Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения. При измерении приходится выполнять три последовательные операции:
1) проверку и настройку приборов;
2) наблюдение их показаний и отсчет;
3) вычисление искомой величины из результатов измерений и оценку погрешности.
Измерения разделяют на прямые и косвенные. При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. К таким измерениям относятся измерения длины линейкой, штангенциркулем, микрометром; измерение массы тела, интервалов времени, величины напряжения или силы тока по шкале соответствующего прибора.
При косвенных измерениях интересующая нас физическая величина определяется вычислением по соответствующей формуле. Конкретная формула включает в себя ряд параметров, определяемых путем прямых измерений.
Например, при определении объёма V цилиндра необходимо измерить его диаметр D и высоту H , а затем по формуле V = πHD 2 /4 вычислить объём.
Некоторые физические величины, входящие в расчетную формулу, остаются неизменными (параметры измерительной установки, физические и математические константы), а некоторые величины x i при проведении серии опытов измеряются. Причем в общем случае в каждом из опытов значения измеренной величины x 1 , x 2 , …, x n могут быть различными.
Это объясняется тем, что при измерении любой величины мы всегда получаем не истинное, а приближенное значение этой величины. Причина же связана как с измерительной точностью используемых инструментов и приборов, так и невозможностью учета всех внешних факторов, влияющих на конечный результат измерений.
Даже повторные измерения одной и той же величины при одних и тех же условиях и посредством одних и тех же приборов дают несколько различные результаты. Таким образом, любые измерения всегда выполняются с погрешностями или ошибками.
Погрешностью (или ошибкой) измерения называется отклонение данного результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины.
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Погрешности измерений физических величин Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с... Классификация погрешностей измерений...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Порядок выполнения работы
1. Провести корректировку осевой установки шаров. Для этого шар, который расположен выше, повернуть так, чтобы риски на шарах находились на одном уровне.
2. Регулировочными
Баллистический маятник представляет собой цилиндр массой M, под
Порядок выполнения работы
1. Масса пули и маятника указаны на установке.
2. Измерить линейкой расстояние l от точки подвеса до точки крепления нити к маятнику.
3. Привести маятник в
Порядок выполнения работы
1. Сделать 5 выстрелов из пистолета, расположенного на столе, в ящик с песком или лист бумаги, расположенный на полу. После каждого выстрела по отметке пули на песке, или на листе,
Описание установки и метода измерений
Маховик состоит из массивного диска и шкива, насаженных на вал. Вал закреплен в подшипниках. На шкиве намотана нить (на некоторых установках роль шкива выполняет вал), к свободному
Порядок выполнения работы
1. Отрегулировать длину нити так, чтобы груз не касался основания штатива.
2. Измерить штангенциркулем диаметр шкива, определить массу груза m. Результаты записать в
Описание установки и метода измерений
Устройство установки показано на рис. 1. Основание 1 оснащено регулиру
Порядок выполнения работы
1. На диске маятника укрепить произвольно выбранное кольцо.
2. Произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы его ось была параллельна основанию
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ
Цели работы: построить для маховика график зависимости углового ускорения b от момента силы натяжения Мн и определить из него момент силы трения
Описание установки и метода измерений
Маховик состоит из диска 1 и шкива 2, насаженных на вал (рис. 1). Вал
Порядок выполнения работы
1. Измерить штангенциркулем диаметр D шкива.
2. Вращая маховик, поднять висящий на нити груз на высоту h. Измерить высоту с помощью линейки (отсчет вести по н
Описание установки и метода измерений
Маятник Обербека (рис. 1) представляет собой маховик, которому придана
Порядок выполнения работы
1. Определить массу грузов m1 и m2 (m1 взять примерно вдвое больше m2). Определить высоту h, с которой
Описание установки и метода измерений
Твердое тело, подвешенное на упругой нити, будет совершать крутильные колебания, если его повернуть на некоторый угол относительно вертикальной оси, совпадающей с нитью подвеса, и з
Порядок выполнения работы
1. Поворотом нижнего диска привести систему в колебательное движение. Следите за тем, чтобы центр масс диска не смещался в сторону, т. е. перемещался вертикально. Амплитуда колебани
Описание установки и метода измерения
Порядок выполнения работы
1. Опорную призму укрепить на конце стержня. Поместить маятник ребром опорной призмы на подставку и привести в колебательное движение так, чтобы амплитуда колебаний не превышала ~ 6
Под влиянием внешних сил всякое твердое тело деформируется, т. е. изменяет свою форму и размеры. Упругой называется деформация, исчезающая с прекращением действия силы. Так, упруго
Продифференцировав дважды функцию (2) по времени, получим
а = − w2Acos(wt + a) = − w2x. (4)
После подстановки (4) в (3) находим
w =
Порядок выполнения работы
ЗАДАНИЕ № 1
Рис. 1
Цель работы: проверить закон Гука.
1. К нижнему концу пружины подвешивать разные грузы массы m
Краткие теоретические сведения
Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических колебаний физического маятника
&nb
Описание установки и метода измерений
В основании 1 (рис. 1) закреплена колонка 2, на ней зафиксирова
Порядок выполнения работы
1. Закрепить один груз вблизи конца, а другой – вблизи середины стержня.
2. Закрепить призмы так, чтобы они были обращены друг к другу. Одну из них поместить вблизи свободн
Краткие теоретические сведения
Если натянуть струну и возбудить в ней колебания, то по струне побегут волны, которые, отражаясь от закрепленных концов и, складываясь друг с другом, создают сложную картину колебан
Описание установки
Для возбуждения колебаний струны в работе используется метод резонанса. Струна приводится в движение силой, действующей на проводник с током в магнитном поле. Постоянное магнитное п
Порядок выполнения работы
1. Подключить установку к сети 220 В. Нажать кнопку «СЕТЬ».
2. Дать электронному блоку в течение 1–2 минут войти в режим.
3. Установить натяжение струны F =
Краткие теоретические сведения
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания, называется длиной волны. Длина
Описание установки
Общий вид установки показан на рис. 2. На конце металлической трубы 1 жестко закреплен микрофон 2. Вдоль трубы при помощи стержня 3 может свободно перемещаться электродинамический г
Порядок выполнения работы
1. Подключить динамик к генератору электрических колебаний звуковой частоты, а микрофон – к осциллографу. Включить генератор и осциллограф в сеть. Частоту генератора задавать пример
Порядок выполнения работы
Aτ, град
РАСЧЕТ СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТИ НА КАЛЬКУЛЯТОРЕ
Случайная погрешность влияет на окончательный результат измерений, в равной степени завышает либо занижает его. Поэтому необходимо указать интервал на числовой оси (см. с. 8), в кот
§ механические колебания основные формулы
Молекулярно-кинетическая теория газов основные формулы
I. о приближенных вычислениях
Основные формулы
Основные формулы
§ силы в механике
§ 10. Элементы статистической физики
§ 11. Физические основы термодинамики
1. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Физическая величина - это характеристика одного из свойств физического объекта (системы, явления или процесса). Качественно одна и та же физическая величина может иметь различное количественное выражение. Количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, характеризуется ее размером. Значение физической величины представляет собой оценку размера этой величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц. Значение физической величины выражается произведением ее числового значения на выбранную для этой величины единицу. Числовое значение - это отвлеченное число. Единица физической величины - физическая величина, которой условно присвоено числовое значение, равное 1.
Приме р: значение длины можно выразить как L = 0.202 м = 20.2 см = 202 мм. Следовательно, числовое значение физической величины с изменением размера единицы изменяется. Размер величины и ее значение при этом будут одними и теми же.
Различают истинное значение физической величины, идеально отражающее свойства материального объекта, и действительное - значение, найденное экспериментально.
Измерение физической величины з аключается в сравнении измеряемой величины с её единицей, с целью получения значения этой величины в форме, наиболее удобной для использования. Измерение производится с помощью технических средств, хранящих единицу, или воспроизводящих шкалу физической величины.
Не следует отождествлять понятие измерение с понятием наблюдение при измерении - экспериментальной операцией, выполняемой в процессе измерения. Результат наблюдения - это одно значение (отсчет) измеряемой величины. Результат измерения получается после математической обработки всех отсчетов.
Измерением с однократными наблюдениями называется измерение, при котором каждый отсчет получен при различных значениях физических величин, связанных с измеряемой величиной.
Пример: измерение ускорения тел различной массы при действии на них фикси-рованной cилы.
Измерением с многократными наблюдениями называется измерение, при котором все отсчеты получены при фиксированных значениях физических величин, связанных с измеряемой величиной.
Пример : измерение ускорения тела заданной массы при действии на него одной и той же силы при многократном повторении эксперимента.
Существует два основных вида измерений: прямые и косвенные .
Прямым измерением называется измерение физической величины, при котором ее значение находят непосредственно из опытных данных.
