшим образом провести прямую через эти точки? Если проводить прямую "на глазок", то при большом разбросе экспериментальных точек прямые, проведенные разными людьми, могут значительно отличаться друг от друга наклоном этих прямых и величиной отрезка, отсекаемого на оси ординат. То есть, такой способ весьма субъективен. К тому же он не дает возможности оценить погрешности определяемых величин (в случае рис.1 – ускорения и начальной скорости). Наибольшее распространение получил так называемый метод наименьших квадратов (МНК). Суть его заключается в следующем. Будем аппроксимировать экспериментальную зависимость прямой , где и – некоторые пока неизвестные коэффициенты. Проведем через точки произвольную прямую (рис.2). Из каждой точки проведем вертикальную прямую до пересечения с нашей прямой. Полученные отрезки – от точек до прямой – назовем отклонениями от прямой. На рис.2 это будут отрезки длиной , , , . Величина i-го отклонения равна: Если менять параметры и прямой, то и длины отрезков будут меняться. Критерий наилучшего проведения прямой в методе наименьших квадратов таков: сумма квадратов отклонений должна быть минимальной: Или: Минимум этой суммы достигается подбором параметров прямой и . Математический анализ легко справляется с такой задачей и дает следующие выражения для данных параметров: где Кроме того, вычисляются следующие величины. Среднеквадратичное отклонение точек от прямой: Погрешности коэффициентов и : Ниже приводится программа расчета параметров прямой методом МНК. Программа составлена на языке BASIC. При желании ее легко переписать на любом другом языке программирования. Обозначены суммы: ; ; ; ; В строках 100-140 происходит вычисление этих сумм. В последующих строках вычисляются параметры прямой, обозначенные: 10 DIM X(50),Y(50) 20 PRINT "ЧИСЛО ТОЧЕК N ="; 40 FOR I = 1 TO N 50 PRINT: PRINT "I ="; I 60 PRINT "X="; : INPUT X(I) 70 PRINT "Y="; : INPUT Y(I) 90 X1 = 0: X2 = 0: Y1 = 0: Y2 = 0: S = 0 100 FOR I = 1 TO N 110 X1 = X1 + X(I): X2 = X2 + X(I)^2 120 Y1 = Y1 + Y(I): Y2 = Y2 + Y(I)^2 130 S = S + X(I) * Y(I) 150 D = N * X2 – X1 * X1 160 A = (N * S – X1 * Y1) / D 170 B = (Y1 – A * X1) / N 180 F = Y2 – A * S – B * Y1 190 D1 = SQR(F / (N – 2)) 200 A1 = D1 * SQR(N / D) 210 B1 = D1 * SQR(X2 / D) 220 PRINT "*******************************************" 230 PRINT "Y = A*X + B" 240 PRINT "A ="; A; TAB(20); "DA ="; A1 250 PRINT "B ="; B; TAB(20); "DB ="; B1 260 PRINT "DELTA ="; D1 Для демонстрации работы программы обратимся к лабораторной работе №3 "Маятник Обербека". В работе экспериментально проверяется формула где – угловое ускорение маятника, - момент инерции маятника, – момент силы трения, – внешний момент, приводящий к вращению маятника. Перепишем данную формулу в следующем виде:, Числовые значения переменных и даны в таблице: Результаты расчета на компьютере: *************************************** A = 32.8123 DA = .938343 B = -.10184 DB = .0214059 DELTA = 4.74768E-03 Находим момент инерции маятника: Погрешность момента инерции: Момент силы трения: Погрешность момента силы трения: Среднеквадратичное отклонение точек от прямой характеризует погрешность определения углового ускорения. 7. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ НА ГРАФИКАХ При построении графиков следует руководствоваться следующими правилами. 1) Масштаб и начало координат выбираются таким образом, чтобы измеренные точки располагались по всей площади листа. 2) Точки, наносимые на графики, должны изображаться точно и ясно. Никаких линий и отметок, поясняющих построение точек, на график наносить нельзя, так как они загромождают рисунок и мешают анализировать результаты. 3) На координатных осях также нельзя указывать координаты наносимых на график точек. 4) На осях делаются отметки в выбранном масштабе и возле них проставляются цифры, позволяющие установить значения, соответствующие делениям шкалы. 5) На осях также указываются наименования измеряемых величин и единицы измерения. 6) Если известна случайная погрешность экспериментальных точек, то на графике они изображаются крестами. Полуразмер креста по горизонтали должен быть равен стандартной погрешности по оси абсцисс, а его вертикальный полуразмер – погрешности по оси ординат. Для иллюстрации приведенных правил на рис.3 представлено графическое изображение результатов, которые обсчитывались нами методом МНК. 8. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К СТУДЕНТАМ В ЛАБОРАТОРИЯХ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Каждая лабораторная работа представляет собой небольшой физический эксперимент, к которому допускаются студенты, успешно прошедшие собеседование с преподавателем (сдавшие допуск к работе). Поэтому в процессе подготовки к лабораторной работе необходимо изучить описание данной работы и, если это необходимо, прочитать соответствующий раздел учебника или дополнительной литературы, указанных в описании работы. Особенное внимание необходимо уделить на физический смысл вводимых понятий и измеряемых величин. Уже в процессе подготовки необходимо самостоятельно вывести формулы погрешностей, для измеряемых в работе величин. К работе допускаются студенты, успешно сдавшие допуск и отчет по предыдущей работе (на третье занятие сдается отчет по первой работе, на четвертое – по второй и т.