Примеры : измерение длины с помощью линейки; измерение сопротивления ом-
Косвенным измерением называется измерение физической величины, при котором ее значение находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, значения которых получены прямыми измерениями.
Приме р: определение сопротивления по напряжению и току, измеренным вольтметром и амперметром, соответственно.
Совместными называются такие измерения, при которых одновременно измеряют две и более неоднородные величины для нахождения зависимости между ними или определения параметров этой зависимости.
Пример: измерение тока при различных значениях напряжения для проверки закона Ома.
Моделью объекта измерения называется абстрактный, как правило, идеализированный образ реального объекта.
Примеры : материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальный газ, однродный проводник.
Метод измерений - это совокупность приемов сравнения измеряемой величины с её единицей. Метод измерений осуществляется в соответствии с моделью объекта измерения и доступным набором технических средств.
Истинной погрешностью измерения называется отклонение результата измерения физической величины (действительного значения) от ее истинного значения. При проведении измерений, как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно. Результатом измерения является оценка истинного значения, которая чаще всего с ним не совпадает. Принято, независимо от того, известно или неизвестно истинное значение, погрешность характеризовать, так называемым, доверительным интервалом , в котором с определенной степенью достоверности содержится истинное значение. Середина этого интервала совмещается с оценкой истинного значения (рис. 1).
Погрешность выражается в виде абсолютной и относительной погрешности.
Абсолютная погрешность равна модулю разности между оценкой и границей интервала, т.е. полуширине доверительного интервала.
Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к оценке истинного значения. Как правило, эту погрешность выражают в процентах. Величину, обратную относительной погрешности, называют точностью измерений.
Рис.1. Результат измерений x=(±?x). Например F=(53.2±0.3) H.
При сравнении результатов измерения одной и той же физической величины поступают следующим образом. Если доверительные интервалы перекрываются, то говорят, что различия незначимые и результаты измерений согласуются. В противном случае различия считаются значимыми и результаты измерений не совпадают.
Пример : пусть при различных методах измерений одной и той же силы получены следующие результаты: F=240±8 Н, F=250±5 Н. Различие в 10 Н в данном случае является незначимым, и результаты согласуются. Если бы оба результата были F=242±2 Н, F=249±3 Н, то различие в 7 Н было бы значимым, и результаты измерений оказались бы не совпадающими.
По влиянию на результат измерения можно выделить следующие классы погрешности:
Систематическая погрешность - погрешность, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторении измерений.
Случайная погрешность - погрешность, изменяющаяся случайным образом при повторении измерений.
Промах (грубая ошибка ) - погрешность, существенно превосходящая
Методическая погрешность - погрешность, обусловленная несовершенством метода измерений.
Инструментальная погрешность - погрешность средств измерений (приборов).
Дополнительная погрешность - погрешность, обусловленная влиянием факторов, которые не учтены в модели объекта измерения.
Учет и исключение (или уменьшение) систематической погрешности представляют одну из самых сложных задач теории измерений. Способы решения этой задачи зависят от конкретных видов измерений, и не существует общей методики ее решения. Часто используется подход, основанный на всестороннем теоретическом анализе процедуры измерения и характеристик применяемой аппаратуры. Такой анализ может дать оценку границ систематической погрешности. При точных измерениях оценка систематической погрешности производится по результатам измерения искомой величины различными, принципиально независимыми методами с применением различной аппаратуры. Многие современные способы анализа систематической погрешности используют аппарат математической статистики (дисперсионный, регрессионный, корреляционный, спектральный анализ), теории принятия решений, теории игр и др. Более детально эти вопросы рассматриваются в специальном курсе метрологии.
Случайная погрешность в большинстве случаев может быть уменьшена с помощью относительно простой статистической обработки результатов измерений.
Промахи относятся к аномальным результатам измерений, которые могут быть следствием кратковременного воздействия на процесс измерения некоторого мешающего фактора, преобладающего над остальными. Промах может быть вызван ошибкой оператора, проводящего измерение, или сбоем измерительной аппаратуры. В этих случаях аномальный результат должен быть отброшен. Однако отбрасывание аномальных данных является спорным вопросом, по которому у специалистов нет единого мнения. Например, из истории
Физики известно, что именно аномальные результаты экспериментов привели к великим открытиям. Поэтому при научных исследованиях и в большинстве технических измерений необходимо тщательно проанализировать причину промаха, в частности, многократно повторив эксперимент. Тем не менее, в хорошо изученной ситуации, если не удается найти внешнюю причину промаха, вопрос об отбрасывании аномального отсчета должен быть решен на основе обработки всех данных эксперимента.
При измерениях в лаборатории физического практикума эксперимент организован так, что:
1. Методической погрешностью можно пренебречь или ее значение можно оценить.
2. Инструментальная погрешность имеет только систематическую составляющую.
3. Дополнительная погрешность имеет только случайную составляющую.
4. Точность показаний измерительных устройств и приборов гарантируется.
2. ОБРАБОТКА ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
2.1. Инструментальная погрешность
Методика определения погрешности прибора приводится в его паспорте. Для характеристики большинства приборов часто используют понятие приведенной погрешности , равной абсолютной погрешности в процентах диапазона шкалы измерений. По приведенной погрешности приборы разделяются на классы точности. Класс точности указан на панели прибора и может принимать следующий ряд значений:
0.05; 0.1; 0.2; 0.5 - прецизионные; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0 - технические приборы .
Наибольшая абсолютная инструментальная погрешность
A =K A/100, (1)
Где K- класс точности, A- наибольшее значение шкалы прибора.
Из формулы (1) следует, что относительная погрешность будет минимальной, если измеряемая величина дает отброс стрелки индикатора на всю шкалу. Поэтому для оптимального использования прибора его предел выбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы .
В метрологии , кроме формулы (1), используется и другие, более сложные определения инструментальной погрешности и связанного с ней класса точности, особенно для приборов с неравномерными шкалами.
Инструментальная погрешность приборов для измерения линейных размеров указана на самом приборе в виде абсолютной погрешности или в виде цены деления. Если на приборе не указан ни класс точности, ни абсолютная погрешность, то она принимается равной половине цены наименьшего деления.
Для приборов с цифровым отсчетом измеряемых величин метод вычисления погрешности приводится в паспортных данных прибора. Если эти данные отсутствуют, то в качестве абсолютной погрешности принимается значение, равное половине последнего цифрового разряда индикатора.
Инструментальную погрешность невозможно уменьшить
статистической обработкой отсчетов.
Примеры считывания со шкал различных приборов показаны на рис. 2 - 7.
Принцип устройства нониуса рассмотрен в приложении 5.
2.2. Случайная погрешность
При наличии случайных погрешностей наблюдаемые значения измеряемой величины при многократных измерениях случайным образом рассеяны отноcительно ее истинного значения. В этом случае действительное значение находят как наиболее вероятное из серии отсчетов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью покрывает истинное значение. Математическое обоснование ниже приведенных положений представлено в разделах 6, 7 и 8 и в литературе , применительно к практикуму по физикев литературе .
Рис. 3. Штангенциркуль.
Рис. 7. Цифровой Омметр.
Наилучшей оценкой истинного значения величины X является
выборочное среднее значение
,
(2)
Где x n – отсчет величины Х , N – число отсчетов.
Для оценки разброса отсчетов при измерении используется
выборочное среднее квадратическое отклонение отсчетов
, (3)
Выборочное среднее является случайной величиной и его разброс относительно истинного значения измеряемой величины оценивается
выборочным средним квадратическим отклонением среднего значения
.
(4)
Среднее квадратическое отклонение среднего из
N
отсчетов
в 
раз меньшесреднего квадратического отклонения одного отсчета
Доверительным интервалом называется интервал
Который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значение измеряемой величины (рис.1).
Доверительной вероятностью (надежностью ) результата серии наблюдений называется вероятность?, с которой доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины.
Случайную составляющую погрешности принято выражать как полуширину доверительного интервала. Размер доверительного интервала обычно задают в виде кратного 
значения. Тогда
случайная составляющая погрешности многократных измерений
, (5)
где
- безразмерный коэффициент доверия
(коэффициент Стьюдента).
Коэффициент доверия показывает, во сколько раз нужно увеличить среднее квадратическое отклонение среднего, чтобы при заданном числе измерений получить заданную надежность их результата. Коэффициент доверия сложным образом зависит от надежности и числа измерений, и его значение определяют по статистическим таблицам (приложение 1).
При расчете случайной погрешности задаются надежностью измерений, которую (в зависимости от целей измерений и требований к ним) принимают равной 0,9; 0,95; 0,96; 0,98; 0,99; 0,997; 0,999.
Чем больше доверительная вероятность, тем надежнее
оценка интервала и, вместе с тем, шире его границы.
Полная погрешность 
прямых измерений равна квадратичной сумме ее составляющих: инструментальной - 
и случайной -
, (6)
2.3. Промахи
Обработку прямых измерений рекомендуется начинать с проверки отсчетов на наличие промахов. Существует много критериев выявления и отбрасывания промахов, но ни один из них не является универсальным. Выбор критерия зависит от цели измерений, но решение отбросить какие-то данные, в конечном счете, всегда субъективно.
Сформулируем, так называемый, критерий Шовене . Из полученного рядa, содержащего N отсчетов, выбирается аномальный отсчет - x k и вычисляется модуль его отклонения от среднего значения в долях выборочного среднего квадратического отклонения:
, (7)
Затем вычисляется вероятность этого отклонения, а также ожидаемое число n измерений, которые дадут отсчеты, имеющие отклонение Z не меньшее, чем испытуемый. Если получено n
Если M>N, то отсчет x k считается промахом. Связь между M и Z приведена в приложении 3.
Алгоритм обработки прямых измерений
1. Определить инструментальную погрешность.
2. Вычислить среднее значение серии измерений - формула (2)
3. Вычислить среднее квадратическое отклонение отсчета - формула (3)
Если промах устранен, то перейти к 5;
иначе к 4.
4. Проверить отсчеты на наличие промаха:
отобрать аномальный отсчет;
вычислить его относительное отклонение - формула (7)
определить ожидаемое число отсчетов, среди которых
это число больше числа отсчетов,
перейти к 2;иначе перейти к 5.
5. Вычислить выборочное среднее квадратическое
отклонение среднего значения - формула (4)
6. Определить коэффициент доверия для заданной
надежности и полученного числа отсчетов - приложение 1
7. Вычислить случайную погрешность - формула (5)
8. Вычислить полную погрешность - формула (6)
9. После округлений результат обработки измерений записать в форме:
; 
; ?
Иногда необходимо объединить результаты нескольких серий прямых измерений одной и той же физической величины. Эту задачу можно решить следующим образом. Пусть результаты M
измерений представлены в виде 
, 
, … , 
. Наилучшее значение 
И его погрешность ∆x и его погрешность вычисляются по формулам:
, 
, (8)
-
где 
- статистический вес каждой серии измерений.
3. ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Пусть u= f(x, y,…)
- функциональная зависимость между измеряемой величиной u
и величинами x, y
,... , значения которых найдены прямыми измерениями. Действительное значение 
определяется как:
. (9)
Получим выражение для погрешности ∆u . Если зафиксировать значения всех аргументов кроме одного, например x , то приращение функции при изменении ее аргумента имеет вид:
Если значение ∆x
мало, то в интервале [
, 
] функцию u= f(x)
можно считать линейной и
. (11)
Величина ∆ x u характеризует погрешность ∆u , обусловленную погрешностью ∆x . Аналогично определяются составляющие погрешности ∆u , вносимые другими аргументами. Полная погрешность ∆u косвенных измерений u вычисляется либо с помощью квадратичного суммирования либо суммирования по модулю ее составляющих, вносимых каждым аргументом:
. (12)
. (13)
Соотношения (12) применяется в том случае, когда выполняются два условия. Во-первых, погрешность аргументов обусловлена влиянием многих факторов, среди которых нет преобладающего фактора. Во-вторых, погрешности аргументов статистически не связаны. В остальных случаях используется соотношение (13). Однако правило суммирования (13) часто приводит к завышенному значению погрешности косвенных измерений. Более подробные сведения о суммирования погрешностей приведены в разделе 8.
Пример. Пусть значение сопротивления на участке цепи постоянного тока определяется по результатам прямых измерений тока и напряжения на этом участке. Если погрешность измерения тока и напряжения обусловлены влиянием многих факторов (температуры, внутренних сопротивлений амперметра и вольтметра, электрических наводок, нестабильности источника питания и др.), то при суммировании погрешностей лучше использовать формулу (12). Если погрешность прямых измерений обусловлена в основном случайным изменением внутреннего сопротивлением источника питания, то лучше применить формулу (13).
Соотношения (9-12) позволяют использовать два алгоритма обработки косвенных измерений. В одном из них необходимо найти аналитические выражения для частных производных, в другом - используются только численные методы. В приложении 3 приведены формулы для вычисления погрешности первым способом для некоторых часто встречающихся на практике функциональных связей.
Алгоритм обработки косвенных измерений
По известной зависимости измеряемой величины
помощью прямых измерений, вычислить
действительное значение функции - формула (9)
Вычислить составляющие погрешности как
или
найти частные производные по всем аргументам
и вычислить составляющие погрешности - формула (11)
Вычислить полную погрешность функции - формула (12)
После округлений результат обработки измерений
; 
; ?
Часто измеряемая величина p
является параметром функциональной зависимости y=f(x,p)
величин x
и y
, которые находят в результате серии прямых измерений с однократными наблюдениями. В этом случае случайную составляющую погрешности косвенных измерений 
определяют с помощью обработки вычисленных
значений 
по методике обработки прямых измерений
(здесь m
=1..M, где M - число однократных наблюдений величин
x и y ).
Погрешность косвенных измерений функции, как правило, больше погрешности прямых измерений ее аргументов. Однако в некоторых частных случаях это правило может нарушаться. Рассмотрим такой частный случай на примере измерения периода колебаний.
Пример. Пусть при прямом измерении периода колебаний с помощью секундомера получено значение T=2,0±0,2 с. Тем же секундомером период можно измерить косвенно, зафиксировав время t=200±0,2 с, за которое совершилось N=100 колебаний. Тогда период T=t/N, т.е. T=2,000±0,002 с. Говорить о том, что в данном случае полная погрешность измерения меньше инструментальной погрешности некорректно, так как речь идет об измерении разных величин, а именно: прямом измерении времени и косвенном измерении периода. Последний вид измерений непосредственно не связан с инструментальной погрешностью.
4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ.
Незначащими цифрами числа называются нули в начале десятичных дробей, меньших 1, и нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления. Остальные цифры называются значащими.
Сомнительной цифрой результата измерения называется цифра, стоящая в разряде, соответствующем старшему разряду со значащей цифрой в значении погрешности. Цифры, стоящие слева от сомнительной называются верными , а справa - неверными .
Примеры.
Числа 536±6; 0.00234±0.00002; 1.00±0.03; 2000±30 содержат по три значащие цифры. При округлении числа 299793±1 до значения 3·10 5 допущена погрешность 207, поэтому в полученном числе сотни являются сомнительной цифрой и, следовательно, последние два нуля - незначащие.
Погрешность обычно выражается одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях - двумя.
Округление погрешности и действительного значения.
Погрешность округляется до одной значащей цифры. Эта цифра является сомнительной т.к. значение погрешности не имеет верных цифр .
Действительное значение округляется до цифры, разряд которой равен разряду значащей цифры погрешности. Последняя цифра действительного значения - сомнительная, остальные цифры - верные.
При особо точных измерениях погрешность округляется до двух значащих цифр, если первая их них меньше 4-х и до одной цифры, если первая цифра больше 3-х. Иногда в качестве второй цифры оставляют 0 или 5.
Запись чисел, считанных со шкалы прибора.
В числовом значении измеряемой величины, считанном со шкалы прибора, записываются только верные цифры и сомнительная цифра, разряд которой определяется по значению инструментальной погрешности прибора.
Округление чисел.
Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то оставшиеся цифры не изменяются. Если указанная цифра больше 5, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на 1. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра равна 5, то округление производится следующим образом: последняя цифра в округленном числе остается без изменения, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.
Округление при вычислениях.
При записи результатов промежуточных вычислений сохраняется одна запасная цифра цифра, стоящая справа от сомнительной. При сложении и вычитании приближенных чисел разряд сомнительной цифры результата совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых. Результат умножения и деления содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. При возведении в степень
(извлечении корня) приближенного числа результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их в основании (подкоренном выражении). При логарифмировании в мантиссе сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе. Если один из операндов точное число, то количество его цифр не влияет на округление результата операции. Если при вычислениях используются табличные данные, то все их цифры верные.
Квадратичное суммирование
Если при квадратичном суммировании одно из чисел меньше другого в 3 и более раз, то им можно пренебречь.
Приведем примеры округления результатов измерений.
| Запись до округления | Запись после округления |
| 123357±678 А/м. | 123400±700 А/м. |
| 123357±678 В. | 123,4±0.7 кВ. |
| 237,46±0,13 мм | 237,5±0,1 мм. |
| 0,00283±0,00034 кг. | (2,8±0,3)10-3 кг. |
| 1,045±0,000003 с. | 1,045000±0,000003 с. |
| 359623±307 с. | (359,6±0,3)10 3 с. |
| 0,000000047±0,0000000098 м. | 50±10 нм. |
| 67.8910 -7 ±49,310 -8 А | 6,8±0,5 мкА. |
| 589±0,69 Н. | 589,0±0,7 Н. |
| 589±0,078 Н. | 589,00±0,08 H. |
5. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Пример 5.1. Обработка прямых измерений.