д.). При сдаче допуска к студенту предъявляются следующие требования: Ясное понимание сущности процесса измерений и явлений, которые исследуются в работе, умение дать четкое определение всех физических понятий; Знание экспериментальной установки, принципа действия используемых приборов и правил работы с ними, методики проведения экспериментов; Умение вывести формулы, описывающие изучаемые явления, и формулы погрешностей; оценить их численное значение, указать, что является основным источником ошибок. Обычно в описаниях лабораторных работ имеется список наиболее употребляемых контрольных вопросов к работе. Ознакомьтесь с ними заранее, что даст вам возможность проверить свои знания самостоятельно до сдачи допуска. Получив допуск к работе, и после проверки преподавателем правильности выбранной схемы, студенты приступают к работе. Полученные результаты аккуратно, желательно в виде таблицы, записываются на отдельных листках и после выполнения все измерений даются на подпись преподавателю. Обработка результатов измерений, вычисление погрешностей и написание отчета выполняются дома. 9. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ. 1. Лабораторные работы выполняются строго по графику, составленному преподавателем. 2. К работе допускаются студенты, успешно сдавшие допуск и отчет по предыдущей работе (на третье занятие сдается отчет по первой работе, на четвертое – по второй и т.д.). 3. Студенты, недопущенные к выполнению работы, удаляются с занятий и будут выполнять пропущенную работу в конце семестра. 4. Студенты, допущенные к выполнению работы, приступают к самостоятельному ее выполнению. 5. В ходе выполнения лабораторной работы студент должен соблюдать правила техники безопасности. Студент, нарушивший правила техники безопасности или правила проведения лабораторных работ, может быть отстранены от проведения лабораторной работы и выполняет ее в сроки, указанные в п.3. 6. После выполнения работы результаты измерений (черновики) должны быть подписаны у преподавателя. 7. Окончательная оценка по работе выставляется при предъявлении отчета с обработанными результатами. 8. Зачет ставится при условии выполнения и сдачи студентом всех лабораторных работ, предусмотренных программой. 10.ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯЛЯЕМЫЕ К ОТЧЕТУ Отчет по лабораторной работе является основным документом, отражающим работу студента. Он должен содержать все результаты измерений, формулы вычисляемых величин и их погрешностей и результаты измерений. К отчету должен быть приложен черновик с записями, сделанными во время измерений, и подписанный преподавателем, без чего отчет признается недействительным. Отчет выполняется с использованием компьютера или вручную. При написании отчета в ручную, отчет выполняется чернилами, а рисунки карандашом; необходимые графики выполняются только карандашом на миллиметровке и подклеивается к отчету. Отчет выполняется на отдельных листках и должен содержать: 1. Номер и название работы, дату выполнения работы, дату сдачи работы преподавателю, фамилию и инициалы студента, курс, группу. 2. Краткую формулировку задачи (цель работы). 3. Схему установки или схематический рисунок. 4. Рабочие формулы и формулы погрешностей. 5. Результаты измерений, по возможности в виде таблиц. 6. Результаты вычислений измеряемых величин и их погрешностей. При наличии табличных значений измеряемой (вычисляемой) физической величины необходимо привести ее значения. 7. Окончательные результаты в виде таблиц и графиков. 8. Краткие выводы из проведенных исследований. 11. ПРИЛОЖЕHИЕ. Пpогpамма метода МHК на языке PASCAL. x,y:arrayof real; sumx,sumxx,sumy,sumyy,sumxy:real; d,delta,a,da,b,db,f:real; write(‘Число точек N=’); for i:=1 to n do writeln(i,’-ая точка:’); write(‘x(‘,i,’)=’); write(‘y(‘,i,’)=’); sumx:=0; sumxx:=0; sumy:=0; sumyy:=0; sumxy:=0; for i:=1 to n do sumx:=sumx+x[i]; sumxx:=sumxx+sqr(x[i]); sumy:=sumy+y[i]; sumyy:=sumyy+sqr(y[i]); sumxy:=sumxy+x[i]_7&_0y[i]; d:=n*sumxx-sqr(sumx); a:=(n*sumxy-sumx_7&_0sumy)/d; b:=(sumy-a*sumx)/n; f:=sumyy-a*sumxy-b_7&_0sumy; delta:=sqrt(f/(n-2)); da:=delta*sqrt(n/d); db:=delta_7&_0sqrt(sumxx/d); writeln(‘Паpаметpы пpямой y = a*x + b и их погpешности:’); writeln(‘a = ‘, a:12, ‘da = ‘:20, da:12); writeln(‘b = ‘, b:12, ‘db = ‘:20, db:12); writeln(‘Сpеднекв. Отклонение = ‘,delta:12); по дисциплине
«Управление, сертификация и инноватика
(Метрология,
стандартизация и сертификация)»
ПОГРЕШНОСТИ
ИЗМЕРЕНИЙ И ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ
1. Погрешности измерений 2.