Вольтметром измерено 10 отсчетов напряжение U в электрической цепи. Вольтметр, класс точности которого K=2.5, имеет максимальное значение шкалы, равное A=200 В. Результаты измерений представлены в таблице. Обработать результаты измерений, обеспечив 98% надежность оценки напряжения.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| U, В | 145 | 140 | 145 | 105 | 130 | 150 | 150 | 155 | 175 | 160 |
Вычисляем инструментальную погрешность
Для заданной доверительной вероятности?=98% и количества отсчетов N=10 определяем коэффициент t 98;10 =2 (приложение 1).
Вычисляем среднее значение
Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов
Проверяем отсчеты на наличие промахов.
Аномальным отсчетом является отсчет №4. Вычисляем нормированное отклонение U 4 от среднего значения
Согласно данным приложения 3, количество опытов, при котором полученный отсчет нельзя считать промахом, равно 17. Это число больше, чем N=10. Следовательно, отсчет U=105 В является промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда.
Новый ряд отсчетов напряжения (N=9, t 98;9 = 2.9)
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| U, В | 145 | 140 | 145 | 130 | 150 | 150 | 155 | 175 | 160 |
Вычисляем новое среднее значение
Вычисляем среднее квадратическое отклонение
Вычисляем случайную составляющую погрешности
Вычисляем полную погрешность
Абсолютную
Относительную
После округлений результат измерения напряжения записываем в виде:
U=(150±10)B, ?=7%, ?=98%
Пример 5.2. Объединение результатов прямых измерений.
В трех различных условиях измерено сопротивление одного и того же проводника. Результаты измерений представлены в виде:
R 1 =(11±2) Ом.
R 2 =(12±2) Ом.
R 3 =(10±3) Ом.
Необходимо объединить эти измерения.
Находим статистический вес (вклад) каждого измерения
1/Ом 2 ,
1/Ом 2 ,
1/Ом 2 ,
Находим новую оценку сопротивления
Находим новую оценку погрешности
Результат совместной оценки сопротивления
R=(11±1) Ом.
Пример 5 .3.
Прямыми измерениями найдены значения массы m, радиуса R и линейной скорости v равномерного вращения по окружности материальной точки. Необходимо оценить значение центробежной силы F, действующей на материальную точку.
M=(310±6) г, R=(104±5) мм, v=(30±1) м/с 
Рассмотрим три способа расчета погрешности косвенных измерений
Алгоритм, использующий вычисление производных измеряемой величины по её аргументам.
кН.
Находим частные производные и вычисляем их значения при средних значениях аргументов
Вычисляем составляющие погрешности от каждого аргумента
Н
Н
Н
Вычисляем полную погрешность
Относительную
Алгоритм, использующий вычисление приращений измеряемой величины по ее аргументам.
Вычисляем среднее значение силы
Вычисляем приращения функции по её аргументам
Вычисляем полную погрешность
Относительную
После округления записываем результат косвенных измерений
Алгоритм использующий сложение абсолютных величин погрешностей
Вычисляем среднее значение силы
Вычисляем относительные погрешности аргументов
Вычисляем относительную погрешность функции по формулам приложения 2
Вычисляем абсолютную погрешность функции
После округления записываем результат косвенных измерений
Пример 5 .4. Обработка результатов косвенных измерений.
В этом примере сравним трудоемкость вычисления погрешностей косвенных измерений по двум алгоритмам. Рассмотрим случая сложной функциональной зависимости измеряемой величины от аргументов.
Пусть прямыми измерениями найдены значения элементов последовательного колебательного контура. Активного сопротивления R=(10±1) Ом. Индуктивности L=(30.0±1.5) мГ. Емкости C=(100±2) мкФ. В контуре возбуждены вынужденные колебания на частоте?=1000 рад/c. Амплитуда источника ЭДС?=10 В. Связь между амплитудой тока и параметрами элементов контура определяется соотношением:
Амплитуда ЭДС? и частота? измерены с большой точностью и могут рассматриваться как константы.
Алгоритм, использующий вычисление приращений измеряемой величины по её аргументам
Вычисляем приращения функции
Вычисляем полную погрешность
Относительную
После округления записываем результат косвенных измерений
Алгоритм, использующий вычисление производных измеряемой величины по ее аргументам
Вычисляем среднее значение тока
Вычисляем производные функции
Вычисляем значения производных от средних значений аргументов
Вычисляем составляющие погрешности функций
Вычисляем полную погрешность
Относительную
После округления записываем результат косвенных измерений
Пример 5.5. Обработка результатов косвенных измерений.
В этом примере рассмотрим влияние статистической связи погрешностей аргументов на результат косвенных измерений их функции.
Источник ЭДС постоянного тока с некоторым внутренним сопротивлением нагружен на согласованную по мощности активную нагрузку (нагрузка называется согласованной, если в ней выделяется максимальная мощность, в этом случае сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС).
Прямыми измерениями найдены N=10 значений тока I и напряжения U на нагрузке. Инструментальная погрешность измерения тока ∆I а =0.005 А, напряжения - ∆U а =0.05 В. Надежность оценок тока и напряжения должна составлять 95%. Необходимо с помощью косвенных измерений определить мощность P, потребляемую от источника. По закону Джоуля – Ленца 
.
Известно, что основной причиной разброса измеренных значений тока и напряжения является нестабильность источника, приводящая к случайным изменениям его ЭДС и внутреннего сопротивления. Следовательно, изменения тока и напряжения на нагрузке будут статистически связанными (коррелированными), так как порождаются одной и той же причиной. В этом случае суммирование погрешностей тока и напряжения необходимо производить не квадратически, а по абсолютной величине.
Рассмотрим порядок вычислений мощности.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| I, А | 0.265 | 0.255 | 0.225 | 0.245 | 0.235 | 0.210 | 0.260 | 0.240 | 0.210 | 0.215 |
| U, В | 6.55 | 6.40 | 5.60 | 6.20 | 5.95 | 5.20 | 6.55 | 6.00 | 5.30 | 5.40 |
Для заданной доверительной вероятности?=95% и количества отсчетов N=10 определяем коэффициент доверия t 95;10 =2.3 (приложение 1.)
Вычисляем среднее значение тока и напряжения
Согласно данным приложения 4 при N=10 вероятность того, что ток и напряжение на нагрузке некоррелированы равна нулю. Следовательно, экспериментальные данные указывают на связь между погрешностью тока и напряжения.
Вычисляем случайную составляющую погрешности тока и напряжения
,
,
Вычисляем полную погрешность
Относительную
После округления получаем результаты измерения тока и напряжения
U=(5.9±0.4) B, ? U =6%, ?=95%
Вычисляем относительную погрешность измерения мощности
Вычисляем абсолютную погрешность измерения мощности
При квадратическом суммировании погрешностей корреляция между отсчетами прямых измерений не учитывается. Это может привести к занижению погрешности косвенных измерений, что равноценно уменьшению надежности косвенных измерений. Иногда уменьшение погрешности может достигнуть такой величины, при которой доверительный интервал не будет покрывать истинное значение. В данном случае при квадратическом суммировании погрешностей измерения тока и напряжения получаем
P=(1.4±0.1) Вт, ?P=7%
В рассмотренной задаче истинное значение мощности
Для сравнения рассмотрим ту же измерительную задачу, но в условиях, при которых разброс отсчетов тока и напряжения обусловлен большим числом не доминирующих факторов. В этом случае погрешности отсчетов тока и напряжения статистически не связаны.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| I, А | 0.290 | 0.285 | 0.285 | 0.275 | 0.190 | 0.245 | 0.220 | 0.275 | 0.230 | 0.210 |
| U, В | 6.55 | 6.40 | 5.60 | 6.20 | 5.95 | 5.20 | 6.55 | 6.00 | 5.30 | 5.30 |
Для заданной доверительной вероятности?=95% и количества отсчетов N=10 определяем коэффициент доверия t 95;10 =2.3. Вычисляем среднее значение тока и напряжения
Вычисляем среднее квадратическое отклонение тока и напряжения
Вычисляем коэффициент корреляции тока и напряжения
Согласно приложению 4. при данном числе измерений вероятность того, что погрешности тока и напряжения на нагрузке не связаны между собой, равна 78%. Следовательно экспериментальные данные свидетельствуют об отсутствии связи между погрешностями тока и напряжения.
Проверяем отсчеты на наличие промахов
Количество опытов, при которых данный результат нельзя считать промахом, равно 14 (приложение 3). Это число больше, чем N=10. Следовательно, отсчет U 9 =8.2 В является промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда. Новый ряд имеет N=9 отсчетов и t 95;9 =2.3.
Вычисляем новое среднее значение и среднее квадратическое отклонение
Вычисляем случайную составляющую погрешности
S
U
>
=
0.76 B, ?
U
=
0.18 B
?I=
0.03 A, ?U=
0.4 B,
Вычисляем полную абсолютную и относительную погрешности
? I = 12%, ? U = 7%.
Результат прямых измерений тока и напряжения
U= (5.7±0.4) B, ?=7%, ?=95%
Вычисляем среднее значение мощности
= 1.43 Вт.
Вычисляем абсолютную и относительную погрешности измерения мощности при квадратичном суммировании погрешностей измерения тока и напряжения
Результат косвенных измерений мощности
При отсутствии корреляции между аргументами суммирование их погрешностей по абсолютной величине приведет к завышению погрешности косвенных измерений функции и к расширению доверительного интервала, т.е. к повышению надежности измерений. Такая завышенная оценка погрешности допустима. В данном случае
?P=?I+?U= 12+7=19%.
?P=
P=1.4·0.19=0.3 Вт.
8.1.1 Виды измерений (прямые, косвенные, совокупные, совместные)
Целью измерения является нахождение соотношения измеряемой величины с ее единицей и получение значения этой величины. По способу получения значения измеряемой величины измерения делят на прямые, косвенные, совокупные и совместные.
Прямое измерение – это измерение, при котором искомое значение физической величины получают непосредственно из опытных данных.
Косвенные измерения представляют собой определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.
Совокупные измерения – это проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях.
Совместные измерения – это проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для определения зависимости между ними.
Перед статистической обработкой результатов измерений из опытных данных должны быть:
а) исключены известные систематические погрешности;
б) проверены и исключены грубые погрешности и промахи.
Общий порядок статистической обработки результатов измерений представляет собой:
а) проверку гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону по одному из критериев;
б) определение числовых характеристик результатов измерений – среднего арифметического значения, дисперсии или СКО;
в) определение СКО среднего значения результата измерения и доверительных границ случайной составляющей погрешности измерений;
*г) определение границ не исключенных систематических погрешностей (НСП) и их влияния на результат измерений;
д) расчет доверительного интервала результата измерений.
Порядок выполнения расчетов по отдельным пунктам для прямых измерений был рассмотрен в предыдущих главах (3,4,7). Для результатов других видов измерений есть особенности статистической обработки.
Алгоритмы обработки результатов косвенных измерений устанавливаются в зависимости от взаимного влияния (корреляции) погрешностей измерений аргументов и вида функциональной зависимости между измеряемой величиной и ее аргументами.
Корреляция между погрешностями измерения аргументов существует, если выполняется условие:
где n - число измерений каждого аргумента;
t P – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f = n – 2;
r – коэффициент корреляции:
,
(8.2)
где a hi , a ki – результаты i-го измерения, соответственно h-го и j-го аргумента;
*Пункт (г) выполняется в особо точных случаях при возможности определения границ НСП.
– средние значения измеренных аргументов.
При установлении корреляции и нормальном распределении погрешностей измерений аргументов порядок статистической обработки определяется видом функциональной зависимости измеряемой величины от ее аргументов.
При линейной функциональной зависимости вида
, (8.3)
где b j – коэффициент при a j -м аргументе,
СКО среднего измеряемой величины определяется по формуле:
, (8.4)
где
– СКО среднего дляj-го
аргумента:
При нелинейной функциональной зависимости: СКО среднего измеряемой величины определяется по формуле:
,
(8.6)
где
–первая
частная производная функциональной
зависимости
измеряемой величины от аргументов поa j -му
аргументу.
При линеаризации нелинейной зависимости появляется методическая НСП от округления ряда разложения Тейлора – R:
где
– полный дифференциал второго порядка
функциональной зависимости.
Методической погрешностью R можно пренебречь, если
. (8.8)
В противном случае R должна учитываться в окончательном результате измерений.
При отсутствии корреляции, независимо от вида распределения экспериментальных данных и функциональной зависимости применяется метод приведения:
Вычисляются текущие значения измеряемой величины:
(8.9)
где
–i-е
значение j-го
аргумента.
Рассчитывается оценка среднего измеряемой величины:
Рассчитывается СКО оценки среднего измеряемой величины:
.
(8.11)
Окончательный результат косвенных измерений представляют в форме доверительного интервала:
где
–
коэффициент Стьюдента для заданной
доверительной вероятности Р.
Результаты совокупных и совместных измерений получают из системы уравнений вида:
где - величины, получаемые при измерениях;
- искомые величины.
Для повышения точности результатов измерений в системе должно быть больше уравнений, чем число неизвестных.
Первоначальная система условных уравнений приводится к системе нормальных уравнений вида:
*где
,
и т.п.
Решением
системы (8.14) являются оценки искомых
величин
.
Подставляя эти значения в условные
уравнения, определяют остаточные
погрешности
i ,
так называемые
«невязки». Невязки определяют погрешности
измерения искомых величин, на основании
которых рассчитываются доверительные
интервалы этих величин.
*При проведении совместных измерений условные уравнения равноточные, при совокупных измерениях из-за различных сочетаний измеряемых величин уравнения неравноточны, и вводится дополнительная характеристика – вес:
.
(8.15)
На коэффициент умножаются все величиныa, b, c, l.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему: «Погрешности измерений физических величин»
1. Погрешности измерений
2. Оценка погрешностей величин, измеряемых непосредственно при прямых измерениях
3. Оценка погрешности при косвенных измерениях
4. Окончательная запись результата
5. Графическое представление результатов измерений
7. Элементы теории ошибок. Средние квадратические погрешности
Литература
1. Погрешности измерений
Никакие измерения не могут быть абсолютно точными. Измеряя какую-либо величину, мы всегда получаем результат с некоторой погрешностью (ошибкой). Другими словами, измеренное значение величины всегда отличается от истинного ее значения. Задачей экспериментатора является не только нахождение самой величины, но и оценка допущенной при измерении погрешности. В зависимости от свойств и причин возникновения различают систематические и случайные погрешности и промахи.
Систематическими называются погрешности, которые при многократных измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, остаются постоянными.
Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Они соответствуют отклонению измеренного значения от истинного всегда в одну сторону - либо в большую, либо в меньшую.
Систематические погрешности могут быть обусловлены, во-первых, неисправностью или неправильной работе на используемых приборах (например, неправильной установкой “нуля”). Во-вторых, их причиной может быть несовершенство используемой методики измерения или не учет постоянных факторов, влияющих на исследуемое явление. Например, можно получать завышенные значения температуры плавления кристалла, если проводить измерения при повышенном внешнем давлении.
Помимо погрешностей, возникающих в процессе измерений, систематическими являются погрешности, связанные с применением приближенных (“упрощенных”) формул, и ошибки, обусловленные отличием реального объекта от принятой модели. Так, например, при определении плотности может возникнуть большая систематическая ошибка, если исследуемый образец не является однородным и содержит внутри пустоты.
После выявления причин систематическую погрешность можно устранить, вводя соответствующую поправку. Обнаружить же систематическую погрешность и установить ее причину бывает не всегда просто, и экспериментатору часто приходится проводить дополнительные исследования. Предполагается, что в задачах физического практикума систематические погрешности сведены к минимуму при постановке задачи, и их можно не учитывать.
Случайными называются погрешности, которые при многократных измерениях в одинаковых условиях изменяются непредсказуемым образом.
Случайные ошибки обусловлены множеством неконтролируемых причин, действие которых неодинаково в каждом опыте. В результате этого при измерении одной и той же величины несколько раз подряд в одинаковых условиях получается целый ряд значений этой величины, отличающихся от истинного значения случайным образом, как в сторону увеличения, так и уменьшения.
Природа случайных погрешностей может быть различной: флуктуации нулевого положения указателя измерительного прибора; несовершенство органов чувств экспериментатора (например, невозможность включить секундомер точно в нужный момент); случайные неконтролируемые изменения внешних воздействий - температуры, влажности, давления; наводки в электрической цепи и т.д., которые практически невозможно учесть.
Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте.
Поведение случайных величин описывают статистические закономерности, которые являются предметом теории вероятностей. Статистическим определением вероятности w i события i является отношение
где n - общее число опытов, n i - число опытов, в которых событие i произошло. При этом общее число опытов должно быть очень велико (n --®Ґ). При большом числе измерений случайные ошибки подчиняются нормальному распределению (распределение Гаусса), основными признаками которого являются следующие:
1. Чем больше отклонение значения измеренной величины от истинного, тем меньше вероятность такого результата.
2. Отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны.
Приводимые ниже рецепты расчетов случайных ошибок базируются на математическом аппарате теории вероятностей с распределением Гаусса для случайных величин. Следует отдавать себе отчет, что в условиях практикума при небольшом (n = 310) числе измерений эти расчеты всегда носят оценочный характер.
Приборной погрешностью называется разность между показаниями любого прибора и истинным значением измеряемой величины. Она может содержать случайную и систематическую составляющие.
Промахи (или грубые погрешности) проявляются обычно в резком отклонении результата отдельного измерения от остальных. Промахи обусловлены главным образом недостаточным вниманием экспериментатора или неисправностями средств измерения. Результаты таких измерений отбрасываются.