Погрешности средств измерений Контрольные вопросы Пример решения задачи Законспектировать:
Ответить на все контрольные вопросы,
приведенные в конце лабораторной
работы; Составить классификации погрешностей
измерений и погрешностей средств
измерений. Знать:
Основные виды погрешностей измерений;
основные положения теории погрешностей; Погрешности средств измерений; Решить:
индивидуально каждый
студент должен решитьвсе варианты задач. Оформление отчета:
отчет выполняется индивидуально каждым
студентом в отдельной тетрадке рукописным
способом. Тетрадь начинается с титульного
листа, где указаны ФИО студента и группа.
Отчет по лабораторной работе начинается
с названия и даты выполнения. Рассмотрим основные виды погрешностей
измерения. В зависимости от формы
выражения различают абсолютную и
относительную погрешности
. Абсолютной
называют погрешность
измерений, выраженную в тех же
единицах, что и измеряемая величина. Её
определяют как: = А
- Х
ист А
– Х
д где А
- результат измерения; Х
ист - истинное значение
измеряемой физической величины; Х
д - действительное значение
измеряемой величины. Относительная погрешность измерения
() представляет
собой отношение абсолютной погрешности
измерений к истинному (действительному)
значению измеряемой величины. Относительную
погрешность в % определяют по формуле: Пример. В результате измерения силы
электрического тока в цепи I получен
ряд значений: i 1 = 0.55 A; i 2 = 0.58
A; ...i n = 0.54 А. Вычислено среднее
значение i = 0.56 А. Погрешности 1 = i 1 – i = 0,55-0,56 = -0,01 А; 2 =
i 2 - i=0,58 -0,56=0,02 A; n = i n – i = 0,54-0,56 = -0,02 А являются
абсолютными погрешностями измерений. Приняв в качестве действительного
значения среднее значение, т. е. i Д = i, определим относительную погрешность
отдельного измерения в ряду измерений: В зависимости от условий и режимов
измерения различают статические
и динамические погрешности
. Статической
называют погрешность,
не зависящую от скорости изменения
измеряемой величины во времени. Динамической
называют погрешность,
зависящую от скорости изменения
измеряемой величины во времени.
Динамическая погрешность обусловлена
инерционностью элементов измерительной
цепи средства измерения. В зависимости от характера проявления,
возможностей устранения и причин
возникновения различают систематические
и случайные погрешности
. Систематической
(c)
называют составляющую погрешности
измерения, остающуюся постоянной или
закономерно изменяющейся при повторных
измерениях одной и той же величины. Причинами систематической погрешности
могут быть: Отклонение параметров реального
средства измерения от расчетных
значений, предусмотренных схемой; Неуравновешенность деталей средства
измерений относительно их оси вращения; Погрешность градуировки или небольшой
сдвиг шкалы и др. Ряд постоянных систематических
погрешностей в процессе измерения
внешне себя не проявляют. Обнаружить
их можно в процессе поверки путем
сравнения результатов измерения рабочими
средствами и образцовыми. Случайной
Случайная погрешность возникает при
одновременном воздействии многих
источников, каждый из которых сам по
себе оказывает незаметное влияние
на результаты измерений, но суммарное
воздействие всех источников может
оказаться достаточно сильным. Как правило, при выполнении измерений
случайная и систематическая погрешности
проявляются одновременно, поэтому
погрешность измерения равна: Заметим, что случайные погрешности
представляют собой погрешности, в
появлении каждой из которых не наблюдается
какой-либо закономерности. Случайные
погрешности неизбежны и неустранимы.