2. Оценка погрешностей величин, измеряемых непосредственно при прямых измерениях
а) Случайные погрешности. Основные понятия.
Пусть некоторая случайная величина a измеряется n раз в одинаковых условиях. Результаты измерений дали набор n различных чисел
За наиболее вероятное значение величины, а обычно принимают среднее арифметическое значение результатов измерений
Чем больше число измерений, тем ближе среднее значение к истинному.
Абсолютной погрешностью i-го измерения называется величина
Абсолютная погрешность - величина размерная. Среди n значений абсолютных погрешностей обязательно встречаются как положительные, так и отрицательные.
Относительной погрешностью i-го измерения называется величина
физический величина погрешность доверительный интервал
Относительная погрешность - величина безразмерная. Обычно относительная погрешность выражается в процентах, для этого e i домножают на 100%. Величина относительной погрешности характеризует точность измерения.
Средняя абсолютная погрешность определяется так:
Подчеркнем необходимость суммирования абсолютных значений (модулей) величин-- Dа i . В противном случае получится тождественный нулевой результат.
Средней относительной погрешностью называется величина
При большом числе измерений.
б) Доверительный интервал и доверительная вероятность.
Задача обработки результатов измерений заключается в том, чтобы определить границы интервала, в котором заключено истинное значение измеряемой величины. Этот интервал определяется относительно ее среднего арифметического значения, принимаемого за наилучшую оценку истинного.
Принята следующая форма записи результата измерений какой-либо величины а :
а = (ба с-- ± -- Dа ) ед. измерения (e %),
где Da - определяемая тем или иным способом граница этого интервала.
Теория вероятностей позволяет определить величину интервала, в котором с известной вероятностью w находятся результаты отдельных измерений. Эта вероятность называется доверительной вероятностью, а соответствующий интервал называется доверительным интервалом.
Если число измерений n достаточно велико, то доверительная вероятность выражает долю из общего числа n тех измерений, в которых измеренная величина оказалась в пределах доверительного интервала. Каждой доверительной вероятности w соответствует свой доверительный интервал.
Для примера обозначим на числовой оси точками результаты n = 10 условных измерений. Они группируются вокруг средней величины ба с.
Круглыми скобками обозначим доверительный интервал, внутри которого находятся 5 экспериментальных значений из 10, т.е. доверительная вероятность w 1 50%. Квадратным скобкам соответствует доверительный интервал для вероятности w 2 80%. Чем шире доверительный интервал, тем больше вероятность получить результат внутри этого интервала. В теории вероятностей устанавливается количественная связь между величиной доверительного интервала, доверительной вероятностью и числом измерений.
Если в качестве доверительного интервала выбрать интервал, соответствующий средней погрешности, то есть Da = бDа с,--то при достаточно большом числе измерений он соответствует доверительной вероятности w 60%. При уменьшении числа измерений доверительная вероятность, соответствующая такому доверительному интервалу (ба с-- ± --бDа с), уменьшается.
Таким образом, для оценки доверительного интервала случайной величины можно пользоваться величиной средней погрешности-- бDа с. Строгая теория доверительных интервалов дана в последнем параграфе.
в) Приборная погрешность.
Приборная погрешность является паспортной характеристикой прибора. Она определяется для всей совокупности приборов данного вида путем сравнения показаний приборов, исследуемой партии с показаниями эталонного прибора (путем градуировки). За значение приборной погрешности принимается наибольшее из полученных значений.
При работе с отдельным прибором конкретная величина приборной погрешности неизвестна, но заключена в известных пределах, которые указываются в паспортных данных прибора.
Для стрелочных электроизмерительных приборов погрешность определяется классом точности. Класс точности большинства приборов равен максимально возможной относительной погрешности прибора, выраженной в процентах от величины верхнего предела шкалы. Значение класса точности такого прибора маркируется рядом с его шкалой в виде числа (не обведенного в кружок или звездочку!).
Обозначим класс точности e max . Исходя из определения,
где Dx i приб . - максимально возможная абсолютная приборная погрешность i -го измерения, x max - величина верхнего предела шкалы измерительного прибора.
Отсюда следует, что
а максимальная относительная приборная погрешность i-го измерения вычисляется по формуле
Так, например, у вольтметра класса точности 0,2, предназначенного для измерения напряжения до V max = 300 В, максимальная относительная приборная погрешность у верхнего предела измерений равна 0,2%. А при измерении напряжения V = 50 В максимальная относительная погрешность возрастает до величины 1,2%. Следовательно, при измерении вблизи нуля (в первой половине шкалы) значительно уменьшается точность измерения. Измерения в начальной части шкалы нежелательны.
Приборные погрешности, определяемые по приведенным формулам, представляют максимально возможную ошибку прибора. Ошибка конкретного измерения может быть меньше.
Если класс точности не указан, то за приборную погрешность можно принять половину цены наименьшего деления на шкале. Обычно эта величина находится в согласии с классом точности.
Погрешность цифровых электроизмерительных приборов обычно указывается в паспорте прибора.
г) Доверительный интервал с учетом случайной и приборной погрешностей.
При однократном измерении некоторой величины случайную ошибку определить невозможно, и граница доверительного интервала определяется величиной приборной погрешности
В таком случае погрешность называют погрешностью метода.
При многократных измерениях граница доверительного интервала определяется путем учета случайной погрешности и погрешности, вносимой приборами. Такая погрешность называется погрешностью эксперимента.
Для оценки погрешности эксперимента можно пользоваться формулой
(см. также стр. 22).
Естественно, если одно из слагаемых значительно больше другого, то оно и будет определяющим в оценке. Если при большом количестве измерений приборная погрешность много больше случайной погрешности измерений, необходимо заменить используемый прибор на более точный. Если же приборная ошибка много меньше случайной ошибки, можно увеличить число измерений для повышения точности результата. Если приборная погрешность сравнима со случайной погрешностью измерений, то, очевидно, не имеет смысла увеличивать число измерений. Следовательно, целесообразно оценивать приборную погрешность перед проведением измерений.
3. Оценка погрешности при косвенных измерен и ях
В большинстве случаев величина, интересующая экспериментатора, не может быть измерена непосредственно, а получается путем вычислений с использованием нескольких непосредственно измеряемых величин. Такие измерения называются косвенными. Пусть интересующая нас величина, а вычисляется по некоторой формуле, требующей знания ряда непосредственно измеряемых величин x, y, z, ....:
a = f (x, y, z, ....).
Здесь f (x, y, z, ....) - некоторая (пока не конкретизируемая) функция, определяемая расчетной формулой.
В измерениях могут встретиться две ситуации.
а) Косвенные измерения с постоянными параметрами.
В большинстве задач физического практикума многократно измеряются величины x, y, z, ...., истинные значения которых в процессе измерений остаются постоянными (постоянными параметрами). Например, плотность вещества определяется через многократные измерения массы и линейных размеров одного и того же образца.
В этом случае среднее значение величины а получается подстановкой в формулу средних значений бx с, -- бy с, -- бz с, .... измеренных величин:
а при расчете погрешностей величины, а начинают с вычисления абсолютной или относительной погрешностей в зависимости от вида функции f (x, y, z, ....).
В общем виде задача ставится так. Пусть известен набор величин x ±Dx, y ±Dy, z ±Dz ... , где-- Dx, Dy, Dz - погрешности непосредственных измерений, определенные так, как это описано в предыдущем параграфе. Как определить абсолютную погрешность величины a ? Учтем, что чаще всего погрешности непосредственных измерений значительно меньше измеряемых величин, составляя несколько процентов и менее от них. Т.е. пDx п«пx п, пDy п«пy п, пDz п«пz п ... Тогда формально можно погрешность считать малым приращением измеряемой величины, заменить символы: Dx dx, Dy dy, Dz dz, ... Da da - и для нахождения величины--Da использовать математический аппарат дифференциального исчисления--
Здесь - частная производная, которая вычисляется по обычным правилам дифференцирования. При ее определении все остальные аргументы функции f (кроме x ) следует считать постоянными и равными их средним значениям. Слагаемое соответствует погрешности, вносимой в полную погрешность?a неточностью измерения только величины x (в предположении, что все остальные величины: y, z, .... - измерены без ошибок). Аналогичный смысл имеют все остальные слагаемые. Таким образом, оценить абсолютную погрешность величины а при косвенных измерениях можно по формуле
Для того чтобы сразу определить относительную погрешность величины а , разделим Da на а и примем во внимание, что выражение удобно преобразовать в.
Если в расчетную формулу входят, наряду с измеренными величинами, еще и табличные данные или справочные константы, то при вычислении погрешности величины, а следует учитывать и их погрешности. Если их погрешность не указана специально, то обычно считается, что она не превышает пяти единиц в первом отсутствующем разряде. Например, для ускорения свободного падения:
g = 9,8 м/c 2 ?Dg = 0,05 м/c 2 ,
g = 9,81 м/c 2 ?Dg = 0,005 м/c 2 .