Они всегда присутствуют в результате
измерения. Они вызывают рассеяние
результатов при многократном и достаточно
точном измерении одной и той же величины
при неизменных условиях, вызывая различие
их в последних значащих цифрах. В основе теории погрешностей лежат
два положения, подтвержденные
практикой:
при большом числе измерений случайные
погрешности одинакового значения,
но разного знака встречаются одинаково
часто; большие по абсолютному значению
погрешности встречаются реже, чем
малые. Из первого положения следует важный
для практики вывод, что при увеличении
числа измерений случайная погрешность
результата, полученного из ряда измерений,
уменьшается вследствие того, что сумма
погрешностей отдельных измерений
данного ряда измерений стремится к
нулю, т. е. В ряду измерений выделяют также грубые
погрешности и промахи
, которые
возникают из-за ошибок и неправильных
действий оператора, а также при
кратковременных, резких изменениях
условий проведения измерений (появление
вибрации, поступление холодного
воздуха и т. д.). При автоматических измерениях грубые
погрешности и промахи автоматически
исключаются в процессе обработки
измерительной информации. В лабораторной практике большинство измерений косвенные и интересующая нас величина является функцией
одной или нескольких непосредственно измеряемых величин: N
= ƒ (x, y, z, ...) (13) Как следует из теории вероятностей, среднее значение величины определяется подстановкой в формулу (13) средних значений непосредственно измеряемых величин, т.е. ¯
N
= ƒ (¯
x, ¯
y, ¯
z, ...) (14) Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных. Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Единого мнения
относительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений нет. Однако, если исходить из определения
систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку
по формулам где
частные производные функции N
= ƒ(x, y, z, ...) по аргументу x, y, z..., найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по
которому находится производная, постоянные; Формулой (15) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (16)
применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов. Для нахождения случайной ошибки
косвенных измерений следует пользоваться формулами: где Δx, Δy, Δz, ... доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z, ... . Следует иметь в виду, что доверительные интервалы Δx, Δy, Δz, ... должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P 1 = P 2 = ... = P n = P. В этом случае надежность для доверительного интервала ΔN
будет тоже P. Формулой (17) удобно пользоваться в случае, если функция N
= ƒ(x, y, z, ...) имеет вид суммы или разности аргументов. Формулой (18) удобно пользоваться в случае, если функция N
= ƒ(x, y, z, ...) имеет вид произведения или частного аргументов. Часто наблюдается случай, когда систематическая ошибка и случайная ошибка близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общая ошибка ∑ находится как квадратичная сумма случайной Δ и систематической δ ошибок с вероятностью не менее чем P, где
P доверительная вероятность случайной ошибки: При проведении косвенных измерений в невоспроизводимых условиях
функцию находят для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляют для получения значений искомой величины по тому же методу, что и для прямых измерений. Следует отметить, что в случае функциональной зависимости, выраженной формулой, удобной для
логарифмирования, проще сначала определить относительную погрешность, а затем из выражения ΔN
= ε ¯
N
найти абсолютную погрешность. Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно подумать о последующих расчетах и выписать формулы, по которым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тщательно, а на какие не нужно тратить больших усилий.
Часто итоги эксперимента представляют графически. В результате измерений величин x и y мы получаем не точку, а область со сторонами 2x и 2y. Поэтому проводить линию надо через эти области. Например, если известно, что закон распределения измеряемой величины имеет линейный характер (см. рис. 4), то штриховая линия на рисунке будет являться неправильной.Отчет о выполнении лабораторной работы
Лабораторная работа №1 изучение металлографического микроскопа 1 1 цель работы
Лабораторная работа
Лабораторная работа По курсу «Физика» Изучение электроизмерительных приборов Сарапул ВВЕДЕНИЕ В ПРАКТИКУМ
Лабораторная работа
Научная лаборатория «Моделирование процессов обучения физике» Теория и методика обучения физике Курс лекций Часть I Киров - 1998
Документ
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(7)
(8)
(9)
(10)
Координаты и соответствующие моменты времени связаны функциональной зависимостью:
, то можно видеть, что зависимость s
(t
) – линейна. Нанесем экспериментальные точки на график и проведем через них прямую (рис.1).
.
,
1. Погрешности измерений
называют погрешность измерений,
изменяющуюся случайным образом при
повторных измерениях одной и той же
величины.
.
.§ 5. Обработка косвенных измерений
(15) или
δx, δy, δz систематические ошибки аргументов.
(17) или