После вычисления абсолютной погрешности определяется относительная погрешность результата.
Приведем таблицу для оценки погрешности некоторых часто встречающихся при вычислениях комбинаций измеряемых величин.
Таблица 1.
Обратим внимание читателя на некоторые важные моменты в таблице.
1. Учтем, что случайные погрешности измерений могут равновероятно быть положительными и отрицательными. Поэтому и при сложении, и при вычитании измеренных величин абсолютные погрешности складываются.
2. При вычитании двух величин относительная погрешность содержит в знаменателе разность двух величин. Если эти величины близки, то относительная погрешность разности может значительно превышать относительную погрешность каждой величины в отдельности. Во избежание потери точности следует избегать таких измерений и вычислений, когда приходится вычитать близкие по значению величины.
3. При умножении и делении величин складываются относительные погрешности.
То есть когда расчетная формула является одночленом, а суммы и разности если и присутствуют, то в виде отдельных множителей, проще сначала вычислить не абсолютную, а относительную погрешность величины а. Если же расчетная формула имеет вид многочлена, целесообразно начинать с расчета абсолютной погрешности.
4. При возведении в степень n , такую чтопn п 1, относительная погрешность увеличивается впn праз.
Для примера рассмотрим вычисление погрешности при расчете по формуле
Удобнее всего провести его по следующей схеме.
Обозначим
и,
где s 1 , s 2 , v 0 , t, a - средние значения измеренных величин.
Тогда
; ;
;
и, наконец,
.
б) Косвенные измерения с переменными параметрами.
В некоторых задачах при определении одной и той же величины a = f (x, y, z, ....) вместо того, чтобы измерять n раз одни и те же параметры x, y, z, .... , проводят n измерений принципиально различных значений (переменных параметров) x 1 , x 2 , ... , x n величины x, и, соответствующих им значений величин y, z, ... . Например, плотность вещества определяется через однократные измерения массы и линейных размеров нескольких образцов.
В таком случае расчеты проводятся следующим образом. Величина а вычисляется для каждого опыта в отдельности: а 1 = а (x 1 , y 1 , z 1 ...), a 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ...) ... a n = a (x n , y n , z n ...), - и обрабатывается как при прямых измерениях. В результате определяется среднее значение а:
и соответствующая ему средняя случайная погрешность бDа с.
Приборная погрешность Da приб рассчитывается дополнительно. Для ее определения рассмотренным в пункте а) способом выводят формулу для абсолютной или относительной погрешности величины a. В эту формулу в качестве Dx, Dy, Dz, .... подставляют приборные погрешности Dx приб , Dy приб , Dz приб , ... , а в качестве x, y, z, .... подставляют значения x i , y i , z i , .... какого-либо одного из опытов. Для того, чтобы не получить сильно завышенное или заниженное значение приборной погрешности, выбирается опыт с промежуточными (не минимальными и не максимальными) значениями параметров x i , y i , z i , ....
Полная погрешность эксперимента определяется как при непосредственных измерениях:
.
4. О кончательная запись результата
Точность вычислений при обработке измерений
В результате обработки измерений всегда получается приближенное значение измеряемой величины, точность которого определяется только погрешностью, допущенной в процессе измерения, и никакими расчетами нельзя повысить эту точность. Поэтому окончательный результат обработки измерения с точки зрения количества значащих цифр должен соответствовать точности, полученной в процессе измерения.
При численной записи окончательного результата условимся придерживаться следующих правил (см. также стр. 21).
1. В погрешности оставляют только первую значащую цифру. Если же первая значащая цифра - единица, то допускается записывать две значащие цифры, а остальные отбрасываются с округлением в большую сторону.
2. Среднее значение измеренной величины округляется в соответствии со значением погрешности. Правила округления - обычные.
Так, число c = 4,862452±0,12465 должно быть записано:
c = 4,86±0,12,
а число d = 242,87546±0,0094265 должно быть записано:
d = 242,875±0,009.
Примеры записи результата:
v = (210±8) м/c (e = 4%)
или v = (2,10±0,08) . 10 2 м/с (e = 4%) - стандартная форма.
R = (49,8±0,3) . 10 3 Ом (e = 0,6%)
R = (49,8±0,3) кОм (e = 0,6%)
R = (4,98 ±0,03) . 10 4 Ом (e = 0,6%) - стандартная форма.
Следует помнить, что нули, стоящие в последних разрядах, есть значащие цифры. Так, числа 2,86 и 2, 86000 не равнозначны по своей точности.
Отметим, что при проведении косвенных измерений в расчетах выполняются математические операции над приближенными числами, определяемыми с различной точностью. При этом руководствуются следующими правилами округлений и вычислений.
1.При сложении и вычитании приближенных чисел в результате сохраняют столько разрядов, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством разрядов.
2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством значащих цифр.
3. Результат расчета значений функций некоторого
приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x.
4. В промежуточных расчетах допускается использовать на одну-две значащие цифры больше (“с запасом”).
5. Графическое представление результатов измерений
При оформлении графиков необходимо выполнять следующие правила.
1. График должен содержать надпись, из которой было бы ясно физическое содержание представленной закономерности.
2. Масштабы и начала отсчета по координатным осям выбираются так, чтобы график изображения зависимости занимал большую часть поля чертежа. При этом на пересечении осей не обязательно должны находиться нулевые значения величин.
При выборе масштаба необходимо помнить, что точность построения графика должна быть не ниже точности измерений.
3. На осях координат откладываются равноотстоящие друг от друга деления масштаба так, чтобы было удобно работать с графиком. Значения, полученные в эксперименте, не указываются.
4. В конце координатных осей обязательно указываются условные обозначения откладываемых величин и, через запятую, их единицы измерения.
5. Экспериментальные значения величин (точки) отчетливо наносятся вместе с погрешностями - отрезками длиной в доверительный интервал, расположенными параллельно соответствующей оси, в виде:
Если при построении кривой в выбранном масштабе доверительные интервалы не видны вдоль обеих осей координат, экспериментальные точки проставляются в виде маленьких кружочков (треугольников и т.д.) с центром в точке, соответствующей экспериментальным данным.
6. Экспериментальная кривая проводится плавно через доверительные интервалы всех или большинства экспериментальных точек так, чтобы экспериментальные точки наиболее близко и равномерно располагались с разных сторон кривой.
7. Если на графике изображается теоретическая кривая, то указывается формула, по которой она рассчитывается.
8. При изображении нескольких кривых на одном поле графика каждая из них нумеруется или выделяется каким-то другим способом. В свободной части поля даются соответствующие пояснения.
6. Рекомендации по оформлению отчета к лабораторной р а боте
Отчет по лабораторной работе должен иметь следующее содержание:
1. Название работы.
2. Краткое изложение цели работы.
3. Перечень приборов и оборудования.
4. Схема установки.
5. Краткое изложение теории метода с выводами рабочих формул.
6. Запись экспериментальных результатов с указанием единиц измерения и приборной погрешности. Запись параметров установки, необходимых для последующих расчетов (также с указанием единиц и погрешностей).
7. Обработанные результаты измерений, представленные в виде таблиц, чисел, графиков - в соответствии с заданием, определенном в методической разработке к лабораторной работе.
8. Вычисление погрешностей.
9. Анализ результатов: сравнение с табличными данными, с теорией, с данными других экспериментов - также с учетом погрешностей.
10. Выводы.
7. Элементы теории ошибок. Средние квадратические п о грешности
а) Функция распределения. Распределение Гаусса и его характеристики.
Допустим, что произведено n измерений некоторой случайной величины x: x 1 , x 2 , ... x n - одним и тем же методом и с одинаковой тщательностью. Можно ожидать, что число dn полученных результатов, которые лежат в некотором достаточно узком интервале от x до x + dx, должно быть пропорционально:
- величине взятого интервала dx;
- общему числу измерений n.
Таким образом, можно записать, что
dn = f (x) n dx,
где f (x) - функция, характеризующая распределение значений случайных величин по разным интервалам.
Вероятность dw(x) того, что некоторое значение x лежит в интервале от x до x + dx, определяется следующим образом:
(при числе измерений n --®Ґ).
Функция f (х) называется функцией распределения или плотностью вероятности.
В качестве постулата теории ошибок принимается, что результаты прямых измерений и их случайные погрешности при большом их количестве подчиняются закону нормального распределения.
Найденная Гауссом функция распределения непрерывной случайной величины x имеет следующий вид:
, где m-- и-- s----- параметры распределения.
Параметр-- m-- нормального распределения равен среднему значению бx с случайной величины, которое при произвольной известной функции распределения определяется интегралом
.
Таким образом, величина m-- является наиболее вероятным значением измеряемой величины x, т.е. ее наилучшей оценкой.
Параметр s 2-- нормального распределения равен дисперсии D случайной величины, которая в общем случае определяется следующим интегралом
.
Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины.
Среднее отклонение (погрешность) случайной величины--бsс определяется с помощью функции распределения следующим образом
Средняя погрешность измерений,--бsс, вычисленная по функции распределения Гаусса, соотносится с величиной среднего квадратического отклонения s-- следующим образом: < s> = 0,8-- s .
Параметры s--и--m--связаны между собой следующим образом:
.
Это выражение позволяет находить среднее квадратическое отклонение s -- , если имеется кривая нормального распределения.
График функции Гаусса представлен на рисунках. Функция f (x ) симметрична относительно ординаты, проведенной в точке x = m; проходит через максимум в точке x = m и имеет перегиб в точках m--±s. Таким образом, дисперсия характеризует ширину функции распределения, или показывает, насколько широко разбросаны значения случайной величины относительно ее истинного значения. Чем точнее измерения, тем ближе к истинному значению результаты отдельных измерений, т.е. величина s - меньше. На рисунке A изображена функция f (x ) для трех значений s.
Площадь фигуры, ограниченной кривой f (x ) и вертикальными прямыми, проведенными из точек x 1 и x 2 (рис.Б), численно равна вероятности попадания результата измерения в интервал Dx = x 1 - x 2 , которая называется доверительной вероятностью. Площадь под всей кривой f (x ) равна вероятности попадания случайной величины в интервал от 0 до--Ґ, т.е.
,
так как вероятность достоверного события равна единице.
Используя нормальное распределение, теория ошибок ставит и решает две основные задачи. Первая - оценка точности проведенных измерений. Вторая - оценка точности среднего арифметического значения результатов измерений.
б) Точность результатов измерений.
Точность измерений в теории ошибок характеризуется доверительным интервалом (x>--±--Dx ) w , таким, что с доверительной вероятностью, равной w , результат отдельного измерения находится внутри интервала. Эта вероятность также равна относительной доле результатов, оказавшихся внутри доверительного интервала (см. стр. 4-5).
Таким образом, для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа, а именно, величину доверительного интервала и величину доверительной вероятности. Указание одной только величины погрешности без соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла.
Если известна средняя погрешность измерения бsс, доверительный интервал, записанный в виде (<x > ±--бsс) w , определен с доверительной вероятностью--w = 0,57.
Если известно среднее квадратическое отклонение s -- распределения результатов измерений, указанный интервал имеет вид (x>±--t w s) w , где t w - коэффициент, зависящий от величины доверительной вероятности и рассчитывающийся по распределению Гаусса.
Наиболее часто используемые величины Dx = t w s приведены в таблице 2.
Таблица 2.
На практике при проведении ограниченного числа измерений мы не знаем точного значения дисперсии, а можем лишь оценить ее величину. Наилучшей оценкой среднего квадратического отклонения s является средняя квадратическая погрешность n измерений n S :
Эта величина статистически стремится к-- s-- при n --®Ґ .
Таким образом, мы неизбежно заменяем величину s--в доверительном интервале на ее приближенное значение n S . При этом необходимо помнить, что чем меньше число измерений, тем хуже это приближение. Так, теория показывает, что для корректного определения доверительного интервала с доверительной вероятностью w = 0,9 требуется не менее 40 измерений.)
в) Точность среднего арифметического результатов измерений.
Выше рассматривалась вероятность отклонения результата отдельного измерения от истинного значения величины x
. Не менее важно знать, насколько может отклоняться от истинного значения среднее арифметическое результатов измерений. Это отклонение также характеризуется доверительным интервалом (
Строго говоря, если величина x
имеет нормальное распределение с математическим ожиданием m и дисперсией
s 2 , то и ее среднее значение
имеет нормальное распределение с математическим ожиданием m
и дисперсией s 2 /n
. Т.е. случайная
погрешность среднего арифметического меньше, чем погрешность единичного измерения.
Если в качестве оценки
s используется средняя квадратическая погрешность n
S
, то для оценки отклонения среднего значения применяется средняя квадратическая погрешность среднего арифметического n
S
:
Величина n
S
статистически стремится к нулю при n
®Ґ.
В теории ошибок доказывается, что при небольшом числе измерений (n
< 30), которое реально имеет место в работах физического практикума, в доверительный интервал необходимо ввести коэффициент t
w,n
, называемый коэффициентом Стьюдента. Тогда доверительный интервал принимает вид (<x
> ± t
w,n
n
S
) w
.
Чем меньше число n проведенных измерений, тем больше среднее значение может отклониться от истинного. Значит, при одной и той же доверительной вероятности w коэффициент Стьюдента должен расти с уменьшением n, см. таблицу 3.
Таблица 3.
?????n |
||||||||||||||
г) Полная погрешность. Погрешность косвенных измерений.
Согласно теории при совершенно независимых случайной и приборной погрешностях полная погрешность эксперимента вычисляется следующим образом:
.
При этом обе погрешности должны задавать доверительные интервалы с одинаковой доверительной вероятностью. Приборная погрешность задает свой интервал с доверительной вероятностью w = 0,9. Существуют и другие способы учета результирующей погрешности эксперимента.
В косвенных измерениях вычисляют среднюю квадратическую абсолютную ошибку по формуле
где Dx, Dy, Dz, .... - полные среднеквадратические ошибки эксперимента.
Формула для вычисления относительной погрешности косвенной величины а включает в себя квадраты относительных погрешностей. Например, для величины а, которая задается расчетной формулой
,
где k - численный коэффициент, относительная погрешность, определяемая теорией ошибок, равна:
,
что следует из
Литература
1. А.Н. Зайдель. Погрешности измерений физических величин. Л., Наука, 1985.
2. Л.Г. Деденко. В.В. Керженцев. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. М., Изд-во МГУ, 1977.
3. Физический практикум. Механика и молекулярная физика. Под редакцией В.И. Ивероновой. М., Наука, 1967.
4. П.В. Новицкий, И.А. Зограф. Оценка погрешностей результатов измерений. Л., Энергоатомиздат, 1991.
5. Лабораторные работы по курсу физики для естественных факультетов МГУ. Механика. М., Моск. ун-т. 1997.
6. Методическая разработка по общему физическому практикуму. Погрешности измерений. Сост. Д.В. Белов. М., МГУ, 1993.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Измерение физических величин и классификация погрешностей. Определение погрешностей при прямых и при косвенных измерениях. Графическая обработка результатов измерений. Определение отношения удельных теплоемкостей газов методом Клемана и Дезорма.
методичка , добавлен 22.06.2015
Критерии грубых погрешностей. Интервальная оценка среднего квадратического отклонения. Обработка результатов косвенных и прямых видов измерений. Методика расчёта статистических характеристик погрешностей системы измерений. Определение класса точности.
курсовая работа , добавлен 17.05.2015
Прямые и косвенные виды измерения физических величин. Абсолютная, относительная, систематическая, случайная и средняя арифметическая погрешности, среднеквадратичное отклонение результата. Оценка погрешности при вычислениях, произведенных штангенциркулем.
контрольная работа , добавлен 25.12.2010
Суть физической величины, классификация и характеристики ее измерений. Статические и динамические измерения физических величин. Обработка результатов прямых, косвенных и совместных измерений, нормирование формы их представления и оценка неопределенности.
курсовая работа , добавлен 12.03.2013
Особенности определения плотности материала пластинки, анализ расчета погрешности прямых и косвенных измерений. Основные виды погрешностей: систематические, случайные, погрешности округления и промахи. Погрешности при прямых и косвенных измерениях.
контрольная работа , добавлен 14.04.2014
Точечная и интервальная оценка измеряемой величины. Вычисление абсолютной ошибки при прямых и при косвенных измерениях. Статистическое распределение ошибок, распределение Гаусса. Подготовка и проведение измерений. Правила округления численного результата.
методичка , добавлен 26.12.2016
Изучение кинематики материальной точки и овладение методами оценки погрешностей при измерении ускорения свободного падения. Описание экспериментальной установки, используемой для измерений свободного падения. Оценка погрешностей косвенных измерений.
лабораторная работа , добавлен 21.12.2015
Понятие и сущность физических величин, их качественное и количественное выражение. Характеристика основных типов шкал измерений: наименований, порядка, разностей (интервалов) и отношений, их признаки. Особенности логарифмических и биофизических шкал.
реферат , добавлен 13.11.2013
Структурно-классификационная модель единиц, видов и средств измерений. Виды погрешностей, их оценка и обработка в Microsoft Excel. Определение класса точности маршрутизатора, магнитоэлектрического прибора, инфракрасного термометра, портативных весов.
курсовая работа , добавлен 06.04.2015
Системы физических величин и их единиц, роль их размера и значения, специфика классификации. Понятие о единстве измерений. Характеристика эталонов единиц физических величин. Передача размеров единиц величин: особенности системы и используемых методов.